理论力学第5章点的复合运动

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vr
va
ve
va ve vr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。
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①点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元
素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 ②在速度平行四边形中，va 一定夹在ve 与
vr 之间。
③无论牵连运动为何种运动，此定理都成立。
将上式向h轴投影，得
aa cos2j ae cosj ar
n
aa
即：Rw 2 cos2j ae cosj Rw 2 2 Rw (cos2j 1) ae cosj 2Rw 2 cosj aCD
62
二、牵连运动为转动时点的加速度合成定理
1.牵连运动为转动时的加速度合成定理与牵连运动为平动时 有何不同？ 前面我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理， 那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还 适用呢？下面我们来分析一特例。 设一圆盘以匀角速度w 绕定轴Ｏ顺 时针转动，盘上圆槽内有一点M以大
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练习题 5
32
动点：套筒A
动系：OC
33
动点： OC上的A点 动系：O1B
34
练习题 6
动
点？
动参考系？
绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
35
动点：滑块A 动系：BC
36
动点： BC上的A'点 动系：OA'
37
练习题 7
动
点？
动参考系？ 绝对运动？
相对运动？ 牵连运动？
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(其中 i ' , j' , k ' 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它 di ' dj ' dk ' 们的方向不变，是常矢量，所以 0, 0, 0 ） dt dt dt
dvO ' d 2 x' d 2 y' d 2 z' 又 aO ' ae , ar 2 i ' 2 j ' 2 k ' dt dt dt dt
vr ：vr = ? , 方位O1A;
由 va ve vr , 作速度□：
60
由图知：∠ABE=∠BAE =90°-j vr va wR, ve 2va cos(90 j ) 2wR sin j (0 j 90) （2）求 aCD ae
va
方向：A→O
ve
aa ：aa=aa
n=Rw2,
E
vr
ae ：ae=？ ,
B
方位：水平，指向：假设
ae
aa
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ar : arτ =? 方位O1A，指向：假设
2 v 2 r an R w r R
方向：A→O1
由牵连运动为平动的加速度合成定理：
aa ae ar ar
h j ae j

n
a r a rn
练习题 2
动Leabharlann 点？动参考系？绝对运动？
相对运动？
牵连运动？
练习题
21
22
23
练习题 3
动
点？
动参考系？
绝对运动？
相对运动？
牵连运动？
24
25
26
27
28
练习题 4
动
点？
动参考系？
绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
29
动点：套筒A
动系：O1B
30
动点： O1B上的A点 动系：OA
1
第五章 点的复合运动
（或称点的合成运动）
§5–1 绝对运动、相对运动和牵连运动
§5–2 点的速度合成定理 §5–3 点的加速度合成定理
2
本章重点：
运动的分解，点的速度合成定理和加速度合成定 理及其应用。 本章难点： 点的牵连速度和牵连加速度的概念和计算，动点 动系的选择，点的加速度合成定理的应用。
z′ 水平直线飞行: 螺旋桨端点P的 x′ y′ 运动：以机舱和 以地面为参考系 观察到的P点的 运动是不同的。
z
x
y
请看动画
一．坐标系： 1.静坐标系（静系）：固结于地面上的坐标系。 2.动坐标系（动系）：固结于相对于地面运动物体上的坐标系。
9
二．动点：所研究的点（运动着的点）。 三．三种运动
１．绝对运动：动点相对于静系的运动。
情况为圆心。
[注] 要指明动点在哪个物体上。
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练习题 1
动点：圆盘上的销钉A，动系：摆杆O'A, 静系：机架 绝对运动：曲线（圆周），相对运动：直线 牵连运动：定轴转动
19
动点：A1（在O'A1 摆杆上)，动系：圆盘，静系：机架 绝对运动：曲线（圆弧），相对运动：曲线 牵连运动：定轴转动
20
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[例3] 图示具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构。已知圆弧半径为
R，曲柄OA以匀w绕水平轴O转动，OA=R。求当曲柄与水平成
j 角时滑道CD的速度和加速度。 v a
解：取曲柄上的滑块A为动点， 动系固连在滑道CD上。 （1）求 vCD ve
ve
vr
va ：va = w· OA= w·R,
方向：⊥OA 与w一致 ve ：ve=？ , 方位 ：水平。
例如： P点相对于地面的运动。 ２．相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动
例如：P点相对于飞机机身的运动。
３．牵连运动：动系相对于静系的运动。 例如：飞机相对于地面的运动。 可见（1）没有牵连运动，相对运动和绝对运动是相同的。 （2）绝对运动是相对运动和牵连运动的合成。
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刚体的运动
例如：车刀的运动分析
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动点：AB杆的A点 动系：轮C
39
动点：轮上的A'点 动系：顶杆AB
40
练习题 8
动
点？
动参考系？
绝对运动？
相对运动？
牵连运动？
思考
41
动点：BD杆的B点 动系：OA
42
动点：OA杆上的M点 动系：CD
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§5-２点的速度合成定理
速度合成定理 将建立动点的绝对 速度，相对速度和 牵连速度之间的关 系。
动点：车刀刀尖
绝对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 相对运动：曲线运动（螺旋运动）
动系：工件
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四．三种速度、加速度的定义
1.动点相对于静系的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加
速度 aa 2.动点相对于动系的速度和加速度称为相对速度 v r 与相对加 速度 ar 3.牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 v e 与牵连 加速度 ae 牵连点：在某瞬时，动系上与动点相重合的点。 注意：① ve , ae 是动系上某点的速度、加速度；
3
前一章我们研究点的运动，一般都是以地面为参考系的， 即：是研究点对一个坐标系（参考系）的运动。然而在实际问 题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物 体的运动，即：点的运动涉及到两个坐标系， 例如，无风下 雨时从行驶的汽车上看下雨的雨点是向后斜落的。根据这种关
系可以把点的复杂运动分解为两种简单运动来研究。
t→t+△t
M →M′ 也可看成：
M →M1 →M′
MM′ — 绝对轨迹 M M′ — 绝对位移 M1M— ′ 相对轨迹
请看动画
M1M— ′ 相对位移 M M1— 牵连位移44
由图：
MM ' ＝ MM 1 ＋ M1M '
将两边同除以△t，并取△t →0时的极限：
MM 1 M1 M MM lim lim lim t t 0 t t 0 t t 0
由速度合成定理 va ve vr作出速度□ ，得 ve lw va 方向：↑ 2 cosj cos j
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解题步骤： （1）选取动点、动系 动系可以用文字说明，也可以在所选物体上画出x'o'y'， 静系可以不叙述。 （2）分析三种运动
（3）分析三种速度 （4）由 va ve vr 作速度平行四边形
va 要位于ve 与 vr之间 注意：
（5）由速度平行四边形求解
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§5-3 点的加速度合成定理 一、牵连运动为平动时点的加速度合成定理
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z' 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z' 相对静系Oxyz平动。 由于牵连运动为平动，故
方向：A→C
注意：①不同于速度， 加速度的指向一般为假 设；②加速度图要与速 度图分开画
j
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因牵连运动为平动，故有
aa ae a r ar
n
n
将上式向n轴投影，得
j
n
aa sinj ae cosj ar
得
3 8 v0 a AB a a ( a0 ) 3 3 R
2
[注意]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平 衡方程的投影关系不同.
aa ae ar —牵连运动为平动时点的加速度合成定理
即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度
与相对加速度的矢量和。
a a a n
∴一般式可写为：
a
n a a a
a
n e ae ar
ar
n
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[例2] 已知：凸轮半径 R,vo ,ao
求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。
ve vO ' , ae aO '
由速度合成定理
va ve vr
dx ' dy ' dz ' 而 vr i' j' k' dt dt dt