8-1多元函数基本概念

20
lim f ( x, y)
念多
x x0 y y0
元 函 数
说明
的 基
本
(1) 定义中 P P0的方式是任意的；
概
(2) 二元函数的极限也叫二重极限. (double limit)
21
例2
求证lim( x2 x0

y2 )sin
x2
1
y2

0
y0
证
(x2

y2 )sin
x2
1
必有以下三种关系中的一种:
念多
元
(1) 内点 设E为一平面点集,点P E, 若存在
函 数
0,使U(P) E, 称P为E的 内点.(P1)
的 基
显然, E的内点属于E.
本
P3
P1
概
(2) 外点 如果存在点P的某个邻域 U(P),
E
使U(P) ∩ E = , 则称P为E的外点.(P2 )
y2

0

x2

y2
sin
x2
1
y2
x2 y2
0, ,
当 0 ( x 0)2 ( y 0)2 时，
(x2

y2 )sin
x2
1
y2

0


原结论成立．
22
多元函数的极限与一元函数的极限的
念多
元
相同点和差异是什么
函 数
相同点 定义相同.
研究单值函数
z
z f (x, y)
M
念多 元 函 数 的 基 本 概
y
O
y
x
P
D
x
二元函数的图形通常是一张曲面.
15
如,由空间解析几何知, 函数
念多
元
z R2 x2 y2
函 数
的图形是以原点为中心, R为半径的上半球面.
的 基
本
又如,z xy 的图形是双曲抛物面.
概
最后指出, 从一元函数到二元函数, 在内容 和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元 函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以 二元函数为主.
V 称 p为两个变量T,V 的函数, 其中 0 T ,
0 V .
10
定义1
设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
念多 元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数 的
基
每取定一个点P(x, y)时, 按着这个关系有确定的
本 概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为
x0
x0
y0
y kx 0
若其依赖于k, 则 lim f ( x, y)不存在. x0 y0 (2) 求极限值. 常按一元函数极限的求法求之.
(罗必达法则除外)
(3) 研究二重极限与累次极限(二次极限)间的关系.
28
例
求极限
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
.

0,
x2 y2 0
证明: 当 x 0, y 0时,函数的极限不存在.
证明： 当P(x, y) 沿直线 y = kx 的方向
无限接近点(0,0)时,
lim
x0
xy x2 y2

lim
x0
x2
kx 2 k2x2

k 1 k2
y0
ykx
其值随k的不同而变化. 所以,极限不存在．
function of many variables
第一节 多元函数的基本概念
预备知识 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结 思考题 作业
1
一、预备知识
念多
1. 平面点集 n 维空间
元 函
一元函数
R1
数 的
平面点集
R2
基 本
n 维空间
Rn
概
(1) 平面点集
建立了坐义n元函数.
的 基
二元及二元以上的函数统称为 多元函数. 本 概
(2) 多元函数定义域
实际问题中的函数: 定义域为符合实际意义的
自变量取值的全体.
纯数学问题的函数: 定义域为使运算有意义的
自变量取值的全体.
12
例 求下面函数的定义域
念多
元
1. z xy
函 数
的
解
xy

0,
即定义域为
5
开集 若E的任意一点都是内点, 称E为开集.
例 E1 {( x, y)1 x2 y2 4} E1为开集.
念多 元
函
平面区域
数 的
设D是开集. 如对D内任何两点, 都可用折线连
基 本
结起来,且该折线上的点都属于D, 称开集D是连通的. 概
连通的开集称区域 或开区域.
如 {( x, y)1 x2 y2 4},

1 2
念多 元 函 数 的 基 本 概
极限不存在.
27
多元函数的极限的基本问题有三类
(1) 研究二元函数极限的存在性.
念多 元
* 欲证明极限存在, 常用定义或夹逼定理.
函 数
* 欲证明极限不存在 (通过观察、猜测),
的 基
常选择两条不同路径, 求出不同的极限值.
本 概
特别对于 lim f ( x, y), 常研究 lim f ( x, y),
元 函
U (P0 , ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 }
数 的 基
称之为点P0的邻域, 有时简记为U (P0 ).
本 概
几何表示： y
. P0

注
O
x
将邻域去掉中心, 称之为去心邻域. U (P0 , )
3
任意一点 P R2 与任意一点集 E R2 之间
7
y
O
x
有界开区域
y
y
O
x
有界闭区域
y
念多 元 函 数 的 基 本 概
O
x
有界半开半闭区域
O
x
无界闭区域
8
(2) n 维空间 n 元有序数组 ( x1, x2 ,, xn )的全体
念多
称为 n 维空间. 记作 Rn; 即
元 函
Rn R R R {( x1, x2 , xn ) xi R, i 1,2,}.
x

y

0和 0

x y

0 0
基 本 概
y
O
x
无界闭区域
13
2. z 2 x x2 y2 x2 y2 1
念多 元 函 数
的
基
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本 概
y

O
1
x
有界半开半闭区域
14
2. 二元函数的几何意义
数 的
基
本
(2) 找两种不同趋近方式, 使 lim f ( x, y)存在, 概
x x0
y y0
但两者不相等, 此时也可断言f ( x, y)在点
P0( x0 , y0 )处极限不存在.
关于二元函数的极限概念可相应地推广 到n元函数上去.
24
设函数
f
(
x
,
y
)


x
2
xy
y
2
,
x2 y2 0
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
的定义域, 数集 z z f ( x, y), ( x, y) D
称为该函数的 值域.
11
函数 z f ( x, y) 在点P( x0 , y0 )处的函数值
念多
记为 f ( x0 , y0 ) 或 f ( P0 ).
念多 元 函 数 的 基 本 概
25
极限
lim
x0
x2 y x4 y2
是否存在？
y0
解 取 y kx,
x2 y x4 y2

kx3 x4 k2x2

kx x2 k2

lim
x0 ykx
f (x,
y)
lim
x0 ykx
kx x2 k2

0
念多 元 函 数 的 基 本 概
本 概
成立. 则称A为z f ( x, y)当( x, y) ( x0 , y0 )时
的极限. 记作 lim f ( x, y) A ( x, y )( x0 , y0 )
或 f ( x, y) A ( 0)
也记作
lim
P P0
f (P)
A
或
f (P)
A (P

P0 ).
当P(x,y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时,
lim f ( x,0) 0
x0
当P(x,y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时, lim f (0, y) 0
y0
26
极限
lim
x0
x2 y x4 y2
是否存在？
y0
取 y x2,
x2 y x4 y2

x4 x4 x4
U( P0,δ ) {P PP0 δ, P Rn }.
9
二、多元函数的概念
1. 二元函数的定义 (1) 定义 例 理想气体的状态方程是 pV RT
念多
元
函
数
的
基
(R为常数)
本 概
其中p为压强, V为体积, T为温度.
如温度T、体积V都在变化, 则压强 p依赖 于T,V 的关系是 p R T
本 概
注 (1) P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的 方向有任意多个,
路径又是多种多样的.
y (x, y) (x, y)
(x, y)
(x, y)
(x0 , y0 )
(x, y)
O
x
y (x, y) (x, y)
(x, y)
(
x,
(
y)
x0
,
y0
)
O
x
18
(2) 变点P(x,y)与定点P0(x0,y0)之间的距离记为
P2
(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点,
也有不属于E的点, 称P为E的边界点. (P3 ) E的边界点的全体称为E的边界, 记作 E.
4
聚点 如果对于任意给定的 0,点P的去心邻域 念 多
元
U(P , ) 内总有E中的点 (P本身可属于E,也可不
函 数
属于E ), 则称P是E的 聚点.
16
z xy 的图形是双曲抛物面(马鞍面). 它在xOy平面上的投影是全平面.
z
O
y
x
17 17
三、多元函数的极限
念多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
念
多 元 函
数
( x x0 )2 ( y y0 )2 PP0
的 基
本
不论 P( x, y)趋向于P( x0, y0 )的过程多复杂, 概
总可以用 0 来表示极限过程:
P( x, y) P0 ( x0 , y0 )
这样,可以在一元函数的基础上得出 二元函数极限的一般定义.
19
定义2 ( )设二元函数 f (P) f ( x, y)的定义
义域为D, P0(x0, y0)是D的聚点. 如果存在常数 A,
念多 元
函
0, 0, 当0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ,
数 的 基
有
f (P) A f (x, y) A
的 基 本
概
差异为 一元函数在某点的极限存在的充要
条件是左右极限都存在且相等; 而多元函数
必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋
于P0时, f (P) 都有极限,且相等.
23
确定极限不存在 的方法
念多
(1) 令P( x, y)沿直线 y kx趋向于P0( x0, y0 ),
元 函
若极限值与 k 有关, 则可断言极限不存在;
的 基
本
例如, 设点集 E {( x, y)1 x2 y2 2},
概
点P( x0 , y0 ) R2 ,若1 x02 y02 2,则P为E的内点;
若 x02 y02 1或 x02 y02 2,则P为E的边界点, 也是E的聚点.
E的边界 E 为集合
{( x, y) x2 y2 1} {( x, y) x2 y2 2}.
{( x, y) x y 0}
都是区域.


y
x y0

x y0
O
x
6
开区域连同其边界,称为 闭区域.
念多
如{( x, y)1 x2 y2 4}, {( x, y) x y 0}
元 函
都是闭区域 .
数 的
基
有界区域
本 概
总可以被包围在一个以原点为中心、半径
适当大的圆内的区域, 称此区域为有界区域. 否则称为无界区域 (可伸展到无限远处的区域 ).
0 0

y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0

lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)

y0
x2 y x2 y2
实数组(x, y)的全体, 即
R2 R R {( x, y) x, y R} 坐标面
坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为 平面点集, 记作 E {( x, y) ( x, y)具有性质P}.
2
R2
邻域 (Neighborhood)
念多
设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, 0, 令
数 的
n 维空间中的每一个元素 ( x1, x2 ,, xn )称为空间中
基 本 概
的一个点,数xk 称为该点的第k个坐标.
n维空间中两点 P ( x1, x2 ,, xn )及Q ( y1, y2 ,, yn )
的距离定义为
PQ ( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2 n 维空间中点 P0 的邻域为