多元函数基本概念(已打)

0 0 0
（或 f ( x , y ) A ( 0) 这里 | PP0 | ）.
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0 y y0
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
P ( x , y ) 处连续.
0 0 0
如果 f ( x, y )在开区域（或闭区域)D内的每一点
连续，则称 f ( x, y )在 D内连续。
P0 是函数 如果 f ( x, y ) 在点P ( x , y ) 处不连续， 则称 f ( x, y ) 的间断点.
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例 讨论函数
类似地可定义三元及三元以上函数．
n 元函数统称为多元函数. 当n 2 时，
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
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arcsin( 3 x y ) 例1 求 f ( x , y ) 的定义域． 2 x y
2 2
解
2 2 3 x y 1 2 x y 0
第一节 多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限
三、多元函数的连续性
四、小结 思考题
Hale Waihona Puke Baidu
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一、多元函数的概念
（1）邻域
是某 设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点， 的点P ( x , y ) 一正数，与点P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于 邻域，记为U ( P0 , ) ， 的全体，称为点P0 的
E 的边界点的全体称为E 的边界．
P
设 D 是开集．如果对于 D 内 任何两点，都可用折线 连结起来， 且该折线上的点都属于D ，则称 开集 D 是连通的．
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E

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连通的开集称为区域或开区域．
y
例如， {( x, y ) | 1 x 2 y 2 4}.
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
2 2
1 ( x y ) sin 2 0 2 x y
2 2
原结论成立．
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sin( x 2 y ) . 例3 求极限 lim 2 2 x 0 x y y0
解
sin( x 2 y ) lim 2 x0 x y 2 y0
sin( x 2 y) x 2 y lim 2 , 2 2 x 0 x y x y y0
3
3
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确定极限不存在的方法：
（1）令 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于P0 ( x 0 , y 0 ) ，若
k 有关，则可断言极限不存在； 极限值与
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，
x x0 y y0
但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
sin( x 2 y ) u x 2 y sin u lim 1, 其中 lim 2 x0 x y u0 u y0
2 sin( x y) x2 y 1 x 0 0. 0, lim x 2 2 x 0 x 2 y 2 x y 2 y 0
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x3 y 例4 证明 lim 6 不存在． 2 x 0 x y y 0
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1 例2 求证lim( x y ) sin 2 0 2 x 0 x y y 0
2 2
1 0 证 ( x y ) sin 2 2 x y 1 2 2 2 2 x y sin 2 x y x y2 0, ,
2 2
当 0 ( x 0) ( y 0) 时，
2 x y 4 2 x y
2 2
所求定义域为 D {( x, y ) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.
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（6） 二元函数 z f ( x , y )的图形
D ，对于任意 设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 取定的 P ( x , y ) D ，对应的函数值为 y 为纵坐 x 为横坐标、 z f ( x , y ) ，这样，以 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x , y , z ) ， 当 x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D }，这个点集称 为二元函数的图形.
y
例如，{( x, y ) | 1 x 2 y 2 4}.
o
x
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对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ， 即 AP K 对一切 P E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 例如， y
{( x , y ) | 1 x 2 y 2 4}
（如下页图）
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二元函数的图形通常是一张曲面.
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例如, z sin xy
图形如右图.
例如, x 2 y 2 z 2 a 2 左图球面.
z
D {( x , y ) x 2 y 2 a 2 }.
单值分支: z a 2 x 2 y 2
x
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点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如, {( x , y ) | 0 x y 1}
2 2
(0,0) 是聚点但不属于集合．
2 2 {( x , y ) | x y 1} 例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
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（4）n维空间
n 元数组 设n 为取定的一个自然数，我们称 n 维空间，而每个 n 元数 ( x1 , x 2 , , x n ) 的全体为 n 维空间中的一个点，数 组 ( x 1 , x 2 , , x n ) 称为 x i 称为该点的第 i 个坐标.
如果点集 E 的点都是内点， 则称 E 为开集.
2 2 例如，E1 {( x , y ) 1 x y 4}
P
即为开集．
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E
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如果点 P 的任一个邻域内既有属 于 E 的点， 也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于 E ，也 可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
U ( P0 , ) P | PP0 |
( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
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P0
（2）区域
设 E 是平面上的一个点集， P 是平面上的 一个点．如果存在点P 的某一邻域 U ( P ) E ， 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
有界闭区域；
o
x
{( x , y ) | x y 0}
无界开区域．
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（3）聚点
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点.
说明： 内点一定是聚点； 边界点可能是聚点； 例 {( x , y ) | 0 x 2 y 2 1} (0,0)既是边界点也是聚点．
0
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三、多元函数的连续性
定义3
设函数 f ( x, y ) 在开区域（或闭区域） D 内
0 0 0
有定义，P ( x , y )是D 的内点或边界点且P0 D 。 如果lim f ( x, y ) f ( x , y ) ，则称函数 f ( x, y ) 在点
x x0 y y0 0 0
证
3 y kx , 取
x3 y x 3 kx 3 k lim 6 lim 6 , 2 2 2 6 x 0 x y x 0 x k x 1 k 3 y0
y kx
其值随k的不同而变化， 故极限不存在．
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x y x y lim 图形 , 观察 z 6 6 2 不存在. 2 x 0 x y x y y 0
P0 ( x 0 , y0 ) 处极限不存在．
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利用点函数的形式有n 元函数的极限
定义 2 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集 D , P0 是 ，总 其内点或边界点，如果对于任意给定的正数 存在正数 ，使得对于适合不等式0 | PP0 | 的 一切点 P D ，都有| f ( P ) A | 成立，则称 A 为n 元函数 f ( P ) 当 P P0 时的极限，记为 lim f ( P ) A . PP
xy 2 2 x2 y2 , x y 0 f ( x, y) 2 2 0, x y 0
在(0,0)的连续性． 解 取 y kx 2 xy k kx lim 2 lim 2 2 2 2 x 0 x y 2 x 0 x k x 1 k y0 y kx 其值随k的不同而变化， 极限不存在．
说明：
n R n维空间的记号为 ;
n维空间中两点间距离公式
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设两点为 P ( x1 , x2 ,, xn ), Q( y1 , y2 ,, yn ),
| PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． n维空间中邻域、区域等概念
一般地，求 lim f ( P ) 时，如果 f ( P ) 是初等函
P P0
数，且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点，则 f ( P ) 在 点 P0 处连续，于是 lim f ( P ) f ( P0 ).
P P0
xy 1 1 例７ 求 lim . x 0 xy y0
故函数在(0,0)处不连续．
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闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次． （2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次．
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（3）一致连续性定理
在有界闭区域D上的多元连续函数必定 在D上一致连续．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
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o
y
z a2 x2 y2 .
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二、多元函数的极限
D 内 定义 1 设函数 f ( x, y ) 在开区域（或闭区域） D 的内点或边界点，如果对于 有定义， P ( x , y ) 是 ，总存在正数 ，使得对于适合 任意给定的正数 2 2 0 | PP | ( x x ) ( y y ) 的 不等式 0 0 0 一切点 P ( x, y ) D ， 都有| f ( x , y ) A | 成立， 则 称 A 为函数 z f ( x , y ) 当x x 0 ， y y 0 时的极 lim f ( x , y ) A 限，记为 x x
xy 1 1 1 解 原式 lim lim x 0 xy( xy 1 1) x 0 xy 1 1 y0 y0
1 . 2
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邻域： U ( P0 , ) P | PP0 | , P R n


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内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
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（5）二元函数的定义
设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 z 按照一定的法则总有确定的 P ( x , y ) D ，变量 z 是变量x , y 的二元函数，记为 值和它对应，则称 z f ( x , y ) （或记为z f ( P ) ）.