习题1_多元函数的基本概念
高等数学中的多元函数的基础概念详解
高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中，多元函数是一种非常重要的概念。
它是研究多变量之间关系的数学工具，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。
一、多元函数的定义多元函数是指在数学上，将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。
通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$，表示存在一种从输入向输出的映射关系。
例如，$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数，它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。
多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时，函数值的变化也应该非常微小。
具体来说，如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时，有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$，那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。
这与一元函数的连续性概念是类似的。
三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的，它描述的是函数在某一点上的变化率。
但是多元函数的导数有一些特殊的性质，如方向导数、梯度等。
在二元函数的情况下，如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导，则有：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。
高等数学2第九章答案_37700
习题9-1 多元函数的基本概念1.求下列各函数的定义域： （1）ln(z y x =-（2）u =2.求下列各极限： （1）(,)(0,0)limx y →；（2）(,)(2,0)tan()limx y xy y →.（3）2222()lim()x y x y x y e-+→∞→∞+令22u x y =+，原式1limlim 0u uu u u e e →∞→∞===（4）()(,0,0limx y →令t =23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t xt t t t t t +++→→→--==== 习题9-2 偏导数1.求下列函数的偏导数： （1）2sin()cos ()z xy xy =+；（2）(1)y z xy =+；（3）arctan()z u x y =-.（4）设()23y z xy x ϕ=+，其中()u ϕ可导，证明22z z x y xy x y∂∂+=∂∂ 解 ()()222,33z y z yy xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂左边()()22222233z y y x y x y xy y xy x xy x x ϕϕ∂⎡⎤''=+=-++=+=⎢⎥∂⎣⎦右边2.求下列函数的22z x ∂∂，22z y ∂∂和2zx y∂∂∂.（1）arctany z x=；（2）x z y =.习题9-3 全微分1.求下列函数的全微分： （1）y xz e =；（2）yzu x =.（3）sin2yz yu x e =++. 解11,c o s ,22yz yz u u y uze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂，所求的全微分为 1cos 22yz yz y du dx ze dy ye dz ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭‘（4）()222tanz y x u ++=解 u x ∂=∂， u y ∂=∂u z ∂=∂)du xdx ydy zdz =++2.求函数yz x=，当2x =，1y =，0.1x ∆=，0.2y ∆=-时的全增量和全微分。
多元函数基本概念
多元函数基本概念多元函数是数学中常见的概念，它与一元函数相比具有更加复杂的性质和表达方式。
在本文中，将介绍多元函数的基本概念，包括定义域、值域、级数、偏导数以及极值等。
一、定义域和值域在讨论多元函数之前，我们首先需要明确定义域和值域的概念。
对于一个多元函数，其定义域是指所有自变量可以取值的集合，通常用D表示。
而值域则是函数在定义域上所有可能取到的函数值的集合，通常用R表示。
例如，考虑一个二元函数f(x, y)，其定义域可以是实数集合R，而值域也可以是实数集合R。
二、偏导数偏导数是多元函数的一种导数形式，用于描述函数在某个给定自变量上的变化率。
对于一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。
需要注意的是，对于每个自变量，都要分别计算其对应的偏导数。
三、级数多元函数的级数是指将多个单变量函数按照一定方式组合而成的函数序列。
常见的多元函数级数有泰勒级数和傅里叶级数等。
泰勒级数是指将一个多元函数在某个点附近展开成幂级数的形式。
通过选择适当的展开点和级数项，可以将函数在该点附近近似表示。
泰勒级数在数学和物理学中有广泛的应用，特别是用于函数的近似计算和数据拟合等方面。
傅里叶级数是指将一个局部有界的周期函数分解成一组正弦和余弦函数的级数。
通过傅里叶级数的展开，可以将周期函数在全局范围内表示，并进行频谱分析和信号处理等操作。
四、极值多元函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与一元函数不同的是，多元函数的极值可能在某些特定点取得，也可能在边界或无穷远处取得。
求解多元函数的极值通常需要使用极值判定条件。
常见的方法有利用偏导数等于零来确定驻点，然后通过二阶偏导数判定极值类型。
同时，还要考虑定义域的边界条件，以确定是否存在边界极值。
总结在本文中，我们介绍了多元函数的基本概念，包括定义域和值域、偏导数、级数以及极值。
多元函数的基本概念
sin xy lim ( x , y )( 0 , 2 ) x 2 sin( x y) (2) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
(1)
1 (3) lim ( x y ) sin 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y2
二 多元函数的极限
（一）有关概念 （二）多元函数极限的定义
二元函数的图形 对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的
函数值为z=f(x,y). 当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集
z
M
{( x, y, z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D}
称为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的定义域
0
x2 y (2) f ( x , y ) 4 x y2
当 ( x , y ) (0,0) 时
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
三、 多元函数的连续性
（一）多元函数连续性的概念
空间点集
平面点集的有关概念 二维空间：
二元有序实数组(x,y)的全体, 即： {( x , y ) | x R, y R}
记作： R 2或 R R
注 (1) 二维空间的几何意义—坐标平面
(2) 二维空间的元素— P ( x, y ) 坐标平面内的点 平面点集： 二维空间的任一子集, 记作： E R2 注 平面点集E通常是具有某种性质的点的集合, 记作： E={(x,y)|(x,y)具有性质P}
多元函数的概念
0
|
x2 y x2 y2
|
1 2
|
x(x2 y2 ) x2 y2
|
|
x 2
|
0
((x, y) (0,0))
x2 y
由夹逼定理， lim ( x, y)(0,0)
x2
y2
0.
10
在一元函数的极限中,x x0 的方式可以任意；同理, 在二元函数的极限中, P( x, y) P0 ( x0 , y0 ) 的方式更为 复杂,它要求 P 以任何方式趋于P0 时, f ( x, y) 均趋于 A.因此,假如 P 以不同的方式趋于P0 时, f ( x, y) 趋于不 同的极限,则说明 f ( x, y) 当 P P0 时无极限.
邻域内有定义,若
lim
( x, y)( x0 , y0 )
f (x, y)
f ( x0 , y0 )，
则称 z f ( x, y) 在( x0 , y0 ) 处连续.
一切二元初等函数在其定义域内都是连续的.
例如，函数 z 1 x2 y2 在 D {( x, y) | x2 y2 1}
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
注意比较：
x2y
f
( x,
y)
x2
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0) 处连续.(见例6)
15
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
所以对多元初等函数来说, 可以用“代入法”求极
例2 在西方经济学中，著名的Cobb—Douglas
多元函数的概念
x x0 x，y y0 y ，定义3中的等式
x x0 y y0
lim f ( x, y ) f ( x0 , y0 ),
就相当于
x0 y 0
lim [ f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )] 0,
即
x 0 y 0
lim f ( x,0) 0.
x 0
当P(x,y)沿y轴趋于点O(0,0)时， 即x=0，f(x,y)=f(0,y)=0(y≠0)，
lim f (0, y ) 0.
y 0
当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时，
即f(x,y)=f(x,kx)=
k (x≠0)， 2 1 k
二元初等函数的定义： 由变量x，y的基本初等函数及常数经过有限次四 则运算或复合步骤而构成的，且用一数学式子表示的 函数称为二元初等函数. 二元初等函数在其定义区域(是指包含在定义域
内的区域)内是连续.
1 3y 2x 5 , 2 如函数 sin x y , ln 2 等， 2 2 x y x y 都是二元初等函数，在它们有定义的区域内都是连
即 a x a， b y b
其图形是矩形内部(包括边界).
1 例6 求函数 z 2 2 的定义域. 1 x y
解 函数的定义域为 1 ( x 2 y 2 ) 0,
即
x 2 y 2 1.
它的图形是单位圆
内部(不包括边界)，
如图所示.
二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是 一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的 一些点. 全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为 平面开区域，简称平面区域.这三个条件是： (1) 其边界是由一条或几条曲线所组成,
8-1 多元函数的基本概念
其中：D称为定义域 f ( D)称为值域 ,
w 类似地可定义三元函数． f ( x , y , z )
n元函数 y f ( x ) f ( x1 , x2 ,, xn )
多元函数两点说明：
（1）多元函数uf(x)定义域指自然定义域
arcsin( 3 x 2 y 2 ) f ( x, y) 例1 求定义域 x y2 的． 3 x2 y2 1 解 x y2 0 2 x 2 y 2 4 2 x y
n U n维空间邻域： ( P0 , ) P | PP0 | , P R
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
1.4 二元函数的定义
定义：设区域 R 2 D 映射f : D R称为二元函数 记为：z f ( P ) f ( x, y ) P ( x , y ) D
lim
x3 y4
xy 1 x y
2 2
2
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值D
使得：f(P1) max{f(P )|PD }
f(P2) min{f(P )|PD } ．
（2）介值定理
有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于最大值 和最小值之间的任何值
2 2
去心邻域：( P , ) { P | 0 | PP0 | } U
不需要考虑邻域半径时 简记为： (P ) U
0
P
1.2 区域
E
P
P
(1)设 E 是平面 点集，点 E P 如果存 在U ( P ) E , 则称 P 为 E 的内点 . ( 2)设 E 是平面点集，点 E P 如果存在U ( P ) E , 则称 P 为 E 的外点 . ( 3)如 果 U ( P ) E 且U ( P ) E E 称P 为 E 的 边 界 点 .
第一节 多元函数的基本概念
(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
一元函数求极限的许多方法可搬到求二元函数的极 限上来．如四则运算法则、无穷小替代、两个重要 极限、夹逼定理等 .
例1
求证 lim ( x2 ( x, y )(0,0)
y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域. y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
例如：
{( x, y) | 1 x2 y2 4} 有界闭区域；
y
{( x, y) | x y 0}
o
x
无界开区域．
二元函数由对应法则 f 和定义域 D 两要素确定。
规定 二元函数的自然定义域是使算式所表达的 函数有意义的x,y所对应的点P(x,y)的全体 .
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中也有定义域、值域、自变量、因变量等概念.
例1 (1) 求 f ( x, y) ln(x y)的定义
二元函数也有复合函数
例5、已知 f ( xy, x y) x2 y2, 求 f ( x, y) .
例6、已知
f ( y , x y) x2 y2, 求 x
f (x, y).
例7、 设 F ( x, y) 1 f ( x y) , F (1, y) y2 2 y , x
解
11
f (1 , 1) xy
(
1
xy )2 (