2018届北师大版 三角函数、平面向量单元检测
2018届高中数学北师大版(文) 第3章 三角函数、解三角形 单元测试21 Word版 含答案
课时作业21 三角函数的图象与性质一、选择题1．下列函数中周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 为偶函数，且周期是π，所以选A .答案：A2．下列函数中，周期为π，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递增的函数是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝－sin 2xD ．y ＝－cos 2x解析：由－π2＋2k π≤2x≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递减，则函数y ＝－sin2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递增，易知y ＝－sin2x 的周期为π，因此选C.答案：C3．(2017·湖南长沙模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－12x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π解析：令z ＝π3－12x ，函数y ＝sin z 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，由2k π＋π2≤π3－12x ≤2k π＋3π2，得4k π－7π3≤x ≤4k π－π3，k ∈Z ，而z ＝π3－12x 在R上单调递减，于是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－12x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－7π3，4k π－π3，k ∈Z ，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π，故选D.答案：D4．下列函数，有最小正周期的是( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x 2＋1)0解析：A ：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，不是周期函数；B ：y ＝cos|x |＝cos x ，最小正周期T ＝2π；C ：y ＝tan|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0，－tan x ，x <0，不是周期函数；D ：y ＝(x 2＋1)0＝1，无最小正周期，故选B.答案：B5．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调递增，其中φ∈(π，2π)，则φ的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π B.⎝⎛⎦⎥⎤π，116πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，116πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，2π 解析：由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，得2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ，23π＋φ，又∵φ∈(π，2π)，∴π2＋φ>32π，23π＋φ≤52π，∴π<φ≤116π，故选B. 答案：B6．(2017·河北名校联考)若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω≠0)，且f (2＋x )＝f (2－x )，则|ω|的最小值为( )A.π12 B.π6 C.5π12D.5π6解析：由题意可得，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω≠0)的图象关于直线x ＝2对称，∴2ω－π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝5π12＋k π2，k ∈Z ，∴|ω|min ＝π12.答案：A 二、填空题7．函数f (x )＝sin2x －4sin x ·cos 3x (x ∈R )的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin2x －2sin2x cos 2x ＝sin2x (1－2cos 2x )＝－sin2x cos2x ＝－12sin4x ，故其最小正周期为2π4＝π2.答案：π28．(2017·东北沈阳四城市质检)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是______．解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π69．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋4cos 2x 的最小值为________．解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋4cos 2x ＝sin2x －cos2x ＋2(cos2x ＋1)＝sin2x ＋cos2x＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2，所以函数f (x )的最小值为2－ 2.答案：2－ 2 三、解答题10．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32·sin2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由x ∈[－π3，π4]，知2x －π6∈[－56π，π3]，当－56π≤2x －π6≤－π2即－π3≤x ≤－π6时，f (x )是减函数；当－π2≤2x －π6≤π3即－π6≤x ≤π4时，f (x )是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 11．(2016·北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f (x )的单调递增区间． 解：(Ⅰ)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 依题意，πω＝π，解得ω＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为 [k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．1．(2016·浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )。
2018届北师大版(文) 平面向量的线性运算及其应用 检测卷
1．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →＝( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1) D ．(－1，－1) 【答案】C【解析】DA →＝CB →＝AB →－AC →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B ．34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 【答案】B【解析】因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】A4．将OA →＝(1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到OB →，则OB →＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32B.⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，－1＋32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋32，－1－32【答案】A【解析】由题意可得OB →的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫24－64＝1－32，纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎪⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32，故选A. 5．△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC →方向上的投影等于( )A ．－32B ．32C.32 D ．3 【答案】C6．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0) 【答案】B【解析】由题意可得OD →＝k OC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.7．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94【答案】B【解析】∵n⊥(tm ＋n )，∴n ²(t m ＋n )＝0，即tm ²n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ³34|n |2³13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.8．如图33，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →²FE →等于( )图33A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49【答案】B【解析】∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1， ∴|FO →|＝13，∴FD →²FE →＝(FO →＋OD →)²(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →²(OE →＋OD →)＋OD →²OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.9．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3 【答案】A即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.10．已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，则|b |＝__________.【答案】2【解析】由题意得|a |＝12＋ 3 2＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4³2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．11．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|²BC →＝0, 且|AB →－AC →|＝23，点D 是△ABC 中BC 边的中点，则AB →²BD →＝________.【答案】－312．在如图3-2所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与xa ＋yb (x ，y 为非零实数)共线，则xy的值为________．图32 【答案】65【解析】设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x－y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ 2x －2y ＝1，λ x －2y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65. 13．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【答案】71214．已知点O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则OB →²OC →＝__________.【答案】－16【解析】∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB →²OC →＝(AB →－AO →)²(AC →－AO →)＝AB →²AC →－AO →²AC →－AO →²AB →＋AO →2＝1³1³cos 60°－33³1³cos 30°－33³1³cos 30°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝－16. 15．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a²b ，求f (x )的最大值．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →²BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．【解析】(1)由BA →²BC →＝2得ca cos B ＝2.1分 因为cos B ＝13，所以ac ＝6.2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ． 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2³2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.4分因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.6分(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，7分 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23³223＝429.8分因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79.10分 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13³79＋223³429＝2327.12分17．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函数f (x )＝a²b的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间．18．已知△ABC 的周长为6，|BC →|，|CA →|，|AB →|成等比数列，求：(1)△ABC 面积S 的最大值； (2)BA →²BC →的取值范围．【解析】 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac .2分在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3，4分又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b2，从而0＜b ≤2.6分(1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12²22²sin π3＝3，当且仅当a ＝c ，且B ＝π3，即△ABC为等边三角形时面积最大，即S max ＝ 3.8分(2)BA →²BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝ a ＋c 2－2ac －b 22＝ 6－b 2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27.10分∵0＜b ≤2，∴2≤BA →²BC →＜18， 即BA →²BC →的取值范围是[2,18).12分 19.已知向量a ＝⎝⎛cos 32x ，⎭⎪⎫sin 32x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 求：(1)a²b 及|a ＋b|；(2)若f (x )＝a²b －2λ|a ＋b |的最小值为－32，求实数λ的值．20．向量a ＝(2，2)，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且a²b ＝－2.(1)求向量b ；(2)若t ＝(1，0)，且b⊥t ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，若△ABC 的内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b ＋c |的取值范围．【解析】 (1)设b ＝(x ，y )，则a²b ＝2x ＋2y ＝－2，且|b |＝a²b|a|cos3π4＝1＝x2＋y 2.∴解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴b ＝(－1，0)或b ＝(0，－1)．21．已知向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. (1)若|a －b |＝2，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ²b ，求f (x )的值域．【解析】 (1)因为a －b ＝(3sin x －cos x ，0)，所以|a －b |2＝(3sin x －cos x )2＝4，所以3sin x －cos x ＝±2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝±1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以x ＝2π3.(2)因为f (x )＝a ²b ＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x ＋1－cos 2x2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，第11 页共11 页。
2018届北师大版 三角函数定义 检测卷
[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·绵阳质检]点A (sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0，∴选C 项．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 设扇形所在圆的半径为R ，则2＝12×4×R 2，∴R 2＝1，∴R ＝1，扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.3．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，那么sin α＝( ) A ．12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 答案 C解析 因为P (1，－3)，所以r ＝ 12＋(－3)2＝2.所以sin α＝－32.4．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案 A解析 ∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0，∴选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( )A ． 3B ．±3C ．－ 2D ．－ 3答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D.6．[2017·三明模拟]若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．答案 －4 3解析 由三角函数的定义有：tan420°＝a －4.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a ＝－4 3.7．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.8．[2017·厦门模拟]如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________.答案 －75解析 由题意得cos 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，所以cos 2α＝1625. 又cos α<0，所以cos α＝－45， 又sin α＝35，所以cos α－sin α＝－75.9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解 ∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ， 又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解 (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3，S 扇形＝12R ·l ＝50π3. 又S △AOB ＝12OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边落在( ) A ．第二、四象限 B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上答案 D解析 因为|cos θ|＝cos θ，所以cos θ≥0.因为|tan θ|＝－tan θ，所以tan θ≤0.所以2k π＋3π2<θ≤2k π＋2π，k ∈Z .所以k π＋3π4<θ2≤k π＋π，k ∈Z .故选D.12．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin2C ．2sin1D ．2sin1 答案 C解析 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.13．[2016·江西模拟]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8解析 若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y 16＋y 2，又sin θ＝－255， ∴y 16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 14.如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π， Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。
2018届高中数学北师大版(文) 第3章 三角函数、解三角形 单元测试19 Word版 含答案
课时作业19同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．tan(－1 410°)的值为( )A.33B．－33C. 3 D．－ 3解析：tan(－1 410°)＝tan(－4³360°＋30°)＝tan30°＝33.答案：A2．已知△ABC中，tan A＝－512，则cos A＝( )A.1213B.513C．－513D．－1213解析：在△ABC中，由tan A＝－512<0知，A为钝角，所以cos A<0.又1＋tan2A＝sin2A＋cos2Acos2A＝1cos2A＝169144，所以cos A＝－1213.答案：D3．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sinα＝－35，则cos(－α)的值为( )A．－45B.45C.35D．－35解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sinα＝－35，所以cosα＝45，所以cos(－α)＝45. 答案：B4．已知f(α)＝sin π－α ²cos 2π－αcos －π－α ²tan π－α，则f⎝⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( ) A.12B.13C.32D.22解析：∵f (α)＝sin αcos α－cos α －tan α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 答案：A5．(2017²福建模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝m (|m |<1)，π2<α<π，那么tan(π＋α)＝( )A.m1－m2B ．－m1－m2C ．±m1－m2D ．±1－m2m解析：由题意，知sin α＝m >0，且cos α<0，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－m 2，所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－m1－m2，故选B. 答案：B6．(2017²广东惠州一调)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13 D ．－13解析：因为sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，两边平方可得1＋2sin θ²cos θ＝169，即sin θ²cos θ＝718，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29.又因为0<θ<π4，所以sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B. 答案：B 二、填空题7．已知sin(3π＋θ)＝14，则cos π＋θcos θ[cos π＋θ －1]＋cos θ－2πcos θ＋2π cos π＋θ ＋cos －θ＝________.解析：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ， ∴sin θ＝－14，则原式＝－cos θcos θ －cos θ－1 ＋cos θcos θ －cos θ ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝32. 答案：328．已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos π2＋α sin －π－αcos 11π2－α sin 9π2＋α的值为________．解析：∵tan α＝y x ＝－34，∴cos π2＋α sin －π－αcos 11π2－α sin 9π2＋α＝－sin α²sin α－sin α²cos α＝tan α＝－34.答案：－349．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)＝________.解析：因为sin15°＝cos75°，所以f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－32. 答案：－3210．已知cos(75°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(15°－α)＝________.解析：由－180°<α<－90°，得－105°<75°＋α<－15°，又cos(75°＋α)>0可知75°＋α是第四象限角，所以cos(15°－α)＝sin(75°＋α) ＝－1－cos 275°＋α ＝－223.答案：－223三、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α²1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α²cos α和sin α－cos α的值．解：(1)f (α)＝sin α－sin α² 1＋cos α 21－cos 2α－1＝sin α＋sin α²1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)方法1：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α²cos α＋cos 2α＝125，即2sin α²cos α＝－2425.∴sin α²cos α＝－1225，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α²cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.方法2：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，。
2018届北师大版 三角函数、算法、复数 检测卷
第三篇错题重组再训练训练3 错题重组三1. 已知集合2{|10}M x x =-<，}),2(log |{2M x x y y N ∈+==，则=N M （ ）A. )1,0(B. )1,1(-C. )0,1(-D. φ 【答案】A【解析】化简集合(1,1),M =-由22111230log (2)log 3x M x x x ∈⇒-<<⇒<+<⇒<+<得2(0,log 3)N =，注意到2log 31>，所以(0,1)M N = ；故选A.【要点回扣或易错点】集合的运算 2．已知，则复数（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】，故选A.【要点回扣或者易错点】复数的基本运算，注意虚部的概念.3．若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos 22παπαπαπα++-=---（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】B.【要点回扣或者易错点】用诱导公式时符号的判定是易错点.4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质？你认为比较恰当的是（ ）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A ．①③B ．②③ C. ①② D ．①②③ 【答案】D【解析】 各侧面都是全等的正三角形，∴三个结论都正确，故选D. 【要点回扣或者易错点】类比推理5．某程序框图如右图所示，若输出的41S =，则判断框内应填（ ） A ．4?k > B ．5?k > C ．6?k > D ．7?k >【答案】A【要点回扣或者易错点】程序框图. 6．为得到函数πsin(2)4y x =+的图象，只需要把函数cos 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度 【答案】B【解析】πcos 2sin 24y x x ⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴只需将cos 2y x =的图象向右平移π8个单位长度，故选B. 考点：三角函数的图象【要点回扣】1.三角函数的图象变换；2.三角函数的性质．7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若α∥β，β∥γ， m ⊥α，则m ⊥γ； ④若m αγ⋂=，β⋂γ=n ，m ∥n ，则α∥β. 其中正确命题的序号是A ．①和③B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 【答案】A【要点回扣或者易错点】空间直线与平面的位置关系.8．已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ）A ．αβcos 2cos =B ．αβ22cos 2cos =C ．αβ2cos 22cos =D ．02cos 22cos =+αβ 【答案】C【解析】2sin cos 2sin 1sin 24sin θθαθα+=⇒+=，所以2212sin 4sin βα+=，11cos 22(1cos 2)βα+-=-，cos 22cos 2βα=，故选C.考点：三角恒等变换【要点回扣或者易错点】三角恒等变换9．已知2201sin 22x a dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，x 的一次项系数为（ ） .A 6316-.B 6316 .C 638- .D 638【答案】A【解析】因为221sin 22x a dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰220011cos sin |22x dx x ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰=11022--=- 所以9911122ax x ax x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的第1r +项1r T +=9992991122rr rr r r x C C x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令921r -= ，得：4r =所以5459163216T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故选A.【要点回扣或者易错点】1、定积分；2、二项式定理..10．已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，()2221122n n n a a a n +-=+≥，则6a =（）A ．16B ．8C ．D ．4 【答案】D【要点回扣或者易错点】数列的递推式 11．过双曲线的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A.B.C.D.【答案】C【解析】当直线方程为时，代入双曲线方程中并整理得，由题设可得，即，解得；当直线方程为时，代入双曲线方程中并整理得，由题设可得，即，解得.故双曲线离心率的取值范围为，故选C.【要点回扣或者易错点】双曲线的性质12．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和． 如：1111236=++，1111124612=+++，1111112561220=++++，……依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++， 其中n m ≤，*,m n ∈N ．设n y m x ≤≤≤≤1,1，则12+++x y x 的最小值为（ ）A ．223B ．25C ．78D ． 334【答案】C【解析】因为11111111()2362323=++=++-11111111111()()24612242334=+++=++-+- 11111111111111()()()256122025233445=++++=++-+-+-依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++所以111111,,13,20134520m n m n ==-===，即113,120x y ≤≤≤≤.又21111x y y x x +++=+++，把11y x ++看成点(,),(1,1)x y --连线的斜率，结合n m ≤，*,m n ∈N ．在满足条件的整点中，(13,1),(1,1)--连线的斜率最小为111,1317+=+故12+++x y x 最小值为78，选C .【要点回扣或者易错点】1.归纳推理；2.简单线性规划的应用；3.裂项相消法13．若曲线225x y +=与曲线()2222200x y mx m m +-+-=∈R 相交于,A B 两点，且两曲线在A 处的切线互相垂直，则m 的值是_____________． 【答案】5±【解析】由已知可得圆1C 的圆心1(0,0)C，半径1r =，圆2C 的圆心2(,0)C m，半径2r =，22221212||255C C r r m m =+⇒=⇒=±．【要点回扣或者易错点】圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系. 14．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()1(1x f x f =+，且⎩⎨⎧≤<-≤<-=10,101,1)(x x x f ，则=))211((f f . 【答案】1- 【解析】)()1(1x f x f =+得，1(2)(),2(1)f x f x T f x +==∴=+，所以，1111311()(4)()(1)1,(1)(1)112222()2f f f f f f f =-==+==--==-.【要点回扣或者易错点】1、分段函数；2、周期函数. 15．抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【要点回扣或者易错点】直线、圆与抛物线的关系.16．已知三个正数,,a b c 满足3a b c a ≤+≤，223()5b a a c b ≤+≤，则2b ca-的最小值是 ▲ ． 【答案】185-【解析】由已知31≤+≤a c a b ，2222513a b a c a b ≤+≤，令y a c x a b ==,，则⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+≤15133122y x y x y x ，2b c a -=y x 2-，由线性规划易知y x 2-在A 处取得最小值，由⎩⎨⎧=-=+1532y x y x 得)511,54(A ，所以y x 2-的最小值为185-【要点回扣或者易错点】线性规划.17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知()cos cos cos 0C A A B +=.（1）求角B 的大小.（2）若1a c +=，求b 的取值范围.【答案】（1（2）112b ≤<【要点回扣或者易错点】正弦定理、余弦定理的应用;18．抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品123A A A 、、，假定1A 正面向上的概率为12，2A 正面向上的概率为13，3A 正面向上的概率为t(0<t<1)，把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数。
2018届北师大版 平面向量 单元测试
平面向量一、选择、填空题1、（2016年山东高考）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（A ）4（B ）–4（C ）94（D ）–942、（2015年山东高考）已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅=(A)232a - (B) 234a - (C)234a (D) 232a 3、（2014年山东高考）在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uu u r ，当6A π=时，ABC V 的面积为 。
4、（东营市、潍坊市2016届高三下学期第三次模拟）已知向量,a b 的夹角为60︒，且1,2=-a a b =b （ ）A ．1BCD ．25、（临沂市2016届高三11月期中质量检测）已知D 是ABC ∆的边AB 的中点，则向量CDuu u r等于A. 12BC BA -+uu u r uu rB. 12BC BA --uu u r uu rC. 12BC BA -uu u r uu rD. 12BC BA +uu u r uu r6、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）13.已知三点A （1,2），B （3，5），C （5,6），则三角形ABC 的面积为7、（泰安市2016届高三二模）设,,m n t 是非零向量，已知命题:p 若//,//,m t n t 则//m n ；命题:q 若0,0,m t n t == 则0m n = ，则下列命题中真命题是A. p q ∨B. p q ∧C. ()()p q ⌝∧⌝D. p q ⌝∨8、（德州市2016届高三上学期期末）已知向量(2,2)OC = ，,)CA a a = ，则向量OA的模的最小值是A ．3B ．CD ．29、（菏泽市2016届高三上学期期末）若向量=2sin15,4sin 75,a b =，a 与b 的夹角为30，则a b等于（ ）A.B.C. D. 1210、（胶州市2016届高三上学期期末）在ABC ∆内随机取一点P ，使AP xAB y AC =+，则23x ≤在的条件下13y ≥的概率 A. 79 B. 49 C. 12 D. 2311、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知向量a b 与的夹角为120°，且2a b ==，那么()2b a b ⋅-的值为 A. 8-B. 6-C.0D.412、（临沂市2016届高三上学期期末）已知()1,4a b a b a ==⋅-=-r r r r r ，则向量a br r 与的夹角为 A.56πB.23π C.3π D.6π 13、（青岛市2016届高三上学期期末）平面向量a b 与r r的夹角为()2,0,123a b a b π==-=，，则rr r rA.B.0D.214、（滨州市2016届高三上学期期末）在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，DAB 3π∠＝，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且AD 3AE BF 2FC＝，＝，则AB EF的值为 15、（德州市2016高三3月模拟）已知两个单位向量,a b的夹角为60°，,c ta b =+ ,d a tb =- 若c d ⊥，则正实数t ＝16、（济宁市2016高三3月模拟）在ABC ∆中，若2,1,,A B A C A BA C AB AC E F +=-==u u u r u u u r u u u ru u u r ，为BC 边的三等分点，则=AE AF ⋅uu u r uu u r ▲ .17、（日照市2016高三3月模拟）在锐角ABC ∆中，已知,23B AB AC π∠=-=uu u r uuu r ，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围是______.18、（泰安市2016高三3月模拟）已知平面向量,a b r r满足1b =u r ，且a b a -r r r 与的夹角为120°，则a r的模的取值范围为 ▲ .19、（枣庄市2016高三3月模拟）设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=（）A ．2B ．3C ．-2D ．-320、（济南市2016高三3月模拟）已知向量,a b ，其中|||2a b == ，且()a b a +⊥，则向量,a b的夹角是＿＿＿二、解答题1、（2014年山东高考）已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==，函数()f x a b =⋅ ，且()y f x =的图像过点12π⎛⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （I ）求,m n 的值；（II ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.2、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）已知向量,1)m x -，2(sin ,cos )n x x＝，函数1()2f x m n ⋅+ ＝.(1)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，()33=x f ，求x 2cos 的值; (2)在ABC ∆中，角C B A ,,对边分别是c b a ,,，且满足a c A b 32cos 2-≤，求()B f 的取值范围。
2018届北师大版(文) 平面向量 检测卷1
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量 【解析】 这四个向量的模相等． 【答案】 D2．(2017·广西南宁质检)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中错误的是( ) A ．|a |＝|b |＝1 B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b 同向时，a ＝b【解析】 a ，b 是两个单位向量，即模为1的向量，对于A ，|a |＝|b |＝1，正确；对于B ，a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝cos 〈a ，b 〉，错误；对于C ，当a ，b 反向时，a ＋b ＝0，正确；对于D ，当a ，b 同向时，a ＝b ，正确．故选B.【答案】 B3．(2015·深圳调研)在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 【解析】 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝⎛⎭⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →. 【答案】 A4．(2017·湖北黄冈调研)已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，(a －b )⊥c ，M ＝|a ||b |＋|b ||c |＋|c ||a |，则M ＝( ) A ．3 B ．3 2 C ．2＋22 D ．1＋322【解析】 根据条件，作OA →＝a ，OB →＝b ，OA →⊥OB →.以OA ，OB 为邻边作矩形OACB ，则OC →＝－c ，如图所示，则BA →＝OA →－OB →＝a －b ，∵(a －b )⊥c ，OC →＝－c ，∴BA →⊥OC →，即BA ⊥OC ，∴矩形OACB 为正方形，设其边长为1，则|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，∴M ＝|a ||b |＋|b ||c |＋|c ||a |＝1＋22＋2＝1＋322.【答案】 D5．(2017·河南登封调研)设a ，b 是两个非零的平面向量，给出下列说法：①若a ·b ＝0，则有|a ＋b |＝|a －b |；②|a ·b |＝|a ||b |；③若存在实数λ，使a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |＋|b |；④若|a ＋b |＝|a |＋|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb .其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①若a ·b ＝0，则有|a ＋b |＝|a －b |＝a 2＋b 2，正确；②因为|a ·b |＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |，所以不正确．③若存在实数λ，使a ＝λb ，则|a ＋b |＝|λb ＋b |＝|λ＋1||b |，|a |＋|b |＝|λb |＋|b |＝(|λ|＋1)|b |，当λ＜0时，|a ＋b |≠|a |＋|b |，所以不正确；④因为|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a 与b 同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以存在实数λ，使得a ＝λb ，正确．所以正确说法的个数是2.故选B.【答案】 B6．(2017·浙江杭州模拟)在梯形ABCD 中，AB ＝12CD ，AB ∥CD ，点P 为梯形所在平面内一点，满足：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝AB →＋CD →，若△ABC 的面积为1，则△PCD 的面积为________．【解析】 由P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝AB →＋CD →＝PB →－P A →＋PD →－PC →，得P A →＋PC →＝0，所以P点是AC 的中点，所以h △PCD ＝12h △ABC .因为AB ＝12CD ，AB ∥CD ，所以S △PCD ＝S △ABC ＝1.【答案】 17．(2016·包头模拟)如图，在△ABC 中，AH ⊥BC 交BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________．【解析】 ∵AM →＝12(AB →＋BH →)＝12[AB →＋x (AB →－AC →)]＝12[(1＋x )AB →－xAC →]，又∵AM →＝λAB→＋μAC →，∴1＋x ＝2λ，2μ＝－x ，∴λ＋μ＝12.【答案】 128．(2017·天水模拟)△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．【解析】 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →，所以P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，所以PC →＝－2P A →＝2AP →，即P 是AC 边的一个三等分点，且PC ＝23AC ，由三角形的面积公式可知，S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23.【答案】 239．在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.【解析】 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 【解析】 (1)证明 ∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2， CD →＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2 ＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2， ∵A 、C 、D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．(2017·四川泸州检测)已知D 为△ABC 的边BC 的中点，△ABC 所在平面内有一个点P ，满足P A →＝PB →＋PC →，则|PD →||AD →|的值为( )A ．1 B.13C.12D ．2 【解析】 因为P A →＝PB →＋PC →，所以P A 必为以PB ，PC 为邻边的平行四边形的对角线．因为D 为边BC 的中点，所以D 为P A 的中点，所以|PD →||AD →|的值为1.故选A.【答案】 A12．(2017·宁夏银川九中模拟)设点M 是线段BC 上的点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB →＋BC →＝2AM →，则|AM →|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB →＋AC →＝2AM →，得AB →⊥AC →，M 为BC 的中点．又BC→2＝16，所以|BC →|＝4，所以|AM →|＝2，故选A.【答案】 A13．(2017·安徽十校3月联考)已知A 、B 、C 三点不共线，且AD →＝－13AB →＋2AC →，则S △ABD S △ACD＝( )A.23B.32 C ．6 D.16【解析】 如图，取AM →＝－13AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD →＝－13AB →＋2AC →.由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ，而S △AMD ＝S △AND ， ∴S △ABDS △ACD＝6，故选C. 【答案】 C14．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________．(用a ，b 表示)【解析】 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 【答案】 －14a ＋14b15．(2017·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．【解析】 方法一 如图．∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 、F 分别为CD 、BC 的中点， ∴AC →＝AD →＋AB →＝(AE →－DE →)＋(AF →－BF →) ＝(AE →＋AF →)－12(DC →＋BC →)＝(AE →＋AF →)－12AC →，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.方法二 (回路法)：连接EF 交AC 于M .因为E 、F 分别为CD 、BC 的中点， 所以点M 为AC 的四等分点，且AM →＝34AC →，又AC →＝λAE →＋μAF →， 所以AM →＝34λAE →＋34μAF →.因为M 、E 、F 三点共线，所以34(λ＋μ)＝1，所以λ＋μ＝43.【答案】 43。
2018届北师大版(文) 三角函数解三角形 检测卷3
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2016·遵义航天高级中学模拟)对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，下列说法正确的是( )A ．f (x )的周期为π，且在[0，1]上单调递增B ．f (x )的周期为2，且在[0，1]上单调递减C ．f (x )的周期为π，且在[－1，0]上单调递增D ．f (x )的周期为2，且在[－1，0]上单调递减【解析】 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0，1]上单调递减，故选B.【答案】 B2．(2016·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )【解析】 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．【答案】 B3．(2015·河北五校联考)下列函数最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎫2x －π3【解析】 由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A不正确．对于D ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以选项D 不正确．对于B ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝sinπ2＝1，所以选项B 正确． 【答案】 B4．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π【解析】 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝0，∴⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心，故选C.【答案】 C5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( ) A ．[0，1] B.⎣⎡⎦⎤12，1 C ．[－1，2] D ．[0，2] 【解析】 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2. ∵cos 2x ∈[－1，1]，∴y ∈[0，1]． 【答案】 A6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．【解析】 由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．【答案】 ⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )7．(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．【解析】 由sin 2x ＝cos x 可得cos x ＝0或sin x ＝12，又x ∈[0，3π]，则x ＝π2，3π2，5π2或x ＝π6，5π6，13π6，17π6，故所求交点个数是7. 【答案】 78．(2017·陕西铜川宜君县高中模拟)某地一天6时至20时的温度y (℃)随时间x (小时)的变化近似满足函数y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20 ℃的时间约有________小时．【解析】 由10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20≥20，可得sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4≥0，∴2k π≤π8x ＋3π4≤2k π＋π，k ∈Z ，∴16k －6≤x ≤16k ＋2. ∵x ∈[6，20]，∴10≤x ≤18.∴温度不低于20 ℃的时间约有18－10＝8小时． 【答案】 89．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调增区间； (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．【解析】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z .∴函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z .(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.10．(2016·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值． 【解析】 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z .(2)∵0≤x ≤π， ∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5.∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2017·山东临沂期中)函数f (x )＝2－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π【解析】 f (x )＝2－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π＝2－2sin 2x2＝2－2·1－cos x 2＝1＋cos x 的最小正周期为2π1＝2π. 【答案】 C12．(2017·北京丰台期末)函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4C.⎣⎡⎤－3π8，π8D.⎣⎡⎤－π8，3π8【解析】 f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2·sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4.由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .当k ＝0时，x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，3π8.【答案】 D13．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．【解析】 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤－32，3 14．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎫π24＝________．【解析】 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.又图象过定点(0，1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故有f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.【答案】 315．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．【解析】 ∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32.又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .。
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三角函数、平面向量一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分．每小题只有一个正确答案）1.定义：||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅ ，其中θ为向量与的夹角，若||2a = ，||5b = ，6a b ⋅=- ，则||a b ⨯等于 （ ）A ．8-B ．8C ．8-或8D ．6 2.函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．(,]()4k k k Z πππ-∈B ．(,]()88k k k Z ππππ-+∈C ．3(,]()88k k k Z ππππ-+∈D ．3(,]()88k k k Z ππππ++∈3.下列命题正确的个数有 （ ）①若a ∥b ，则存在唯一实数λ，使b a λ=成立；②设12,e e是平面内的两个已知向量，则对平面内的任意向量a ，存在唯一的一组实数,x y ，使12a xe ye =+成立；③若向量,,a b c 满足0a b c ++= ，则表示,,a b c的三个有向线段构成三角形.A ．0 B.1 C .2 D .3 4.下列函数中同时具有①最小正周期是π；②图象关于点（6π,0）对称这两个性质的是（ ） A ．y ＝cos （2x ＋6π） B .y ＝sin （2x ＋6π）C .y ＝sin （2x ＋6π）D .y ＝tan （x ＋6π）5.已知平面直角坐标系内的两个向量)23,(),2,1(-==m m b a ，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成b a c μλ+=（μλ,是实数），则m 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞6.已知cos (02)y x x π=≤≤的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是 （ ）A ．4πB ．2πC ．8D ．47.已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA OB OC ++=0，则下列结论正确的是 （ ） A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =+C ．1233OA AB BC =--D ．2133OA AB BC=--8.函数)0(tan )(>=ωωx x f 的图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．-1D ．4π 9.若方程1cos +=ax x 恰有两个解，则实数a 的取值集合为 （ ）A . 2222,,33ππππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B . 22,00,ππ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C . 22,ππ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .{}22,ππ- 10.已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于 ( )A ．3B ．－3C ．0D ．211.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AO AC AB 2=+，且||||=，则向量在向量方向上的射影为（ ）A ．23 B ．23 C . 3 D . 23- 12.已知圆P 的方程为22(3)(2)4,x y -+-=直线y mx =与圆P 交于A 、B 两点，直线y nx =与圆P 交于C 、D 两点，则OA OB OC OD ⋅+⋅(O 为坐标原点)等于（ ）A . 4B . 8C . 9D . 18 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题后横线上）13.已知cos sin 2αα-=则sin cos αα⋅的值为_______________.14.若M 为ABC ∆内一点，且满足AM 4143+=,则ABC ABM ∆∆与的面积之比为_________.15.已知[0,2)x π∈，若xx x x x tan 2cos 1cos 1cos 1cos 1-=+---+, 则角x 的取值范围为_________________.16.关于平面向量有下列四个命题：①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ； ②已知(,3),(2,6)k ==-a b ．若∥，则1k =-；③非零向量a 和b ，满足||=|a |=|b |a -b ，则a 与a +b 的夹角为30 ；④()()0||||||||+⋅-=a b a ba b a b ．其中正确的命题为___________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，(Ⅰ)k a ＋b 与a －3b 垂直？(Ⅱ)k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？18.（本小题满分12分）已知角α终边上一点0),3,4(≠-a a a P ，求（Ⅰ）)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值； （Ⅱ）222sinsin cos cos αααα-+的值19.（本小题满分12分）已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，求λ的取值范围．20.（本小题满分12分）已知△ABC ，A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN与AD 交于F （Ⅰ）求DF ．（Ⅱ）若点P 满足＝AB ＋λ(λ∈R)，试求 λ为何值时，点P 在第三象限内？21.（本小题满分12分） 函数)2,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 在同一个周期内，当4π=x 时y 取最大值1，当127π=x 时，y 取最小值1-. （Ⅰ）求函数的解析式).(x f y =（Ⅱ）函数x y sin =的图象经过怎样的变换可得到)(x f y =的图象？（Ⅲ）若关于x 的方程22()()0f x f x a -+=在区间[0,]2π上有根，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）ΔABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且543=++ （Ⅰ）求数量积，⋅，⋅，OA ⋅； （Ⅱ）求ΔABC 的面积.三角函数、平面向量答案一、选择题二．填空题 13.18 14．14 15. 33(,)(,2)22ππππ 16.②③④三、解答题17. 解：(1)k a ＋b ＝k ×(1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3×(－3,2)＝(10，－4)． 当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由10(k －3)＋(2k ＋2)(－4)＝0， 解得k ＝19.即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．---------------------------------5分(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一的实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得⎩⎨⎧k ＝－13，λ＝－13.即当k ＝－13时，两向量平行．∵λ＝－13，∴－13a ＋b 与a －3b 反向．---------------------------------10分18. 解：（1）∵43tan -==x y α ∴43tan cos sin sin sin )29sin()211cos()sin()2cos(-==⋅-⋅-=+---+ααααααπαπαπαπ---------------------------------6分（2）2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα-+-+=+ 222tan tan 146tan 125ααα-+==+---------------------------------12分19. 解：由条件知，cos45°＝a ·b|a |·|b |，∴a ·b ＝3，设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝(a ＋λb )·(λa ＋b )|a ＋λb |·|λa ＋b |<0，∴(a ＋λb )(λa ＋b )<0.λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a ·b <0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856.--------------------------------8分若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反， ∴存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧kλ＝1λ＝k ，∴k ＝λ＝－1，∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1. --------------------------12分20. 解：（1）解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，＝(－4，－3)， ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点，∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴ F 是AD 的中点，∴ ＝－＝－21＝－21(－27，－4)＝(47，2)．---------------------------------6分 (2)设点P 的坐标为(x ，y )，则＝(x ，y )－(7，8)＝(x －7，y-8)． ＋λAC ＝(3，5)－(7，8)＋λ［(4，3)－(7，8)］ ＝ (-4-3λ，-3-5λ)．∵ AP ＝＋λAC ，∴ (x －7，y －8)＝(-4-3λ，-3-5λ)．∴ 即33,55x y λλ=-⎧⎨=-⎩要使点P 在第三象限内，只需330550λλ-<⎧⎨-<⎩ 解得 1λ>．---------------------------------12分21. 解：(1)3)4127(22=∴-⨯=ωππωπ又因,2243,1)43sin(ππϕπϕπ+=+∴=+k 又,4,2πϕπϕ-=∴<∴函数)43sin()(π-=x x f ---------------------------------4分(2)x y sin =的图象向右平移4π个单位得)4sin(π-=x y 的图象(第20题)再由)4cos(π-=x y 图象上所有点的横坐标变为原来的31.纵坐标不变， 得到)43sin(π-=x y 的图象. ---------------------------------8分（3）因为)43sin()(π-=x x f ，[0,]2x π∈，所以53[,]444x πππ-∈-，所以()sin(3)[42f x x π=-∈-，2211212()()2[()][,].4828a f x f x f x +=-+=--+∈---------------------------------12分22. 解：（1）∵||=||=||=1，由3＋4＋5=得 3＋4=－5两边平方得 9 2＋24·＋162=252 ∴ ·=0同理，由4＋5=－3，得·=－45，由3＋5=－4，得·=－35。