7-矩阵的简单应用
矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
矩阵的简单应用1
2.6矩阵的简单应用（1）学习目标：1、初步了解高阶矩阵；2、了解矩阵的简单应用。
活动过程：活动一：矩阵在数学领域中的简单应用例1：已知盒子A 中装有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色，1只白色；盒子B 中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色，2只白色。
假定A ，B 两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小球的概率有多大？例2：如图所示的是A ，B ，C 这3个城市间的交通情况，小月想从其中某一个城市出发直达另一个城市，她可以有几种选择？小结：网络图，结点，一级路矩阵，二级路矩阵的定义。
例3：已知一级路矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡002001210表示一个网络图，它的结点分别是A ，B ，C ，试画出满足条件的一个网络图。
活动二：矩阵在实际生产、生活中的简单应用例4：某运动服销售店经销A，B，C，D4种品牌的运动服，其中尺寸分别有S（小号）、M （中号）、L（大号）、XL（特大号）4种，一天内，该店的销售情况如表所示（单位：件）：假设不同品牌的运动服的平均利润是A为20元/件，B为15元/件，C为30元/件，D为25元/件，问：M号的运动服在这天获得的总利润是多少？活动五：课堂小结与自主检测1、已知某蛋糕厂生产甲、乙、丙3种蛋糕，其配料用量分别如下表（单位：kg）。
已知水果、奶油、白糖、面粉的单价分别为5，8，2，2.5，（单位：元/kg），试计算甲、乙、丙32、写出图示网络表示的一级路矩阵（图（2）的圆圈表示自己到自己有一条路）。
图（1）3、假设某市的天气分为晴和阴两种状态，若今天晴，则明天晴的概率为43，阴的概率为41；若今天阴，则明天晴的概率为31，阴的概率为32。
这些概率可以通过观察某市以往几年每天天气的变化趋势来确定，通常将用矩阵来表示的这种概率叫做转移概率，对应的矩阵叫做转移矩阵，而将这种以当前状态来预测下一时段状态的概率模型称做马尔可夫链。
矩阵特征值及其计算方法的应用
矩阵特征值及其计算方法的应用矩阵特征值是线性代数中的重要概念，它在各个学科领域都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
本篇文章将针对矩阵特征值及其计算方法的应用进行探讨，以期帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、矩阵特征值的定义矩阵特征值是指一个矩阵在行列式中的解，也称为特征根。
对于给定的矩阵A，如果存在一个实数λ和非零向量v，使得：Av=λv，则称λ为矩阵A的特征值，v为相应的特征向量。
二、矩阵特征值的计算方法计算矩阵特征值的方法有很多种，其中比较常用的有特征值分解法、幂法、反迭代法等。
下面我们就来简单介绍一下这几种方法：1、特征值分解法：通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以将任何一个n阶方阵A表示为：A=QΛQ^(-1)，其中Λ是一个对角线矩阵，其对角线上的元素为矩阵A的特征值，Q是由矩阵A的n个特征向量组成的矩阵，并满足Q^(-1)Q=I。
2、幂法：幂法是求解矩阵最大特征值的一种方法。
具体步骤为：首先选择一个非零向量v0作为初始向量，然后进行迭代计算，直至收敛为止。
每次迭代时，都将向量v0乘以矩阵A，并将结果归一化得到下一个向量v1，即：v1=A·v0/||A·v0||。
重复这个步骤直到v1和v0之间的距离小于一定的阈值。
3、反迭代法：反迭代法是幂法的一种改进方法，用于求解矩阵的近似特征值及其对应的特征向量。
该方法的思想是对原问题进行转化，将求解矩阵最大特征值的问题转化为求解矩阵最小特征值的问题。
具体实现时，需要对矩阵A进行平移，使得新矩阵B=μI-A的特征值与B的特征值相互对应，在这个基础上再进行幂法的计算即可。
三、矩阵特征值的应用矩阵特征值由于具有很好的数学性质和广泛的应用场景，因此在各个领域都有着深入的研究和广泛的应用。
下面我们就针对几个具体场景来介绍一下矩阵特征值的应用。
1、图像处理：矩阵特征值在图像处理中有着重要的应用，通过分解一张图像对应的矩阵的特征值和特征向量，可以将原图像进行降维处理，从而达到图像压缩和图像增强的目的。
c 语言矩阵运算
c 语言矩阵运算C语言是一种广泛应用于计算机科学领域的编程语言，它具有高效、灵活和强大的特点。
在C语言中，矩阵运算是一项重要的操作，可以用于解决各种实际问题。
本文将介绍C语言中的矩阵运算的基本概念、常用操作和应用场景。
一、矩阵的定义和表示矩阵是一个二维数组，由若干行和若干列组成。
在C语言中，可以使用二维数组来表示矩阵。
例如，一个3行4列的矩阵可以定义为int matrix[3][4]，其中matrix是矩阵的名称，3表示矩阵的行数，4表示矩阵的列数。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：两个相同维数的矩阵进行对应元素的相加运算。
例如，矩阵A和矩阵B的加法可以表示为C=A+B，其中C是一个与A和B维数相同的矩阵，其每个元素等于A和B对应位置元素的和。
2. 矩阵的减法：两个相同维数的矩阵进行对应元素的相减运算。
例如，矩阵A和矩阵B的减法可以表示为C=A-B，其中C是一个与A和B维数相同的矩阵，其每个元素等于A和B对应位置元素的差。
3. 矩阵的数乘：一个矩阵的每个元素与一个数相乘得到的新矩阵。
例如，矩阵A的数乘可以表示为C=k*A，其中k是一个数，C是一个与A维数相同的矩阵，其每个元素等于A对应位置元素乘以k。
4. 矩阵的乘法：两个矩阵进行相乘运算，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
例如，矩阵A和矩阵B的乘法可以表示为C=A*B，其中C是一个A的行数和B的列数相同的矩阵，其每个元素等于A的对应行与B的对应列的乘积之和。
三、矩阵运算的应用场景矩阵运算在各个领域都有广泛的应用，例如：1. 线性代数：矩阵运算是线性代数中的基础操作，可以用于求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题。
2. 图像处理：图像可以表示为一个二维矩阵，矩阵运算可以用于图像的平滑、锐化、旋转等操作，实现图像的处理和增强。
3. 机器学习：矩阵运算是机器学习中常用的操作，例如矩阵的转置、逆运算、奇异值分解等，可以用于模型参数的更新和优化。
矩阵的运算应用实例
25 .0 40 .0 55 .0
25 .0 25 .0 47 .5
矩阵运算应用示例三
问题描述：
设我们要为一次聚会准备餐饮，需要10个大型
三明治（巨无霸）、6夸脱（每夸脱约1.14 升——译注）果汁饮料、3夸脱土豆沙拉及2盘 开胃菜。以下数据给出3家不同供货商提供这 些商品的单价：
问题分析一：
问题所要求的是对于题目中所给出的四种矩阵，
理解它们所代表的含义，并根据所提出的三个 问题，将对应的矩阵组合起来，以乘积形式表 述出来。由于各个矩阵代表的含义不同，所以 局阵乘积所代表的含义也尽不相同。
问题分析二：
对于第一个问题是要求出为建造每种类型住宅
需要各种物品的数量，由题意对于C矩阵的定 义我们得知矩阵C正是题目所要求的答案。 对于第二个问题是要求出在每个国家制造每种物
（b）哪个矩阵乘积给出了在每个国家制造 每种物品需要多少费用？ （c）哪个矩阵乘积给出了在每个国家建造 每种类型住宅需要多少费用？
预备知识：
两个矩阵乘积的定义： 矩阵A与B的乘积C的第i行第j列的元素等于第
一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对 应元素乘积的和。当然，在矩真乘积定义中， 我要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数 相等。
A
机时
I/O 执行 系统
计时收费
B I/0 执行 系统
方式Ⅰ
方式Ⅱ
作业A 作业B
20 10 作业C 5 4 25 8 10 10 5
2 3 6 5 3 4
C 每种类型的作业数量 D 方式Ⅰ 方式Ⅱ 机时比
供货商A 供货商B 供货商C
巨无霸 $ 4.00 $ 6.00 $ 1.00 $ 0.85 $ 5.00 $ 5.00 $ 0.85 $ 1.00 $ 7.00
浅谈矩阵在中学数学中的应用
浅谈矩阵在中学数学中的应用矩阵是数学中一种有趣而又重要的概念，在中学数学中应用非常广泛，它已成为中学数学的核心知识之一。
本文将介绍矩阵在中学数学中的应用。
首先，矩阵在方程组解法中有重要的作用。
方程组是一组未知数的多元方程的集合，经常用来描述一个实际问题的数学模型。
矩阵可以用来表达方程组的结构，可以用来求解多元方程组。
矩阵涉及到的算法，如高斯消元法、克莱默法则、罗尔斯消元法，正是这些算法使得方程组的求解变得简单而又高效。
另外，矩阵还被用来解决几何问题。
几何问题是数学中很普遍的问题，其解决方案也有很多种。
矩阵可以用来表示几何形状和图形的参数，可以用来进行几何图形的操作，如图形的缩放、旋转和平移。
此外，矩阵还被用来求解一般的几何问题，如求两点之间的距离、求直线的方程、求任意图形的面积等。
再者，矩阵也在代数中有重要的应用。
矩阵的两个最主要的应用是线性方程组的分析和行列式的计算。
矩阵可以表示几个变量之间的依赖关系，在解决多元一次方程组时，可以使用行列式解决，从而简化线性方程组的求解过程。
此外，矩阵也可以用来计算数值的斜率，从而进行函数的图像分析。
总的来说，矩阵在中学数学中应用广泛、重要性不可低估。
它可以用来表示方程组、解决几何问题，甚至可以用来解决一些复杂的代数问题。
学习矩阵，可以提高学生数学求解能力，从而有利于学生更好地掌握中学数学的核心知识。
综上所述，矩阵在中学数学中有着重要的作用，扮演着非常重要的角色，它不仅可以用来解决方程组、解决几何问题，而且还可以用来解决代数问题，实用性极强。
针对矩阵的概念、特性及其应用，建议中学数学课上多重着重实践，使学生对矩阵有系统的认识，以达到有效掌握中学数学核心知识的目的。
矩阵的运算应用实例
(c)所需的总机时为：
(5+20+10) ×4+(4+25+8) ×5+(10+10+5) ×5=400;
(d)在方式Ⅰ下：
5
4
20 25
10 8
×
2 6
160
=
182
=E
10 10 5 4 95
把E转置后成为 E T再与C作矩阵乘积 ：
4
16 10 8 92 5 5 = 1835
矩阵运算应用示例一
7 假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人 员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩 阵：
商店 A 商店 B
苹果 0 . 10 0 . 15
橘子
0
.
15
0 .20
梨
0 . 10 0 . 5 10 3 4 5 5
城镇 1 城镇 2
问题分析一：
问题所要求的是对于题目中所给出的四种矩阵， 理解它们所代表的含义，并根据所提出的三个 问题，将对应的矩阵组合起来，以乘积形式表 述出来。由于各个矩阵代表的含义不同，所以 局阵乘积所代表的含义也尽不相同。
问题分析二：
对于第一个问题是要求出为建造每种类型住宅 需要各种物品的数量，由题意对于C矩阵的定 义我们得知矩阵C正是题目所要求的答案。
价格距阵是什么？
本题的问题只是一个简单的距阵 运算， 利用Matlab软件既可以容易的解决。 利用以下问题假设的 内容，既可以方 便的解决。
现在我们设糖果的初始价格距阵为：
问题A：
10 20 20 A 25 30 20
30 40 35
设糖果价格加倍以后的价格距阵为B,则B=2*A。
矩阵在生活中的应用
矩阵在生活中的应用矩阵是数学中的一种重要概念，它广泛应用于各个领域。
在生活中，我们可以发现，矩阵的应用十分广泛，它涉及到了商业、科技、医学等各个领域。
下面我们来详细介绍一下矩阵在生活中的应用。
1. 电视与电影电视与电影中所使用的图像、声音等信息都需要进行数字化处理和储存。
这种处理和储存过程就需要用到矩阵。
矩阵可以将数字信号储存为矩阵格式，然后再通过图像处理和数字信号处理等方法进行编码和解码，以达到更好的储存、传输和播放效果。
2. 医学医学中的计算机断层扫描（CT）和磁共振成像（MRI）等影像技术往往需要将影像数据转化为数字信号，然后进行数学分析，以便提取出医学上有用的信息。
在这个过程中，矩阵的应用尤为重要，因为矩阵可以将影像数据储存在矩阵中，然后通过与病灶对比分析等方法帮助医生做出更准确的诊断和判断。
3. 经济经济学中的多元统计分析、数据挖掘、金融风险管理等领域都需要应用矩阵。
例如，在股市中，股票价格变动的预测需要将历史价格数据转化为矩阵，然后用线性代数和数值分析等方法进行预测。
其他类似的应用还有投资组合分析、风险评估、市场营销等。
4. 汽车工业汽车工业中，矩阵广泛应用于设计和生产过程中的数学建模、仿真分析、控制系统设计等领域。
例如，对于汽车的动力系统，需要将其各个部分建模为矩阵，以便进行仿真和控制；对于汽车的制造过程，需要使用矩阵进行数据处理和优化，以便提高制造效率和质量。
5. 网络应用在互联网应用中，矩阵的应用十分广泛。
比如，图像识别、语音识别、自然语言处理、搜索引擎等领域都需要用到矩阵。
例如，在搜索引擎中，网页排名算法（如PageRank算法）就是通过矩阵计算机理实现的。
此外，还有社交网络分析、广告推荐、金融投资等领域的应用。
综上所述，矩阵在生活中的应用之广泛，是由于它具有很强的数据处理和分析能力。
因此，无论是在科技、商业、医学还是其他领域，我们都能看到矩阵的身影。
矩阵分解及其简单应用
矩阵分解及其简单应用x=b，即有如下方程组：Ly=bUx=y 先由Ly=b依次递推求得y1, y2,……，yn，再由方程Ux=y依次递推求得 xn，xn-1，……，x1、必须指出的是，当可逆矩阵A不满足∆k≠0时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有：Ly=pbUx=y 这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。
2、矩阵的QR分解矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。
QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Givens方法和Householder方法，而且各有优点和不足。
2、1．Schmidt正交方法的QR分解Schmidt正交方法解求QR分解原理很简单，容易理解。
步骤主要有：1）把A写成m个列向量a=（a1，a2，……，am），并进行Schmidt正交化得=（α1，α2，……，αm）；2)单位化，并令Q=（β1，β2，……，βm），R=diag（α1，α2，……，αm）K，其中a=K；3）A=QR、这种方法来进行QR分解，过程相对较为复杂，尤其是计算量大，尤其是阶数逐渐变大时，就显得更加不方便。
2、2．Givens方法的QR分解Givens方法求QR分解是利用旋转初等矩阵，即Givens矩阵Tij(c,s)来得到的，Tij(c,s)是正交矩阵，并且det(Tij(c,s))=1。
Tij(c,s)的第i行第i列和第j行第j列为cos，第i行第j列和第j行第i列分别为sin和-sin，其他的都为0、任何n阶实非奇异矩阵A可通过左连乘Tij(c,s)矩阵（乘积为T）化为上三角矩阵R，另Q=T-，就有A=QR。
该方法最主要的是在把矩阵化为列向量的基础上找出c和s，然后由此把矩阵的一步步向上三角矩阵靠近。
Givens方法相对Schmidt正交方法明显的原理要复杂得多，但是却计算量小得多，矩阵Tij(c,s)固有的性质很特别可以使其在很多方面的应用更加灵活。
矩阵的有定性及其应用-7页文档资料
矩阵的有定性及其应用摘 要：矩阵的有定性是矩阵论中的一个重要概念, 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性，而在本文中，主要讨论阐述的是实矩阵的正定性，半正定性以及它们的实际应用.本文在介绍实矩阵的正定性，半正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性及半正定性的应用.全文分三章,第一章,矩阵的正定性及半正定性的定义．在第二章,正定性矩阵和半正定性矩阵的判别方法,第三章，在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例．关键字：矩阵 实矩阵 正定性 半正定性 应用一、二次型有定性的概念设P 是一个数域, ij a P ∈, n 个文字12,,,n x x x L 的二次齐次多项式称为数域P 上的一个n 元二次型, 简称二次型. 当ij a 为实数时, 称f 为实二次型. 当ij a 为复数时, 称f 为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即 称f 为标准型.定义1二次型12(,,,)n f x x x =L 可唯一的表示成其中, 12(,,,)n x x x x '=L , ()ij n n A a ⨯=为对称矩阵, 称上式二次型的矩阵形式, 称A 为二次型的矩阵(都是对称矩阵), 称A 的秩为二次型f 的秩. 定义2 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T =(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<AX X T ）成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、矩阵正定性及半正定性的一些判定方法1）矩阵正定性的一些判别方法定理 1设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D Λ=正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i Λ=>. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =定理5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使C C A T =.即E A 与合同。
矩阵运算性质及其应用
第一讲 矩阵运算性质及其应用矩阵是数学中的一个重要容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不一样的.一 矩阵的概念及其运算方法首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法.定义1 由m n ⨯个数字ij a 〔1,2,,i m =，1,2,,j n =〕排成的m 行n 列的数表，称为一个m 行n 列矩阵，简称为m n ⨯型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并用大写字母表示，即111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ，称为A 的(,)i j 元素，简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ⨯型矩阵A 也记作m n A ⨯或m nA ⨯.m n =时，n n ⨯型矩阵A 也称为n 阶矩阵，记作n A .两个矩阵的行数相等，列数也一样时，称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A 与B相等，记作A B =.有一些矩阵的元素分布比拟特殊，我们用专门规定的记号来表示，如 零矩阵O ，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E 〔也记作I 〕，它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.对角矩阵()1212diag ,,,=n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭〔与行列式中一样，不写出的元素就是0〕.下面，我们来复习矩阵的10个运算方法.定义2 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相加、减的条件是：A 与B 同型，即m s =且n t =. ②A 与B相加的和记作A B +，A 与B 相减的差记作A B -.运算方法规定为111112121121212222221122+++⎛⎫ ⎪+++ ⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b111112121121212222221122---⎛⎫ ⎪--- ⎪-= ⎪⎪---⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b根据定义，矩阵的加减就是对应位置上数字的加减.例如23342334575710517067++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1233132(3)2543244234212112211213-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义3数k 与矩阵()ij m n A a ⨯=相乘的积记作()=kA Ak .运算方法规定为()⨯=ij m nkA ka例如23452535410152053105(3)51501550-⨯-⨯-⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪--⨯--⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义4 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相乘的条件是：n s =. ②A 与B相乘的积记作AB .运算方法规定为AB 的(,)i j 元1122=+++i j i j in nj a b a b a b即A 的第i 行各元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和为AB 的(,)i j 元.例如312322314772⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭233(2)(2)72133(2)(2)134(2)7711437(2)⨯+⨯-+-⨯⨯+⨯+-⨯-⎛⎫= ⎪⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯-⎝⎭1415441-⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义5 设矩阵A 为m n ⨯型，①A 能乘方的条件是：m n =即A 为方阵. ②k 为非负整数，A 的k 次幂记作k A .运算方法规定为1,0,1,2-=⎧⎪==⎨⎪≥⎩kk E k A A k A A k ，例如32232323313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭232323()313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1332331031⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 3536361⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义6 将矩阵A 的行与列互换，得到的矩阵，称为A 的转置.记作'A 或T A ，即111212122212⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n m m mn a a a a a a A a a a 时，112111222212⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭m m nnmn a a a a a a A a a a例如345123⎛⎫= ⎪⎝⎭A 时，314253⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭A定义7 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可取行列式的条件是：m n =即A 为方阵. ②A 的行列式即=ijA a .例如341200111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，21341412002(1)611111+==⨯-=--A注：矩阵A 与行列式A 是完全不同的对象.矩阵A 是一数表，不是数，而行列式A 就是数.记号上，矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线.定义8 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 能取伴随的条件是：A 为方阵且2m n =≥. ②A 的伴随记作*A ，并称为A 的伴随矩阵. 运算方法规定为1121112222*12⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n n nnnn A A A A A A A A A A即在A 中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.例如*-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a b d b c d c a *123005111264200241-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭222312131213323332332223*111213212311131113212223313331332123313233212211121112313231322122⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 定义9 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可逆的条件是：A 为方阵且0A ≠. ②A 的逆记作1-A ，并称1-A为A 的逆矩阵运算方法规定为2=≥m n 时，1*1-=A A A；1==m n 时，即一阶方阵的逆111111()-=a a .当方阵A 可逆的条件不满足，即0A =时，常说A 不可逆或A 是奇异矩阵。
矩阵的分解及简单应用
矩阵的分解及简单应用矩阵的分解是对矩阵的一种操作和处理，可以将矩阵拆分成不同形式的矩阵。
矩阵的分解可以被广泛地应用于各种领域中，包括机器学习、信号处理、图像处理等。
在本文中，我们将介绍矩阵的分解以及其简单应用。
1. 矩阵的分解矩阵的分解可以分为以下几种：1.1 LU分解LU分解是一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。
这种分解方法可以用于解线性方程组、求矩阵的逆和计算行列式等。
LU 分解的思路是通过高斯消元的方法将矩阵化为上三角矩阵，再将对角线以上的元素置0。
这样做是为了加速计算过程，比如在解线性方程组时，可以只用求解两个三角矩阵的乘积，而不需要进行高斯消元。
1.2 QR分解QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵乘上上三角矩阵的方法。
这种分解方法可以用于求解矩阵的特征值和特征向量、计算最小二乘问题、求解线性方程组等。
QR分解的基本思路是通过对一个矩阵进行正交变换，使得其变为上三角矩阵。
这个正交变换也可以表示为一个正交矩阵的乘积，这样就可以将原始矩阵分解为正交矩阵乘上上三角矩阵的乘积。
1.3 奇异值分解奇异值分解（singular value decomposition, SVD）是一种广泛应用于矩阵分解的方法。
SVD将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，分别是一个正交矩阵、一个含有奇异值的矩阵和另一个正交矩阵的转置。
SVD可以用于特征提取、图像压缩、推荐系统等方面。
2. 矩阵分解的应用矩阵的分解可以广泛应用于各种领域中，包括以下几个方面。
2.1 机器学习在机器学习中，矩阵的分解被广泛应用于推荐系统中。
推荐系统的目标是预测用户对商品的喜好或评分，并根据这些信息为用户推荐商品。
通过对用户与商品评分矩阵进行奇异值分解或因子分解，可以得到用户和商品的隐含特征，从而较准确地预测用户对商品的评分。
2.2 信号处理在信号处理领域中，矩阵的分解被广泛应用于降噪滤波、雷达信号处理、图像处理等方面。
矩阵的简单运算公式
矩阵的简单运算公式在数学的广袤领域中，矩阵是一个极其重要的概念，它在众多学科，如物理学、计算机科学、经济学等中都有着广泛的应用。
而要掌握矩阵的应用，首先需要了解矩阵的简单运算公式。
矩阵，简单来说，就是一组按照矩形排列的数。
我们用大写字母来表示矩阵，比如矩阵 A 。
一个 m 行 n 列的矩阵，我们就称为 m×n 矩阵。
首先，咱们来看看矩阵的加法运算。
只有当两个矩阵具有相同的行数和列数时，才能进行加法运算。
假设我们有两个矩阵 A 和 B ，它们都是 m×n 的矩阵，那么矩阵 A 和 B 的和 C ，其元素 C(i,j) 就等于 A(i,j) ＋ B(i,j) ，其中 i 表示行标， j 表示列标。
比如说，有矩阵 A ＝ 1 2; 34 ，矩阵 B ＝5 6; 7 8 ，那么它们的和 C 就是6 8; 10 12 。
接下来是矩阵的减法运算，它和加法运算类似，也是要求两个矩阵具有相同的行数和列数。
矩阵 A 减去矩阵 B 所得的矩阵 D ，其元素D(i,j) 等于 A(i,j) B(i,j) 。
再说说矩阵的数乘运算。
假设我们有一个矩阵 A ，还有一个实数 k ，那么数 k 与矩阵 A 的乘积 E ，其元素 E(i,j) 就等于 k×A(i,j) 。
比如，矩阵 A ＝ 1 2; 3 4 ， k ＝ 2 ，那么乘积 E 就是 2 4; 6 8 。
矩阵的乘法运算相对复杂一些。
当矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数时，矩阵 A 和矩阵 B 才能相乘。
假设矩阵 A 是 m×n 的矩阵，矩阵B 是 n×p 的矩阵，那么它们的乘积C 是一个 m×p 的矩阵。
其中，矩阵C 中元素 C(i,j) 等于矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的第 j 列元素对应相乘再相加的结果。
例如，矩阵 A ＝ 1 2; 3 4 ，矩阵 B ＝ 5 6; 7 8 ，那么它们的乘积 C 是 19 22; 43 50 。
矩阵的几种标准形及其应用
矩阵的几种标准形及其应用矩阵是现代数学的一个重要分支，广泛应用于计算机科学、物理学、经济学等领域。
矩阵标准形是对一类矩阵进行特殊化表示的方法，它能够简化矩阵的运算和分析，更好地揭示矩阵的性质和结构。
本文将介绍几种常见的矩阵标准形及其应用。
1. 矩阵的相似标准形相似变换是指通过矩阵的乘法和逆运算将一个矩阵变成另一个矩阵的过程，相似矩阵是指经过相似变换后得到的矩阵。
相似矩阵具有一些重要的性质，比如它们具有相同的特征值、秩、行列式等。
因此，将一个矩阵化为其相似标准形是矩阵理论中的基本问题之一。
1.1 矩阵的实对角形实对角矩阵是指一个对角线上的元素都是实数的对角矩阵。
对于一个n阶实矩阵A，如果它与某个实对角矩阵B相似，那么B的每个对角线元素就是A的一个特征值，并且A的特征向量构成B的对角线上相应特征值的特征子空间的一组基。
因此，将实矩阵A化为其相似标准形就是将其对角化为实对角矩阵。
1.2 矩阵的Jordan标准形Jordan标准形是指将一个矩阵A相似化为上三角矩阵J的过程，其中J具有一定的块状结构，而且对角线上的元素是A的特征值。
Jordan标准形的主要作用是揭示矩阵的可逆性和正则性，以及在求解线性微分方程、寻找矩阵的幂等元素等方面具有重要应用。
1.3 矩阵的Schur标准形Schur标准形是指将一个复矩阵A相似化为上三角矩阵T的过程，其中对角线上的元素是A的特征值，而且T是一个酉矩阵（即满足T×T=I的矩阵，其中表示共轭转置）。
Schur标准形的应用非常广泛，比如在线性系统的稳定性分析、信号处理、统计学等领域都有很重要的作用。
2. 矩阵的奇异值分解标准形奇异值分解是一种将一个m×n矩阵A分解为三个矩阵的乘积的方法，其中第一个矩阵是一个m×m的酉矩阵，第二个矩阵是一个m×n 的实对角矩阵，第三个矩阵是一个n×n的酉矩阵。
奇异值分解的主要目的是将一个任意矩阵分解为尽可能简单的结构，以便于矩阵的处理和分析。
矩阵在生活中的应用
矩阵在实际生活中的应用一．【摘要】随着科学技术的发展，数学的应用越来越广泛，可以说和我们的生活息息相关。
而高等数学中的线性代数，也同样有着广泛的应用。
本篇论文中，我们就对线性代数中的矩阵在生产成本、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行研究。
【关键词】高等数学矩阵实际应用2．应用举例1.生产成本计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。
但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。
在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。
例1.某工厂生产三种产品A、B、C。
每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。
财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。
表1.生产单位产品的成本（元）表2.每种产品各季度产量（件）产品成本A B C原料费用10 20 15支付工资30 40 20管理及其他费用10 15 10 季度产品春季夏季秋季冬季A 2000 3000 2500 2000B 2800 4800 3700 3000C 2500 3500 4000 2000解我们用矩阵的方法考虑这个问题。
两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。
如下所示：通过矩阵的乘法运算得到MN的第一行元素表示了四个季度中每个季度的原料总成本；MN的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本；MN的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。
MN的第一列表示了春季生产三种产品的总成本；MN的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本；MN的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本；MN的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。
矩阵打法的原理及应用
矩阵打法的原理及应用1. 什么是矩阵打法？矩阵打法指的是将问题或任务拆解成多个矩阵，通过对矩阵进行打法的方式解决问题或完成任务。
矩阵打法的核心思想是将复杂的问题分解成简单的矩阵，并通过合理的组织和安排矩阵之间的关系来解决问题。
2. 矩阵打法的原理矩阵打法的原理基于以下几个关键点：2.1. 分解问题矩阵打法首先将复杂的问题或任务分解成多个简单的矩阵。
这样做的好处是可以将复杂的问题转化为简单的矩阵，更容易理解和处理。
2.2. 确定矩阵之间的关系在将问题分解成矩阵之后，需要确定矩阵之间的关系。
这些关系可以是依赖关系、并行关系等。
通过合理地组织和安排矩阵之间的关系，可以有效地解决问题或完成任务。
2.3. 制定打法根据矩阵之间的关系，可以制定相应的打法。
打法是指在解决问题或完成任务的过程中所采用的具体方法和策略。
通过制定合适的打法，可以解决问题或完成任务的效率得到提高。
3. 矩阵打法的应用矩阵打法在多个领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：3.1. 项目管理矩阵打法可以应用于项目管理中，将项目的各个任务拆解成矩阵，确定任务之间的关系，并制定相应的打法，以提高项目管理的效率和质量。
3.2. 生产制造在生产制造中，可以使用矩阵打法将生产线上的各个环节分解成矩阵，确定各个环节之间的关系，并制定相应的打法，以提高生产效率和产品质量。
3.3. 信息技术矩阵打法在信息技术领域也有着广泛的应用。
例如，在软件开发过程中，可以将需求、设计、编码、测试等环节拆解成矩阵，确定各个环节之间的关系，并制定相应的打法，以提高软件开发的效率和质量。
3.4. 决策分析矩阵打法可以应用于决策分析中，通过将决策问题拆解成矩阵，确定决策因素之间的关系，并制定相应的打法，以辅助决策过程。
3.5. 组织管理在组织管理中，矩阵打法可以帮助将复杂的管理任务拆解成矩阵，并确定各个任务之间的关系，以提高管理效率和组织运作的质量。
4. 总结矩阵打法是一种将问题或任务分解成多个矩阵，并通过合理的组织和安排矩阵之间的关系来解决问题或完成任务的方法。
矩阵法的应用原理
矩阵法的应用原理什么是矩阵法？矩阵法是一种通过将问题或情况转化为矩阵形式来进行分析和解决的方法。
它利用矩阵的运算和特点，将复杂的问题转化为简单的矩阵计算，从而更好地理解和解决问题。
矩阵法的应用原理矩阵法的应用原理主要包括以下几个方面：1. 数据的矩阵表示矩阵法将问题或情况中的相关数据转化为矩阵的形式进行表示。
矩阵是由行和列组成的二维数组，每个元素都代表着特定的数据。
通过将数据转化为矩阵形式，可以更好地进行分析和计算。
2. 矩阵运算矩阵法利用矩阵的运算特点进行问题的处理和解答。
矩阵运算包括矩阵的加法、减法、乘法等操作，通过对矩阵的运算，可以得到问题的解答或者更好地理解问题的本质。
3. 矩阵的特殊性质矩阵法还利用矩阵的特殊性质来进行问题的分析和解决。
例如，矩阵的转置可以将矩阵的行和列互换位置，矩阵的逆可以将矩阵的逆元素进行计算等。
4. 问题的量化与优化矩阵法可以将问题进行量化，将复杂的问题转化为可以进行计算和优化的形式。
通过矩阵的运算和特殊性质，可以对问题进行优化，找到最优解或最佳方案。
矩阵法的应用案例矩阵法可以应用于各个领域，以下是几个常见的应用案例：•供应链优化：通过建立供应链网络的矩阵模型，分析和优化供应链中的流程和节点，以提高效益和降低成本。
•金融投资决策：通过矩阵法将不同投资标的的风险和收益进行量化，进行投资组合的优化和决策，以实现资产配置的最优化。
•人力资源管理：通过矩阵法将员工的技能和能力进行矩阵化表示，进行人才梯队和绩效管理，以提高组织的人力资源效益。
•产品定价策略：通过矩阵法将市场需求和产品成本进行分析，确定合适的产品定价策略，以最大化利润。
矩阵法的优势和不足矩阵法作为一种分析和解决问题的方法，具有以下优势：•简化复杂问题：矩阵法将复杂的问题转化为简单的矩阵计算，使问题更易于理解和解决。
•数学性质清晰：矩阵法利用矩阵的运算和特殊性质进行分析，数学性质清晰，运算规则严谨。
•可视化表达：将问题转化为矩阵形式，更易于进行可视化表达和展示，有助于更好地交流和理解。
矩阵和特征值关系
矩阵和特征值关系矩阵和特征值的关系矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域的应用非常广泛。
而矩阵的特征值则是矩阵的一个重要属性，它与矩阵的许多性质和应用密切相关。
我们来简单介绍一下矩阵。
矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。
例如，一个3x3的矩阵有3行3列，表示为：[1 2 3][4 5 6][7 8 9]矩阵中的元素可以是任意实数或复数。
在实际应用中，矩阵可以表示为一个数据集合、线性方程组、线性映射等等。
而特征值则是矩阵的一个重要属性。
对于一个n x n的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv，其中λ为一个标量，那么λ就是矩阵A的特征值，v就是对应的特征向量。
特征值和特征向量的重要性在于它们可以帮助我们理解矩阵的性质和行为。
特征值告诉我们矩阵在某个方向上的拉伸或压缩程度，而特征向量则告诉我们在这个方向上的具体方向。
特征值和特征向量的计算可以通过解特征方程来实现。
特征方程的形式是|A - λI| = 0，其中I是单位矩阵。
解特征方程得到的特征值就是矩阵的特征值。
然后，通过将特征值代入(A - λI)x = 0来求解特征向量。
特征值和特征向量在实际应用中有很多重要的用途。
首先，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质。
对于对称矩阵，特征向量可以构成一组正交基，对应的特征值表示矩阵在相应方向上的伸缩程度。
这在图像处理、模式识别等领域中非常有用。
特征值和特征向量也与矩阵的运算有关。
矩阵的乘法可以通过特征值和特征向量的乘法来简化计算。
对于一个对角矩阵，它的特征值就是对角线上的元素，特征向量就是单位向量。
这使得矩阵的乘法运算更加高效。
特征值和特征向量还与矩阵的谱有关。
矩阵的谱是指矩阵所有特征值的集合。
通过研究矩阵的谱，我们可以了解矩阵的性质和行为。
例如，矩阵的谱半径是指谱中绝对值最大的特征值，它与矩阵的稳定性和收敛性有关。
特征值和特征向量还与矩阵的对角化有关。
对于一个可对角化的矩阵，我们可以通过特征值和特征向量的组合来表示它。
利用矩阵的逆矩阵求解线性方程组
利用矩阵的逆矩阵求解线性方程组线性代数是数学的一个重要分支，其研究诸多重要的数学对象，例如向量空间、矩阵、线性变换等。
线性代数的应用非常广泛，例如在物理、工程、计算机科学等领域都有着深入的应用。
矩阵是线性代数研究的核心对象，其可以用于解决许多实际问题，如在计算机图形学中用于表示三维图形的转换矩阵、在物理中用于表示方程组的矩阵等。
线性方程组是线性代数中的一个重要概念，其可以用于描述诸多实际问题，如平衡问题、电路问题、最优化问题等。
线性方程组可以表示为Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是已知向量。
如果A是一个可逆矩阵，即它的行列式不为0，那么我们可以用矩阵的逆矩阵来求解该线性方程组。
具体来说，我们可以通过Ax=b得到x=A^(-1)b，其中A^(-1)是A的逆矩阵。
下面我们通过一个简单的例子来说明如何利用矩阵的逆矩阵求解线性方程组。
例1：求解以下线性方程组x + 2y = 53x + 4y = 11解：将该线性方程组转化为矩阵形式，得到$\begin{bmatrix}1 & 2\\3 &4\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix}5\\ 11\end{bmatrix}$我们可以计算出系数矩阵A的行列式为-2，因此它是可逆矩阵。
接下来，我们需要求出A的逆矩阵A^(-1)。
通过一些计算，我们可以得到A^(-1)等于下面这个矩阵：$\begin{bmatrix}-2 & 1\\1.5 & -0.5\end{bmatrix}$现在，我们可以用矩阵的逆矩阵求解线性方程组。
具体来说，我们可以计算出x=A^(-1)b等于下面这个向量：$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}-2 & 1\\1.5 & -0.5\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}5\\ 11\end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix}-3\\4\end{bmatrix}$因此，该线性方程组的解为x=-3，y=4。
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N=M2
例5 在军事密码学中，密码发送的流程如图所示， 明码X
发送方加密
密码B
接受方解密
明码X
它的数学原理是：发送方将要传送的信息数字化后 用一个矩阵 X 表示(不足的元素可以补 0, 字与字之间 的空格也以 0 记), 在矩阵的左边乘上一个双方约定好 的可逆矩阵A, 得到B=AX, 则B即为传送出去的密码。 试问接收方应用如何解密？ 若A→1，…，Z →26. 现已知发送方传出的密码为 7, 13, 39, 67, 双方约定的可逆矩阵为 试破解发送的密码。
A A 0 1 2 2 1 5 M N B B 1 2 5 0 2 1 C C 1 2 1 2 0 2
二级路矩阵 一级路矩阵
A B C
A
网络 图
B
C
2
NM
结 点
A 0 1 2 例4 已知一级路矩阵 B 1 0 0 表示一个网络图， 1 B 2
19 X 30 11 Y 30
例2 某运动服销售店经销A, B, C, D四种品牌的运动服， 其尺寸分别有S(小号)、M(中号)、L(大号)、XL(特大号) 四种, 一天内, 该店的销售情况如下表所示(单位：件)：
型号 品牌 A 3 5 2 1 B 2 3 4 0 C 0 4 5 1 D 1 3 5 1
S M L XL
假设不同品牌的运动服的平均利润是 A 为 20 元/件, B 为15元/件, C为 30元/件, D为25元/件, 请问：M号的运动 服在这天获得的总利润是多少？
例3 如图所示的是A, B, C三个城市间的交通情况。 小月想从其中某一个城市出发直达另一个城市, 她可 以有几种选择?如果她想从某一个城市出发, 先经过一 个城市, 再到达另外一个城市, 她又可以有几种选择？
它们的结点分别是A, B, C，试画出一个网络图。
A B C
B
A C
探究：著名的“七桥问题”
探究：著名的“七桥问题”
C
A B
哥尼茨堡城区
C
D
欧拉(1736)
A
D
B
七桥问题的图
A B C D
A 0 2 B M C 2 D 1
2 0 0 1
2 0 0 1
1 1 1 0
an 1 an 2bn , 其中 a1 6, b1 4, 试分析 20个 bn 1 3an 2bn
时段后这两个种群的数量变化趋势。
课堂小结：
P73 习题2.5 3. P81 习题2.6 1, 2, 3.
矩阵的简单应用
例1、已知盒子A中装有3只大小和重量相同的小球， 其中2只黑色的，1只白色的；盒子B中装有5只大小 和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的。 假定A，B两个盒子很难分辨，而且可以任取一个， 现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小 球的概率有多大？
A B
X 2 3 N 1 Y 3 3 1 A 2 5 M 2 1 B 2 5 X 2 3 1 Y 3
2 3 A 4 5
例6 自然界生物种群的成长受到多种因素影响, 比如出 生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎 杀及至自然灾害等等。因此, 它们和周边环境是一种既 相生又相克的生存关系。但是, 如果没有任何限制, 种 群也会泛滥成灾。现假设两个相互影响的种群 X，Y 随时间段变化的数量分别为an , bn , 有关系式：