浙教版九年级数学竞赛试卷
浙教版初中数学竞赛试卷
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列数中，是质数的是（）A. 14B. 17C. 28D. 362. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a + 3 > b + 3B. a - 3 < b - 3C. a + 2 < b + 2D. a - 2 > b - 23. 一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则这个三角形的面积是（）A. 40cm²B. 48cm²C. 50cm²D. 64cm²4. 下列代数式中，是单项式的是（）A. 3x²yB. 2xy + 3y²C. 5x³ - 2x² + xD. 4x + 2y - 3z5. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x²D. y = 3x² - 2x + 1二、填空题（每题5分，共25分）6. 若x² - 5x + 6 = 0，则x的值为______。
7. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为______。
8. 下列数中，是立方数的是______。
9. 若一个等边三角形的边长为a，则它的面积是______。
10. 下列代数式中，系数为-3的是______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. 解方程：3x - 2 = 5x + 4。
12. 已知：a + b = 7，ab = 12，求a² + b²的值。
13. 在直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），点Q的坐标为（2，-3），求线段PQ的长度。
四、应用题（每题20分，共40分）14. 某商店举行促销活动，满100元减20元，满200元减40元，满300元减60元。
小明想买一件标价为x元的衣服，他应该选择哪种优惠方式才能最省钱？请给出你的计算过程。
浙江省浙教版九年级数学竞赛培优试卷 专题19 与圆有关的角
专题19 与圆有关的角阅读与思考与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系.角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.熟悉以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，则△CDE的面积为___________. （海南省竞赛题）例1题图例2题图解题思路：作DF⊥BC于F，需求出CE，DF的长.由AB为⊙O的直径作出相关辅助线.【例2】如图，△ABC内接于⊙O，M是BC的中点，AM交BC于点D，若AD＝3，DM＝1，则MB 的长是（）A．4 B．2 C．3 D． 3解题思路：图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算.【例3】如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中， ∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上.(1) 证明：B ，C ，E 三点共线；(2) 若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ；(3) 将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D 1CE 1(如图2).若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.解题思路：对于(2)，充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系.【例4】如图所示，ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BD 上的一点，∠BAE ＝∠DAC . 求证：(1)△ABE ∽△ACD ；(2) AB ·DC ＋AD ·BC ＝AC ·BD . （陕西省竞赛试题）解题思路：由(1)可类比猜想，为(2)非常规问题的证明铺平道路.【例5】如图1，已知⊙M 与x 轴交于点A ，D ，与y 轴正半轴交于点B ，C 是⊙M 上一点，且A （－2,0），B （0，4），AB ＝BC .(1) 求圆心M 的坐标；(2) 求四边形ABCD 的面积；(3) 如图2，过C 点作弦CF 交BD 于点E ，当BC ＝BE 时，求CF 的长.解题思路：作出基本辅助线（如连接BM 或AC ），这是解(1)、(2)的基础；对于(3)，由BC ＝BE ，得∠BEC ＝∠BCE ，连接AC ，将与圆无关的∠BEC 转化为与圆有关角，导出CF 平分∠ACD ，这是解题的关键.C OO D M 1E 1D 1ABNMA B C N 1图1 图2 O A D E【例6】如图，AB ，AC ，AD 是⊙O 中的三条弦，点E 在AD 上，且AB ＝AC ＝AE .求证：(1) ∠CAD ＝2∠DBE ；(2) AD 2－AB 2＝BD ·DC . （浙江省竞赛试题） 解题思路：对于（2），AD 2－AB 2＝(AD ＋AB )(AD －AB )＝ (AD ＋AE )(AD －AE )＝ (AD ＋AE ) ·DE ，需证(AD ＋AE ) ·DE ＝BD ·DC ，从构造相似三角形入手. 能力训练A 级1.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP ＝x ，则x 的取值范围是________.2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长为________.3.如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P .连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，那么CD 的长为________.4.如图，圆内接四边形ABCD 中的两条对角线相交于点P ，已知AB ＝BC ，CD ＝12BD ＝1.设AD ＝x ，用x 的代数式表示PA 与PC 的积：PA ·PC ＝__________. （宁波市中考试题）5.如图，ADBC 是⊙O 的内接四边形，AB 为直径，BC ＝8，AC ＝6，CD 平分∠ACB ，则AD ＝( )A ．50B ．32C ．5 2D ．4 2第4题图 第5题图 第6题图6.如图，在△ABC 中，AD 是高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2＝BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正确结论的个数是( ) A．1个B．2个C．3个D．4个（哈尔滨市中考试题）7.如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB＋PC；②111AP PB PC=+；③PA·PE＝PB·PC.其中正确结论的个数是( ) （天津市中考试题）A．3个B．2个C．1个D．0个8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC交于点M，延长AB，DC交于点N，∠M＝20°，∠N＝40°，则∠A的大小为（）A．35°B．60°C．65°D．70°第7题图第8题图第9题图9. 如图，已知⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝CD，AC交BD于点E.求证：(1) AD DE BD AD=；(2) AD·CD－AE·EC＝DE2；（扬州市中考试题）10. 如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，且AB2＝AE•AC，BD＝8，求△ABD的面积. （黑龙江省中考试题）11. 如图，已知⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC 于D ，AD ＝3. 设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x .(1) 求y 与x 之间的函数关系式；(2) 当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大？并求出⊙O 的最大面积. （南京市中考试题）12. 如图，已知半圆⊙O 的直径AB ＝4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上.当三角板绕着O 点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于C ，D 两点，连接AD ，BC 交于点E .(1) 求证：△ACE ∽△BDE ；(2) 求证：BD ＝DE ；(3) 设BD ＝x ，求△AEC 的面积y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（广东省中考试题）B 级1.如图，△ABC 内接于直径为d 的圆，设BC ＝a ，AC ＝b ，那么△ABC 的高CD ＝__________.2.如图，在平面直角坐标系中，△OCB 的外接圆与y 轴相交于点A （0，2），∠OCB ＝60°，∠COB ＝45°，则OC ＝__________.第1题图 第2题图 第3题图3.如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，设∠COD ＝α，则2sin 2AB AD ＝________.（江苏省竞赛试题）4.如图，已知圆内接四边形ABCD中，AD≠AB，∠DAB＝90°，对角线AC平分∠DAB.若AD＝a，AB＝b，则AC＝___________. （“东亚杯”竞赛试题）5.如图，ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB＝5，PC＝4，分别延长AB和DC，它们相交于点P，若∠APD＝60°，则⊙O的面积为（）A．25πB．16πC．15πD．13π6. 如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）A．k倍B．2k倍C．3k倍D．以上答案都不对第4题图第5题图第6题图7. 如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，AB＝AC，过A，D两点的圆与AB，AC分别相交于E，F，弦EF与AD相交于点G，则图中与△GDE相似的三角形的个数为( )A．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以；④CE·AB＝2BD2.其中正确结论的序号是( ) 下四个结论：①∠A＝45°；②AC＝AB；③AE BEA．①②B．②③C．②④D．③④（苏州市中考试题）第7题图第8题图第9题图9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，E为DC边上一点，若AE∥BC, AE＝EC＝7，AB＝6.(1) 求AD的长；(2) 求BE的长. （绍兴市竞赛题）10.如图1，已知M （12， 32），以M 为圆心，MO 为半径的⊙M 分别交x 轴，y 轴于B ，A . (1) 求A ，B 两点的坐标;(2) C 是AO 上一点，若BC ＝3，试判断四边形ACOM 是何种特殊四边形，并说明理由;(3) 如图2，在(2)的条件下，P 是AB 上一动点，连接PA ，PB ，PC .当P 在AB 上运动时，求证：PA+PO PC的值是定值.11.如图，四边形ABCD 为正方形，⊙O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P ，分别交AB ，AD 于点F ，E .(1) 求证：DE ＝AF ；(2) 若⊙O 的半径为32，AB ＝2＋1，求AE ED的值. （江苏省竞赛题）。
浙教版九年级(上)数学基础知识竞赛试卷(含答案)-
温三中九年级数学竞赛试题班级 姓名 考号 得分一、选择题:（共7小题，每小题5分，满分35分） 1、函数y ＝1x-图象的大致形状是 （ ）A B C D2、 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为 （ ） （A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 3、平面直角坐标系中，点A （x -，1y -）在第四象限，则点B （1y -，x ）在 （ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 4、设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2ba cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是 （ ） （A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形. 5、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H （垂心为三条高线的交点）的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是 （ ）（A ）30°; （B ）450; （C ）60°; （D ）75°. 6、抛物线()20y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶点坐标是（ ）yxO yx OyxOyxOA ．（0，－2）B ．19,24⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．19,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭7、如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心 ，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，点A 表示数x ，则x 2的平方根是 （ ）（A ） 2± （B ）2- （C ）2 （D ）2二、填空题:（共6小题，每题5分,满分30分）1、等腰三角形两个内角的度数之比为1︰2，这个等腰三角形底角的度数为 。
2、设正△ABC 的边长为a ，将△ABC 绕它的中心（正三角形外接圆的圆心）旋转60°得到对应的△A ′B ′C ′，则A ，B ′两点间的距离等于 。
浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(一)及答案
浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(一)一．选择题（共5小题，满分30分，每小题6分）1．已知x为实数，且﹣（x2+3x）=2，则x2+3x的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣3 D．﹣1或32．已知下列命题：①对顶角相等；②若a＞b＞0，则＜；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有3个不同交点；⑤边长相等的多边形内角都相等．从中任选一个命题是真命题的概率为（）A．B．C．D．3．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜74．如图，AB是圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB=60°，D是的中点，则的值是（）A．B．2 C．D．5．If a is odd number，the there must exist an integer n such that a2﹣1=（）A．3n B．5n C．8n D．16n二．填空题（共5小题，满分30分，每小题6分）6．对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）=有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是．7．一个班共有44人，全部报名参加了学校组织的兴趣活动小组，参加数学兴趣活动小组的有38人，参加物理兴趣活动小组的有35人，则既参加数学兴趣活动小组又参加物理活动兴趣小组的有人．8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，连接MN分别交BD，AC于点P，Q，且∠FPQ=∠FQP，若BD=9，则AC=．9．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为．10．方程组的所有正整数解是．三．解答题（共4小题，满分60分，每小题15分）11．（15分）如图，△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC边上的动点，过P作PD∥AB 交AC于点D，连接AP，△ABP，△APD，△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设BP=x．（1）试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；（2）当P点在什么位置时，△APD的面积最大，并求最大值．12．（15分）已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根．（1）求a的最小值；（2）当a达到最小时，解这个方程．13．（15分）（1）若a、b、c为一个三角形的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0．探索这个三角形的形状，并说明理由；（2）若x、y、z为一个三角形的三个内角的度数，且满足36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0．探索这个三角形的形状，并说明理由．14．（15分）41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．参考答案1．解：设x2+3x=y，则原方程变为：﹣y=2，方程两边都乘y得：3﹣y2=2y，整理得：y2+2y﹣3=0，（y﹣1）（y+3）=0，∴y=1或y=﹣3，当x2+3x=1时，△＞0，x存在．当x2+3x=﹣3时，△＜0，x不存在．∴x2+3x=1，故选：A．2．解：①对顶角相等，故此选项正确；②若a＞b＞0，则＜，故此选项正确；③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项错误；④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有2个不同交点，故此选项错误；⑤边长相等的多边形内角不一定都相等，故此选项错误；从中任选一个命题是真命题的概率为：．故选：B．3．解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．4．解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．而∠DPB=60°，∴∠APC=60°．∴∠CAD=30°．又∵D是的中点，∴∠CAD=∠BAD=30°．∴∠ABC=180°﹣30°﹣30°﹣90°=30°．∴=．故选：A．5．解：∵a是奇数，∴设a=2n﹣1（n≥2），∴a2﹣1=（2n﹣1）2﹣1=[（2n﹣1）+1]×[（2n﹣1）﹣1]=2n（2n﹣2）=4n（n﹣1）如果n是偶数，则必然有﹣x使n=2x，原式=8x（n﹣1）；如果n是奇数，则（n﹣1）为偶数，必然有﹣y使（n﹣1）=2y，原式=8yn．综上，任意奇数的平方减去1后都是8的倍数．故选：C．6．解：由x*（a*x）=﹣，得（a+1）x2+（a+1）x+=0，依题意有a+1≠0，△=（a+1）2﹣（a+1）=0，解得，a=0，或a=﹣1（舍去）．故答案为：0．7．解：∵没有参加数学小组的人：44﹣38=6人，没有参加物理小组的人：44﹣35=9人，∴两者都参加的有：44﹣（6+9）=29人．8．解：取线段BC的中点E，连接EM、EN，如图所示．∵M、N，E分别为AB，CD，BC的中点，∴ME∥AC，ME=AC，NE∥BD，NE=BD=，∴∠EMN=∠FQP，∠ENM=∠FPQ．又∵∠FPQ=∠FQP，∴∠EMN=∠ENM．∴ME=NE=．∴AC=2ME=9．故答案为：9．9．解：设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r=（AC+BC﹣AB），∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴AD•DB=AM•BN=（AC﹣r）（BC﹣r）=[AC﹣（AC+BC﹣AB）][BC﹣（AC+BC﹣AB）] =（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）=（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC•BC）=AC•BC，由射影定理得AD•DB=DE2=81，∴S△ABC=AC•BC=81，故答案为：81．10．解：∵⇒∵（y﹣z）2≥0⇒2yz≤y2+z2⇒2yz+y2+z2=2（y2+z2）⇒（y+z）2≤2（y2+z2）∴（y+z）2=（6x﹣20）2≤2（y2+z2）=2（1979﹣x2）于是（6x﹣20）2≤2（1979﹣x2）≤2×1978＜632注解到不等式（y+z）2≤2（y2+z2）有（y+z）2=（6x﹣20）2≤2（y2+z2）=2（1979﹣x2），于是（6x﹣20）2≤2（1979﹣x2）≤2×1978＜632，即﹣63＜6x﹣20＜63又∵y+z=6x﹣20是正整数∴0＜6x﹣20＜63，即，从而4≤x≤13．再由y+z为偶数，从而y2+z2为偶数，x2为奇数，进而x为奇数．∴x=5，7，9，11，13①当x=5时，，显然y、z正整数解不存在．②当x=7时，，显然y、z正整数解不存在．③当x=9时，，显然y、z正整数解不存在．④当x=11时，解得或；⑤当x=13时，解得或．故答案为11．解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，由Rt△AEC中，AC=4，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，∴sin45°=，即AE=ACsin45°=4×=4，则△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，则；这样S1=2x，S3=，S2=12﹣2x﹣=；（2）S2===，所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．12．解：（1）∵方程有两个相等的实数根，∴△=5（a+1）2﹣900（b+c）=0，∴（a+1）2=22×32×5（b+c），∴5（b+c）应为完全平方数，最小值为52×22，∴a+1的最小值为60，∴a的最小值为59；（2）∵a=59时，b+c=20，则原方程为：20x2+60x+225=0，解得：x=﹣．13．解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，又∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c∴这是一个等边三角形；（2）∵36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0①，①×2得：72x2+18y2+8z2﹣36xy﹣12yz﹣24zx=0，∴（36x2﹣36xy+9y2）+（36x2﹣24xz+4z2）+（9y2﹣12yz+4z2）=0，∴（6x﹣2z）2+（6x﹣3y）2+（3y﹣2z）2=0∴3x=z，2x=y，∵x+y+z=180°，∴x+3x+2x=180°，∴x=30°，y=60°，z=90°，∴该三角形是直角三角形．14．解：（1）能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．（2）不能办到．若把1，2，3，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．（注站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．）。
浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(二)及答案
绝密★启用前浙教版2018-2019学年初三数学竞赛试卷(二)题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共6小题，6*5=30分）1．a、b、c都是实数，且a≠0，a+b=﹣2c，则方程ax2+bx+c=0（）A．有两个正根B．至少有一个正根C．有且只有一个正根D．无正根2．a、b都是自然数，且123456789=（11111+a）（11111﹣b），则（）A．a﹣b是奇数B．a﹣b是4的倍数C．a﹣b是2的倍数，但不一定是4的倍数D．a﹣b是2的倍数，但不是4的倍数3．将函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象绕y轴翻转180°，再绕x轴翻转180°，所得的函数图象对应的解析式为（）A．y=﹣ax2+bx﹣c B．y=﹣ax2﹣bx﹣cC．y=ax2﹣bx﹣c D．y=﹣ax2+bx+c4．如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有（）A．12个B．9个C．6个D．1个5．一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：16．已知关于x的方程x2+mx+m+2=0有不同的实数根，其中m为整数，且仅有一个实根的整数部分是2，则m的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．不存在第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共6小题，6*5=30分）7．已知a是方程x2+x﹣=0的根，则的值等于．8．设x为正实数，则函数y=x2﹣x+的最小值是．9．已知凸n边形A1A2…A n（n＞4）的所有内角都是15°的整数倍，且∠A1+∠A2+∠A3=285°，那么，n等于．10．已知四条直线：y=kx﹣3，y=﹣1，y=3，x=1所围成的四边形面积是12，则k的值是．11．如图，直角扇形MON中，∠MON=90°，过线段MN中点A作AB∥ON交弧MN于点B，则∠BON=．12．如果不等式|x﹣a|+|x|＜2没有实数解，则实数a的取值范围是．评卷人得分三．解答题（共4小题，4*10=40分）13．已知如图，圆内接四边形ABCD，AB=AD，PB=BO，CE⊥PE，CD=18，求DE．14．设两个数x和y的平方和为7，它们的立方和为10，求x+y的最大值．15．如图，已知圆O的弦AB被点C、D三等分，又E、F是弧AB的三等分点，连接EC、FD交于S，连接SA、SB，求证：∠ASB=∠AO B．16．对a＞b＞c＞0，作二次方程x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca=0．（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；（2）若方程有实根x0，求证：a＞x0＞b+c；（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c．参考答案1．解：设方程两根分别为x1，x2，由a≠0，a+b=﹣2c，得b=﹣a﹣2c，∴△=b2﹣4ac=（﹣a﹣2c）2﹣4ac=a2+4c2＞0，若c=0，则a+b=0，方程变为ax2﹣ax=0，解得x=0或1．若a与c异号，则x1x2=＜0，即两根异号，所以原方程有一正根和一负根．若a与c同号，由b=﹣a﹣2c可得a，b异号；则x1x2=＞0，即两根同号；x1+x2=＞0，则方程一定有正根，所以原方程此时有两个正根．综上所述原方程至少有一个正根．故选：B．2．解：由已知等式可知a、b均为偶数，∵（11111+a）（11111﹣b）=111112+11111（a﹣b）﹣ab，123456789被4除余1，其中111112被4除余1，ab被4除余0，∴11111（a﹣b）被4除余0，∴a﹣b是4的倍数．故选：B．3．解：y=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于y轴对称的图象是y=ax2﹣bx+c（即以﹣x代x）的图象，而y=ax2﹣bx+c的图象关于x轴对称的是y=﹣ax2+bx﹣c（即以﹣y代y）的图象，∴所求解析式为y=﹣ax2+bx﹣c．故选A．4．解：设两直角边为x、y，则斜边为x+1，（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，∴y为奇数．y分别取3，5，7，9，11，13，15，17，19对应的x顺次为4、12、24、40、60、84、112、144、180，故这样的直角三角形有9个．故选：B．5．解：通过图可看到，过内心O的直线m将△ABC的周长平分．设△ABC的周长为a，内切圆半径为r，则左边部分的面积为=，同理右边部分的面积也为∴该直线分成的两个图形的面积相等故选：B．6．解：当m=﹣2，原方程变为：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，∴x1=0，x2=2，所以当m=﹣2时，原方程仅有一个实根的整数部分是2；当m=﹣3，原方程变为：x2﹣3x﹣1=0，∴△=b2﹣4ac=（3）2﹣4×1×（﹣1）=13，∴x=，即x1=，x2=，x1的整数部分为3，x2为负数，所以当m=﹣3，没有一个实根的整数部分是2．所以A对，B，C，D错．故选：A．7．解：=，=，由a是方程x2+x﹣=0的根得出：a2+a=，代入上式==20．故答案为：20．8．解：∵x为正实数，∴由函数y=x2﹣x+，得y=（x﹣1）2+（﹣）2+1，∵（x﹣1）2≥0，（﹣）2≥0，∴（x﹣1）2+（﹣）2+1≥1，即y≥1；∴函数y=x2﹣x+的最小值是1．故答案是：1．9．解：由已知有另外n﹣3个内角的和为（n﹣2）•180°﹣285°，它能被（n﹣3）整除，且商也是15°的整数倍，商是180°﹣，满足条件的n=10．故答案为：10．10．解：在y=kx﹣3中，令y=﹣1，解得x=；令y=3，x=；当k＜0时，四边形的面积是：[（1﹣）+（1﹣）]×4=12，解得k=﹣2；当k＞0时，可得[（﹣1）+（﹣1）]×4=12，解得k=1．即k的值为﹣2或1．11．解：延长BA交OM于点C，连接MB，∵A是MN的中点，AB∥ON，∴点C是OM的中点，又∠MON=90°，∴BC⊥OM，∴BC垂直平分OM，∴MB=OB，又OM=OB，∴△OMB是等边三角形，∴∠MOB=60°，∴∠NOB=90°﹣60°=30°．故答案为：30°．12．解：∵|x﹣a|+|x|＜2，∴|x﹣a|＜2﹣|x|，设y1=|x﹣a|，y2=2﹣|x|，∴y1=，y2=，根据原不等式没有实数解，即y1＜y2没有实数解，从两函数图象可以看出：a≤﹣2或a≥2时，y1的图象与y2的图象没交点．故答案为a≤﹣2或a≥2．13．解：连OA，如图，∵AB=AD，∴∠AOB=∠DCO，∴OA∥DC，而PB=BO，CD=18∴===，则OA=×18=12，P A=2AD，由切割线定理得，PB•PC=P A•PD，即12×36=2AD•3AD，所以AD=6，过O作OF⊥AB于F点，则BF=AF=3，∵∠EDC=∠ABO，且CE⊥PE，∴Rt△CDE～Rt△OBF，∴=，即=，∴DE=．14．解：由题意得：，令x=s+t，y=s﹣t，则x+y=2s，且，由①得2t2=7﹣2s2，将其代入②中得：2s3+3s（7﹣2s2）=10，即4s3﹣21s+10=0，∴（s﹣2）（s﹣）（s+）=0，∴s的最大值为2，∴x+y的最大值为4．15．证明：连接OE、OF、AE、AF，延长SA交FE的延长线于K，∵=，∴AB∥EF，∴==，∵AC=CD，∴KE=EF=AE，∠KAF=90°，F A⊥SA，又=，∴OE⊥F A，OE∥SA，同理可证OF∥SB，∴∠ASB=∠EOF=∠AO B．16．解：（1）由方程有实根得，△=（a+b+c）2﹣4（ab+bc+ca）≥0即0≤a2+b2+c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=a（a﹣b﹣c）﹣b（a+c﹣b）﹣c（a+b﹣c）＜a（a﹣b﹣c），由a＞0，得a﹣b﹣c＞0，即a＞b+c．所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边．（4分）（2）设f（x）=x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca，则f（b+c）=bc＞0，f（a）=bc＞0，且f（）=＜0由（1）知b+c＜＜a，所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间，即a＞x0＞b+c．（7分）（3）由根与系数关系有a+b+c=15，ab+bc+ca=54，得a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）=225﹣108=117＜112．由（2）知a＞9，故得92＜a2＜112，∴a=10．∴b+c=5，bc=4，由b＞c，解得b=4，c=1，∴a=10，b=4，c=1．（10分）。
浙江初三初中数学竞赛测试带答案解析
浙江初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．2.下列式子成立的是（）A．a a=a B．（a b）= a bC．0.0081=8.1×10D．3.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是 ( )A．，，B．，，C．32，42，52D．1，2，34.使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≤1B．x≤1且x≠－2C．x≠－2D．x＜1且x≠－25.解关于x的方程时产生增根，则m的值等于（）A．－2B．－1C．1D．26.二次函数的图象可能是（）7.如图几何体的俯视图是（）8.已知：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN＋MN的最小值为（）A．8B．10C．11D．129.如图，已知矩形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C 移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定二、填空题1.⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是 .2.规定"*"为一种运算，它满足a*b=，那么1992*(1992*1992)=____。
3.已知直角三角形的两条边x、y的长满足，则第三边长为4.有五根木条，分别为12cm，10cm，8cm，6cm，4cm，则从中任取三根能组成三角形的概率为5.如图所示，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标为、，其中、下列结论：①；②；③；④；正确的结论是 .三、解答题1.解方程：2.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？3.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN//BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
浙教版-学年度九年级数学竞赛试卷1（含解析）
绝密★启用前浙教版2018-2019学年初三数学竞赛试卷1题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共8小题，4*8=32）1．若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是一个完全对称式．已知三个代数式：①a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）；②a2bc+b2ac+c2ab；③a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac．其中是完全对称式的（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．有①②③2．已知2x﹣3﹣2y＝0（x＞0），则的值是（）A．B．C．D．3．已知mn＜0且1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，那么n，m，，的大小关系是（）A．B．C．D．4．设x≥0，y≥0，2x+y＝6，则u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在5．x、y都是正数，且成反比例，当x增加a%时，y减少b%，则b的值为（）A．a B．C．D．6．如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC＝5，则折痕在△ABC内的部分DE的长为（）A．B．C．D．7．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4s敲响一声，乙钟每5s敲响一声，丙钟每6s敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别为x次、y次、z次，则x+y+z＝（）A．365 B．484 C．585 D．4658．记S n＝a1+a2+…+a n，令，称T n为a1，a2，…，a n这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么8，a1，a2，…，a500的“理想数”为（）A．2004 B．2006 C．2008 D．2010第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共6小题，4*6=24）9．已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是．10．在一次剪纸活动中，小聪依次剪出6张正方形纸片拼成如图所示的图形，若小聪所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③面积相等，那么正方形⑤的面积为．11．方程x2﹣4x+3a2﹣2＝O在区间[﹣1，1]上有实根．则实数a的取值范围是．12．设△ABC的重心为G，且AG＝6，BG＝8，CG＝10．则S△ABC＝．13．设二次函数y＝x2+2ax+（a＜0）的图象顶点为A，与x轴交点为B、C，当△ABC为等边三角形时，a的值为．14．如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN＝3，NP＝4的长方形MNPQ内，且NB在边NP上．若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成轨迹的总长是（保留π）．评卷人得分三．解答题（共8小题，64分）15．（6分）现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1（cm）的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．16．（6分）已知四边形ABCD两条对角线互相垂直，点O是对角线的交点，∠ACD＝60°，∠ABD ＝45°，点A到CD的距离是6，点D到AB的距离是8，求四边形ABCD的面积S．17．（6分）已知a、b、c满足方程组，试求方程bx2+cx﹣a＝0的根．18．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2．求：（1）∠MAN的大小；（2）△MAN面积的最小值．19．（10分）如图所示，四边形ABCD是矩形，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿矩形按逆时针方向前进，即按A→B→C→D→…顺序前进，已知甲的速度为每分钟65米，乙的速度为每分钟74米，问乙至少在跑第几圈时才有可能第一次追上甲？又乙至多在跑第几圈时一定能追上甲？请说明理由．20．（10分）已知当﹣1＜x＜O时，二次函数y＝x2﹣4mx+3的值恒大于1，求m的取值范围．21．（12分）已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，O为BC上一点，BO＝，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；（3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个．（不必求出点P的坐标）22．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC 交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是一个完全对称式．已知三个代数式：①a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）；②a2bc+b2ac+c2ab；③a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac．其中是完全对称式的（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．有①②③【分析】根据完全对称式的含义，把式子中任意两个字母交换，根据乘法的交换律和加法的交换律即可求出答案．【解答】解：根据完全对称式的含义：把a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）中任意两个字母交换，如a 和c交换得到：c（b+a）+b（c+a）+a（c+b）＝a（b+c）+b（a+c）+c（a+b），交换其它的任意的两个字母也和原式相等，∴①正确；根据完全对称式的含义：把a2bc+b2ac+c2ab中任意两个字母交换，如b和c交换得到：a2cb+c2ab+b2ac ＝a2bc+b2ac+c2ab，交换其它的任意的两个字母也和原式相等∴②正确；根据完全对称式的含义：把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac中任意两个字母交换，如b和a交换得到：b2+a2+c2﹣ba﹣ac﹣bc＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，交换其它的任意的两个字母也和原式相等，∴③正确．故选：D．【点评】本题主要考查对对称式和轮换对称式的理解和掌握，能熟练地根据完全对称式的含义进行判断是解此题的关键．2．已知2x﹣3﹣2y＝0（x＞0），则的值是（）A．B．C．D．【分析】先把所给方程用十字相乘法因式分解，求出x，y之间的关系，然后代入分式化简求值．【解答】解：原方程得2（）﹣3﹣2＝0．令＝t，则方程变形为2t2﹣3t﹣2＝0，即（2t+1）（t﹣2）＝0，解得t1＝2，t2＝﹣（舍去），故＝4．将x＝4y代入分式，得＝．故选：D．【点评】本题考查的是用因式分解法解方程，求出x，y之间的关系，然后代入分式化简求值．3．已知mn＜0且1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，那么n，m，，的大小关系是（）A．B．C．D．【分析】根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答．【解答】解：∵mn＜0，∴m，n异号，由1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，可知m＜n，m+n＜﹣1，m＜0，0＜n＜1，|m|＞|n|，|m|＞2，假设符合条件的m＝﹣4，n＝0.2则＝5，n+＝0.2﹣＝﹣则﹣4＜﹣＜0.2＜5故m＜n+＜n＜．故选：D．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题的关键根据已知条件分析出n，m的符号，绝对值的大小，再设出符合条件的数值比较大小，以简化计算．4．设x≥0，y≥0，2x+y＝6，则u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在【分析】由2x+y＝6，得y＝6﹣2x，代入u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y，根据x≥0，y≥0，求出x的取值范围即可求出答案．【解答】解：由已知得：y＝6﹣2x，代入u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y，整理得：u＝2x2﹣6x+18，而x≥0，y＝6﹣2x≥0，则0≤x≤3，u＝2+18﹣，当x＝0或x＝3时，u取得最大值，u max＝18，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值，难度不大，关键是先求出x的取值范围再根据配方法求最值．5．x、y都是正数，且成反比例，当x增加a%时，y减少b%，则b的值为（）A．a B．C．D．【分析】根据x、y都是正数，且成反比例，可设y＝，xy＝k，当x增加a%时，y减少b%，则（1+a%）x（1﹣b%）y＝k，继而即可得出答案．【解答】解：根据题意，可设y＝，则xy＝k①，当x增加a%时，y减少b%，则（1+a%）x（1﹣b%）y＝k②，将①和②式结合即：（1+a%）（1﹣b%）xy＝xy所以两边同乘：10000/xy可以得到：（100+a）（100﹣b）＝10000即100﹣b＝10000/（100+a）从而b＝＝＝可得：b＝．故选：C．【点评】本题考查反比例函数的定义，属于基础题，关键是根据题意设出x和y的关系式．6．如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC＝5，则折痕在△ABC内的部分DE的长为（）A．B．C．D．【分析】AM与DE交于点F，则F是△ABC的内心，同时又是重心，依据重心的性质即可得出AF 与AS的比值；再根据相似三角形的性质，对应边的比相等，即可求解．【解答】解：如图，连接AM，与DE、BC分别交于点F、点S，则点F是圆心，又是三角形的内心；∵点S是BC的中点，点F是DE的中点，则有DE∥BC，∴AF：AS＝DE：BC＝2：3，∴DE＝．故选：C．【点评】本题利用了圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的的性质，进行求解．7．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4s敲响一声，乙钟每5s敲响一声，丙钟每6s敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别为x次、y次、z次，则x+y+z＝（）A．365 B．484 C．585 D．465【分析】根据已知可以得出以一分钟为一个周期，甲钟响了15声，乙钟响了12声，丙钟响了10声，共响了37声，但人听到的只有28声，因有时是两钟或三钟同时敲响的．由题意知共敲了13分钟，即可求出x+y+z的值．【解答】解：由题意知：以一分钟为一个周期，设f（a1，a2．，an）表示60秒内同时听到隔a1，a2，．an秒敲钟的次数．则60秒内听到次数为f（4）+f（5）+f（6）﹣f（4，5）﹣f（5，6）﹣f（4，6）+f（4，5，6）＝15+12+10﹣3﹣5﹣2+1＝28．我们可以发现：甲钟响了15声，乙钟响了12声，丙钟响了10声，共响了37声，但人听到的只有28声，因有时是两钟或三钟同时敲响的．由题意知共敲了13分钟，x+y+z＝37×13+3＝484．故选：B．【点评】此题主要考查了整数问题的综合应用，根据已知得出以一分钟为周期得出人听到的只有28声是解决问题的关键．8．记S n＝a1+a2+…+a n，令，称T n为a1，a2，…，a n这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么8，a1，a2，…，a500的“理想数”为（）A．2004 B．2006 C．2008 D．2010【分析】本题需先根据得出n×T n＝（S1+S2+…+S n），再根据a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，得出T500的值，再设出新的理想数为T x，列出式子，把得数代入，即可求出结果．【解答】解：∵∴n×T n＝（S1+S2+…+S n）T500＝2004设新的理想数为T x501×T x＝8×501+500×T500T x＝（8×501+500×T500）÷501＝＝8+500×4＝2008故选：C．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，在解题时要根据题意找出关系是解题的关键．二．填空题（共6小题）9．已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是﹣1≤a＜﹣．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．注意当x的系数含有字母时要分情况讨论．【解答】解：不等式ax+3≥0的解集为：（1）a＞0时，x≥﹣，正整数解一定有无数个．故不满足条件．（2）a＝0时，无论x取何值，不等式恒成立；（3）当a＜0时，x≤﹣，则3≤﹣＜4，解得﹣1≤a＜﹣．故a的取值范围是﹣1≤a＜﹣．【点评】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．当x的系数含有字母时要分情况讨论．10．在一次剪纸活动中，小聪依次剪出6张正方形纸片拼成如图所示的图形，若小聪所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③面积相等，那么正方形⑤的面积为36．【分析】设正方形②的边长是x，则正方形③和正方形⑥的边长是x+1，正方形④的边长是x+1+1，正方形⑤的边长是x+1+1+1或x+1+x﹣1，从而建立方程求解．【解答】解：设正方形②的边长是x．结合图形，得x+1+1+1＝x+1+x﹣1，解得x＝3．则正方形⑤的边长是6，其面积是36．故答案为：36．【点评】此题主要是结合图形用两种不同的形式表示同一个正方形的边长，得到方程即可求解．11．方程x2﹣4x+3a2﹣2＝O在区间[﹣1，1]上有实根．则实数a的取值范围是﹣≤a≤．【分析】首先设f（x）＝x2﹣4x+3a2﹣2，由方程x2﹣4x+3a2﹣2＝O在区间[﹣1，1]上有实根，利用函数的性质，即可得f（﹣1）•f（1）＝（3a2+3）（3a2﹣5）≤0，然后解不等式即可求得答案．【解答】解：设f（x）＝x2﹣4x+3a2﹣2，∵方程x2﹣4x+3a2﹣2＝O在区间[﹣1，1]上有实根，∴f（﹣1）•f（1）＝（3a2+3）（3a2﹣5）≤0，∵3a2+3＞0，∴3a2﹣5≤0，∴a2≤，∴实数a的取值范围是﹣≤a≤．故答案为：﹣≤a≤．【点评】此题考查了一元二次方根的分布，函数的性质与一元二次不等式的解法．此题难度较大，解题的关键是掌握函数思想的应用．12．设△ABC的重心为G，且AG＝6，BG＝8，CG＝10．则S△ABC＝72．【分析】延长AG到G'，与BC相交于D，使DG＝DG′，则△BDG≌△CDG′，所以CG'＝BG＝8，根据重心的性质可求得DG＝DG′＝3，则GG'＝6，又CG＝10，所以△CGG'是直角三角形，并可求得其面积，从而得出△BGC的面积，即可求得△ABC的面积．【解答】解：延长AG到G'，与BC相交于D，使DG＝DG′，则△BDG≌△CDG′，∴CG'＝BG＝8，∵DG＝AG＝3，∴DG＝DG′＝3，∴GG'＝6，∵CG＝10，∴△CGG'是直角三角形，∴S△GBC＝S△CGG′＝×8×6＝24，∴S△ABC＝3S△GBC＝72．故选C．【点评】此题考查了三角形重心的性质与全等三角形的判定与性质，以及三角形面积问题的求解等知识．此题难度适中，解题时要注意数形结合思想的应用．13．设二次函数y＝x2+2ax+（a＜0）的图象顶点为A，与x轴交点为B、C，当△ABC为等边三角形时，a的值为﹣．【分析】根据已知的二次函数关系式，得出顶点坐标，用含x1、x2的式子表示出BC的长度；又利用BC在△ABC中与AD的关系，即可得出一个等式，解这个式子即可得出a的值（注意舍去不符合题意的值）．【解答】解：二次函数y＝x2+2ax+（a＜0）可得其顶点坐标为（﹣a，﹣），设抛物线与x轴的两个交点为B（x1，0）、C（x2，0）则x1+x2＝﹣2a，x1•x2＝，对称轴与x轴的交点为D，∴|BC|＝|x1﹣x2|＝＝﹣a，又△ABC为等边三角形，所以|AD|＝|BC|，即＝|BC|，代入即有a2+a＝0，所以a＝﹣或a＝0（舍去）．故答案为：﹣．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和有关三角形的一些知识．在求的结果中要注意得出值的取舍问题．14．如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN＝3，NP＝4的长方形MNPQ内，且NB在边NP上．若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成轨迹的总长是5π（保留π）．【分析】先根据旋转的性质，正三角形ANB旋转5圈，圆心角为7个120°和2个30°，半径为1的弧，代入公式计算即可．【解答】解：如图所示：l＝•π×1＝＝5π，故答案为5π．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及弧长的计算，是一道综合题，要认真分析题目中的条件是解题的关键．三．解答题（共8小题）15．现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1（cm）的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．【分析】因n段之和为定值150cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列．【解答】解：因为n段之和为定值150（cm），故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1（cm），且任意3段都不能拼成三角形，因此这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，但1+1+2+…+34+55＝143＜150，1+1+2+…+34+55+89＝232＞150，故n的最大值为10．将长为150（cm）的铁丝分为满足条件的10段共有以下7种方式：1，1，2，3，5，8，13，21，34，62；1，1，2，3，5，8，13，21，35，61；1，1，2，3，5，8，13，21，36，60；1，1，2，3，5，8，13，21，37，59；1，1，2，3，5，8，13，22，35，60；1，1，2，3，5，8，13，22，36，59；1，1，2，3，5，8，14，22，36，58．【点评】本题考查了三角形三边关系．正确确定什么情况下n最大，是解决本题的关键；注意各个竖列之和为143，由于150﹣143＝7，故多余的7cm要加到数列的末几项上，而且使得任何三个不构成三角形，16．已知四边形ABCD两条对角线互相垂直，点O是对角线的交点，∠ACD＝60°，∠ABD＝45°，点A到CD的距离是6，点D到AB的距离是8，求四边形ABCD的面积S．【分析】过点A作CD的垂线，过点D作AB的垂线，取AC的中点G，连接EG，证出等边△CGE 和等腰直角△BFD，根据勾股定理求出AC和DB的长度，利用面积公式即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：过点A作CD的垂线，E是垂足，过点D作AB的垂线，F是垂足，取AC的中点G，连接EG，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∴CG＝GE，又∵∠ACD＝60°，∴△GCE是等边三角形，∴CE＝CG＝，由勾股定理，得AC2＝CE2+AE2，∴，解得：，∵∠DFB＝90°，∠ABD＝45°，∴∠FBD＝∠FDB∴△FBD是等腰直角三角形，∴．∴四边形ABCD的面积S＝S△ABD+S△BCD，＝BD•AO+BD•CO，＝，＝．答：四边形ABCD的面积S是16．【点评】本题主要考查了面积与等积变换，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，正确作辅助线求出AC和BD的长是解此题的关键．17．已知a、b、c满足方程组，试求方程bx2+cx﹣a＝0的根．【分析】由已知a、b、c满足方程组，则a+b＝8，ab＝c2﹣c+48，可把a，b看成是方程y2﹣8y+c2﹣8c+48＝0的两根，然后求出a，b，c的值再进行求解即可．【解答】解：由题意可知，a+b＝8，ab＝c2﹣c+48，因此令a，b是方程y2﹣8y+c2﹣c+48＝0的两根，∴（y﹣4）2+（c﹣）2＝0，∴y＝4且c＝，即a＝b＝4，c＝，∴bx2+cx﹣a＝0可化为4x2+x﹣4＝0，即x2+x﹣1＝0，解得x1＝，x2＝，故方程根为：x1＝，x2＝．【点评】本题考查根与系数的关系，难度较大，关键是先构造方程，然后根据非负数的性质求出a，b，c的值后再进行求解．18．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2．求：（1）∠MAN的大小；（2）△MAN面积的最小值．【分析】（1）延长CB至L，使BL＝DN，则Rt△ABL≌Rt△ADN，故AL＝AN，进而求证△AMN≌△AML，即可求得∠MAN＝∠MAL＝45°；（2）设CM＝x，CN＝y，MN＝z，根据x2+y2＝z2和x+y+z＝2，整理根据△＝4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0可以解题．【解答】解：（1）如图，延长CB至L，使BL＝DN，则Rt△ABL≌Rt△ADN，故AL＝AN，∠1＝∠2，∠NAL＝∠DAB＝90°又∵MN＝2﹣CN﹣CM＝DN+BM＝BL+BM＝ML∴△AMN≌△AML∴∠MAN＝∠MAL＝45°（2）设CM＝x，CN＝y，MN＝z，则x2+y2＝z2，∵x+y+z＝2，则x＝2﹣y﹣z于是（2﹣y﹣z）2+y2＝z2整理得2y2+（2z﹣4）y+（4﹣4z）＝0∴△＝4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0即（z+2+）（z+2﹣）≥0又∵z＞0∴z≥﹣2当且仅当x＝y＝2﹣时等号成立此时S△AMN＝S△AML＝ML•AB＝z因此，当z＝﹣2，x＝y＝2﹣时，S△AMN取到最小值为﹣1．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等，各内角为直角的性质，本题中求证△AMN≌△AML是解题的关键．19．如图所示，四边形ABCD是矩形，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿矩形按逆时针方向前进，即按A→B→C→D→…顺序前进，已知甲的速度为每分钟65米，乙的速度为每分钟74米，问乙至少在跑第几圈时才有可能第一次追上甲？又乙至多在跑第几圈时一定能追上甲？请说明理由．【分析】可设AD＝BC＝am，AB＝CD＝bm，求出乙第一次追上甲的时间是在出发后的分钟，从而求出乙第一次追上甲所走的路程．再设这时乙所走的圈数为p，可得p＝＝4+＝9﹣，求解即可．【解答】解：设AD＝BC＝am，AB＝CD＝bm，甲的速度为65m/min，乙的速度为74m/min．由题意得，乙的速度比甲快，所以乙第一次追上甲的时间是在出发后的分钟，乙第一次追上甲所走的路程为×74（米）设这时乙所走的圈数为p，则p＝＝4+＝9﹣从而得4＜p＜9，当38a+b＜9（a+b），即当a＜b时，＜1，所以乙至少在跑第五圈时，才能第一次追上甲，又∵当7a+44b＜9（a+b），即a＞b时，＜1，所以乙至多再跑第九圈时一定能追上甲．【点评】考查了分式方程的应用，本题是关于路程中的追及问题，得到乙所走的圈数与矩形的长与宽之间的关系是解题的关键．20．已知当﹣1＜x＜O时，二次函数y＝x2﹣4mx+3的值恒大于1，求m的取值范围．【分析】分别对①当抛物线的对称轴x＝2m≤﹣1时，②当抛物线的对称轴x＝2m≥0时，即m≥0时，③当抛物线的对称轴x＝2m在区间﹣1＜x＜0时，进行分析得出m的取值范围即可．【解答】解：二次函数y＝x2﹣4mx+3的图象是一条开口向上的抛物线，①当抛物线的对称轴x＝2m≤﹣1时，即m≤﹣，要使二次函数解析式的值﹣1＜x＜0时恒大于1，只要x＝﹣1，y＝1+4m+3＝4m+4≥1，解得：m≥﹣，∴﹣≤m≤﹣，②当抛物线的对称轴x＝2m≥0时，即m≥0时，要使二次函数解析式的值﹣1＜x＜0时恒大于1，只要m≥0即可；③当抛物线的对称轴x＝2m在区间﹣1＜x＜0时，∵﹣1＜2m＜0，∴﹣＜m＜0，此时，要使二次函数解析式的值﹣1＜x＜0时恒大于1，只要＞1即可，解得：﹣＜m＜，∴﹣＜m＜0，综上所述：m的取值范围是：m≥﹣．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数最值问题，利用对称轴取值范围进行分析是解决问题的关键．21．已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，O为BC上一点，BO＝，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；（3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个．（不必求出点P的坐标）【分析】（1）OM的长是1，小于矩形的宽，也小于OB的长，所以点P只能是OM的垂直平分线与AD的交点；（2）OM的长是4，等于矩形的宽，所以点P可以是过O、M的垂线与AD的交点，也可以是OM的垂直平分线与AD的交点，又OM的长大于OB的长，所以点P也可以在AB上；（3）OM的长是5，大于矩形的宽，所以点P可以在过O、M的垂线与AD的交点的两侧各一个，也可以是OM的垂直平分线与AD的交点，又OM的长大于OB的长也大于MC的长，所以点P也可以在AB和CD上，共有7个．【解答】解：（1）符合条件的等腰△OMP只有1个；点P的坐标为（，4）；（2）符合条件的等腰△OMP有4个．如图②，在△OP1M中，OP1＝OM＝4，在Rt△OBP1中，BO＝，BP1＝＝＝，∴P1（﹣，）；（5分）在Rt△OMP2中，OP2＝OM＝4，∴P2（0，4）；在△OMP3中，MP3＝OP3，∴点P3在OM的垂直平分线上，∵OM＝4，∴P3（2，4）；在Rt△OMP4中，OM＝MP4＝4，∴P4（4，4）；（3）若M（5，0），则符合条件的等腰三角形有7个．点P的位置如图③所示．【点评】根据OM的长与矩形的宽的大小确定点P的位置主要在AD边上的情况，需要注意的是当OM的长大于OB（或MC）时，点P也可以在AB（或CD）上的情况，学生容易忽视．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC 交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先解一元二次方程，得到线段OB、OC的长，也就得到了点B、C两点坐标，根据抛物线的对称性可得点A坐标；（2）把A、B、C三点代入二次函数解析式就能求得二次函数解析式；（3）易得S△EFF＝S△BCE﹣S△BFE，只需利用平行得到三角形相似，求得EF长，进而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE边上的高；（4）利用二次函数求出最值，进而求得点E坐标．OC垂直平分BE，那么EC＝BC，所求的三角形是等腰三角形．【解答】解：（1）解方程x2﹣10x+16＝0得x1＝2，x2＝8 （1分）∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（﹣6，0）（2分）（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上∴c＝8，将A（﹣6，0）、B（2，0）代入表达式，得：解得∴所求抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+8（5分）（3）依题意，AE＝m，则BE＝8﹣m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴＝，即＝∴EF＝（6分）过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝∴＝∴FG＝•＝8﹣m∴S＝S△BCE﹣S△BFE＝（8﹣m）×8﹣（8﹣m）（8﹣m）＝（8﹣m）（8﹣8+m）＝（8﹣m）m＝﹣m2+4m（8分）自变量m的取值范围是0＜m＜8 （9分）（4）存在．理由：∵S＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣4）2+8且﹣＜0，∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 （10分）∵m＝4，∴点E的坐标为（﹣2，0）∴△BCE为等腰三角形．【点评】本题综合考查一元二次方程的解法；用待定系数法求二次函数解析式；以及求二次函数的最值等知识点．。
浙教版初三学科竞赛数学科模拟试卷(二)及答案
初三数学竞赛试卷（二）一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分.)1．如果226(21)x x m x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，那么代数式m 是 （ ）（A ）3(21)x ±- （B ）2(21)x ±- （C ）3(21)x - （D ）2(21)x -2．在平面直角坐标系中，点A （x -，1y -）在第四象限，那么点 B （1y -，x ）在 （ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心 ，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，点A 表示数x ，则x 2的平方根是（ ）（A ） 2±（B ）2-（C ）2 （D ）24．如果,22,12=+=+c b b a ，那么ac 1+等于 ( )（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 5．考虑下列4个命题：①有一个角是100°的两个等腰三角形相似； ②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等； ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ④对角线相等的梯形是等腰梯形．其中正确命题的序号是 ( )(A)①②③④ (B)①②④ (C)②③④ (D)①④6．已知如图，在矩形ABCD 中有两个一条边长为1的平行四边形.则它们的公共部分(即阴影部分)的面积是 ( )（A ）大于1 （B ）等于1 （C ）小于1（D ）小于或等于17．已知梯形的两条对角线分别为m 与n ，两对角线的夹角为60 0.那么，该梯形的面积为 （ ）（A ）mn 23 （B ）mn 43 （C ）mn 83 （D ）mn 3AFBECD8．已知，正整数n ，k 满足不等式65119n k <<，那么当n 与k 取最小值时，n +k 的值为 （ ）（A ）29 （B ）30 （C ）31 （D ）32 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知⊙O 的直径AB =22cm ，过点A 有两条弦AC =2cm ，AD =6cm ，那么劣弧CD 的度数为_________.10．已知，关于x 的一元二次方程260x kx --=与260x x k --=只有一个公共的根，那么方程052||2=++-k x k x 所有的根的和是 .11．在写有整式 5，r ，a b -，2m ，π，5x ，2()x y +，3mn 的卡片中，任意选取其中两张分别作为分子和分母，得到一个分式的概率是 .12．如图，直线12125y x =-+与x 轴、 y 轴分别交于A 点和B 点，C 是OB 上的一 点，若将∆ABC 沿AC 翻折得到∆AB /C ，B / 落在x 轴上，则过A ，C 两点的直线的解析 式是 .13．若251+=x ，则431x x x ++= .14．如图，在∆ABC 中，∠C =90︒，D 、E 分别是BC 上的两个三等分点，以D 为圆心的圆过 点E ，且交AB 于点F ，此时CF 恰好与⊙D 相切于 点F . 如果AC =245，那么⊙D 的半径= . 三、解答题（共4题，满分50分）15．已知，一次函数11+-=k kxy （k 是不为0的自然数， 且是常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为k S （即k =1时，得1S ，k =2时，得2S ，┅）.试求1S +2S +3S +2006S + 的值.16．一商店销售某种食品，每天从食品厂批发进货，当天销售. 已知进价为每千克5元，售价为每千克9元，当天售不出的食品可以按每千克3元的价格退还给食品厂. 根据以往销售统计，该商店平均一个月(按30天计算)中，有12天每天可以售出这种食品100千克，有18天每天只能售出60千克. 食品厂要求商店每天批进这种食品的数量相同，那么该商店每天从食品厂批进这种食品多少千克，才能使每月获得的利润最大?最大利润是多少?17．已知，∆ABC和∆A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D，如图1.(1)当∆A1B1C1绕点D旋转到∆A2B2C2时，试判断AA2与CC2的位置关系，并证明你的结论.(2)如果当∆A1B1C1绕点D旋转一周，顶点A1和AC仅有一个交点，设该交点为A3，如图3. 当AB=4时，求多边形ABDC3C的面积.C 1 1CAB DB2C2A2AB CDB3C3A3图1 图2 图318．给出一个三位数. 重排这个三位数三个数位上的数字，得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成一个三位数（允许百位数字为零），再重排这个得到的三位数三个数位上的数字，又得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差又构成另一个三位数（允许百位数字为零），重复以上过程. 问重复2007次后所得的数是多少？证明你的结论.CABDB 2C 2A 2FE ABCDB 3C 3A 3 G参考答案和评分意见一、选择题(每小题5分，共40分) 1—8：ACAD BCBC二、填空题(每小题5分，共30分) 9． 30︒或150︒ 10． 0 11．34 12． 21033y x =-+ 13．1 14 三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分、14分，满分50分）15．一次函数11+-=k kx y 的图象与两坐标轴的交点为（1k ，0）、（0，11k +）， 所围成的图形的面积为)1(12111121+⋅=+⋅=k k k k S k . …………4分 ∴1S +2S +3S +2006S + =)200711(21-=20071003. …12分 16．设该商店每天批进这种食品x 千克，每月获得的利润为y 元． （1）当60100x ≤≤时， 126480y x =+…………4分∴当100x =时，即每天批进这种食品100千克时，可获得最大利润，最大利润为7680元． …………8分（2）当100x ≥时，由题意，6013680y x =-+∴当100x =时，即每天批进这种食品100千克时，可获得最大利润，最大利润为7680元．…………12分17．AA 2⊥CC 2. …………2分 （1）在图2中，连接A D 、A 2D 、延长AA 2 交BC 于E ，交CC 2于F ，∵∠ADA 2=90︒-∠A 2DC =∠CDC 2，22AD DC=DA DC （等边三角形都相似，相似三角形对应高的比等于相似比） ∴∆AA 2D ∽∆CC 2D ，于是得∠A 2AD =∠C 2CD …………5分 又因为∠AED =∠CEF ，∴∠ADE =∠CFE =90︒∴AA 2⊥CC 2. …………8分（2）在图3中，连接A 3D ，过C 3作C 3G ⊥BC 于G ， 由（1）得AC ⊥CC 3，由题意又得A 3D ⊥AC ，四边形A 3CC 3D 是矩形.∴C 3C =A 3D =2sin 60︒=， C 3G 60)2︒-︒= ∴多边形ABDC 3C 的面积=3ABC CC D S S ∆∆+=2142422+⨯⨯=2. …………12分 18．经过2007步后得到495或0. …………2分不妨设选定的三位数中的最大数字为x ，最小数字为z ，还有一个数字为y ，则(10010)(10010)99()P x y z z y x x z =++-++=-， …………4分现讨论如下：（1）0x z -=，0P =，第一步结果0.（2）1x z -=，99P =，第一步结果099,第二步结果891,第三步结果792 ,第四步结果693，第五步结果954,第六步结果495.（3）2x z -=，198P =，第一步结果198，第二步结果792，第三步结果692，第四步结果954，第五步结果495.（4）3x z -=，297P =，第一步结果297,第二步结果693,第三步结果954 ,第四步结果495.（5）4x z -=，396P =，第一步结果396,第二步结果594,第三步结果495. （6）5x z -=，495P =，第一步结果495.（7）6x z -=，594P =，第一步结果594,第二步结果495.（8）7x z -=，693P =，第一步结果693，第二步结果594，第三步结果495. （9）8x z -=，792P =，第一步结果792 ,第二步结果693,第三步结果954,第四步结果495.（10）9x z -=，891P =，第一步结果891,第二步结果792 ,第三步结果693,第四步结果954,第五步结果495.由以上讨论可知至多6步可将一个三位数变为495或0，然后就进入循环，所以经过2007步后将得到495或0.当x z =时，得到0；当x z >时，得到495. …………14分（讨论一种情况给1分）。
九年级数学竞赛试卷(浙教版)
九年级数学竞赛试卷一、选择题：1、在一个凸n 边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为2160°的 多边形，则n 的值为（ ）（A ）只能为12 （B ）只能为13 （C ）只能为14 （D ）以上都不对 2、5名学生身高两两不同，把他们从高到低排列．设前三名的平均身高为am ，后两名的平均身高为bm ，又前两名的平均身高为cm ，后三名的平均身高为dm ，则2a b +与2c d+比较（ • ） A ．2a b +大 B ．2c d+大 C ．相等 D ．大小无法确定3、已知二次函数y=x 2+bx-3（-2≤b ≤2），当b 从-2逐渐变化到2的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向描述中，正确的是（ ）． （A ）先往左上方移动，再往左下方移动 （B ）先往左下方移动，再往左上方移动 （C ）先往右上方移动，再往右下方移动 （D ）先往右下方移动，再往右上方移动4、如图，把正△ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的 中点F 上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长 为（ ） A 、335 B 、310 C 、3310 D 、255、如图，等腰子梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC ＝45°，翻折梯形ABCD使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点E 、F.若AD ＝2， BC ＝8，则∠CDE 的正切值等于（ ）（A ）35 （B ）45 (C ）34 （D ）436、一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是（ ）（A ）11 （B ）13 （C ）17 （D ）197、某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种莱，每份单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9(元)．旅游团领队交代：每人可选不同的菜，但金额都正好是10 元，且每一种菜最多只能买一份．这样，该团成员中，购菜品种完全相同的至少有 ( ) (A) 9人 (B)10人 (C)11人 (D)12人二、填空题： 8、当x 分别等于20051，20041，20031，20021，20011，20001，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式221xx +的值，将所得的结果相加，其和等于 ．9、关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜25，则关于x 的不等式b ax +＜0 的解为 ．10、关于x 的两个方程x 2+4mx+4m 2+2m+3=0，x 2+(2m+1)x+m 2=0中至少有一个方程有实数根， 则m 的取值范围是__________________.11、如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为b a b a 2+=*，则函数42)2(2*+*=x x y （－3≤x ≤3）的最大值与最小值的和为 ．12、如图，在圆内接四边形ABCD 中，A D ≠AB ，∠DAB=90°，对角线AC 平分∠DAB ，若AD=a ，AB=b ， 则AC=________.13、如图，在□ABCD 中，∠B =60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， E ，F 为垂足. 设□ABCD 的面积为 S ，则△AEF 的面积 为 ．14、黑板上写有1，2，…，2006，共2006个自然数，对它们进行操作，规则如下：每次擦掉三个数，再添上所擦掉3个数之和的个位数字，若经过1002次操作后 发现黑板上剩下两个数，一个是25，则另一个数是___________。
浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(五)及答案
浙教版2018-2019学年初三数学竞赛试卷(五)一．选择题（共6小题，6*5=30分）1．下列方程中，有实数根且实数根的和是2的方程是（）A．x2+2x+4=0 B．x2﹣2x+4=0 C．x2﹣2x﹣4=0 D．x2+2x﹣4=0 2．已知a、b、c中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S=（a+2n+1）（b+2n+2）（c+2n+3），那么（）A．S是偶数B．S是奇数C．S的奇偶性与n的奇偶性相同D．S的奇偶性不能确定3．已知抛物线y=ax2﹣k是由抛物线y=﹣x2向下平移2个单位得到的，则a、k的值分别是（）A．﹣1，2 B．﹣1，﹣2 C．1，2 D．1，﹣24．在直角三角形中，有两边分别为3和4，则第三边是（）A．1 B．5 C．D．5或5．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过C作CD⊥AB，垂足为D，若AD=3，BC=2，则△ABC的内切圆的面积为（）A．πB．（4﹣2）πC．（）πD．2π6．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定二．填空题（共6小题，6*5=30分）7．已知关于x是方程x2+3x﹣1=0的解，那么代数式的值为．8．若a，c，d都是整数，b是正整数，且a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是．9．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为度．10．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过B点作直线BP与x轴相交于P，若OP=2OA时，则△ABP的面积为．11．如图，⊙O的半径为1，A、P、B、C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．则四边形APBC 的最大面积是．12．若不等式|2x+1|﹣|2x﹣1|＜a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是．三．解答题（共4小题，4*10=40分）13．如图，AC为⊙O的弦，CE⊥AC交⊙O于E，B为AC上的一点，BC=CE，EF⊥BE交⊙O于F，⊙O的直径为13，BE=5．（1）求证：BE∥AF；（2）求AB的长；（3）求BF的长．14．已知a+b=1，a2+b2=2，求a5+b5的值．15．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，（1）求AB的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．16．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．参考答案1．解：A、△=4﹣16=﹣12＜0，该方程没有实数根；故本选项错误；B、△=4﹣16=﹣12＜0，该方程没有实数根；故本选项错误；C、△=4+16=20＞0，该方程有实数根；x1+x2=2，符合条件；故本选项正确；D、△=4+16=20＞0，该方程有实数根；x1+x2=﹣2，不符合条件；故本选项错误．故选：C．2．解：（a+2n+1）+（b+2n+2）+（c+2n+3）=a+b+c+6（n+1）．∵a+b+c为偶数，6（n+1）为偶数，∴a+b+c+6（n+1）为偶数∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S是偶数．故选A．3．解：∵抛物线y=﹣x2的顶点坐标是（0，0），则向上平移2个单位后的坐标为：（0，2），∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2．即a=﹣1，k=2．故选：A．4．解：①当3，4分别是直角边时，则第三边==5；②当3为直角边，4为斜边时，则第三边==．故选：D．5．解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，过C作CD⊥AB∴△ADC∽△CDB∴CD2=AD•DB∴CD2=3DBRt△CDB中，CB2=CD2+DB2∴4=3DB+DB2解得DB=1或DB=﹣4（舍去）∴CB=2∴AC=2设△ABC内切圆半径为r，内心为O，连OA、OB、OC由面积法可知S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB∴∴r==∴内切圆半径为π（）2=（4﹣2）π故选：B．6．解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．7．解：原式=÷=×=，∵x2+3x﹣1=0，∴x2+3x=1，∴原式==．故答案是．8．解：∵a+b=c，①b+c=d，②c+d=a，③由①+③，得（a+b）+（c+d）=a+c，∴b+d=0，④b+c=d；⑤由④+⑤，得∴2b+c=b+d=0，∴c=﹣2b；⑥由①⑥，得∴a=c﹣b=﹣3b，⑦由④⑥⑦，得∴a+b+c+d=（a+c）+（b+d）=a+c=﹣5b；∵b是正整数，∴b≥1，∴﹣b≤﹣1，∴a+b+c+d≤﹣5，∴a+b+c+d的最大值是﹣5．故答案为：﹣5．9．解：设（x﹣2）•180=2750，解得x=17，因而多边形的边数是18，则这一内角为（18﹣2）×180﹣2750=130度．故答案为：130．10．解：∵A、B两点分别在x、y轴上，∴令y=0，则x=﹣2；再令x=0，y=4，∴A（﹣2，0），B（0，4）；∴OA=2，OB=4，∵OP=2OA，∴OP=4，∴S△ABP=S△AOB+S△BOP=OA•OB+OP•OB=×4×2+×4×4=12．S△ABP=S△BOP﹣S△AOB=OP•OB+OA•OB=×4×4+×2×4=4．∴△ABP的面积为12或4，故答案为：12或4．11．解：过C作直径CP′，连接P′A、P′B，如图，∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，∴△ABC为等边三角形，∵CP′为直径，∴∠CAP′=∠CBP′=90°，而∠AP′C=∠APC=60°，∠BP′C=∠BPC=60°，∴P′A=P′B=CP′=1，AC=BC=，∴四边形AP′BC的面积为2××1×=，当点P运动到点P′的位置时，四边形APBC的最大面积，即四边形APBC的最大面积为．故答案为．12．解：当①x＜﹣时，原不等式可化为：﹣1﹣2x﹣（1﹣2x）＜a，即﹣2＜a，解得：a＞﹣2；②当﹣≤x＜时，原不等式可化为：2x+1﹣（1﹣2x）＜a，即4x＜a；此时可解得a＞﹣2；③当x≥时，原不等式可化为：2x+1﹣（2x﹣1）＜a，即2＜a，解得：a＞2；综合以上a的三个范围可得a＞2；故答案为：a＞2．方法二：用绝对值差的几何意义来做比较方便：左边表示2x与数轴上的两点﹣1，1距离的差，显然最大值是2，所以a＞2．13．（1）证明：∵⊙O是四边形ABCD的外接圆，∴∠AFE+∠ACE=180°，∵CE⊥AC，∴∠ACE=90°，∴∠AFE=90°，即AF⊥EF．又∵EF⊥BE，∴BE∥AF；（2）解：如图，连接AE，如图，∵∠C=90°，∴AE是⊙O的直径，∴AE=13，在Rt△BEC中，∵BC=CE，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BE=BC，∵BE=5，∴BC=EC=5，在Rt△AEC中，AC===12，∴AB=AC﹣BC=12﹣5=7；（3）解：作BH⊥AF于H，如图，则四边形BEFH为矩形，∴BH=EF，∵△BCE为等腰直角三角形，∴∠CBE=45°，∵BE∥AF，∴∠BAH=∠CBE=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴BH=AB=，∴EF=，在Rt△BEF中，BF===．14．解：，，a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab2﹣a2b=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=，a5+b5=（a+b）（a4+b4）﹣ab（a3+b3）=．15．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∴，∵AC=14，∴AB=4，（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥CF，AD=7，∴AD=HE=GF=7，∵CF=14，∴CG=14﹣7=7，∵BE∥CF，∴，∴BH=2，∴BE=2+7=9．16．证明：（1）∵△=（2k+1）2﹣16（k﹣）=（2k﹣3）2≥0，∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x1+x2=2k+1=0，解得k=﹣0.5；（3）①当b=c时，则△=0，即（2k﹣3）2=0，∴k=，方程可化为x2﹣4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；②当b=a=4，则42﹣4（2k+1）+4（k﹣）=0，∴k=，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，∴c=2，C△ABC=10，当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC=10，综上所述，△ABC的周长为10．。
2024 暑假宁波市浙教版九年级第二学期数学夏季竞赛(含答案)
2024 暑假宁波九年级数学夏季竞赛姓名：___ 准考证号：___本试卷共 4 页, 14 小题, 满分 100 分, 考试用时 90 分钟。
全卷分为选择题部分和非选择题部分。
选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页。
选择题部分 (32 分)一、选择题 I: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 BC 和对角线 BD 上的点, 满足 BF =AD,DF =BE ,若 EF//AB ,则 EFCD =A. 5−25B. 3−52C.5−12D.532. 有两条中线长分别为 3 和 6 的三角形面积的最大值为A. 9 B. 12 C. 18 D. 243. 222⋯222(一共 222 个 2) 除以 7 的余数是A. 0B. 1C. 2D. 44. 关于 x,y 的方程 x 3+y 3=4xy 的正整数解的组数为A. 0B. 1C. 2D. 无数个二、选择题 II: 本题共 2 小题, 每小题 6 分, 共 12 分。
在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。
全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
5. 一张 A4 规格的复印纸 (下简称 A4 纸) 是长为 2a cm ,宽为 a cm 的矩形. 如图,现有一张矩形纸片 ABCD (AB >AD ) ,且 AD =a cm ,则下列说法中正确的有A. 在BC上取一点E ,将△ABE沿着AE翻折使点B的对应点B′恰好在CD上,复原后,使用量角器测量∠DA B′ ,若∠DA B′=45∘ ,则其为A4纸B. 对折纸片使AD与BC重合,折痕为M,N ( M在AB上),复原后,用量角器测量∠BDC 和∠CMN ,若∠CMN=∠BDC ,则其为 A4 纸C. 在CD上取一点F ,将△BCF沿着BF翻折使点C的对应点C′恰好在BD上,若A , F,C′在同一条直线上,则其为A4纸D. 对折纸片使AD与BC重合,折痕为M,N ( M在AB上),将△CBM沿着CM翻折,若点B的对应点B′′恰好在对角线BD上,则其为A4纸6. 在平面直角坐标系中,已知A(1,1),B为反比例函数y=1x 图象上的动点且不与A重合,以AB为斜边作等腰直角△ABC ,设直线BC的解析式为y=kx+b ,则A. 当点C也在反比例函数图象上时, k的所有取值之积为 1B. 当点C也在反比例函数图象上时, k的所有取值之和为5C. 点C的轨迹是轴对称图形D. 当点C在第四象限时, C与点D(1−2,0)的距离最小值为2非选择题部分 (68 分)三、填空题: 本题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分。
瑞安市城关中学九年级数学竞赛试题(浙教版含答案)
城关中学九年级数学竞赛试题（2018.1）一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.）1、已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006,则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、32、客运列车在哈尔滨与A 站之间运行，沿途要停靠5个车站，那么哈尔滨与A 站之间需要安排( )种不同的车票。
A 、6B 、7C 、21D 、423满足(n 2-n-1)n + 2=1的整数n 有几个？（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个4、某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至少可打（ ）A 、6折B 、7折C 、8折D 、9折5、铁板甲形状是等腰三角形，其顶角为45°，腰长为20cm ，铁板乙的形状是直角梯形，两底分别为7cm,16cm,且有一个角为60°，现在我们把这两块铁板任意翻转，分别试图从一个直径为14cm 的圆洞中穿过，若不考虑铁板厚度，则结果是（ ）A 、甲能穿过，乙不能穿过B 、甲不能穿过，乙能穿过C 、甲、乙都能穿过D 、甲、乙都不能穿过二、填空题（共5小题，每题6分,满分30分）6、a 、b 是一元二次方程012=--x x 的两个根，则b a b a 232322--+的值等于 . 7、设15+=m ,那么mm 1+的整数部分是 . 8、等腰三角形的一条腰上的高线等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角的度数等于 。
9、如图,将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作(见下图).按上边规则，完成五次操作以后，再剪去所得小正方形的左下角.问:当展开这张正方形纸片后，一共有 个小孔.（第9题）10．在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一定点，且BE=10，EC=14，BC E点P 是BD 上的一动点，则PE+PC 的最小值是 。
浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(六)及答案
浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(六)一．选择题（共8小题，5*8=40）1．若x2﹣4x﹣1=0，则=（）A．B．﹣1 C．D．﹣2．方程的实数根的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．某款服装进价80元/件，标价x元/件，商店对这款服装推出“买两件，第一件原价，第二件打六折”的促销活动．按促销方式销售两件该款服装，商店仍获利32元，则x的值为（）A．125 B．120 C．115 D．1104．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）A．1种B．2种C．3种D．4种5．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸6．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，y A），B（0，y B），C（﹣1，y C）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（）A．B．C．1 D．28．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b=2a﹣b，如果x△（1△3）=2，那么x等于（）A．1 B．C．D．2二．填空题（共6小题，5*6=30）9．把40，44，45，63，65，78，99，105平均分成两组，并且使这两组数的乘积相等，直接写出分组情况：．10．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=5，CD=3，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ 的面积相等，则线段BP的长度是．11．如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…；则从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是．12．如图，⊙O的直径BC=4，弦DE的两个端点（不与B，C重合）在半圆BC上滑动，BE、CD的延长线交于点A，DE=2，连接BD、CE．以下四个结论：①∠A=60°；②若DE=DC，则△ABC是等边三角形；③△ADE∽△ABC；④△ADE面积的最大值为2．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）13．如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是．14．写出图象经过点（1，0）、（0，1）的三个不同的函数解析式：．三．解答题（共4小题，50分）15．（10分）当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a 的所有可能的值．16．（10分）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．17．（15分）如图，在△ABC中，∠BAC=135°，AD⊥BC，BD=4，DC=6，则△ABC的面积等于多少？18．（15分）如图，已知反比例函数y=过点P，P点的坐标为（3﹣m，2m），m是分式方程的解，P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．（1）试判断四边形P AOB的形状，并说明理由；（2）连接AB，E为AB上的一点，EF⊥BP于点F，G为AE的中点，连接OG、FG，试问FG和OG有何数量关系？请写出你的结论并证明；（3）若M为反比例函数y=在第三象限内的一动点，过M作MN⊥x轴于交AB的延长线于点N，是否存在一点M使得四边形OMNB为等腰梯形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：∵x2﹣4x﹣1=0，x≠0，∴x﹣4﹣=0，即x﹣=4，∴x2﹣2+=16，即x2+=18，∴===，故选：A．2．解：①当x＞0时，原式变为：x﹣=3，方程的两边同乘x，得：x2﹣4=3x，即x2﹣3x﹣4=0，∴（x+1）（x﹣4）=0，解得：x=﹣1（舍去），x=4．检验：把x=4代入x=4≠0，即x=4是原分式方程的解；②当x＜0时，原式变为：﹣x+=﹣3，方程的两边同乘x，得：x2﹣3x﹣4=0，∴（x+1）（x﹣4）=0，解得：x=﹣1，x=4（舍去）．检验：把x=﹣1代入x=﹣1≠0，即x=﹣1是原分式方程的解；∴方程的实数根的个数为2个．故选：B．3．解：依题意有x+0.6x﹣80×2=32，解得x=120．故选：B．4．解：根据题意得出最短路程如图所示，最短路程长为+1=2+1，则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，故选：C．5．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．6．解：由0＜2a＜b，得x0=﹣＜﹣1，由题意，如图，过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=y A，OA1=1，连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=y B﹣y C，CD=1，过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，y E），交x轴于点F（x2，0），则∠F AA1=∠CB D．于是Rt△AF A1∽Rt△BCD，所以=，即=，过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BC D．有=，即=，∵点A（1，y A）、B（0，y B）、C（﹣1，y C）、E（x1，y E）在抛物线y=ax2+bx+c上，得y A=a+b+c，y B=c，y C=a﹣b+c，y E=ax12+bx1+c，∴==1﹣x1，化简，得x12+x1﹣2=0，解得x1=﹣2（x1=1舍去），∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜﹣1，则1﹣x2≥1﹣x1，即1﹣x2≥3．∴≥3，∴的最小值为3．故选：D．7．解：∵∠ACB=90°，CA=CB，∴∠A=∠B=45°，∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB=1，∠CDB=90°，∴CD=BD=1．故选：C．8．∵x△（1△3）=2，x△（1×2﹣3）=2，x△（﹣1）=2，2x﹣（﹣1）=2，2x+1=2，∴x=．9．解：偶数组：40=2×2×2×5，44=2×2×11，78=2×3×13；奇数组：45=3×3×5，63=3×3×7，65=5×13，99=3×3×11，105=3×5×7，（1）先看偶数组，40第一组，44和78第二组（因为40分解出3个2；44有2个2，78有1个2）；（2）44中含有11，则99为第一组；78中含有13，则65为第一组；另外两个分解出含有5的数是45，105，其中105为第二组，答：第一组有40，99，65，63；第二组为44，78，45，105．故答案为：40，99，65，63；44，78，45，105．10．解：①点Q在AB边上时，∵AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=5，CD=3，∴S△ABD=BD•AD=×5×5=，∠B=45°∵PQ⊥BC，∴BP=PQ，设BP=x，则PQ=x，∵CD=3，∴S△DCQ=×3x=x，S△AQD=S△ABD﹣S△BQD=﹣×5×x=﹣x，∵△ADQ与△CDQ的面积相等，∴x=﹣x，解得：x=，②如图，当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，∵AD⊥BC，垂足为D，∴Q'P'∥AD∵△ADQ与△CDQ的面积相等，∴AQ'=CQ'∴DP'=CP'=CD=1.5∵AD=BD=5，∴BP'=BD+DP'=6.5，综上所述，线段BP的长度是或6.5．故答案为或6.5．11．解：根据图示规律，第n个图中，黑球有n个，球的总数有1+2+3+4+5+…+n=，则从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是=．故答案为：．12．解：连接OE、O D．∵OE=OD=DE=2，∴△ODE是等边三角形，∴∠DOE=60°，∴∠BOE+∠DOC=120°，∵OB=OE=OD=OC，∴∠OBE=∠OEB，∠OCD=∠ODC，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠A=60°，故①正确，∵DE=DC，∴=，∴∠DOC=∠DOE=60°，∵OC=OC，∴△ODC是等边三角形，∴∠DCO=60°，∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，故②正确，∵∠AED+∠DEB=180°，∠DEB+∠BCD=180°，∴∠AED=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，故③正确，当△ADE是等边三角形时面积最大，最大值为，故④错误，故答案为①②③．13．解：若x为偶数，根据题意，得：x×4+13＞100，解之，得：x＞，所以此时x的最小整数值为22；若x为奇数，根据题意，得：x×5＞100，解之，得：x＞20，所以此时x的最小整数值为21，综上，输入的最小正整数x是21．14．解：（1）设函数为一次函数为y=kx+b，将点（1，0）、（0，1）分别代入解析式得：，解得，函数解析式为y=﹣x+1；（2）设函数为y=ax2+bx+c，将点（1，0）、（0，1）、（2，0）分别代入解析式得：，解得，函数解析式为y=x2﹣x+1．（3）设函数为y=ax2+c，将点（1，0）、（0，1）分别代入解析式得，，解得，函数解析式为y=﹣x2+1．故答案为y=﹣x+1，y=x2﹣x+1，y=﹣x2+1．15．解：对称轴x=﹣=﹣=a，①a≤﹣1时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，当x=﹣1时，y最小，最小值y=2×（﹣1）2﹣4a×（﹣1）+a2+2a+2=a2+6a+4，②﹣1＜a＜2时，当x=a时，有最小值，最小值y=2×a2﹣4a×a+a2+2a+2=﹣a2+2a+2，③a≥2时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，当x=2时，y最小，最小值y=2×22﹣4a×2+a2+2a+2=a2﹣6a+10，综上所述，a≤﹣1时，最小值为a2+6a+4，﹣1＜a＜2时，最小值为﹣a2+2a+2，a≥2时，最小值为a2﹣6a+10；∵最小值为﹣1，∴a2+6a+4=﹣1，整理得a2+6a+5=0，解得a1=﹣1，a2=﹣5，﹣a2+2a+2=﹣1，整理得，a2﹣2a﹣3=0，解得a3=﹣1，a4=3（舍去），a2﹣6a+10=﹣1，整理得，a2﹣6a+11=0，△=（﹣6）2﹣4×1×11=﹣8＜0，方程无解，综上所述，a的所有可能值为﹣1、﹣5．16．解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y 是0到8的整数）∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99（100﹣10y﹣x），∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100﹣10y﹣x是整数，∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴m=99（100﹣10y﹣x），∵m是四位数，∴m=99（100﹣10y﹣x）是四位数，即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，∵D（m）==3（100﹣10y﹣x），∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303∵D（m）完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．17．解：设AD=h，三角形ABC的面积是S，AB=c，AC=b．根据S=bcsin135°=10h，得2bc=5h．又根据余弦定理，得100=b2+c2﹣2bccos135°，即52+2h2+20h=100，h2+10h﹣24=0，h=2，h=﹣12（不合题意，应舍去）．则S=×10×2=10．18．解：（1）四边形P AOB是正方形．理由如下：∵∠AOB=∠OBP=∠OAP=90°∴四边形P AOB是矩形（2分）m﹣3+m﹣2=﹣3解得：m=1经检验知m=1是原分式方程的解∴P（2，2）（3分）∴PB=P A=2∴四边形P AOB是正方形；（4分）（2）OG=FG．证明：延长FE交OA于点H，连接GH，∵∠HFB=∠FBO=∠BOH=90°∴BOHF是矩形∴BF=OH∵∠FBE=∠FEB=45°∴EF=BF=OH（5分）∵∠EHA=90°，G为AE的中点∴GH=GE=GA（6分）∴∠GEH=∠GAH=45°∴∠GEF=∠GHO（7分）∴△GEF≌△GHO∴OG=FG；（8分）（3）由题意知：∠BNM=45°（9分）∵要让四边形OBNM为等腰梯形∴∠BNM=∠NMO=45°（10分）∴设M点的坐标为（x，x），代入∴x=±2∵M是第三象限上一动点∴x=﹣2∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）．（12分）。
浙教版-学年度九年级数学竞赛试卷A（含解析）
绝密★启用前浙教版2018-2019学年初三数学竞赛试卷A题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共6小题，5*6=30）1．若，则的值为（）A．B．C．D．2．如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）A．B．C．D．3．在一列数x1，x2，x3，…中，已知x1=1，且当k≥2时，（取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2，[0.2]=0），则x2010等于（）A．1B．2C．3D．44．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B （2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）A．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）5．如图，线段AP⊥PB，而且AP=2，PB=12，点C1，C2在线段PB上，满足PC2=1.5，BC1=6．设，那么（）A．m＞n B．m=n C．m+n=5D．m＜n6．如图，⊙O沿凸多边形A1A2A3…A n﹣1A n的外侧（圆与边相切）作无滑动的滚动．假设⊙O的周长是凸多边形A1A2A3…A n﹣1A n的周长的一半，那么当⊙O回到出发点时，它自身滚动的圈数为（）A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共6小题，5*6=30）7．一辆客车，一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等．走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上了客车．问过分钟，货车追上了客车．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD=CF，则=．10．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N，如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，则y与x的关系是．11．如图，点A，C都在函数的图象上，点B，D都x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为．12．已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+a n=n3，则=．评卷人得分三．解答题（共5小题，60分）13．（10分）规定符号[x]表示不超过x的最大整数，例，求：方程2﹣x2=[x]大于﹣3的x的解14．（10分）如图（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作DD1⊥AB、EE1⊥AB，垂足分别为D1、E1．当C的位置在直线AB的同侧变化过程中，（1）如图（1），当∠ACB=90°，AC=4，BC=3时，求DD1+EE1的值；（2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；（3）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点．15．（12分）实数a，b，c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1．求最大的实数k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立．16．（14分）证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足1≤．17．（14分）操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．参考答案与试题解析1．解：∵，∴得．故选：D．2．解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得BE=AE=，CF=，DF=2，于是EF=4+．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD=====．故选：D．3．解：已知x1=1，当k=2时，x2=x1+1﹣4（[]﹣[0]）=2；当k=3时，x3=x2+1﹣4（[]﹣[]）=3；当k=4时，=4；当k=5时，=1；当k=6时，=2；…∵2010=502×4+2∴x2010=x2=2，故选：B．4．解：根据题意，以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，即A是PP1的中点，又由A的坐标是（1，1），结合中点坐标公式可得P1的坐标是（2，0）；同理P2的坐标是（2，﹣2），记P2（a2，b2），其中a2=2，b2=﹣2．根据对称关系，依次可以求得：P3（﹣4﹣a2，﹣2﹣b2），P4（2+a2，4+b2），P5（﹣a2，﹣2﹣b2），P6（4+a2，b2），令P6（a6，b2），同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（4×2+a2，b2），由于2010=4×502+2，所以点P2010的坐标是（2010，﹣2），故选：B．5．解：∵线段AP⊥PB，且AP=2，PB=12，PC2=1.5，BC1=6．故根据勾股定理可求出：AC2=2.5，BC2=10.5，AC1=2，BC1=6．∴．故选：D．6．解：由于凸多边形周长是圆周长的2倍，另外凸多边形的外角和是360°，所以⊙O回到出发点时共滚动2+1=3圈．故选：C．7．解：设小轿车速度为a，货车为b，客车为c，某一刻的相等间距为m，则=10①，=10+5②，化简可得：2（10c﹣10a）=15c﹣15b，所以：a=4b﹣3c假设再过t分钟，货车追上客车，则10a﹣10b=（15+t）（b﹣c）15+t=10（a﹣b）/（b﹣c）将a代入15+t=10×3=30，解得：t=15．所以再过15分钟，货车追上了客车．8．解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l 把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线MN即为所求的直线l．设直线l的函数表达式为y=kx+b，则解得，故所求直线l的函数表达式为．故答案为．9．解：设AF=a，FC=b；∵AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN；∴△AEF∽△CBF；∴AE：BC=AF：FC=a：b；Rt△ABC中，BF⊥AC，由射影定理，得：AB2=AF•AC=a（a+b）；∵AM⊥AB，BN⊥AB，CD⊥AM，∴四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=CF=b；∴b2=a（a+b），即a2+ab﹣b2=0，（）2+（）﹣1=0解得=（负值舍去）；∴==．10．解：作OP垂直AB于点P，OQ垂直BC于点Q．∵∠PON+∠POM=90°，∠POM+∠MOQ=90°∴∠PON=∠MOQ，又∵∠NPO=∠MQO，∴△ONP∽△OMQ，OP：OQ==ON：OM．所以y=．故答案为y=11．解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE=a，BF=b，则AE=a，CF=，∴点A，C的坐标为，（a，），（2a+b，），∴，解得，∴点D的坐标为（，0）．12．解：∵当n≥2时，有a1+a2+…+a n﹣1+a n=n3，a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）3，两式相减，得a n=3n2﹣3n+1，∴==（﹣），∴++…+，=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=（1﹣），=．故答案为：．13．解：∵2﹣x2≤2，∴[x]≤2；又由x＞﹣3，∴[x]≥﹣3，即：﹣3≤[x]≤2（6分）当[x]=﹣3时，原方程化为2﹣x2=﹣3，∴x=±，检验适合（8分）当[x]=﹣2时，原方程化为2﹣x2=﹣2，∴x=±2，检验x=﹣2适合（10分）当[x]=﹣1时，原方程化为2﹣x2=﹣1，∴x=±，检验都不适合（12分）当[x]=0时，原方程化为2﹣x2=0，∴x=±，检验都不适合（14分）当[x]=1时，原方程化为2﹣x2=1，∴x=±1，检验x=1适合（16分）当[x]=2时，原方程化为2﹣x2=2，∴x=0，检验不适合（18分）综上可得满足条件的方程的解为或x=﹣2或x=1．（20分）14．解：（1）∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，∴∠DD1A=∠EE1B=∠ACB=90°，∵四边形ACFD与BEGC是正方形，∴∠DAC=∠CBE=90°，∴∠DAD1+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE1=90°，∴∠DAD1=∠ABC，∠EBE1=∠BAC，∴△DD1A∽△ACB，△EE1B∽△BCA，∴，，∴，；∴DD1+EE1=5；（2）过点C作CK⊥AB于K，∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°，∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠EBE1=90°，∴∠DAD1=∠ACK，∠EBE1=∠BCK，∵AD=AC，BC=BE，∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，∴DD1=AK，EE1=BK，∴DD1+EE1=AB，∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；（3）设M为DE的中点，Q为D1E1的中点，则：且MQ⊥AB，当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，又∵D1A=CK=E1B，∴D1E1的中点就是AB的中点．∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，∴此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为长的点上”．15．解：不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a，b，c恒成立．由已知条件知，a，b，c都不等于0，且c＞0．因为abc=1，有ab=＞0；又因为ab+bc+ca=0，所以a+b=﹣＜0，所以a≤b＜0．由一元二次方程根与系数的关系知，a，b是一元二次方程x2+x+=0的两个实数根，于是△=﹣≥0，所以c3≤．因此|a+b|=﹣（a+b）=≥4c=4|c|，不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a，b，c恒成立，所以k≤4，最大的实数k为4．16．证明：设任意△ABC的三边长为a，b，c，不妨设a＞b＞c．若结论不成立，则必有①≥．②记b=c+s，a=b+t=c+s+t，显然s，t＞0代入得≥，≥，令x=，y=则≥．③由a＜b＜c，得c+s+t＜c+s+c，即t＜c，于是．y=＜1由②得=1+x≥，④由③，④得y≥（﹣1）（1+x）≥=1，此式与y＜1矛盾．从而命题得证．17．解：（1）连接PC．∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．∴∠ACP=∠B=45°．又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，∴∠DPC=∠BPE．∴△PCD≌△PBE．∴PD=PE；（2）共有四种情况：①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；②CE=2﹣，此时PB=BE；③当CE=1时，此时PE=BE；④当E在CB的延长线上，且CE=2+时，此时PB=EB；（3）MD：ME=1：3．过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．∴MH∥AC，MF∥BC．∴四边形CFMH是平行四边形．∵∠C=90°，∴▱CFMH是矩形．∴∠FMH=90°，MF=CH．∵，HB=MH，∴．∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，∴∠DMF=∠EMH．∵∠MFD=∠MHE=90°，∴△MDF∽△MEH．∴．。
九年级数学竞赛提优练习1(无答案) 浙教版 试题
九年级数学竞赛提优练习11.（2012浙江衢州4分）如图，已知函数y=2x和函数ky=x的图象交于A、B两点，过点A 作AE ⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是．2. （2012浙江绍兴5分）如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为▲ （用含n的代数式表示）3. （2012浙江绍兴12分）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。
①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。
4 （2012浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．5.（2012湖北荆门10分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．6. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为2y ax bx3a(b0)=+-<，若抛物线C1经过点(0,3)-，方程2ax bx3a0+-=的两根为1x，2x，且12x x4-=。
初中数学浙教版竞赛试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，是分数的有（）。
A. √2B. πC. 0.3D. 32. 若a，b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两根，则a^2 + b^2的值为（）。
A. 5B. 6C. 7D. 83. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点为（）。
A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）4. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为12cm，则该三角形的周长为（）cm。
A. 30B. 32C. 34D. 365. 若一个数的平方根是±3，则这个数是（）。
A. 9B. -9C. 0D. 无法确定6. 下列函数中，是反比例函数的是（）。
A. y = 2x + 1B. y = 3/xC. y = x^2D. y = √x7. 一个圆的半径扩大了2倍，其面积扩大了（）倍。
A. 4B. 8C. 16D. 28. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）。
A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°9. 若a，b，c是等差数列，且a + b + c = 18，a + c = 12，则b的值为（）。
A. 3B. 6C. 9D. 1210. 下列各式中，正确的是（）。
A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)C. a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)D. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)二、填空题（每题4分，共40分）1. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x^2 + 2x + 3的值为______。
2. 下列函数中，是奇函数的是______。
3. 在直角坐标系中，点（-3，4）到原点的距离是______。
浙教版九年级数学竞赛试卷
九年级数学竞赛试题一、填空题1. 我们学习了反比例函数，例如，当矩形的面积S 一定时，长a 是宽B 的反比例函数，其函数关系式可以写成sa b=（S 为常数，S ≠0），请依照上列另举一个日常生活，生产或学习中是有反比例函数关系量的实例，并写出关系式 实例： 函数关系式： 2. 如图，已知一次函数(k 0y kx b =+≠）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点且与反比例函数(0)my m x=≠的图象在第一象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1，则反比例函数的解析式是 。
3. 二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（－2，1）和（1，3）且与y 轴交于点P ，若点P 纵坐标小于1的正数，则a 的取值范围是 。
4. 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）为函数21k y x-=的图象上两点，且x 1<0<x 2，y 1>y 2，则实数k 的取值范围是 。
5. 已知二次函数245y x mx =-+，当x ≤－2时，y 随x 的增大而减少，当x ≥－2时，y 随x 的增大而增大，当x=1时，y= 。
二、选择题：1. 把抛物线y 2x =的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的表示式是22y x mx n =-+，则有（ ） A 、m=2 n=1 B 、m =－4 n=1C 、m=－2 n=4D 、m=4 n=12. 正比例函数y=x 与反比例函数y=3x的图象相交于A 、C 两点.AB ⊥x 轴于B,CD⊥x 轴于D,如图1,则四边形ABCD 的面积为 ( )A 、2B 、3.5C 、4.5D 、63、小敏在某次投蓝中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =+的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是（ ）A 、3.5mB 、4mC 、4.5mD 、4.6m4、如下图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P 从起点出发，沿DC 、CB 向终点B 匀速运动，若点P 所走过的路程为x ，点P 所经过的线路与线段AD 、AP 所围成图形的面积为y ，y 随x 的变化而变化，在下列图形中，能正确反映y 与x 的函数关系是（ ）5、如图，正方OABC ，ABEF 的顶点A ，D ，C ，在坐标轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数1(0)y x x=>的图象上，则点E 的坐标是（ ）A 、⎝⎭B、⎝⎭C、⎝⎭D、⎝⎭三、解答题1．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点M到x轴的距离是4，抛物线与轴相交于O、P两点，OP=4；（1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式；（2）设点A是抛物线上位于O、M之间的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．①当BC=1时，求矩形ABCD的周长l；②试问矩形ABCD的周长l是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）连结OM、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q(除点P外)，使得△OMQ也是等腰三角形，简要说明你的理由（不必求出点Q的坐标）。
浙江省初中数学竞赛试题
2419A ．（ 0, －2）B ．,1,9,D ．1,9,浙江省初中数学竞赛试题一、 选择题 （共 8 小题, 每小题 5 分, 满分 40 分。
以下每小题均给出了代号为 A 、B 、C 、 C 的四个选项 , 其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填在题后的括号里 , 不填、多填或错填均得零分）11．函数 y ＝图象的大致形状是（ ）x2．老王家到单位的路程是8： 10）到 8：20（含 8：20）之间到达单位。
如果设老王步行的速度为x 米／分 , 则老王步行的速度范围是（ ）A ． 70≤x ≤87.5B ．70≤x 或 x ≥87.5点坐标是（ ））CD C ． 3D ． 3PD 3AOBpp0 的图象与 x 轴一个交点的横坐标是 P,那么该抛物线的顶 弦 AD, BC 相交于 P, 已知∠ DPB ＝ 60° , D 是弧 BC 的中点 , 则tan ∠ ADC 等于（ A ． 1B ．224．抛物线 y x2xC ．x ≤ 70D ．x ≥ 87.53．如图 , AB 是半圆的直径 3500米, 老王每天早上 7：30离家步行去上班 , 在 8：10（含5．如图, △ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝36°, CD 是角平分线 , 则△ DBC 的面积与△ ABC 的面部分, 则中间小正方形 （阴影部分）的周长为。
11．在锐角三角形 ABC 中, ∠A ＝50°, AB >BC, 则∠ B 的取值范围是积的比值是（ ）C ． 3 535 36．直线 l ： y px p是不等于 0的整数 与直线 y ＝x ＋ 10 的交点恰好是（横坐标和纵坐标都是整数） , 那么满足条件的直线 l 有（A ．6 条B ．7 条C ．8条D ．无数条7．把三个连续的正整数 a, b, c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入的三个方框中 , 作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 少有一个整数根的 a, b, c （ ）A ．不存在B ．有一组C ．有两组D ．多于两组8．六个面上分别标有 1,1, 2,3, 3,5 六个数字的均匀立方体的表面如 图所示 , 掷这个立方体一次 , 记朝上一面的数为平面直角坐标系中 某个点的横坐标 , 朝下一面的数主该点的纵坐标。
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九年级数学竞赛试题
一、填空题
1. 我们学习了反比例函数，例如，当矩形的面积S 一定时，长a 是宽B 的反比
例函数，其函数关系式可以写成s
a b
=
（S 为常数，S ≠0），请依照上列另举一个日常生活，生产或学习中是有反比例函数关系量的实例，并写出关系式 实例： 函数关系式： 2. 如图，已知一次函数(k 0y kx b =+≠）的图象与x 轴、
y 轴分别交于A 、B 两点且与反比例函数(0)m
y m x
=
≠的图象在第一象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1，则反比例函数的解析式是 。
3. 二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（－2，1）和（1，3）且与y 轴交于点
P ，若点P 纵坐标小于1的正数，则a 的取值范围是 。
4. 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）为函数21k y x
-=的图象上两点，且x 1<0<x 2，y 1>y 2，
则实数k 的取值范围是 。
5. 已知二次函数245y x mx =-+，当x ≤－2时，y 随x 的增大而减少，当x ≥
－2时，y 随x 的增大而增大，当x=1时，y= 。
二、选择题：
1. 把抛物线y 2x =的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象
的表示式是22y x mx n =-+，则有（ ） A 、m=2 n=1 B 、m =－
4 n=1
C 、m=－2 n=4
D 、m=4 n=1
2. 正比例函数y=x 与反比例函数y=3x
的图象相交于A 、C 两点.AB ⊥x 轴于B,CD
⊥x 轴于D,如图1,则四边形ABCD 的面积为 ( )
A 、2
B 、3.5
C 、4.5
D 、6
3、小敏在某次投蓝中，球的运动路线是抛物线21 3.55
y x =+的一部分，若命中篮
圈中心，则他与篮底的距离是（ ）
A 、3.5m
B 、4m
C 、4.5m
D 、4.6m
4、如下图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P 从起点出发，沿DC 、CB 向终点B 匀速运动，若点P 所走过的路程为x ，点P 所经过的线路与线段AD 、AP 所围成图形的面积为y ，y 随x 的变化而变化，在下列图形中，能正确反映y 与x 的函数关系是（ ）
5、如图，正方OABC ，ABEF 的顶点A ，D ，C ，在坐标轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数1(0)y x x
=>的图象上，则点E 的坐标是（ ）
A 、⎝
⎭
B
、
⎝⎭
C
、
⎝⎭
D
、
⎝⎭
三、解答题
1．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点M
到x轴的距离是4，抛物线与轴相交于O、P两点，
OP=4；
（1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线
的解析式；
（2）设点A是抛物线上位于O、M之间的一个动
点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．
①当BC=1时，求矩形ABCD的周长l；
②试问矩形ABCD的周长l是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）连结OM、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q(除点P外)，使得△OMQ也是等腰三角形，简要说明你的理由（不必求出点Q的坐标）。
2．某公司欲将一批容易变质的水果从甲地运往乙地销售，共有飞机、火车、汽车三种可能的运输方式，现准备选择其中的一种。
这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：
已知这批水果在运输（包括装卸）过程中损耗为200元/小时，设甲、乙两地间的距离为 x千米。
（1）如果用W1、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求出W1、W2、W3与x间的关系式；
（2）该公司应采用哪一种运输方式，才使运输时的总支出费用最少？
3、已知四个互不相等的实数，x1，x2，x3，x4，其中x1<x2，x3<x4
①列单x1，x2，x3，x4从小到大排列的所有可能情况。
②已知a为实数，函数24
y x ax
=+-与x轴交于（x3，0），（x4，0）两点，函
数y=x+ax-4系x轴交数于（x
3,0）(x
4
,0)两点，若这几个交点从左到右依次被A、
B、C、D，且AB=BC=CD求a的值。