2020山东新高考数学二轮复习专题突破练21随机变量及其分布

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2020_2021学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.1条件概率学案含解析新人教A版选修2_3

2.2 二项分布及其应用2．2.1 条件概率内容标准学科素养 1.理解条件概率的定义． 2.掌握条件概率的计算方法．3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.利用数学抽象发展数学建模提升数学运算授课提示：对应学生用书第32页[基础认识]知识点条件概率预习教材P 51－53，思考并完成以下问题(1)三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？提示：如果三张奖券分别用X 1，X 2，Y 表示，其中Y 表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有六种可能：X 1X 2Y ，X 1YX 2，X 2X 1Y ，X 2YX 1，YX 1X 2，YX 2X 1.用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则B 仅包含两个基本事件：X 1X 2Y ，X 2X 1Y .由古典概型计算概率的公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为P (B )＝26＝13.(2)如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？提示：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有X 1X 2Y ，X 1YX 2，X 2X 1Y 和X 2YX 1.而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是X 1X 2Y 和X 2X 1Y .由古典概型计算概率的公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为24，即12.知识梳理 1.条件概率 (1)事件个数法：P (B |A )＝n AB n A(2)定义法：P (B |A )＝P AB P A(1)0≤P (B |A )≤1.(2)如果B 和C 是两个互斥的事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．[自我检测]1．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A.8225B.12C.38D.34 答案：C2．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率为________．答案：13授课提示：对应学生用书第32页探究一求条件概率[阅读教材P 53例1]在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．题型：求事件的概率及条件概率方法步骤：(1)先计算出不放回地依次抽2次的试验结果总数； (2)分别计算出第1次抽到理科题和两次都抽到的试验结果总数； (3)由概率的计算公式得出所求概率．[例1] 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E 型玻璃球，10个是F 型玻璃球．E 型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F 型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E 型玻璃球的概率是多少？[解析] 由题意得球的分布如下：E 型玻璃球F 型玻璃球总计红 2 3 5 蓝 4 7 11 总计61016设A ＝{取得蓝球法一：∵P (A )＝1116，P (AB )＝416＝14，∴P (B |A )＝P AB P A ＝141116＝411. 法二：∵n (A )＝11，n (AB )＝4， ∴P (B |A )＝n AB n A＝411. 方法技巧求条件概率P (B |A )的关键就是抓住事件A 为条件和A 与B 同时发生这两点，公式P (B |A )＝n AB n A＝P AB P A既是条件概率的定义，也是求条件概率的公式，应熟练掌握．跟踪探究 1.集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下．(1)求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率； (2)求乙抽到偶数的概率；(3)集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲乙两人各从A 中任取一球．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A ：“甲抽到的数大于4”；事件B ：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P (B |A )．解析：(1)设“甲抽到奇数”为事件C ， “乙抽到的数比甲抽到的数大”为事件D ，则事件C 包含的基本事件总数为C 13·C 15＝15个，事件CD 同时发生包含的基本事件总数为5＋3＋1＝9个，故P (D |C )＝915＝35.(2)在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35.(3)甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P (B |A )＝212＝16.探究二条件概率的性质及应用[阅读教材P 53例2]一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．题型：互斥事件的条件概率方法步骤：(1)不超过2次就按对包含“第1次按对”和“第1次没按对，第2次按对”两事件的和事件；(2)分别求出“第1次按对”和“第1次没按对，第2次按对”的概率； (3)由互斥事件概率的计算公式得出所求概率．[例2] 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．[解析] 记事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620， P (AD )＝P (A )，P (BD )＝P (B )， P (E |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P A P D＋P BPD ＝210C 62012 180C 620＋2 520C 62012 180C 620＝1358. 故获得优秀成绩的概率为1358.方法技巧当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )便可求得较复杂事件的概率．跟踪探究 2.在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．解析：法一：设“摸出的第一个球为红球”为事件A ，“摸出的第二个球为黄球”为事件B ，“摸出的第二个球为黑球”为事件C ，则P (A )＝110，P (AB )＝1×210×9＝145，P (AC )＝1×310×9＝130.∴P (B |A )＝P AB P A ＝145110＝1045＝29， P (C |A )＝P AC P A ＝130110＝13. ∴P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝29＋13＝59.故所求的条件概率为59.法二：∵n (A )＝1×C 19＝9，n [(B ∪C )∩A ]＝C 12＋C 13＝5，∴P (B ∪C |A )＝59.故所求的条件概率为59.授课提示：对应学生用书第33页[课后小结](1)条件概率：P (B |A )＝P AB P A＝n AB n A.(2)概率P (B |A )与P (AB )的区别与联系：P (AB )表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P (B |A )表示在缩小的样本空间ΩA 中，计算B 发生的概率．用古典概型公式，则P (B |A )＝AB 中样本点数ΩA 中样本点数，P (AB )＝AB 中样本点数Ω中样本点数.[素养培优]1.因把基本事件空间找错而致错一个家庭中有两名小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一名小孩是女孩，问另一名小孩是男孩的概率是多少？易错分析：解决条件概率的方法有两种，第一种是利用公式P (B |A )＝P AB P A.第二种为P (B |A )＝n AB n A，其中找对基本事件空间是关键．考查数学建模的学科素养．自我纠正：法一：一个家庭的两名小孩只有4种可能：{两名都是男孩}，{第一名是男孩，第二名是女孩}，{第一名是女孩，第二名是男孩}，{两名都是女孩}．由题意知这4个事件是等可能的，设基本事件空间为Ω，“其中一名是女孩”为事件A ，“其中一名是男孩”为事件B ，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}．∴P (AB )＝24＝12，P (A )＝34.∴P (B |A )＝P AB P A ＝1234＝23. 法二：由方法一可知n (A )＝3，n (AB )＝2. ∴P (B |A )＝n AB n A ＝23. 2．“条件概率P (B |A )”与“积事件的概率P (A ·B )”混同袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．易错分析：本题错误在于P (AB )与P (B |A )的含义没有弄清，P (AB )表示在样本空间S 中，A 与B 同时发生的概率；而P (B |A )表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率．考查数学建模的学科素养．自我纠正：P (C )＝P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝410×69＝415.。

2020年高考山东版高考理科数学 12.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差

评析本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期
望、方差等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,
考查必然与或然思想、分类与整合思想.
∴P(X≥87)= 4 = 2 . C84 35
②由题意得ξ的可能取值为0,1,2,3,4,
P(ξ=0)=
C04C C84
4 4
= 1 ,P(ξ=1)=
70
C14C34 C84
= 8 ,
35
P(ξ=2)=
C24C C84
2 4
= 18 ,P(ξ=3)=
35
C34C14 C84
= 8 ,
如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,
所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况, 同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案, 所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1, 则X1的分布列为
35
P(ξ=4)=
C44C04 C84
= 1 ,
70
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
1
8
18
8
1
P
70
35
35
35
70
1
8 18 8
1
∴E(ξ)=0× 70 +1× 35 +2× 35 +3× 35 +4× 70 =2.
考点二离散型随机变量的均值与方差

2020_2021学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布跟踪训练含解析新人教A版选修2_3

正态分布[A组学业达标]1．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )A．P1＝P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．不确定解析：根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．答案：A2．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5，由P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1.答案：A3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：P(3＜ξ＜6)＝12[P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)]＝12(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B.答案：B4．随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，若P (2＜ξ＜3)＝a ，则P (ξ＜－1)＋P (1＜ξ＜2)＝( ) A.1－a 2 B.12－a C ．a ＋0.003a D.12＋a 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，所以正态曲线关于x ＝1对称，因为P (2＜ξ＜3)＝a ，所以P (－1＜ξ＜0)＝a ，P (1＜ξ＜2)＝P (0＜ξ＜1)，P (ξ＜－1)＋P (1＜ξ＜2)＝12－a .答案：B5．已知X ～N (0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率为( )A ．0.954B ．0.046C ．0.977D ．0.023解析：由题意知，正态曲线的对称轴为x ＝0，所以P (X ＜－2)＝0.5－12P (－2≤X ≤2)＝0.5－0.954 42＝0.022 8.故选D. 答案：D6．若随机变量ξ～N (10，σ2)，P (9≤ξ≤11)＝0.4，则P (ξ≥11)＝________.解析：由P (9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x ＝μ＝10为对称轴知，P (9≤ξ≤11)＝2P (10≤ξ≤11)＝0.4.P (10≤ξ≤11)＝0.2，∵P (ξ≥10)＝0.5，∴P (ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.37．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)成立，则μ＝________.解析：因为ξ～N (μ，σ2)，故正态密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ＜1)＝P (ξ＞3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2. 答案：28．抽样调查表明，某校高三学生成绩ξ(总分750分)近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400＜ξ＜450)＝0.3，则P (550＜ξ＜600)＝________.解析：由图可以看出P (550＜ξ＜600)＝P (400＜ξ＜450)＝0.3.答案：0.39．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72＜X ≤88)＝0.682 6.(1)求参数μ，σ的值．(2)求P (64＜X ≤72)．解析：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72＜x ≤88)＝0.682 6.结合P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，可知σ＝8.(2)因为P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝P (64＜X ≤96)＝0.954 4.又因为P (X ≤64)＝P (X ＞96)，所以P (X ≤64)＝12(1－0.954 4)＝12×0.045 5＝0.022 8. 所以P (X ＞64)＝0.977 2.又P (X ≤72)＝12[1－P (72＜X ≤88)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，所以P (X ＞72)＝0.841 3，P (64＜X ≤72)＝P (X ＞64)－P (X ＞72)＝0.135 9.10．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N (90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？解析：因为ξ～N (90,100)，所以μ＝90，σ＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率就是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．[B 组能力提升]11．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( ) A ．1B ．2C ．4D ．不能确定解析：因为方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4ξ＜0，得ξ＞4，即P (ξ＞4)＝12＝1－P (ξ≤4)，故P (ξ≤4)＝12，所以μ＝4. 答案：C12．已知随机变量X 服从正态分布即X ～N (μ，σ2)，且P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6，若随机变量X ～N (5,1)，则P (X ＞6)≈( )A ．0.341 3B ．0.317 4C ．0.158 7D ．0.158 6解析：由题设P (4＜X ≤6)≈0.682 6，所以由正态分布的对称性可得P (X ≥6)＝12[1－P (4＜X ≤6)]≈12(1－0.682 6)≈0.158 7. 答案：C13.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为________．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 解析：X ～N (0,1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6，所以P (0≤X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，故S ≈0.341 3，所以落在阴影部分中点的个数x 的估计值为x 10 000＝S1，所以x ＝10 000×0.341 3≈3 413.答案：3 41314．某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩X ～N (100，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则此次测试中数学考试成绩不低于120分的学生约有________人．解析：因为成绩X ～N (100，a 2)，所以其正态曲线关于直线x ＝100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，由对称性知：成绩在120分以上的人数约为总人数的12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝15，所以此次数学考试成绩不低于120分的学生约有：15×600＝120(人)．答案：12015．一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (3,22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？解析：由题意知，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对于第一套方案ξ～N (8,32)，则μ＝8，σ＝3.于是P (8－3＜ξ≤8＋3)＝P (5＜ξ≤11)≈0.682 6.所以P (ξ≤5)＝12[1－P (5＜ξ≤11)] ≈12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以P (ξ＞5)≈1－0.158 7＝0.841 3.对于第二套方案ξ～N (3,22)，则μ＝3，σ＝2.于是P (3－2＜ξ≤3＋2)＝P (1＜ξ≤5)≈0.682 6，所以P (ξ＞5)＝12[1－P (1＜ξ≤5)] ≈12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以应选择第一套方案．。

2020—2021年新高考总复习数学二轮复习专题强化练习题-随机变量及其分布列(理).docx

第一部分一 22一、解答题1．(2014·安徽理，17)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．[分析] ①甲在四局内赢得比赛，即甲前两局胜，或第一局败，二、三局胜，或第一局胜，第二局败，第三、四局胜．②比赛总局数最少2局，最多5局，求概率时，既要考虑甲胜结束，又要考虑乙胜结束．③由于各局比赛结果相互独立，故按独立事件公式计算积事件的概率．[解析] 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P(A k )＝23，P(B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P(A)＝P(A 1A 2)＋P(B 1A 2A 3)＋P(A 1B 2A 3A 4)＝P(A 1)P(A 2)＋P(B 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(B 2)P(A 3)P(A 4)＝(23)2＋13×(23)2＋23×13×(23)2＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5. P(X ＝2)＝P(A 1A 2)＋P(B 1B 2) ＝P(A 1)P(A 2)＋P(B 1)P(B 2)＝59，P(X ＝3)＝P(B 1A 2A 3)＋P(A 1B 2B 3) ＝P(B 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(B 2)P(B 3)＝29，P(X ＝4)＝P(A 1B 2A 3A 4)＋P(B 1A 2B 3B 4)＝P(A 1)P(B 2)P(A 3)P(A 4)＋P(B 1)P(A 2)P(B 3)P(B 4)＝1081，P(X ＝5)＝1－P(X ＝2)－P(X ＝3)－P(X ＝4)＝881.故X 的分布列为E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.[方法点拨] 1.求复杂事件的概率的一般步骤： 1°列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； 2°理清各事件之间的关系，列出关系式；3°根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．3．要准确理解随机变量取值的意义，准确把握每一个事件所包含的基本事件，然后依据类型代入概率公式进行计算．4．概率与统计知识结合的问题，先依据统计知识明确条件，求出有关统计的结论，再将所求问题简化为纯概率及其分布的问题，依据概率及其分布列、期望、方差的知识求解．5．离散型随机变量的分布列的性质：设离散型随机变量X的分布列为：则①p i≥0②p1＋p2＋…＋p i＋…＋p n＝1.2．(2015·重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．[分析] 考查了古典概型的概率以及分布列、数学期望，属于简单题型．(1)由古典概型概率公式计算；(2)从含有2个豆沙粽的10个粽子中取3个，据此可得出X的可能取值及其概率，列出分布列求得期望．[解析](1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的可能取值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115综上知，X的分布列为：故E(X)＝0×715＋1×15＋2×15＝5(个)[方法点拨] 如果题目条件是从含A类物品M件，总数为N 的A、B两类物品中，抽取n件，其中含有A类物品件数X为随机变量，则按超几何分布公式直接计算．请练习下题：一盒中有12个零件，其中有3个次品，从盒中每一次取出一个零件，取后不放回，求在取到正品前已取次数X的分布列和期望．[分析] 由于题设中要求取出次品不再放回，故应仔细分析每一个X所对应的事件的准确含义．据此正确地计算概率p.[解析]X可能的取值为0、1、2、3这四个数，而X＝k表示，共取了k＋1次零件，前k次取得的是次品，第k＋1次取得正品，其中k＝0、1、2、3.(1)当X＝0时，第1次取到正品，试验中止，此时P(X＝0)＝C19C112＝34.(2)当X＝1时，第1次取到次品，第2次取到正品，P(X＝1)＝C13C112×C19C111＝944.(3)当X＝2时，前2次取到次品，第3次取到正品，P(X＝2)＝C13C112×C12C111×C19C110＝9220.当X＝3时，前3次将次品全部取出，P(X＝3)＝C13C112×C12C111×C11C110＝1220.所以X的分布列为：E(X)＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.3．(2014·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：60%.据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m、n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望．[解析](1)由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n＋40＝100×60%，n＝20；m＝100－(20＋30＋20＋10)＝20.该商场每日应准备纪念品的数量大约为5000×60100＝3000件．(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率p＝60100＝35.故4人购物获得纪念品的人数ξ服从二项分布B(4，35)．P(ξ＝0)＝C 04(35)0(25)4＝16625，P(ξ＝1)＝C 14(35)1(25)3＝96625，P(ξ＝2)＝C 24(35)2(25)2＝216625，P(ξ＝3)＝C 34(35)3(25)1＝216625，P(ξ＝4)＝C 44(35)4(25)0＝81625，ξ的分布列为ξ数学期望为E(ξ)＝0×16625＋1×96625＋2×216625＋3×216625＋4×81625＝125. 或由E(ξ)＝4×35＝125.[方法点拨] 1.独立重复试验与二项分布一般地，如果在一次试验中事件A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P n (k)＝C kn p k(1－p)n －k(k ＝0,1,2，…，n)．称事件A 发生的次数X 服从参数为n 、p的二项分布．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．离散型随机变量的期望：设离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则E(X)＝x1122i i n n＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(x n－E(X))2p n.3．准确辨别独立重复试验的基本特征(①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同)，牢记公式P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含义，是解二项分布问题的关键．4．对于复杂事件，要先辨析其构成，依据互斥事件，或者相互独立事件按事件的和或积的概率公式求解，还要注意含“至多”，“至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率求解．请练习下题：为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，其中第2小组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X 表示体重超过60kg 的学生人数，求X 的分布列和数学期望．[分析] 先由频率直方图中前三组频率的比及第2小组频数及频率分布直方图的性质求出n 的值和任取一个报考学生体重超过60kg 的概率．再由从报考飞行员的学生中任选3人知，这是三次独立重复试验，故X 服从二项分布．[解析] (1)设报考飞行员的人数为n ，前3个小组的频率分别为p 1，p 2，p 3，则由条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝2p 1，p 3＝3p 1，p 1＋p 2＋p 3＋(0.037＋0.013)×5＝1.解得p 1＝0.125，p 2＝0.25，p 3＝0.375. 又因为p 2＝0.25＝12n，故n ＝48.(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60kg的概率为P＝p3＋(0.037＋0.013)×5＝5 8，由题意知X服从二项分布B(3，58 )，P(x＝k)＝C k3(58)k(38)3－k(k＝0,1,2,3)，所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P 27512135512225512125512E(X)＝0×27512＋1×512＋2×512＋3×512＝8.4．(2015·江西省质量监测)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：老板根据销售量给予店员奖励，具体奖励规定如下表销售量X个X<10100≤X<150150≤X<200X≥200奖励金额(元)0 50 100 150(2)记未来连续2天，店员获得奖励X元，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．[解析](1)由频率分布直方图得店员一天获得50元、100元、150元的概率分别是0.3,0.2,0.1，不得奖励的概率是0.4，所以未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率P＝0.33＋A33×0.3×0.2×0.4＋C13×0.42×0.1＝0.219；(2)X可能取值有0,50,100,150,200,250,300.P(X＝0)＝0.42＝0.16，P(X＝50)＝2×0.4×0.3＝0.24.P(X＝100)＝0.32＋2×0.4×0.2＝0.25，P(X＝150)＝2×0.4×0.1＋2×0.3×0.2＝0.20.P(X＝200)＝0.22＋2×0.3×0.1＝0.10，P(X＝250)＝2×0.2×0.1＝0.04，P(X＝300)＝0.12＝0.01，所以随机变量X的分布列是：×0.10＋250×0.04＋300×0.01＝100(或E(X)＝2(0×0.4＋50×0.3＋100×0.2＋150×0.1)＝100)[方法点拨] 概率与统计知识相结合是高考主要命题方式之一．一般先解答统计问题，最后依据条件确定随机变量的取值及其概率，再列出分布列求期望．请练习下题：(2015·江西上饶市三模)对某校高二年级学生暑期参加社会实践次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社会实践的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)在所取样本中，从参加社会实践的次数不少于20次的学生中任选3人，记参加社会实践次数在区间[25,30)内的人数为X，求X的分布列和期望．[解析](1)由频率分布表和频率分布直方图的知识与性质知，20M ＝0.25，48M ＝n,0.25＋n ＋p ＋0.05＝1，n 5＝a ，解之可得M ＝80，p ＝0.1，a ＝0.12.(2)参加社会实践次数分别在[20,25]和[25,30)的人数依次为0.1×80＝8人，0.05×80＝4人，从这12人中随机抽取3人，随机变量X 的取值为0,1,2,3.P(X ＝0)＝C 38C 312＝56220＝1455， P(X ＝1)＝C 28C 14C 312＝112220＝2855， P(X ＝2)＝C 18C 24C 312＝48220＝1255， P(X ＝3)＝C 34C 312＝4220＝155. 分布列如下：可得E(X)＝1.5．(2015·河南八市质量监测)某市在2015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N(115,25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80,90)，第二组[90,100)，……，第六组[130,140]，得到如下图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；(2)这50名学生中成绩在120分(含120分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9974.[解析](1)由频率分布直方图可知[120,130)的频率为：1－(0.01×10＋0.024×10＋0.03×10＋0.016×10＋0.008×10)＝1－0.88＝0.12，所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为85×0.1＋95×0.24＋105×0.3＋115×0.16＋125×0.12＋135×0.08＝8.5＋22.8＋31.5＋18.4＋15＋10.8＝107，所以该校的平均成绩为107.(2)由于1310000＝0.0013，根据正态分布：∵P(115－3×5<X<115＋3×5)＝0.9974，∴P(X≥130)＝1－0.99742＝0.0013，即0.0013×10000＝13，所以前13名的成绩全部在130分以上，根据频率分布直方图这50人中成绩在130分以上(包括130分)的有0.08×50＝4人，而在[120,140]的学生共有0.12×50＋0.08×50＝10，所以X的取值为0,1,2,3，所以P(X＝0)＝C36C310＝20120＝16，P(X＝1)＝C25C14C310＝60120＝12，P(X＝2)＝C14C24C410＝36120＝310，P(X＝3)＝C34C210＝4120＝130.所以X的分布列为E(X)＝0×16＋1×2＋2×10＋3×30＝1.2.[方法点拨] 1.正态分布数学期望为μ，标准差为σ的正态随机变量概率密度函数为f(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈R.2．正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②所示．3．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为68.3%；正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率为95.4%；正态变量在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率为99.7%.4．期望、方差的性质E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(aX＋b)＝a2D(X)．6．(2015·石家庄市一模)集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为12，12，23，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元．(1)求集成电路E 需要维修的概率；(2)若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望．[解析] (1)三个电子元件能正常工作分别记为事件A ，B ，C ，则P(A)＝12，P(B)＝12，P(C)＝23. 依题意，集成电路E 需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P 1＝P(A － B － C －)＝P(A －)P(B －)P(C －)＝12×12×13＝112； ②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P 2＝P(A B － C －＋A －B C －＋A － B －C)＝P(A B －C －)＋P(A －B C －)＋P(A － B －C)＝12×12×13＋12×12×13＋12×12×23＝13所以，集成电路E 需要维修的概率为P 1＋P 2＝112＋13＝512. (2)设ξ为维修集成电路的个数，则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，512，而X ＝100ξ，P(X ＝100k)＝P(ξ＝k)＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫512k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7122－k ，k ＝0,1,2. X 的分布列为：∴E(X)＝0×49144＋100×72＋200×144＝3或E(X)＝100E(ξ)＝100×2×512＝2503. 7．(2014·郑州市质检)为了迎接2014年3月30日在郑州举行的“中国郑州国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动. 抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志. 摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则继续抽取．第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？”主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是45.” (1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数；(2)若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．[解析] (1)设印有“美丽绿城行”的球有n 个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A,则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P(A)＝C2nC26，由对立事件的概率知P(A)＝1－P(A)＝4 5 .即P(A)＝C2nC26＝15，解得n＝3.(2)由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1、2、3，则η＝2的含义是第一次取到两球都印有“美丽绿城行”，第二次取球中奖；或第一次取到两类球各一个，第二次取球中奖，∴P(η＝1)＝C23C26＝15，P(η＝2)＝C23C26·C23C24＋C13C13C26·C22C24＝15，P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝35，则η的分布列为：所以E(η)＝1×15＋2×5＋3×5＝5.[方法点拨] 解决概率的实际应用问题，先通过审题，将条件翻译为解题需要的数学语言，再依据条件判明概率类型、弄清随机变量取值时所表示事件的含义，并把复杂事件进行合理的分拆，转化为简单事件，最后代入对应公式进行计算．请再练习下题：(2014·福建理，18)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．[解析](1)设顾客所获的奖励额为X，(ⅰ)依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2；(ⅱ)依题意，得X的所有可能取值为20,60，P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12.即X的分布列为∴顾客所获的奖励额的期望E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元，所以先寻找期望为60的可能方案，对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能是60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面积之和最小值，所以期望也不可能是60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2，以下是对两个方案的评价：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获奖励额为X1，则X1的分布列为X1的期望为E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003. 对于方案2，即方案(20,20,40,40)设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E(X 2)＝40×6＋60×3＋80×16＝60， X 2的方差为D(X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应选择方案2.。

2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：21 随机变量及其分布

专题能力训练21 随机变量及其分布专题能力训练第50页一、能力突破训练1.若8件产品中包含6件一等品,从8件产品中任取2件,则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下,另1件是一等品的概率为( ) A .37 B .45 C .67 D .1213答案:D解析:根据题意,设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A ,“一件是一等品,另一件不是一等品”为事件B ,则P (A )=1-C 62C 82=1-1528=1328,P (AB )=C 21C 61C 82=1228,则P (B|A )=P (AB )P (A )=1213.2.已知随机变量ξ满足P (ξi =1)=p i ,P (ξi =0)=1-p i ,i=1,2,若0<p 1<p 2<12,则( ) A.E (ξ1)<E (ξ2),D (ξ1)<D (ξ2)B.E (ξ1)<E (ξ2),D (ξ1)>D (ξ2)C.E (ξ1)>E (ξ2),D (ξ1)<D (ξ2)D.E (ξ1)>E (ξ2),D (ξ1)>D (ξ2) 答案:A解析:∵E (ξ1)=p 1,E (ξ2)=p 2, ∴E (ξ1)<E (ξ2).∵D (ξ1)=p 1(1-p 1),D (ξ2)=p 2(1-p 2),∴D (ξ1)-D (ξ2)=(p 1-p 2)(1-p 1-p 2)<0,故选A .3.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球(除颜色外其他完全相同),每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X 次球,则P (X=12)等于( )A .C 1210(38)10(58)2B .C 129(38)9(58)238 C .C 119(58)2(38)2D .C 119(38)10(58)2答案:D解析:由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球,因为每次取到红球的概率为38,所以P (X=12)=C 119(38)9×(58)2×38.4.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),则从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈95.45%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案:B解析:由正态分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)内的概率为P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)-P(μ-σ<ξ<μ+σ)2≈95.45%-68.27%2=13.59%.5.(2018全国Ⅲ,理8)某群体中的每名成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10名成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案:B解析:由题意,得D(X)=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,∴p(1-p)=0.24,由P(X=4)<P(X=6)知C104p4·(1-p)6<C106p6(1-p)4,即p2>(1-p)2,∴p>0.5,∴p=0.6(其中p=0.4舍去).6.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y=|X-2|,则P(Y=2)=.答案:0.5解析:由分布列的性质,知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,则m=0.3.由Y=2,即|X-2|=2,得X=4或X=0,故P(Y=2)=P(X=4或X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5.7.已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.答案:13解析:根据二项分布的均值、方差公式,得{E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得p=13.8.A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A组:10,11,12,13,14,15,16B 组:12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B 两组随机各选1人,A 组选出的人记为甲,B 组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a 为何值时,A,B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解:设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”,事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”,i=1,2,…,7. 由题意可知P (A i )=P (B i )=17,i=1,2, (7)(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)=P (A 5)+P (A 6)+P (A 7)=37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意知,C=A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6. 因此P (C )=P (A 4B 1)+P (A 5B 1)+P (A 6B 1)+P (A 7B 1)+P (A 5B 2)+P (A 6B 2)+P (A 7B 2)+P (A 7B 3)+P (A 6B 6)+P (A 7B 6)=10P (A 4B 1)=10P (A 4)P (B 1)=1049.(3)a=11或a=18.9.在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6和4名女志愿者B 1,B 2,B 3,B 4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率;(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X 的分布列与数学期望E (X ). 解:(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M , 则P (M )=C 84C 105=518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4,则 P (X=0)=C 65C 105=142,P (X=1)=C 64C 41C 105=521,P (X=2)=C 63C 42C 105=1021,P (X=3)=C 62C 43C 105=521,P (X=4)=C 61C 44C 105=142.因此X 的分布列为X 01234P1425211021521142X 的数学期望是E (X )=0×P (X=0)+1×P (X=1)+2×P (X=2)+3×P (X=3)+4×P (X=4) =0+1×521+2×1021+3×521+4×142=2.10.今有9所省级示范学校参加联考,参加考试的约有5 000人,考完后经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布,且标准差为12. (1)计算联考成绩在137分以上的人数.(2)从所有试卷中任意抽取1份,已知分数不超过123分的概率为0.8. ①求分数低于103分的概率.②从所有试卷中任意抽取5份,由于试卷数量较大,可以把每份试卷被抽到的概率视为相同,X 表示抽到成绩低于103分的试卷的份数,写出X 的分布列,并求出数学期望E (X ). 参考数据:P (μ-σ≤x ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ≤x ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ≤x ≤μ+3σ)≈0.997 3. 解:(1)在正态分布N (μ,σ2)中,可知σ=12,μ=113.因为137=μ+2σ,所以P (ξ>μ+2σ)=12×(1-0.954 5)=0.022 75, 故所求人数为0.022 75×5 000≈114. (2)①P (ξ<103)=P (ξ>123)=1-0.8=0.2.②由题意易知X~B (5,0.2),故P (X=0)=0.85=0.327 68,P (X=1)=C 51×0.21×0.84=0.409 6,P (X=2)=C 52×0.22×0.83=0.204 8,P (X=3)=C 53×0.23×0.82=0.051 2,P (X=4)=C 54×0.24×0.81=0.006 4, 5X 012345P 0.327 68 0.409 6 0.204 8 0.051 2 0.006 4 0.000 32E (X )=5×0.2=1.11.若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每名参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望E (X ).解:(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C 93=84,随机变量X 的取值为:0,-1,1,因此P (X=0)=C 83C 93=23,P (X=-1)=C 42C 93=114,P (X=1)=1-114−23=1142.所以X 的分布列为X 0-11P231141142则E (X )=0×23+(-1)×114+1×1142=421.二、思维提升训练12.已知两个游戏盘如图所示(图①是半径为2和4的两个同心圆,O 为圆心;图②是正六边形,点P 为其中心),游戏盘中各有一个玻璃小球,依次摇动两个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分的概率是( )图①图②A .116 B .18 C .16D .14答案:A解析:一局游戏后,这两个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件A 1,A 2, 由题意知,A 1,A 2相互独立,且P (A 1)=14π(42-22)4π=316,P (A 2)=13,所以“一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P (A 1A 2)=P (A 1)P (A 2)=316×13=116.13.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于C 74C 86C 1510的是( )A.P (X=2)B.P (X ≤2)C.P (X=4)D.P (X ≤4)答案:C解析:X 服从超几何分布P (X=k )=C 7k C 810-k C 1510,故k=4.14.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X 的分布列;(2)若要求P (X ≤n )≥0.5,确定n 的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?解:(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 从而P (X=16)=0.2×0.2=0.04; P (X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P (X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P (X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24; P (X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2; P (X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P (X=22)=0.2×0.2=0.04. 所以X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22 P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P (X ≤18)=0.44,P (X ≤19)=0.68,故n 的最小值为19.(3)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时,E (Y )=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040. 当n=20时,E (Y )=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080. 可知当n=19时所需费用的均值小于n=20时所需费用的均值,故应选n=19.15.为评估设备M 生产某种零件的性能,从设备M 生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本,测量其直径后,整理得到下表:直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 件数 1 1 3 5 6 19 33 直径/mm 66 67 68 69 70 71 73 件数18442121经计算,样本的平均值μ=65,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X ,并根据以下不等式进行判定:①P (μ-σ<X ≤μ+σ)≈0.682 7;②P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)≈0.954 5;③P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)≈0.997 3. 判定规则为:若同时满足上述三个式子,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部都不满足,则等级为丁.试判断设备M 的性能等级. (2)将直径尺寸在(μ-2σ,μ+2σ)之外的零件认定为是“次品”.从设备M 的生产流水线上随机抽取2个零件,求其中次品个数Y 的数学期望E (Y ).解:(1)μ-σ=62.8,μ+σ=67.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,由表知,P (μ-σ<X ≤μ+σ)=80100=0.80>0.682 7,P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=94100=0.94<0.954 5,P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.98=98100<0.997 3,所以该设备M 的级别为丙级.(2)从设备M 的生产流水线上任取一件,取到次品的概率是6100=350,依题意可知Y~B (2,350),故E (Y )=2×350=325.16.(2018全国Ⅰ,理20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p ),求f (p )的最大值点p 0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求E (X ); ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )=C 202p 2(1-p )18.因此f'(p )=C 202[2p (1-p )18-18p 2(1-p )17]=2C 202p (1-p )17(1-10p ). 令f'(p )=0,得p=0.1.当p ∈(0,0.1)时,f'(p )>0; 当p ∈(0.1,1)时,f'(p )<0.所以f (p )的最大值点为p 0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1), X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.②如果对余下的产品作检验,那么这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.。

(新课标)2020年高考数学二轮复习专题能力训练21 随机变量及其分布理

专题能力训练21 随机变量及其分布一、能力突破训练1.甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为()A. B.C. D.2.已知随机变量ξ满足P(ξi=1)=p i,P(ξi=0)=1-p i,i=1,2,若0<p1<p2<,则()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)3.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球(除颜色外其他完全相同),每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于()A.B.C.D.4.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),则从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈95.45%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%5.(2018全国Ⅲ,理8)某群体中的每名成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10名成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.36.设离散型随机变量X的分布列为若随机变量Y=|X-2|,则P(Y=2)= .7.已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .8.A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16B组:12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)9.在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).10.某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一.小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.11.若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每名参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X).二、思维提升训练12.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A.2 386B.2 718C.3 414D.4 772附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5.13.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于的是()A.P(X=2)B.P(X≤2)C.P(X=4)D.P(X≤4)14.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?15.某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每件的利润(单位:百元)与该产品首次出现故障的时间(单位:年)有关.某厂家生产甲、乙两种品牌,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50件,统计数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件,求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的家电均能售出,记生产一件甲品牌家电的利润为X1,生产一件乙品牌家电的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌家电销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的家电.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的家电?说明理由.16.(2018全国Ⅰ,理20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?专题能力训练21随机变量及其分布一、能力突破训练1.A解析设甲命中目标为事件A,乙命中目标为事件B,丙命中目标为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.∵P()=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=击中的概率P=1-P()=2.A解析∵E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,∴E(ξ1)<E(ξ2).∵D(ξ1)=p1(1-p1),D(ξ2)=p2(1-p2),∴D(ξ1)-D(ξ2)=(p1-p2)(1-p1-p2)<0,故选A.3.D解析由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球,因为每次取到红球的概率为,所以P(X=12)=4.B解析由正态分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)内的概率为=13.59%.5.B解析由题意,得D(X)=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,∴p(1-p)=0.24,由P(X=4)<P(X=6)知p4·(1-p)6<p6(1-p)4,即p2>(1-p)2,∴p>0.5,∴p=0.6(其中p=0.4舍去).6.0.5解析由分布列的性质,知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,则m=0.3.由Y=2,即|X-2|=2,得X=4或X=0,故P(Y=2)=P(X=4或X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5.7解析根据二项分布的均值、方差公式,得解得p=8.解设事件A i为“甲是A组的第i个人”,事件B i为“乙是B组的第i个人”,i=1,2, (7)由题意可知P(A i)=P(B i)=,i=1,2, (7)(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=1 0P(A4)P(B1)=(3)a=11或a=18.9.解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=因此X的分布列为X0 1 2 3 4PX的数学期望是E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1+2+3+4=2.10.解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1=,所以X的分布列为X 1 2 3P所以E(X)=1+2+311.解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为=84,随机变量X的取值为:0,-1,1,因此P(X=0)=,P(X=-1)=,P(X=1)=1-所以X的分布列为X0 -1 1P则E(X)=0+(-1)+1二、思维提升训练12.C解析因为曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线,所以P(-1<X≤1)≈0.682 7,由正态分布密度曲线的对称性知P(0<X≤1)=0.341 35,即图中阴影部分的面积为0.341 35.由几何概型知点落入阴影部分的概率P==0.341 35.因此,落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.341 35≈3 414.故选C.13.C解析X服从超几何分布P(X=k)=,故k=4.14.解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列为X16 17 18 19 20 21 22P0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0. 04=4 040.当n=20时,E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的均值小于n=20时所需费用的均值,故应选n=19.15.解 (1)设“甲、乙品牌家电至少有一件首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=1-(2)依题意得,X1的分布列为X1 1 2 3PX2的分布列为X21.8 2.9P(3)由(2)得E(X1)=1+2+3=2.86(百元),E(X2)=1.8+2.9=2.79(百元).因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌家电.16.解 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.因此f'(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.②如果对余下的产品作检验,那么这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.11。

【高三数学】二轮复习：专题五第2讲概率、随机变量及其分布

有 A 到过疫区,B 确定是受 A 感染的.对于 C 因为难以判定是受 A 还是受 B
1
感染的,于是假定他受 A 和 B 感染的概率都是2.同样也假定 D 受 A,B 和 C
1
感染的概率都是3.在这种假定下,B,C,D 中恰有两人直接受 A 感染的概率是
(
)
1
A.6
1
B.3
1
C.2
2
D.3
(2)(2021·河北张家口一模)某大学进行“羽毛球”“美术”“音乐”三个社团选拔.
三局.若甲抽到的三张扑克牌分别是A1,A2,A3,乙抽到的三张扑克牌分别是
B1,B2,B3,且这六张扑克牌的大小顺序为A1>B1>B2>A2>A3>B3,则三局比赛
结束后甲得4分的概率为(
1
6
A.
1
3
B.
)
1
2
C.
2
3
D.
(2)(2021·山东泰安三模)已知大于3的素数只分布在{6n-1}和{6n+1}两数
[例2-4](2021·江苏苏州中学园区校月考)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七
场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,
甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,
客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概
率是
.
1
次的概率为2,现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过 500 次,则其能够
循环充电超过 1 000 次的概率是(
3
A.4
2
B.3
)
1
C.2
1
D.3

2020版高考数学二轮复习第2部分专题3概率与统计第1讲概率、随机变量及其分布教案理(最新整理)

第1讲概率、随机变量及其分布［做小题——激活思维］1．若随机变量X的分布列如表所示，E(X）＝1。

6,则a－b＝( ）X0123P0。

1a b0。

1A．0.2C．0。

8 D．－0。

8B［由0。

1＋a＋b＋0.1＝1,得a＋b＝0。

8,又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0。

1＝1。

6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0。

3,b＝0.5，则a－b＝－0。

2.］2．已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0。

5,两个路口连续遇到红灯的概率为0。

4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( )A．0。

6 B．0.7C．0.8 D．0。

9C［记“第一个路口遇到红灯"为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P（A）＝0.5，P（AB)＝0。

4，则P（B｜A)＝错误!＝0.8，故选C。

]3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为错误!和错误!,两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ）A。

错误!B。

错误!C。

14D。

错误!B［设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)＝错误!,P(B）＝错误!，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A错误!)＋P（错误!B)＝P（A)P（错误!）＋P(错误!）P(B）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

］4．设随机变量X~B(2，p），Y～B（4，p)，若P（X≥1）＝错误!,则P(Y≥1）＝( ）A.错误!B。

错误!C。

错误!D．1C[∵X～B(2，p），∴P（X≥1）＝1－P(X＝0）＝1－C错误!（1－p)2＝错误!，解得p＝错误!,∴P(Y≥1）＝1－P（Y＝0)＝1－C0，4（1－p)4＝1－错误!＝错误!，故选C.］5．罐中有6个红球和4个白球，从中任取1球,记住颜色后再放回，连续取4次,设X为取得红球的次数，则X的方差D（X）的值为________．错误!［因为是有放回地取球，所以每次取球（试验）取得红球（成功）的概率均为错误!，连续取4次(做4次试验），X为取得红球（成功）的次数,则X~B错误!，∴D(X）＝4×错误!×错误!＝错误!.]6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米)服从正态分布N（0,32)，从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6）内的概率为________．（附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2），则P(μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0。

高中数学高考二轮复习随机变量及其分布列教案(全国专用)

1．(2014·课标Ⅱ，5，易)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.451．A设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．由条件概率可知，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.60.75＝45＝0.8，故选A.2．(2015·湖南，18，12分，中)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X .求X 的分布列和数学期望．2．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}， B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}， C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A －2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2) ＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A －1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2)＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2) ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.3．(2014·山东，18，12分，中)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．3．解：记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)，则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)，则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.(1)记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3，由事件的独立性和互斥性，得 P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)·P (B 1)＋P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋15×16＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110. 可得随机变量ξ的分布列为所以数学期望Eξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.4．(2013·课标Ⅰ，19，12分，中)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立． (1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望． 4．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝416×116＋116×12＝364.(2)X可能的取值为400，500，800，并且P(X＝400)＝1－416－116＝1116，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝14.所以X的分布列为E(X)＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.相互独立事件的概率是高考的常考考点，是解决复杂问题的基础，一般情况下，一些较为复杂的事件可以拆分为一些相对简单事件的和或积，这样就可以利用概率公式转化为互斥事件和独立事件的组合，通常以解答题出现，与数学期望等知识结合，难度中等．1(2015·北京，16，13分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a.假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)(1)甲的康复时间不少于14天→甲是A组的第5人或第6人或第7人→每人康复时间互斥→互斥事件概率加法公式 (2)甲康复时间比乙长→相互独立事件同时发生→列举每种情况→互斥事件加法求解【解析】设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”，事件B j 为“乙是B 组的第j 个人”，i ，j ＝1，2， (7)由题意可知P (A i )＝P (B j )＝17，i ，j ＝1，2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6. 因为P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049. (3)a ＝11或a ＝18.(2014·大纲全国，20，12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立． (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．解：设A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C ， P (B )＝0.6，P (C )＝0.4， P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2，所以P (D )＝P (A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C )＝P (A 1BC )＋P (A 2B )＋P (A 2B －C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B －)P (C ) ＝0.31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，则有P (X ＝0)＝P (B －A 0C －)＝P (B －)P (A 0)P (C －)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (BA 0C －＋B －A 0C ＋B －A 1C －)＝P (B )P (A 0)P (C －)＋P (B －)P (A 0)P (C )＋P (B －)P (A 1)P (C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4) ＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2BC )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4) ＝1－0.06－0.25－0.25－0.06 ＝0.38， X 的分布列为数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.相互独立事件概率的求法(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对立事件”．当且仅当事件A 和事件B 相互独立时，才有P (AB )＝P (A )·P (B )．(2)A ，B 中至少有一个发生：A ∪B .①若A ，B 互斥：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，否则不成立．②若A ，B 相互独立(不互斥)，则概率的求法：方法一：P (A ∪B )＝P (AB )＋P (AB －)＋P (A －B )；方法二：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝1－P (A －)P (B －)．(3)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化．条件概率在高考中经常作为解答题的一小问，或以选择题、填空题出现，难度较小，一般以直接考查公式的应用为主，分值约为5分．2(2015·湖北荆门模拟，20，12分)某工厂生产了一批产品共有20件，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件．求： (1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．【解析】设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到次品”为事件B ，事件A 和事件B 相互独立．依题意得：(1)第一次抽到次品的概率为P (A )＝520＝14. (2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P (AB )＝520×419＝119.(3)方法一：在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝119÷14＝419.方法二：第一次抽到次品后，还剩余产品19件，其中次品4件，故第二次抽到次品的概率为P (B )＝419.(2015·湖北荆州质检，13)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A ＝“至少一次出现反面”，事件B ＝“恰有一次出现正面”，则P (B |A )＝________．【解析】由题意知，P (AB )＝323＝38，P (A )＝1－123＝78，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝3878＝37. 【答案】 37,条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.注意：事件A 与事件B 有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P (AB )的求法．(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.1．(2016·湖北荆门一模，6)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.181．A 由古典概型知P (A )＝12，P (AB )＝14，则由条件概率知P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1412＝12.2．(2016·河北石家庄质检，9)小明准备参加电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有两次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则直接进入操作考试；若第一次未通过，则进行第二次考试，若第二次考试通过则进入操作考试环节，第二次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第一次考试通过，则直接获得证书；若第一次未通过，则进行第二次考试，若第二次考试通过则获得证书，第二次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过的概率为34，每次操作考试通过的概率为23，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是( ) A.13 B.38 C.23 D.342．B 设小明本次电工考试中共参加3次考试为事件A ，小明本次电工考试中第一次理论考试没通过，第二次理论考试通过，第一次操作考试通过为事件B ，小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试没通过为事件C ，则P (A )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )，又P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝18，P (C )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝14，所以P (A )＝18＋14＝38.3．(2015·河南郑州一模，10)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是( ) A.1127 B.1124 C.1627 D.9243．A 方法一：记事件A ：从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P (B )＝42＋4＝23，P (B －)＝1－23＝13；由条件概率公式知P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B －)＝38＋1＝39.从而P (A )＝P (AB )＋P (AB －)＝P (A |B )·P (B )＋P (A |B －)·P (B －)＝1127，选A.方法二：根据题意，分两种情况讨论：①从1号箱中取出白球，其概率为26＝13，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为13，则这种情况下的概率为13×13＝19.②从1号箱中取出红球，其概率为23.此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱中取出红球的概率为49，则这种情况下的概率为23×49＝827.则从2号箱中取出红球的概率是19＋827＝1127.4．(2016·江苏扬州一模，4)在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．4．【解析】方法一：不妨设甲先抽奖，设甲中奖记为事件A ，乙中奖记为事件B ，两人都中奖的概率为P ，则P ＝P (AB )＝23×12＝13.方法二：甲乙从三张奖券中抽两张的方法有A 23＝6种，两人都中奖的可能有2种，设两人都中奖的概率为P ，则P ＝26＝13. 【答案】 135．(2016·江苏盐城二模，10)如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．5．【解析】灯泡甲亮满足的条件是a ，c 两个开关都开，b 开关必须断开，否则短路．设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件AB －C ，且A ，B ，C 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，由独立事件概率公式知P (AB －C )＝P (A )P (B －)P (C )＝12×12×12＝18.【答案】 186．(2016·湖南常德一模，18，12分)某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取(不足一小时按一小时计算)．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为13，12；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为12，13，且两人租车的时间都不超过4小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相等的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望． 6．解：(1)甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元，甲、乙两人所付费用都是10元的概率为P 1＝13×12＝16. 甲、乙两人所付费用都是20元的概率为P 2＝12×13＝16.甲、乙两人所付费用都是30元的概率为P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13＝136.故甲、乙两人所付费用相等的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝1336. (2)随机变量ξ的取值可以为20，30，40，50，60. P (ξ＝20)＝12×13＝16. P (ξ＝30)＝13×13＋12×12＝1336.P (ξ＝40)＝12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×12＝1136.P (ξ＝50)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×13＝536. P (ξ＝60)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13＝136.故ξ的分布列为∴ξ的数学期望是Eξ＝20×16＋30×1336＋40×1136＋50×536＋60×136＝35. 7．(2016·山东德州一模，18，12分)某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A ，B ，C ，若A ，B ，C 实验成功的概率分别为45，34，23.(1)对A ，B ，C 实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；(2)该项目要求实验A ，B 各做两次，实验C 做三次，如果A 实验两次都成功则进行实验B 并获奖励10 000元，两次B 实验都成功则进行实验C 并获奖励30 000元，三次实验C 只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60 000元(不重复得奖)．且每次实验相互独立，用X 表示技术人员所获奖励的数值，写出X 的分布列及数学期望．7．解：(1)设A ，B ，C 实验成功分别记为事件A ，B ，C 且相互独立，A ，B ，C 至少有一次实验成功为事件D .则P (D )＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－15×14×13＝5960.(2)X 的取值为0，10 000，30 000，60 000.则P (X ＝0)＝15＋45×15＝925.P (X ＝10 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34×14＝725.P (X ＝30 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝775.或P (X ＝30 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×23×13＝775. P (X ＝60 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝415.∴X 的分布列为∴X 的数学期望是 E (X )＝0×925＋10 000×725＋30 000×775＋60 000×415＝21 600(元)．1．(2015·湖北，4，易)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)1．C由正态分布密度曲线可得，μ1＜μ2，σ1＜σ2.结合正态曲线的概率的几何意义，对于A，∵μ1＜μ2，∴P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)；对于B，∵σ1＜σ2，∴P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)；对于C，D，结合图象可知，C正确．2．(2015·课标Ⅰ，4，中)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3122．A记A i＝{投中i次}，其中i＝1，2，3，B表示该同学通过测试，故P(B)＝P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)＝C23×0.62×0.4＋C33×0.63＝0.648.3．(2015·湖南，7，中)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.A．2 386 B．2 718C．3 413 D．4 7723．C由于曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线，则阴影部分面积为S＝0.682 62＝0.341 3，∴落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31＝3 413.故选C.4．(2016·四川，12，易)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．4．【解析】由题可知：在一次试验中成功的概率P ＝1－14＝34，而该试验是一个2次的独立重复试验，成功次数X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34，∴E (X )＝2×34＝32.【答案】 325．(2015·广东，13，中)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.5．【解析】由E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )，得⎩⎨⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.【答案】 136．(2012·课标全国，15，中)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．6．【解析】由题意知每个电子元件使用寿命超过1 000小时的概率均为12，元件1或元件2正常工作的概率为1－12×12＝34，所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为12×34＝38.【答案】 387．(2013·山东，19，12分，中)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是23.假设每局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望．7．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故 P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427.所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝19，故乙队得分X 的分布列为数学期望E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.二项分布是一种重要的概率模型，在高考中经常出现，选择题、填空题、解答题都可能出现，解答题出现频率更高，一般会综合相互独立、互斥或对立事件等知识进行考查，难度中等．1(2014·辽宁，18，12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，所以X的分布列为因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.(1)读图→计算小矩形面积，得相应概率→利用独立事件的概率公式求解(2)确定X的所有可能值→运用n次独立重复试验计算公式，得相应概率→列出分布列→利用二项分布求出期望和方差(2012·天津，16，13分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E (ξ)．解：依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i. (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能的取值为0，2，4，由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781. 所以ξ的分布列为故E (ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次可看作是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k 个A 事件与n －k 个A －事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k (1－p )n －k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k.判断某随机变量是否服从二项分布的方法(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．正态分布及其应用在近几年新课标高考中时常出现，主要考查正态曲线的性质(特别是对称性)，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小；有时也会与概率与统计结合，在解答题中考查．2(1)(2015·辽宁十校联考，7)设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2(2)(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 【解析】 (1)由正态分布N (μ，σ2)的性质知，x ＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.(2)由正态分布的概率公式知P (－3<ξ<3)＝68.26%，P (－6＜ξ＜6)＝95.44%，故P(3<ξ<6)＝12[] P（－6<ξ<6）－P（－3<ξ<3）＝12(95.44%－68.26%)＝13.59%.【答案】(1)A(2)B1.(2015·广东佛山一模，7)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)＝()A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 51．B由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(X>4)＝1－P（2≤X≤4）2＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7，故选B.2．(2016·江西八校联考，6)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8，则ξ在(0，80)内的概率为() A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.22．B由题意得，P(80<ξ<100)＝P(100<ξ<120)＝0.4，P(0<ξ<100)＝0.5，∴P(0<ξ<80)＝0.1.,利用正态曲线的对称性求概率的方法(1)解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断．(2)对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知：①对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；②P(X<x0)＝1－P(X≥x0)；③P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．(3)对于特殊区间求概率一定要掌握服从N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率，将所求问题向P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)转化，然后利用特定值求出相应概率．同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质．1．(2016·贵州八校联考，3)设随机变量ξ～N(2，4)，若P(ξ>a＋2)＝P(ξ<2a－3)，则实数a的值为()A ．1 B.53 C ．5 D ．91．B 因为P (ξ>a ＋2)＝P (ξ<2a －3)，所以由正态分布的对称性知，（a ＋2）＋（2a －3）2＝2，解得a ＝53.2．(2015·河南郑州二模，9)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( ) A.49 B.29 C.429 D.2272．A 由独立重复试验的概率公式，知所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49. 3．(2015·福建福州模拟，5)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.9773．C ∵μ＝0，正态曲线关于μ＝0对称， ∴P (ξ＞2)＝P (ξ＜－2)＝0.023，∴P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C.4．(2015·豫北六校联考，10)设ξ是服从二项分布B (n ，p )的随机变量，又E (ξ)＝15，D (ξ)＝454，则n 与p 的值分别为( ) A ．60，34 B ．60，14 C ．50，34 D ．50，144．B 由ξ～B (n ，p )，得E (ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np (1－p )＝454，则p ＝14，n ＝60. 5．(2016·山西四校联考，14)设随机变量X ～N (3，σ2)，若P (X >m )＝0.3，则P (X >6－m )＝________.5．【解析】因为P (X >m )＝0.3，X ～N (3，σ2)，所以m >3，P (X <6－m )＝P (X <3－(m －3))＝P (X >m )＝0.3，所以P (X >6－m )＝1－P (X <6－m )＝0.7.【答案】 0.76．(2016·河北唐山一模，18，12分)小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个，记乙所得红包的总钱数为X (单位：元)，求X 的分布列和期望．6．解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ，则P (A )＝C 12×13×23＝49. (2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (X ＝5)＝C 12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827，P (X ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝627＝29.P (X ＝15)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.所以X 的分布列为E (X )＝0×827＋5×827＋10×29＋15×427＋20×127＝203(元)．7．(2016·江西南昌一模，18，12分)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)，已知P (X <75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.7．解：(1)P(80≤X<85)＝P(75<X≤80)＝0.5－P(X≤75)＝0.2，P(85≤X<95)＝0.5－0.2－0.1＝0.2，所以所求概率P＝A33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X<75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3，0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列是E(ξ)＝3×0.4＝1.2(人)．1．(2013·广东，4，易)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)＝()A.32B．2 C.52D．31．A由数学期望公式得E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2．(2014·浙江，9，难)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n 个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中．(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)；(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i＝1，2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2) 2．A 随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：所以E (ξ1)＝n m ＋n ＋2m m ＋n ＝2m ＋nm ＋n， E (ξ2)＝C 2n C 2m ＋n ＋2C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3C 2mC 2m ＋n ＝3m ＋n m ＋n，所以E (ξ1)<E (ξ2)．因为p 1＝m m ＋n ＋n m ＋n ·12＝2m ＋n 2（m ＋n ），p 2＝C 2m C 2m ＋n ＋C 1m C 1n C 2m ＋n ·23＋C 2nC 2m ＋n ·13＝3m ＋n 3（m ＋n ），p 1－p 2＝n 6（m ＋n ）>0，所以p 1>p 2.思路点拨：列出随机变量ξ1，ξ2的分布列，计算期望值并比较大小；利用分步计数原理计算p 1，p 2并比较大小．3．(2014·浙江，12，易)随机变量ξ的取值为0，1，2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.3．【解析】设ξ＝1时的概率为p ，则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p －15＝1，解得p ＝35，故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.【答案】 254．(2016·课标Ⅰ，19，12分，中)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需要更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？4．解：由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，EY＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.5．(2016·天津，16，13分，中)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．5．解：(1)由已知，得P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为1 3.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望EX＝0×415＋1×715＋2×415＝1.6．(2016·山东，19，12分，中)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮。

2020年高考数学专题复习离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12 C ．14D ．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________．解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________．解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3.答案：P(X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．【解】由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为在本例条件下，求P (1<X ≤4)．解：由本例知，m ＝0.3，P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋(X ＝3)＋P (X ＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________．解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)角度一用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列．【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为角度二古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列．【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ， P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920； P (X ＝5)＝C 35C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列．解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16，故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．解：X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4， P (X ＝k )＝C k 5C 4－k5C 410，k ＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．[基础达标]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34.4．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A ．13 B ．16 C ．12D ．56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________．解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________．解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n ＝C 26C 13＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，C 984P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2. 答案：45 211．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率．解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12. 12．(2019·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，C 1015故X 的分布列为[能力提升]1．(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584， P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)．所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X 的分布列； (3)求甲取到白球的概率．解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)．即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球．设“甲取到白球”的事件为A ，则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。

高考数学二轮总复习课后习题专题突破练18 概率、随机变量及其分布 (2)

专题突破练18 概率、随机变量及其分布一、单项选择题1.显像管的使用寿命与其开关的次数有关.某品牌的显像管开关了10 000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关了10 000次的显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )A.0.20B.0.48C.0.60D.0.752.马林·梅森(Marin Mersenne,1588—1648)是17世纪法国数学家.他在欧几里得、费马等人研究的基础上深入地研究了2p-1型的数.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2p-1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是( )A.37B.512C.1328D.19553.(新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、填空题4.(新高考Ⅱ,13)随机变量X 服从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= .5.已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛,比赛规则如下:①每场比赛有两位选手参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一位选手首先获胜两场,则本次比赛结束,该选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,且甲与乙先参加比赛,则甲获得第一名的概率为 . 三、解答题6.某水产品超市购进一批重量为100 kg 的螃蟹,随机抽取了50只统计其重量,得到的结果如下表所示.(1)试用组中值来估计该批螃蟹有多少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只,记重量在区间[260,280]内的螃蟹数量为X,求X的概率分布列和数学期望.专题突破练18 概率、随机变量及其分布1.D 解析:记事件A:显像管开关了10000次还能继续使用,记事件B:显像管开关了15000次后还能继续使用,则P(AB)=0.6,P(A)=0.8,所以,已经开关了10000次的显像管还能继续使用到15000次的概率为P(B|A)=P (AB )P (A )=0.60.8=0.75.2.C 解析:可知不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,其中梅森素数有3,7,共2个,则在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数共有C 82=28种,其中至少有一个为梅森素数有C 21C 61+C 22=13种,所以至少有一个为梅森素数的概率是P=1328.3.B 解析:由已知得P(甲)=16,P(乙)=16,P(丙)=56×6=536,P(丁)=66×6=16,P(甲丙)=0,P(甲丁)=16×6=136,P(乙丙)=16×6=136,P(丙丁)=0.由于P(甲丁)=P(甲)·P(丁)=136,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选B.4.0.14 解析:由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.5.2572解析:因为每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,所以甲选手获胜的概率是P(A)=13×34+13×(1-34)×12×13+(1-13)×(1-12)×34×13=2572.6.解(1)50只螃蟹的平均重量为150×(170×3+190×2+210×15+230×20+250×7+270×3)=224,所以水产品超市购进的100kg 螃蟹只数约为100000÷224≈446. (2)X 的可能取值为0,1,2,3,概率分别为: P(X=0)=C 30C 74C 104=16,P(X=1)=C 31C 73C 104=12,P(X=2)=C 32C 72C 104=310,P(X=3)=C 33C 71C 104=130.分布列为:所以E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65.。

2020版高考理科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题四第1讲概率、离散型随机变量及其分布列

第 1 讲概率、离散型随机变量及其分布列
题型一古典概型
[做真题 ]
1．(2019 ·高考全国卷 Ⅰ )我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“ —— ”和阴爻“ — — ”，
如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有
3 个阳爻的概率是 ( )
切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ( )
1 A．4
1 C． 2
π B．8
π D ．4
详细分析：选 B．不妨设正方形的边长为 2，则正方形的面积为 4，正方形的内切圆的半
径为 1，面积为 π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称
详细分析：选 A ．法一：设直角三角形 ABC 的内角 A， B，C 所对的边分别为 a， b， c，
1
1
பைடு நூலகம்
c2 1
b2
则区域 Ⅰ 的面积即 △ABC 的面积，为 S1＝ 2bc，区域 Ⅱ 的面积 S2＝ 2π× 2 ＋ 2π× 2 －
a2
π× 2 2
－12bc
＝
1 8
πc（2＋
b
2－
a
个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形
ABC 的斜边 BC，直角边 AB， AC.△ABC 的
-1-
三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ 点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则 ( )
.在整个图形中随机取一点，此
A ． p1＝ p2 C． p2＝ p3
B ． p1＝p3 D ．p1＝p2＋ p3

2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版课件：6.3.2 随机变量及其分布

-9-
考向一考向二考向三考向四
(2)X的所有可能值为0,1,2. 记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”. 由题设知,事件 C,D 相互独立,且 P(C)=93+03=0.4,P(D)=142+51=0.6. 所以 P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24, P(X=1)=P(C�� ∪ ��D) =P(C)P(��)+P(��)P(D) =0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6 =0.52, P(X=0)=P(�� )=P(��)P(��)=0.24.
6.3.2 随机变量及其分布
考向一考向二考向三考向四
依据频率求概率的综合问题例1某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
,
16,
(1)事件 A 为“三位顾客中恰有两位顾客打 6 折”,
所以 P(A)=C32
1 22 = 2.
33 9
(2)X 的可能取值为 2 000,2 200,2 400,2 600,2 800,3 000,3

高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)：二项分布与正态分布

二项分布与正态分布【考点梳理】1．条件概率2．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ).3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.4．正态分布 (1)正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2).其中φμ，σ(x )()222x μσ--　(σ>0).(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974. 【考点突破】考点一、条件概率【例1】(1)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P(B |A )＝________.(2)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A ．110B ．15C ．25D ．12 [答案] (1) 14(2) C[解析] (1)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π.故P (B |A )＝P ABP A ＝12π2π＝14.(2)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25.故选C.【类题通法】1. 利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这是求条件概率的通法.2. 借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.【对点训练】1．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18B ．14C ．25D ．12 [答案] B[解析] 法一 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11025＝14.法二事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14.2．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A ．35B ．59C ．110D ．25 [答案] B[解析] 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1335＝59. 考点二、相互独立事件同时发生的概率【例2】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解析] (1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为：(2)设Y 率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.【类题通法】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【对点训练】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.[解析] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13 ×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为【例3】空气质量指数(AirQuality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI 的茎叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI ≤100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列.[解析] (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，∴该样本中空气质量为优良的频率为610＝35，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×35＝18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35. ∴P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，ξ的分布列为【类题通法】利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.【对点训练】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值.由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65)，[65，75)，[75，85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75)内的产品件数为X，求X的分布列.[解析] (1)设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，则落在区间[55，65)，[65，75)内的频率分别为4x，2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05.(2)由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45，75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n＝3，p＝0.6.因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝C03×0.60×0.43＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.61×0.42＝0.288，P (X ＝2)＝C 23×0.62×0.41＝0.432， P (X ＝3)＝C 33×0.63×0.40＝0.216，所以X 的分布列为【例4】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2(2)某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数约为________．[答案] (1) C (2) 10[解析] (1)画出正态曲线如图，结合图象知：P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12[1－P (ξ<0)－P (ξ>4)]＝12(1－0.2－0.2)＝0.3.(2)由题意，知P (ξ>110)＝1－2Pξ2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10. 【类题通法】对于正态分布N (μ，σ2)，由x ＝μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )；(2)P (X <x 0)＝1－P (X ≥x 0)；(3)P (a <X <b )＝P (X <b )－P (X ≤a )．【对点训练】1．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P (ξ<2)＝0.8，则P (0<ξ<1)的值为________． [答案] 0.3[解析] P (0<ξ<1)＝P (ξ<2)－P (ξ<1)＝0.8－0.5＝0.3.2．某地高三理科学生有15 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，已知P (80<ξ≤100)＝0.35，若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取( )A ．5份B ．10份C ．15份D ．20份 [答案] C[解析] ∵数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，P (80<ξ≤100)＝0.35，∴P (80<ξ≤120)＝2×0.35＝0.70，∴P (ξ>120)＝12×(1－0.70)＝0.15，∴应抽取的份数为100×0.15＝15.。

2021新高考数学二轮总复习学案：6.4.2 随机变量及其分布含解析

6.4.2随机变量及其分布必备知识精要梳理1.超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.2.二项分布一般地,在n次独立重复试验中,事件A发生的次数为X,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=p k q n-k,其中0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p),且E(X)=np,D(X)=np(1-p).3.正态分布一般地,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)d x,则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是:①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.4.离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,.X x1x2x3…x i…x nP p1p2p3…p i…p n关键能力学案突破热点一依据频率求概率的综合问题【例1】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2):满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.解题心得频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值.频率本身是随机的,而概率是一个确定的数,是客观存在的,因此概率与每次试验无关.(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件是互斥事件,且必须有一个要发生.(2)利用集合的观点来判断:设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B,全集为I.①事件A与B互斥,即集合A∩B=⌀;②事件A与B对立,即集合A∩B=⌀,且A∪B=I,也即A=∁I B 或B=∁I A.(3)对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.(4)如果A1,A2,…,A n中任何两个都是互斥事件,那么我们就说A1,A2,…,A n彼此互斥.(5)若事件A1,A2,A3,…,A n彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).应用互斥事件的概率加法公式解题时,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.对于较复杂事件的概率,可以转化为求其对立事件的概率.(6)求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(A)=1-P(。

2020-2021学年高中数学第二章随机变量及其分布 2.1.1 离散型随机变量跟踪训练（含解析

2.1.1 离散型随机变量[A组学业达标]1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的．答案：D2．将一个骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )A．两次掷出的点数之和B．两次掷出的最大点数C．第一次与第二次掷出的点数之差D．两次掷出的点数解析：将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数不是一个变量．答案：D3．下列叙述中，是离散型随机变量的为( )A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性解析：选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量．选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量．选项D，事件发生的可能性不是随机变量．故选C.答案：C4．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值是( )A ．1,2，…，5B ．1,2，…，10C ．2,3，…，10D ．1,2，…，6解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.答案：C5．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为X ，则X ＝k 表示的试验结果为( )A ．第k －1次检测到正品，而第k 次检测到次品B ．第k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品C ．前k －1次检测到正品，而第k 次检测到次品D ．前k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品解析：X 就是检测到次品前正品的个数，X ＝k 表明前k 次检测到的都是正品，第k ＋1次检测到的是次品．答案：D6．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是________(填序号)．①2枚都是4点；②1枚是1点，另1枚是3点；③2枚都是2点；④1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点．解析：抛掷2枚骰子，其中1枚是x 点，另1枚是y 点，其中x ，y ＝1,2，…，6. 而ξ＝x ＋y ，ξ＝4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2.答案：④7．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X ；②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X ；③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X ；④虎门大桥一天经过的车辆数X .解析：①③④中的随机变量X 的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X 可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量，故填②.答案：②8．一批产品共有12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．解析：可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．X的结果有0,1,2,3.答案：0,1,2,39．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产了1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为X，写出X的可能取值．解析：X的可能取值为0,1,2.X＝0表示在两天检查中均发现了次品．X＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品．X＝2表示在两天检查中没有发现次品．10．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：(1)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；(2)在西安至成都的高铁线上，每隔500 m有一电线铁塔，将电线铁塔进行编号，则某一电线铁塔的编号X；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.解析：(1)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出．(2)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始，可以一一列出．(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．[B组能力提升]11．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为( ) A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤4解析：第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.答案：C12．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数是( )A．25 B．10C．7 D．6解析：∵Y表示取出的2个球的号码之和，又1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9，故Y的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个．答案：C13．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大值可能为________．解析：由题意可知X取最大值时只剩下一把钥匙，但锁此时未打开，故试验次数为4.答案：414．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时总共拨的次数为X，则随机变量X的所有可能取值的种数为________．解析：由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A44＝24种．答案：2415．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，写出X的所有可能取值，并说明X 的值表示的随机试验的结果．解析：X的所有可能取值是－1,0,1,2,3.(1)X＝－1表示：甲抢到1题但答错了，而乙抢到2题都答错了．(2)X＝0表示：甲没抢到题，乙抢到的题答错至少2个题或甲抢到2题，但回答1对1错，而乙答错1题．(3)X＝1表示：甲抢1题且答对，乙抢到2题且1对1错或全错或甲抢到3题，且2对1错．(4)X＝2表示：甲抢到2题均答对．(5)X＝3表示：甲抢到3题均答对．16．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X.(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值；(2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量类型．解析：(1)(2)由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以Y对应的各值是6,11,16,21.故Y的可能取值为6,11,16,21，显然Y为离散型随机变量．。

2020_2021学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.4.1二项分布

课时作业(十一) 二项分布[练基础]1．某人参加一次考试，4道题中答对3道则为及格，已知他解题的正确率为0.4，则他能及格的概率约为( )A ．0.18B ．0.28C ．0.37D ．0.482．某球星在三分球大赛中的命中率为12，假设三分球大赛中总共投出8球，投中一球得3分，投丢一球扣1分，则该球星得分的数学期望与方差分别为( )A ．16，32B ．8，32C ．8，8D ．32，323．在平面直角坐标系中，位于原点的一个质点P 按下列规则移动：质点P 每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P 移动五次后位于点(1，0)的概率是( )A ．4243B ．8243C ．40243D ．802434．若X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，且D (X )＝23，则P (0≤X ≤2)＝( ) A ．19B ．89C ．2627D ．1275．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取1个球，记下颜色后放回．若连续取三次，用X 表示取出红球的个数，则E (X )＋D (X )＝( )A ．2B ．23C ．53D ．436．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A ．3281B ．1127C ．6581D ．16817．某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任何一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________．8．若随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝52，D (X )＝54，则P (X ＝1)＝________．(用数字作答)9．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的占60%，参加过计算机培训的占75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各个人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．10．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布，两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，双方出示的手势相同时，不分胜负．假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率．(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，假设每次游戏的结果互不影响．求X 的分布列和方差．[提能力]11．设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则D (3Y ＋1)＝( )A ．2B ．3C ．6D ．712．一名学生通过某次英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．313．将一枚质地均匀的硬币抛掷6次，则正面朝上的次数比反面朝上的次数多的概率为________．14．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (X )＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝________．15．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X ).[战疑难]16．抛掷两枚质地均匀的骰子，取其中一枚的点数为点P 的横坐标，另一枚的点数为点P 的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，求点P 在圆x 2＋y 2＝16内的次数X 的分布列．课时作业(十一)1．解析：他能及格的概率P ＝C 34 ×0.43×(1－0.4)＋C 44 ×0.44≈0.18.故选A . 答案：A2．解析：根据题意，该球星命中球数X ～B ⎝⎛⎭⎫8，12 ， ∴E(X)＝8×12 ＝4，D(X)＝8×12 ×⎝⎛⎭⎫1－12 ＝2. 设该球星的得分为随机变量Y ，则Y ＝3X －(8－X)＝4X －8，∴E(Y)＝E(4X －8)＝4E(X)－8＝4×4－8＝8，D(Y)＝D(4X －8)＝16D(X)＝16×2＝32.故选B .答案：B3．解析：依题意，得这五次移动中必有两次向左移动，三次向右移动，因此所求概率为C 25⎝⎛⎭⎫13 2 ⎝⎛⎭⎫23 3＝80243.故选D . 答案：D4．解析：∵X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13 ，且D(X)＝23 ， ∴n ×13 ×⎝⎛⎭⎫1－13 ＝23，解得n ＝3， ∴P(0≤X ≤2)＝1－P(X ＝3)＝1－⎝⎛⎭⎫13 3＝2627 ，故选C . 答案：C5．解析：由题意，知每次取到红球的概率为13 ，易得X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13 ，所以E(X)＝3×13＝1，D(X)＝3×13 ×23 ＝23 ，所以E(X)＋D(X)＝53.故选C .答案：C6．解析：P(X ≥1)＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝C 12 p(1－p)＋C 22 p 2＝59 ，即9p 2－18p ＋5＝0，解得p ＝13 或p ＝53 (舍去)，故P(Y ≥2)＝1－P(Y ＝0)－P(Y ＝1)＝1－C 04×⎝⎛⎭⎫1－13 4－C 14 ×13 ×⎝⎛⎭⎫1－13 3＝1127.故选B .答案：B7．解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设“申请A 片区房源”为事件D ，则P(D)＝13，所以4位申请人中恰有2人申请A 片区的概率为C 24 ×⎝⎛⎭⎫13 2×⎝⎛⎭⎫1－13 2 ＝827.答案：8278．解析：由题意及二项分布的均值、方差公式得， ⎩⎨⎧E （X ）＝np ＝52，D （X ）＝np （1－p ）＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，p ＝12．所以P(X ＝1)＝C 15×12 ×⎝⎛⎭⎫1－12 4 ＝C 15 ×125 ＝532. 答案：5329．解析：(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，则事件A 与B 相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.所以该下岗人员没有参加过培训的概率为P(A － B － )＝P(A － )·P(B －)＝(1－0.6)×(1－0.75)＝0.1.所以该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ～B(3，0.9)，P(ξ＝k)＝C k 3 0.9k ×(1－0.9)3－k，k ＝0，1，2，3，所以ξ的分布列为10.解析：(1)玩家甲、乙在1次游戏中出示手势的所有可能结果有3×3＝9(种)，其中玩家甲胜玩家乙的有3种，所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率为39 ＝13 .(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，P(X ＝0)＝C 03 ⎝⎛⎭⎫23 3 ＝827，P(X ＝1)＝C 13 ⎝⎛⎭⎫13 1 ⎝⎛⎭⎫23 2 ＝1227 ＝49， P(X ＝2)＝C 23 ⎝⎛⎭⎫13 2 ⎝⎛⎭⎫23 1 ＝627 ＝29， P(X ＝3)＝C 33 ⎝⎛⎭⎫13 3 ＝127，所以X 的分布列为因为X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13 ，所以X 的方差D(X)＝3×13 ×23 ＝23.11．解析：∵随机变量X ～B(2，p)，∴P(X ≥1)＝1－P(X ＝0)＝1－C 02 (1－p)2＝59 ，解得p ＝13 ，∴D(Y)＝3×13 ×23 ＝23 ，∴D(3Y ＋1)＝9D(Y)＝9×23＝6，故选C .答案：C12．解析：设“连续测试n 次，至少有一次通过”为事件A ，则其对立事件A －为“n 次测试都没通过”，由题意知，P(A － )＝C 0n ⎝⎛⎭⎫1－12 n ，则P(A)＝1－P(A － )＝1－C 0n ⎝⎛⎭⎫12 n ，因为至少有一次通过的概率大于0.9，所以1－C 0n⎝⎛⎭⎫12 n >0.9，即⎝⎛⎭⎫12 n<0.1，易知n ≥4，所以n 的最小值为4.故选C .答案：C13．解析：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率均为12 ，设X 为正面朝上的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12 ，故正面朝上的次数比反面朝上的次数多的概率P ＝P(X ＝4)＋P(X ＝5)＋P(X ＝6)＝C 46×⎝⎛⎭⎫12 4×⎝⎛⎭⎫12 2＋C 56 ×⎝⎛⎭⎫12 5×12 ＋C 66 ×⎝⎛⎭⎫12 6＝1132. 答案：113214．解析：由题知X ～B(10，p)，则D(X)＝10×p ×(1－p)＝2.4，解得p ＝0.4或0.6.又∵P(X ＝4)<P(X ＝6)，即C 410 p 4(1－p)6<C 610 p 6(1－p)4⇒(1－p)2<p 2⇒p>0.5，∴p ＝0.6.答案：0.615．解析：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A 2)＝0.003×50＝0.15. P(B)＝0.6×0.6×C 12 ×0.15＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为 P(X ＝0)＝C 03 ·(1－0.6)3＝0.064， P(X ＝1)＝C 13 ·0.6(1－0.6)2＝0.288， P(X ＝2)＝C 23 ·0.62(1－0.6)＝0.432， P(X ＝3)＝C 33 ·0.63＝0.216. 故X 的分布列为因为X ～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.16．解析：根据题意知，抛掷两枚骰子各一次，点P 的坐标共有6×6＝36种情况，其中在圆x 2＋y 2＝16内的点的坐标有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8个，则点P 在圆x 2＋y 2＝16内的概率为836 ＝29 .根据题意知，X ～B ⎝⎛⎭⎫3，29 ，所以P(X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫29 0×⎝⎛⎭⎫1－29 3＝343729 ， P(X ＝1)＝C 13 ×⎝⎛⎭⎫29 1 ×⎝⎛⎭⎫1－29 2 ＝98243 ， P(X ＝2)＝C 23 ×⎝⎛⎭⎫29 2 ×⎝⎛⎭⎫1－29 1 ＝28243 ， P(X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫29 3×⎝⎛⎭⎫1－29 0＝8729. 所以X 的分布列为。