2018届北师大版 三角函数、平面向量单元检测
2018届高中数学北师大版(文) 第3章 三角函数、解三角形 单元测试21 Word版 含答案
课时作业21 三角函数的图象与性质一、选择题1．下列函数中周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 为偶函数，且周期是π，所以选A .答案：A2．下列函数中，周期为π，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递增的函数是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝－sin 2xD ．y ＝－cos 2x解析：由－π2＋2k π≤2x≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递减，则函数y ＝－sin2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递增，易知y ＝－sin2x 的周期为π，因此选C.答案：C3．(2017·湖南长沙模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－12x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π解析：令z ＝π3－12x ，函数y ＝sin z 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，由2k π＋π2≤π3－12x ≤2k π＋3π2，得4k π－7π3≤x ≤4k π－π3，k ∈Z ，而z ＝π3－12x 在R上单调递减，于是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－12x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－7π3，4k π－π3，k ∈Z ，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π，故选D.答案：D4．下列函数，有最小正周期的是( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x 2＋1)0解析：A ：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，不是周期函数；B ：y ＝cos|x |＝cos x ，最小正周期T ＝2π；C ：y ＝tan|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0，－tan x ，x <0，不是周期函数；D ：y ＝(x 2＋1)0＝1，无最小正周期，故选B.答案：B5．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调递增，其中φ∈(π，2π)，则φ的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π B.⎝⎛⎦⎥⎤π，116πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，116πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，2π 解析：由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，得2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ，23π＋φ，又∵φ∈(π，2π)，∴π2＋φ>32π，23π＋φ≤52π，∴π<φ≤116π，故选B. 答案：B6．(2017·河北名校联考)若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω≠0)，且f (2＋x )＝f (2－x )，则|ω|的最小值为( )A.π12 B.π6 C.5π12D.5π6解析：由题意可得，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω≠0)的图象关于直线x ＝2对称，∴2ω－π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝5π12＋k π2，k ∈Z ，∴|ω|min ＝π12.答案：A 二、填空题7．函数f (x )＝sin2x －4sin x ·cos 3x (x ∈R )的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin2x －2sin2x cos 2x ＝sin2x (1－2cos 2x )＝－sin2x cos2x ＝－12sin4x ，故其最小正周期为2π4＝π2.答案：π28．(2017·东北沈阳四城市质检)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是______．解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π69．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋4cos 2x 的最小值为________．解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋4cos 2x ＝sin2x －cos2x ＋2(cos2x ＋1)＝sin2x ＋cos2x＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2，所以函数f (x )的最小值为2－ 2.答案：2－ 2 三、解答题10．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32·sin2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由x ∈[－π3，π4]，知2x －π6∈[－56π，π3]，当－56π≤2x －π6≤－π2即－π3≤x ≤－π6时，f (x )是减函数；当－π2≤2x －π6≤π3即－π6≤x ≤π4时，f (x )是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 11．(2016·北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f (x )的单调递增区间． 解：(Ⅰ)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 依题意，πω＝π，解得ω＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为 [k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．1．(2016·浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )。
2018届北师大版(文) 平面向量的线性运算及其应用 检测卷
1．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →＝( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1) D ．(－1，－1) 【答案】C【解析】DA →＝CB →＝AB →－AC →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B ．34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 【答案】B【解析】因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】A4．将OA →＝(1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到OB →，则OB →＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32B.⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，－1＋32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋32，－1－32【答案】A【解析】由题意可得OB →的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫24－64＝1－32，纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎪⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32，故选A. 5．△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC →方向上的投影等于( )A ．－32B ．32C.32 D ．3 【答案】C6．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0) 【答案】B【解析】由题意可得OD →＝k OC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.7．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94【答案】B【解析】∵n⊥(tm ＋n )，∴n ²(t m ＋n )＝0，即tm ²n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ³34|n |2³13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.8．如图33，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →²FE →等于( )图33A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49【答案】B【解析】∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1， ∴|FO →|＝13，∴FD →²FE →＝(FO →＋OD →)²(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →²(OE →＋OD →)＋OD →²OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.9．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3 【答案】A即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.10．已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，则|b |＝__________.【答案】2【解析】由题意得|a |＝12＋ 3 2＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4³2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．11．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|²BC →＝0, 且|AB →－AC →|＝23，点D 是△ABC 中BC 边的中点，则AB →²BD →＝________.【答案】－312．在如图3-2所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与xa ＋yb (x ，y 为非零实数)共线，则xy的值为________．图32 【答案】65【解析】设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x－y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ 2x －2y ＝1，λ x －2y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65. 13．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【答案】71214．已知点O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则OB →²OC →＝__________.【答案】－16【解析】∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB →²OC →＝(AB →－AO →)²(AC →－AO →)＝AB →²AC →－AO →²AC →－AO →²AB →＋AO →2＝1³1³cos 60°－33³1³cos 30°－33³1³cos 30°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝－16. 15．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a²b ，求f (x )的最大值．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →²BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．【解析】(1)由BA →²BC →＝2得ca cos B ＝2.1分 因为cos B ＝13，所以ac ＝6.2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ． 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2³2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.4分因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.6分(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，7分 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23³223＝429.8分因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79.10分 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13³79＋223³429＝2327.12分17．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函数f (x )＝a²b的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间．18．已知△ABC 的周长为6，|BC →|，|CA →|，|AB →|成等比数列，求：(1)△ABC 面积S 的最大值； (2)BA →²BC →的取值范围．【解析】 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac .2分在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3，4分又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b2，从而0＜b ≤2.6分(1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12²22²sin π3＝3，当且仅当a ＝c ，且B ＝π3，即△ABC为等边三角形时面积最大，即S max ＝ 3.8分(2)BA →²BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝ a ＋c 2－2ac －b 22＝ 6－b 2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27.10分∵0＜b ≤2，∴2≤BA →²BC →＜18， 即BA →²BC →的取值范围是[2,18).12分 19.已知向量a ＝⎝⎛cos 32x ，⎭⎪⎫sin 32x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 求：(1)a²b 及|a ＋b|；(2)若f (x )＝a²b －2λ|a ＋b |的最小值为－32，求实数λ的值．20．向量a ＝(2，2)，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且a²b ＝－2.(1)求向量b ；(2)若t ＝(1，0)，且b⊥t ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，若△ABC 的内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b ＋c |的取值范围．【解析】 (1)设b ＝(x ，y )，则a²b ＝2x ＋2y ＝－2，且|b |＝a²b|a|cos3π4＝1＝x2＋y 2.∴解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴b ＝(－1，0)或b ＝(0，－1)．21．已知向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. (1)若|a －b |＝2，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ²b ，求f (x )的值域．【解析】 (1)因为a －b ＝(3sin x －cos x ，0)，所以|a －b |2＝(3sin x －cos x )2＝4，所以3sin x －cos x ＝±2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝±1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以x ＝2π3.(2)因为f (x )＝a ²b ＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x ＋1－cos 2x2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，第11 页共11 页。
2018届北师大版 三角函数定义 检测卷
[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·绵阳质检]点A (sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0，∴选C 项．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 设扇形所在圆的半径为R ，则2＝12×4×R 2，∴R 2＝1，∴R ＝1，扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.3．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，那么sin α＝( ) A ．12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 答案 C解析 因为P (1，－3)，所以r ＝ 12＋(－3)2＝2.所以sin α＝－32.4．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案 A解析 ∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0，∴选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( )A ． 3B ．±3C ．－ 2D ．－ 3答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D.6．[2017·三明模拟]若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．答案 －4 3解析 由三角函数的定义有：tan420°＝a －4.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a ＝－4 3.7．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.8．[2017·厦门模拟]如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________.答案 －75解析 由题意得cos 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，所以cos 2α＝1625. 又cos α<0，所以cos α＝－45， 又sin α＝35，所以cos α－sin α＝－75.9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解 ∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ， 又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解 (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3，S 扇形＝12R ·l ＝50π3. 又S △AOB ＝12OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边落在( ) A ．第二、四象限 B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上答案 D解析 因为|cos θ|＝cos θ，所以cos θ≥0.因为|tan θ|＝－tan θ，所以tan θ≤0.所以2k π＋3π2<θ≤2k π＋2π，k ∈Z .所以k π＋3π4<θ2≤k π＋π，k ∈Z .故选D.12．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin2C ．2sin1D ．2sin1 答案 C解析 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.13．[2016·江西模拟]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8解析 若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y 16＋y 2，又sin θ＝－255， ∴y 16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 14.如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π， Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。
2018届高中数学北师大版(文) 第3章 三角函数、解三角形 单元测试19 Word版 含答案
课时作业19同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．tan(－1 410°)的值为( )A.33B．－33C. 3 D．－ 3解析：tan(－1 410°)＝tan(－4³360°＋30°)＝tan30°＝33.答案：A2．已知△ABC中，tan A＝－512，则cos A＝( )A.1213B.513C．－513D．－1213解析：在△ABC中，由tan A＝－512<0知，A为钝角，所以cos A<0.又1＋tan2A＝sin2A＋cos2Acos2A＝1cos2A＝169144，所以cos A＝－1213.答案：D3．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sinα＝－35，则cos(－α)的值为( )A．－45B.45C.35D．－35解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sinα＝－35，所以cosα＝45，所以cos(－α)＝45. 答案：B4．已知f(α)＝sin π－α ²cos 2π－αcos －π－α ²tan π－α，则f⎝⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( ) A.12B.13C.32D.22解析：∵f (α)＝sin αcos α－cos α －tan α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 答案：A5．(2017²福建模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝m (|m |<1)，π2<α<π，那么tan(π＋α)＝( )A.m1－m2B ．－m1－m2C ．±m1－m2D ．±1－m2m解析：由题意，知sin α＝m >0，且cos α<0，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－m 2，所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－m1－m2，故选B. 答案：B6．(2017²广东惠州一调)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13 D ．－13解析：因为sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，两边平方可得1＋2sin θ²cos θ＝169，即sin θ²cos θ＝718，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29.又因为0<θ<π4，所以sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B. 答案：B 二、填空题7．已知sin(3π＋θ)＝14，则cos π＋θcos θ[cos π＋θ －1]＋cos θ－2πcos θ＋2π cos π＋θ ＋cos －θ＝________.解析：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ， ∴sin θ＝－14，则原式＝－cos θcos θ －cos θ－1 ＋cos θcos θ －cos θ ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝32. 答案：328．已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos π2＋α sin －π－αcos 11π2－α sin 9π2＋α的值为________．解析：∵tan α＝y x ＝－34，∴cos π2＋α sin －π－αcos 11π2－α sin 9π2＋α＝－sin α²sin α－sin α²cos α＝tan α＝－34.答案：－349．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)＝________.解析：因为sin15°＝cos75°，所以f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－32. 答案：－3210．已知cos(75°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(15°－α)＝________.解析：由－180°<α<－90°，得－105°<75°＋α<－15°，又cos(75°＋α)>0可知75°＋α是第四象限角，所以cos(15°－α)＝sin(75°＋α) ＝－1－cos 275°＋α ＝－223.答案：－223三、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α²1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α²cos α和sin α－cos α的值．解：(1)f (α)＝sin α－sin α² 1＋cos α 21－cos 2α－1＝sin α＋sin α²1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)方法1：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α²cos α＋cos 2α＝125，即2sin α²cos α＝－2425.∴sin α²cos α＝－1225，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α²cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.方法2：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，。
2018届北师大版 三角函数、算法、复数 检测卷
第三篇错题重组再训练训练3 错题重组三1. 已知集合2{|10}M x x =-<，}),2(log |{2M x x y y N ∈+==，则=N M （ ）A. )1,0(B. )1,1(-C. )0,1(-D. φ 【答案】A【解析】化简集合(1,1),M =-由22111230log (2)log 3x M x x x ∈⇒-<<⇒<+<⇒<+<得2(0,log 3)N =，注意到2log 31>，所以(0,1)M N = ；故选A.【要点回扣或易错点】集合的运算 2．已知，则复数（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】，故选A.【要点回扣或者易错点】复数的基本运算，注意虚部的概念.3．若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos 22παπαπαπα++-=---（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】B.【要点回扣或者易错点】用诱导公式时符号的判定是易错点.4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质？你认为比较恰当的是（ ）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A ．①③B ．②③ C. ①② D ．①②③ 【答案】D【解析】 各侧面都是全等的正三角形，∴三个结论都正确，故选D. 【要点回扣或者易错点】类比推理5．某程序框图如右图所示，若输出的41S =，则判断框内应填（ ） A ．4?k > B ．5?k > C ．6?k > D ．7?k >【答案】A【要点回扣或者易错点】程序框图. 6．为得到函数πsin(2)4y x =+的图象，只需要把函数cos 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度 【答案】B【解析】πcos 2sin 24y x x ⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴只需将cos 2y x =的图象向右平移π8个单位长度，故选B. 考点：三角函数的图象【要点回扣】1.三角函数的图象变换；2.三角函数的性质．7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若α∥β，β∥γ， m ⊥α，则m ⊥γ； ④若m αγ⋂=，β⋂γ=n ，m ∥n ，则α∥β. 其中正确命题的序号是A ．①和③B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 【答案】A【要点回扣或者易错点】空间直线与平面的位置关系.8．已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ）A ．αβcos 2cos =B ．αβ22cos 2cos =C ．αβ2cos 22cos =D ．02cos 22cos =+αβ 【答案】C【解析】2sin cos 2sin 1sin 24sin θθαθα+=⇒+=，所以2212sin 4sin βα+=，11cos 22(1cos 2)βα+-=-，cos 22cos 2βα=，故选C.考点：三角恒等变换【要点回扣或者易错点】三角恒等变换9．已知2201sin 22x a dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，x 的一次项系数为（ ） .A 6316-.B 6316 .C 638- .D 638【答案】A【解析】因为221sin 22x a dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰220011cos sin |22x dx x ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰=11022--=- 所以9911122ax x ax x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的第1r +项1r T +=9992991122rr rr r r x C C x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令921r -= ，得：4r =所以5459163216T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故选A.【要点回扣或者易错点】1、定积分；2、二项式定理..10．已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，()2221122n n n a a a n +-=+≥，则6a =（）A ．16B ．8C ．D ．4 【答案】D【要点回扣或者易错点】数列的递推式 11．过双曲线的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A.B.C.D.【答案】C【解析】当直线方程为时，代入双曲线方程中并整理得，由题设可得，即，解得；当直线方程为时，代入双曲线方程中并整理得，由题设可得，即，解得.故双曲线离心率的取值范围为，故选C.【要点回扣或者易错点】双曲线的性质12．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和． 如：1111236=++，1111124612=+++，1111112561220=++++，……依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++， 其中n m ≤，*,m n ∈N ．设n y m x ≤≤≤≤1,1，则12+++x y x 的最小值为（ ）A ．223B ．25C ．78D ． 334【答案】C【解析】因为11111111()2362323=++=++-11111111111()()24612242334=+++=++-+- 11111111111111()()()256122025233445=++++=++-+-+-依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++所以111111,,13,20134520m n m n ==-===，即113,120x y ≤≤≤≤.又21111x y y x x +++=+++，把11y x ++看成点(,),(1,1)x y --连线的斜率，结合n m ≤，*,m n ∈N ．在满足条件的整点中，(13,1),(1,1)--连线的斜率最小为111,1317+=+故12+++x y x 最小值为78，选C .【要点回扣或者易错点】1.归纳推理；2.简单线性规划的应用；3.裂项相消法13．若曲线225x y +=与曲线()2222200x y mx m m +-+-=∈R 相交于,A B 两点，且两曲线在A 处的切线互相垂直，则m 的值是_____________． 【答案】5±【解析】由已知可得圆1C 的圆心1(0,0)C，半径1r =，圆2C 的圆心2(,0)C m，半径2r =，22221212||255C C r r m m =+⇒=⇒=±．【要点回扣或者易错点】圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系. 14．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()1(1x f x f =+，且⎩⎨⎧≤<-≤<-=10,101,1)(x x x f ，则=))211((f f . 【答案】1- 【解析】)()1(1x f x f =+得，1(2)(),2(1)f x f x T f x +==∴=+，所以，1111311()(4)()(1)1,(1)(1)112222()2f f f f f f f =-==+==--==-.【要点回扣或者易错点】1、分段函数；2、周期函数. 15．抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【要点回扣或者易错点】直线、圆与抛物线的关系.16．已知三个正数,,a b c 满足3a b c a ≤+≤，223()5b a a c b ≤+≤，则2b ca-的最小值是 ▲ ． 【答案】185-【解析】由已知31≤+≤a c a b ，2222513a b a c a b ≤+≤，令y a c x a b ==,，则⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+≤15133122y x y x y x ，2b c a -=y x 2-，由线性规划易知y x 2-在A 处取得最小值，由⎩⎨⎧=-=+1532y x y x 得)511,54(A ，所以y x 2-的最小值为185-【要点回扣或者易错点】线性规划.17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知()cos cos cos 0C A A B +=.（1）求角B 的大小.（2）若1a c +=，求b 的取值范围.【答案】（1（2）112b ≤<【要点回扣或者易错点】正弦定理、余弦定理的应用;18．抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品123A A A 、、，假定1A 正面向上的概率为12，2A 正面向上的概率为13，3A 正面向上的概率为t(0<t<1)，把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数。
2018届北师大版 平面向量 单元测试
平面向量一、选择、填空题1、（2016年山东高考）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（A ）4（B ）–4（C ）94（D ）–942、（2015年山东高考）已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅=(A)232a - (B) 234a - (C)234a (D) 232a 3、（2014年山东高考）在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uu u r ，当6A π=时，ABC V 的面积为 。
4、（东营市、潍坊市2016届高三下学期第三次模拟）已知向量,a b 的夹角为60︒，且1,2=-a a b =b （ ）A ．1BCD ．25、（临沂市2016届高三11月期中质量检测）已知D 是ABC ∆的边AB 的中点，则向量CDuu u r等于A. 12BC BA -+uu u r uu rB. 12BC BA --uu u r uu rC. 12BC BA -uu u r uu rD. 12BC BA +uu u r uu r6、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）13.已知三点A （1,2），B （3，5），C （5,6），则三角形ABC 的面积为7、（泰安市2016届高三二模）设,,m n t 是非零向量，已知命题:p 若//,//,m t n t 则//m n ；命题:q 若0,0,m t n t == 则0m n = ，则下列命题中真命题是A. p q ∨B. p q ∧C. ()()p q ⌝∧⌝D. p q ⌝∨8、（德州市2016届高三上学期期末）已知向量(2,2)OC = ，,)CA a a = ，则向量OA的模的最小值是A ．3B ．CD ．29、（菏泽市2016届高三上学期期末）若向量=2sin15,4sin 75,a b =，a 与b 的夹角为30，则a b等于（ ）A.B.C. D. 1210、（胶州市2016届高三上学期期末）在ABC ∆内随机取一点P ，使AP xAB y AC =+，则23x ≤在的条件下13y ≥的概率 A. 79 B. 49 C. 12 D. 2311、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知向量a b 与的夹角为120°，且2a b ==，那么()2b a b ⋅-的值为 A. 8-B. 6-C.0D.412、（临沂市2016届高三上学期期末）已知()1,4a b a b a ==⋅-=-r r r r r ，则向量a br r 与的夹角为 A.56πB.23π C.3π D.6π 13、（青岛市2016届高三上学期期末）平面向量a b 与r r的夹角为()2,0,123a b a b π==-=，，则rr r rA.B.0D.214、（滨州市2016届高三上学期期末）在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，DAB 3π∠＝，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且AD 3AE BF 2FC＝，＝，则AB EF的值为 15、（德州市2016高三3月模拟）已知两个单位向量,a b的夹角为60°，,c ta b =+ ,d a tb =- 若c d ⊥，则正实数t ＝16、（济宁市2016高三3月模拟）在ABC ∆中，若2,1,,A B A C A BA C AB AC E F +=-==u u u r u u u r u u u ru u u r ，为BC 边的三等分点，则=AE AF ⋅uu u r uu u r ▲ .17、（日照市2016高三3月模拟）在锐角ABC ∆中，已知,23B AB AC π∠=-=uu u r uuu r ，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围是______.18、（泰安市2016高三3月模拟）已知平面向量,a b r r满足1b =u r ，且a b a -r r r 与的夹角为120°，则a r的模的取值范围为 ▲ .19、（枣庄市2016高三3月模拟）设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=（）A ．2B ．3C ．-2D ．-320、（济南市2016高三3月模拟）已知向量,a b ，其中|||2a b == ，且()a b a +⊥，则向量,a b的夹角是＿＿＿二、解答题1、（2014年山东高考）已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==，函数()f x a b =⋅ ，且()y f x =的图像过点12π⎛⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （I ）求,m n 的值；（II ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.2、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）已知向量,1)m x -，2(sin ,cos )n x x＝，函数1()2f x m n ⋅+ ＝.(1)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，()33=x f ，求x 2cos 的值; (2)在ABC ∆中，角C B A ,,对边分别是c b a ,,，且满足a c A b 32cos 2-≤，求()B f 的取值范围。
2018届北师大版(文) 平面向量 检测卷1
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量 【解析】 这四个向量的模相等． 【答案】 D2．(2017·广西南宁质检)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中错误的是( ) A ．|a |＝|b |＝1 B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b 同向时，a ＝b【解析】 a ，b 是两个单位向量，即模为1的向量，对于A ，|a |＝|b |＝1，正确；对于B ，a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝cos 〈a ，b 〉，错误；对于C ，当a ，b 反向时，a ＋b ＝0，正确；对于D ，当a ，b 同向时，a ＝b ，正确．故选B.【答案】 B3．(2015·深圳调研)在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 【解析】 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝⎛⎭⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →. 【答案】 A4．(2017·湖北黄冈调研)已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，(a －b )⊥c ，M ＝|a ||b |＋|b ||c |＋|c ||a |，则M ＝( ) A ．3 B ．3 2 C ．2＋22 D ．1＋322【解析】 根据条件，作OA →＝a ，OB →＝b ，OA →⊥OB →.以OA ，OB 为邻边作矩形OACB ，则OC →＝－c ，如图所示，则BA →＝OA →－OB →＝a －b ，∵(a －b )⊥c ，OC →＝－c ，∴BA →⊥OC →，即BA ⊥OC ，∴矩形OACB 为正方形，设其边长为1，则|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，∴M ＝|a ||b |＋|b ||c |＋|c ||a |＝1＋22＋2＝1＋322.【答案】 D5．(2017·河南登封调研)设a ，b 是两个非零的平面向量，给出下列说法：①若a ·b ＝0，则有|a ＋b |＝|a －b |；②|a ·b |＝|a ||b |；③若存在实数λ，使a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |＋|b |；④若|a ＋b |＝|a |＋|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb .其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①若a ·b ＝0，则有|a ＋b |＝|a －b |＝a 2＋b 2，正确；②因为|a ·b |＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |，所以不正确．③若存在实数λ，使a ＝λb ，则|a ＋b |＝|λb ＋b |＝|λ＋1||b |，|a |＋|b |＝|λb |＋|b |＝(|λ|＋1)|b |，当λ＜0时，|a ＋b |≠|a |＋|b |，所以不正确；④因为|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a 与b 同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以存在实数λ，使得a ＝λb ，正确．所以正确说法的个数是2.故选B.【答案】 B6．(2017·浙江杭州模拟)在梯形ABCD 中，AB ＝12CD ，AB ∥CD ，点P 为梯形所在平面内一点，满足：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝AB →＋CD →，若△ABC 的面积为1，则△PCD 的面积为________．【解析】 由P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝AB →＋CD →＝PB →－P A →＋PD →－PC →，得P A →＋PC →＝0，所以P点是AC 的中点，所以h △PCD ＝12h △ABC .因为AB ＝12CD ，AB ∥CD ，所以S △PCD ＝S △ABC ＝1.【答案】 17．(2016·包头模拟)如图，在△ABC 中，AH ⊥BC 交BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________．【解析】 ∵AM →＝12(AB →＋BH →)＝12[AB →＋x (AB →－AC →)]＝12[(1＋x )AB →－xAC →]，又∵AM →＝λAB→＋μAC →，∴1＋x ＝2λ，2μ＝－x ，∴λ＋μ＝12.【答案】 128．(2017·天水模拟)△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．【解析】 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →，所以P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，所以PC →＝－2P A →＝2AP →，即P 是AC 边的一个三等分点，且PC ＝23AC ，由三角形的面积公式可知，S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23.【答案】 239．在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.【解析】 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 【解析】 (1)证明 ∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2， CD →＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2 ＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2， ∵A 、C 、D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．(2017·四川泸州检测)已知D 为△ABC 的边BC 的中点，△ABC 所在平面内有一个点P ，满足P A →＝PB →＋PC →，则|PD →||AD →|的值为( )A ．1 B.13C.12D ．2 【解析】 因为P A →＝PB →＋PC →，所以P A 必为以PB ，PC 为邻边的平行四边形的对角线．因为D 为边BC 的中点，所以D 为P A 的中点，所以|PD →||AD →|的值为1.故选A.【答案】 A12．(2017·宁夏银川九中模拟)设点M 是线段BC 上的点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB →＋BC →＝2AM →，则|AM →|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB →＋AC →＝2AM →，得AB →⊥AC →，M 为BC 的中点．又BC→2＝16，所以|BC →|＝4，所以|AM →|＝2，故选A.【答案】 A13．(2017·安徽十校3月联考)已知A 、B 、C 三点不共线，且AD →＝－13AB →＋2AC →，则S △ABD S △ACD＝( )A.23B.32 C ．6 D.16【解析】 如图，取AM →＝－13AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD →＝－13AB →＋2AC →.由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ，而S △AMD ＝S △AND ， ∴S △ABDS △ACD＝6，故选C. 【答案】 C14．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________．(用a ，b 表示)【解析】 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 【答案】 －14a ＋14b15．(2017·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．【解析】 方法一 如图．∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 、F 分别为CD 、BC 的中点， ∴AC →＝AD →＋AB →＝(AE →－DE →)＋(AF →－BF →) ＝(AE →＋AF →)－12(DC →＋BC →)＝(AE →＋AF →)－12AC →，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.方法二 (回路法)：连接EF 交AC 于M .因为E 、F 分别为CD 、BC 的中点， 所以点M 为AC 的四等分点，且AM →＝34AC →，又AC →＝λAE →＋μAF →， 所以AM →＝34λAE →＋34μAF →.因为M 、E 、F 三点共线，所以34(λ＋μ)＝1，所以λ＋μ＝43.【答案】 43。
2018届北师大版(文) 三角函数解三角形 检测卷3
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2016·遵义航天高级中学模拟)对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，下列说法正确的是( )A ．f (x )的周期为π，且在[0，1]上单调递增B ．f (x )的周期为2，且在[0，1]上单调递减C ．f (x )的周期为π，且在[－1，0]上单调递增D ．f (x )的周期为2，且在[－1，0]上单调递减【解析】 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0，1]上单调递减，故选B.【答案】 B2．(2016·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )【解析】 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．【答案】 B3．(2015·河北五校联考)下列函数最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎫2x －π3【解析】 由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A不正确．对于D ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以选项D 不正确．对于B ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝sinπ2＝1，所以选项B 正确． 【答案】 B4．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π【解析】 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝0，∴⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心，故选C.【答案】 C5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( ) A ．[0，1] B.⎣⎡⎦⎤12，1 C ．[－1，2] D ．[0，2] 【解析】 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2. ∵cos 2x ∈[－1，1]，∴y ∈[0，1]． 【答案】 A6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．【解析】 由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．【答案】 ⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )7．(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．【解析】 由sin 2x ＝cos x 可得cos x ＝0或sin x ＝12，又x ∈[0，3π]，则x ＝π2，3π2，5π2或x ＝π6，5π6，13π6，17π6，故所求交点个数是7. 【答案】 78．(2017·陕西铜川宜君县高中模拟)某地一天6时至20时的温度y (℃)随时间x (小时)的变化近似满足函数y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20 ℃的时间约有________小时．【解析】 由10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20≥20，可得sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4≥0，∴2k π≤π8x ＋3π4≤2k π＋π，k ∈Z ，∴16k －6≤x ≤16k ＋2. ∵x ∈[6，20]，∴10≤x ≤18.∴温度不低于20 ℃的时间约有18－10＝8小时． 【答案】 89．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调增区间； (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．【解析】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z .∴函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z .(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.10．(2016·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值． 【解析】 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z .(2)∵0≤x ≤π， ∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5.∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2017·山东临沂期中)函数f (x )＝2－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π【解析】 f (x )＝2－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π＝2－2sin 2x2＝2－2·1－cos x 2＝1＋cos x 的最小正周期为2π1＝2π. 【答案】 C12．(2017·北京丰台期末)函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4C.⎣⎡⎤－3π8，π8D.⎣⎡⎤－π8，3π8【解析】 f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2·sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4.由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .当k ＝0时，x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，3π8.【答案】 D13．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．【解析】 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤－32，3 14．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎫π24＝________．【解析】 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.又图象过定点(0，1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故有f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.【答案】 315．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．【解析】 ∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32.又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .。
2018届北师大版 三角函数 检测卷
[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝sin(sin x )，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的定义域是[－1,1] B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的值域是[－sin1，sin1]D ．f (x )不是周期函数 答案 C解析 ∵－1≤sin x ≤1，且y ＝sin x 在[－1,1]上是增函数，∴f (x )的值域是[－sin1，sin1]．2．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( )A ．16 B ．14 C ．13 D ．12答案 D解析 y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4向右平移π6个单位长度，可得：y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，∴π4－π6ω＋k π＝π6(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋12(k∈Z )．又∵ω>0∴ωmin ＝12.故选D.3．[2017·西安模拟]已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称 答案 D解析 ω＝2，函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π3，选D.4．[2017·天津模拟]将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A ．13 B ．1 C ．53 D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入，得sin ωπ2＝0， 则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.5．[2017·惠州模拟]已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案 A解析 画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3.6．[2017·南宁模拟]函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图，则f (x )＝________.答案 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4 解析 由图象得：T ＝4×2＝8，∴ω＝2π8＝π4，代入(－1,1)，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1， ∴－π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π4，k ∈Z ， 又∵0≤φ≤π，∴φ＝π4. ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.7．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3向左平移m 个单位长度后关于y 轴对称，则m 的最小正值为________．答案 π24解析 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x ＋m )＋π3关于y 轴对称，则有4m ＋π3＝k π＋π2(k∈Z )，m ＝k π4＋π24，∴m 的最小正值为π24.8．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 22解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 9．如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)(1)求这期间的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)由图象，知这期间的最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时．(2)A ＝12(50－30)＝10，b ＝12(50＋30)＝40， T ＝2πω＝2×(14－8)＝12，所以ω＝π6，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40. 把x ＝8，y ＝30代入上式，得φ＝π6.所以所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]． 10．[2017·启东模拟]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2， 即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． 所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取最小值－1.故f (x )的值域为[－1,2]．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度 答案 B解析 y ＝cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，由y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12，只需向右平移π3个单位长度．12．[2016·北京高考]将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3答案 A解析 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上， ∴t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝12.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin2x 的图象，故s 的最小值为π6.13．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋φ(0<φ<π)的一条对称轴方程为x ＝9π4，则函数y ＝sin(2x －φ)(0≤x <π)的单调递增区间为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8和⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π8，π 解析 因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋φ的对称轴为x ＝9π4，所以13×9π4＋φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π－3π4，k ∈Z .又因为0<φ<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .因为0≤x <π，所以函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8和⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π8，π. 14．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。
2018届北师大版 平面向量 单元测试
[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8解析：选D 因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(1，m )＋(3，－2)＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.2．(2016·全国丙卷)已知向量 BA ＝⎝⎛⎭⎫12，32， BC ＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 因为 BA ＝⎝⎛⎭⎫12，32， BC ＝⎝⎛⎭⎫32，12，所以 BA · BC ＝34＋34＝32.又因为 BA · BC ＝| BA || BC |·cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ＝32，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5解析：选A 由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.4．(2016·全国乙卷)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2，∴a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.答案：－25．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ―→＝12( AB ＋AC )，则 AB 与AC 的夹角为________．解析：由AO ―→＝12( AB ＋AC )，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以 AB 与AC 的夹角为90°.答案：90°6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12，由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：27．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则 AE ·BD＝________.解析：选向量的基底为 AB ， AD ，则 BD ＝ AD － AB ， AE ＝ AD ＋12AB ，那么AE · BD ＝⎝⎛⎭⎫ AD ＋12 AB ·( AD － AB )＝ AD 2－12 AB 2－12AB · AD ＝4－2＝2. 答案：28．(2012·新课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.解析：依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0， ∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)． 答案：32[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( ) A ．12 B ．8 C ．－8D ．2解析：选A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝3×4＝12. 2．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( ) A ．－2 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．6 3解析：选B 因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B.3．设向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝( ) A ．2 B ．23 C ．4 D ．4 3解析：选B 由a ·(a －b )＝0，可得a ·b ＝a 2＝1，由|a －b |＝3，可得(a －b )2＝3，即a 2－2a ·b ＋b 2＝3，解得b 2＝4.所以(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝12，所以|2a ＋b |＝2 3.4．(2017·洛阳质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选B a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，所以向量a 与b 的夹角为π3.5.如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则 DM · DB 等于________．解析：因为 DM ＝ DA ＋ AM ＝ DA ＋13 AB ， DB ＝ DA ＋ AB ，所以 DM ·DB ＝⎝⎛⎭⎫ DA ＋13 AB ·( DA ＋ AB )＝| DA |2＋13| AB |2＋43 DA · AB ＝1＋43－43 AD · AB ＝73－43| AD |·| AB |·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1.答案：1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．1D ．－1解析：选A 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形， AB ＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则 AD ·AC ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A 由四边形ABCD 是平行四边形，知 AC ＝ AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故 AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则(－λ)2＋(2λ)2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，故选A.4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94解析：选B ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n·(t m ＋n )＝0，即t m·n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n|2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则 AF ·BC 的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118解析：选B 如图所示， AF ＝ AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以 AD ＝12 AB ， DF ＝12 AC ＋14AC ＝34AC ，所以 AF ＝12 AB ＋34AC .又 BC ＝ AC － AB ，则 AF · BC ＝12 AB ＋34 AC ·( AC － AB )＝12 AB · AC －12 AB 2＋34 AC 2－34 AC · AB ＝34 AC 2－12AB 2－14 AC · AB .又| AB |＝| AC |＝1，∠BAC ＝60°，故 AF · BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足 AP ＝λ AB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若 BQ · CP ＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102 D.－3±222解析：选A ∵ BQ ＝ AQ －AB ＝(1－λ) AC － AB ， CP ＝ AP － AC ＝λ AB － AC ，又 BQ · CP ＝－32，|AB |＝| AC |＝2，A ＝60°， AB · AC ＝| AB |·| AC |cos 60°＝2，∴[(1－λ) AC － AB ]·(λ AB － AC )＝－32，即λ| AB |2＋(λ2－λ－1) AB · AC ＋(1－λ)| AC |2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12. 二、填空题7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________.解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.答案：8 28．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________． 解析：∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3. 答案：2π39．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则 AM ·AN 的最大值为________．解析：设 AN ＝λ AB ＋μ AD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝ AD ＋12 DC ＝12 AB ＋ AD .所以 AM · AN ＝⎝⎛⎭⎫12 AB ＋ AD ·(λ AB ＋μ AD )＝λ2AB 2＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2 AB · AD ＋μ AD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤ AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时， AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．答案：9 三、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m ||n |cos π3＝1×1×12＝12，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求边c的长．解：(1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，对于△ABC，A＋B＝π－C,0＜C＜π，∴sin(A＋B)＝sin C，∴m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，∴sin 2C＝sin C，cos C＝12，C＝π3.(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a ＋b.∵CA·(AB－AC)＝18，∴CA·CB＝18，即ab cos C＝18，ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，∴c2＝4c2－3×36，c2＝36，∴c＝6.。
2018届高中数学北师大版 平面向量 单元测试 Word版 含答案
备战2017高考十年高考文数分项版（天津版）第五章 平面向量一．基础题组1.【2005天津，文12】已知2,4a b == ，a 和b 的夹角为3π，以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 ．【答案】12 【解析】222||||||2||||cos 416224cos 123c a b a b C π=+-⋅=+-⨯⨯⨯= 2.【2006天津，文12】设向量a 与b 的夹角为,θ且(3,3),2(1,1),a b a =-=- 则cos θ= 。
3.【2007天津，文15】在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC = ． 【答案】52【解析】解：根据向量的加减法法则有：此时故答案为：4.【2008天津，文14】已知平面向量(2,4)a = ，(1,2)b =- ．若()c a a b b=-⋅ ，则||c = _____________．【答案】【解析】因为(2,4)6(1,2)(8,8)c =--=-，所以||c = ．5.【2009天津，文15】若等边△ABC 的边长为32,平面内一点M满足CM +=,则=∙MB MA _______________________.【答案】－2解法一:由于CM +=,那么CA CM CA MA -=+-=-=, CB CB CM CB MB 61(--=+-=-=, 则有CB MB MA +-=+∙-=∙( 260cos )32()32(187)32(365)32(922222-=︒⨯⨯⨯+⨯-⨯-=. 解法二:本题如果采用建立直角坐标系,运用向量数量积的坐标运算较为简单,建立如图所示的直角坐标系,根据题设条件即可知A(0,3),B(3-,0),M(0,2),∴)1,0(=MA ,)2,3(--=MB .∴2-=∙MB MA .6.【2011天津，文14】1.【2012天津，文8】在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ．若2BQ CP ⋅=- ，则λ＝( )A ．13B ．23C ．43D ．2 【答案】B7.【2013天津，文12】在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为__________． 【答案】12【解析】取平面的一组基底{AB ，AD}，则AC ＝AB ＋AD ，BE ＝BC ＋CE ＝12-AB ＋AD ， AC ·BE ＝(AB ＋AD )·12AB AD ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ＝12-|AB |2＋|AD |2＋12AB ·AD ＝12-|AB |2＋14|AB |＋1＝1，解方程得|AB |＝12(舍去|AB |＝0)，所以线段AB 的长为12.二．能力题组1.【2014天津，文13】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1,AE AF ⋅= ，则λ的值为________.【答案】2【解析】试题分析：建立如图所示直角坐标系，则11(1,0),(0,(1,0),(,(3A B C D E F λ-，。
2018届北师大版 三角函数的图象和性质 单元测试
第10练 三角函数的图象和性质1.(2017·天津西青区模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )答案 B解析 当x ＝－π2时，y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π2－π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3＝32＞0，故排除A ，D ； 当x ＝π6时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin0＝0，故排除C.故选B. 2.(2016·北京)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( ) A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π3答案 A解析 点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上， 则t ＝sin ⎝⎛⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋s )－π3＝sin2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.3.(2017·全国Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 答案 D解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos2x ，再把得到的曲线y ＝cos2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.故选D. 4.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.5.将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________. 答案 2解析 将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ωx ＋(ω－1)π4，ω＞0；向右平移π4个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎤ωx －(ω＋1)π4，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋(ω－1)π4＝ωx －(ω＋1)π4＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值为2. 6.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A.1B.2C.3＋1D.3＋2 答案 B解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6＜2π3，∴f (x )max ＝2.7.设函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ，若函数g (x )＝sin(ωx ＋φ)－2，则g ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A.1B.－5或3C.12D.－2答案 D解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ， ∴函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)的其中一条对称轴为x ＝π6，∴ω×π6＋φ＝k π(k ∈Z )，则g ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫ω×π6＋φ－2＝sin k π－2＝－2. 8.使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π4上是减函数的θ的一个值是( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π3答案 B解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3是奇函数， ∴θ＋π3＝k π，k ∈Z ，θ＝k π－π3，k ∈Z .当k 为奇数时，令k ＝2n －1，n ∈Z ，f (x )＝－2sin2x ，满足在⎣⎡⎦⎤0，π4上是减函数，此时，θ＝2n π－4π3，n ∈Z ，选项B 满足条件.当k 为偶数时，令k ＝2n ，n ∈Z ，f (x )＝2sin2x ，不满足在⎣⎡⎦⎤0，π4上是减函数. 综上，只有选项B 满足条件.故选B.9.(2017·豫南九校联考)已知函数f (x )＝3sin2x －2cos 2x ，下列结论错误的是( ) A.函数f (x )的最小正周期是π B.函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称C.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π4上是增函数 D.函数f (x )的图象可由g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π6个单位长度得到答案 D解析 f (x )＝3sin2x －2cos 2x ＝3sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，所以函数f (x )的最小正周期是π，故A 正确；当x ＝π3时，函数取最大值，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，故B 正确；由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，由此可知函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π4上是增函数，故C 正确；函数g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π6个单位长度得到φ(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1的图象，不是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1的图象，故D 错误.故选D. 10.关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的四个结论： p 1：函数的最大值为2；p 2：把函数g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位长度后可得到函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的图象；p 3：单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋7π8，k π＋11π8，k ∈Z ； p 4：图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π8，－1，k ∈Z . 其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 答案 B解析 因为f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，所以函数的最大值为2－1，所以p 1错误；把g (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π4个单位长度后得到h (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2－1的图象，所以p 2错误； 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，即函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z ，即⎣⎡⎦⎤7π8＋k π，11π8＋k π，k ∈Z ，所以p 3正确； 由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，所以图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π8，－1，k ∈Z ，所以p 4正确，故选B.11.(2016·全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A.x ＝k π2－π6(k ∈Z )B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C.x ＝k π2－π12(k ∈Z )D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z )答案 B解析 由题意将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 12.将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 答案 D解析 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3.又0＜φ＜π2，故φ＝π6，故选D.13.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象与直线y ＝a (0＜a ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f (x )的单调递减区间是( ) A.[6k π，6k π＋3]，k ∈Z B.[6k π－3，6k π]，k ∈Z C.[6k ，6k ＋3]，k ∈Z D.[6k －3，6k ]，k ∈Z 答案 D解析 因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象与直线y ＝a (0＜a ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，所以T ＝2πω＝8－2＝6，且当x ＝2＋42＝3时函数取得最大值，所以ω＝π3，π3×3＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z ，所以φ＝－π2＋2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π2.由2k π＋π2≤π3x －π2≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得6k ＋3≤x ≤6k ＋6，k ∈Z . 14.(2017·云南曲靖模拟)同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是π2；②在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数的一个函数为( ) A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π6答案 C解析 由图象的相邻两条对称轴间的距离是π2可知，T 2＝π2，T ＝π，选项B ，C 满足；由x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，得2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6为增函数，符合题意.故选C. 15.函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________.答案22解析 由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°， 所以12AB ＝f (x )max －f (x )min ＝1－(－1)＝2，即AB ＝4，而T ＝AB ＝2πω＝4，解得ω＝π2.所以f (x )＝sin πx2，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝sin π4＝22.1.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度答案 A解析 由题意知，函数f (x )的周期T ＝π，所以ω＝2， 即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )＝cos2x . 把g (x )＝cos2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos2x 的图象，故选A. 2.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2 的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( ) A.f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 B.f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4上单调递减 C.f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 D.f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4上单调递增 答案 A解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4， ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，即ω＝2. 又f (－x )＝f (x )，故f (x )是偶函数， 即φ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z ).∵|φ|＜π2，取k ＝0，则φ＝π4，∴f (x )＝2cos2x ，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，故选A. 3.(2017·安徽宿州一模)将函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象( ) A.关于点(－2，0)对称 B.关于点(0，－2)对称 C.关于直线x ＝－2对称 D.关于直线x ＝0对称答案 B解析 将函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数g (x )的解析式为g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4－4＝3sin ⎝⎛⎫2x ＋π4－4＝3sin2⎝⎛⎫x ＋π8－4，f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π8，故两个函数的图象关于点(0，－2)对称，故选B. 4.若关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解，则k 的取值范围是________. 答案 [1，2) 解析 ∵0≤x ≤π， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2， 又2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解， ∴1≤k ＜ 2.解题秘籍 (1)图象平移问题要搞清平移的方向和长度，由f (ωx )的图象得到f (ωx ＋φ)的图象平移了⎪⎪⎪⎪φω个单位长度(ω≠0).(2)研究函数的性质时要结合图象，对参数范围的确定要注意区间端点能否取到.1.(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度答案 D解析 由题可知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6， 则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，故选D.2.(2016·全国Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 答案 A解析 由图可知，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2， 由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选A. 3.先把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，函数g (x )的值域为( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，1B.⎝⎛⎦⎤－12，1C.⎝⎛⎭⎫－32，32 D.[)－1，0 答案 A解析 依题意得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，2x －5π6∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6∈⎝⎛⎦⎤－32，1，即g (x )的值域是⎝⎛⎦⎤－32，1. 4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10 答案 C解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.5.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12B.32C.22D.1 答案 B解析 由题图可知，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2， 又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1，又|φ|＜π2，可得φ＝π3， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6， 所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 6.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2B.π3C.π4D.π6 答案 D解析 ∵函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值， ∴2ω＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k π＋π6，k ∈Z . ∴正数ω的最小值为π6，故选D. 7.设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A.y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 B.y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 C.y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 D.y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋φ，因为其图象关于x ＝0对称， 所以π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π3＋k π(k ∈Z ). 又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2cos2x . 其最小正周期T ＝2π2＝π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减. 8.(2016·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－2π3，0B.⎝⎛⎭⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎫5π3，0 答案 A解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.∵f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π3＋2k π(k ∈Z ).由|φ|＜π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的一个对称中心的坐标为⎝⎛⎭⎫－2π3，0，故选A. 9.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝____.答案 3解析 如图所示，可知T 2＝3π8－π8＝π4，所以T ＝π2， 所以πω＝π2，所以ω＝2.因为图象过点⎝⎛⎭⎫3π8，0， 所以A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ＝0，即tan ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝0.又|φ|＜π2， 所以φ＝π4.又图象过点(0，1)，A tan ⎝⎛⎭⎫2×0＋π4＝1， 所以A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 10.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )的单调递增区间为__________.答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π3⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝2sin2x ，令2x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ). 11.已知函数y ＝cos x 与函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________.答案 π6解析 由题意cos π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ， 即sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k ·π6(k ∈Z )，因为0≤φ＜π，所以φ＝π6. 12.(2017·吉林市普通中学调研)已知f (x )＝3sin x cos x －sin 2x ，把f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若对任意实数x ，都有g (a －x )＝g (a ＋x )成立，则g ⎝⎛⎭⎫a ＋π4＋g ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 答案 4解析 因为f (x )＝3sin x cos x －sin 2x ＝32sin2x －1－cos2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12， 把f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到y ＝g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6＋32＝sin2x ＋32. 若对任意实数x ，都有g (a －x )＝g (a ＋x )成立，则y ＝g (x )的图象关于x ＝a 对称，所以2a ＝π2＋k π，k ∈Z ，故可取a ＝π4， 有g ⎝⎛⎭⎫a ＋π4＋g ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π2＋32＋sin π2＋32＝4.。
2018届北师大版 解三角形 单元测试
第11练 解三角形1.(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC 等于( ) A.1B.2C.3D.4 答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去).故选A.2.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，则c 等于( ) A.27B.23C.4D.3 3 答案 B解析 因为a cos B ＋b cos A c ＝sin A cos B ＋sin B cos A sin C ＝sin (A ＋B )sin (A ＋B )＝1，所以2cos C ＝1，所以C ＝π3.又S △ABC ＝23，则12ab sin C ＝23，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a＋b )2－2ab －ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12，所以c ＝2 3.3.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b 等于( ) A.2B.3C.2D.3 答案 D解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去，故选D. 4.(2016·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________. 答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.5.在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析 由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，由正弦定理，可得sin A sin C ＝ac ，所以sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×sin A sin C ×cos A ＝2×46×34＝1. 6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( ) A.3B.932 C.332 D.3 3答案 C解析 由c 2＝(a －b )2＋6，得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab，因为C ＝π3，所以cos C ＝2ab －62ab ＝12，得ab ＝6，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝332.7.在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.21B.3214 C.212 D.321答案 B解析 设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，即bc cos A ＝3，a ＝3， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A 2，∴cos A ≥25，∴0＜sin A ≤215，∴0＜tan A ≤212.∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214， 故△ABC 面积的最大值为3214.8.已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2b cos A ，B ＝π3，c ＝1，则△ABC 的面积为______. 答案34解析 ∵a ＝2b cos A ，∴由正弦定理可得sin A ＝2sin B ·cos A .∵B ＝π3，∴sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝ 3.又∵A 为三角形的内角，∴A ＝π3.又B ＝π3，∴C ＝π－A －B ＝π3，∴△ABC 为等边三角形，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×1×32＝34.9.(2017·原创押题预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B ＝1213，且a ，b ，c 成等比数列，△ABC 的面积S ＝52，则a ＋c ＝________.答案 37解析 因为cos B ＝1213，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝513.由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ， 由S ＝12ac sin B ＝12ac ×513＝52，可得ac ＝13.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 即13＝(a ＋c )2－2×13×⎝⎛⎭⎫1＋1213， 整理得(a ＋c )2＝63，故a ＋c ＝37.10.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________.答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，∴b 2＋c 2＝52.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64， ∴a ＝8.11.(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010B.1010C.－1010D.－31010答案 C解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝AD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案 C解析 由已知可得b ＝c2cos A ＝2c cos A ，∴cos 2A ＝14，易知cos A >0，∴cos A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°， 由b ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc ，得a 2－c 2＝0，∴a ＝c .因此，△ABC 为等边三角形，故选C.13.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高为( )A.10米B.102米C.103米D.106米答案 D解析 由题意可得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝105°，又∠BDC ＝45°，则∠DBC ＝30°.在△BCD 中，CD sin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ，所以BC ＝10×sin45°sin30°＝102(米)，所以AB ＝BC tan ∠BCA ＝102×tan60°＝106(米).14.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围为________.答案 (3，6]解析 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝2(1－cos2B ＋1－cos2C )＝4－2cos2B －2cos2⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝4＋3sin2B －cos2B ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. 又0＜B ＜2π3，所以－π6＜2B －π6＜7π6，所以－1＜2sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6≤2. 所以3＜b 2＋c 2≤6.15.如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos C ＝_______.答案 79解析 由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则9b 2＝a 2＋4－43a .①因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ， 所以4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6.②联立①②，解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3. 在△ABC 中，cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝32＋32－222×3×3＝79.1.钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A.5B.5C.2D.1 答案 B解析 ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意.故AC ＝ 5.2.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，πB.⎝⎛⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎝⎛⎭⎫0，π2 答案 C解析 因为a 2＜b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，所以A 为锐角.又因为a ＞b ＞c ，所以A 为最大角， 所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.3.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A 等于( )A.45B.－45C.1517D.－1517 答案 D解析 S ＋a 2＝(b ＋c )2⇒a 2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝⎛⎭⎫14sin A －1.由余弦定理，可得14sin A －1＝cos A ，结合sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A ＝－1517.4.(2017·广东梅州质检)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，2cos C ＋c ＝2b ，则△ABC 的周长的取值范围是__________. 答案 (2，3]解析 在△ABC 中，由余弦定理， 可得2cos C ＝a 2＋b 2－c 2ab，∵a ＝1，2cos C ＋c ＝2b ，∴1＋b 2－c 2b ＋c ＝2b ，化简可得(b ＋c )2－1＝3bc .∵bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，∴(b ＋c )2－1≤3×⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，解得b ＋c ≤2 (当且仅当b ＝c 时，取等号). 故a ＋b ＋c ≤3.再由任意两边之和大于第三边， 可得b ＋c >a ＝1，故有a ＋b ＋c >2， 故△ABC 的周长的取值范围是(2，3].解题秘籍 (1)解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题.(2)判断三角形形状一定要对条件等价变形，尤其注意等式两边不可随意同除以一个式子. (3)和三角形有关的范围最值问题要注意最值取到的条件.1.已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B 等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 A解析 ∵a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴原式可化为b sin B ＝12b ，sin B ≠0，∴sin B ＝12，又a ＞b ，B 为锐角，∴B ＝π6.2.已知在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(sin A ＋sin B －sin C )＝a sin B ，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，则C 等于( ) A.π3B.2π3C.3π4D.5π6 答案 B解析 因为(a ＋b ＋c )(sin A ＋sin B －sin C )＝a sin B ， 所以由正弦定理可得(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，整理得c 2＝a 2＋b 2＋ab ，所以cos C ＝－12，所以C ＝2π3.故选B.3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则角A 为( ) A.30°B.60°C.120°D.150°答案 A解析 由sin C ＝23sin B ⇒c ＝23b ，所以a 2－b 2＝3bc ＝3·b ·23b ⇒a 2＝7b 2，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32. 因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝30°.4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2b －a )cos C ＝c cos A ，c ＝3，sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ，则△ABC 的面积为( ) A.338 B.2C.32D.334答案 D解析 因为(2b －a )cos C ＝c cos A ，化简得a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.又由sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ， 可得(sin A ＋sin B )·sin C ＝32sin A sin B ，由正弦定理可得(a ＋b )c ＝32ab ，所以a ＋b ＝2ab . 因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以2(ab )2－3ab －9＝0， 所以ab ＝3，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝334.5.已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( ) A.b ＋c ＝2a B.b ＋c ＜2a C.b ＋c ≤2a D.b ＋c ≥2a 答案 C解析 ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos2A ＝－12.∵0＜A ＜π2，∴0＜2A ＜π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3.由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝(b ＋c )24，∴4a 2≥(b ＋c )2，∴2a ≥b ＋c .6.在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )A.13 B.12 C.15 D.14答案 D解析 由题意知，c ＝3a ，b 2－a 2＝52ac ＝c 2－2ac cos B ，所以cos B ＝c 2－52ac 2ac ＝9－1526＝14.7.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2＋c 2－b 2，BC →·BA →＝12，则tan B等于( ) A.32B.3－1C.2D.2－ 3 答案 D解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， 再由BC →·BA →＝12，得ac cos B ＝12，所以tan B ＝2－3a 2＋c 2－b2＝2－32×12＝2－ 3.故选D.8.(2017·湖南邵阳大联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2，p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C2共线，则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 A解析 由题意得a cos B 2＝b cos A 2，a cos C 2＝c cos A 2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A 2⇒sin B 2＝sin A2⇒B ＝A ，同理可得C ＝A ，所以三角形为等边三角形，故选A.9.(2017·江苏启东中学模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos Acos B＝－a b ＋2c ，则角A 的大小为________.答案2π3解析 依题意得(b ＋2c )cos A ＝－a cos B ， 由正弦定理，得(sin B ＋2sin C )cos A ＝－sin A cos B ， 即sin A cos B ＋cos A sin B ＝－2sin C cos A ， 整理得sin(A ＋B )＝sin C ＝－2sin C cos A ， 即cos A ＝－12.又0＜A ＜π，所以A ＝2π3.10.已知在△ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________. 答案6417解析 因为S ＝a 2－(b －c )2， 所以12bc sin A ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，所以12bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，所以sin A ＝4(1－cos A )， 又sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以sin A ＝817，所以S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝6417.11.在△ABC 中，B ＝C ＝30°，AB ＝AC ＝1，点E 是线段AB 的中点，CE 的中垂线交线段AC 于点D ，则AD ＝________. 答案310解析 如图，设AD ＝t ，∵CE 的中垂线交线段AC 于点D ，∴DE ＝CD ＝1－t .∵∠A ＝120°，AE ＝12，∴在△ADE 中，由余弦定理，得DE 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD cos A ，即(1－t )2＝14＋t 2－2×12×t ×⎝⎛⎭⎫－12， 化简得52t ＝34， ∴t ＝310. 12.(2017·山西五校联考)如图，飞机的航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000m ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108秒后看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为__________m.(取3＝1.732)答案 6340解析 设飞机先看到山顶的位置为A ，108秒后的位置为B ，山顶为C ，如图，则AB ＝1000×0.03＝30(km)，C ＝60°，∴AB sin60°＝BC sin15°， ∴BC ＝AB ·sin15°sin60°＝203sin15°(km). ∴C 到AB 边的距离h ＝BC sin75°＝203sin15°sin75°＝8.66km.故山顶的海拔高度为15000－8660＝6340(m).。
2018届北师大版(理) 平面向量与复数 检测卷
2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题1．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD →D.12AB →＋34AD →解析：因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12()AB →＋AC →＝12(AB→＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.答案：B2．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12 B.12 C ．－2D ．2解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m －λ＝2，故mn ＝－2.答案：C3.如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则OP →·(OB →－OA →)＝( )A ．－12 B.12 C ．－32D.32答案：A4．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．－13 B.13 C ．－1D ．0解析：由已知可得，a ·b ＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13，故选B.答案：B5.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB 中，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )·OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为( )A.12 B.22 C.34D ．1答案：D6．设复数z 满足z －iz ＋i ＝i(i 为虚数单位)，则z 2 016＝( )A ．21 008B ．21 008iC ．－21 008D ．－21 008i解析：由z －i z ＋1＝i 得z －i ＝z i ＋i ，z ＝2i1－i ＝2i 1＋i 1－i 1＋i ＝－1＋i ，则z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，从而z 2 016＝(z 2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i 1 008＝21 008×(i 4)252＝21 008.故选A.答案：A7．如图在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA 、OB，则复数12z z 的值是（ ）A ．﹣1+2iB ．﹣2﹣2iC ．1+2iD ．1﹣2i 【答案】A8．设复数i i z 510)2(-=+⋅（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（ ） A ．i 43+- B ．i 43-- C ．i 43+ D ．i 43- 【答案】C【解析】因为105105234222i i iz i i i i ---==⋅=-++-，所以34z i =+.9．复数z满足1+)|i z i =（，则=z （ ） A ．1+i B ．1i - C ．1i -- D ．1+i - 【答案】A.【解析】由题意得，211z i i ==-+，∴1z i =+，故选A ．10.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A.4B.6C.1D.2解析 由条件可得B (3，1)，A (2，0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 B11.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析 因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b ＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6.答案 A12.已知两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝3，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ⊥c ，则t ＝________.13. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝________.解析 法一 如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A (3，0)，B (0，3)， 设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2，1)， 所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝⎛⎭⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3.答案 314.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).15.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值. 解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ≥0，所以|a ＋b |＝2cos x .(2)由(1)，可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ， 即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以0≤cos x ≤1.①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝12.16．设复数z=a+i （i 是虚数单位，a ∈R ，a ＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m ∈R ）对应的点在第四象限，求实数m 取值范围．【答案】（Ⅰ）3i +；（Ⅱ）51m -<<.【解析】（Ⅰ）z a ==，即29a =，解得3a =±，又0a > ，3a ∴=，3z i ∴=+；（Ⅱ）3,z i =+ 则3z i =-，()()()()151311122m i i m im m z i ii i i ++++-∴+=-+=+--+，又 复数()1m i z M R i ++∈- 对应的点在第四象限，502102m m +⎧>⎪⎪∴⎨-⎪<⎪⎩得51m m >-⎧⎨<⎩，51m ∴-<<.17．已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =．（1）若c =，且//a c ，求c的坐标；（2）若b = (4)(2)a b a b -⊥+ ，求a 与b 夹角θ的余弦值．【答案】（1）(3,6),(3,6)c =-- ；（2）1cos 6θ=【解析】（1）因为//a c ，所以设(,2)c λa λλ===，3λ=±，所以(3,6)c =或(3,6)--．（2）因为(4)(2)a b a b -⊥+ ，所以22(4)(2)82a b a b a a b b -⋅+=+⋅-28520a b =⨯+⋅-= ，52a b ⋅=，所以1cos ,6a b a b a b⋅<>===⋅．18．已知椭圆的离心率为，直线l ：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 与直线y=kx （k ＞0）在第一象限的交点为A ．①设，且OA ⋅ ，求k 的值；②若A 与D 关于x 的轴对称，求△AOD 的面积的最大值．【答案】（1）（2【解析】解：（1）由题设可知，圆O 的方程为x 2+y 2=b 2，因为直线l ：x ﹣y+2=0与圆O 相切，故有，所以． 因为，所以有a 2=3c 2=3（a 2﹣b 2），即a 2=3．所以椭圆C 的方程为．（2）设点A （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），则y 0=kx 0．由解得，①∵OA ⋅=，∴（k=0舍去）．②∵，（当且仅当时取等号），∴S △AOD 的最大值为．19．(1)向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，求|a ＋b |和a ＋b 与c 的夹角；(2)设O 为△ABC 的外心，已知AB ＝3，AC ＝4，非零实数x ，y 满足AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，求cos ∠BAC 的值．(2)设AC 的中点为D ，连接OD (图略)， ∵AO →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋2yAD →， 又x ＋2y ＝1，∴O ，B ，D 三点共线． 由O 为△ABC 外心，知OD ⊥AC ，BD ⊥AC ，在Rt △ADB 中，AB ＝3，AD ＝12AC ＝2，所以cos ∠BAC ＝AD AB ＝23.20．已知向量a ＝(1，3sin ωx )，b ＝(cos 2 ωx －1，cos ωx )(ω>0)，设函数f (x )＝a ·b 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的单调区间．20．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a＋c)2≤4，∴a＋c≤2，又a＋c>b＝3，∴a＋c∈(3，2]．。
2018届北师大版 三角函数 检测卷
分类汇编三角函数2017.02一、选择、填空题 1、（红色七校2017届高三第二次联考）．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，若sinB=，cosB=，则a +c 的值为2、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））设 x y ，满足约束条件430 0x yy x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，，若目标函数()220z x ny n =+>，z 最大值为2，则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π后的表达式为（ ）A ．tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cot 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.tan 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan 2y x =3、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知()sin 2017cos 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π4、（赣州市2017届高三上学期期末考试）将函数()cos 2f x x ω=的图象向右平移34πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]46ππ-上为减函数，则正实数ω的最大值为（ ） A ．12 B ．1 C. 32D ．3 5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知1sin()123πα-=，则17cos()12πα+的值等于（ ） A ．13BC ．13-D． 6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知将函数()21cos cos 2f x x x x =+-的图像向左平移512π个单位长度后得到()y g x =的图像，则()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为 （ ）A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 12⎡-⎢⎣7、（新余市2017高三上学期期末考试）若函数()sin ()f x x x x R ωω=+∈，又()2f α=-，()0f β=，且||αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（ ） A.13 B.32 C.43 D.23 8、（宜春中学2017届高三2月月考）已知函数()sin()4f x x ππ=+和函数()cos()4g x x ππ=+在区间57[,]44-上的图像交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积是（ ）9、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）为了得到函数3cos 2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位10、（九江市十校2017届高三第一次联考）︒570sin 的值是（ ）A ．21-B ．21C D ．23-11、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知函数3()sin(2)f x x π=+，若存在(0,)a π∈，使得(2)()f x a f x +=恒成立，则a 的值是（ ）A .6πB .4πC .3πD .2π二、解答题1、（红色七校2017届高三第二次联考）已知函数f （x ）=2sinxcosx ﹣3sin 2x ﹣cos 2x +3．（1）当x ∈[0，]时，求f （x ）的值域；（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足=，=2+2cos （A +C ），求f （B ）的值．2、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知函数，．（Ⅰ）若在上单调函数，求的取值范围；（Ⅱ）若时，在上的最小值为，求的表达式．3、（赣州市2017届高三上学期期末考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a b c ac bc ca ++=++.（1）证明：ABC ∆是正三角形；（2）如图，点D 的边BC 的延长线上，且2BC CD =，AD =，求sin BAD ∠的值.4、（宜春中学2017届高三2月月考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，（1）A=60°，，求B ；（2）已知，c=2，B=150°，求边b 的长．5、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）设ABC ∆的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c , 已知sin()sin sin a b a cA B A B+-=+-（Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若3,cos b A ==求ABC ∆的面积.6、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos 2cos C a cB b-=，且2a c +=． （1）求角B ；（2）求边长b 的最小值．7、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1sin sin B C R+=（其中R 为ABC ∆的外接圆的半径）且ABC ∆的面积22()S a b c =--. （1）求tan A 的值；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.参考答案一、选择、填空题1、 2、答案：C解析：作出可行域与目标函数基准线2y x n =-，由线性规划知识，可得当直线2nz x y =+过点()1 1B ，时，z 取得最大值，即122n +=，解得2n =；则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得到的解析式为tan 2tan 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为C.3、B4、B5、A6、B7、D8、C9、D10、A 11、D二、解答题1、解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3﹣+3=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+1∈[0，3]；（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f（B）=f（60°）=22、解：⑴，对称轴为． (1)分在上单调．或，····3分或．又，或．········5分⑵若，则，···6分当，即时，．···8分当，即时，．···10分综上所述：．······12分3、解：（1）由222a b c ac bc ca++=++得222()()()0a b b c c a-+-+-=…………………………………………………………3分所以0a b b c c a-=-=-=，所以a b c==………………………………………………4分即ABC∆是正三角形…………………………………………………………………………5分（2）因为ABC∆是等边三角形，2BC CD=，所以2AC CD=，120ACD∠=o…………………………………………………………7分所以在ACD∆中，由余弦定理可得：2222cosAD AC CD AC CD ACD=+-⋅∠，可得22744cos120CD CD CD CD=+-⋅o，解得1CD=………………………………9分在ABC∆中，33BD CD==，由正弦定理可得sinsinBD BBADAD⋅∠===…………………………………………………12分4、解：（1）由正弦定理可知：∴b=7， 边b 的长7．5、解：（Ⅰ）因为所以ba c a cb a --=+， 所以222a b ac c -=-， 所以21cos 222a cb ac B ac ac +-===，又因为π<<B 0，所以3B π=（Ⅱ）由36cos ,3==A b 可得sin A =, 由BbA a sin sin =可得2=a ，而()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以ABC ∆的面积==C ab S sin 216、（I ）由已知cos 2sin sin ,cos sin C A CB B-=即()cos sin 2sin sin cos ,C B A C B =- ()sin 2sin cos ,B C A B +=7、 解：（1）由()22c b a S --=得A bc bc A bc cos 2-2sin 21= ……2分 ()412tan ,2sin 42cos 2sin ,cos 12sin 212==-=A A A A A A ……4分1582tan 12tan2tan 2=-=A A A …6分 （2）由RC B 1sin sin =+得2=+c b ……7分由158tan =A 得178sin =A ……9分1742174174sin 212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤==c b bc A bc S ……11分 当且仅当1==c b 时，取“=”号 于是，△ABC 的面积S 最大值为174.……12分。
2018届北师大版 平面向量的概念 检测卷
[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A.FD →B.FC →C.FE →D.BE → 答案 D解析 由题图，知DB →＝AD →，则AF →－DB →＝AF →－AD →＝DF →.由三角形中位线定理，知DF →＝BE →.故选D.2．[2017·嘉兴模拟]已知向量a 与b 不共线，且AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，则点A ，B ，C 三点共线应满足 ( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1答案 D解析 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝kAC →，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，所以λa ＋b ＝k a ＋μk b ，所以λ＝k,1＝μk ，故λμ＝1.3．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( )A.OA →＝13AB →＋23BC →B.OA →＝23AB →＋13BC →C.OA →＝13AB →－23BC →D.OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.4．[2017·安徽六校联考]在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DE →＝2EC →，则BE →＝( )A ．b －13a B ．b －23a C ．b －43a D ．b ＋13a 答案 C解析 因为BE →＝AE →－AB →＝AD →＋DE →－AB →，所以BE →＝BC →＋23AB →－AB →＝AC →－AB →＋23AB →－AB →＝b －43a ，故选C.5．如图，在△ABC 中，|BA →|＝|BC →|，延长CB 到D ，使AC →⊥AD →，若AD →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 由题意可知，B 是DC 的中点，故AB →＝12(AC →＋AD →)，即AD →＝2AB →－AC →，所以λ＝2，μ＝－1，则λ－μ＝3.6．在△ABC 中，D 为边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 因为AD →＝2DB →，所以AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)．在△ACD 中，因为CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.答案 2解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →⊥AC →，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.8．[2017·泉州四校联考]设e 1，e 2是不共线的向量，若AB →＝e 1－λe 2，CB →＝2e 1＋e 2，CD →＝3e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．答案 2解析 ∵CB →＝2e 1＋e 2，CD →＝3e 1－e 2，∴BD →＝CD →－CB →＝(3e 1－e 2)－(2e 1＋e 2)＝e 1－2e 2，若A ，B ，D 三点共线，则AB →与BD →共线，存在μ∈R 使得AB →＝μBD →，即e 1－λe 2＝μ(e 1－2e 2)，由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，－λ＝－2μ，解得λ＝2.9．[2017·合肥模拟]已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，求实数λ的值．解 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)， 于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12. 又因为k <0，所以λ<0, 故λ＝－12.10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，∠AOB ＝90°，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m n 的值．解 如图所示，因为OB ⊥OA ，设|OC →|＝2，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，所以四边形ODCE 是矩形，OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OE →.因为|OC →|＝2，∠COD ＝30°，所以|DC →|＝1，|OD →|＝ 3. 又因为|OB →|＝3，|OA →|＝1，所以OD →＝3OA →，OE →＝33OB →， OC →＝3OA →＋33OB →，此时m ＝3，n ＝33，所以m n ＝333＝3.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．如图所示，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD交于点E ，则下列说法错误的是( )A.AC →＝AB →＋AD →B.BD →＝AD →－AB →C.AO →＝12AB →＋12AD →D.AE →＝53AB →＋AD →答案 D解析 由向量的加法和减法，知道A 、B 正确；由中点公式知道C 正确，而△DNE ∽△BNA ，所以DE BA ＝DN NB ＝13，所以AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋13AB →，故D 错误．12．[2014·福建高考]设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 答案 D解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D.13. 如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|O B →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．答案 6解析 以OC 为对角线，OA →，OB →的方向为边的方向作平行四边形ODCE (图略)．由已知，得∠COD ＝ 30°，∠COE ＝∠OCD ＝90°. 在Rt △OCD 中，|OC →|＝23，|OD →|＝|OC →|cos30°＝4. 在Rt △OCE 中，|OE →|＝|OC →|tan30°＝2. OD →＝4OA → ，OE →＝2OB →.因为OC →＝OD →＋OE →＝4OA → ＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2. 所以λ＋μ＝6.14．设点O 在△ABC 内部，且有4OA →＋OB →＋OC →＝0，求△ABC 与△OBC 的面积之比．解 取BC 的中点D ，连接OD ，则OB →＋OC →＝2OD →，∵4OA →＋OB →＋OC →＝0，∴4OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →， ∴OA →＝－12OD →.∴O 、A 、D 三点共线，且|OD →|＝2|OA →|， ∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点， ∴S △ABC ∶S △OBC ＝3∶2.。
2018届北师大版(理) 三角函数 单元测试
1、（2016年天津市高考）在△ABC 中，若=13AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC = （ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）42、（2015年天津市高考）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==-则a 的值为 . 3、（和平区2016届高三第四次模拟）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若2a b +=，ABC ∆的面积为1sin ,sin sin 2sin 6C A B C +=，则C 的值为______4、（河北区2016届高三总复习质量检测（三））在锐角ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若22sin 3A =，22ABC a S ∆==，，则b 的值为_______________． 5、（河北区2016届高三总复习质量检测（一））在锐角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若=7a ，=3b ，7sin +sin =23B A ，则cos B 的值为_____________．6、（河东区2016届高三第二次模拟）在三角形ABC 中，A ∠的平分线为AD ，点D 在边BC 上，3=AD ，4=AC ，2=CD ，则A cos 的值为( )A ．3227 B ．43C ．3217-D ．32177、（河西区2016届高三第二次模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2=b ，6π=B ，4π=C ，则ABC ∆的面积为（A ）232+（B ）13+（C ）232- （D ）13-8、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查（一））已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且CB Aa cbc sin sin sin +=--，则=B （A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）43π 9、（红桥区2016届高三上学期期末考试）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =7，3c =，则B = .10、（红桥区2016届高三上学期期末考试）在若tan α＝2，则2sin cos sin 3cos αααα-+= .11、（红桥区2016届高三上学期期中检测）函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（A ）4x π=-（B ）2x π=-（C ）8x π=（D ）4x π=12、（天津市六校2016届高三上学期期末联考）在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C所对的边，54cos =A ,2=b ,面积3=S ，则a 为 .A 53 .B 13 .C 21 .D 1713、（天津市十二区县重点高中2016届高三毕业班第一次联考）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ABC ∆的面积为S ，且226c b a S -+=）（，则C tan 等于 A ．125 B ．125- C ．125 D ．125-14、（天津市十二区县重点学校2016届高三下学期毕业班联考（二））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ,,3))((bc a c b c b a =-+++23,tan ,4a B ==则b 的值为_________ 15、（和平区2016届高三下学期第二次质量调查）在△ABC 中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知b c 32=,B A sin 2sin =, 则BAcos cos 的值为 .二、解答题1、（2016年天津市高考）已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-)-3.(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.2、（2015年天津市高考）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.3、（天津市八校2016届高三12月联考）ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知b c a 66=-，C B sin 6sin =． (Ⅰ) 求A cos 的值； (Ⅱ) 求)62cos(π-A 的值；4、（和平区2016届高三第四次模拟）已知3sin tan 2αα=，且0απ<<． （Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）求函数()()4cos cos f x x x α=-在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．5、（河北区2016届高三总复习质量检测（三））已知函数πππ()=12sin(+)[sin(+)cos(+)]888f x x x x --，x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数π()8f x +在区间π[0]2-，上的最大值和最小值．6、（河北区2016届高三总复习质量检测（一）） 已知函数2()sin cos 3cos f x x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0]2x ∈，时，求()f x 的最大值和最小值．7、（河东区2016届高三第二次模拟）已知函数)( 41-)sin2x 62cos()(R x x x f ∈-=π（1）求函数)(x f 的最小正周期及其单调减区间；（2）求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,4π上的最大值和最小值．8、（河西区2016届高三第二次模拟）已知函数)4tan()(πω+=x x f （0>ω）的最小正周期为2π.（Ⅰ）求ω的值及函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若3)2(=αf ，求α2tan 的值.9、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查（一））已知函数-=x x f ωsin 23)(212sin 2+x ω)0(>ω的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值及函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）当0[∈x ，]2π时，求函数)(x f 的取值范围.10、（红桥区2016届高三上学期期末考试）函数)2,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 在同一个周期内，当4π=x 时y 取最大值1，当127π=x 时，y 取最小值1-。
2018届北师大版 三角恒等变换、解三角形 检测卷
第一部分 专题三 第2讲1．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解析：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3. (2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332. 2．(2016·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a 的取值范围．解析：(1)f (x )＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1， 即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到． ∴函数f (x )取最大值时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π6，k ∈Z }．(2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3. 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc . 由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝ 1，即a 2≥1，当b ＝c ＝1时取等号．又由b ＋c >a 得a <2，∴a 的取值范围是[1,2)．3．(2016·山西太原一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．解析：(1)∵c ＝2，C ＝π3， ∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ， ∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，∴sin B cos A ＝2sin A cos A ，①当cos A ＝0时，A ＝π2； ②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433， ∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6. 综上所述，A ＝π2或A ＝π6. 4．如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos A sin A； (2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2的值． 解析：(1)证明：tan A 2＝sin A 2cos A 2＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝1－cos A sin A . (2)由A ＋C ＝180° ，得C ＝180° －A ，D ＝180° －B ， 由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos (180° －A )sin (180° －A )＋1－cos (180° －B )sin (180° －B )＝2sin A ＋2sin B . 连接BD .在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ．则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22(AB ·AD ＋BC ·CD )＝62＋52－32－422(6×5＋3×4)＝37. 于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫372＝2107.连接AC ．同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22(AB ·BC ＋AD ·CD )＝62＋32－52－422(6×3＋5×4)＝119， 于是sin B ＝1－cos 2B －1－⎝⎛⎭⎫1192＝61019， 所以，tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103. 5．设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解析：(1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 6．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解析：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2＋1； 当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取得最小值0. 综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 7．(2016·山东济南模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间． 解析：(1)在△ABC 中，∵S ＝12bc sin A ， ∴23＝12×4×c ×32，∴c ＝2. ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×4×2×12＝2 3. (2)∵a sin A ＝b sin B ，即2332＝4sin B，∴sin B ＝1，又0<B <π，∴B ＝π2，∴C ＝π6， ∴f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )， 故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 8．(2016·辽宁协作体一模)设△ABC 是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c )．解析：(1)∵(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ， ∴sin 2A －sin 2B ＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B ⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B ， 即sin 2A ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34(cos 2B ＋sin 2B )＝34， ∵角A 为锐角△ABC 的内角，∴sin A >0， ∴sin A ＝32，∴A ＝π3. (2)AB →·AC →＝bc cos A ＝12，∴bc ＝24，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝(27)2，∴b ＋c ＝10，又∵b <c ，∴b ＝4，c ＝6.。
2018秋新版高中数学北师大版4习题：第二章平面向量 检测
第二章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列等式成立的是()AB.a·0=0C.(a·b)c=a(b·c)D.|a+b|≤|a|+|b|答案:D2.设P是△ABC所在平面内的一点则A0B0C0D0解析:由可得P是边AC的中点,从而0.答案:B3.已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为则下列结论中一定成立的是A.a=bB.|a|=|b|C.a⊥bD.a∥b解析:因为向量a+b与向量a-b的夹角为所以(a+b)⊥(a-b),即(a+b)·(a-b)=0,所以|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|.答案:B4.已知点A(1,2),B(2,-1),C(2,2),若则A.5B.-5C.3D.-3解析:由已知,得答案:C5.设O,A,M,B为平面上四点且∈(1,2),则()A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上D.O,A,M,B四点共线解析:由题意可知即∴A,M,B三点共线.又λ∈(1,2),∴点B在线段AM上.答案:B6.已知△ABC满足则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析:则故△ABC为直角三角形.答案:C7.已知C为△ABC的一个内角,向量m=(2cos C-1,-2),n=(cos C,cos C+1).若m⊥n,则角C=() AC解析:由m⊥n,得(2cos C-1)·cos C-2(cos C+1)=0,即2cos2C-3cos C-2=0,解得cos C=或cos C=2(不符合题意,舍去).∵C∈(0,π),∴C答案:C8.下列说法中正确的个数为()②若a·b<0,则a与b的夹角是钝角;③向量e1=(2,-3),e2-能作为平面内所有向量的一组基底④若a∥b,则a在b方向上的投影为|a|.A.1B.2C.3D.4解析:正确;当|a|=|b|=1且a与b反向时,a·b=-1<0,但a与b的夹角为180°,②不正确;因为e1=4e2,所以e1∥e2,所以向量e1,e2不能作为基底,③不正确;若a∥b,则a与b的夹角为0°或180°,所以a在b方向上的投影为|a|·cos θ=±|a|,④不正确.故选A.答案:A9.已知O是△ABC外接圆的圆心.若0,则∠ACB=()A解析:由O是△ABC外接圆的圆心,设由0,可得平方可得R2∠ACB+25R2),解得cos2∠ACB故由题意得,∠ACB答案:A10.已知k∈Z若则△ABC是直角三角形的概率为()A解析:由及k∈Z,知k∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}.若与垂直,则2k+4=0,解得k=-2;若与垂直,则k(k-2)-3=0,解得k=-1或3;若与垂直,则·(k-2,-3)=2k-4-12=0,即k=8,不符合题意,所以△ABC是直角三角形的概率是答案:C11.若非零向量a,b满足|a|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为()A解析:由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ,所以3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0,即3·b|2cos θ-2|b|2=0,整理,得cos θ故答案:A12.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至点E,使得DE=CD.若动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A,其中则下列判断中正确的是A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个C.λ+μ的最大值为3D.λ+μ的最小值不存在解析:由题意可知,λ≥0 μ≥0 当λ=μ=0时,λ+μ的最小值为0,此时点P与点A重合,故D错误;当λ=1,μ=1时,点P也可以在点D处,故A错误;当λ=1,μ=0,λ+μ=1时,点P在点B处,当点P在线段AD的中点时,λ=μ亦有λ+μ=1.所以B错误.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.设向量a=(x,3),b=(2,1).若对任意的正数m,n,向量m a+n b始终具有固定的方向,则x=. 解析:当a与b共线时,向量m a+n b始终具有固定的方向,所以x=6.答案:614.直线l经过原点O,且与向量a=(2,3)垂直,则直线l的方程为.解析:设直线l上的一点为A(x,y),则为直线l的方向向量.由题意,知·a=0,所以2x+3y=0,故直线l的方程为2x+3y=0.答案:2x+3y=015.在△ABC中,点M,N满足若则解析:如图,∴x答案:16.关于平面向量有下列四个命题:①若a·b=a·c,则b=c;②已知a=(k,3),b=(-2,6),若a∥b,则k=-1;③若非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°;-其中正确的命题为写出所有正确命题的序号⇒k=-1,②正确;③中,解析:①中,a·b=a·c⇒a·(b-c)=0,当a=0时也成立,①不正确;②中,若a∥b,则-由已知可得a,b的夹角为60°,a与a+b的夹角为30°,③正确;④中-正确.答案:②③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,在▱ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,G为DE与BF的交点.若a b,试以a,b为基底表示解连接AE,AF,BD.=a=b因为G是△CBD的重心,所以a+b).18.(12分)设在上是否存在点使若存在求出点的坐标若不存在请说明理由解设存在点M,且≤λ≤1)则∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0.∴45λ2-48λ+11=0,解得λ或或∴存在点M(2,1)或使19.(12分)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P满足∈R).(1)当λ为何值时,点P在正比例函数y=x的图像上?(2)设点P在第三象限,求λ的取值范围.解由已知,知A,B,C三点的坐标依次是(2,3),(5,4),(7,10).设点P的坐标为(x1,y1),则即由得(x1-2,y1-3)=(3+5λ,1+7λ).由此可得--⇒所以点P的坐标是(5+5λ,4+7λ).(1)令5+5λ=4+7λ,可得λ所以,当λ时,点P在正比例函数y=x的图像上.(2)因为点P在第三象限,所以解得λ<-1,所以λ的取值范围是(-∞,-1).20.(12分)如图,在矩形ABCD中,e1e2(1)若e1+y e2,求x,y的值;(2)求与的夹角的余弦值解(1)∵e1e2e1+3e2,∴x=4,y=3.(2e2-4e1.设与的夹角为θ,∵e1|=|e2|=1,e1·e2=0,∴cos θ) -)21.(12分)在△ABC中,设(1)求证:△ABC为等腰三角形;(2)若且求的取值范围(1)证明因为所以又0,则所以-所以即AB=BC,故△ABC为等腰三角形.(2)解因为B∈所以cos B∈-设AB=BC=a,则由得即a2+a2+2a2cos B=4,所以a2所以B又cos B∈-所以-22.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足(1)求证:A,B,C三点共线;(2)求的值(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈的最小值为求实数的值(1)证明即又AC,AB有公共点A,∴A,B,C三点共线.(2)解由(1)得(3解x,cos x)-(1,cos x)=(cos x,0).∵x∈∴cos x∈[0,1].∴x|=cos x.∴x,cos x)+(1,cos x)=(3+2cos x,3cos x),∴f(x)=1x+cos2x x=(cos x-m)2+1-m2,cos x∈[0,1].若m<0,则当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为相矛盾,即m<0不符合题意; 若0≤m≤1 则当且仅当cos x=m时,f(x)取得最小值1-m2.由1-m2=得m=舍去);若m>1,则当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m.由2-2m=得m综上所述,实数m的值为。
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三角函数、平面向量一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分．每小题只有一个正确答案）1.定义：||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅ ，其中θ为向量与的夹角，若||2a = ，||5b = ，6a b ⋅=- ，则||a b ⨯等于 （ ）A ．8-B ．8C ．8-或8D ．6 2.函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．(,]()4k k k Z πππ-∈B ．(,]()88k k k Z ππππ-+∈C ．3(,]()88k k k Z ππππ-+∈D ．3(,]()88k k k Z ππππ++∈3.下列命题正确的个数有 （ ）①若a ∥b ，则存在唯一实数λ，使b a λ=成立；②设12,e e是平面内的两个已知向量，则对平面内的任意向量a ，存在唯一的一组实数,x y ，使12a xe ye =+成立；③若向量,,a b c 满足0a b c ++= ，则表示,,a b c的三个有向线段构成三角形.A ．0 B.1 C .2 D .3 4.下列函数中同时具有①最小正周期是π；②图象关于点（6π,0）对称这两个性质的是（ ） A ．y ＝cos （2x ＋6π） B .y ＝sin （2x ＋6π）C .y ＝sin （2x ＋6π）D .y ＝tan （x ＋6π）5.已知平面直角坐标系内的两个向量)23,(),2,1(-==m m b a ，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成b a c μλ+=（μλ,是实数），则m 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞6.已知cos (02)y x x π=≤≤的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是 （ ）A ．4πB ．2πC ．8D ．47.已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA OB OC ++=0，则下列结论正确的是 （ ） A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =+C ．1233OA AB BC =--D ．2133OA AB BC=--8.函数)0(tan )(>=ωωx x f 的图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．-1D ．4π 9.若方程1cos +=ax x 恰有两个解，则实数a 的取值集合为 （ ）A . 2222,,33ππππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B . 22,00,ππ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C . 22,ππ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .{}22,ππ- 10.已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于 ( )A ．3B ．－3C ．0D ．211.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AO AC AB 2=+，且||||=，则向量在向量方向上的射影为（ ）A ．23 B ．23 C . 3 D . 23- 12.已知圆P 的方程为22(3)(2)4,x y -+-=直线y mx =与圆P 交于A 、B 两点，直线y nx =与圆P 交于C 、D 两点，则OA OB OC OD ⋅+⋅(O 为坐标原点)等于（ ）A . 4B . 8C . 9D . 18 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题后横线上）13.已知cos sin 2αα-=则sin cos αα⋅的值为_______________.14.若M 为ABC ∆内一点，且满足AM 4143+=,则ABC ABM ∆∆与的面积之比为_________.15.已知[0,2)x π∈，若xx x x x tan 2cos 1cos 1cos 1cos 1-=+---+, 则角x 的取值范围为_________________.16.关于平面向量有下列四个命题：①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ； ②已知(,3),(2,6)k ==-a b ．若∥，则1k =-；③非零向量a 和b ，满足||=|a |=|b |a -b ，则a 与a +b 的夹角为30 ；④()()0||||||||+⋅-=a b a ba b a b ．其中正确的命题为___________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，(Ⅰ)k a ＋b 与a －3b 垂直？(Ⅱ)k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？18.（本小题满分12分）已知角α终边上一点0),3,4(≠-a a a P ，求（Ⅰ）)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值； （Ⅱ）222sinsin cos cos αααα-+的值19.（本小题满分12分）已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，求λ的取值范围．20.（本小题满分12分）已知△ABC ，A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN与AD 交于F （Ⅰ）求DF ．（Ⅱ）若点P 满足＝AB ＋λ(λ∈R)，试求 λ为何值时，点P 在第三象限内？21.（本小题满分12分） 函数)2,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 在同一个周期内，当4π=x 时y 取最大值1，当127π=x 时，y 取最小值1-. （Ⅰ）求函数的解析式).(x f y =（Ⅱ）函数x y sin =的图象经过怎样的变换可得到)(x f y =的图象？（Ⅲ）若关于x 的方程22()()0f x f x a -+=在区间[0,]2π上有根，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）ΔABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且543=++ （Ⅰ）求数量积，⋅，⋅，OA ⋅； （Ⅱ）求ΔABC 的面积.三角函数、平面向量答案一、选择题二．填空题 13.18 14．14 15. 33(,)(,2)22ππππ 16.②③④三、解答题17. 解：(1)k a ＋b ＝k ×(1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3×(－3,2)＝(10，－4)． 当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由10(k －3)＋(2k ＋2)(－4)＝0， 解得k ＝19.即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．---------------------------------5分(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一的实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得⎩⎨⎧k ＝－13，λ＝－13.即当k ＝－13时，两向量平行．∵λ＝－13，∴－13a ＋b 与a －3b 反向．---------------------------------10分18. 解：（1）∵43tan -==x y α ∴43tan cos sin sin sin )29sin()211cos()sin()2cos(-==⋅-⋅-=+---+ααααααπαπαπαπ---------------------------------6分（2）2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα-+-+=+ 222tan tan 146tan 125ααα-+==+---------------------------------12分19. 解：由条件知，cos45°＝a ·b|a |·|b |，∴a ·b ＝3，设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝(a ＋λb )·(λa ＋b )|a ＋λb |·|λa ＋b |<0，∴(a ＋λb )(λa ＋b )<0.λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a ·b <0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856.--------------------------------8分若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反， ∴存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧kλ＝1λ＝k ，∴k ＝λ＝－1，∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1. --------------------------12分20. 解：（1）解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，＝(－4，－3)， ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点，∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴ F 是AD 的中点，∴ ＝－＝－21＝－21(－27，－4)＝(47，2)．---------------------------------6分 (2)设点P 的坐标为(x ，y )，则＝(x ，y )－(7，8)＝(x －7，y-8)． ＋λAC ＝(3，5)－(7，8)＋λ［(4，3)－(7，8)］ ＝ (-4-3λ，-3-5λ)．∵ AP ＝＋λAC ，∴ (x －7，y －8)＝(-4-3λ，-3-5λ)．∴ 即33,55x y λλ=-⎧⎨=-⎩要使点P 在第三象限内，只需330550λλ-<⎧⎨-<⎩ 解得 1λ>．---------------------------------12分21. 解：(1)3)4127(22=∴-⨯=ωππωπ又因,2243,1)43sin(ππϕπϕπ+=+∴=+k 又,4,2πϕπϕ-=∴<∴函数)43sin()(π-=x x f ---------------------------------4分(2)x y sin =的图象向右平移4π个单位得)4sin(π-=x y 的图象(第20题)再由)4cos(π-=x y 图象上所有点的横坐标变为原来的31.纵坐标不变， 得到)43sin(π-=x y 的图象. ---------------------------------8分（3）因为)43sin()(π-=x x f ，[0,]2x π∈，所以53[,]444x πππ-∈-，所以()sin(3)[42f x x π=-∈-，2211212()()2[()][,].4828a f x f x f x +=-+=--+∈---------------------------------12分22. 解：（1）∵||=||=||=1，由3＋4＋5=得 3＋4=－5两边平方得 9 2＋24·＋162=252 ∴ ·=0同理，由4＋5=－3，得·=－45，由3＋5=－4，得·=－35。