01 力学：第一章 质点运动学-课堂练习及部分习题解答

h1 O
xM h2 = x h1 − h2 dxM h1 dx vM = = dt h1 − h2 dt
h2
x
· x
M
M
x
《学习指导》第1章·典型例题3
Zhang Shihui
题. 距河岸(看成直线)500m处有一艘静止的船，船上的探 照灯以转速为n=1r/min转动。当光束与岸边成60°角时， 光束沿岸边移动的速度的大小是多少？ 解：首先建立 p 的运动方程 x(t)
Zhang Shihui
题. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其 加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比， 即 dv dt = − kv 2。式中k为常数，试求电艇在关闭发动 机后行驶x距离时的速度。 dv dv dx 2 解：已知 = − kv ⇒ = − kv 2 dt dx dt
《学习指导》第1章·典型例题7
Zhang Shihui
题. 物体悬挂在弹簧上作竖直振动，加速度为a=-ky，k为 常数，y是以平衡位置为原点测得的坐标，假定振动的物 体在坐标y0处的速度为v0，求速度v和坐标y的函数关系。
dv dv dy dv 解： 由 a = = −ky ⇒ = − ky ⇒ v = − ky dt dy dt dy
《学习指导》第1章·典型例题2
Zhang Shihui
题. 灯距地面高度为h1，一只鸵鸟身高为h2，在灯下以匀 速率v沿水平直线行走，如图所示，则它的头顶在地上的 影子M点沿地面移动的速度为多少？ 解：建立如图所示的坐 标系，鸵鸟坐标为x， M点的坐标为xM
dx dxM = v, vM = =? dt dt
α h
O
vp
x
θ P
《学习指导》第1章·习作题1
Zhang Shihui
题. 船一开始距岸边S，用匀速 G 率 v0拉动岸边的绳子。求：船 v 0 靠岸的速率和加速度。 解： x(t ) =
2 l ( t ) − h [ ] 2
2 2
l h O x
dl = − v0 dt
dx d l − h dl l v= = = (−v0 ) 2 2 dt dl dt l −h
K v机对风
K K K v机对地 = v机对风 + v风对地
K K K 2 2 v = ( v ) − ( v ) 故 机对地 机对风 风对地
= (180) 2 − (60) 2 = 170
−1
G v风对地
K v机对地
θ = tan ( v风对地 v机对地 ) = 19.4° 取北偏东19.4°
补充
2
P o R
k = 4 ⇒ ω = 4t ⇒ v = 4 Rt
2
2
t=1s时，v=4Rt2=8m/s
an=v2/R=32m/s at=8Rt=16m/s2
2 a = at2 + an = 35.8m / s 2
《作业册》第1章·第6题
Zhang Shihui
题. 一电梯以1.2m/s2的加速度下降，其中一乘客在电梯开 始下降后0.5s时用手在离电梯底板1.5m高处释放一小球， 求小球落到底板上所需的时间和它对地面下落的距离。 解：如图所示，相对南面，小球开始下落时，它和电梯 的速度为 v 0 = at 0 = 1.2 × 0.5 = 0.6(m/s) 以t表示此后小球落至底板所需时间，则在 这段时间内，小球下落的距离为
把同一变量移到同一边，两边积分得
vdv = −kydy ⇒ ∫ vdv = − ∫ kydy ⇒ v 2 = vm 2 − ky 2
vm 0
2 2 2 v = v + ky 当y=y0时，v=vຫໍສະໝຸດ ，得 m 0 0vy
⇒ v = vm − ky = v0 + k ( y0 − y )
2 2 2 2 2 2
运动轨迹 f ( x , y , z ) = 0
由质点的运动方程可以求得质点在 任一时刻的位矢、速度和加速度； 已知质点加速度及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程
2个基本问题
《学习指导》第1章·典型例题1
Zhang Shihui
G ˆ 。其中 ˆ + R sin ω tj 题. 设质点运动函数为 r = R cos ω ti R，ω皆为常量。求速度、加速度、切向和法向加速度。
《学习指导》第1章·典型例题8
Zhang Shihui
题. 一飞机驾驶员想驾驶想往正北方向飞行，而风以 60kmh-1 的速度从东向西刮过来，如果飞机的航速 ( 在静 止空气中的速率)为180kmh-1，试问驾驶员应取什么航向? 飞机相对地面的速率为多少? 试用矢量图说明. 解： 地球为 S 系，风为 S' 系，飞机为 运动的质点。据伽利略速度变换
K G dr ˆ + Rω cos ωtj ˆ 解： v = = − Rω sin ωti dt K 2K G dv d r 2 2 ˆ ˆ a= = 2 = − Rω cos ωti − Rω sin ωtj dt dt
dv at = , v = Rω ⇒ at = 0 dt
v2 an = = ω 2 R R
1 2 h = v0t + gt 2
在这段时间电梯下降的距离为
1 2 h ′ = v0 t + at 2
《作业册》第1章·第6题
Zhang Shihui
1 又 h0 = h − h ′ = ( g − a )t 2 2
由此得 t =
2h0 2 × 1 .5 = = 0.59s 9 .8 − 1 .2 g −a
dv dv dx dv 解： a = 2 + 6 x = = = v dt dx dt dx ⇒ ( 2 + 6 x ) dx = vdv ⇒ v 2 = 6 x 2 + 4 x + 100
题6. 一粒子沿着抛物线轨道y=x2运动，且知vx=3m/s，试 求质点在x=2/3m处速度和加速度。 dx dy dx , vy = = 2 x = 2 xvx 提示：vx = dt dt dt dvx dv y 2 = 0 , ay = ax = = 2v x 矢量有大小有方向 dt dt
而小球相对地面下落的距离为
1 2 1 h = v0 t + gt = 0.6 × 0.59 + × 9.8 × 0.59 2 = 2.06m 2 2
《作业册》第1章·第8题
Zhang Shihui
题.一人骑车以18km/h的速率自东向西行进时，看见雨 点垂直下落，当他的速率增至36km/h时看见雨点与他 前进的方向成120º角下落，求雨点对地的速度。
60
D
G v人地1
G G v人地 2 = 2v人地1
90
D
120D
x正向
v0 x 2 + h 2 ⇒v=− =− 2 2 x l −h
lv0
2 2 0
变减速
2 2 2 0
−h v −(l − x )v dv d l dl = a = = −v0 ( ) = 3 3 2 2 dt dl l − h dt x 2 2 2 (l − h )
《学习指导》第1章·典型例题4
Zhang Shihui
第1章 质点运动学·课堂练习
课堂练习
单缝衍射
Zhang Shihui
G 3个基本变量 r
2类常见方程
K K K K 运动方程 r (t ) = x(t )i + y(t ) j + z(t )k
K K r = ∫ v ⋅ dt
K K dr v= dt
K v
K K dv a= dt K K K a v = ∫ a ⋅ dt
G K K G G K K 解： v雨地 = v雨人 + v人地 = v雨人1 + v人地1 = v雨人2 + v人地2
根据左侧矢量分析图 中的几何关系，可知
v雨地 = 2v人地 = 36Km/h
方向：与水平方向 成60º角，偏西。
K v雨地 K
v雨人1
90
D
K v雨地
60
K v雨人1
D
K v雨人 2
dv dv 2 ⇒ v = −kv ⇒ 2 v = −kdx dx v
x dv −kx ⇒ v = v e ⇒∫ = −k ∫ dx 0 v0 v 0 v
《学习指导》第1章·典型例题5、6
Zhang Shihui
题5. 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a=2+6x (a单位为m/s2，x单位为m)，质点在x=0处速度为10m/s。 试求质点在任何坐标处的速度值。
Zhang Shihui
题.如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2m的圆 轨道转动。转动的角速度ω与时间t的函数关系为ω =kt2 (k为常量)。已知t=2s时，质点的速度值为32m/s。试求： t=1s时，质点P的速度与加速度的大小。
2 ⇒ 32 = 2k × 2 解：v = Rω = Rkt
x = h ⋅ tanα = h ⋅ tanωt dx h dα hω vp = = = 2 d t cos α d t cos 2α 2π n θ = 60 → α = 30 和ω＝ 60 2π 500 × 60 = 69.8 ms -1 vp = cos 2 30D
D D
dα ⇒ vp dt
ω
A