山东省济宁市2015届高考数学专题复习 第32讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习 新人教A版

第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考情展望] 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围).2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围.3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案．一、二元一次不等式表示的平面区域及其判断方法 1．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax ＋By ＋C ＝0分成三类： (1)满足Ax ＋By ＋C ＝0的点； (2)满足Ax ＋By ＋C >0的点； (3)满足Ax ＋By ＋C <0的点．2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0把坐标平面内不在直线l 上的点分为两部分，当点在直线l 的同一侧时，点的坐标使式子Ax ＋By ＋C 的值具有相同的符号，当点在直线l 的两侧时，点的坐标使Ax ＋By ＋C 的值具有相反的符号．二、线性规划中的基本概念二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值同直线z －ax －by ＝0在y 轴上截距的关系 求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y ＝－ab x ＋z b的截距z b的最值间接求出z 的最值．(1)当b ＞0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值．(2)当b ＜0时，结论与b ＞0的情形恰好相反．1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0x －y ＋2<0表示的平面区域是( )【解析】 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及左下方部分，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0右上方部分．故不等式组表示的平面区域为选项B 所示部分． 【答案】 B2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1【解析】 可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3,2)．∴z 最大＝3×3＋2＝11. 【答案】 B3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【解析】 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈N x ＋y ≤7010x ＋6y ≤480，甲、乙两车间每天能够获得的利润为280x ＋200y ，画出可行域，由线性规划可知当直线z ＝280x ＋200y 经过x ＋y ＝70与10x ＋6y ＝480的交点(15,55)时，z ＝280x ＋200y 取到最大值，因此，甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱时，每天能够获得的利润最大．【答案】 B4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是________．【解析】 不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0得A (1，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y －4＝0得B (1，－3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x －y －4＝0得C (2，－2)，∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.【答案】 15．(2013·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0【解析】 作出可行域如图阴影部分．作直线2x ＋y ＝0，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得A (1,0)，B (2,0)，∴z min ＝2，z max ＝4. 【答案】 B6．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】 如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得A (3，－1)．当M 点与A 重合时，OM 的斜率最小，k OM ＝－13.【答案】 C考向一 [109] 二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2，表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．6(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34【思路点拨】 (1)画出不等式组表示的平面区域，确定平面区域的形状，从而求出面积．(2)画出平面区域，显然点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43在已知的平面区域内，直线系过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．【尝试解答】 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2.表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求，求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.【答案】 (1)B (2)A规律方法1 1.解答本例 2 的关键是根据直线y ＝kx ＋43 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 ，利用面积相等确定直线所经过的边界上的点.2.二元一次不等式 组 表示平面区域的判定方法：1 同号上，异号下.当B Ax ＋By ＋C >0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方，当B Ax ＋By ＋C <0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方.2 直线定界、特殊点定域.应注意是否包括边界，若不包括边界，则应将边界画成虚线；若直线不过原点，特殊点常选取原点.对点训练 已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．0【解析】 其中平面区域kx －y ＋2≥0是含有坐标原点的半平面，直线kx －y ＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据平面区域面积为4，得A (2,4)，代入直线方程，得k ＝1. 【答案】 A考向二 [110] 求目标函数的最值(2013·课标全国卷Ⅰ改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，－1≤x －y ≤0，(1)求z ＝2x －y 的最大值．(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．【思路点拨】 明确目标函数z 的几何意义，数形结合找最优解，代入求值．【尝试解答】 (1)作出可行域，进一步探索最大值． 作出可行域如图阴影部分．作直线2x －y ＝0，并向右平移，当平移至直线过点B 时，z ＝2x －y 取最大值．而由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＝0，得B (3,3)．∴z max ＝2×3－3＝3.(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离，观察可行域知，可行域内的点A 和点C 到原点的距离分别为最大和最小．又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＝0得A (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＝－1得C (3,4)．故|OA |＝1＋1＝2， |O C |＝32＋42＝5.∴z 的取值范围为[2，5]．规律方法2 1.本例求解的关键在于： 1 准确作出可行域； 2 明确目标函数的几何意义.2. 1 线性目标函数z ＝ax ＋by 的几何意义与直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距有关，当b ＞0时，直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距越大，z 值越大；当b ＜0时，情况相反.2 常见的非线性目标函数的几何意义：y －bx －a表示点 x ，y 与点 a ，b 连线的斜率； x －a 2＋ y －b 2表示点 x ，y 与点 a ，b 的距离.对点训练 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是______．【解析】 作不等式组表示的可行域，如图所示，作直线l 0：3x －y ＝0，并上下平移．当直线过点A 、B 时，z 分别取得最大值、最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0，得A (2,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0.得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.故z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6 考向三 [111] 线性规划的实际应用某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？【思路点拨】 题目的设问是“该企业如何安排生产，才能获得最大利润”，这个利润是由两种产品的利润所决定的，因此A ，B 两种产品的生产数量决定着该企业的总利润，故可以设出A 、B 两种产品的生产数量，列不等式组和建立目标函数．【尝试解答】 设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝7x ＋12y . 作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M 时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝24.因此，点M 的坐标为(20,24)．∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．规律方法3 1.求解本例的关键是找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题.为寻找各量之间的关系，最好是列出表格.2.解线性规划应用问题的一般步骤是： 1 分析题意，设出未知量； 2 列出线性约束条件和目标函数； 3 作出可行域并利用数形结合求解； 4 作答.对点训练 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表面积(单位：亩)分别是多少亩？【解】 设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ，y ∈N *.设总利润为z ，则z ＝x ＋0.9y . 作可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180.得A (30,20)．当目标函数线l 向右平移，移至点A (30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．∴黄瓜和韭菜分别种植30亩、20亩时，一年种植的总利润最大．思想方法之十五 数形结合破解线性规划中参变量问题线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值问题，从图形上找思路恰好体现了数形结合思想的应用．含参变量的线性规划问题，其参变量的设置形式通常有以下两种：(1)条件中的参变量：条件不等式组中含有参变量，由于不能明确可行域的形状，因此增加了解题时画图分析的难度．求解这类问题时要有全局观念，结合目标函数逆向分析题意，整体把握解题的方向．(2)目标函数中的参变量：目标函数中设置参变量，旨在增加探索问题的动态性和开放性．从目标函数的结论入手，对图形的动态进行分析，对变化过程中的相关量准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法．———— [1个示范例] ———— [1个对点练] ————(2013·课标全国卷Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3 .若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a x －3 ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B. (2013·大纲全国卷)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．【解析】 直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a ，作出可行域后数形结合可解．不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a .由斜率公式可知k AP ＝12，k BP ＝4.若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，数形结合可得12≤a ≤4.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4。