我为高考设计题目

我为高考设计题目
题目:对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.如果
函数2()(,*)x a
f x b c N bx c
+=
∈-有且仅有两个不动点0和2，且1(2)2f -<-. （Ⅰ）试求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知各项不为零的数列{}n a 满足114=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅n n a f S .
（ⅰ）设()
n
a n n n
b --⋅-+=2131
λ（*∈N n 为非零整数，
λ），试确定λ的值，使得对任意∙
∈N n ，都有n n b b >+1成立.
（ⅱ）求证： n
n a n a n a e a
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-<<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+1111
11
； 解答:（Ⅰ）．设
22(1)0(1)x a
x b x cx a b bx c
+=⇒-++=≠- 201201c b
a b ⎧
+=-⎪⎪-⇒⎨⎪⨯=⎪-⎩
∴012a c b =⎧⎪⎨=+⎪⎩ ∴2()(1)2x f x c x c =+- 由21
(2)1312
f c c --=
<-⇒-<<+， 又∵,*b c N ∈ ∴2,2c b == ∴2()(1)2(1)x f x x x =≠-，于是()()()()
2
222/
122142122--=-⋅--⋅=x x x x x x x x f ， 由()0f x '>得0x <或2x >； 由()0f x '<得01x <<或12x <<
故函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(2,)+∞，单调减区间为(0,1)和(1,2).
注意此处学生最容易忽视函数的定义域而将单调递减区间错写为()20， . （Ⅱ）．由已知可得22n n n S a a =-， 当2n ≥时，21112n n n S a a ---=- 两式相减得11()(1)0n n n n a a a a --+-+= ∴1n n a a -=-或11n n a a --=-
当1n =时，2111121a a a a =-⇒=-，若1n n a a -=-，则21a =，这与1n a ≠矛盾.（这也是学生容易忽视函数定义域而出错的地方）. ∴11n n a a --=- ∴n a n =-， （ⅰ）()
n n n n b 2131
⋅-+=-λ,要使n n b b >+1恒成
立，即()02133211>⋅--⨯=--+n n n n n b b λ⇒()1
1
231--⎪
⎭⎫ ⎝⎛<-n n λ，当n 为奇数时，
1
23-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛<n λ恒成立，而1
23-⎪
⎭
⎫
⎝⎛n 的最小值为1，故1<λ；当n 为偶数时，1
23-⎪
⎭
⎫
⎝⎛->n λ恒成
立，而1
23-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-n 的最大值为2
3-
，故23->λ，综合可得：123
<<-λ，又0≠λ，Z ∈λ，
从而1-=λ.
（ⅱ）待证不等式即为：()
n
n n e n -+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+<<⎪
⎭
⎫
⎝⎛+111111. 它等价于1
1111+⎪
⎭
⎫
⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n
n e n ，两边取对数可得：
()⎪⎭⎫ ⎝⎛++<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n 11ln 1111ln n n n 1
11ln 11<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+⇔.这是含有自然对数的数列不
等式，我们可以考虑先证明不等式： ()x x x x
<+<+1ln 1
，（0>x ），再采用赋值法，令式中的x n 1=即可得证．事实上，构造函数()()x x x g +-=1ln ，()()1
1ln +-+=x x
x x h ，
则()x x x g +=
1/
，()()2
/
1+=x x x h ， 0>x ，故()()0,0/
/>>x h x g ，()()x h x g ,在()+∞,0都是增函数，于是
()()()()00,00=>=>h x h g x g ，从而当0>x 时，则有
()x x x x
<+<+1ln 1
． 考查目标：主要考查函数、数列、不等式等相关的基础知识，综合考查学生运用所学知识进行推理论证和解决问题的能力．
设计思路：此题从函数的不动点概念切入，创设问题情境，注重考查学生对新定义、新法
则、新公式等的即时学习、理解与迁移的能力，整合新旧知识间的内在联系，将函数、方程、数列、不等式与导数等代数的主体内容交汇融合，浑然一体，小题之间由易到难，层层递进，联系紧密，入手容易，深入难，在全面考查基础知识的同时，注重能力的考查，让知识水平、能力层次不同的学生各有所得；在解法方面，注重通性通法，重视导数工具作用的考查，淡化繁难的特殊技巧，第（2）题考查构造辅助函数，利用导数来证明数列不等式，这与近几年的高考试题的风格一脉相承，高度吻合．
难度估计：05.0~45.0。