平行线中的题型解析
平行线动点问题的解题技巧
平行线动点问题的解题技巧平行线动点问题是初中数学中常见的一种几何题型，也是高中数学中的重要考点之一。
这类问题常涉及到平行四边形、三角形等图形，需要运用多种定理和方法进行解题。
本文将从以下几个方面详细介绍平行线动点问题的解题技巧。
一、基本概念在介绍解题技巧之前，我们首先需要了解一些基本概念。
平行线指在同一个平面内不相交的两条直线，它们的斜率相等；动点指随着某种规律不断运动的点。
在平行线动点问题中，我们通常需要确定某个动点在运动过程中所处的位置或满足什么条件时两直线之间的距离最短等。
二、解题思路对于平行线动点问题，我们可以采用以下步骤进行分析和求解：1.画图：根据题目所给条件画出图形，并标出所需求的点或长度。
2.列出已知和未知量：根据图形标注出已知量和未知量，并列出方程或条件式。
3.确定关系式：利用几何定理或代数方法推导出各个量之间的关系式。
4.代入求解：将已知量代入关系式中，求解未知量。
三、常用定理和方法1.平行线的性质：平行线在同一平面内，它们的斜率相等。
2.三角形内角和定理：任何一个三角形的三个内角之和等于180度。
3.全等三角形的性质：两个全等的三角形对应边长相等，对应角度相等。
4.相似三角形的性质：两个相似的三角形对应边长成比例，对应角度相等。
5.勾股定理：直角三角形斜边上的正方形面积等于两腰上各自正方形面积之和。
6.垂线定理：在平面直角坐标系中，点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为|Ax+By+C|/√(A²+B²)。
7.向量法求解：通过向量法求解可以简化计算过程。
利用向量叉积可判断两条线段是否相交，在一些特殊情况下可以极大地减少计算时间。
四、实例分析下面我们以一个具体例子来说明平行线动点问题的解题技巧：已知ABCD为矩形，P、Q分别在AB、CD上滑动，并且AP=PQ=QB。
若M为AC与QP交点，求证：BM=2AM。
解题思路：1.画图：如图所示，画出矩形ABCD和动点P、Q的运动轨迹。
平行线中的四大基本模型(4大题型+20道拓展培优)—2023-2024七年级下册(浙教版)(解析版)
平行线中的四大基本模型重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优）【题型目录】题型一平行线基本模型之M模型题型二平行线四大模型之铅笔模型题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型题型四平行线四大模型之“骨折”模型【经典例题一平行基本模型之M模型】【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左边的角的和=朝向右边的角的和结论3的模型也称为锯齿模型；锯齿模型的变换解题思路拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型【例1】（2023春·山东济宁·七年级统考阶段练习）如图所示，如果AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（）A．∠α+∠β+∠γ＝180°B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【答案】C【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．【详解】解：过点E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），∵∠β=∠AEF+∠FED，又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β-∠γ=180°，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．【变式训练】 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线AB 与直线CD 内部有一个点P ，连接BP ．(1)如图1，当点E 在直线CD 上，连接PE ，若B PEC P ∠+∠=∠，求证：AB CD ；(2)如图2，当点E 在直线AB 与直线CD 的内部，点H 在直线CD 上，连接EH ，若ABP PEH P EHD ∠+∠=∠+∠，求证：AB CD ；(3)如图3，在（2）的条件下，BG 、EF 分别是ABP ∠、PEH ∠的角平分线，BG 和EF 相交于点G ，EF 和直线AB 相交于点F ，当BP PE ⊥时，若10BFG EHD ∠=∠+︒，36BGE ∠=︒，求EHD ∠的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)18︒.【分析】（1）过点P 作PF AB ∥，推出PEC EPF ∠=∠，进而得PF CD ∥，根据平行公理的推论即可得证； （2）分别过点P 和点E 作PF AB ∥，EM CD ，推出PEM FPE ∠=∠，进而得PF EM ∥，根据平行公理的推论即可得证；（3）过点E 作EN AB ∥，同（1）（2）理证明FEH FEN NEH BFE EHD ∠=∠+∠=∠+∠，设EHD α∠=，PBG β∠=，PEG γ∠=，则10BFG α∠=+︒，结合角平分线得2290βγα+=︒+，用含α的式子代替β，γ，代入2290βγα+=︒+即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点P 作PF AB ∥，∴B BPF Ð=Ð，∵B PEC BPE BPF EPF ∠+∠=∠=∠+∠，∴PEC EPF ∠=∠，∴PF CD ∥，∴AB CD ∥；（2）证明：如图，分别过点P 和点E 作PF AB ∥，EM CD ，∴ABP BPF ∠=∠，MEH EHD ∠=∠，∵ABP PEH P EHD ∠+∠=∠+∠， 即ABP PEM MEH BPF FPE EHD ∠+∠+∠=∠+∠+∠，∴PEM FPE ∠=∠，∴PF EM ∥，∴EM AB ∥，∴AB CD ∥；（3）如图，过点E 作EN AB ∥，由 (2) 得AB CD ∥，∴EN CD ∥，BFE FEN ∠=∠，NEH EHD ∠=∠，∴FEH FEN NEH BFE EHD ∠=∠+∠=∠+∠，设EHD α∠=，PBG β∠=，PEG γ∠=，则10BFG α∠=+︒，∵ BG 、EF 分别是ABP ∠、PEH ∠的角平分线，∴2ABP β∠=，2PEH γ∠=∵BP PE ⊥，∴90P ∠=︒，由 (2) 得ABP PEH P EHD ∠+∠=∠+∠，∴2290βγα+=︒+，∵FEH FEN NEH BFE EHD ∠=∠+∠=∠+∠，∴10210γααα=+︒+=+︒，∵36BGE ∠=︒，()180FGB BFG FBG ∠=︒−∠+∠，180FGB BGE ∠=︒−∠，∴36BFG FBG BGE ∠+∠=∠=︒，∴1036αβ+︒+=︒，∴26βα=︒−∴()()226221090ααα︒−++︒=︒+，∴18α=︒，即EHD ∠的度数为18︒.【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和，平角定义等知识，添加辅助线，灵活运用平行公理的推论是解题的关键． 2．（2021下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线12l l ∥， A 是l1上的一点，B 是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C 和D ，直线CD 上有一点P ．(1)如果P 点在C ，D 之间运动时，问PAC ∠，APB ∠，PBD ∠有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P 在C ，D 两点的外侧运动时（P 点与C ，D 不重合），试探索PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】(1)PAC PBD APB ∠+∠=∠(2)当点P 在直线1l 上方时，∠−∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠−∠=∠PAC PBD APB ．【分析】（1）过点P 作1PE l ∥，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出12PE l l ∥∥，再由“两直线平行，内错角相等”得出PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点P 的两种情况分类讨论：①当点P 在直线1l 上方时；②当点P 在直线2l 下方时，同理（1）可得PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论．【详解】（1）解：PAC PBD APB ∠+∠=∠．过点P 作1PE l ∥，如图1所示．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠+∠，PAC PBD APB ∴∠+∠=∠．（2）解：结论：当点P 在直线1l 上方时，∠−∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠−∠=∠PAC PBD APB ．①当点P 在直线1l 上方时，如图2所示．过点P 作1PE l ∥．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB BPE APE ∠=∠−∠，PBD PAC APB ∴∠−∠=∠．②当点P 在直线2l 下方时，如图3所示．过点P 作1PE l ∥．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠−∠，PAC PBD APB ∴∠−∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．3．（2022下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1， AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线交于点G ．(1)求证：EG FG ⊥；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．①在图1的基础上，分别作BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M ，得到图2，则EMF ∠的度数为 ． ②如图3，AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．点O 在直线AB ，CD 之间，且在直线EF 右侧，BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ，则EOF ∠与EPF ∠满足的数量关系为 ．【答案】(1)见解析(2)①45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论EMF BEM MFD ∠=∠+∠求解即可；②利用基本结论EOF BEO DFO ∠=∠+∠，EPF BEP DFP ∠=∠+∠，求解即可．【详解】（1）证明：如图，过G 作GH AB ∥，∥AB CD ，AB GH CD ∴∥∥，BEG EGH DFG FGH ∠∠∠∠∴==，，//AB CD ,180BEF DFE ∴∠+∠=︒， EG 平分BEF ∠，FG 平分DFE ∠，12GEB BEF ∴∠=∠，12GFD DFE ∠=∠，111()90222GEB GFD BEF DFE BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， 90EGF GEB GFD ∴∠=∠+∠=︒，EG FG ∴⊥；（2）解：①如图2中，由题意，90BEG DFG ∠+∠=︒， EM 平分BEG ∠，MF 平分DFG ∠，1()452BEM MFD BEG DFG ∴∠+∠=∠+∠=︒，45EMF BEM MFD ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠．理由：如图3中，由题意，EOF BEO DFO ∠=∠+∠，EPF BEP DFP ∠=∠+∠， PE 平分BEO ∠，PF 平分DFO ∠，2BEO BEP ∴∠=∠，2DFO DFP ∠=∠，2EOF EPF ∴∠=∠，故答案为：2EOF EPF ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 4．（2020下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB CD ∥，E 为AB 、CD 之间一点，连接AE ，CE 得到AEC ∠．求证：AEC A C ∠=∠+∠小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E 作EF AB ∥∵1A ∠=∠∵AB CD ∥，EF AB ∥∴EF CD ∥∴2C ∠=∠∴12AEC ∠=∠+∠∴AEC A C ∠=∠+∠请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若AB CD ∥，60E ∠=o ，求B C F ∠+∠+∠；(2)如图，AB CD ∥， BE 平分ABG ∠， CF 平分DCG ∠，27G H ∠=∠+，求H ∠．【答案】(1)240(2)51【分析】（1）作EM AB ∥，FN CD ∥，如图，根据平行线的性质得EM AB FN CD ∥∥∥，所以1B ∠=∠，23∠∠=，4180C ∠+∠=，然后利用等量代换计算240B F C ∠+∠+∠=；（2）分别过G 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，根据平行线的性质和角平分线的性质可用ABG ∠和DCG ∠分别表示出H ∠和G ∠，从而可找到H ∠和G ∠的关系，结合条件可求得51H ∠=．【详解】（1）作EM AB ∥，FN CD ∥，如图，且AB CD ∥∴EM AB FN CD ∥∥∥∴1B ∠=∠，23∠∠=，4180C ∠+∠=∴1344180B CFE C C BEF C BEF ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+，∵60BEF ∠=，∴60180240B CFE C ∠+∠+∠=+=；（2）如图，分别过G 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，∵BE 平分ABG ∠，CF 平分DCG ∠，∴12ABE ABG ∠=∠，12SHC DCF DCG ∠=∠=∠，∵AB CD ∥∴AB CD RS MN ∥∥∥ ∴12RHB ABE ABG ∠=∠=∠，12SHC DCF DCG ∠=∠=∠，∴180NGB ABG MGC DCG ∠+∠=∠+∠=， ∴()11801802BHC RHB SHC ABG DCG ∠=−∠−∠=−∠+∠， ()()180180180180180BGC NGB MGC ABG DCG ABG DCG ∠=−∠−∠=−−∠−−∠=∠+∠−∴36021801802BGC BHC BHC ∠=−∠−=−∠，∵27BGC BHC ∠=∠+，∴180227BHC BHC −∠=∠+，∴51BHC ∠=．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】【结论1】如图所示，AB ∥CD ，则∠B+∠BOC+∠C=360°【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB ∥CD.变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例2】（2023下·山东德州·七年级统考期中）如图，AB DE ∥，则下列说法中一定正确的是( )A ．123∠=∠+∠B ．123180∠+∠−∠=︒C ．123270∠+∠+∠=︒D ．12390∠−∠+∠=︒【答案】B 【分析】此题要作辅助线，过点C 作CM AB ∥，则根据平行线的传递性，得CM DE ∥．先利用AB CM ∥，可得1180BCM ∠+∠=︒，即1801BCM ∠=︒−∠，再利用CM DE ∥，可得3DCM ∠=∠，而23BCM ∠−∠=∠，整理可得：123180∠+∠−∠=︒．【详解】解：过点C 作CM AB ∥，AB DE ，CM DE ∴∥，1180BCM ∴∠+∠=︒，3MCD ∠=∠，又BCM BCD MCD ∠=∠−∠，180123∴︒−∠=∠−∠，123180∴∠+∠−∠=︒．故选：B ．【点睛】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系．【变式训练】 【变式1】（2023下·甘肃白银·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB CD ，∥CG EF ，150BAG ∠=︒，80AGC ∠=︒，则DEF ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【答案】C 【分析】过点F 作FM CD ∥，则AB CD FM ∥∥，再根据平行线的性质可以求出MFA ∠、EFA Ð，进而可求出EFM ∠，再根据平行线的性质即可求得DEF ∠．【详解】解：如图，过点F 作FM CD ∥，∥AB CD ，AB CD FM ∴∥∥，180DEF EFM ∴∠+∠=︒，180MFA BAG ∠+∠=︒，180********MFA BAG ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒．CG EF ∥，80EFA AGC ∴∠=∠=︒．803050EFM EFA MFA ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒．180********DEF EFM ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键． 【变式2】（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，射线FE ，FG 分别与AB ，CD 交于点M ，N ，若3F FND EMB ∠=∠=∠，则F ∠的度数是 ．【答案】108︒/108度【分析】过点F 作FH AB ∥，可得AB FH CD ∥∥，根据平行线的性质结合已知求出23HFN EFN ∠=∠，可得21803EFN EFN ∠+∠=︒，即可求出EFN ∠的度数．【详解】解：如图，过点F 作FH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB FH CD ∥∥，∴EMB EFH ∠=∠，180HFN FND ∠+∠=︒，∵3EFN FND EMB ∠=∠=∠，∴13EFH EFN ∠=∠，∴23HFN EFN ∠=∠， ∴21803EFN EFN ∠+∠=︒，∴108EFN ∠=︒，故答案为：108︒．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【变式3】（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）探究题 (1)如下图，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒．求APC ∠度数；(2)如下图，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．①当点P 在A ，B 两点之间运动时，CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系为__________②当点P 在A ，B 两点外侧运动时(点P 与点A ，B ，O 三点不重合)，请写出CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)110APC ∠=︒；(2)①CPD αβ∠=∠+∠；②CPD βα∠=∠−∠或CPD αβ∠=∠−∠．【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．（1）过P 作PE AB ∥，构造同旁内角，利用平行线性质，可得110APC ∠=︒；（2）①过P 作PE AD ∥交CD 于E ，推出AD PE BC ∥∥，根据平行线的性质得出DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得出答案；②画出图形（分两种情况：点P 在BA 的延长线上，点P 在AB 的延长线上），根据平行线的性质得出DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得出答案．【详解】（1）解：过P 作PE AB ∥，∵AB CD ∥，∴PE AB CD ∥∥，∵130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒．∴18050APE PAB ∠=︒−∠=︒，18060CPE PCD ∠=︒−∠=︒，∴5060110APC ∠=︒+︒=︒；（2）解：①CPD αβ∠=∠+∠：如图3，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE αβ∠=∠+∠=∠+∠；故答案为：CPD αβ∠=∠+∠；②当P 在AB 延长线时，CPD βα∠=∠−∠；理由：如图4，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD CPE DPE βα∠=∠−∠=∠−∠；当P 在BO 之间时，CPD αβ∠=∠−∠．理由：如图5，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE αβ∠=∠−∠=∠−∠．CPD αβ∴∠=∠−∠综上所述，CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系为CPD βα∠=∠−∠或CPD αβ∠=∠−∠．【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）①如图1，AB ∥CD ，则360A E C ∠+∠+∠=︒；②如图2，AB ∥CD ，则P A C ∠=∠−∠；③如图3，AB ∥CD ，则1E A ∠=∠+∠；④如图4，直线AB ∥CD ∥ EF ，点O 在直线EF 上，则180αβγ∠−∠+∠=︒．以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P ，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC ﹣∠1＝180°，即得∠AEC ＝180°+∠1﹣∠A ； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF ，∠γ+∠COF ＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E 作直线EF ∥AB ，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①错误；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③错误；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为2，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【变式训练】 1、（2021下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）ABCD ，猜想BPD ∠与B D ∠∠、的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB CD ，猜想图中的BPD ∠与B D ∠∠、的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知ABCD ，猜想图中的BPD ∠与B D ∠∠、的关系，不需要说明理由．【答案】（1）360B BPD D ∠+∠+∠=︒，理由见解析；（2）BPD B D ∠=∠+∠，理由见解析；（3）图（3）BPD D B ∠=∠−∠，图（4）BPD B D ∠=∠−∠【分析】（1）过点P 作EF AB ∥，得到180B BPE ∠+∠=︒，由ABCD ，EF AB ∥，得到EF CD ，得到180EPD D ∠+∠=︒，由此得到360B BPD D ∠+∠+∠=︒； （2）过点P 作PE AB ，由PE AB CD ∥∥，得到12B D ∠=∠∠=∠，，从而得到结论12BPD B D ∠=∠+∠=∠+∠；（3）由ABCD ，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得BPD ∠与B D ∠∠、的关系． 【详解】（1）解：猜想360B BPD D ∠+∠+∠=︒．理由：过点P 作EF AB ∥，∴180B BPE ∠+∠=︒，∵AB CD ，EF AB ∥，∴EF CD ，∴180EPD D ∠+∠=︒，∴360B BPE EPD D ∠+∠+∠+∠=︒，∴360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）BPD B D ∠=∠+∠．理由：如图，过点P 作PEAB ，∵AB CD ，∴PE AB CD ∥∥，∴12B D ∠=∠∠=∠，，∴12BPD B D ∠=∠+∠=∠+∠；（3）如图（3）：BPD D B ∠=∠−∠．理由：∵AB CD ，∴1D ∠=∠，∵1B P ∠=∠+∠，∴D B P ∠=∠+∠，即BPD D B ∠=∠−∠；如图（4）：BPD B D ∠=∠−∠．理由：∵AB CD ，∴1B ∠=∠，∵1D P ∠=∠+∠，∴B D P ∠=∠+∠，即BPD B D ∠=∠−∠．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 2．（2020下·湖北武汉·七年级校考期中）如图，已知：点A 、C 、B 不在同一条直线，AD BE ∥(1)求证：180B C A ∠+∠−∠=︒：(2)如图②，AQ BQ 、分别为DAC EBC ∠∠、的平分线所在直线，试探究C ∠与AQB ∠的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC QB ∥，直线AQ BC 、交于点P ，QP PB ⊥，直接写出=DAC ACB CBE ∠∠∠：： ．【答案】(1)见解析(2)2=180AQB C ∠+∠︒，理由见解析(3)122：：【分析】（1）过点C 作CF AD ∥，则CF BE ∥，根据平行线的性质可得出ACF A ∠=∠、180BCF B ∠=︒−∠，据此可得；（2）过点Q 作QM AD ∥，则QM BE ∥，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出1()2AQB CBE CAD ∠=∠−∠，结合（1）的结论可得出2180AQB C ∠+∠=︒；（3）由（2）的结论可得出12CAD CBE ∠=∠①，由QP PB ⊥可得出180CAD CBE ∠+∠=︒②，联立①②可求出CAD CBE ∠∠、的度数，再结合（ 1）的结论可得出ACB ∠的度数，将其代入DAC ACB CBE ∠∠∠：：中可求出结论．【详解】（1）在图①中，过点C 作CF AD ∥，则CF BE ∥．∵CF AD BE ∥∥，∴180ACF A BCF B ∠=∠∠+∠=︒，，∴180180ACB B A ACF BCF B A A A ∠+∠−∠=∠+∠+∠−∠=∠+︒−∠=︒．（2）在图2中，过点Q 作QM AD ∥，则QM BE ∥．∵QM AD QM BE ∥，∥，∴AQM NAD BQM EBQ ∠=∠∠=∠，．∵AQ 平分CAD ∠，BQ 平分CBE ∠， ∴11,22NAD CAD EBQ CBE ∠=∠∠=∠， ∴1()2AQB BQM AQM CBE CAD ∠=∠−∠=∠−∠． ∵180()1802C CBE CAD AQB ︒︒∠=−∠−∠=−∠，∴2180AQB C ∠+∠=︒．（3）∵AC QB ∥， ∴11,22AQB CAP CAD ACP PBQ CBE ∠=∠=∠∠=∠=∠， ∴11801802ACB ACP CBE ∠=︒−∠=︒−∠．∵2180AQB ACB ∠+∠=︒， ∴1.2CAD CBE ∠=∠．又∵QP PB ⊥，∴90CAP ACP ∠+∠=︒，即180CAD CBE ∠+∠=︒，∴60120CAD CBE ∠=︒∠=︒，，∴180120()ACB CBE CAD ∠=︒−∠−∠=︒，∴60120120122DAC ACB CBE ∠∠∠=︒︒︒=：：：：：：， 故答案为：122：：． 【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 3．（2021上·八年级课时练习）（1）已知：如图（a ），直线DE AB ∥．求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠； （2）如图（b ），如果点C 在AB 与ED 之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【答案】（1）见解析；（2）当点C 在AB 与ED 之外时，ABC CDE BCD ∠−∠=∠，见解析【分析】（1）由题意首先过点C 作CF ∥AB ，由直线AB ∥ED ，可得AB ∥CF ∥DE ，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD ；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD ，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC -∠CDE=∠BCD ．【详解】解：（1）证明：过点C 作CF ∥AB ，∵AB ∥ED ，∴AB ∥ED ∥CF ，∴∠BCF=∠ABC ，∠DCF=∠EDC ，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD ；（2）结论：∠ABC -∠CDE=∠BCD ，证明：如图：∵AB ∥ED ，∴∠ABC=∠BFD ，在△DFC 中，∠BFD=∠BCD+∠CDE ，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE ，∴∠ABC -∠CDE=∠BCD ．若点C 在直线AB 与DE 之间，猜想360ABC BCD CDE ︒∠+∠+∠=,∵AB ∥ED ∥CF ，∴180,180,ABC BCF CDE DCF ︒︒∠+∠=∠+∠=∴360ABC BCD CDE ABC BCF DCF CDE ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=.【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．4．（2021下·浙江·七年级期末）已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A ∠与C ∠之间的数量关系为______；（2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ⊥于点D ．①如图2，说明ABD C ∠=∠成立的理由；②如图3，BF 平分DBC ∠交DM 于点,F BE 平分ABD ∠交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ∠∠∠∠+=︒=，求EBC ∠的度数．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B 作BG ∥DM ，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B 作BG ∥DM ，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF ，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB ⊥BC ，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM 与BC 的交点记作点O ，∵AM ∥CN ，∴∠C=∠AOB ，∵AB ⊥BC ，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，//,BG CN∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．【经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】【例4】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为__________．【答案】57°【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．【详解】解：设AE、CD交于点F，∵∠E ＝37°，∠C ＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB ∥CD ，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．【变式训练】【变式1】（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知//AB DE ，∠ABC =80°，∠CDE =140°，则∠BCD =_____．【答案】40︒【分析】延长ED 交BC 于M ，根据两直线平行，内错角相等证明∠BMD=∠ABC ，再求解CMD ∠，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：延长ED 交BC 于M ，∵//AB DE ，∴∠BMD=∠ABC=80°，∴180100CMD BMD ∠=︒−∠=︒；又∵∠CDE=∠CMD+∠C ，∴14010040BCD CDE CMD ∠=∠−∠=︒−︒=︒．故答案是：40°【点睛】本题考查了平行线的性质．三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】（2023春·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）如图，若//AB CD ，则∠1+∠3-∠2的度数为______【答案】180°【分析】延长EA 交CD 于点F ，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据//AB CD 可得∠1=∠EFD ，最后根据领补角及等量代换可求解．【详解】解：延长EA 交CD 于点F ，如图所示：//AB CD ，∴∠1=∠EFD ，∠2+∠EFC=∠3，∴32EFC ∠=∠−∠，+180EFC EFD ∠∠=︒，∴132180∠+∠−∠=︒；故答案为180°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键．【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB //CD ，CF 平分∠DCE ，若∠DCF =30°，∠E =20°，求∠ABE 的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）过E作EM∥AB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P作PL∥AB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【详解】解：（1）过E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）过P作PL∥AB，∵GM平分∠DGP，∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，∵PQ∥GN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵AB∥CD，∴PL∥AB∥CD，∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，∴∠MGN＝15°．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．【拓展培优】1．（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，已知：AB EF∥．在证明该结论∥，B E∠=∠，求证：BC DE时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）A ．延长BC 交FE 的延长线于点GB ．连接BEC ．分别作BCD ∠，CDE ∠的平分线CG ，DHD ．过点C 作CG AB ∥（点G 在点C 左侧），过点D 作DH EF ∥（点H 在点D 左侧）【答案】C【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．【详解】解：A 、如图，∵AB EF ∥，∴B G ∠=∠，∵B DEF ∠=∠，∴G DEF =∠∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；B 、如图，∵AB EF ∥，∴ABE FEB ∠=∠，∵ABC FED ∠=∠，∴CBE DEB ∠=∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；C 、如图，由CG 平分BCD ∠，DH 平分CDE ∠，没有条件说明BCD ∠与CDE ∠相等，也没有条件说明CG 与DH 平行，∴此辅助线的作法不能说明BC 与DE 平行，故此选项符合题意；D 、如图，延长BC 交DH 于点M ，∵AB EF ∥，CG AB ∥，DH EF ∥，∴AB CG DH EF ∥∥∥，∴B BMD ∠=∠，MDE E ∠=∠，∵B E ∠=∠，∴BMD MDE ∠=∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 2．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知a b ∥，若AB 与BC 的夹角为100︒，150∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．100︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒【答案】D 【分析】过点B 作BD a ∥，则BD b ∥，利用平行线的性质，进行求解即可．【详解】解：如图，过点B 作BD a ∥，∵a b ，∴BD b ∥，∴150ABD ∠=∠=︒，2180CBD ∠+∠=︒，∵100ABC ∠=︒，∴1005050CBD ∠=︒−︒=︒，∴218050130︒︒=∠=−︒．故选：D ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是构造平行线．3．（2021下·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）如图，直线AB CD EF ∥∥，且40B ∠=︒，125C ∠=︒，则(CGB ∠= )A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒【答案】B【分析】根据平行线的性质得出40BGF B ∠=∠=︒，180C CGF ∠+∠=︒，求出55CGF ∠=︒，即可得出答案．【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，40B ∠=︒，125C ∠=︒，40BGF B ∴∠=∠=︒，18055CGF C ∠=︒−∠=︒，15CGB CGF BGF ∴∠=∠−∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力． 4．（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图，ABC 为等边三角形，AP CQ ∥．若20BAP ∠=︒，则1∠=（）A ．80︒B ．40︒C ．60︒D ．70︒【答案】B【分析】过点B 作BE CQ ，可得AP CQ BE ，用平行线性质求解即可．【详解】解：过点B 作BE CQ ，如图，∵AP CQ ∥，∴AP CQ BE ，∴20BAP ABE ∠=∠=︒，∵ABC 为等边三角形，∴60ABC ∠=︒，∴40CBE ABC ABE ∠∠=−∠=︒，∵BE CQ ，∴140CBE ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 5．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，AE 平分BAN ∠，AE 的反向延长线交CDN ∠的平分线于点M ，则M ∠与N ∠的数量关系是（ ）A ．2M N ∠=∠B ．3M N ∠=∠C ．180M N ∠+∠=︒D ．2180M N ∠+∠=︒【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义得到12BAE BAN ∠=∠，12CDM CDN ∠=∠，过M 作MF AB ∥，过N 作NH AB ∥，再利用平行线的判定与性质得到12FME BAE BAN ∠=∠=∠，BAN ANH ∠=∠，12FMD CDM CDN ∠=∠=∠，180CDN HND ∠+∠=︒，经过角度之间的运算得到180CDN BAN AND ∠−∠=︒−∠，()11802DMA AND ∠=︒−∠，即2180DMA AND ∠+∠=︒可求解．【详解】解：∵AE 平分BAN ∠，DM 平分CDN ∠，∴12BAE BAN ∠=∠，12CDM CDN ∠=∠，过M 作MF AB ∥，过N 作NH AB ∥，则12FME BAE BAN ∠=∠=∠，BAN ANH ∠=∠，∵AB CD ∥，∴MF CD ∥，NH CD ∥，∴12FMD CDM CDN ∠=∠=∠，180CDN HND ∠+∠=︒， ∴180AND ANH HND BAN CDN ∠=∠+∠=∠+︒−∠，即180CDN BAN AND ∠−∠=︒−∠，又∵DMA FMD FME ∠=∠−∠()12CDN BAN =∠−∠()11802AND =︒−∠，∴2180DMA AND ∠+∠=︒，即2180M N ∠+∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 6．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，AD BC ∥，CAD ∠和CBD ∠的平分线相交于点P ．请写出C ∠、D ∠、P ∠的数量关系 ．【答案】2P C D ∠=∠+∠【分析】作PG AD ∥，则PG AD BC ∥∥，根据平行线的性质可得APB DAP CBP ∠=∠+∠，结合角平分线定义可得1122APB DAC CBD ∠=∠+，再根据AD BC ∥推出DAC C ∠=∠，D CBD ∠=∠，即可得出2P C D ∠=∠+∠．【详解】解：如图，作PG AD ∥，AD BC ∥，∴PG AD BC ∥∥，PG AD ∥，∴DAP APG ∠=∠，PG BC ∥，∴CBP BPG ∠=∠，∴APB APG BPG DAP CBP ∠=∠+∠=∠+∠，CAD ∠和CBD ∠的平分线相交于点P ．∴12DAP DAC ∠=∠，12CBP CBD ∠=∠， ∴1122APB DAC CBD ∠=∠+，∴2APB DAC CBD ∠=∠+∠，AD BC ∥，∴DAC C ∠=∠，D CBD ∠=∠，∴2APB C D ∠=∠+∠，即2P C D ∠=∠+∠．故答案为：2P C D ∠=∠+∠．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系等，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 7．（2023下·浙江·七年级校联考期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座AO OE ⊥点O ，支架AB ，BC 为固定支撑杆，BAO ∠是CBA ∠的两倍，灯体CD 可绕点C 旋转调节，现把灯体CD 从水平位置旋转到CD '位置（如图 2中虚线所示），此时，灯体CD '所在的直线恰好垂直支架AB ，且120BCD DCD '∠−∠=︒，则DCD '∠= ．【答案】40︒/40度【分析】延长OA 交CD 于点F ，延长D C '交AB 于G ，可得90AGC AFC ∠=∠=︒，可得DCD GAF '∠=∠，在四边形ABCF 中，利用四边形内角和为360︒列出等式计算即可．【详解】解：延长OA 交CD 于点F ，延长D C '交AB 于G ，如图．CD OE ∥，AO OE ⊥，OA CD ∴⊥，AO OE ⊥Q ，D C AB '⊥，90AGC AFC ∴∠=∠=︒，180GCF GAF ∴∠+∠=︒，180DCD GCF '∠+∠=︒Q ，DCD GAF '∴∠=∠，180180BAO GAF DCD '∴∠=︒−∠=︒−∠，∵BAO ∠是CBA ∠的两倍，()11802CBA DCD '∴∠=︒−∠∵120BCD DCD '∠−∠=︒，120BCD DCD '∴∠=∠+︒，在四边形ABCF 中，360GAF CBA BCD AFC ∠+∠+∠+∠=︒，()1180120903602DCD DCD DCD '∴∠'+︒−∠+∠'+︒+︒=︒，解得40DCD '∠=︒．故答案为：40︒．【点睛】此题考查平行线的性质，四边形的内角和定理，一元一次方程的应用，利用图形性质建立方程求解是解题关键．8．（2023下·湖北·七年级黄石市有色中学校联考期末）如图，直线AB CD ∥，直线EF 与AB ，CD 分别交于点E ，F ，AEF ∠与CFE ∠的角平分线交于点P ，延长FP 交AB 于点G ，过点G 作GQ FG ⊥交直线EF 于点Q ，连接PQ ，点M 是QG 延长线上的一点，且PQM QPM ∠=∠，若PN 平分FPM ∠交CD 于点N ，则NPQ ∠的度数为 ．【答案】135︒/135度【分析】根据平行线的性质求出180AEF CFE ∠+∠=︒，根据角平分线定义求出90PEF PFE ∠+∠=︒，求出90EPF ∠=︒，求出GQ EP ∥，根据平行线的性质求出PQM QPE ∠=∠，再求出答案即可．【详解】设PQM QPM x ∠=∠=︒，∵PN 平分MPF ∠，∴MPN FPN ∠=∠，设MPN FPN y ∠=∠=︒，∵AEF ∠与CFE ∠的角平分线交于点P ，∴12PEF AEF ∠=∠，12EFP CFE ∠=∠，∵AB CD ∥，∴180AEF CFE ∠+∠=︒，∴1180902PEF PFE ∠+∠=⨯︒=︒，∴()1801809090EPF PEF PFE ∠=︒−∠+∠=︒−︒=︒，∵GQ PF ⊥，∴90QGP =︒∠，∴QGP EPF ∠=∠，∴GQ EP ∥，∴PQM QPE x ∠=∠=︒，∵360QPE QPM FPN NPM EPF ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴90360x x y y ++++=，∴135x y +=，即135QPM NPM ∠+∠=︒，∴135NPQ QPM NPM ∠=∠+∠=︒．故答案为：135︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 9．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，直线AE CF ，ABC ∠ 的平分线BD 交直线CF 于点D ，若2260A BCF ∠=︒∠=︒，，则D ∠的度数为 ． 【答案】19︒/19度【分析】过点B 作B G C F ∥，利用平行线的性质求得22,60ABG CBG ∠=︒∠=︒，从而得到82ABC ∠=︒，再运用角平分线的性质得到1412CBD ABC ∠=∠=︒，继而求出19DBG ∠=︒，最后利用平行线的性质得到19D DBG ∠=∠=︒．【详解】过点B 作B G C F ∥，∵B G C F ∥，AE CF ，∴BG CF AE ∥∥∴,A ABG CBG BCF ∠=∠∠=∠，又∵2260A BCF ∠=︒∠=︒，，∴22,60A ABG CBG BCF ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴82ABC ABG CBG ∠=∠+∠=︒，又∵BD 是ABC ∠ 的平分线， ∴1412CBD ABC ∠=∠=︒， ∴19DBG CBG CBD ∠=∠−∠=︒，又∵B G C F ∥，∴19D DBG ∠=∠=︒．【点睛】本题考查角平分线的定义，平分线的性质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． 10．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，80AEC ∠=︒，在AEC ∠的两边上分别过点A 和点C 向同方向作射线AB 和CD ，且ABCD ，若EAB ∠和ECD ∠的角平分线所在的直线交于点P （P 与C 不重合），则APC ∠的大小为 ． 【答案】40︒【分析】根据题意作图，过点E 作EF AB ∥，过点P 作PQ AB ∥，利用平行线的性质可得80ECD EAB AEC ∠−∠=∠=︒，PCD PAB APC ∠−∠=∠，再结合角平分线即可求得答案．【详解】解：根据题意作图，过点E 作EF AB ∥，过点P 作PQ AB ∥，∵AB CD ，∴AB CD EF PQ ∥∥∥，∵EF AB ∥，EF CD ，∴180EAB AEC CEF ∠+∠+∠=︒，180CEF ECD ∠+∠=︒，∴EAB AEC ECD ∠+∠=∠，即80ECD EAB AEC ∠−∠=∠=︒，∵PQ AB ∥，PQ CD ∥，∴180PAB APC CPQ ∠+∠+∠=︒，180CPQ PCD ∠+∠=︒，∴PAB APC PCD ∠+∠=∠，即PCD PAB APC ∠−∠=∠，又∵点P 为EAB ∠和ECD ∠的角平分线所在的直线的交点， ∴12PAB EAB ∠=∠，12PCD ECD ∠=∠， ∴11140222APC PCD PAB ECD EAB AEC ∠=∠−∠=∠−∠=∠=︒，故答案案为：40︒．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 11．（2023下·七年级课时练习）如图，AB ∥CD ，ME 平分∠AMF ，NF 平分∠CNE ，EN ，MF 交于点O ． (1)若∠AMF ＝50°，∠CNE ＝40°，分别求∠MEN ，∠MFN 的度数；(2)若图中∠MEN ＋60°＝2∠MFN ，求∠AMF 的度数；(3)探究∠MEN ，∠MFN 与∠MON 之间的数量关系．【答案】(1)∠MEN ＝65°，∠MFN ＝70°(2)∠AMF ＝40°(3)32MEN MFN MON ∠+∠=∠，理由见解析【详解】（1）分别过点E ，F 作AB 的平行线，则它们同时也与CD 平行，则有∠MEN ＝∠AME ＋∠CNE ，∠MFN ＝∠AMF ＋∠CNF ．由∠AMF ＝50°，∠CNE ＝40°，ME 平分∠AMF ，NF 平分∠CNE ，得∠AME ＝25°，∠CNF ＝20°，∴∠MEN ＝65°，∠MFN ＝70°．（2）由（1）可知，∠MEN ＝∠AME ＋∠CNE ，∠MFN ＝∠AMF ＋∠CNF ，则有∠AME ＋∠CNE ＋60°＝2∠AMF ＋2∠CNF ．又2∠CNF ＝∠CNE ，2∠AME ＝∠AMF ． ∴3602AMF ∠=︒，故∠AMF ＝40°．（3）过点O 作AB 的平行线，则它同时也与CD 平行，易证∠MON ＝∠AMF ＋∠CNE ．∵∠MEN ＝∠AME ＋∠CNE ，∠MFN ＝∠AMF ＋∠CNF ， ∴32MEN MFN ∠+∠=（∠AMF ＋∠CNE ）． ∴32MEN MFN MON ∠+∠=∠． 12．（2023上·浙江·八年级专题练习）已知，如图，AB 与CD 交于点O (1)如图1，若A B ∠∠＝，求证：A C B D ∠+∠∠+∠＝(2)如图2，若A B ∠≠∠，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论（注：不能用三角形内角和定理）(3)如图3，若65B ∠︒＝，25C ∠︒＝，AP 平分BAC ∠，DP 平分BDC ∠，请你（2）中结论求出P ∠的度数，请直接写出结果P ∠= ．【答案】(1)见解析(2)仍然成立，证明见解析(3)45︒【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理的综合运用，掌握三角形内角和180︒是解题的关键．（1）依据平行线的性质，即可得到C D ∠∠＝，依据等式基本性质得到A C B D ∠+∠∠+∠＝；。
平行线拐点问题六种模型题型
平行线常见四种易错题型分析七年级下学期，平行线常见四种易错题型分析:过拐点作已知直线的平行线。
本篇内容，我们接着介绍平行线中常见的六种易错题型，早掌握避免遇到时出错。
平行线间拐点问题基本模型有三种: 第一种铅笔模型；第二种M型；第三种猪手模型。
我们还介绍了平行线四大拐点模型：“铅笔”模型、“猪蹄”模型、“臭脚”模型、“骨折”模型，这四类模型的共通点是需要做辅助线，做辅助线的方法比较多，通用的方法为：过拐点作已知直线的平行线。
一、性质定理与判定定理的区分要分清它们，只要注意：（1）由角得到直线平行，是判定定理，选择①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，这三个定理之一。
（2）由平行的直线得到角的关系，是性质定理，选择①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，这三个定理之一。
【分析】先由垂直的定义得到：∠2=∠3，然后由同位角相等，两直线平行得到：EF∥BD，再由两直线平行，同位角相等得到：∠4=∠5，然后根据等量代换得到：∠1=∠5，再根据内错角相等，两直线平行得到：DG∥BC，最后由两直线平行，同位角相等即可证∠ADG=∠C．二、三线八角理解不透彻很多学生遇到两条平行线被第三条直线所截时，会找同位角、内错角、同旁内角，但是遇到两条相交线被第三条直线所截时，却不会找了，主要原因就是对“三线八角”理解不透彻。
要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点，在前一篇文章中我们特地介绍过，七年级下学期，三线八角、平行线的性质与判定定理，掌握解题诀窍其次要搞清楚被哪条直线所截。
【分析】∠A与∠B的共边线为直线AB，那么直线AB为截线，即直线AC与直线BC被第三条直线AB所截，那么∠A与∠B是同旁内角，正确；∠1与∠2是邻补角，错误；∠2与∠A的共边线为直线AC，是同位角，错误；∠2与∠3是内错角，错误。
三、对平行线的概念理解不透彻例题3：判断题：同一平面内不相交的两条线，叫做平行线．【分析】这句话，乍看没有问题，但是细看的话，与定义有出入。
七年级数学下册 5.2平行线及其判定(十大题型)(解析版 )
七级下册数学《第五章相交线与平行线》5.2平行线及其判定平行线及其表示方法★1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．记作：AB∥CD；记作：a∥b；读作：直线AB平行于直线CD．读作：直线a平行于直线b．【注意】1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线)2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行．平行线的画法◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法：一“落”把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线．【注意】1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线．2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线．3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行.平行公理及其推论★1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.★2、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.几何语言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】1、平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内．2、平行公理中强调“直线外一点”，因为若点在直线上，不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的．平行线的判定方法★1、平行线的判定：判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．几何语言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．几何语言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．★2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直．几何语言表示：直线a，b，c在同一平面内，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立.★3、判定两直线平行的方法（1）平行线的定义；（2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；（3利用同位角相等说明两直线平行；（4）利用内错角相等说明两直线平行；（5）利用同旁内角互补说明两直线平行；（6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.【例题1】（2023秋•埇桥区期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．相交或垂直或平行【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．【解答】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了平行线，两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线．解题技巧提炼解题的关键是准确把握平行线的概念，牢记平行线的三个条件：①在同一平面内；②不相交；③都是直线，通过与定义进行对比来进行判断.【变式1-1】如图所示，能相交的是，平行的是．（填序号）【分析】根据平行线、相交线的定义，逐项进行判断，即可正确得出结果．【解答】解：①中一条直线，一条射线，不可相交，也不会平行；②中一条直线，一条线段，不可相交，也不会平行；③中一条直线，一条线段，可相交；④中都是线段，不可延长，不可相交，也不平行，⑤中都是直线，延长后不相交，是平行．故答案为：③，⑤．【点评】本题考查平行线和相交线，解题的关键是掌握直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸．【变式1-2】下列说法正确的是（）A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行【分析】根据平行线的判定及垂直、相交的定义判断求解即可．【解答】解：在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交，故A不符合题意；在同一平面内，两条直线不相交，那么这两条直线平行，故B不符合题意；同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线平行，故C符合题意；同一平面内，如果两条直线不垂直，它们不一定平行，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定、垂直、相交等知识，熟练掌握有关定理、定义是解题的关键．【变式1-3】（2022春•莱芜区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两条不相交的直线叫做平行线B．一条直线的平行线有且只有一条C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥cD．若两条线段不相交，则它们互相平行【分析】根据平行线的定义、性质、判定方法判断，排除错误答案．【解答】解：A、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误；B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．一条直线的平行线有无数条，故错误；C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确；D、根据平行线的定义知是错误的．故选：C．【点评】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．【变式1-4】（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在长方体AB CD-EFGH中，与棱EF异面且与平面EFGH 平行的棱是．【分析】与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是：棱AD和棱BC．【解答】解：与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是：棱AD和棱BC．故答案为：棱AD和棱BC．【点评】本题主要考查了平行线与立体图形，熟练掌握平行线与立体图形的特征进行求解是解决本题的关键．【变式1-5】（2022春•沙河市期末）观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据长方体即平行线的性质解答．【解答】解：图中与AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3条．故选：B．【点评】本题考查了平行线的定义、长方体的性质．一个长方形的两条对边平行．【变式1-6】在同一平面内，直线l1与l2满足下列关系，写出其对应的位置关系：（1）若l1与l2没有公共点，则l1和l2；（2）若l1与l2只有一个公共点，则l1和l2；（3）若l1与l2有两个公共点，则l1和l2．【分析】（1）结合平行线的定义进行解答即可；（2）结合相交的定义进行解答即可；（3）结合重合的定义进行解答即可．【解答】解：（1）由于l1和l2没有公共点，所以l1和l2平行；（2）由于l1和l2有且只有一个公共点，所以l1和l2相交；（3）由于l1和l2有两个公共点，所以l1和l2重合；故答案为：（1）平行；（2）相交；（3）重合．【点评】本题侧重考查两直线的位置关系，掌握平行定义是解题关键．【变式1-7】（2022春•赵县月考）在同一平面内，直线a，b相交于P，若a∥c，则b与c的位置关系是．【分析】根据同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交．解答即可．【解答】解：因为a∥c，直线a，b相交，所以直线b与c也有交点；故答案为：相交．【点评】本题主要考查了平行线和相交线，同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交．【例题2】（2022春•梁山县期中）若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（）A．1个或2个或3个B．0个或1个或2个或3个C．1个或2个D．以上都不对【分析】根据平行线的定义，相交线的定义，可得答案．【解答】解：当三条直线互相平行，交点是个0；当两条直线平行，与第三条直线相交，交点是2个；当三条直线两两相交交于同一点，交点个数是1个；当三条直线两两相交且不交于同一点，交点个数是3个；故选：B．【点评】本题考查了平行线，分类讨论是解题关键．解题技巧提炼用分类讨论的思想根据平面内两条直线的位置关系去讨论求解.【变式2-1】在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（）A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．平行、垂直或相交【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交．【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．故选：C．【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．【变式2-2】在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有个交点．【分析】根据同一平面内直线的位置关系得到第三条直线与另两平行直线相交，再根据直线平行和直线相交的定义即可得到交点的个数．【解答】解：∵在同一平面内有三条直线，如果其中有两条且只有两条相互平行，∴第三条直线与另两平行直线相交，∴它们共有2个交点．故答案为2．【点评】本题考查了直线平行的定义：没有公共点的两条直线是平行直线．也考查了同一平面内两直线的位置关系有：平行，相交．【变式2-3】平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有条平行线．【分析】根据同一平面内两条直线的位置关系有两种：相交或平行，及一条直线的平行线有无数条，由四条直线相互平行，其交点为0个开始分析，然后依次变为三条直线相互平行、两条直线相互平行即可求解．【解答】解：若四条直线相互平行，则没有交点；若四条直线中有三条直线相互平行，则此时恰好有三个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条不平行，则此时有三个交点或五个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条也平行，但它们之间相互不平行，则此时有四个交点；若四条直线中没有平行线，则此时的交点是一个或四个或六个．综上可知，平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有三条平行线．故答案是：三．【点评】本题考查了平行线，题目没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都是平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出答案．【变式2-4】平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为个．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出．【解答】解：（1）当四条直线平行时，无交点；（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点；（3）当两两直线平行时，有4个交点；（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点；（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点；（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．故答案为：0，1，3，4，5，6．【点评】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案；本题对学生要求较高．【例题3】如图，直线a，点B，点C．（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？【分析】根据平行公理及推论进行解答．【解答】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：如图，∵b∥a，c∥a，∴c∥b．【点评】本题考查了平行公理及推论．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思）；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式3-1】如图中完成下列各题．（1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD．（2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．【分析】（1）根据AB所在直线，利用AB所在直角三角形得出EF，以及MD⊥CD即可；（2）根据图形得出EF，MD⊥CD，标出字母即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）EF∥AB，MC⊥CD．【点评】此题考查了基本作图以及直角三角形的性质，利用直角三角形的性质得出平行线以及垂线是解答此题的关键．【变式3-2】如图，已知直线a和直线a外一点A．（1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a；（2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出直线AC与直线AB的位置关系．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）过点A有一条直线和直线a垂直，过点A可以画一条直线和a平行．（3）结论：AC⊥AB．【解答】解：（1）直线AB、AC如图所示；（2）过点A有一条直线和直线a垂直，理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直．过点A可以画一条直线和a平行．理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）结论：AC⊥AB．【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3-3】作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：（1）过点A作BC的平行线；（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；（3）过点B作AB的垂线．【分析】（1）A所在的横线就是满足条件的直线；（2）在直线AD上到A得等于BC的点D，则直线CD即为所求；（3）取AE上D右边的点F，过B，F的直线即为所求．【解答】解：如图，（1）A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求；（2）在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线；（3）取AE上D右边的点F，过B，F作直线，就是所求．【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，【变式3-4】（2022秋•内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补．【解答】解：（1）（2）如图所示，（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．【点评】注意∠2与∠O是互补关系，容易漏掉．【例题4】（2022•寻乌县模拟）下面推理正确的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥dC．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案．【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误；B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误；C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确；D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行．故选：C．【点评】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．【变式4-1】（2022春•丛台区校级期中）如图，过点A画直线l的平行线，能画（）A．两条以上B．2条C．1条D．0条【分析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【解答】解：因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．所以如图，过点A画直线l的平行线，能画1条．故选：C．【点评】本题考查了平行公理及推论．平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．【变式4-2】（2023春•萨尔图区期中）下面说法正确的个数为（）（1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行即可判断（1）；在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直即可判断（2）；举出反例即可判断（3）；根据在同一平面内，两直线的位置关系是平行或相交，即可判断（4）．【解答】解：在同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行，故（1）正确；只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故（2）错误；如图：∠ABC=∠DEF=90°，且∠ABC+∠DEF=180°，但是两角不是邻补角，故（3）错误；同一平面内不平行的两条直线一定相交正确，因为不特别指出时，一般认为，两条直线重合就是同一条直线，所以所提出的命题是正确的，故（4）正确．即正确的个数是2个．故选：B．【点评】本题考查了平行公理和推论，邻补角，垂线，平行线等知识点，此题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．【变式4-3】（2023春•泸县校级期中）下列说法正确的是（）A．经过一点有一条直线与已知直线平行B．经过一点有无数条直线与已知直线平行C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．【解答】解：根据平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断只有D选项正确．【点评】本题考查了平行公理，要熟练掌握．【变式4-4】（2023春•新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（）A．在同一个平面内B．不相交C．平行或重合D．不在同一个平面内【分析】根据平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．【解答】解：当a∥c时，a∥b，c∥d，得b∥d；当a、c重合时，a∥b，c∥d，得b∥d，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了平行公理及推论，利用了平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行．【变式4-5】（2022春•和平区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4B．3C．2D．1【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式4-6】（2022春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由是．【分析】利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【点评】此题主要考查了平行公理，正确掌握平行公理是解题关键．【变式4-7】（2022春•海阳市期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（）A．直线PQ可能与直线AB垂直B．直线PQ可能与直线AB平行C．过点P的直线一定与直线AB相交D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．【解答】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线、相交线、垂线的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键．【变式4-8】如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定【分析】根据平行公理和垂直的定义解答．【解答】解：∵长方形对边平行，∴根据平行公理，前两次折痕互相平行，∵第三次折叠，是把平角折成两个相等的角，∴是90°，与前两次折痕垂直．∴折痕与折痕之间平行或垂直．故选：C．【点评】本题利用平行公理和垂直定义求解，需要熟练掌握．【例题5】（2022春•昭阳区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝时，a∥b．【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，得出a∥b即可．【解答】解：当∠2＝40°时，a∥b；理由如下：如图所示：∵∠1＝50°，∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，∴a∥b．故答案为：40°．【点评】本题考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．【变式5-1】（2022春•洞头区期中）如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（）A．∠B＝∠3B．∠1＝∠4C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180°【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠B=∠3，∴AB∥EF，故A不符合题意；∵∠1=∠4，∴AB∥EF，故B不符合题意；∵∠1=∠B，∴DF∥BC，故C符合题意；∵∠B+∠2=180°，∴AB∥EF，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-2】（2023秋•淮阳区校级期末）如图，木条a，b，c在同一平面内，经测量∠1＝115°，要使木条a∥b，则∠2的度数应为（）A．65°B．75°C．115°D．165°【分析】根据邻补角互补和平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∠2的度数应为65°．证明：如图，∵∠1＝115°，∴∠3＝180°﹣115°＝65°，∵∠2＝65°，∴∠2＝∠3，∴a∥b．故选：A．【点评】本题考查邻补角互补，平行线的判定．熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式5-3】（2023秋•泾阳县期末）如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD．【分析】根据对顶角相等得出∠1＝∠AGH，进而根据∠2＝∠AGH，即可得证．【解答】解：∵∠1＝∠AGH，∠1＝∠2＝70°，∴∠2＝∠AGH，∴AB∥CD．【点评】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-4】（2023秋•泰和县期末）如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．【分析】根据平行线的判定，依据角平分线的定义即可解决问题．【解答】证明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°，∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分线定义），∵∠2＝60°，（已知），∴∠2＝∠ACD（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式5-5】（2023春•樟树市期中）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．求证：CF∥AB．【分析】根据CF平分∠DCE以及∠DCE＝90°即可得出∠FCE＝45°，再根据三角形ABC为等腰直角三角形，即可得出∠ABC＝∠FCE＝45°，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出结论．【解答】证明：∵CF平分∠DCE，∠DCE＝90°，∴∠FCE=12∠DCE＝45°．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠FCE，∴CF∥AB．【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是找出∠ABC＝∠FCE＝45°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角的关键．【变式5-6】（2023秋•靖边县期末）如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．【分析】根据角平分线的定义结合对顶角得到∠ECD＝∠ACB，则可证明∠B＝∠ECD，根据平行线的判定即可证明AB∥CE．【解答】证明：因为CD平分∠ECF，所以∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义）．因为∠ACB＝∠FCD（对顶角相等），所以∠ECD＝∠ACB（等量代换）．因为∠B＝∠ACB，。
七年级数学下册平行线的性质【十大题型】(举一反三)(人教版)
专题5.2 平行线的性质【十大题型】【人教版】【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】 (1)【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】 (5)【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】 (9)【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】 (11)【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】 (16)【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】 (21)【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】 (31)【题型8 平行线的性质（折叠问题）】 (36)【题型9 平行线的应用（转角问题）】 (41)【题型10 平行线的判定与性质综合（旋转）】 (46)【知识点平行线的性质】【例1】（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且DG∥BC，∠1＝∠2．(1)求证：DB∥EF；(2)若EF∠AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADG＝40°【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；（2）先求出∠C，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．（1）证明：∠DG∥BC，∠∠1＝∠DBC．又∠∠1＝∠2，∠∠2＝∠DBC，∠DB∥EF．（2）∠EF∠AC，∠∠CEF＝90°．∠∠2＝∠1＝50°，∠∠C＝90°－50°＝40°．∠DG∥BC，∠∠ADG＝∠C＝40°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．【变式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心七年级期末）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．(1)求证：AB∥CD；(2)求∠C的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠C=30°【分析】（1）先证明AE∥GF，可得∠EAB=∠FGB，再证明∠CEA=∠EAB，从而可得答案；（2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°代入进行计算即可.（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∠AE∥GF，∴∠EAB=∠FGB，∵∠CEA=∠FGB，∴∠CEA=∠EAB，∠AB∥CD；（2）解：由（1）得，AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°，∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°，∠∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°∴∠ABC=30°，∴∠C=∠ABC=30°．【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.【变式1-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如图，∠ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，且∠BDA+∠CEG=180°．(1)求证：AD∥EF；(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由．【答案】(1)见详解(2)∠F=∠H，说明见详解【分析】（1）根据∠BDA+∠CEG=180°，∠DEF+∠CEG=180°，可得∠BDA=∠DEF，根据同位角相等，两直线平行可判定AD∥EF；（2）根据∠EDH=∠C，可得DH∥AC，继而得到∠H=∠EGC，由对顶角∠AGF=∠EGC，可得∠H=∠AGF，由（1）AD∥EF可得∠DAG=∠AGF，∠BAD=∠F，再因为AD是∠BAC的角平分线，有∠DAG=∠BAD，即可证明∠F=∠H．（1）证明：∠∠BDA+∠CEG=180°，∠DEF+∠CEG=180°，∠∠BDA=∠DEF，∠AD∥EF．（2）解：∠F=∠H，理由如下：∠∠EDH=∠C，∠DH∥AC，∠∠H=∠EGC，∠∠AGF=∠EGC，∠∠H=∠AGF，∠AD∥EF，∠∠DAG=∠AGF，∠BAD=∠F，又∠AD是∠BAC的角平分线，∠∠DAG=∠BAD，∠∠F=∠H．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握并应用平行线的判定与性质是解答本题的关键．【变式1-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．(1)求证：EF∥AD；(2)求证：∠BAC+∠AGD=180°．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据垂直得出∠EFB=∠ADB=90°，根据平行线的判定得出EF∥AD；（2）根据平行线的性质得出∠1=∠BAD，由∠1=∠2得出∠2=∠BAD，根据平行线的判定得出DG∥BA，再根据平行线的性质即可得解．【详解】（1）证明：∠AD⊥BC，EF⊥BC，∠∠EFB=90°，∠ADB=90°（垂直的定义），∠∠EFB=∠ADB（等量代换），∠EF∥AD（同位角相等，两直线平行）；（2）证明：∠EF∥AD，∠∠1=∠BAD（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠2（已知），∠∠2=∠BAD（等量代换），∠DG∥BA（内错角相等，两直线平行），∠∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．（请把下面证明过程补充完整）证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（____________）∴∠2=∠3（____________）∴AE∥FD（_____________）∴∠A=∠_____（______________）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）∠_____∥CD（__________________）∴∠B=∠C（____________）【答案】对顶角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；BFD；两直线平行，内错角相等；AB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【分析】先利用对顶角的性质证明∠2=∠3，再证明AE∥FD，可证明∠A=∠BFD，可得∠D=∠BFD，再证明AB∥CD，从而可得答案．【详解】证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3（等量代换）∴AE∥FD（内错角相等，两直线平行）∴∠A=∠BFD（两直线平行，内错角相等）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）∠AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）【点睛】本题考查的是对顶角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用平行线的判定与性质进行证明是解本题的关键．【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）阅读并完成下面的证明过程：已知：如图，AB∥EF，∠1=∠2，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，求证：BE⊥CE．证明：∠BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD．∠ABC∠∠ABE=∠EBC=12∠2=________=1∠BCD（角平分线定义）2又∠∠1=∠2，∠∠1=∠ECD（）∠EF∥CD（）又∠AB∥EF（已知）∠________________（）∠∠ABC+∠BCD=180°（）(∠ABC+∠BCD)=90°，∠∠ABE+∠2=12又∠AB∥EF，∠∠ABE=∠BEF（）∠∠BEF+∠1=90°，∠∠BEC=90°，∠BE⊥CE（）【答案】∠ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB∥CD；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；垂直定义．【分析】根据平行线的性质、平行线的判定以及垂直的定义进行分析即可解答．【详解】证明：∠BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD．∠ABC∠∠ABE=∠EBC=12∠BCD（角平分线定义）∠2=∠ECD=12又∠∠1=∠2，∠∠1=∠ECD（等量代换）∠EF∥CD（内错角相等，两直线平行）又∠AB∥EF（已知）∠AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∠∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）(∠ABC+∠BCD)=90°，∠∠ABE+∠2=12又∠AB∥EF，∠∠ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等）∠∠BEF+∠1=90°，∠∠BEC=90°，∠BE⊥CE（垂直定义）．故答案为：∠ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB∥CD；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；垂直定义．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解答本题的关键．【变式2-2】（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）完成下面证明过程并写出推理根据：已知：如图所示，∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．证明：∠∠BAP与∠APD互补（已知），即∠BAP+∠APD=180°，∠____________∥_____________（_____________________），∠∠BAP=∠APC（_____________________）．又∠∠1=∠2，∠∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式的性质），即∠3=∠4，∠____________∥_____________（_____________________），∠∠E=∠F（_____________________）．【答案】AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；AE；FP；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等【分析】根据平行线的判定与性质，结合图形完成填空即可求解．【详解】∠∠BAP与∠APD互补（已知），即∠BAP+∠APD=180°，∠AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∠∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等）．又∠∠1=∠2，∠∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式的性质），即∠3=∠4，∠AE∥FP（内错角相等，两直线平行），∠∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）故答案为：AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；AE；FP；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定进行证明，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式2-3】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）推理填空：完成下面的证明过程.如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求证：.DE∠BC证明：∠∠1+∠2=180°（）∠2=∠3（_______________________________）∠∠1+∠3=180°∠______∥______（_____________________________）∠∠B=______（________________________________）∠∠B=∠DEF（已知）∠∠DEF=_______ （_______________________）∠DE∠BC（）【答案】已知；对顶角相等；AB；EF；同旁内角互补，两直线平行；∠EFC；两直线平行，同位角相等；∠EFC；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】由于∠1＋∠2＝180°，∠2＝∠3，则∠1＋∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得到AB∥EF，则利用平行线的性质得∠B＝∠CFE，由于∠B＝∠DEF，所以∠DEF＝∠CFE，于是根据平行线的判定得到DE∥BC.【详解】证明：∠∠1＋∠2＝180°（已知）∠2＝∠3（对顶角相等）∠∠1＋∠3＝180°∠AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∠∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）∠∠B＝∠DEF（已知）∠∠DEF＝∠EFC（等量代换）∠DE∥BC（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．掌握平行线的判定与性质是解题的关键.【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】【例3】（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期末）如图，含有30°角的直角三角板的两个顶点E、F放在一个长方形的对边上，点E为直角顶点，∠EFG=30°，延长EG交CD于点P，如果∠3=65°，那么∠2的度数是（）A．100°B．105°C．115°D．120°【答案】C【分析】根据直角三角形两锐角互余得到∠1=25°，根据平角的定义得到∠AEF=90°-∠1=65°，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∠∠D=90°，∠3=65°，∠∠1=25°，∠∠FEG=90°，∠∠AEF=90°-∠1=65°，∠AD∥BC，∠∠2=180°-∠AEF=115°，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余和平行线的性质，关键是得出∠AEF与∠2互补．【变式3-1】（2022·浙江·金华市第四中学九年级阶段练习）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答．【详解】解：∠纸条的两边平行，∠（1）∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）；（2）∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）；（4）∠4+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）均正确；又∠直角三角板与纸条下线相交的角为90°，∠（3）∠2+∠4=90°，正确．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．【变式3-2】（2022·山东青岛·七年级期中）将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC=30°，A，B两点分别落在直线m、n上，∠1=20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n （）A．∠2=20°B．∠2=30°C．∠2=45°D．∠2=50°【答案】D【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【详解】解：由平行线的判定可知，当∠2＝∠ABC＋∠1时，m∥n，即∠2＝∠ABC＋∠1＝30°＋20°＝50°，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式3-3】（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边DE∥BC，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（）A．95°B．115°C．105°D．125°【例4】（2022·全国·八年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54′，则∠2的度数为（）A．103°6′B．104°6′C．103°54′D．104°54′【答案】C【分析】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，根据等腰三角板的特点可求出∠4，根据三角形内角和即可求出∠5，再根据平角的性质即可求出∠3，进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．【详解】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，如图，∠直角三角板含一个45°的锐角，∠该三角板为等腰三角形，∠∠4=45°，∠∠1=58°54′，又∠在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，∠∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，∠∠3+∠5=180°，∠∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，∠a∥b，∠∠2=∠3，∠∠2=103°54′，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．【变式4-1】（2022·山西晋中·七年级期末）用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若∠1=50°，则∠2的度数为（）A．25°B．22.5°C．20°D．15°【答案】C【分析】如图，根据题意得到∠C=90°，AB∠DE，∠CDF=60°．先根据三角形内角和求出∠ABC=40°，再根据平行的性质求出∠CDE=40°，即可求出∠2=20°．【详解】解：如图，由题意得∠C=90°，AB∠DE，∠CDF=60°．∠∠C=90°，∠1=50°，∠∠ABC=180°-∠C-∠1=40°，∠AB∠DE，∠∠CDE=∠CBA=40°，∠∠CDF=60°∠∠2=∠CDF-∠CDE=20°．故选：C【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，熟知两个定理并理解题意得到已知条件是解题的关键．【变式4-2】（2022·福建·莆田市城厢区南门学校七年级阶段练习）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______．【答案】①②③④【分析】①由题意得∠G=∠MPN=∠MPG=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；②由题意得∠EFG=30°，利用邻补角即可求出∠EFN的度数；③过点F作FH⊥AB，可得FH∥CD，从而得到∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFN=105°，再利用平行线的性质即可求出∠BEF；④利用角的计算可求出∠AEG=45°，从而可判断．【详解】解：①∵∠G=∠MPN=∠MPG=90°，∴GE∥MP，故①正确；②∵∠EFG=30°，∴∠EFN=180°−30°=150°，故②正确；③过点F作EH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠HFN=∠MNP=45°，∴∠EFN=150°−45°=105°，∵FH∥AB，∴∠BEF=180°−105°=75°；故③正确；④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，∴∠AEG=180°−60°−75°=45°，∴∠AEG=∠PMN=45°，故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．【变式4-3】（2022·山东淄博·期末）如图所示，将一直角三角板放在AB，CD两条平行线之间：(1)图甲中，容易求得∠1+∠2=90°，请直接写出图乙中∠1，∠2的数量关系；(2)请问图丙中∠1，∠2的数量关系是什么？并加以说明；(3)请直接写出图丁中∠1，∠2的数量关系．【答案】(1)∠1＋∠2＝270°(2)∠2－∠1＝90°；见解析(3)∠1＝∠2＋90°【分析】（1）过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD．根据两直线平行，同旁内角互补，即可得∠1，∠2的关系．（2）过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD．根据两直线平行，内错角相等，平角互补，即可得∠1，∠2的关系．（3）过点O作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD，据两直线平行，内错角相等，即可得∠1，∠2的关系．（1）如图，过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD∠∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°又∠∠3+∠4=90°∠∠1+∠3+∠2+∠4=180°+180°∠∠1+∠2=360°−90°=270°∠∠1+∠2=270°．（2）如图，过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD∠∠1=∠3，∠2+∠4=180°又∠∠3+∠4=90°∠∠1+180°−∠2=90°∠∠2−∠1=90°．（3）如图，过点O作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD∠∠MOC=∠2∠∠1=90°+∠MOC∠∠1=90°+∠2．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补；平角互补．【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】【例5】（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）如图①，AB∥CD，M为平面内一点，若BM∠MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．(1)如图②，AB∥CD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．又∠AB∥CD，∠MF∥CD，∠∠DCM=∠FMC，∠∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；（2）解：当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；过M作MF∥AB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，又∠AB∥CD，∠MF∥CD，∠∠DCM=∠FMC，∠∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM；当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM．过M作MF∥AB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，又∠AB∥CD，∠MF∥CD，∠∠DCM=∠FMC，∠∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，关键是构建平行线，利用平行线的性质进行解答．解题时注意分类思想的运用．【变式5-1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．(1)如图1，求证：MN∥PQ；(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB 的度数．（直接写出答案）【答案】(1)见解析(2)∠CFB−∠BEG=90°，证明见解析(3)∠CFB=130°【分析】（1）过C作CE∥MN，根据平行线的判定和性质即可得到结论；（2）过B作BR∥AG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代换即可得到结论；（3）过E作ES∥MN，根据平行线的性质得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根据角平分线的定义得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根据四边形的内角和即可得到结论．（1）解：如图，过C作CE∥MN，∠∠1=∠MAC，∠∠2=∠ACB-∠1，∠∠2=∠ACB-∠MAC，∠∠ACB-∠MAC=∠CBP，∠∠2=∠CBP，∠CE∥PQ，∠MN∥PQ；（2）如图，过B作BR∥AG，∠AG∥CH，∠BR∥HF，∠∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，∠∠EBF=90°，∠∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，∠∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），∠∠CFB-∠BEG=90°；（3）如图，过E作ES∥MN，∠MN∥PQ，∠ES∥PQ，∠∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，∠BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，∠∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，∠∠CAE=∠AES，∠∠EBD=90°，∠∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，∠∠QBE=∠EBC，∠∠EBC=∠BES，(360°−∠ACB)，∠∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=12∠∠ACB=80°，∠∠AEB=140°，∠∠BEG=40°，∠∠CFB-∠BEG=90°，∠∠CFB=130°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，余角的性质，四边形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求证：AD∥NG；(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°(3)∠A=105°【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根据平行线的性质得到∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．（2）过B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根据平行线的判定得到BP∥CM，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．（1）证明：∠∠1=∠2，∠1=∠GFC，∠∠2=∠CFG，∠CM∥DE，∠∠D=∠ACM，∠∠D=∠CMG，∠∠CMG=∠ACM，∠AD∥NG；（2）解：∠NBG−∠ANB+∠1=180°；理由如下：过B作BP∥AN交NG于P，∠∠ANB=∠NBP，∠AD∥NG，∠∠D=∠DHG，∠∠A+∠DHG=180°，∠∠A+∠D=180°，∠AN∥DH，又∠CM∠DH，∠BP∥CM，∠∠PBG+∠1=180°，∠∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB，∠∠NBG−∠ANB+∠1=180°；（3）解：∠∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，∠∠PBG=80°，∠∠NBG=130°，∠∠ANB=∠NBP=50°，∠∠ANB：∠BNG=2：1，∠∠BNP=25°，∠∠ANG=75°，∠∠A=105°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式5-3】（2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．(1)若点F是线段AE上一点，且BF∠AE，求∠P的度数；(2)若点F 是直线AE 上一动点(点F 与点A 不重合)，请写出∠P 与∠AFB 之间的数量关系并证明． 【答案】(1)45°(2)当F 点在A 点上方时，∠BPE ＝12∠AFB ，当F 点在A 点下方时，∠BPE ＝90°﹣12∠AFB【分析】（1）过点P 作PQ ∥AB ，过点F 作FH ∥AB ，由平行线的性质得∠ABP +∠CEP ＝∠BPE ，∠ABF +∠CEF ＝∠BFE ，再由垂直定义和角平分线定义求得结果；（2）分三种情况：点F 在EA 的延长线上时，点F 在线段AE 上时，点F 在AE 的延长线上时，分别进行探究便可．（1）解：过点P 作PQ ∥AB ，过点F 作FH ∥AB ，∠AB ∥CD ，∠AB ∥CD ∥PQ ∥FH ，∠∠ABP ＝∠BPQ ，∠CEP ＝∠EPQ ，∠ABF ＝∠BFH ，∠CEF ＝∠EFH ，∠∠ABP +∠CEP ＝∠BPQ +∠EPQ ＝∠BPE ，∠ABF +∠CEF ＝∠BFH +∠EFH ＝∠BFE ，∠BF ∠AE ，∠∠ABF +∠CEF ＝∠BFE ＝90°，∠BP 平分∠ABF ，EP 平分∠AEC ，∠∠ABP +∠CEP ＝12（∠ABF +∠CEF ）＝45°， ∠∠BPE ＝45°；（2）①当点F 在EA 的延长线上时，∠BPE ＝12∠AFB ，理由如下：如备用图1，过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，过点P 作PQ ∥AB ，过点F 作FH ∥AB ，∠AB ∥CD ，∠AB ∥CD ∥PQ ∥FH ，∠∠ABP ＝∠BPQ ，∠CEP ＝∠EPQ ，180°﹣∠ABF ＝∠BFH ，∠AEC ＝∠EFH ，∠∠CEP +∠ABP ＝∠EPQ +∠BPQ ＝∠BPE ，∠BFH ﹣∠EFH ＝180°﹣∠ABF ﹣∠AEC ＝∠AFB ， ∠BP 平分∠ABF ，EP 平分∠AEC ，∠∠CEP +∠ABP ＝12（∠AEC +∠ABF ）＝12（180°﹣∠AFB ）， ∠∠BPE ＝90°﹣12∠AFB ；综上，当E 点在A 点上方时，∠BPE ＝12∠AFB ，当E 点在A 点下方时，∠BPE ＝90°﹣12∠AFB ． 【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，以及角平分线的性质，在相交线问题中通常作平行线利用平行线的性质解答，将角度转化由此求出答案．解题中运用分类思想解答问题．【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】【例6】（2022·湖南·株洲二中七年级期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射后的光线为n ，则入射光线m 、反射光线n 与平面镜a 所夹的锐角∠1＝∠2．(1)如图2，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被b 反射出的光线n 与光线m 平行，且∠1＝50°，则∠2＝ °，∠3＝ °．(2)请你猜想：当射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a 、b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行时，两平面镜a 、b 间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不是定值，请说明理由．(3)如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系，并说明理由．【答案】(1)100；90；(2)90°(3)2α+β=180°【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠4=50°，再利用平角的定义得∠5=80°，然后利用平行线的性质计算出∠2=100°，则∠6=40°，再利用三角形内角和定理计算∠3；（2）当∠3=90°时，根据三角形内角和定理得∠4+∠6=90°，则2∠4+2∠6=180°，利用平角的定义得到∠2+∠5=180°，然后根据平行线的判定得到m∥n；（3）由（1）可得，∠5=180°-2∠2，∠6=180°-2∠3，再根据∠2+∠3=180°-∠α，即可得出∠β=180°-∠5-∠6=2（∠2+∠3）-180°=2（180°-∠α）-180°=180°-2∠α．（1）解：如图：∠∠1=∠4=50°，∠∠5=180°-2×50°=80°，∠m∥n∠∠2+∠5=180°，∠∠2=100°，（180°-∠2）=40°，∠∠6=12∠∠3=180°-∠4-∠6=90°；故答案为：100，90；（2）当∠3=90°时，m∥n理由如下：∠∠3=90°，∠∠4+∠6=90°，∠2∠4+2∠6=180°，∠∠2+∠5=180°，∠m∥n；（3）解：如图3，由（1）可得，∠5=180°-2∠2，∠6=180°-2∠3，∠∠2+∠3=180°-∠α，∠∠β=180°-∠5-∠6=2（∠2+∠3）-180°=2（180°-∠α）-180°=180°-2∠α，∠α与β的数量关系为：2α+β=180°，故答案为：2α+β=180°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【变式6-1】（2022·河北保定·七年级阶段练习）如图，直线AB∠CD，点M，N分别在直线AB,CD 上，H为直线CD下方一点．(1)如图1，MH和NH相交于点H，求证：∠MHN=∠AMH−∠CNH．（温馨提示：可过点H 作AB的平行线）(2)延长HN至点G，∠BMH的平分线ME和∠GND的平分线NE相交于点E，HM与CD相交于点F．①如图2，若∠BME=50°,∠END=30°，求∠MHN的度数；②如图2，当点F在点N左侧时，若∠BME的度数为x°，∠END的度数为y°，且x+y的值是一个定值，请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出∠MHN的度数；若变化，请说明理由．③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出．．．．∠MHN的度数；若变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①20°；②不变，180°−2(x°+y°)；③不变，2(x°+y°)−180°【分析】（1）过点H作HQ∥AB．可得HQ∥CD，从而得到∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ，即可求证；（2）①根据∠BME=50°,∠END=30°，可得∠BMH=100°，∠GND=60°，从而得到∠AMH=180°−∠BMH=80°，∠CNH=60°．再由∠MHN=∠AMH−∠CNH，即可求解；②根据题意可得∠AMH=180°−2x°，∠CNH=2y°，再由∠MHN=∠AMH−∠CNH，即可求解；③过点H作OH∠AB，根据平行线的性质，可证得∠MHN=∠OHM−∠OHN=∠BMH−∠DNH．从而得到∠MHN=2x°+2y°−180°=2(x°+y°)−180°，即可求解．（1）证明：如图，过点H作HQ∥AB．∠HQ∥AB且AB∥CD，∠HQ∥CD，∠∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ，∠∠MHN=∠MHQ−∠NHQ=∠AMH−∠CNH；（2）解：①ME平分∠BMH,∠BME=50°，∠∠BMH=100°，∠NE平分∠DNG，∠DNE=30°，∠∠GND=60°，∠∠AMH=180°−∠BMH=80°，∠CNH=60°．由（1）可知：∠MHN=∠AMH−∠CNH=80°−60°=20°．∠∠MHN=20°；②∠ME平分∠BMH，∠BME=x°，∠∠BMH=2x°，∠NE平分∠DNG，∠DNE=y°，∠∠GND=2y°，∠∠AMH=180°−2x°，∠CNH=2y°，∠∠MHN=180°−2x°−2y°=180°−2(x°+y°)．∠x+y为一个定值，∠∠MHN不会随x的变化而发生改变，度数为180°−2(x°+y°)；③不变，∠MHN的度数为2(x°+y°)−180°．理由如下：如图，过点H作OH∥AB，∠∠BMH=∠OHM，∠AB∥CD，∠OH∥CD，∠∠DNH=∠OHN，∠∠MHN=∠OHM−∠OHN=∠BMH−∠DNH．∠ME平分∠BMH,∠BME=x°，∠∠BMH=2x°∠NE平分∠DNG，∠DNE=y°，∠∠GND=2y°，∠∠DNH=180°−2y°，∠∠MHN=2x°−(180°−2y°)，∠∠MHN=2x°+2y°−180°=2(x°+y°)−180°．∠x+y为一个定值，∠∠MHN不会随x的变化而改变．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质和判定，利用类比思想解答是解题的关键．【变式6-2】（2022·福建龙岩·七年级期末）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM∠BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．(1)求证：AE∠ED；(2)求证：DE平分∠ADC；(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．【答案】(1)见解析（1）证明：如图1，过点E作EG∥BM，则∠1=∠3，∠BM∥CN，∠EG∥CN，∠∠4=∠2，∠∠3+∠4=∠1+∠2=90°，∠∠AED=90°，∠AE∠ED．（2）证明：∠ AE平分∠BAD，∠∠BAD=2∠1，∠BM∥CN，∠∠BAD+∠CDA=180°，∠2∠1+∠CDA，（3）∠F为定值．证明：如图2，过点F作FH∥BM，设∠AFH=α，∠DFH=β，∠BM∥CN，∠FH∥CN，∠∠α+∠β=∠6+∠7，∠∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠∠α+∠β=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)=180°−45°=135°，∠∠F=∠α+∠β=135°，∠∠F为定值，∠F=135°，故答案为：∠F=135°．【点睛】本题主要考查垂线、角平分线的性质，解题的关键是掌握垂垂线的概念和角平分线与∠CFM互补(1)如图1，试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由．(2)如图2，∠BEF与∠EFD的平分线交于点P，EP的延长线与CD交于点G，H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH．(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求证：∠HPQ的大小是定值．【答案】(1)平行；理由见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行，即可判断直线AB与直线CD平行；（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF=90°，进而证明PF∥GH；（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数．（1）解：结论：AB∥CD；理由如下：∠∠MEB与∠CFM互补，∠MEB=∠AEF，∠∠AEF与∠CFM互补，∠AB∥CD．（2）∠EG平分∠BEF，∠∠PEF=1∠BEF，2又∠FP平分∠EFD，∠∠EFP=1∠EFD，2由（1）知AB∥CD，∠∠BEF+∠EFD=180°，∠∠PEF+∠EFP=90°，∠∠EPF=90°，【例7】（2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习）如图，已知AB//CD，若按图中规律继续划分下去，则∠1+∠2+⋯+∠n等于（）A．n•1800B．2n•1800C．(n−1)•1800D．(n−1)2•1800【答案】C【分析】根据第1个图形∠1+∠2=180°，第2个图形∠1+∠2+∠3=2×180°，第，3个图形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°…，进而得出答案．【详解】（1）∠AB∠CD，∠∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠EF，CD∠EF，∠∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∠∠1+∠2+∠3=360°；（3）过点E、F作EM、FN平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠EM∠FN∠CD，∠∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°；∠∠1+∠2+3+∠4=540°；（4）中，根据上述规律，显然作（n-1）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）．故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出图中变化规律是解题关键．【变式7-1】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）如图，已知直线AE，BF被直线AB所截，且AE//BF，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA；AC2，BC2分别平分∠BAC1和∠ABC1；AC3，BC3分别平分∠BAC2，∠ABC2…依次规律，得点C n，则∠C n的度数为（）A．90−902n B．180−902n−1C．902n−1D．1802nAB∠CD．试求：（1）图（1）中∠A＋∠C的度数，并说明理由．（2）图（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度数，并说明理由．（3）图（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度数，并简要说明理由．（4）按上述规律，∠A＋……＋∠C（共有n个角相加）的和为【答案】（1）180°，理由见解析；（2）360°，理由见解析；（3）540°，理由见解析；（4）180°（n-1）【分析】（1）据两直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠C=180°；（2）沿P作一条平行A B、CD的平行线PM，由两直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠APM=180°，∠MPC+∠C=180°，故∠A+∠APC+∠C=360°；（3）根据第二题，同理可得∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°；（4）由以上规律，有两个角时，和为180°；有三个角时和为360°；有四个角时和为540°…故可得有n个角时，和为180°（n-1）．【详解】解：（1）∠AB∠CD，∠∠A+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点P作一条直线PM平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠PM，∠CD∠PM∠AB，∠∠A+∠APM=180°，∠MPC+∠C=180°，∠∠A+∠APC+∠C=360°；（3）分别过点E、F作EM、FN平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠EM∠FN∠CD，∠∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°；∠∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°；（4）由以上规律，有两个角时，和为180°；有三个角时和为360°；有四个角时和为540°…故可得有n个角时，和为180°（n-1）．【点睛】本题主要考查两直线平行，同旁内角互补的性质，并考查学生通过计算总结规律的能力，是一道好题．【变式7-3】（2022·浙江·七年级阶段练习）阅读并探究下列问题.（1）如图①，将长方形纸片剪两刀，其中AB∥CD，则∠2与∠1、∠3有何关系？请进行证明.（2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中AB∥CD，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系为.（3）如图③，将长方形纸片剪2016刀，其中AB∥CD，则共剪出个角.若将剪出的角（∠A、∠C除外）分别用∠E1、∠E2、∠E3…表示，则被剪出的这些角的关系为.（4）如图④，直线AB∥CD，∠EF A=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°|2x+y−102|+√x+y−72=0由上述结论求∠GHM的度数.【答案】（1）∠1+∠3=∠2，证明见解析；（2）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；（3）2017，∠A+∠C+∠E2+∠E4+…+∠E2014=∠E1+∠E3+…+∠E2015．（4）48°．【分析】（1）过E点作EF∠AB，则EF∠CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠AEF=∠1，∠CEF=∠3，即有∠2=∠1+∠3；（2）分别过E、G、F分别作EM∠AB，GN∠AB，FP∠AB，根据两直线平行，内错角相等，同（1）一样易得到∠2+∠4=∠1+∠3+∠5；（3）综合（1）（2）易得开口向左的角的度数的和等于开口向右的角的度数的和．（4）利用（3）的结论得到∠BFG+∠GHM+∠MND=∠FGH+∠HMN，易计算出∠GHM．。
(完整)七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)
1、如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．2、如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=37°，求∠D 的度数．3、如图，AB ，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A ，C 两点，点E 是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A ，∠AEC ，∠C 之间具有怎样的关系并说明理由。
(提示：先画出示意图，再说明理由)提示：这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论。
本题可分为AB ，CD 之间或之外。
结论：①∠AEC ＝∠A ＋∠C ②∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°③∠AEC ＝∠C －∠A④∠AEC ＝∠A －∠C ⑤∠AEC ＝∠A －∠C ⑥∠AEC ＝∠C －∠A ．4、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）A 、80B 、50C 、30D 、205、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）A 、43°B 、47°C 、30°D 、60°6、如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN ．（1）如图1，连结AB ，则∠CAB +∠ABD = ；（2）如图2，点错误!未找到引用源。
是直线CM 、DN 内部的一个点，连结错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
．求证：错误!未找到引用源。
=360°；（3）如图3，点错误!未找到引用源。
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是直线CM 、DN 内部的一个点，连结错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
．试求错误!未找到引用源。
的度数；（4）若按以上规律，猜想并直接写出错误!未找到引用源。
…错误!未找到引用源。
平行线的判定例题与讲解
3 平行线的判定1．平行线的判定公理(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．如图，推理符号表示为：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.谈重点同位角相等，两直线平行①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．(2)平行公理的推论：①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c；②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．答案：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两直线平行．2．平行线的判定定理(1)判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单记为：同旁内角互补，两直线平行．符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.谈重点同旁内角互补，两直线平行①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．(2)判定定理2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单记为：内错角相等，两直线平行．符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．答案：内错角相等【例2－2】如图，下列说法中，正确的是()．A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BCB．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CDC．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CDD ．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD错解：A或B或D错解分析：判定直线平行所需要的内错角或同旁内角找不准．条件不能推出结论.正解：C正解思路：∠A与∠D是直线AB和CD被直线AD所截得到的同旁内角．因为∠A＋∠D ＝180°，所以AB∥CD.3．平行线的判断方法平行线的判定方法主要有以下六种：(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．析规律如何选择判定两直线平行的方法①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．【例3】如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法．若从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8中的任意一个条件；若从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3＝∠6，∠4＝∠5中的任意一个；若从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°中的一个条件；从其他方面考虑，还可以填∠1＝∠8，∠2＝∠7，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠4＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠6＝180°中的任意一个条件．答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°…4．平行线判定的应用(1)平行线的生活应用数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．(2)平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．释疑点判定平行的关键判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．【例4－1】如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．解析：要判断AB边与CD边平行，则需满足同旁内角互补的条件．∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°.∴AB∥CD.∴这个零件合格．答案：合格【例4－2】已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．分析：根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到∠A＋∠B＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC.解：AD与BC的位置关系是平行．理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行．。
专题 与平行线有关的角度计算(四大题型)(解析版 )
（人教版）七年级下册数学《第五章相交线与平行线》专题与平行线有关的角度计算1．（2023秋•惠安县期末）如图，直线l1和l2被l3所截，若l1∥l2，∠1+∠2＝232°，则∠3的度数为（）A．64°B．66°C．84°D．86°【分析】根据对顶角相等结合已知可求出∠1的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠4的度数，再根据对顶角相等即可得出∠3的度数．【解答】解：如图，∵∠1+∠2＝232°，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝116°，∵l1∥l2，∴∠1+∠4＝180°，∴∠4＝64°，∵∠3＝∠4，∴∠3＝64°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质及对顶角的性质是解题的关键．2．如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是（）A．154°B．144°C．134°D．124°【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵DA⊥AB，CD⊥DA，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝56°，∴∠C＝180°﹣∠B＝124°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．3．（2023秋•遂平县期末）如图．直线a∥b，直线L与a、b分别交于点A、B，过点A作AC⊥b于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．130°B．50°C．40°D．25°【分析】直接利用垂直的定义得出∠ACB＝90°，再利用平行线的性质得出答案．【解答】解：∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∵∠1＝50°，∴∠ABC＝40°，∵a∥b，∴∠ABC＝∠2＝40°．故选：C．【点评】此题主要考查了垂线以及平行线的性质，正确得出∠ABC的度数是解题关键．4．如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝44°，则∠2的度数为（）A．30°B．44°C．46°D．56°【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可以得到∠CBD的度数，再根据直线l1∥l2，可以得到∠CBD ＝∠2，从而可以得到∠2的度数，本题得以解决．【解答】解：∵CD⊥AB于点D，∠1＝44°，∴∠CBD＝46°，∵直线l1∥l2，∴∠CBD＝∠2，∴∠2＝46°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．如图，一个由4条线段a，b，c，d组成的“鱼”形图案，若∠1＝45°，∠2＝45°，∠3＝140°，则∠4的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【分析】先由∠1、∠2的关系得到b与c的关系，再利用平行线的性质求出∠4．【解答】解：∵∠1＝45°，∠2＝45°，∴∠1＝∠2．∴b∥c．∴∠3+∠4＝180°．∵∠3＝140°，∴∠4＝180°﹣140°＝40°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．6．（2023秋•泰兴市期末）如图，AB∥CD，直线EF和AB、CD分别交于点G、H，若∠EGB＝（2x+30）°，∠CHF＝（80﹣3x）°，则x的值为（）A．10B．20C．100D．110【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质，可以得到∠EGB和∠CHF的关系，然后即可求得x的值．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EGB＝∠EHD，∵∠EHD＝∠CHF，∴∠EGB＝∠CHF，∵∠EGB＝（2x+30）°，∠CHF＝（80﹣3x）°，∴2x+30＝80﹣3x，解得x＝10，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质、对顶角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．如图，DE∥BC，点A在直线DE上，∠DAB＝78°，∠ACF＝135°，∠BAC＝度．【分析】由DE∥BC可知∠DAC＝∠ACF＝135°，再利用角的差求∠BAC即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DAC＝∠ACF＝135°，∵∠DAB＝78°，∴∠BAC＝∠DAC﹣∠DAB＝57°．故答案为：57．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．8．（2023秋•东坡区期末）如图，AB∥CD，∠ACD＝155°，∠AFE＝26°，则∠CEF的度数为．【分析】先利用平行线的性质可得∠A＝25°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝155°，∴∠A＝180°﹣∠ACD＝25°，∵∠CEF是△AEF的一个外角，∠AFE＝26°，∴∠CEF＝∠A+∠AFE＝51°，故答案为：51°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．如图，直线AB∥EF，直线AG，BD分别交直线EF于点C，D．若∠A＝2∠B，∠ECG＝108°，则∠BDF的度数为°．【分析】由∠ECG＝108°，AB∥EF，可得∠A＝72°，而∠A＝2∠B，知∠B=12∠A＝36°；故∠BDF＝∠B＝36°．【解答】解：∵∠ECG＝108°，∴∠ACD＝108°，∵AB∥EF，∴∠A＝180°﹣∠ACD＝72°，∵∠A＝2∠B，∴∠B=12∠A＝36°；∵AB∥EF，∴∠BDF＝∠B＝36°；故答案为：36．【点评】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解题的关键．10．（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为．【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故答案为：20°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．11．（2023秋•商水县期末）如图，已知DE∥CB，∠B＝∠D．（1）判断AB、CD是否平行，并说明理由．（2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠D＝∠BCF，从而可求得∠BCF＝∠B，即可判定AB∥CD；（2）由平行线的性质可得∠B+∠BED＝180°，∠F＝∠BEF，结合条件即可求解．【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵DE∥CB，∴∠D＝∠BCF，∵∠B＝∠D，∴∠BCF＝∠B，∴AB∥CD；（2）∵DE∥CB，∴∠B+∠BED＝180°，∴∠B+∠BEF+∠DEF＝180°，∵AB∥CD，∴∠F＝∠BEF，∴∠B+∠F+∠DEF＝180°，∵∠B+∠F＝102°，∴∠DEF＝78°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．12．（2023秋•长沙期末）如图，直线EF与CD交于点O，OA平分∠COE交直线l于点A，OB平分∠DOE交直线l于点B，且∠1+∠2＝90°．（1）求∠AOB的度数；（2）求证：AB∥CD；（3）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数．【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠A=12∠A，∠A=12∠A，然后利用平角定义，以及角的和差关系进行计算，即可解答；（2）利用（1）的结论可得：∠AOB＝90°，从而利用平角定义可得：∠AOC+∠2＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠AOC＝∠1，从而利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答；（3）利用角平分线的定义可得∠2=12∠DOE，从而可得∠DOE：∠3＝4：5，然后利用平角定义可得∠DOE+∠3＝180°，从而可得∠3＝100°，进而可得∠COE＝∠3＝100°，最后利用角平分线的定义可得∠AOE ＝50°，从而利用平角定义进行计算，即可解答．【解答】（1）解：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，∴∠A=12∠A，∠A=12∠A，∴∠AOE+∠BOE=12∠COE+12∠DOE=12（∠COE+∠DOE）=12×180°＝90°，∴∠AOB＝90°，∴∠AOB的度数为90°；（2）证明：由（1）得：∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠2＝180°﹣∠AOB＝180°﹣90°＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠AOC＝∠1，∴AB∥CD；（3）解：∵OB平分∠DOE，∴∠2=12∠DOE，∵∠2：∠3＝2：5，∴∠DOE：∠3＝4：5，∵∠DOE+∠3＝180°，∴∠3=180°×59=100°，∴∠COE＝∠3＝100°，∵OA平分∠COE，∠A=12∠A=50°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°，∴∠AOF的度数为130°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．1．（2023秋•南关区校级期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝131°，则∠DBC的度数为．【分析】由平行线是的性质推出∠GED＝∠ADE＝131°，∠DBC+∠GED＝180°，即可求出∠DBC的度数．【解答】解：∵AD∥EG，∴∠GED＝∠ADE＝131°，∵EG∥BC，∴∠DBC+∠GED＝180°，∴∠DBC＝49°．故答案为：49°．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠GED＝∠ADE，∠DBC+∠GED＝180°．2．（2023秋•威宁县期末）一把直尺按如图所示摆放，AB∥CD，且∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．70°B．60°C．30°D．80°【分析】根据题意可得：EF∥HG，从而利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝70°，然后再利用平行线的性质可得∠3＝∠2＝70°，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：EF∥HG，∴∠1＝∠3＝70°，∵AB∥CD，∴∠3＝∠2＝70°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3．（2023秋•海安市期末）将一直尺和一块含30°角的三角尺按如图放置，若∠CDE＝40°，则∠BF A 的度数为（）A．40°B．50°C．130°D．140°【分析】先求∠CFA的度数，再求∠BFA的度数．【解答】解：∵DE∥AF，∴∠CDE＝∠CFA，∵∠CDE＝40°，∴∠CFA＝40°，∴∠BFA＝180°﹣∠CFA＝140°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是熟练运用平行线的性质．4．（2023秋•铜官区期末）如图，将一块含有45°角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果∠2＝65°，那么∠1的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】根据题意∠2＝65°即可算出∠3度数，再利用平行性质即可算出本题答案．【解答】解：如下图所示：∵∠2＝65°，一块含有45°角的三角板，∴∠3＝90°﹣65°＝25°，∵两个顶点放在直尺的一组对边上，∴∠3＝∠4＝25°，∴∠1＝45°﹣25°＝20°，故选：B．【点评】本题考查平行线性质，关键是余角定义，角度计算．5．（2023秋•锦江区校级期末）一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．45°B．35°C．30°D．25°【分析】先根据题意得出∠1+∠BAC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠1＝35°，∴∠1+∠BAC＝35°+30°＝65°，∵a∥b，∴∠2+∠ACB+∠1+∠BAC＝180°，即∠2+90°+35°+30°＝180°，∴∠2＝25°．故选：D．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．6．如图，将一副三角尺按如图所示的位置在同一平面内摆放，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠B＝30°，∠ECD＝45°．若AB∥CE，CB与DE相交于点F，则∠BCD的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】根据平行线的性质得出∠ECA＝120°，进而利用角的关系解答即可．【解答】解：∵AB∥CE，∴∠ECA＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，∵∠ECD＝45°，∴∠DCA＝120°﹣45°＝75°，∵∠BCA＝90°，∴∠BCD＝90°﹣75°＝15°，故选：A．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答．7．（2023秋•新都区期末）如图，将含有30°的直角三角尺CAB（∠C＝60°）直角顶点A放到矩形DEFH 的边DE上，若∠EAB＝15°，则∠FQG的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．45°【分析】先根据∠EAB＝15°，∠CAB＝90°得出∠CAE的度数，再由HF∥DE得出∠CMF的度数，由三角形内角和定理得出∠CQM的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵∠EAB＝15°，∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣15°＝75°，∵HF∥DE，∴∠CMF＝∠CAE＝75°，∵∠C＝60°，∴∠CQM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴∠FQG＝∠CQM＝45°．故选：D．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．8．将一副三角尺如图放置，其中∠D＝∠BAC＝90°，∠F＝30°，∠B＝45°，则∠BCF的度数为（）A．105°B．120°C．150°D．165°【分析】由∠D＝∠BAC，利用“同位角相等，两直线平行”，可得出AC∥DF，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠ACE的度数，结合∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE，可求出∠BCE的度数，再利用邻补角互补，即可求出∠BCF的度数．【解答】解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∴AC∥DF，∴∠ACE＝∠F＝30°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣30°＝15°．又∵∠BCE+∠BCF＝180°，∴∠BCF﹣180°﹣∠BCE＝180°﹣15°＝165°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及邻补角，根据各角之间的关系，求出∠BCE的度数是解题的关键．9．一副三角形板如图放置，DE∥BC，∠C＝∠DBE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，则∠ABD的度数为（）A．5°B．15°C．20°D．25°【分析】根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到∠DC＝45°，∠AB＝60据此可得∠ABD的度数．【解答】解：Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠ABC＝60，∵BC∥DE，∠EDB＝∠E＝45°，∴∠DBC＝45°，∴∠ABD＝60°﹣45°＝15°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．10．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE．则∠AFD的度数是（）A．25°B．20°C．15°D．10°【分析】利用三角板的度数可得∠A＝30°，∠D＝45°，由平行线的性质定理可得∠1＝∠D＝45°，利用三角形外角的性质可得结果．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵AB∥DE，∴∠1＝∠D＝45°，∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出∠A，∠D的度数是解本题的关键．11．（2023秋•莲湖区期末）如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠2＝55°，求∠1的度数．【分析】先根据两直线平行的性质，得到∠3＝∠2，再根据平角的定义，即可得出∠1的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3．∵∠2＝55°，∴∠3＝55°．∵∠1+60°+∠3＝180°，∴∠1＝65°．【点评】本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．12．将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，t＝．（2）当t＝18时，求∠BCD的度数？（3）在旋转过程中，当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时（不包含重合的情形），求此时t的值为．（直接写出答案即可）【分析】（1）当AC为∠DCE的角平分线时，可以求出旋转角，再根据旋转的速度即可求解．（2）当t＝18时，旋转角为90°，可求出∠ACD，即可求出∠BCD．（3）数形结合，分情况进行讨论即可．【解答】解：（1）当AC为∠DCE的角平分线时，旋转角为15°，∴t=155=3，故答案为3．（2）当t＝18时，旋转角为90°，如图：∵∠DCE＝30°，∠ACB＝45°，∴∠ACD＝60°，∠BCD＝60°﹣45°＝15°．（3）当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时，有3种情况：①当AB∥DE时，如图：此时，BC与CD重合，t＝（30+40）÷5＝15，②当AB∥CE时，如图：∵AB∥CE，∴∠BCE＝∠B＝90°，∴∠ACE＝90°+45°＝135°，∴t＝135÷5＝27，③当AB∥CD时，如图：∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠D＝90°，∴∠ACE＝30°+90°+45°＝165°，∴t＝165÷3＝33．综上所述，t＝15或27或33．【点评】本题考查旋转的性质，角平分线的性质，平行线的性质，关键在于数形结合，分类讨论．1．如图，在弯形管道ABCD中，若AB∥CD，拐角∠ABC＝122°，则∠BCD的大小为（）A．58°B．68°C．78°D．122°【分析】根据平行线的性质得出∠ABC+∠BCD＝180°，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝122°，∴∠BCD＝180°﹣122°＝58°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，能熟练地运用平行线的性质定理进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．2．如图，万岁山大宋武侠城的两条小路AB∥CD，则∠BAE+∠AEC+∠ECD＝（）A．180°B．270°C．360°D．540°【分析】作辅助线EF∥AB，然后根据平行线的性质，可以得到∠BAE+∠AEC+∠ECD的度数．【解答】解：过点E作EF∥AB，如图：∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BAE+∠AEF＝180°，∠FEC+∠ECD＝180°，∵∠AEF+∠FEC＝∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质，明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2023秋•海门区期末）如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，入射光线OM经过镜子两次反射后的出射光线NO平行于AB，图中∠1＝∠2，∠3＝∠4．当OM∥BC时，∠α的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】由平行线的性质推出∠4＝∠α，∠1＝∠α，又∠3＝∠4，∠2＝∠1，得到∠1＝∠2＝∠α，判定△MNB是等边三角形，得到∠α＝60°．【解答】解：∵ON∥AB，∴∠4＝∠α，∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠α，∵OM∥BN，∴∠1＝∠α，∵∠2＝∠1，∴∠2＝∠α，∴∠3＝∠2＝∠α，∴△MNB是等边三角形，∴∠α＝60°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3＝∠2＝∠α．4．（2023秋•即墨区期末）生活中的椅子一般依据人体工学原理设计，如图为生活中一把椅子的侧面图，从人体脊柱的形势而言，当靠背角度∠DEF＝115°时，能产生较为接近自然腰部的形状，此时最舒适．已知DE与地面平行，支撑杆BD与地面夹角∠ABD＝50°，则制作时用螺丝固定时支撑杆BD和AF需构成夹角∠ACB为（）A．70°B．65°C．60°D．50°【分析】先求出∠DEC的度数，再求出∠CAB的度数，最后求出∠ACB的度数．【解答】解：∵∠DEF＝115°，∴∠DEC＝180°﹣∠DEF＝65°，∵DE∥AB，∴∠CAB＝∠DEC＝65°，∵∠ABD＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABD﹣∠CAB＝65°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质．5．当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若∠1＝110°，则∠2的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°【分析】根据题意可得：AB∥CE，然后利用平行线的性质可得∠ACE＝70°，再利用两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠ACE＝70°，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：AB∥CE，∴∠1+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝180°﹣∠1＝70°，∵AC∥BE，∴∠2＝∠ACE＝70°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．6．（2023秋•鹿寨县期末）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，当CD平行于地面AE时，则∠ABC+∠BCD＝．【分析】过点B作BF∥AE，如图，由于CD∥AE，则BF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得∠BCD+∠CBF＝180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，所以∠ABF＝90°，于是有∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD ＝270°．【解答】解：过点B作BF∥AE，如图：∵CD∥AE，∴BF∥CD，∴∠BCD+∠CBF＝180°，∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°．故答案为：270°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．7．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为．【分析】过∠2顶点做直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解．【解答】解：过∠2顶点做直线l∥支撑平台，∴l∥支撑平台∥工作篮底部，∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°，∴∠4+∠5+∠3＝30°+180°＝210°，∵∠4+∠5＝∠2，∴∠2+∠3＝210°．故答案为：210°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝130°，AB∥DE，∠D＝70°，则∠ACD＝．【分析】过点C作CF∥AB，先证明CF∥DE，然后根据平行线的性质求出∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，最后利用角的和差关系求解即可．【解答】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°，又∠BAC＝130°，∠D＝70°，∴∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．9．乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是（）A．30°B．29°C．28°D．27°【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE．【解答】解：如图，延长DC交AE于F，∵AB∥CD，∠BAE＝92°，∴∠CFE＝92°，又∵∠DCE＝121°，∴∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE＝121°﹣92°＝29°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．10．（2023秋•鹰潭期末）生活现象如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．数学模型如图2，是杆秤的示意图，AC∥BD，经测量发现∠A＝104°，∠BOE＝76°，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由．【分析】由AC∥BD可得∠A+∠ABD＝180°，进而得出∠ABD＝76°，再根据内错角相等，两直线平行可得答案．【解答】解：OE∥BD，理由如下：∵AC∥BD，∴∠A+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝180°﹣104°＝76°，∴∠ABD＝∠BOE，∴OE∥BD．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握这些判定和性质解题的关键．11．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即AB∥CD．活动小组在探索∠APD与∠A，∠D的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使∠A＝∠D时，瞄准最准确．现测得∠A＝160°，∠APD＝40°，判断此时瞄准是否最准确，请说明理由．【分析】如图所示，过点P作PQ∥AB，利用平行线的性质得到∠APQ＝180°﹣∠A＝20°，∠D＝180°﹣∠DPQ，在求出∠DPQ的度数即可得到答案．【解答】解：此时瞄准最准确．如图所示，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD，∴∠APQ＝180°﹣∠A＝20°，∠D＝180°﹣∠DPQ，∵∠APD＝40°，∴∠DPQ＝∠APD﹣∠APQ＝20°∴∠D＝160°，此时瞄准最准确．【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．1．（2023秋•天元区期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFC＝125°，则∠1＝（）A．35°B．55°C．70°D．65°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠DEF+∠EFC＝180°，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算，即可求出∠1．【解答】解：∵长方形对边AD∥BC，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣125°＝55°，由翻折的性质得：∠DEF＝∠MEF＝55°，∴∠1＝180°﹣55°×2＝70°，故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．2．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝30°，则∠EFC′的度数为（）A．120°B．100°C．150°D．90°【分析】根据折叠的性质知∠BEF＝∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，根据平角定义可求出∠BED的度数，即得∠BEF的度数，再根据平行线的性质即可得解．【解答】解：Rt△ABE中，∠ABE＝30°，∴∠AEB＝60°，由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF=12∠BED，∵∠BED＝180°﹣∠AEB＝120°，∴∠BEF＝60°，∵BE∥C′F，∴∠BEF+∠EFC′＝180°，∴∠EFC′＝180°﹣∠BEF＝120°．故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，熟记折叠的性质及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．2．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠1＝115°，则图中∠2的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】由邻补角概念和翻折变换性质得出∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°，据此知∠CFB′＝50°，结合∠B＝∠B′＝90°知∠2＝90°﹣∠CFB′，从而得出答案．【解答】解：∵∠1＝115°，∴∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°，∴∠CFB′＝50°，又∵∠B＝∠B′＝90°，∴∠2＝90°﹣∠CFB′＝40°，故选：A．【点评】本题主要考查翻折变换的性质，解题的关键是掌握翻折变换的对应边、对应角相等的性质及直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质．3．（2022•南京模拟）如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝α，则∠2的度数为（）A．90°﹣αB．45°+αC．45°+2D．90°−2【分析】根据平行线的性质即可求解．【解答】解：如图，作过点B的射线AF'，∵AB∥CD，∴∠1+∠FBC+∠2＝180°，∠F'BC＝∠2∵纸条是对折，∴∠FBC＝∠F'BC＝∠2，∴2∠2+∠1＝180°，∵∠1＝α，∴∠2=12×（180°﹣α），∴∠2＝90°−12α，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，本题的解题关键找出是纸条对折后的角度关系．4．（2022秋•宛城区校级期末）如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠BGO＝度．【分析】设∠AOD'＝4x，则∠D'OG＝3x，由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x，根据平角的定义解出x，由矩形的性质进而可以得出∠BGO的度数．【解答】解：∵∠AOD'：∠D'OG＝4：3，设∠AOD'＝4x，则∠D'OG＝3x，由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x∵∠AOD'+∠D'OG+∠DOG＝180°，即10x＝180°，解得x＝18°，∵AD∥BC，∴∠BGO＝∠DOG＝3x＝54°，故答案为：54．【点评】本题考查了折叠的性质和平角的等于180°，解题关键是发现图中折叠前后重合的角相等．5．（2023秋•北林区校级期末）将长方形ABCD纸片沿AE折叠得到如图所示的图形，已知∠CED′＝68°，则∠EAB的度数是．【分析】由折叠可得∠DEA＝∠D'EA，再由已知的条件可求得∠DEA的度数，从长方形可得AB∥CD，从而可求∠EAB的度数．【解答】解：由折叠得：∠DEA＝∠D'EA，∵∠CED′＝68°，∴∠DED'＝180°﹣∠CED'＝112°，∴∠DEA=12∠DED'＝56°，∵四边形ABCD是长方形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEA＝56°．故答案为：56°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．6．（2023秋•萍乡期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为°．【分析】根据平行线的性质得到∠BDE＝∠B＝40°，根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ADC，根据平角的定义可得∠ADB+∠ADC＝180°，由此可以求出∠ADC的度数即可得到答案．【解答】解：∵DE∥AB，∠B＝40°，∴∠BDE＝40°，由折叠的性质得∠ADE＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∠ADB＝∠ADE﹣∠BDE＝∠ADC﹣40°，∴∠ADC﹣40°+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝110°，∴∠ADE＝∠ADC＝110°．故答案为：110．【点评】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．7．（2023秋•淮南期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠1＝76°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠B的度数为．【分析】由折叠的性质得∠FED＝∠1，∠A＝∠F，根据平角的定义求出∠FEC的度数，再根据平行线的性质求出∠F的度数，即可得出∠A的度数，从而求出∠B的度数．【解答】解：由折叠的性质得∠FED＝∠1，∠A＝∠F，∵∠1＝76°，∴∠FED＝76°，∴∠FEC＝180°﹣∠FED﹣∠1＝180°﹣76°﹣76°＝28°，∵EF∥AB，∴∠F＝∠FEC＝28°，∴∠A＝28°，∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣28°＝62°，故答案为：62°．【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．8．（2023秋•丹徒区期末）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠EFC ＝30°，则∠DAE等于．【分析】由长方形的性质得出∠D＝90°，AD∥BC，再由折叠的性质得出∠DAE＝∠FAE，∠AFE＝∠D ＝90°，结合已知∠EFC＝30°即可求出∠AFB的度数，从而求出∠DAE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，∴∠D＝90°，AD∥BC，由折叠得，∠DAE＝∠FAE，∠AFE＝∠D＝90°，∵∠EFC＝30°，∴∠AFB＝180°﹣∠AFE﹣∠EFC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，即60°＝2∠DAE，∴∠DAE＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查了平行线的性质，长方形的性质，折叠的性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．9．（2022•郑州模拟）如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C、D的对应点分别为C'、D'．若∠DEF ＝α，用含α的式子可以将∠C'FG表示为（）A．2αB．90°+αC．180°﹣αD．180°﹣2α【分析】由折叠的性质可得：∠DEG＝2α，C'F∥D'E，由AD∥BC可得∠D'GF＝∠DEG＝2α，从而有∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，即可得出结果．【解答】解：由长方形纸带ABCD及折叠性质可得：∠D'EF＝∠DEF＝α，C'F∥D'E，∴∠DEG＝2∠DEF＝2α，∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，∵AD∥BC，∴∠D'GF＝∠DEG＝2α，∴∠C'FG＝180°﹣2α．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记折叠的性质．10．（2023秋•泉州期末）如图，四边形ABCD是一条两边互相平行的纸带，将其沿着EG折叠，使得点B，C分别落在点H，I处，EH与DG相交于点F，若∠EGF＝56°，求∠EFD的度数．【分析】利用平行线的性质可得∠BEG＝∠EGD＝56°，再利用折叠的性质可得：∠BEF＝2∠BEG＝112°，然后利用平行线的性质可得∠BEF＝∠EFD＝112°，即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGD＝56°，由折叠得：∠BEF＝2∠BEG＝112°，∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠EFD＝112°，∴∠EFD的度数为112°．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．11．在图中，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3．（1）若在图1中，∠DEF＝20°，则图3中∠C2FE的度数是多少？（2）若∠DEF＝α，请用α表示图3中的∠C2FE的度数．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CFE＝160°，根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE＝∠DEF，然后求出∠BFC1，再根据翻折的性质可得∠CFE＝∠EFC1，∠C2FB+∠BFC1，即可得解；（2）同（1）的方法求解即可．【解答】解：（1）∵矩形对边AD∥BC，∴CF∥DE，∴∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣20°＝160°，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝20°，由翻折的性质得，∠CFE＝∠EFC1，∴∠BFC1＝160°﹣20°＝140°，由翻折的性质得，∠C2FB+∠BFC1，所以，∠C2FE＝140°﹣20°＝120°；（2）∵矩形对边AD∥BC，∴CF∥DE，∴∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣α，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝α，由翻折的性质得，∠CFE＝∠EFC1，∴∠BFC1＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，由翻折的性质得，∠C2FB+∠BFC1，所以，∠C2FE＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α．【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键．12．（2022秋•东阳市期末）如图，长方形纸片ABCD中，G、H分别是AB、CD边上的动点，连GH，将长方形纸片ABCD沿着GH翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．（1）若∠BGH＝110°，求∠AGE的度数．（2）若∠FHD＝20°，求∠CHG的度数．（3）已知∠BGH和∠CHG始终互补，若∠BGH＝α，请直接写出∠FHC的度数（含α的代数式）．【分析】（1）根据折叠得到∠BGH＝∠EGH＝110°，再根据平角的定义，利用∠AGE＝∠BGH+∠EGH ﹣180°计算可得；（2）根据折叠得到∠CHG＝∠FHG，再根据平角的定义计算即可；（3）根据互补得到∠BGH+∠CHG＝180°，从而求出∠CHG＝∠FHG＝180°﹣α，分情况继而可得结果．【解答】解：（1）由折叠可得：∠BGH＝∠EGH＝110°，∵∠BGH+∠AGH＝180°，∴∠AGE＝∠BGH+∠EGH﹣180°＝40°；（2）由折叠可得：∠CHG＝∠FHG，∴∠C=12(180°−∠Cp=80°；（3）情况一：∵∠BGH和∠CHG始终互补，∴∠BGH+∠CHG＝180°，∵∠BGH＝α，∴∠CHG＝180°﹣α，∴∠FHG＝180°﹣α，∴∠FHC＝∠FHG+∠CHG＝360°﹣2α．情况二：由第一种情况可知：∠1＝360°﹣2α，∴∠FHC＝360°﹣（360°﹣2α）＝2α．【点评】本题考查了折叠的性质，平角的定义，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等．。
平行线的性质知识题(含答案解析)
2019年4月16日初中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，AC∥BE，∠ABE=70°，则∠A的度数为（）A．70∘B．65∘C．50∘D．140∘【答案】A【解析】【分析】根据平行线的性质进行判断即可，两直线平行，内错角相等．【详解】解：∵AC∥BE，∴∠A=∠ABE=70°，故选：A．【点睛】本题主要考查了平行的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．2．如图在ΔABC中，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B=72°，∠AED=58°，则∠C=（）A．32°B．58°C．72°D．108°【答案】B【解析】【分析】首先根据∠1+∠EFD=180°和∠1+∠2=180°可以证明∠EFD=∠2，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，进而得到∠ADE=∠3，再结合条件∠3=∠B可得∠ADE=∠B，进而得到DE∥BC，再由平行线的性质可得∠AED=∠C．【详解】∵∠1+∠EFD=180°，∠1+∠2=180°，∴∠EFD=∠2，∴AB∥EF∴∠ADE=∠3，∵∠3=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴∠AED=∠C，∵∠AED=58°，∴∠C=58°，故选B.【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理．3．如图，已知直线c与a、b分别交于点A、B，且∠1=120°，当∠2=（）时，直线a∥b．A．60∘B．120∘C．30∘D．150∘【答案】B【解析】【分析】先根据对顶角相等求出∠3的度数，再由平行线的判定即可得出结论．【详解】解：∵∠1=120°，∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3=120°，∵∠2=∠3=120°，∴直线a∥b，故选B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．4．如图a∥b,∠1与∠2互余，∠3=115°，则∠4等于（）A．115°B．155°C．135°D．125°【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行同旁内角互补以及互余互补的定义可计算出∠4的值．【详解】如图，∵∠3与∠5是对顶角，∴∠5=∠3=115°，∵a∥b，∴∠2+∠4=180°，∠1+∠5=180°，∴∠1=180°-115°=65°，又∵∠1与∠2互余，∴∠2=90°-∠1=25°，∴∠4=180°-∠2=180°-25°=155°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质以及余角和补角的知识，熟练掌握相关性质是解题的关键. 5．如图，给出如下推理：①∠1＝∠3．∴AD∥BC；②∠A+∠1+∠2＝180°，∴AB∥CD；③∠A+∠3+∠4＝180°，∴AB∥CD；④∠2＝∠4，∴AD∥BC其中正确的推理有（）A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质与判定解答即可.【详解】∠1=∠3即内错角相等.∴CD//BA故①错误;∠A+∠1+∠2=180°即同旁内角互补.∴AB//CD故②正确;∠A+∠3+∠4=180°,即同旁内角互补∴AD//CB,故③错误;∠2=∠4,即内错角相等∴AD//BC故④正确，即②④正确，故选D.【点睛】此题主要考察平行线的性质与判定,正确理解条件与结论之间的关系是解题的关键. 6．如图AB∥CD,∠ABE=120°,∠ECD=25°,则∠E=（）A．75°B．80°C．85°D．95°【答案】C【解析】【分析】过点E作EF∥CD，根据AB∥CD可得EF∥AB，利用两直线平行，同旁内角互补和内错角相等，分别求出∠BEF和∠FEC的度数，二者相加即可．【详解】过点E作EF∥CD，如图所示：∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵∠ABE=120°，∴∠BEF=60°，∵EF∥CD，∠ECD=25°，∴∠FEC=∠ECD=25°，∴∠E=∠BEF+∠ECD=60°+25°=85°．故选：C．【点睛】考查了平行线性质，解答此题的关键是利用两直线平行，分别求出∠BEF和∠FEC的度数．7．如图，l1∥l2，∠1＝50°，则∠2等于( )A．135°B．130°C．50°D．40°【答案】B【解析】【分析】两直线平行，同旁内角互补，据此进行解答．【详解】∵l1∥l2，∠1=50°，∴∠2=180°-∠1=180°-50°=130°，故选B．【点睛】本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．8．如图，将三角形ABC沿AB方向平移后，到达三角形BDE的位置．若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠1的度数为( )A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【解析】【分析】根据平移的性质得出AC∥BE，以及∠CAB=∠EBD=50°，进而求出∠1的度数．【详解】∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，∴AC∥BE，∴∠CAB=∠EBD=50°，∵∠ABC=100°，∴∠1的度数为：180°-50°-100°=30°．故选A．【点睛】此题主要考查了平移的性质，得出∠CAB=∠EBD=50°是解决问题的关键．二、填空题9．如果∠1两边与∠2的两边互相平行，且∠1=(3x+20)°，∠2=(8x−5)°，则∠1的度数为__．【答案】35°或55°【解析】【分析】根据：∠1两边与∠2的两边互相平行得出∠1=∠2或∠1+∠2=180°，代入求出x，即可得出答案．【详解】∵∠1两边与∠2的两边互相平行，∴∠1=∠2或∠1+∠2=180°，∵∠1=（3x+20）°，∠2=（8x-5）°，∴3x+20=8x-5或3x+20+8x-5=180，解得：x=5，或x=15，当x=5时，∠1=35°，当x=15时，∠1=65°，故答案为：35°或65°．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能知道“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”是解此题的关键．10．如图，∠1=70°，a∥b，则∠2=_____________，【答案】110°【解析】【分析】如图，根据对顶角相等可得∠3=∠1=70°，再根据平行线的性质即可求得∠2的度数. 【详解】如图，∵∠1=70°，∴∠3=∠1=70°，∵a ∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-70°=110°，故答案为：110°．【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 11．如图,a//b,∠1=110°,∠3=50°，则∠2的度数是_________.【答案】60【解析】【分析】如图，先利用邻补角求出∠4=70°，再根据a//b,得∠4+∠2+∠3=180°，即可求出∠2的度数.【详解】∵∠1=110°，∴∠4=180°-110°=70°，∵a//b，∴∠4+∠2+∠3=180°，则∠2=60°.故填60.【点睛】此题主要考察平行线的性质.12．如图，工程队铺设一公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设，如果∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数是________．【答案】80°.【解析】【分析】过C作MN∥AB，根据平行线的判定可得DE∥NM∥AB，再根据平行线的性质可得∠1和∠2的度数，进而可得∠BCD的度数．解：过C作MN∥AB，∵AB∥DE，∴MN∥DE，∴∠2+∠D=180°，∵∠CDE=140°，∴∠2=40°，∵MN∥AB，∴∠1+∠B=180°，∵∠ABC=120°，∴∠1=60°，∴∠BCD=180°-60°-40°=80°，故答案为：80°．【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．13．如图,直线l1、l2分别与直线l3、l4相交,∠1与∠3互余,∠3余角与∠2互补,∠4=125°,则∠3=______．【答案】55°．【分析】求出∠5的度数，根据∠1与∠3互余和∠3的余角与∠2互补求出∠1+∠2=180°，根据平行线的判定得出l1∥l2，根据平行线的性质求出即可．【详解】解：∵∠4=125°，∴∠5=180°-125°=55°，∵∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∴∠1+∠2=180°，∴l1∥l2，∴∠3=∠5=55°，故答案是：55°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能求出l1∥l2是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．14．点D、E、F分别在AB、AC、BC上（1）∵∠C=_______ ∴DE//BC（2）∵∠C=________ ∴AC//DF（3）∵∠2=∠1∴____//___________（4）∵∠2=∠3∴____//___________【答案】(1)∠1;(2)∠3;(3)AC; DF(4)DE;BC.【分析】在解答此类问题时一定要对平行线的性质和判定定理有一个明确的认识和把握，在此基础上结合题设的相关要求和已知条件，就可以解答出正确的结论.【详解】（1）∵∠C=∠1,∴DE//BC（2）∵∠C=∠3, ∴AC//DF（3）∵∠2=∠1∴AC//DF（4）∵∠2=∠3∴DE//BC【点睛】本题考查的是平行线的性质和判定的相关知识,解题关键是熟记平行线的性质和判定定理.15．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉它，∠A=400，且AB∥CD．小明马上运用已学的数学知识得出了∠C的度数，聪明的你一定知道∠C=_______．【答案】1400【解析】【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”即可解答.【详解】解：∠C=40°理由：∵AB∥CD．∴∠A+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠C=180°-∠A=180°-40°=140°故答案为：140°.【点睛】本题考查平行线的性质.16．一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即AB∥CD，如图所示），第一次转弯时的∠B=1400，那么∠C应是_______．【答案】140°【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等即可解答．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠B=∠C=140°．【点睛】本题考查两直线平行，内错角相等．三、解答题17．如图，已知AB//CD，分别探讨下面的四个图形中∠APC、∠PAB和∠PCD的关系，并请你从所得的四个关系中任选一个，说明成立的理由.（1）图①的关系是_____________；（2）图②的关系是_____________；（3）图③的关系是_____________；（4）图④的关系是_____________；【答案】（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠PCD=∠APC+∠PAB；（4）∠PAB=∠APC+∠PCD.【解析】【分析】（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，再根据两直线平行同旁内角互补即可解答；（2）过点P作l∥AB，则AB∥CD∥l，再根据两直线内错角相等即可解答；（3）根据AB∥CD，可得出∠PEB=∠PCD，再根据三角形外角的性质进行解答；（4）根据AB∥CD，可得出∠PAB=∠PFD，再根据∠PFD是△CPF的外角，由三角形外角的性质进行解答；【详解】（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，∴∠1+∠PAB=180°，∠2+∠PCD=180°，∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）过点P作直线l∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠PAB=∠3，∠PCD=∠4，∴∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∵AB∥CD，∴∠PEB=∠PCD，∵∠PEB是△APE的外角，∴∠PEB=∠PAB+∠APC，∴∠PCD=∠APC+∠PAB；（4）∵AB∥CD，∴∠PAB=∠PFD，∵∠PFD是△CPF的外角，∴∠PCD+∠APC=∠PFD，∴∠PAB=∠APC+∠PCD．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，能根据题意作出辅助线，再利用平行线的性质进行解答是解答此题的关键．18．如图，已知AC∥ED，ED∥GF，∠BDF=90°．（1）若∠ABD=150°，求∠GFD的度数；（2）若∠ABD=θ，求∠GFD-∠CBD的度数．【答案】（1）∠G FD=120°；（2）∠GFD-∠CBD =90°．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABD+∠BDE=180°，进而可得∠BDE=30°，然后再计算出∠EDF的度数，再根据平行线的性质可得∠EDF+∠F=180°，进而可得∠GFD的度数；（2）与（1）类似，表示出∠F的度数，再表示出∠CBD的度数，再求差即可．【详解】解：（1）∵AC∥ED，∴∠ABD+∠BDE=180°，∵∠ABD=150°，∴∠BDE=30°，∵∠BDF=90°，∴∠EDF=60°，∵ED∥GF，∴∠EDF+∠F=180°，∴∠F=120°；（2）∵AC∥ED，∴∠ABD+∠BDE=180°，∵∠ABD=θ，∴∠BDE=180°-θ，∵∠BDF=90°，∴∠EDF=90°-（180°-θ）=θ-90°，∵ED∥GF，∴∠EDF+∠F=180°，∴∠F=180°-（θ-90°）=270°-θ，∵∠ABD=θ，∴∠CBD=180°-θ，∴∠GFD-∠CBD=270°-θ-180°+θ=90°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．19．如图，已知∠1=∠2，∠GFA=40°，∠HAQ=15°，∠ACB=70°，AQ平分∠FAC，求证：BD∥GE∥AH．【答案】见解析；【解析】【分析】由同位角∠1=∠2，推知AH∥GE，再根据平行线的性质、角平分线的定义证得内错角∠HAC=55°+15°=70°=∠ACB，所以BD∥AH，最后由平行线的递进关系证得BD∥GE∥AH．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴AH∥GE，∴∠GFA=∠FAH．∵∠GFA=40°，∴∠FAH=40°，∴∠FAQ=∠FAH+∠HAQ，∴∠FAQ=55°．又∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC=∠FAQ=55°，∵∠HAC=∠QAC+∠HAQ，∴∠HAC=55°+15°=70°=∠ACB，∴BD∥AH，∴BD∥GE∥AH．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．20．如图，AB∥CD∥EF，且∠ABE=70°，∠ECD=150°，求∠BEC的度数．【答案】∠BEC =40°．【解析】【分析】根据∠BEC=∠BEF-∠ECF，求出∠BEF，∠CEF即可解决问题．【详解】∵AB∥EF，∴∠ABE=∠BEF=70°，∵CD∥EF，∴∠ECD+∠CEF=180°，∵∠ECD=150°，∴∠CEF=30°，∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．已知：如图，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F.(1)如图1，若∠1＝120°，∠2＝60°，则AB和CD的位置关系为；(2)在(1)的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系：①当点P在图2的位置时，可得∠EPF＝∠PEB＋∠PFD；请阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式)：解：如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM＝∠PEB(两直线平行，内错角相等).∵AB∥CD(已知)，MN∥AB(作图)，∴MN∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行).∴∠MPF＝∠PFD.∴∠EPM＋∠MPF＝∠PEB＋∠PFD(等式的性质)，即∠EPF＝∠PEB＋∠PFD；②当点P在图3的位置时，∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间有何关系并证明；③当点P在图4的位置时，请直接写出∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系.【答案】（1）见解析；（2）①见详解；②∠PEB＋∠EPF＋∠PFD＝360°，③∠EPF＋∠PFD ＝∠PEB.【解析】【分析】（1）根据对顶角相等可得∠BEF的度数，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结论；（2）①过点P作MN∥AB，根据平行线的性质得∠EPM=∠PEB，且有MN∥CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性质易得∠EPF=∠PEB+∠PFD．②③的解题方法与①一样，分别过点P作MN∥AB，然后利用平行线的性质得到三个角之间的关系．【详解】（1）∵∠1=120°，∴∠BEF=120°，又∵∠2=60°，∴∠2+∠BEF=180°，∴AB∥CD；（2）①如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM=∠PEB（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图），∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．∴∠MPF=∠PFD，∴∠EPM+∠FPM=∠PEB+∠PFD（等式的性质），即∠EPF=∠PEB+∠PFD，故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；∠EPM，∠MPF；②∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；证明：如图3，过作PM∥AB，∵AB∥CD，MP∥AB，∴MP∥CD，∴∠BEP+∠EPM=180°，∠DFP+∠FPM=180°，∴∠BEP+∠EPM+∠FPM+∠PFD=360°，即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；③∠EPF+∠PFD=∠PEB．理由：如图4，过作PM∥AB，∵AB∥CD，MP∥AB，∴MP∥CD，∴∠PEB=∠MPE，∠PFD=∠MPF，∵∠EPF+∠FPM=∠MPE，∴∠EPF+∠PFD=∠PEB．【点睛】考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．22．如图，已知直线a∥b且被直线l所截，∠2＝85°，求∠1的度数．请在横线上补全求解的过程或依据．【答案】见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质和对顶角相等的性质填空．【详解】解：∵a∥b(已知)，∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠2＝∠3(对顶角相等)，∠2＝85°(已知)，∴∠1＝85°(等量代换)．【点睛】考查了平行线的性质，学会书写证明过程是所要训练的重点．23．如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．(1)求证：DC∥EF；(2)若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数．【答案】（1）见解析（2）35°【解析】【分析】（1）由DG//BC知∠1=∠DCF，则∠2=∠DCF，即可证明DC//EF；（2）由EF⊥AB得∠B=90°-∠2=35°，再根据（1）DC//EF可知∠ADG的度数. 【详解】∵DG//BC∴∠1=∠DCF，∵∠1=∠2，∴∠2=∠DCF，∴DC//EF；（2）∵EF⊥AB，∴∠BEF=90°，∠1=∠2=55°∴∠B=90°-∠2=35°，又∵DC//EF∴∠ADG=∠B=35°.【点睛】此题主要考察平行线的性质与判定.24．如图，AB∥DE，C为BD上一点，∠A＝∠BCA，∠E＝∠ECD，求证：CE⊥CA.【答案】详见解析.【解析】【分析】首先根据AB∥DE，判断出∠B+∠D=180°；然后判断出∠BCA+∠ECD=90°，即可推得CE⊥CA．【详解】证明∵AB∥DE，∴∠B＋∠D＝180°，∵∠A＝∠BCA，∠E＝∠ECD，∴∠B＝180°－2∠BCA，∠D＝180°－2∠ECD，∴(180°－2∠BCA)＋(180°－2∠ECD)＝180°，∴∠BCA＋∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°，∴CE⊥CA.【点睛】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握平行线性质的3个定理．25．(1)完成下面的推理说明：已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD.求证：AB∥CD.(2)说出(1)的推理中运用了哪两个互逆的真命题．【答案】（1）详见解析；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠1=∠2，根据角平分线的定义，可得∠ABC=∠BCD ，再根据平行线的判定，即可得出AB ∥CD,（2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】(1)∵BE 、CF 分别平分∠ABC 和∠BCD (已知)， ∴∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠BCD (角平分线的定义)，∵BE ∥CF (已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)， ∴12∠ABC ＝12∠BCD (等量代换)，∴∠ABC ＝∠BCD (等式的性质)， ∴AB ∥CD (内错角相等，两直线平行)．(2)两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 26．如图，已知：AB//DE,∠1+∠3=180°，则BC 与EF 平行吗？为什么？【答案】平行【解析】【分析】根据平行线的性质和判定即可解答.【详解】解：BC//EF证明：∵AB∥DE，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴BC∥EF．故答案为：BC//EF【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定定理，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键.27．如图，已知∠A=∠C，AD⊥BE于点F，BC⊥BE，点E，D，C在同一条直线上.(1)判断AB与CD的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC=120°，求∠BEC的度数.【答案】(1)AB∥CD；(2)∠E=30°.【解析】【分析】(1)先根据AD⊥BE，BC⊥BE，得出AD∥BC ,故可得出∠C＝∠ADE ,再由∠A＝∠C得出∠A＝∠ADE ,故可得出结论;(2)由AB∥CD得出∠C的度数,再由直角三角形的性质可得出结论.【详解】(1)AB∥CD，∵AD⊥BE，BC⊥BE，∴AD∥BC，∴∠C＝∠ADE.∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠ADE，∴AB∥C D.(2)∵AB∥CD，∠ABC＝120°，∴∠C＝60°，∵∠CBE＝90°，∴∠E＝30°.【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，先根据题意得出AD∥BC是解答此题的关键. 28．如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，AD平分∠BAC.求证：∠E＝∠1.【答案】见解析【解析】【分析】由AD垂直于BC，EF垂直于BC，得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到AD与EF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，等量代换即可得证．【详解】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴∠ADC＝∠EFC＝90°(垂直的定义)．∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．∴∠1＝∠BAD(两直线平行，内错角相等)，∠E＝∠CAD(两直线平行，同位角相等)．又∵AD平分∠BAC(已知)，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠1＝∠E(等量代换)．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．29．如图，根据图形填空：已知：∠DAF＝∠F，∠B＝∠D，AB与DC平行吗？解：∠DAF＝∠F （）∴AD∥BF（），∴∠D＝∠DCF（）∵∠B＝∠D （）∴∠B＝∠DCF （）∴AB∥DC（）【答案】见解析.【解析】【分析】首先根据已知，应用内错角相等，两直线平行，证得AD∥BF；利用两直线平行，内错角相等，证得∠D＝∠DCF，又由已知，利用等量代换，证得∠B＝∠DCF，根据同位角相等，两直线平行，证得AB∥DC．【详解】解：∠DAF＝∠F （已知），∴AD∥BF（内错角相等，两直线平行），∴∠D＝∠DCF（两直线平行，内错角相等），∵∠B＝∠D （已知），∴∠B＝∠DCF （等量代换），∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定．解答本题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．30．如图，已知∠4=∠B，∠1=∠3，求证：AC平分∠BAD．_ 【答案】证明见解析.【解析】【分析】由∠4＝∠B，推出CD∥AB，再由两直线平行，内错角相等，推出∠3＝∠2，然后通过等量代换推出∠1＝∠2，即可推出结论．【详解】解：∵∠4＝∠B，∴CD∥AB，∴∠3＝∠2，又∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AC平分∠BAD．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、等量代换、角平分线的定义，关键在于熟练运用相关的性质定理推出AC平分∠BAD．。
5.3平行线的性质(八大题型)(解析版 )
七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.【注意】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．【注意】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）A．70°B．110°C．140°D．150°【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200°B．210°C．220°D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）A．88°B．89°C．90°D．91°【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6（等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．52°D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58°B．64°C．72°D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77°B．64°C．26°D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合题意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合题意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，则CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。
5.3.1《平行线的性质》重难点专项练习【六大题型】(解析版)
5.3.1《平行线的性质》重难点题型专项练习考查题型一 两直线平行同位角相等的应用典例1．（2022秋·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a b ∥，2110Ð=°，则1Ð的度数为（ ）A ．70°B ．75°C ．80°D ．85°【答案】A【分析】由a b ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得3Ð的度数，又由邻补角的定义即可求得1Ð的度数．【详解】解：如图：∵a b ∥，2110Ð=°，∴32110Ð=Ð=°，∵13180Ð+Ð=°，∴170=°∠．故选：A ．【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质，正确运用数形结合思想．变式1-1．（2022·四川德阳·模拟预测）如图，直线//a b ，将三角尺的直角顶点放在直线b 上，如果260Ð=°，那么1Ð的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】A【分析】根据平行线的性质求出3Ð，由平角性质可知1180390ÐÐ=°--°即可得出结论．【详解】如图：//a b Q ，2360\Ð=Ð=°，1180903180906030\Ð=°-°-Ð=°-°-°=°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质推理是解题的关键．变式1-2．（2022·宁夏固原·校考模拟预测）如图，把一个三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果123Ð=°，那么2Ð的大小为（ ）A ．23°B ．46°C ．57°D ．67°【答案】D【分析】根据余角的定义求出3Ð，再根据两直线平行，同位角相等可得23ÐÐ=．【详解】解：∵123Ð=°，∴3902367°°Ð=-=°，∵直尺的两边互相平行，∴2367Ð=Ð=°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．变式1-3．（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若165Ð=°，则2Ð的大小是（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°【答案】B【分析】由30°三角尺可知360Ð=°，由平角可求4Ð，再根据平行线的性质可知24ÐÐ=．【详解】解：如图：由30°三角尺可知360Ð=°，∵1+3+4180ÐÐÐ=°，∴418013180656055Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，由平行线的性质可知2455Ð=Ð=°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质及直角三角形的性质，充分运用三角板和直尺的几何特征是解题的关键．考查题型二 两直线平行内错角相等的应用典例2．（2021·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，直线12l l ∥，直角三角板的直角顶点C 在直线1l 上，一锐角顶点B 在直线2l 上，若135Ð=°，则2Ð的度数是（ ）A ．65°B ．55°C ．45°D ．35°【答案】B【分析】先根据角的和差求出3Ð的度数，然后根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，135Ð=°Q ，90ACB Ð=°，390155\Ð=°-Ð=°，又12l l ∥，2355\Ð=Ð=°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．变式2-1．如图，AB CD P ，40B Ð=°，则ECD Ð的度数为（ ）A ．160°B ．140°C ．50°D ．40°【答案】B【分析】利用平行线的性质先求解DCB Ð，再利用邻补角的性质求解ECD Ð即可．【详解】解：∵AB CD P ，40B Ð=°，∴40DCB B Ð=Ð=°，∴180140ECD DCB Ð=°-Ð=°，故选B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．变式2-2．（2022·河南洛阳·统考一模）如图，ACD Ð是ABC V 的外角，AB CE ∥，80BAC Ð=°，35DCE Ð=°，则ACB Ð的度数为（ ）A ．55°B ．65°C ．75°D ．85°【答案】B【分析】由80AB CE BAC Ð=°，∥可得80ACE Ð=°，进而即可求ACB Ð；【详解】∵80AB CE BAC Ð=°，∥,∴80BAC ACE Ð=Ð=°，∵35DCE Ð=°，∴()18065ACB ACE DCE Ð=°-Ð+Ð=°．故选：B.【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”定理是解题的关键．变式2-3．如图，直线AB ，CD 被直线DE 所截，AB CD ∥，140Ð=°，则D Ð的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．140°【答案】B【分析】根据两直线平行内错角相等可得出答案．【详解】解：∵AB CD ∥，140Ð=°，∴140D Ð=Ð=°，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键．考查题型三 两直线平行同旁内角互补的应用典例3．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知直线AB CD ∥，130GEF Ð=°，135EFH Ð=°，则12Ð+Ð的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．65°D ．85°【答案】D【分析】由130GEF Ð=°，135EFH Ð=°可得1324265°Ð+Ð+Ð+Ð=，由AB CD P 得34180Ð+Ð=°，进而可求出12Ð+Ð的度数．【详解】解：如下图所示，∵130GEF Ð=°，∴13130°Ð+Ð=，∵135EFH Ð=°，∴24135°Ð+Ð=，∴1324265°Ð+Ð+Ð+Ð=∵AB CD P ，∴34180Ð+Ð=°，∴121324(34)26518085°Ðа+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð-+Ð=°=-，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．变式3-1．如图，已知直线a b ∥，把三角板的直角顶点放在直线b 上．若140Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°【答案】B【分析】根据互余计算出3904050Ð=°-°=°，再根据平行线的性质由a b ∥得到21803130Ð=°-Ð=°．【详解】解：∵1+3=90Ðа，∴3904050Ð=°-°=°，∵a b ∥，∴23180Ð+Ð=°．∴218050130°°=Ð=-°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．变式3-2．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）如图，AB CD P ，170=°∠，则2Ð=（ ）A ．70°B ．80°C ．110°D ．120°【答案】C【分析】先利用对顶角相等，再利用两直线平行，同旁内角互补得出答案．【详解】解：170Ð=°Q ，3170\Ð=Ð=°，//AB CD Q ，2180318070110\Ð=°-Ð=°-°=°．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握性质是解答题的关键．变式3-3．如图，AC BD ∥，AE 平分BAC Ð交BD 于点E ，若166а＝，则2Ð= （ ）A ．123°B ．128°C ．132°D ．142°【答案】A【分析】如图：根据平角的定义及角平分线的性质求得3Ð的度数，再根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图：∵166Ð=°，∴180118066114BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∵AE 平分BACÐ∴1131145722BAC °°Ð=Ð=´=，∵AC BD ∥，∴23180Ð+Ð=°，∴2180318057123Ð=°-Ð=°-°=°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键．考查题型四 根据平行线的性质探究角的关系典例4．（2022秋·重庆铜梁·七年级校考期中）如图，已知AB DE ∥，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为__________________ .【答案】2170Ð=Ð+°【分析】过点C 作CF AB ∥，则CF AB DE ∥∥，根据平行线的性质可得角之间的关系，从而∠1与∠2的数量关系即可求解.【详解】解：过点C 作CF AB ∥，如图：则CF AB DE ∥∥，∴1BCF Ð=Ð，2180DCF Ð+Ð=°，∵110BCD Ð=°，∴1101101DCF BCF Ð=°-Ð=°-Ð，∴11012180°-Ð+Ð=°，∴2170Ð=Ð+°.故答案为：2170Ð=Ð+°.【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，利用平行线的性质得出角之间的关系.变式4-1．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）如图，已知AB CD ∥，CE BF ∥，则B C Ð+Ð= ______ ．【答案】180°##180度【分析】根据两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补，得到EHB C Ð=Ð，180EHB B Ð+Ð=°，等量代换即可求得B C Ð+Ð的值．【详解】解：如图，设AB 与CE 交于点H ，∵AB CD ∥，CE BF ∥，∴EHB C Ð=Ð，180EHB B Ð+Ð=°，∴180B C Ð+Ð=°．故答案为：180°．【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用．变式4-2．（2022秋·内蒙古乌海·七年级校考期中）如图，AB ∥EF ，则∠A ，∠C ，∠E 满足的数量关系是______．【答案】360A C E Ð+Ð+Ð=°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．【详解】如下图所示，过点C 作//CD AB ，∵//CD AB ，∴180A ACD Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），∵//AB EF ，//CD AB ，∴//CD EF ，∴180E DCE Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），∴360A ACD E DCE Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴360A ACE E Ð+Ð+Ð=°，∴在原图中360A C E Ð+Ð+Ð=°，故答案为：360A C E Ð+Ð+Ð=°．【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．变式4-3．（2022秋·山东青岛·七年级统考期末）如图，直线AB//CD ，∠AEM ＝2∠MEN ，∠CFM ＝2∠MFN ，则∠M 和∠N 的数量关系是________．【答案】∠EMF=23∠ENF【分析】利用平行线的性质以及已知条件解决问题即可．【详解】解：过点M 作MJ ∥AB ，过点N 作NK ∥AB ．∵AB ∥CD ，∴MJ ∥AB ∥CD ，NK ∥AB ∥CD ，∴∠EMJ=∠AEM ，∠FMJ=∠CFM ，∠ENK=∠AEN ，∠FNK=∠CFN ，∴∠EMF=∠AEM+∠CFM ，∠ENF=∠AEN+∠CFN ，∵∠AEM=2∠MEN ，∠CFM=2∠MFN ，∴∠AEM+∠CFM=23（∠AEN+∠CFN ），即∠EMF=23∠ENF ．故答案为：∠EMF=23∠ENF ．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．考查题型五 利用平行线的性质求角的度数典例5．（2022秋·北京西城·七年级期中）如图，若AB CD ∥，EF 与AB ，CD 分别相交于点E ，F ，EP EF ^，EFD Ð平分线与EP 相交于点P ，20BEP Ð=°，则PFD Ð=__________°．【答案】35°【分析】由题可求出BEF Ð，然后根据两直线平行，同旁内角互补可知DFE Ð，根据角平分线的定义可得到结果．【详解】∵EP EF ^，∴90PEF Ð=°，∵20BEP Ð=°，∴110BEF PEF BEP Ð=Ð+Ð=°，∵AB CD P ，∴18070EFD BEF Ð=°-Ð=°，∵FP 平分EFD Ð，∴1352PFD EFD Ð=Ð=°．【点睛】本题考查了平行线的性质与角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，注意数形结合思想是解题关键．变式5-1．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，已知AB EF ∥，BC DE ∥，若70B Ð=°，则E Ð=________°．【答案】110【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”得出BGE Ð，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案．【详解】如图所示．∵AB EF ∥，∴70B B G E Ð=Ð=°.∵BC DF ∥，∴180BGE E Ð+Ð=°，∴180110E B G E Ð=°-Ð=°．故答案为：110．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，灵活选择平行线的性质是解题的关键．变式5-2．如图，AB CD ∥，若40A Ð=°，26C Ð=°，则∠E=______．【答案】66°##66度【分析】如图所示，过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据两直线平行内错角相等分别求出4026AEF CEF =°=°∠，∠，则66AEC AEF CEF =+=°∠∠∠．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB ∥，∵EF AB AB CD ∥，∥，∴AB CD EF ∥∥，∴4026AEF A CEF C ==°==°∠∠，∠∠，∴66AEC AEF CEF =+=°∠∠∠，故答案为：66°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出4026AEF CEF =°=°∠，∠是解题的关键．变式5-3．将一块长方形纸折成如图的形状，若已知1=110а，则2Ð=____°．【答案】55【分析】根据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到2Ð的度数．【详解】解：如图所示：∵AB CD P ，∴1==110ACD Ðа，∵由折叠可知122ECD ACD Ð=Ð=Ð，∴2=55а，故答案为：55．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键．考查题型六 平行线的判定与性质的综合应用典例6．（2022秋·陕西渭南·七年级统考期中）如图，已知点B 、C 在线段AD 的异侧，连接、AB CD ，点E 、F 分别是线段、AB CD 上的点，连接CE BF 、，分别与AD 交于点G ，H ，且AEG AGE Ð=Ð，C DGC Ð=Ð．(1)求证：AB CD ∥；(2)若180AGE AHF °Ð+Ð=，求证：B C Ð=Ð；(3)在（2）的条件下，若117BFC C Ð=Ð，求AHB Ð的度数．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)70°【分析】（1）只需要证明AEG C Ð=Ð即可证明AB CD ∥；（2）先证明HGE AHF =∠∠得到BF CE P 则B AEG =∠∠，再由AEG C Ð=Ð即可证明B C Ð=Ð；（3）根据平行线的性质得到180BFC C Ð+Ð=°，AHB DGC Ð=Ð，再结合已知条件求出C Ð的度数即可得到答案．【详解】（1）证明：∵AEG AGE Ð=Ð，C DGC Ð=Ð，AGE DGC Ð=Ð，∴AEG C Ð=Ð，∴AB CD ∥；（2）证明：∵180180AGE HGE AGE AHF +=°+=°∠∠，∠∠，∴HGE AHF =∠∠，∴BF CE P ，∴B AEG =∠∠，又∵AEG C Ð=Ð，∴B C Ð=Ð；（3）解：由（2）得BF CE P ，∴180BFC C Ð+Ð=°，AHB DGC Ð=Ð，又∵117BFC C Ð=Ð，∴111807C C +=°∠∠，∴70C Ð=°，∴70AHB DGC C ===°∠∠∠．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．变式6-1．（2022秋·广东东莞·七年级统考期中）如图，点B ，C 在线段AD 的异侧，点E ，F 分别是线段AB ，CD 上的点，已知12Ð=Ð，3C Ð=Ð．(1)求证：AB CD ∥；(2)若24180Ð+Ð=°，求证：180BFC C Ð+Ð=°；(3)在（2）的条件下，若3021BFC Ð-°=Ð，求B Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)50B Ð=°【分析】（1）已知12Ð=Ð，所以32Ð=Ð，又因为3C Ð=Ð，可以得出1CÐ=Ð即可判定AB CD ∥；（2）已知23ÐÐ=，24180Ð+Ð=°，可以得出//BF EC ，即可得出180BFC C Ð+Ð=°；（3）由（1）（2）可知AB CD ∥，//BF EC ，可以得出1C Ð=Ð，180BFC C Ð+Ð=°；可以得出30212BFC C Ð-°=Ð=Ð，可以得出C Ð，又因为1C B Ð=Ð=Ð，即可求出B Ð的度数．【详解】（1）证明：12Ð=ÐQ ，3C Ð=Ð，23ÐÐ=，1C \Ð=Ð，//AB CD \；（2）证明：24180Ð+Ð=°Q ，23ÐÐ=，34180\Ð+Ð=°，//BF EC \，180BFC C \Ð+Ð=°；（3）180BFC C Ð+Ð=°Q ，30212BFC C Ð-°=Ð=ÐQ ，230BFC C \Ð=Ð+°，230180C C \Ð+°+Ð=°，50C \Ð=°，130BFC \Ð=°，//AB CD Q ，180B BFC \Ð+Ð=°，50B \Ð=°．【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．变式6-2．如图，已知12AB CD Ð=Ð∥，．(1)求证：EF NP ∥；(2)若FH 平分EFG Ð，交CD 于点H ，交NP 于点O ，且14010FHG Ð=°Ð=°，，求FGD Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)60°【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换得出1BNP Ð=Ð，即可判定EF NP ∥；（2）过点F 作FM AB ∥，根据平行公理得出AB FM CD ∥∥，根据平行线的性质及角平分线定义得到50GFH EFH Ð=Ð=°，根据三角形外角性质求解即可．【详解】（1）证明：∵AB CD ∥，50GFH EFH Ð=Ð=°∴2BNP Ð=Ð，∵12Ð=Ð，∴1BNP Ð=Ð，∴EF NP ∥；（2）解：如图，过点F 作FM AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB FM CD ∥∥，∴14010EFM HFM FHG Ð=Ð=°Ð=Ð=°，，∴50EFH EFM HFM Ð=Ð+Ð=°，∵FH 平分EFG Ð，∴50GFH EFH Ð=Ð=°，∴60FGD GHF HFG Ð=Ð+Ð=°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．变式6-3．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）如图，在ABC V 中，AGF ABC ÐÐ=，12180Ð+Ð=°．(1)求证：DE BF ∥；(2)若DE AC ^，2140Ð=°，求AFG Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】（1）由于AGF ABC ÐÐ=，可判断GF BC ∥，则1CBF ÐÐ=，由12180Ð+Ð=°得出2180CBF ÐÐ+=°判断出BF DE ∥；（2）由BF DE ∥，BF AC ^得到DE AC ^，由2140Ð=°得出140Ð=°，得出AFG Ð的度数．【详解】（1）解：BF DE ∥，理由如下：AGF ABC ÐÐ=Q ，GF \BC ∥，1CBF ÐÐ\=，12180Ð+Ð=°Q ，2180CBF ÐÐ\+=°，BF \DE ∥；（2）解：BF Q DE ∥，BF AC ^，DE AC \^，12180Ð+Ð=°Q ，2140Ð=°，140Ð\=°，904050AFG Ð\=°-°=°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．。
平行线分线段成比例八大题型
【变式】如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF：BF＝1：2，点 D 是 BC 延长线上一点，BC：CD ＝2：1，连接 FD 与 AC 交于点 M，则 FN：ND＝ ．
解：过点 F 作 FE∥BD，交 AC 于点 E，
∴=，
∵AF：BF＝1：2，
∴ = 1，
3
∴ = 1，
3
即 FE= 13BC， ∵BC：CD＝2：1，
C l3
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如 AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段
上上 上上 下下
合成的线段称为全，则可以形象的表示为 下 下 ， 全 全 ， 全 全 ．
【题型1 “井”字型】
【例 1】如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截，如果 AB＝2，BC＝3，EF ＝2，那么 DE 的长是（ ）
A．2
B
．4
3
C．1
D．34
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l3， ∴=，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴2 = ，
32
∴DE=
4，
3
故选：B．
【变式】如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F．已知 AB＝3，BC＝2，DE＝6，则 DF 等于（ ）
∵ = = 1，
2
∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴ = 1，
4
故 D 错误，符合题意； 故选：D．
【变式】已知，在△ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DE∥BC，DH∥AC 分别交 AC、 BC 于点 E、H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则下列结论中错误的 是（ ）
特训02 相交线 平行线 压轴题(八大题型归纳)(解析版)
特训02相交线平行线压轴题（八大题型归纳）目录：题型1：添加辅助线构造平行题型2：角平分线在平行线中的应用题型3：动直线、动射线、动三角形的旋转问题及其应用题型4：动点问题题型5：一副三角板及其在平行线中的应用题型6：单个三角板在平行线中的应用题型7：折叠问题题型8：定值问题题型1：添加辅助线构造平行1．【阅读探究】（1）如图1，,,AB CD E F ∥分别是,AB CD 上的点，点M 在,AB CD 两平行线之间，50,20AEM CFM ∠=︒∠=︒，求EMF ∠的度数．解：过点M 作∥MN AB ，所以EMN ∠=∠______，因为AB CD ，所以MN CD ∥，所以FMN ∠=∠______，因为50,20AEM CFM ∠=︒∠=︒，所以502070EMF EMN FMN AEM CFM ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒．（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将AEM ∠和CFM Г凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中,AEM EMF ∠∠和CFM Ð之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________．【方法应用】（3）如图2，,,AB CD E F ∥分别是,AB CD 上的点，点M 在,AB CD 两平行线之间，135,155AEM CFM ∠=︒∠=︒，求EMF ∠的度数．【应用拓展】（4）如图3，,,AB CD E F ∥分别是,AB CD 上的点，点M 在,AB CD 两平行线之间，作AEM ∠和CFM Ð的平分线,EP FP ，交于点P （交点P 在两平行线AB CD 、之间），若EMF α∠=︒，则EPF ∠的度数为________︒（用含α的式子表示）．∴EMN AEM ∠=∠，∵AB CD ，∴180AEM NME ∠+∠=︒，∵AB CD ，∴MN CD ∥，∴180CFM NMF ∠+∠=︒，∴AEM NME NMF CFM ∠+∠+∠+∠即360AEM EMF CFM ∠+∠+∠=︒∵135AEM ∠=︒，155CFM ∠=︒，∴36013515570EMF ∠=︒-︒-︒=︒．（4）∵EP 、FP 分别是AEM ∠和∴12AEP AEM ∠=∠，12CFP ∠=∠过点P 作PH AB ∥，如图3所示：∵AB CD ∥，∴PH CD ∥，∴EPH AEP ∠=∠，FPH CFP ∠=∠∴EPF EPH FPH AEP ∠=∠+∠=∠同理可得：360EMF AEM ∠=︒-∠∴360AEM CFM α∠+∠=︒-，∴()(1136022AEM CFM ∠+∠=⨯︒-∴11802EPF α=︒-∠．2．已知，直线AB DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．(1)如图1，点P 在直线AB ，CD 之间，当60BAP ∠=︒，20DCP ∠=︒时，求APC ∠的度数．(2)如图2，点P 在直线AB ，CD 之间，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，写出AKC ∠与APC ∠之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点P 落在CD 外．①直接写出APC ∠、BAP ∠、DCP ∠的数量关系为______．②BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，请直接写出AKC ∠与APC ∠的数量关系为______．AB CD∥，∴PE AB CD∥∥，∴APE BAP∠=∠，∠∴APC APE∠=∠+∠（2）解：12 AKC∠=如图2，过K作KE∥AB CD ∥ ，KE AB CD ∴∥∥，AKE BAK ∴∠=∠，CKE ∠AKC AKE CKE ∴∠=∠+∠=过P 作PF AB ∥，同理可得，APC BAP ∠=∠BAP ∠ 与DCP ∠的角平分线相交于点∴12BAK DCK BAP ∠+∠=∠∴12AKC APC ∠=∠；（3）解：①如图3，过P 作AB CD ∥ ，∴PF AB CD ∥∥，∴BAP APF ∠=∠，DCP CPF ∠=∠，∴APC APF CPF BAP ∠=∠-∠=∠-故答案为：APC BAP DCP ∠=∠-∠②如图3，过K 作KE AB ∥，AB CD ∥ ，KE AB CD ∴∥∥，BAK AKE ∴∠=∠，DCK CKE ∠=∠AKC AKE CKE BAK ∴∠=∠-∠=∠由①知，APC BAP DCP ∠=∠-∠，BAP ∠ 与DCP ∠的角平分线相交于点∴1122BAK DCK BAP DCP ∠-∠=∠-∠∴12AKC APC ∠=∠．3．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图，已知点A 是BC 外一点，连接AB 、AC ，求B BAC C ∠+∠+∠的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A 作ED BC ∥，所以B ∠=，C ∠=，又因为180EAB BAC DAC ∠+∠+∠=︒，所以180B BAC C ∠+∠+∠=︒．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将BAC ∠、B ∠、C ∠“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图1，已知AB CD ∥，求B BPD D ∠+∠+∠的度数；(3)深化拓展：已知直线AB CD ∥，点P 为平面内一点，连接PA 、PD ．①如图2，已知50A ∠=︒，140D ∠=︒，请直接写出APD ∠的度数；②如图3，请判断∠PAB 、CDP ∠、APD ∠之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)EAB ∠；DAC∠(2)360B BPD D ∠+∠+∠=︒(3)①90︒；②180PAB CDP APD ∠+∠-∠=︒，理由见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论；（2）过点P 作PF AB ∥，根据两直线平行同旁内角互补得出180D FPD ∠+∠=︒，180B FPB ∠+∠=︒，即可得到最后结论；（3）①APD ∠的度数为90︒，过点P 作PG AB ∥，根据平行线性质求得50APG ∠=︒，40GPD ∠=︒，即可求得APD ∠的度数；②180PAB CDP APD ∠+∠-∠=︒，过点P 作PF AB ∥，根据平行线性质得到CDP DPF ∠=∠，180PAB APE ∠+∠=︒，即可退出最后结论．【解析】（1）解：过点A 作ED BC ∥，B EAB ∠=∠，C DAC ∠=∠，又因为180EAB BAC DAC ∠+∠+∠=︒，所以180B BAC C ∠+∠+∠=︒；（2）解：如图，过点P 作PF AB ∥，AB CD ∥ ，PF CD ∴∥，180D FPD ∴∠+∠=︒，PF AB ∥ ，180B FPB ∴∠+∠=︒，360B FPB FPD D ∴∠+∠+∠+∠=︒，360B BPD D ∴∠+∠+∠=︒；（3）解：①APD ∠的度数为90︒；理由：过点P 作PG AB ∥，50A APG ∴∠=∠=︒，AB CD ∥ ，GP CD ∴∥，180GPD D ∴∠+∠=︒，140D ∠=︒ ，18014040GPD ∴∠=︒-︒=︒，504090APD APG GPD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；②180PAB CDP APD ∠+∠-∠=︒，理由：过点P 作PF AB ∥，AB CD ∥ ，PF CD ∴∥，CDP DPF ∴∠=∠，PF AB ∥ ，180PAB APE ∴∠+∠=︒，APF DPF APD ∠=∠-∠ ，180PAB DPF APD ∴∠+∠-∠=︒，180PAB CDP APD ∴∠+∠-∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推理．4．（1）【问题解决】如图1，已知AB CD ∥，36BEP ∠=︒，152CFP ∠=︒，求EPF ∠的度数；（2）【问题迁移】如图2，若AB CD ∥，点P 在AB 的上方，则PFC ∠，PEA ∠，EPF ∠之间有何数量关系？并说明理由；（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知EPF α∠=，PEA ∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点G ，求G ∠的度数（结果用含α的式子表示）．∵PQ AB ∥，∴36EPQ BEP ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴CD PQ ∥．∵PN AB ∥，AB CD ∥，∴PN CD ∥，PEA NPE ∴∠=∠，FPN NPE EPF ∠=∠+∠ FPN PEA EPF ∠=∠+∠∴∵PN CD ∥，FPN PFC ∴∠=∠，PFC PEA EPF ∠=∠+∠∴；（3）如图3，过点G 作GH ∵GH AB ∥，AB CD ∥，∴AB CD GH ∥∥，HGE AEG ∴∠=∠，HGF ∠又PEA ∠ 的平分线和PFC ∠12HGE AEG AEP ∴∠=∠=∠由（2）得，CFP P ∠=∠+题型2：角平分线在平行线中的应用5．如图，已知AD BE ∥，AC 平分BAD ∠交BE 于点C ，点P 、Q 分别在射线AD 、BE 上运动（点Q 不与点B 、C 重合），且满足APQ B ∠=∠，连结CP ．(1)AB 与PQ 平行吗？请说明理由；(2)设B α∠=，CPQ β∠=．①当点Q 在线段BC 上，求ACP ∠的度数；（用含α，β的代数式表示）②当点Q 在射线CE 上，CPQ ∠的平分线PF 交射线BE 于点F ，连结AF ，若60α=︒，20CAF ∠=︒，试探索AFP ∠与ACP ∠的数量关系．∵PF 平分CPQ ∠，∴60PCE APC β∠=∠=︒-，PFE ∠=∠∴180606060ACP ββ∠=︒-︒-︒+=︒+6．已知：直线a b ∥，点A 和点B 是直线a 上的点，点C 和点D 是直线b 上的点，连接AD ，BC ，设直线AD 和BC 交于点E ．(1)在如图1所示的情形下，若AD BC ⊥，求ABE CDE ∠+∠的度数；(2)在如图2所示的情形下，若BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，且BF 与DF 交于点F ，当64ABC ∠=︒，72ADC ∠=︒时，求BFD ∠的度数；(3)如图3，当点B 在点A 的右侧时，若BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，且BF ，DF 交于点F ，设ABC α∠=，ADC β∠=，用含有α，β的代数式表示BFD ∠的补角．∵a b ∥，∴EG CD ∥，∴ABE BEG ∠=∠，CDE ∠∴ABE CDE BEG ∠+∠=∠∵AD BC ⊥，∴ABE CDE BED ∠+∠=∠（2）如图，过点F 作FH ∵a b ∥，∴FH CD ∥，∴ABF BFH ∠=∠，CDF ∠=∴BFD BFH DFH ∠=∠+∠=∵BF 平分ABC ∠，DF 平分∴1322ABF ABC ∠∠=︒，CDF ∠∴BFD ABF CDF ∠=∠+∠=（3）如图，过点F 作FQ ∥∵a b ∥，∴FQ CD ∥，∴180ABF BFQ ∠+∠=︒，∴BFD BFQ DFQ ∠=∠+∠∵BF 平分ABC ∠，DF 平分∴1122ABF ABC α∠=∠=∴180BFD ABF ∠=︒-∠+∴BFD ∠的补角1122α=-【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质求角的度数是解本题的关键．7．已知：直线a b ∥，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，(1)连接AD ，BC ，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，且BE ，DE 所在直线交于点E ．①如图1，若60ABC ∠=︒，70ADC ∠=︒，则BED ∠的度数为；②如图2，设ABC α∠=，ADC β∠=，则BED ∠的度数为（用含有α，β的式子表示）．(2)如图3，EF 平分MEN ∠，NP 平分END ∠，EQ NP ∥，则FEQ ∠和BME ∠的数量关系是．(3)如图4，若25BAP BAC ∠=∠，25DCP ACD ∠=∠，且AE 平分BAP ∠，CF 平分DCP ∠，猜想E F ∠+∠的结果并且证明你的结论；BEF EBA ∴∠=∠，∥ AB CD ，∴EF CD ∥，FED EDC ∴∠=∠，BEF FED EBA ∴∠+∠=∠+∠BE 平分ABC ∠，DE 平分1302EBA ABC ∴∠=∠=︒，∠65BED EBA EDC ∴∠=∠+∠=故答案为：65︒；②过点E 作EF AB ∥，如图180BEF EBA ∴∠+∠=︒，180BEF EBA ∴∠=︒-∠，∥ AB CD ，∴EF CD ∥，FED EDC ∴∠=∠，180BEF FED EBA ∴∠+∠=︒-∠BE 平分ABC ∠，DE 平分1122EBA ABC α∴∠=∠=，∠180BED EBA EDC ∴∠=︒-∠+∠故答案为：1118022αβ︒-+（2）解：∵EF 平分MEN ∠∴2MEN FEN END ∠=∠∠，∵EQ NP ∥，∴QEN ENP ∠=∠，由（1）中的结论得：2MEN FEN BME ∠=∠=∠2BME QEN =∠+∠，∴22BME FEN QEN ∠=∠-∠2FEQ =∠，故答案为：2BME FEQ ∠=∠（3）解：∵AE 平分BAP ∠∴1125BAE BAF BAC ∠=∠=∠由（1）的结论得：15E BAE ECD ∠=+∠∠=∠题型3：动直线、动射线、动三角形的旋转问题及其应用8．如图，直线a b ∥，直线EF 与直线a ，b 分别交于点E ，F ，点B 在射线EF 上运动（点B 不与点E ，F 重合），A 是直线b 上的一个定点，连接AB ，过点B 作直线l AB ⊥，在直线b 上取一点C ，使得ABC ACB α∠=∠=．(1)若直线l b ∥，则α的度数是______；(2)若直线l 与a 相交于点D ，完成以下问题：①当90BAF ∠>︒时，猜想BDE ∠与α之间有怎样的数量关系，并写出证明过程；②当90BAF ∠<︒时，判断①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出它们之间的数量关系．【答案】(1)45︒(2)①290BDE α-∠=︒，证明见解析；②不成立，290BDE α+∠=︒【分析】（1）根据平行线的性质得出180BAC ABD ∠+∠=︒，进而利用等腰直角三角形的性质解答；（2）①过B 作BH a ∥，根据两直线平行，内错角相等和三角形内角和定理解答即可；②过B 作BH a ∥，根据两直线平行，内错角相等和三角形内角和定理解答即可．【解析】（1）解： 直线l AB ⊥，90ABD ∴∠=︒，直线l b ∥，180BAC ABD ∴∠+∠=︒，90BAC ∴∠=︒，ABC ACB α∠=∠= ，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，45α∴=︒，故答案为：45︒；（2）解：①290BDE α-∠=︒，理由如下：过B 作BH a ∥，直线a b ∥，BH a b ∴∥∥，BDE DBH ∴∠=∠，HBA BAC ∠=∠，ABC ACB α∠=∠= ，1802BAC α∴∠=︒-，(1802)BDE DBH DBA HBA DBA BAC DBA α∴∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠-︒-，AB l ⊥ ，90ABC GBC ∴∠+∠=︒，90DBA ∠=︒，90GBC α∴∠=︒-，180DBA ABC GBC ∠+∠+∠=︒ ，90(1802)BDE α∴∠=︒-︒-，即290BDE α-∠=︒；②290BDE α+∠=︒，理由如下：过B 作BH a ∥，直线a b ∥，BH a b ∴∥∥，BDE DBH ∴∠=∠，HBA BAF ∠=∠，ABC ACB α∠=∠= ，2BAF α∴∠=，2BDE DBH DBA HBA DBA BAF DBA α∴∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠-，AB l ⊥ ，90DBA ∴∠=︒，902BDE α∴∠=︒-，即290BDE α+∠=︒．【点睛】本题是几何综合题，此题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．9．长江汛期即将来临，江阴防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是/a ︒秒，灯B 转动的速度是/b ︒秒，且a 、b 满足()2340a b a b -++-=．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ MN ∥，且45BAN ∠=︒．(1)求a 、b 的值；(2)若灯B 射线先转动20秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线第一次与MN 垂直之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，BAC ∠与BCD ∠的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【答案】(1)3a =，1b =；(2)当10t =秒或85秒时，两灯的光束互相平行；(3)不变，23BAC BCD ∠=∠．【分析】（1）根据非负数的性质列方程组求解即可；（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，分两种情况：①在灯A 射线到达AN 之前；②在灯A 射线到达AN 之后，分别列出方程求解即可；（3）设A 灯转动时间为t 秒，则180?3CAN t ∠=︒，3135BAC BAN CAN t ∠=∠-∠=-︒，过点C 作CF PQ ∥，则CF PQ MN ∥∥，得出1802BCA CBD CAN t ∠=∠+∠=︒-，290BCD ACD BCA t ∠=∠-∠=-︒，即可得出结果．【解析】（1）()2340a b a b -++-= ，∴3040a b a b -=⎧⎨+-=⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，故3a =，1b =；（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，①在灯A 射线到达AN 之前，由题意得：()3201t t =+⨯，解得：10t =，②在灯A 射线到达AN 之后，由题意得：3180180(20)1t t -︒=︒-+⨯，解得：85t =，综上所述，A 灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；（3）BAC ∠与BCD ∠的数量关系不发生变化，23BAC BCD ∠=∠；理由：设A 灯转动时间为t 秒，则1803CAN t ∠=︒-，45(1803)3135BAC BAN CAN t t ∴∠=∠-∠=︒-︒-=-︒，PQ MN ∥，如图2，过点C 作CF PQ ∥，则CF PQ MN ∥∥，BCF CBD ∴∠=∠，ACF CAN ∠=∠，18031802BCA BCF ACF CBD CAN t t t ∴∠=∠+∠=∠+∠=+︒-=︒-，CD AC ⊥ ，90ACD ∴∠=︒，90(1802)290BCD ACD BCA t t ∴∠=∠-∠=︒-︒-=-︒，23BAC BCD ∴∠=∠．【点睛】本题考查了非负数的性质、解二元一次方程组、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ ∥MN ，连结AB ，且45ABN ∠=︒．灯A 射线自AQ 顺时针旋转至AP 便立即回转，灯B 射线自BM 顺时针旋转至BN 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A 转动的速度是1度/秒，灯B 转动的速度是3度/秒．(1)若两灯同时转动，在灯B 射线第一次转到BN 之前，两灯射出的光线交于点C ．①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求ABC ∠的度数．②如图2，当两灯光线同时转动55秒时，过C 作CD BC ⊥交PQ 于点D ，求ABC ∠与ACD ∠的比值．(2)若灯A 射线先转动30秒，灯B 射线才开始转动，在灯A 射线第一次转到AP 之前，B 灯转动几秒，两灯的光线互相平行？【答案】(1)①15︒；②32(2)A 灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行【分析】（1）①当转动50秒时，有150MBC ∠=︒，即有18030CBN MBC ∠=︒-∠=︒，根据ABC ABN CBN ∠=∠-∠，即可得解；②过点C 作CH MN ∥，315565MBC ∠=⨯︒=︒，55QAC ∠=︒，，即有55ACH QAC ∠=∠=︒，15HCB CBN ∠=∠=︒，根据ABC ABN CBN ∠=∠-∠，可得30ABC ∠=︒，再根据ACB ACH BCH ∠=∠+∠，可得20ACD ∠=︒，即问题得解；（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，A 灯先转动30秒，则AQ 转到AP 还需要18030150-=（秒）即150t 0＜＜，①当B 射线第一次垂直MN 时，用时90330÷=（秒），此时A 射线共计运动303060+=秒，即60QAE ∠=︒，即在灯B 射线到达BN 之前，先证明MBF QAE ∠=∠，即有：330=+t t ，即可求解；②在灯B 射线到达BN 之后，回到BM 前，根据①中，同理有：()30MBF QAE t ∠=∠=+︒，()3180FBN t ∠=-︒即有：()318030180t t -++=，即可求解；③在灯B 射线回到BM 后，第二次到BN 前，由题意得：336030t t -=+，即可求解，即问题得解．【解析】（1）两灯速度为：灯A 转动的速度是1度/秒，灯B 转动的速度是3度/秒．①当转动50秒时，503150MBC ∠=⨯︒=︒，∴18030CBN MBC ∠=︒-∠=︒，∴453015ABC ABN CBN ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒；∵PQ M N ∥，∴CH PQ ∥，两灯光线同时转动55秒时，则∴55ACH QAC ∠=∠= ，HCB ∠∴ABC ABN CBN ∠=∠-∠，即451530ABC ∠=︒-︒=︒，又∵ACB ACH BCH ∠=∠+∠，即5518016570ACB ∠=︒+︒-︒=而90BCD ∠=︒，∴9020ACD ACB ∠=︒-∠=︒∴303:202ABC ACD ︒∠∠==︒．即比值为：32；（2）两灯速度为：灯A 转动的速度是t∵PQ M N ∥，BF AE ∥，∴ABF EAB ∠=∠，PAB ABN ∠=∠，∴180180ABN ABF BAP BAE ︒-∠-∠=︒-∠-∠，∴MBF QAE ∠=∠，即有：330=+t t ，解得：15t =（秒）；②如图4，在灯B 射线到达BN 之后，回到BM 前，根据①中，同理有：()30MBF QAE t ∠=∠=+︒∵()3180FBN t ∠=-︒即有：()318030180t t -++=，解得：82.5t =．③如图5，在灯B 射线回到BM 后，第二次到BN 前，由题意得：336030t t -=+，解得：195t =（舍去）．综上所述，A 灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系，厘清角度之间的关系并注意分类讨论是解答本题的关键．题型4：动点问题11．已知AB CD ∥，30AEC ∠=︒，点P 在直线AE 上，E 为CD 上一点，F 为AB 上一点．(1)如图1，当点P 在线段AE 上运动时，连接FP ，求BFP FPE ∠+∠的值；(2)如图2，当点P 在AE 的延长线上运动时，连接FP ，求BFP FPE ∠-∠的值；(3)如图3，当点P 在EA 的延长线上运动时，连接FP ，求BFP FPE ∠-∠的值．【答案】(1)210︒；(2)30︒；(3)150︒．【分析】（1）过点P 作PH AB ∥，得到AB CD PH ∥∥，利用平行线的性质即可求解；（2）过点P 作PH AB ∥，得到AB CD PH ∥∥，利用平行线的性质即可求解；（3）过点P 作PH AB ∥，得到AB CD PH ∥∥，利用平行线的性质即可求解；本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，根据图形，正确作出辅助线是解题的关键．【解析】（1）解：如图所示，过点P 作PH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD PH ∥∥，∴180BFP HPF ∠+∠=︒，30HPE AEC ∠=∠=︒，∴18030210BFP FPE BFP HPF HPE +=++=︒+︒=︒∠∠∠∠∠；（2）解：如图所示，过点P 作PH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD PH ∥∥，∴FPH BFP ∠=∠，30HPA AEC ∠=∠=︒，∴30BFP FPE FPH FPE HPA ∠-∠=-==︒∠∠∠；（3）解：如图所示，过点P 作PH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD PH ∥∥，∴30HPE AEC ∠=∠=︒，180HPF BFP ∠+∠=︒，∵30HPF HPE FPE FPE =-=︒-∠∠∠∠，∴30180FPE BFP ︒-∠+∠=︒，∴150BFP FPE ∠-∠=︒．12．问题情境：如图1，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠度数．小明的思路是：过P 作PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．(1)按小明的思路，易求得APC ∠的度数为______度；（直接写出答案）(2)问题迁移：如图2，AB CD ∥，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在（2）的条件下，如果点P 在B 、D 两点外侧运动时（点P 与点O 、B 、D 三点不重合），请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．【答案】(1)110(2)APC αβ∠=+，理由见解析(3)当P 在BD 延长线上时，CPA αβ∠=-；当P 在DB 延长线上时，CPA βα∠=-．【分析】（1）过点P 作PE AB ，通过平行线性质求APC ∠即可；（2）过点P 作PE AB ，交AC 于E ，推出AB PE CD ，根据平行线的性质得出APE α=∠，CPE β=∠，即可得出答案；（3）分两种情况：P 在BD 延长线上时，P 在DB 延长线上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出APE α=∠，CPE β=∠即可得出答案．【解析】（1）解：过点P 作PE AB ，AB CD ∥ ，PE AB CD ∴∥∥，180PAB APE ∴∠+∠=︒，180PCD CPE ∠+∠=︒，130PAB ∠=︒ ，120PCD ∠=︒，50APE ∴∠=︒，60CPE ∠=︒，110APC APE CPE ∴∠=∠+∠=︒．故答案为：110；（2）APC αβ∠=+，理由：如图，过点P 作PE AB ，交AC 于E ，AB CD ∥ ，AB PE CD ∴∥∥，APE α∴=∠，CPE β=∠，APC APE CPE αβ∴∠=∠+∠=+；（3）当P 在BD 延长线上时，如图所示，由（2）可知APE α=∠，CPE β=∠，CPA αβ∴∠=-，当P 在DB 延长线上时，如图所示，由（2）可知APE α=∠，CPE β=∠，CPA βα∴∠=-，【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．题型5：一副三角板及其在平行线中的应用13．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中30,60,45A B C D ∠=︒∠=︒∠=∠=︒）(1)将三角尺如图1所示叠放在一起．①AOD ∠与BOC ∠大小关系是________；②BOD ∠与AOC ∠的数量关系是________．(2)小亮固定其中一块三角尺COD △不变，绕点O 顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA 与OC 重合开始，到图3的OA 与OC 在一条直线上时结束，探索AOB 的一边与COD △的一边平行的情况．①求当AB CD 时，如图4所示，AOC ∠的大小；②直接写出AOC ∠的其余所有可能值．【答案】(1)①相等；②180BOD AOC ∠+∠=︒(2)①75AOC ∠=︒；②30︒或45︒或120︒或135︒【分析】（1）①利用同角的余角相等，即可得到答案；②根据90DOC ∠=︒，90AOB BOC AOC ∠=∠+∠=︒，即可得到180BOD AOC ∠+∠=︒；（2）①过点O 作OE//AB 则AB ∥CD ∥OE ，即可得到AOE A ∠=∠=30°，COE C ∠=∠=45°即可得到答案；②分情况讨论：当AB OC ∥时；当OA CD ∥时，当AB OD ∥时，当OB CD ∥时，分别根据平行线的性质进行计算即可．【解析】（1）解：①AOD ∠与BOC ∠大小关系是相等；∵90AOD AOC ∠+∠=︒，90BOC AOC ∠+∠=︒，∴AOD BOC ∠=∠，故答案为：相等；②BOD ∠与AOC ∠的数量关系是：180BOD AOC ∠+∠=︒；∵90DOC ∠=︒，90AOB BOC AOC ∠=∠+∠=︒，∴180BOD AOC COD COB AOC ∠+∠=∠+∠+∠=︒；（2）解：①过点O 作OE AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD OE ∥∥，∴30AOE A ∠=∠=︒，45COE C ∠=∠=︒，∴75AOC AOE COE ∠=∠+∠=︒；②当AB OC ∥时，如图，则30AOC A ∠=∠=︒；当OA CD ∥时，如图，则45AOC C ∠==︒∠；当AB OD ∥时，如图，则60BOD B ∠=∠=︒，∴3609090120AOC BOD ∠=︒-︒-︒-∠=︒；当OB CD ∥时，则45BOD D ∠=∠=︒，∴3609090135AOC BOD ∠=︒-︒-︒-∠=︒；∴综上所述：AOC ∠的其余可能值为30︒或45︒或120︒或135︒．【点睛】本题考查了同角的余角相等，角的和差计算，平行线的判定和性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质，正确分类讨论．14．如图，直线PQ MN ∥，一副三角尺（90,30,ABC CDE ACB BAC ∠∠∠∠==︒=︒=60,45DCE DEC ∠∠︒==︒）按如图①放置，其中点E 在直线PQ 上，点B ，C 均在直线MN 上，且CE 平分ACN ∠．(1)求DEQ ∠的度数．(2)如图②，若将三角形ABC 绕点B 以每秒4度的速度逆时针方向旋转（,A C 的对应点分别为F ，G ），设旋转时间为t （s ）（045≤≤t ）；①在旋转过程中，若边∥BG CD ，求t 的值；②若在三角形ABC 绕点B 旋转的同时，三角形CDE 绕点E 以每秒3度的速度顺时针方向旋转（,C D 的对应点为H ，K ）请求出当边BG HK ∥时t 的值．30ACB ∠=︒ ，180150ACN ACB ∴∠=︒-∠=︒，CE 平分ACN ∠，//BG CD ，GBC DCN ∠=∠∴，DCN ECN ECD ∠∠∠=-=∵30GBC ∴∠=︒，430t ∴=，7.5t s ∴=，∴在旋转过程中，若边∥BG CD ②如图③中，当//BG HK 时，延长//BG HK ∵，GBN KRN ∠∠∴=，603,QEK t K QEK ∠∠∠=︒+= 90(603)30KRN t ∠∴=︒-︒+=︒//BG KR ，180GBN KRM ∴∠+∠=︒，603,QEK t EKR ∠∠∴=︒+120(18060KRM ∠∴=︒-︒-43180t t ∴+=︒，1807t s ∴=综上所述，满足条件的t 的值为【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．15．在数学活动课中，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形ABC 和三角形DEF ，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，45DEF DFE ∠=∠=︒，且AC DE <）开展数学活动．操作发现：(1)如图1，将三角形ABC 沿BC 方向移动，得到三角形111A B C ，我们会发现11AB A B ∥，推理的根据是：________；(2)将这副三角板如图2摆放，并过点E 作直线a 平行于边BC 所在的直线b ，点A 与点F 重合，求1∠的度数；(3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形DEF ，将三角形ABC 能点C 旋转一周，当AB DE ∥时，请判断直线BC 和直线b 是否垂直，并说明理由．【答案】(1)同位角相等，两直线平行(2)15︒(3)垂直，见解析【分析】（1）由平行线的判定方法或平移的性质可得答案；（2）过A 作直线AG a ∥，交ED 于G ，而a b ∥，则a AG b ∥∥，可得1EAG ∠=∠，ABC BAG ∠=∠，再利用角的和差关系可得答案；（3）如图所示，当AB DE ∥时，ABC 旋转到如下位置，延长B A ''交BA 于点H ，可得A B DE ''‖，证明AH A C '‖，而90CA B CAB ''∠=∠=︒，可得90ACA '∠=︒，即旋转角位90︒，可得90BCB ACA ''∠=∠=︒，从而可得结论．【解析】（1）解：同位角相等，两直线平行或平移前后的对应线段平行；（2）过A 作直线AG a ∥，交ED 于G ，而a b ∥，∴a AG b ∥∥，∴1EAG ∠=∠，同理ABC BAG ∠=∠，∴115EAG BAE BAG BAE ABC ∠=∠=∠-∠=∠-=︒．（3）垂直，理由如下如图所示，当AB DE ∥时，ABC 旋转到如下位置，延长B A ''交BA 于点HA B DE''‖∴90EDA DHA '∠=∠=︒∴90DHA AHA ''∠=∠=︒∴AH A C '‖，而90CA B CAB ''∠=∠=︒，∴90ACA '∠=︒，即旋转角位90︒，∴90BCB ACA ''∠=∠=︒，∴B C b '⊥．【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键．题型6：单个三角板在平行线中的应用16．在一次数学活动课上，同学们用一个含有60︒角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60CAB ∠=︒，EF GH ∥．(1)如图1，点C 在EF 上，点A 在GH 上，AB 与EF 交于点D ，若120∠=︒，求2∠的度数；(2)如图2，点C 在EF 上，点A 在EF 上方，点B 在GH 下方，BC 与GH 交于点Q ，作ACE ∠的角平分线并反向延长与CQH ∠的角平分线交于点O ，求O ∠的度数；(3)如图3，点C 在EF 上，点A 在直线EF ，GH 之间（不含在EF ，GH 上），点B 在GH 下方，AB ，BC分别与GH 交于点P ，Q ．设FCB n ∠=︒，是否存在正整数m 和n ，使得APH m FCB ∠=∠．若存在，请求出m 和n 的值；若不存在，请说明理由．EF GH ∥ ，EF OP GH ∴∥∥，DCE COP ∴∠=∠，POQ OQH ∠=∠CD 平分ACE ∠，QO 平分CQH ∠题型7：折叠问题17．如图1，现有一张纸条ABCD ，AD BC ∥，将纸条沿EF 折叠，点C 落在C '处，点D 落在D ¢处，D E '交BC 于点G ．(1)①若55DEF ∠=︒，则'∠=BGD ______；②若DEF x ∠=︒，则'∠=BGD ______；(2)如图2，在图1的基础上将纸条沿MN 继续折叠，点A 落在A '处，点B 落在B '处，已知60DEF ∠=︒，EF MA '∥，求证：MN D E '∥；(3)如图3，在图1的基础上将纸条沿BC 继续折叠，点C '落在C ''处，点D ¢落在D ''处，AE BF <，设AED x '∠=︒，求C FE ''∠的度数．（用含x 的式子表示）18．在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，点D ，E 分别在AB AC ，上，将DEA △沿DE 翻折，得到DEF ．(1)如图①，若70CED ∠=︒，则CEF ∠=______︒；(2)如图②，BDF ∠的平分线交线段BC 于点G .若CED BDG ∠=∠，求证BC DF ∥．(3)已知A α∠=，BDF ∠的平分线交直线BC 于点G .当DEF 的其中一条边与BC 平行时，直接写出BGD ∠的度数（可用含α的式表示）．（3）解：∥，如图①所示：①当ED BC∴190C ∠=∠=︒，∴180190ADF A α∠=︒-∠-∠=︒-，∴18090FDB ADF α∠=︒-∠=︒+，∵BDF ∠的平分线交线段BC 于点G ∴1124522BDF α∠=∠=︒+，∵90B α∠=︒-，∴11802452BGD B α∠=︒-∠-∠=︒+③当EF BC ∥，如图③所示：∴90FDB A α∠=∠=︒-，∵BDF ∠的平分线交线段BC 于点G ，∴114522GDB BDF α∠=∠=︒-，∴11452BGD GDB α∠=∠-∠=︒-；⑤当EF BC ∥时，F 在AB 的下方，如图⑤所示：∴1290α∠=∠=︒-，∵翻折，F A α∠=∠=，∴1902FDB F α∠=∠-∠=︒-，19．如图，已知四边形纸片ABCD 的边AB CD ∥，E 是边CD 上任意一点，BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 的位置．(1)观察发现：如图①所示：60C ∠=︒，45FED ∠=︒，则ABF ∠=______．(2)拓展探究：如图②，点F 落在四边形ABCD 的内部，探究FED ∠，ABF ∠，C ∠之间的数量关系，并证明；(3)迁移应用：如图③，点F 落在边CD 的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明．【答案】(1)15︒(2)FED ABF C ∠∠=∠+，证明见解析(3)不成立，数量关系应为：ABF FED C ∠-∠=∠，证明见解析【分析】（1）根据已知条件，结合平行线的性质，算出ABC ∠，再结合折叠、四边形内角和，算出FBC ∠，最后根据ABF ABC FBC ∠=∠-∠计算即可；（2）过点F 作MN CD ∥，交AD 于点M ，交BC 于点N ，由平行线的性质可得FED EFN ∠=∠，根据平行公理的推论可得MN AB ∥，继而得到NFB ABF ∠=∠，再结合折叠的性质可得数量关系；（3）过点F 作GH CD ∥，由平行线的性质可得FED HFE ∠=∠，根据平行公理的推论可得GH AB ∥，继而得到得ABF HFB ∠=∠，再结合折叠的性质可得数量关系．【解析】（1）解：AB CD ∥ ，BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 的位置，60C ∠=︒，45FED ∠=︒，180120ABC C ∴∠=︒-∠=︒，（两直线平行，同旁内角互补）180135FEC FED ∠=︒-∠=︒，60F C ∠=∠=︒，3603606060135105FBC F C FEC ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，（四边形内角和为360︒）12010515ABF ABC FBC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒（2）解：如下图，过点F 作MN CD ∥，交AD 于点M ，交BC 于点N则FED EFN ∠=∠，AB CD ∥ ，MN AB ∴∥，NFB ABF ∴∠=∠，FED ABF EFN NFB EFB ∴∠∠=∠∠=∠++，由折叠的性质得，BCE BFE ≌，EFB C ∴∠=∠（全等三角形对应角相等）FED ABF C∴∠∠=∠+（3）解：如下图，过点F 作GH CD ∥，则FED HFE ∠=∠，AB CD ∥ ，GH AB ∴∥，ABF HFB HFE BFE FED BFE ∴∠=∠=∠∠=∠∠++，由折叠的性质得，BCE BFE ≌，BFE C ∴∠=∠（全等三角形对应角相等）ABF FED C ∴∠=∠∠+，即ABF FED C∠-∠=∠【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．题型8：定值问题20．综合与实践问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边AD BC ∥，将纸片沿折痕EF 折叠，点A ，B 分别为点A '，B '，线段B F '与DE 交于点G （说明：折叠后纸带的边A E B F ''∥始终成立）操作探究：(1)如图1，若B F AD '⊥，则EFG ∠的度数为______°．(2)如图2，改变折痕EF 的位置，其余条件不变，小彬发现图中12∠=∠始终成立，请说明理由；(3)改变折痕EF 的位置，使点B '恰好落在线段AD 上，然后继续沿折痕MN 折叠纸带，点M ，N 分别在线段FC 和B D '上．①如图3，点C 的对应点与点B '重合，点D 的对应点为点.D '若70,80BFE CMN ∠=︒∠=︒，直接写出FB M '∠的度数．②如图4，点C ，D 的对应点分别为点C '，D ¢，点C '，D ¢均在AD 上方，若BFE α∠=，CMN β∠=，当FB MC ''∥时，直接写出α与β之间的数量关系．【答案】(1)45(2)说明理由见解析(3)①120FB M ∠='︒；②90αβ+=︒【分析】（1）由AD BC ∥，证明DEF BFE ∠=∠，由折叠知，BFE EFG ∠=∠，可得EFG DEF ∠=∠，结合B F AD '⊥，从而可得答案；（2）由A E B F ''∥，可得2DGB '∠=∠，由AD BC ∥，可得1DGB '∠=∠，从而可得答案；（3）①：由折叠得出2140B FB BFE '∠=∠=︒，同理得出180220B MF CMN '∠=︒-∠=︒，即可得出结论；②：同①的方法得，2BFB α'∠=，1802C MF β'∠=︒-，由平行得出BFB C MF ∠='∠'，即可得出答案．【解析】（1）解：在长方形ABCD 中，AD BC ∥，DEF BFE ∴∠=∠，由折叠知，BFE EFG ∠=∠，EFG DEF ∴∠=∠，B F AD '⊥ ，90AGF ∴∠=︒，90DEF EFG ∴∠+∠=︒，45EFG ∴∠=︒，故答案为：45；（2）解：∵A E B F ''∥，2DGB '∴∠=∠，∵AD BC ∥，1DGB '∴∠=∠，12∴∠=∠；（3）解：①：由折叠知，BFE BFE '∠=∠，2B FB BFE '∴∠=∠，180********B FM BFB ''∴∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒，同理：180220B MF CMN '∠=︒-∠=︒，1801804020120FB M B FM B MF '''∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；②：同①的方法得，2BFB α'∠=，1802C MF β'∠=︒-，∴FB MC ''∥，BFB C MF ''∴∠=∠，21802αβ∴=︒-，90αβ∴+=︒．【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质是解本题的关键．21．如图，AB CD ，点E 在直线AB 和CD 之间，且在直线BD 的左侧，14ABE CDE α∠=∠=．(1)如图1，求BED ∠的度数（用含α的式子表示）；(2)连接BD ，过点E 作EF BD ∥，交AB 于点F ，动点G 在射线BE 上，BEF k α∠=．①如图2，若5k =，DG 平分BDE ∠，判断DG 与BE 的位置关系并说明理由．②连接DF ，若12DFE DFB ∠=∠，DG BE ⊥于点G ，是否存在常数k ，使FDG ∠为定值，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．。
专题2.2 平行线的判定【八大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
合除外).
【变式 1-2】（2023 下·七年级单元测试）同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个
数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据题意先画出图形即可得到答案．
【详解】解：根据题意，第三条直线与这两条平行直线各有一个交点．如图，
故选：C． 【点睛】本题考查的是平面内，直线的位置关系的理解，相交线的交点的含义，利用数形结合的方法解题
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行 第7页 共 34页
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【详解】解：由题意得∠1 = ∠2，
根据内错角相等，两直线平行可得�1 ∥ �2 ． 故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
【变式 3-2】（2023 下·河北石家庄·七年级校考期末）数学课上老师要求同学们用三角板画已知直线�的平 行线�，如图是苗苗和小华画图的过程．老师说苗苗和小华两位同学的画法都是正确的．甲、乙两位同学分 别对苗苗和小华画平行线的依据进行了说明： 甲同学说：苗苗的画图依据是“同位角相等，两直线平行”； 乙同学说：小华的画图依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”． 对于甲、乙两同学的说法，下列判断正确的是（ ）
(1)过点�画直线� ∥� ；过点�画直线� ∥� ； (2)过点 画直线푀 ⊥ � ； (3)试判断直线� 与直线� 的位置关系． 【答案】(1)见解析；
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(2)见解析； (3)� ∥� ，理由见解析． 【分析】（1）根据网格线的特点作图； （2）根据网格线的特点作图； （3）根据平行线的传递性证明． 【详解】（1）解：如图，� ，� 即为所求；
“平行线”创新题型精析
“平行线”创新题型精析一、实际应用型例1 一个合格的弯形流水管道，经过两次拐弯后保持平行，但水流方向相反，问这两次拐弯的弯角有何关系？【分析】本题对我们来说，难在没有给出图形，但这是一道来原于生活的题，根据题意我们可以想象出如图1所示的图形．解：由题意可知要使AB∥CD，所以应满足∠B与∠C互补，（同旁内角互补，两直线平行，）所以两次拐弯的拐角互补．例2（烟台市中考试题）如图2，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是1200，第二次拐的角∠B是1500，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（）A．1200；B．1300；C．1400；D．1500.解析：设公路上第一次拐弯之前的道路起点为E，第三次拐弯之后的道路终点为F，过点B作BD//AE.则∠DBA =∠A =1200，∠DBC = ∠ABC - ∠DBA = 1500- 1200 =300.又因为AE//CF，所以CF//BD，则∠C = 1800 - ∠DBC = 1800 -300 =1500.故选D．二、探索开放型例3（浙江省台州市中考题）如图3，直线a，b均与c相交，形成∠1，∠2…，∠8共八个角，请填上你认为适当的一个条件：，使得a∥b．【分析】本题的结论已经给定，需要我们补充条件，使结论成立，运用的是“执果索因”的逆向思维模式．解：运用平行线的判定定理，可以得到很多种填法．利用“同位角相等，两直线平行”可知，所填条件可以是∠1=∠5，或∠2=∠6，或∠3=∠7，或∠4=∠8；利用“内错角相等，两直线平行”可知，所填条件可以是∠3=∠6，或∠4=∠5；利用“同旁内角互补，两直线平行”，所填条件可以是∠3+∠5=1800，或∠4+∠6=1800；结合“对顶角相等”等性质可知，所填条件还可以∠1=∠8，或∠2=∠7，或∠3=∠6，或∠4=∠5；或∠3+∠8=1800，或∠4+∠7=1800；或∠2+∠8=1800，或∠1+∠7=1800；等等．三、动手操作型例4 如图4，有一张不规则的纸，你能不用任何工具，在纸上折出两条平行的折痕吗？若能，请说出你的方法及理由．解析：可以．如图5，先将纸折一次①，再将纸沿折痕对折②，再沿着折痕对折一次③，即可得到平行的折痕AB ∥CD ．理由：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两直线平行．四、学科渗透型例5 如图6所示，潜望镜的两个镜子是平行放置的，光线经过镜子反射后，图4有∠1＝∠3，∠4＝∠6，请你解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？【分析】本题先从平行线的性质：“两直线平行，内错角相等”出发，利用已知条件可得出∠2＝∠5，再利用平行线的判定：“内错角相等，两直线平行”即可．解：因为镜子是平行的，所以可以看作是两条平行线，根据两直线平行，内错角相等，所以∠4＝∠3，又因为∠1＝∠3，∠4＝∠6，所以∠1＝∠3＝∠4＝∠6，所以∠2＝180°－∠1－∠3＝180°－∠4－∠6＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，所以进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的．。
八年级数学上册《平行线性质常考题型总结》
八年级数学上册《平行线性质常考题型总
结》
本文总结了八年级数学上册中关于平行线性质的常考题型，方
便同学们复。
一、基本概念
平行线是在同一个平面内，永远不相交的直线。
下列命题是等
价命题：
- 直线 $a$ 与直线 $b$ 平行。
- 直线 $a$ 和直线 $b$ 在同一个平面内，且这两条直线没有交点。
- 分别平行于直线$a$ 和直线$b$ 的任意两条直线，要么平行，要么相交而形成相同角度的对应角。
二、基本性质
1. 平行线的对应角相等。
对应角是指两条平行线被一条截线分
割所形成的一组内角和外角。
2. 平行线上的任意一对同旁内角互补。
3. 平行线上的任意一对同位角相等。
同位角指两条平行线被截
线分割所形成的同侧内角。
三、常考题型
1. 判断题型：判断两条直线是否平行。
2. 计算题型：根据已知条件，计算平行线之间的角度大小。
3. 运用题型：
- 延长线求交点位置：如图中 $AB\parallel CD$，$E$、$F$ 分
别在 $AB$、$CD$ 上，连接 $EF$ 交 $AD$、$BC$ 于点 $G$、$H$，证明 $GH\parallel AB$。
- 近似计算求长：如图中，正方形 $ABCD$ 中 $E$ 为 $CD$ 的中点，$F$ 在 $AE$ 上，且 $\angle BEF=60\degree$，求 $EF$ 的长度。
希望同学们认真复习上述知识点，做好各类题型的练习，从而加深对平行线性质的理解，提高数学成绩！。
专题08 平行线的证明章节8种题型梳理
专题08 平行线的证明章节10种题型梳理基础知识点：知识点1-1 定义与命题1）命题的概念：判断一件事件的句子叫作命题2）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题，我们称为真命题3）假命题：如果题设成立，结论不一定成立的命题，我们称为假命题。
注：“不一定”成立，即只要有一个反例即不成立4）定理：经过我们一定的推理，得到的真命题叫作定理。
5）证明：推理的过程我们叫作证明。
注：①命题必须是一个完整的句子（即必须包含题设（假如，有时题设是隐藏的），还有论断（那么）），且必须对这个句子作出判断。
②命题即可以是真命题，也可以是假命题。
5）常用定理：①同角（等角）的补角相等；②同角（等角）的余角相等；③对顶角相等；④三角形的任意两边之和大于第三边。
知识点1-2 平行线的判定1）判定方法一：同位角相等，两直线平行2）判定方法二：内错角相等，两直线平行3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。
即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）知识点1-3平行线的性质1）两直线平行，同位角相等; 2）两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系。
知识点1-4 三角形的内角和定理1）三角形内角和定理：（1）定理：三角形三个内角和等于180度；（2）直角三角形的两个锐角互余2）三角形的外角（1）外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个）（2）外角性质：○1三角形的外角等于和它不相邻两内角的和；○2三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角；○3三角形外角和为360度。
重难点题型题型1 推理与论证解题技巧：作此类题型，要注意多体会证明过程中的因果逻辑关系。
1．（2020·全国）下列结论推理合理的是（）A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多【解析】解：A. 王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等，不合理；B. 因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题，不合理；C. 因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好，不合理；D. 因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多，合理．故选：D．【点睛】本题考查推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键．2．（2020·全国）三个同学在玩“我是大侦探”游戏，小张、小王、小李三人中有一个是卧底．小张说：“我就是卧底．”小王说：“我不是卧底．”小李说：“小张不是卧底．”他们三人中只有一人说的是真话，那么谁是真正的卧底？【解析】解：根据题干分析：小张和小李必定有一个人说了真话：假设小张说的是真话，那么小李说：“小张不是卧底．”就是假话，这与小张说：“我就是卧底．”相矛盾，故此假设不成立；则小李说的才是真话，即小张不是卧底，那么小张和小王都在说谎，所以小王说：“我不是卧底．”就是假话，那么小王是真正的卧底．故答案为：小王是真正的卧底．3．（2020·山东新泰初二期末）某地发生车祸，A、B、C三名司机中有一位司机肇事，警察找了A、B、C 三个司机询问，A说：“是B肇事.”，B说：“不是我肇事.”，C说：“不是我肇事.”，这三个司机中只有一人说的话正确，请问，聪明的同学，你可以推断出是司机_______肇事.【解析】（1）假设A是肇事者，则题中B、C的说法都是正确的，这与已知“三人中只有一人的话正确”矛盾，故假设不成立，所以A不是肇事者；（2）假设B是肇事者，则题中A、C的说法都是正确的，这与已知“三人中只有一人的话正确”矛盾，故假设不成立，所以B不是肇事者；（3）假设C是肇事者，则题中只有B的说法正确，这与已知“三人中只有一人的话正确”是一致的，故假设成立，所以C是肇事者；综上所述，司机C是肇事者.故答案为：C.4.（2020•东城区初二期末）某班对道德与法治，历史，地理三门程的选考情况进行调研，数据如下：其中道德与法治，历史两门课程都选了的有3人，历史，地理两门课程都选了的有4人，该班至多有多少学生（）A．41B．42C．43D．44【答案】解：如图，设三门课都选的有x人，同时选择地理和道德与法治的有y人，根据题意得，只选道德与法治有[19﹣3﹣y]＝（16﹣y）人，只选历史的有[13﹣3﹣（4﹣x）]＝（6+x）人，只选地理的有（18﹣4﹣y）＝（14﹣y）人，即：总人数为16﹣y+y+14﹣y+4﹣x+6+x+3＝43﹣y当同时选择地理和道德与法治的有0人时，总人数最多，最多为43人．故选：C．5.（2020•海州区初二期中）妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，放茶叶要用2分钟，给同学打电话要用1分钟．为使客人早点喝上茶，小明最快可在几分钟内完成这些工作？（）A．19分钟B．18分钟C．17分钟D．16分钟【答案】解：小明应先洗开水壶用1分钟，再烧开水用15分钟，在烧水期间，洗茶壶用1分钟，洗茶杯用1分钟，放茶叶用2分钟，给同学打电话用1分钟，一共用5分钟，不用算入总时间，故为使客人早点喝上茶，小明最快可在16分钟内完成这些工作．故选：D．6.（2020•启东市初二月考）A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（）A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C【答案】解：由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次，且第一名是B队．那么甲、乙的猜测情况可表示为：甲：错、错、对、错；乙：错、错、错、对．因此结合两个人的猜测情况，可得出正确的名次顺序为B、A、C、D．故选：A．题型2 平行公论及推论1．已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（）A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥cC．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c【解析】解：A 、，是真命题，故本选项不符合题意；B 、，应为a ∥c ，故本选项是假命题，故本选项符合题意；C 、，是真命题，故本选项不符合题意；D 、，是真命题，故本选项不符合题意．故选：B ．2．（2020·湖南永州·初二期末）下列说法中不正确的是 （ ）A ．三条直线a ，b ，c 若//a b ，//b c ，则//a cB ．在同一平面内，若直线//a b ，c a ⊥，则c b ⊥C ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行【解析】A ．三条直线a ，b ，c 若//a b ，//b c ，则//a c ，即平行于同一条直线的两条直线平行，故正确；B ．在同一平面内，若直线//a b ，c a ⊥，则c b ⊥，根据平行线的性质可确定正确；C ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可确定正确；D ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，不正确，应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故选：D ．3．（2020·贵州铜仁·初二期末）已知同一平面内的三条直线,,,a b c 如果,a b b c ⊥⊥，那么a 与c 的位置关系是（ ）A ．a c ⊥B ．a c ⊥或//a cC ．//a cD ．无法确定【解析】解：∵同一平面内的三条直线,,a b c 满足,a b b c ⊥⊥，∴//a c ．故选：C ．4．（2020·江苏清江浦·初二期末）下列命题中，是真命题的有（ ）①同位角相等；②对顶角相等；③同一平面内，如果直线l 1∥l 2，直线l 2∥l 3，那么l 1∥l 3；④同一平面内，如果直线l 1⊥l 2，直线l 2⊥l 3，那么l 1∥l 3．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】解：①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；②对顶角相等，是真命题；③同一平面内，如果直线l 1∥l 2，直线l 2∥l 3，那么l 1∥l 3；是真命题；④同一平面内，如果直线l 1⊥l 2，直线l 2⊥l 3，那么l 1∥l 3，是真命题；故选：D .5．（2020·内蒙古临河·初二期末）对于同一平面内的三条直线a ,b ,c ，给出下列5个论断：① //a b ；② //b c ； ③ a b ⊥ ； ④ //a c ；⑤ a c ⊥ ；以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论组成命题，下列命题不正确的是（ ）A ．若①②，则④B ．若①②，则⑤C ．若②④，则①D ．若③⑤，则②【解析】根据平行线的传递性，由①②可得到④，所以A 正确，不能得到⑤，则B 错误，根据平行线的传递性，由②④可得到①，所以C 正确，根据平行线的性质和垂直的定义，由③⑤可得②，所以D 正确．故选：B ．6．（2020·全国初二单元测试）设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，（1）若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________；（2）若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________；（3）若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．【解析】根据平行公理的推论，可由//,//a b b c ，得出a ∥c ；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由,a b b c ⊥⊥，得到a ∥c ；根据//a b ，b c ⊥，得到a ⊥c.故答案为平行，平行，垂直.题型3 平行线的判定与性质证明1．（2020·河北孟村初二期中）如图，AF ∥CD ，CB 平分∠ACD ，BD 平分∠EBF ，且BC ⊥BD ，下列结论：① BC 平分∠ABE ；② AC ∥BE ；③ ∠CBE +∠D ＝90°；④ ∠DEB ＝2∠ABC ．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】∵AF ∥CD ， ∴∠ABC=∠ECB ，∠EDB=∠DBF ，∠DEB=∠EBA ，∵CB 平分∠ACD ，BD 平分∠EBF ， ∴∠ECB=∠BCA ，∠EBD=∠DBF ，∵BC ⊥BD ， ∴∠EDB+∠ECB=90°，∠DBE+∠EBC=90°，∴∠EDB=∠DBE ， ∴∠ECB=∠EBC=∠ABC=∠BCA ， ∴①BC 平分∠ABE ，正确；∴∠EBC=∠BCA，∴②AC∥BE，正确；∴③∠CBE+∠D=90°，正确；∵∠DEB=∠EBA=2∠ABC，故④正确；故选D．2.（2020•安庆期中）如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，点D，F是垂足，∠1＝∠2，求证：∠ADG＝∠C．【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），∴∠3＝∠4＝90°（垂直的定义），∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠CBD（等量代换），∴GD∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠ADG＝∠C（两直线平行，内错角相等）．3.（2020•西湖区校级月考）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠AED＝55°，∠B＝45°，求∠A的度数．【答案】（1）证明：延长EF交BC于H，∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），∴∠2+∠4＝180°（等量代换），∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），又∵∠3＝∠B（已知），∴∠B＝∠ADE（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）；（2）∵DE∥BC（已知），∴∠ADE＝∠B＝45°（两直线平行，同位角相等），∵∠AED＝55°，∴∠A＝180°﹣45°﹣55°＝80°．4.（2020•西湖区校级月考）已知如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．（1）判断BD与CE是否平行，并说明理由；（2）说明∠A ＝∠F 的理由．【答案】解：（1）BD ∥CE ，理由如下：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴BD ∥CE ；（2）理由如下：∵BD ∥CE ，∴∠C ＝∠4．∵∠C ＝∠D ，∴∠D ＝∠4，∴AC ∥DF ，∴∠A ＝∠F ．5.（2020•西湖区月考）如图，已知AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠4＝∠C ，那么∠1＝∠2，谈谈你的理由．【答案】解：理由是：∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠EFC ＝90°，∴AD ∥EF ，∴∠1＝∠3， ∵∠4＝∠C ，∴DH ∥AC ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2．6．如图，已知//AB CD ，50A C ∠=∠=︒，线段AD 上从左到右依次有两点E 、F （不与A 、D 重合）（1）求证：//AD BC ；（2）比较1∠、2∠、3∠的大小，并说明理由；（3）若:1:4FBD CBD ∠∠=，BE 平分ABF ∠，且1BDC ∠=∠，判断BE 与AD 的位置关系，并说明理由．【解析】解：（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠A+∠ADC=180°，∵∠A=50°，∴∠ADC=130°，∵∠C=50°，∴∠C+∠ADC=180°，∴AD∥BC；（2）∠1＞∠2＞∠3，∵AD∥BC，∴∠1=∠EBC，∠2=∠FBC，∠3=∠DBC，∵∠EBC＞∠FBC＞∠DBC，∴∠1＞∠2＞∠3；（3）∵AD∥BC，∴∠1=∠EBC，∵AB∥CD，∴∠BDC=∠ABD，∵∠1=∠BDC，∴∠ABE=∠DBC，∵BE平分∠ABF，设∠FBD=x°，则∠DBC=4x°，∴∠ABE=∠EBF=4x°，∴4x+4x+x+4x=130°，∴x=10°，∴∠1=4x+x+4x=90°，∴BE⊥AD．题型4 三角形内角和与平行线1．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为点E，∠2=40°，则∠1的度数是______．【解析】解：∵AB∥CD，∠2=40°，∴∠EDF=∠2=40°，∵FE⊥DB，∴∠FED=90°，∠1=180°-∠FED-∠EDF=180°-90°-40°=50°，故答案为50°．2.（2020•自贡期中）如图，将一副三角板如图放置，若AE∥BC，则∠BAD＝（）A．90°B．85°C．75°D．65°【解析】解：∵AE∥BC，∴∠ADB＝∠DAE＝45°，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，故选：C．3．（2020•长安区初二期末）一副三角板如图放置，点D在CB的延长线上，EF∥CD，∠C＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠EFD＝30°，则∠DFB＝（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】解：由题意可得：∠EFD＝30°，∠ABC＝45°，∵EF ∥CD ，∴∠BFE ＝∠ABC ＝45°，∴∠DFB ＝45°﹣30°＝15°．故选：A ．4.（2020•常熟市二模）如图，△ABC 是一块直角三角板，∠C ＝90°，∠A ＝30°，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D 、E ，AB 与直尺的两边分别交于点F 、G ，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】解：∵DF ∥EG ，∴∠1＝∠DFG ＝40°，又∵∠A ＝30°，∴∠2＝∠A +∠DFG ＝30°+40°＝70°，故选：D ．5.（2020•卧龙区一模）如图，直线m ∥n ，△ABC 的顶点B ，C 分别在直线n ，m 上，且∠ACB ＝90°，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°【答案】解：如图：∵m ∥n ，∠1＝30°，∴∠3＝∠1＝30°．∵∠ACB ＝90°，∴∠4＝∠ACB ﹣∠3＝90°﹣30°＝60°，∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣60°＝120°．故选：C ．6．已知//,MN GH 在Rt ABC 中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点A 在MN 上，边BC 在GH 上，在Rt DEF △中，90,DFE ∠=︒边DE 在直线AB 上，45EDF ∠=︒；（1）如图1，求BAN ∠的度数； （2）如图2，将Rt DEF △沿射线BA 的方向平移，当点F 在M 上时，求AFE ∠度数；（3）将Rt DEF △在直线AB 上平移，当以A D F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN ∠度数．【解析】解：（1）//MN GH ，180ACB NAC ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90CAN ∴∠=︒，30BAC ∠=︒，9060BAN BAC ∴∠=︒-∠=︒；（2）由（1）知，60BAN ∠=︒，45EDF ∠=︒，18075AFD BAN EDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，90DFE ∠=︒，15AFE DFE AFD ∴∠=∠-∠=︒；（3）当90DAF ∠=︒时，如图3，由（1）知，60BAN ∠=︒，30FAN DAF BAN ∴∠=∠-∠=︒；当90AFD ∠=︒时，如图4，90DFE ∠=︒，∴点A ，E 重合， 45EDF ∠=︒，45DAF ∴∠=︒，由（1）知，60BAN ∠=︒，15FAN BAN DAF ∴∠=∠-∠=︒， 即当以A 、D 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，FAN ∠度数为30或15︒．题型5 三角形外角性质与平行线1．（2020·黑龙江香坊初二期末）如图，AB ∥CD, AC ∥BD, CE 平分∠ACD ，交BD 于点E ，点F 在CD 的延长线上，且∠BEF=∠CEF ，若∠DEF=∠EDF ，则∠A 的度数为_____︒.【答案】108分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF ，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED ，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.【解析】∵CE 平分∠ACD ∴∠ACE=∠DCE∵AB ∥CD ，AC ∥BD, ∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF ，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED ∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF设∠B=x ，则∠A=180°-x ，∠ACE=∠ECD=∠CED=12x ，∴∠EDF=x ，∠BEF=32x ∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x ∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+12x=360° 解得x=72°∴∠A=180°-72°=108°.故答案为108.2．（2020·广东初三其他）将一副三角板（30,45AE ∠︒∠︒＝＝）按如图所示方式摆放，使得//BA EF ，则AOF ∠等于（ ）A ．75︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒ 【解析】解：//,30BA EF A ∠︒＝，30FCA A ∴∠=∠=︒．45F E ∠∠︒＝＝，304575AOF FCA F ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．故选：A ．3．（2020·仪征市实验中学初三三模）如图，点D 在△ABC 的边AB 的延长线上，DE ∥BC ，若∠A ＝35°,∠C ＝24°,则∠D 的度数是（ ）A ．24°B ．59°C ．60°D ．69°【解析】∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，又∵DE∥BC，∴∠D=∠DBC=59°，故选B.4.（2020•西湖区校级月考）已知l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2＝32°，那么∠1等于（）A．28°B．32°C．20°D．16°【答案】解：∵∠C＝90°，∠2＝∠CFE＝32°，∴∠4＝58°，∵l1∥l2，∴∠3＝∠4＝58°，∵∠3是△ADG的外角，∴∠1＝∠3﹣∠A＝58°﹣30°＝28°，故选：A．5.（2020•泰兴市校级期中）如图，直线AE∥DF，若∠ABC＝120°，∠DCB＝95°，则∠1+∠2的度数为（）A．45°B．55°C．35°D．不能确定【答案】解：∵AE∥DF，∴∠3+∠4＝180°，∵∠ABC＝∠1+∠3＝120°，∠DCB＝∠2+∠4＝95°，∴∠1+∠3+∠2+∠4＝120°+95°，∴∠1+∠2＝215°﹣180°＝35°，故选：C．6．（2020·广西港南初二期末）已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．【解析】（1）如图1，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．理由如下：过点P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；（2）不成立如图2，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下：∵l1∥l2，∴∠PED=∠PAC，∵∠PED=∠PBD+∠APB，∴∠PAC=∠PBD+∠APB．如图3，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下：∵l1∥l2，∴∠PEC=∠PBD，∵∠PEC=∠PAC+∠APB，∴∠PBD=∠PAC+∠APB．题型6 三角形内角和与角平分线1．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（）A．5°B．13°C．15°D．20°【解析】在△ABC 中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE=∠CAE=41°.又∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD 中∠BAD=90°−∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°.2．如图，在△ABC 中，∠ACB =60°，∠ABC =α（20°<α<120°），AE 平分△ABC 的外角∠BAD ，CF 将∠ACB 分成1：2两部分．若AE 、CF 交于点G ，则∠AGC 的度数为_________（用含α的代数式表示）．【解析】解：如图：在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，ABC α∠=，60DAB ACB ABC α∴∠=∠+∠=︒+，AE ∵平分DAB ∠，111(60)30222DAE DAB αα∴∠=∠=⨯︒+=︒+， 11180180(30)15022CAE DAE αα∴∠=︒-∠=︒-︒+=︒-， ①60ACB ∠=︒，当:1:2ACG BCG ∠∠=时，则20ACG ∠=︒， 所以11180180(150)201022AGC CAE ACG αα∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒=+︒； ②60ACB ∠=︒，当:2:1ACG BCG ∠∠=时， 则40ACG ∠=︒， 所以11180180(150)401022AGC CAE ACG αα∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒=-︒； 综上所述：AGC ∠的度数是1102α+︒或1102α-︒．故答案为：1102α+︒或1102α-︒． 3．（2020·江苏扬州教育学院附中初二期中）如图，AD 、AE 分别是△ABC 的角平分线和高，∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠DAE ＝_____________°．【答案】10【解析】解：∵∠B=50°，∠C=70°，∴∠BAC=180°-∠B -∠C=180°-50°-70°=60°，∵AD是角平分线，∴∠BAD=12∠BAC=12×60°=30°，∵AE是高，∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．故答案为：10．4.（2020•南昌期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，∠CAB与∠BD的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．【答案】证明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）在AP、CD相交线中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，在AB、DP相交线中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，∵AP、DP分别平分∠CAB、∠BDC，∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，∴∠B+∠C＝2∠P．5．如图，将△ABC纸片沿DM折叠，使点C落在点C'的位置，其中点D为AC边上一定点，点M为BC 边上一动点，点M与B，C不重合．（1）若∠A＝84°，∠B＝61°，则∠C'＝°；（2）如图1，当点C'落在四边形ABMD内时，设∠BM C'＝∠1，∠AD C'＝∠2，探索∠C'与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；（3）在点M运动过程中，折叠图形，若∠C'＝35°，∠BM C'＝53°，求∠AD C'的度数．【解析】（1）在△ABC中，∠A=84º，∠B=61º，由∠A+∠B+∠C=180º得：∠C=180º-84º-61º=35º，由折叠性质得：∠C′=∠C=35º，故答案为：35；（2）在△CDM中，∠CDM+∠CMD+∠C=180º，即∠CDM+∠CMD=180º﹣∠C，由折叠性质得：∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，∵∠1+∠C′MD+∠CMD=180º，∠2+∠C′DM+∠CDM=180º，∴∠1+∠2=360º﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，∴∠1+∠2=2∠C′；（3）设∠BM C'＝∠1=53º，∠AD C'＝∠2，当点C′落在△ABC的内部时，由（2）知，∠2=2C′-∠1=2×35º-53º=17º；当点C′落在如图1位置时，同（2）中方法由∠1+∠2=2∠C′，∴∠2==17º；当点C′落在如图2位置时，在△CDM中，∠CDM+∠CMD=180º﹣∠C，由折叠性质得：∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，∵∠1+∠C′MD+∠CMD=180º，∠C′DM+∠CDM﹣∠2=180º，∴∠1﹣∠2=360º﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，∴∠1﹣∠2=2∠C′，∴∠2=∠1﹣2∠C′=53º-70º=﹣17º（舍去）；当点C′落在如图3位置时，∵∠C′MD+∠CMD﹣∠1=180º，∠C′DM+∠CDM+∠2=180º，∴∠2﹣∠1=360º﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，∴∠2﹣∠1=2∠C′，∴∠2=2∠C′+∠1=70º+53º=123º，综上，∠AD C'的度数为17º或123º．图1 图2 图3题型7 三角形的外角性质与角平分线1．（2020·河北定州初三二模）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（）A．40°B．45°C．50°D．55°【解析】∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=12∠ACD=50°，故选C．2（2020•内江期末）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．【答案】解：∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，∴∠BAC＝54°，∴∠MAC＝126°，∵AE是∠BAC外角的平分线，∴∠MAE＝∠MAC＝63°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝23°，∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．3．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．求∠BDC的大小（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，求∠BFC的大小（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．【解析】解：（1）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝12∠ABC，∠BCD＝12∠ACB，∴∠DBC+∠BCD＝12（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣2α，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+2α；（2）∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，∴∠FBC＝12∠ABC，∠FCE＝12∠ACE，∵∠ACE ＝∠A +∠ABC ，∠FCE ＝∠BFC +∠FBC ，∴∠BFC ＝12∠A ＝2α； （3）∵∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M ，∴方法同（1）可得∠BMC ＝90°+2G ∠， ∵将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∴∠G ＝∠BFC ＝2α，∴∠BMC ＝90°+4α.4．（1）如图1，ABC 的内角ABC ∠的平分线与外角ACD ∠的平分线相交于P 点，请探究P ∠与A ∠的关系，并说明理由（2）如图②③，四边形ABCD 中，设,,A D P αβ∠=∠=∠为四边形ABCD 的内角ABC ∠与外角DCE ∠的平分线所在直线相交而形成 锐角，请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图②，若180αβ︒+>，求P ∠的度数（用的代数式表示，记得把图转化为图）②如图③，若180αβ︒+<，请在图③中画出P ∠，并直接写出P ∠=______（用,αβ的代数式表示）【解析】（1）如图1中，结论：2∠P ＝∠A ．理由：∵∠PCD ＝∠P+∠PBC ，∠ACD ＝∠A+∠ABC ，∵P 点是∠ABC 和外角∠ACD 的角平分线的交点，∴2∠PCD ＝∠ACD ，2∠PBC ＝∠ABC ，∴2（∠P+∠PBC ）＝∠A+∠ABC ，2∠P+2∠PBC ＝∠A+∠ABC ，2∠P+∠ABC ＝∠A+∠ABC ， ∴2∠P ＝∠A ；（2）①延长BA 交CD 的延长线于F ．∵∠F ＝180°﹣∠FAD ﹣∠FDA ＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，由（1）可知：∠P ＝12∠F ，∴∠P ＝12（α+β）﹣90°；②如图3，延长AB 交DC 的延长线于F ．∵∠F ＝180°﹣α﹣β，∠P ＝12∠F ，∴∠P ＝12（180°﹣α﹣β）＝90°﹣1122αβ-． 5．（1）发现：如图1，ABC ∆的内角ABC ∠的平分线和外角ACD ∠的平分线相交于点O 。
平行线的常考经典题型_2
七年级（下）数学提高讲义第二讲 平行线常考经典题型例1、翻折如图，把一张长方形纸带沿着直线GF 折叠，∠CGF=30°，则∠1的度数是 ．【练习】如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100°，那么∠1的度数为 ．例2、旋转一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B 、C 、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n°后（0＜n ＜180 ），如果EF ∥AB ，那么n 的值是 ．【练习】将一副直角三角尺ABC 和CDE 按如图方式放置，其中直角顶点C 重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形CDE 绕点C 旋转，若DE ∥BC ，则直线AB 与直线CE 的较大的夹角∠1的大小为 度．1A E DBC例3、平行线的性质已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．【练习】1. 如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．若∠E n=1度，那∠BEC等于度2．如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．4.数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论。
平行线四种常见模型解题技巧(学生版)
平行线四种常见模型解题技巧题型聚焦题型一：“猪蹄”模型题型二：“铅笔”模型题型三：“鸡翅”模型题型四：“骨折”模型难题突破模型一：“猪蹄”模型如图，若AB⎳CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？解：∠B+∠D=∠DEB．理由如下：过点E 作 EF⎳AB又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠DEB即∠B+∠D=∠DEB．猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。
如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小结证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。
重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。
猪蹄模型(又名燕尾模型、M字模型)结论：∠B+∠D=∠E步骤总结步骤一：过猪蹄(拐点)作平行线步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三：推导出角的数量关系模型二、“铅笔”模型如图，AB⎳CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B+∠D+∠DEB=360°．理由如下：过点E 作 EF⎳AB．又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠B+∠BEF=180°．∠D+∠DEF=180°．∴∠B+∠D+∠DEB=∠B+∠D+∠BEF+∠DEF=360°．即∠B+∠D+∠DEB=360°．从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。
模型结论：∠B+∠E+∠D=360°二、模型证明如图，若AB⎳CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°证明一：如图，过点E作FG⎳AB∵ AB⎳FG，AB⎳CD∴ FG⎳CD∵ AB⎳FG∴∠BEF+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)∵FG⎳CD∴ ∠D+∠DEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°证明二：如图，连接BD，∵AB⎳CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。
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平行线中的题型解析
平行线是是平面几何的基础内容，在简单的背景下，富有新意的题型也层出不穷，可谓生动活泼，奥妙无穷，下面选择几例希望对同学们有所帮助．
一、操作型
例1 如图1，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 析解：从图中可以看出，三角板平移的过程中，角的
大小不变，因此根据的依据是同位角相等，两直线平行．
评注：平行线的条件和特征是互逆的，我们在运用时，
要搞清条件和结论，不要混淆，象本题中，不能写成两直
线平行，同位角相等．
二、网格判断型
例2 如图2，在正方形网格中，∠1、∠2、∠3的大
小关系是（ ）
A ．∠1=∠2>∠3
B ．∠1<∠2<∠3
C ．∠1>∠2>∠3
D ．∠1=∠2=∠3 析解：观察网格，AB 、CD 都是“1×3”的长方形的对角线，有AB ∥CD ，根据“两直线平行，内错角相等”，得到∠1=∠2，用类似的方法可以得出∠2>∠3，故选A ． 评注：我们常用网格研究线段的平行、垂直问题，一般的方法就是通过线段放在网格中的长方形中，作为长方形的对角线研究．
三、结论探索型
例3 将直尺与三角板按如图4所示的方式叠放在一起，在
图中标示的角中，写出所有与∠1互余的角． 析解：因为∠AEB=90°，所以∠1+∠2=90°，因为AB ∥CD ，所以∠2=∠3，∠2=∠4，所以∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，故与∠1互余的角有三个，分别是∠2，∠3，∠4． 评注：解决这类问题，同学们需要熟练掌握余角、对顶角
及直线平行的条件．
四、条件、结论探索型
例４ 对于同一平面内的三条直线a 、b 、c ，给出下列五个论断：①a ∥b ；②b ∥c ；③a ⊥b ；④a ∥c ；⑤a ⊥c ，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的判断，并以其中一个为例画出图形，简要说明理由．
解析：该题要求在五个论断中选取两个论断为条件，再从剩下的论断中选取一个为结论，组成一个正确的判断，则可以有：①②→④；②③→⑤；③⑤→②．
以②③→⑤为例，如图5所示，理由如下：
因为a ⊥b 所以∠1=90° 因为b ∥c
所以∠2=∠190° 所以a ⊥c
评注：这类开放性问题具有较强的灵活性，解决这类问题的关建是先确定可能有哪些判断，再确定其是否正确．
D C B A 654321
21a c b
321E D
C B A。