概率论与数理统计ch1-1
概率之1-1_
第 1次
H
第 2次 H 注：在每次试验 中必有一个样本 点出现且仅有一 个样本点出现.
(H,H):
(H,T)： (T,H): (T,T)：
H
T T
T
H T
Ch1-1-24
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.
练习：
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数. 答案：
1. {3, 4, 5, , 18}.
2. {10, 11, 12, }.
Ch1-1-28
说明： 1. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样本空间 也不同. 例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.
记 N 正品, D 次品.
则 3 { NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }. 以上例子都属于有限样本空间。
Ch1-1-25
实例4 记录某公共汽车站某日
上午某时刻的等车人数.
4 {0, 1, 2,}.
无限样本空间. 实例5 考察某地区 12月份的平
Ch1-1-10
然而德.梅勒争执到：再掷一次骰子，对他来说 最糟糕的事是他将失去他的优势，游戏是平局， 每人都得到相等的30个金币；但如果掷出的是 “5”，他就赢了，并可拿走全部的60个金币。 在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30 个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币， 所以，他应分得45个金币。
Ch1-1-13
创立：1713年，雅各布-伯努利的《猜测术》出 版，是概率论成为数学中的一个独立分支的标志。 他建立了第一个极限定理，即伯努利大数定律。
《概率论与数理统计》课件ch1-1
A B
n
的交 —— ——
Ai
i 1
A1 , A2 ,, An , 的交
Ai
i 1
4. 差
A
Ch1-1-14
A B
— A 与B 的差
B
A B
A 发生且 B 不发生
Ch1-1-15
5. 互斥(互不相容)
AB — A 与B 互斥
A、
A 的对立(逆) A — A不发生
A A
A A
A
A
A A ,
A A
注意：概念“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”
Ch1-1-17
7. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An 两两互斥，且
A
i i 1
n
则称A1 , A2 ,, An 为完备事件组
或称A1 , A2 ,, An 为 的一个划分
Ai Ai 并的逆=逆的交
i 1 i 1
n
n
Ai Ai 交的逆=逆的并
i 1 i 1
n
n
Ch1-1-20
分配律
B A C
图 示
A (BC ) ( A B)( A C )
B A C
5. A
A A
A A A
Ch1-1-21
必然事件——全体样本点组成的事件, 每次试验必定发生. 不可能事件——不包含任何样本点的事 件, 每次试验必定不发生.
Ch1-1-9
例1-1-2 盒中有10个相同的球,分别编号
1,...,10.现从中任取一球.分析此试验的样本 空间及随机事件. = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A={所取球的标号为偶数} ={2,4,6,8,10} B={所取球的标号不大于3}={1,2,3}
概率论与数理统计 (1)
概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
若事件A1, A2 ,..., An满足 : (1) A1 A2 ... An (2) Ai Aj (i j) 则称A1, A2 ,..., An为完备事件组.
概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
事件的运算法则
1.交换律
AB B A ; AB B A
概率论与数理统计
§1.2 概率的直观定义
A={某指定的n个房间中各有一个人住}
P( A)
n! Nn
B={恰好有n个房间，其中各住一人}
P(B)
C
n N
N
n!
n
N! N n ( N n)!
C={某指定的一间房中恰好有m (m<n)人}
P(C )
Cnm ( N 1)nm Nn
Cnm
1 N
m
1
1 N
2.结合律
A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C
3.分配律
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
4.对偶原则 A B A B ; A B A B
概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
者 实验者实验者 掷币 实次 验数 者掷币 n 次掷数币n次出 数现掷n正币面次 出次数 现数正n出m面现次正数面m次出数现频正 m率面fn次(频 A数)率mfn频(A率) fn(A)频 弗 隶莫弗隶莫弗 隶20莫48弗 2048 2048 12006418 1061 1061 0.15016811 0.51810.5181 0
则称P(A)为事件A的概率。
概率论与数理统计
§1.3 概率的公理化定义
概率论与数理统计-大学课件-ch1.1
随机试验
研究随机现象，首先要对研究对象进行观察试验. 这里的试验，指的是随机试验：.
如果每次试验的可能结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验.
例如, 掷寿硬命币试试验验 测命掷试. 一在枚掷同硬一一币颗工，骰艺观子掷条察，骰件出观子下正察试生还出验产是现出反的的.点灯数泡的寿
.
A B
AB
在可列无穷的场合，用 表示事件“A1、A2 、 …诸事件
同时发生。”
事件A发生但事件B不发生, 称为事件A与B的差事件。
A B
A B
显然：
AB
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
则称A和B是互不相容的或互斥的,
指事件A与B不可能同时发生。 基本事件是两两互不相容的。
H
T
随机试验的特点
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
试验可以在相同条件重复进行；
试验的可能结果不只有一个， 但试验的全部可能结果，是在试验前就明确的；
每次试验的结果是不可预知的.
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
样本空间与事件
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B
的积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共样本
点所构成的集合。
n个事件A1 , A2 , … , An 的积
记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An ，
或A1A2 … An ，也可简记为
概论与统计第一章 随机事件及概率
事件 C：“没有次品”
基本事件
事件 D： “有2个或3个次品”
包含2个基本事件:
整理课件
1.3 事件间的关系及运算 ❖ 引言
因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事 件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似。
1、事件的包含与相等
属于 A 的 必然属于 B
** 事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生，则称事件 B
试验E的任何事件A都可表示为其样本空间的子集。
样本空间Ω的仅包含一个样本点ω的单点集{ω}称为基本
事件，也是一种随机事件。否则，称为复合事件(由两个或两 个以上的基本事件构成的事件整)理。课件
事件发生：如果当且仅当样本点ω1,ω2,…,ωk有一个出 现时，事件A就发生。
用事件A中的样本点的全体来表示事件A，即 A={1， 2，…... k}
了数理统计的基本概念和方法，主要有参数估计、参数假设检验、
回归分析基本知识和原理，使学生对统计学原理的作用有一深刻的
了解。(Ch6----Ch9)
通过本课程的学习，使学生能全面理解、掌握概率论与数理统
计的思想与方法，掌握基本而常用的分析和计算方法，并能运用概
率论与数理统计的观点和方法来研究解决经济与管理中的实践问
题。
整理课件
第一章 随机事件及其概率
引言
确定性现象：在一定条件下一定会发生或一定不会发生 的现象
随随机机现现象象：：在在一一定定条条件件下下可可能能发发生生也也可可能能不不发发生生的的现现象象
例 1 (1)太阳从东方升起 (2)边长为a的正方形的面积为a2 (3)一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球
整理课件
§1 随 机 事 件
1.1 随机试验与样本空间
概率论与数理统计总复习-
一. 二维离散型r.v.
概率统计-总复习-13
1. 联合分布律（2个性质）
P(Xxi,Yyj)pij,
2.联合分布函数（5个性质）
F ( x , y ) P X x , Y y
3.联合分布律与联合分布函数关系
F(x,y)pij, xixyjy
4. 边缘分布律与边缘分布函数
n
Xi
n
E( Xi )
i1 i1
D
n
Xi
n
D( Xi )
i1 i1
X1,,Xn 相互独立
常见离散r.v.的期望与方差
概率统计-总复习-27
分布 概率分布
期望 方差
参数p的 0-1分布
P (X 1 )p ,P (X 0) q
2. 联合分布函数（5个性质）
xy
F(x,y) p(u,v)dvdu
3.联合密度与联合分布函数关系 2F( x,y) p( x,y)
xy
4.边缘密度与边缘分布函数
p (x) p( x,y)dy p ( y) p( x,y)dx
X
Y
FX( x) F(x, ) FY ( y ) F(, y)
5.全概率公式：分解 P(B) P(Ai)P(B|Ai),B
i1
6.贝叶斯公式
P(Aj |B)
P(Aj )P(B| Aj )
,j
P(Ai )P(B|Ai )
i1
四. 概率模型
概率统计-总复习-6
1.古典概型： 摸球、放球、随机取数、配对
2. n重伯努利概型：
概率论与数理统计第1讲1.1
概率论与数理统计第1讲1.1第1讲Ch.1 随机事件与概率§1.1 随机事件及其运算导学：随机现象、样本空间…揭示随机现象统计规律1.1.1 随机现象（也称偶然现象）1.概率论与数理统计的研究对象随机现象（的统计规律）.2.随机现象及其特点随机现象：一定条件下，出现的可能结果不止一个的现象.特点：i)可能结果不止一个；ii)结果不可预先准确预测.3.必然现象：(P.1.简单关注！)4.随机现象实例例1.1.1(1)掷一枚均匀的硬币，观察朝上一面；(2)掷一颗均匀的骰子，观察掷出的点数；(3)观察一天中进出某超市的顾客数；(4)检测某种型号电视机的寿命时数；(5)测量某物理量的误差.稍作判断易见，本例中的5种现象均为随机现象，且容易明白，随机现象广泛存在于人们的工作与生活中.5.随机试验(简称试验)定义：P.1. (试验?随机现象)1.1.2 样本空间1.定义：试验的所有可能基本可能结果组成的集合称为样本空间，其中的元素称为样本点.记号：样本空间常用Ω记，对Ω的描述方法有两种：代表元法：Ω＝{ω|iω表示试验的第i种基本可能结果，i=1，i2，3，…}列举（区间）法：通过以下例子体会.2.写出随机现象对应的样本空间例1.1.2写出“例1.1.1”所列5种随机现象对应的样本空间解首先写代表元形式，再写列举（区间）形式：(1)1Ω＝{iω|1ω＝“掷出正面”，2ω＝“掷出反面”}＝{掷出正面，掷出反面}；(2)2Ω＝{i|i表示掷出i点，i=1,2,3,4,5,6}＝{掷出1点，掷出2点，…，掷出6点}＝{1,2,3,4,5,6}；(3)3Ω＝{i |i 表示有i 人进出，i =0,1,2,…}＝{0,1,2,…}；(4)4Ω＝{t |t 表示寿命时数为t ，t ≥ 0}＝[0,＋∞ )；(5)5Ω＝{x |x 表示测量误差为x ，+∞<<∞-x }＝),(+∞-∞.3.样本空间的分类i)分有限与无限（P.2.）ii)分离散与连续（P.2.）1.1.3 随机事件1.定义：样本空间Ω的子集称为随机事件. 这是基于样本空间给出的定义. 也可以基于随机现象给出定义为：可能发生，也可能不发生的可能结果，概率论抽象称之为随机事件. 随机事件简称为事件.2.记号：概率论约定用大写英文字母A ，B ，C ，…作为事件的记号.3.Venn 图表示：4.例子：对应于例1.1.2中的(2)Ω＝{1,2,3,4,5,6}2记A＝“掷出奇数点”＝{1,3,5}，显然A为2Ω的子集，所以A为事件.Remarks事件定义的进一步解读i)“事件A发生”意谓“在试验中A包含的某个样本点出现了”. 反之亦然.Ω＝{1,2,3,4,5,6} 例：对应于“例1.1.2”中的(2)2事件A＝“掷出奇数点”发生，表明：一次抛掷中掷出了1点或3点或5点.ii)事件的描述方法有三种：(我们要视场合选用！) 方法1：集合表示法；方法2：用明白无误语言(加以引号)表述法；方法3：用随机变量取值表示法.(在1.1.4中给出解释！)iii)三种特别事件基本事件----Ω的单元素子集必然事件----Ω本身(每次试验必然发生的事件)不可能事件----Φ(每次试验都不发生的事件)5.事件例Ω＝{1,2,3,4,5,6}，例1.1.3对应于“例1.1.2”中的(2)2若记i A ＝“掷出i 点”, i =1,2,3,4,5,6，则1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 均为基本事件；记B ＝“掷出偶数点”，则B 为事件；记C =“掷出点数小于7”，则=C 2Ω为必然事件；记D =“掷出点数大于6”，则=D Φ为不可能事件.1.1.4 随机变量(Remark 随机变量简记为..V R ，在概率论中..V R 是与随机事件同等重要或者更为重要的一个概念，此处对..V R 只作简介，第二章再进行详细讨论！)1. ..V R 的直观定义与记号用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 通常用大写英文字母X ，Y ，Z 记之.Remark 对前面留下的一个问题“用随机变量取值表示随机事件”的理解：对一个具体的随机问题进行研究时，在引入..V R 后，..V R 取某个值或..V R 取值落入某个范围，都具有可能发生也可能不发生的特征，所以都是随机事件. 也就是说，可用..V R 的取值（取某个值或..V R 取值落入某个范围）来表示事件.2.对一个具体的随机问题，引入..V R 后用其取值表示事件举例例1.1.4 对应于“例1.1.2”中的(2) 2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若引入X =“掷出的点数”.则X 为..V R ，且可用i)“3=X ”表示事件“掷出3点”；ii)“3≥X ”表示事件“掷出的点数大于等于3”；iii)“3<=""> iv )“7X ”表示不可能事件“掷出的点数大于6”. Remark 同类关注“掷两颗均匀骰子”的试验.有Ω={),(j i |),(j i 表示第1，2颗骰子分别掷出i 点, j 点那一基本可能结果j i ,＝1,2,3,4,5,6}={(1,1), (1,2), …, (1,6),(2,1), (2,2), …, (2,6),‥‥‥‥‥‥‥‥,(6,1), (6,2), …,(6,6)}易见，这里的Ω共有36个样本点. 若引入X =“第1颗掷出的点数”，Y =“第2颗掷出的点数”，则X ，Y 均为..V R ，且可用i)“Y X +=5”表示事件“两颗骰子掷出的点数和为5”，且显然事件“Y X +=5”包含的样本点集为{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }(共有4个样本点). ii)“),max(Y X =6”表示事件“掷两颗骰子掷出的点数最大者为6”，同样容易明白事件“),max(Y X =6”＝{(1,6), (2,6), (3,6), (4,6) , (5,6) , (6,6) , (6,5) , (6,4) , (6,3) , (6,2) , (6,1)}.例1.1.5 对“检验10件产品”这一试验，若引入X =“被检10件产品中的次品件数”，则X 为..V R ，其可能取值为0，1，2，…，10，且可用i)“1≤X ”表示事件“10被检件产品中的次品件数不多于1件”；ii)“2>X ”表示事件“被检10件产品中的次品件数超过2件”.例1.1.6 对“检测电视机寿命”的试验，若引入T =“电视机的寿命小时数”，则T 为..V R ，其可能取值充满区间[0,+∞),且容易明白：i)“40000>T ”表示事件“电视机的寿命超过40000小时”；ii)“10000≤T ”表示事件“电视机的寿命不超过10000小时”.1.1.5 事件的关系（Remarksi)一定要在同一Ω下讨论事件间的关系与运算，可借助集合间的关系与运算加以理解.ii)重视事件关系与运算的概率论语言的描述.） 1 包含关系①定义与记号：若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件A 包含于B ，也称事件B 包含A .记作B A ?或A B ?.(这是用概率论语言对事件包含关系的描述！) ②用集合论语言对事件包含关系的描述：若事件A 包含的样本点全属于事件B ，则称事件A 包含于B ，也称事件B 包含A .③Venn 图表示：B A ?④例子：i)对应于“例1.1.2”中的(2)2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出4点”，B ＝“掷出偶数点”，则B A ?.ii)对应于“例1.1.2”中的(4)4Ω＝[0,+∞)，若记A ＝“电视机的寿命超过10000小时”， AB ΩB ＝“电视机的寿命超过20000小时”，则A B ?.iii)对任意事件A ，都有Ω??ΦA .2 等价关系①定义与记号：若事件A 与事件B 互相包含，则称事件A 与事件B 等价，也称事件A 事件B 相等.记作B A =. ②用集合论语言对事件等价关系的描述：若事件A 与事件B 包含的样本点完全相同，则称事件A 与事件B 等价.③Venn 图表示：B A =④例子：i) 对应于“例1.1.2”中的(2) 2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出非奇数点”，B ＝“掷出偶数点”，则B A =.ii)例1.1.7(1)对“掷两颗均匀骰子”的试验，其Ω共有36个样本点，若记A ＝“掷出点数和为奇数”，B ＝“掷出一奇一偶的点数”，A BΩ则B A =.(2)从有a 只黑球和b 只白球(a>0,b>0)的袋中随机地一只一只作无放回摸球.若记A ＝“最后摸出的几只球全为黑球”，B ＝“最后摸出的1只球为黑球”，则B A = (如何理解？课外讨论题1).本讲课外作业习题1.1 .11.P1.(1)，(3) 4.(1)。
CH1-1事件与概率
又 P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7
P(B) P( A B) P( A) P( AB)
0.7 0.4 0 0.3
条件概率与独立性
例如:一枚硬币抛两次，观察其正反面出现的次数。
解： 样本空间 ={正正，正反，反正，反反}
事件 A表示至少有一次为正面，
件 A 发生的次数。当试验次数 n 很大时，如果频率
m n 稳定在某一数值 p 的附近摆动，并且随着试验
次数的增多，这种摆动的幅度愈来愈小，此时数值 p
称为随机事件 A 发生的概率，记作 P(A) p 。
可用Excel进行抛掷均匀硬币的实验：
RANDBETWEEN(-1000,1000)产生随机数，按所得 数的正负，分别计算频率，观察频率的稳定性。
样本空间为: {1,2 ,...,6}
"向上的点数大于3"记为事件 A {4 ,5 ,6}
"向上的点数小于2"记为事件 B {1}
"向上的点数小于0"记为事件 C { }=
"向上的点数小于10"记为事件 B {1,2 ,...,6}=
事件间的关系和运算
1.事件 B 包含事件 A ：
A 发生必然导致B 发生，
A A 1 k 1 a ab1 Aakb
a
a b
结论：取得白球的概率与取球的先后次序无关。
抽签原理
例 8.(投球问题) n 个球投到 N 个盒子中去（设盒子的 容量不限）试求恰有 n 个盒子各有一球的概率。
解：设 A 表示每个盒子至多有一个球，
样本空间中样本点的总数为N n ，
事件 A 所包含的样本点个数为 ANn .
概率之1-1 概率论发展简史及随机事件(专衔本)
许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间：
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
பைடு நூலகம்
Ch1-1-30
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
Ch1-1-7
三、应用：
在最近几十年中，概率论的应用几乎遍及所有的 科学领域，物理、生物、化学、经济、工农业、军事 和科学技术等方方面面。 例如：(1)预测和滤波应用于空间技术和自动控制； (2)时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；
(3)马尔可夫过程，点过程应用于地震预报和气象预报； (4)在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、 分辨率等等.
样本空间为 : S 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
3,5中的某一个
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5
出现.
Ch1-1-35
(3) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
基本事件(单点集,不可再分) 随 机 复合事件 事 必然事件 件 不可能事件
Ch1-1-10
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
Ch1-1-11
实例2
抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
T218概率论与数理统计复习资料ch1-11大数定律及中心极限定理
或
~ n np
近似地
N (0,1)
np(1 p
B(16,0.36)和N(5.76,3.6864)的对比：
0.25
b(16,0.36)和 N(5.76,3.6864)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
B(25,0.36)和N(9,5.76)的对比：
B(300,0.25)和N(75,56.25)的对比：
P{a n b}
(b np ) (a np )
(120 120) (100 120)
npq
npq
48
48
(0) (2.887) 0.5 1 0.9981 0.4981
(2) 设至少要供给这个车间 r 千瓦电才能以99.9%的概
率保证这个车间正常生产。由题意有 P{ X r} 0.999
t2
e 2 dt
2
（以下的注解是拉普拉斯定理的实质，要领会）
定理表明：正态分布是二项分布的极限分布，即：
若 n ~ B(n, p) 当n很大，0<p<1是一个定值时 （或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 n
的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).也就是:
近似地
n ~ N (np, np(1 p))
n
定理条件，随即变量之和 X k，当n很大时，就近 k 1
似服从正态分布，这就是为什么正态分布在概率论
中所占的重要地位的一个基本原因.
德莫佛-拉普拉斯定理
ห้องสมุดไป่ตู้
(De Moivre--Laplace)
概率论与数理统计第一章课后答案
第5题
必然事件是指概率为1的事件，因此 C选项正确。
习题二答案与解析
1. C 答案
2. B
01
03 02
习题二答案与解析
01
3. D
02
4. A
03
5. B
习题二答案与解析
第1题
根据概率的加法公式，两个互斥事件之和的概率等于它们概率的和，因此C选项正确。
第2题
根据概率的乘法公式，两个独立事件同时发生的概率等于它们概率的乘积，因此B选项 正确。
习题二答案与解析
01
02
第3题
第4题
根据概率的加法公式，两个对立事件 之和的概率等于1减去它们的概率之 和，因此D选项正确。
根据概率的加法公式，两个互斥且对 立事件之和的概率等于1减去它们的 概率之和，因此A选项正确。
03
第5题
根据概率的加法公式，两个独立事件 同时发生的概率等于它们概率的乘积 加上它们的概率之和减去它们同时发 生的概率，因此B选项正确。
3. C 4. B 5. C
习题一答案与解析
第1题
根据概率的基本性质，任何事件的概率都介 于0和1之间，因此A选项正确。
第2题
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，因 此D选项正确。
习题一答案与解析
第3题
独立事件是指一个事件的发生不受另 一个事件是否发生的影响，因此C选
项正确。
第4题
不可能事件是指概率为0的事件，因 此B选项正确。
概率论与数理统计的应用领域
金融
概率论与数理统计在金融领 域中广泛应用于风险评估、 投资组合优化和金融衍生品 定价等方面。
医学
在医学领域，概率论与数理 统计用于临床试验设计、流 行病学研究、诊断和预后评 估等方面。
概率论与数理统计1完整(完整版)ppt课件
.
19
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
P(A) m(A)
m()
(其中 m()是样本空间,m 的 (A)度 是量 构成事 A 件 的子区域的 )这度样量借助于几量 何来 上合 的理 度 规定的概率 几称 何为 概 . 率
对偶律: A B A B;
A B AB.
证明 对偶律.
.
13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
.
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3 只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）
A-BAAB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)AB
.
10
5.事件的互不相容(互斥):
若 AB,则A 称 与 B 是 互 不 ,或 相 互 容 ,即 斥
A 与 B 不能同 . 时发生
B
A B
A
.
11
6. 对立事件(逆事件)： 若ABS且A B，则A称 与B互为逆事件
概率论与数理统计ch1-1
第一章事件与概率概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科.一．必然现象与随机现象必然现象: 在一定条件下结果必然会发生的现象。
例如:1.在标准大气压下,纯水加热到100o C时必然会沸腾；2.在没有外力作用的条件下，作匀速直线运动的物体必然继续作匀速直线运动；3.掷一颗骰子，出现点数为7是不可能的等等.它们的共同特征是，现象的某个结果在给定条件下能否发生是完全可以预言的.概率论与数理统计以外的数学分支研究的是必然现象的数量规律.随机现象: 在一定条件下可能发生这样的结果，也可能发生那样的结果，即预先不能确定到底发生哪种结果的现象。
例如:1. 当掷一枚硬币时，可能出现“正面朝上”，也可能出现“反面朝上”，在掷硬币之前不能确定哪一面朝上；2.某电话交换台在一分钟内接到的呼唤次数可能是0次，也可能是1次，2次，…，事先不能确定哪种结果会出现.二．随机试验一个试验如果满足下述条件：(1) 试验可以在同一条件下重复进行；(2) 试验的所有可能结果是明确可知道的，而且往往不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的某一个，但在试验之前不能确定哪个结果将会出现.则称这样的试验是一个随机试验，简称试验.一种随机现象就对应一个随机试验.随机试验常用E或E1，E2，…等表示.三．随机现象的统计规律性* 例如:将一枚质料均匀、形状对称的硬币（通常称为均匀的硬币）投掷一次，可能出现正面朝上，也可能出现反面朝上，其结果事先无法肯定. 但是在大量次的投掷中，出现正面朝上的次数几乎总是投掷总次数的一半，呈现出明显的规律性.* 又如，波义耳—马哈特定律就是其中的一个，这个定律告诉我们，构成气体的每个分子在运动过程中是杂乱无章的，然而大量分子运动总体的压强，体积与温度之间是有规律性的.通常把随机现象在大量重复试验下所呈现的这种规律性称为随机现象的统计规律性.§1.1 随机事件和样本空间一．随机事件随机事件：随机试验中可能发生,也可能不发生的事情称为随机事件, 简称事件. 随机事件通常用大写字母A,B…等来表示.必然事件：如果在每次试验中, 某件事一定发生, 则称这件事为必然事件, 通常用Ω表示;不可能事件：如果在每次试验中, 某结果一定不发生, 则称这一事件为不可能事件, 通常用ф表示.必然事件和不可能事件是随机事件的两个极端情形而已.例1.1.1 掷一枚均匀的硬币, 观察哪面朝上. 则A={正面朝上}，B={反面朝上}都是随机事件. Ω={正面朝上或反面朝上}是必然事件, ф={正反面两面都朝上}是不可能事件.例 1.1.2 掷一颗均匀的骰子,观察朝上一面的点数, 则A i={掷出点数为i点}, i= 1,2, (6)C={掷出点数为奇数点}; G={掷出点数大于1且小于5}等都是随机事件. 而Ω={掷出点数小于7}是必然事件,ф={掷出点数小于1}是不可能事件.二．样本空间一个试验E的所有可能出现的结果所组成的集合叫做E的样本空间，记为Ω. Ω中的元素也称为样本点, 通常记为ω.显然，样本空间是确定的.例如，例1.1.1中，Ω={ω1,ω2}, 其中ω1表示正面朝上,ω2表示反面朝下；例 1.1.2中，Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}, 其中ωi表示掷出点数为i, i=1, (6)以上只包含有限个样本点的样本空间称为有限样本空间.例1.1.3 考察某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数，则其所有的样本点为ωi={单位时间内收到i次呼唤}，i= 0, 1, 2, …. 所以样本空间为Ω={ω0,ω1,ω2,…}.以上包含无限可列多个样本点的样本空间称为可列样本空间.有限样本空间，可列样本空间统称为离散样本空间.例1.1.4 测量某电器元件的寿命T，则样本空间Ω=[0，+∞).以上包含无限不可列个样本点的样本空间称为不可列样本空间.归纳：随机事件的定义：随机试验E的样本空间Ω的某些子集A称为E的随机事件. 简称事件. Ω的只包含一个样本点的子集称为基本事件,包含两个或两个以上样本点的子集称为复合事件.约定：事件A发生，当且仅当A所包含的样本点之一在试验中出现.例如，例1.1.1中，A、B是单点集：A={正面}，B={反面}例1.1.2中，C={ω1,ω3,ω5}, G={ω2,ω3,ω4}；例1.1.4中，D={某电器元件的寿命不小于1000小时}=[1000，+∞).练习1：1,2,3,4号运动员，写出下列实验的样本空间：（1）任选3人参加运动会（2）选2人，1人参加全运会，另一人参加亚运会.三．事件间的关系与运算如果没有特别的声明，在以下的叙述中总认为样本空间Ω已经给定，并且还给定了Ω中的一些事件，如A、B、A i（i= 1,2,…）等等.1. 事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含了A或A包含于B 中，记为B⊃A或A⊂B.如在例1.1.2中，令A={掷出点数为4点}，B={掷出点数为偶数}，则A⊂B.几何解释：图1-1 图1-2由此可知，事件A⊂B的含义与集合论中的含义是一致的.规定：对于任意事件A，有φ⊂A .如果A⊂B与A⊃B同时成立，则称A与B是相等(或等价)的，记为A=B.显然，构成两个相等事件的基本事件是相同的，即两个相等的事件含有相同的样本点.2. 并（或和）事件称{事件A、B中至少有一个发生}这一事件为事件A、B的并（或和），记作A∪B.如在例1.1.2中，令A={掷出点数≤3}，B={掷出点数为偶数}，则A ∪B={掷出点数为1,2,3,4,6}.3. 交（或积）事件称{事件A、B同时发生}这一事件为事件A、B的交（或积），记作A∩B或AB.图1-3 图1-4如在例1.1.2中，若A，B同上，则A∩B={掷出点数为2}例1.1.5 掷两枚均匀的硬币，若A={恰有一个正面朝上}，B={恰有两个正面朝上}，C={至少有一个正面朝上}, 则有A∪B=C, AC=A,BC=B, AB=ф另外，显然对于任意事件A、B，有A⊂A∪B，B⊂A∪B，AB⊂A，AB⊂B4. 互斥（或互不相容）事件如果二事件A、B不可能同时发生，即AB=ф，则称A、B是互斥的（或互不相容的）.如在例1.1.2中，A={掷出点数为3}，B={掷出点数为偶数}，则显然AB=ф，即A、B是互斥的.不可能事件与任何事件互斥。
概率论与数理统计第一章课件
所有样本点的平均值
样本方差
描述样本点离散程度的量
无偏估计
样本统计量的值等于总体参数的真实值
t分布与F分布
t分布
用于描述小样本数据的分布情况，也 称学生t分布
F分布
用于描述两个比例的方差之间的比例 关系
04
参数估计
点估计与估计量
点估计
用样本统计量来估计未知参数的 过程。
估计量
用于估计未知参数的样本统计量。
假设检验的分类单侧检验、双侧检验。来自 单侧与双侧检验单侧检验
01
只关注参数的一个方向是否满足假设，如检验平均值是否大于
某个值。
双侧检验
02
关注参数的两个方向是否满足假设，如检验平均值是否在两个
值之间。
单侧与双侧检验的选择
03
根据实际问题需求和数据特征选择合适的检验方式。
显著性检验与P值
显著性检验
通过比较样本数据与理论分布，判断样本数据是否显著地偏离理 论分布。
P值
观察到的数据或更极端数据出现的概率，用于判断是否拒绝或接 受假设。
P值的解读
P值越小，表明数据越显著地偏离理论分布，假设越可能不成立。
第一类错误与第二类错误
1 2
第一类错误
拒绝实际上成立的假设，也称为假阳性错误。
第二类错误
接受实际上不成立的假设，也称为假阴性错误。
3
错误率控制
通过调整临界值的大小，可以控制第一类错误和 第二类错误的概率，从而实现错误率控制。
通过参数估计，还可以对生产过 程进行实时监控和预警，及时发 现并解决生产中的问题，保证生
产的稳定性和可靠性。
假设检验在医学研究中的应用
假设检验是数理统计中的一种 重要方法，在医学研究中有着
概率论与数理统计教案第一章第1节[推荐]
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概率论与数理统计教案第一章第1节[推荐]第一篇：概率论与数理统计教案第一章第1节[推荐]第一章随机事件及其概率概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域.本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.第一节随机事件内容分布图示★ 随机现象★ 样本空间★ 随机现象的统计规律性★ 随机事件★ 事件的集合表示★ 事件的关系与运算★ 事件的运算规律★ 例1 ★ 例4 ★ 内容小结★ 习题1-1★ 例2 ★ 例5 ★ 课堂练习★ 例3 内容要点：一.随机现象从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究.概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科.二.随机现象的统计规律性由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律.然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性.人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E.例如, 观察某射手对固定目标进行射击;抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数;记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.随机试验具有下列特点: 1.可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行;2.可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;3.不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知.三.样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为e（或ω）；它们的全体称为样本空间, 记为S(或Ω).基本事件的称谓是相对观察目的而言它们是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.四.事件的集合表示按定义, 样本空间S是随机试验的所有可能结果(样本点)的全体, 故样本空间就是所有样本点构成的集合, 每一个样本点是该集合的元素.一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的, 所以一个事件对应于S中具有相应特征的样本点(元素)构成的集合, 它是S的一个子集.于是, 任何一个事件都可以用S的某一子集来表示,常用字母A,B,Λ等表示.五.事件的关系与运算因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.六.事件的运算规律事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：表1.1 记号Ω∅概率论样本空间,必然事件不可能事件基本事件事件A的对立事件事件A发生导致B发生事件A与事件B相等事件A与事件B至少有一个发生事件A与事件B同时发生事件A发生而事件B不发生事件A和事件B互不相容集合论全集空集元素子集A的余集A是B的子集A与B的相等A与B的和集A与B的交集A与B的差集A 与B没有相同的元素ωAAA⊂BA=BA Y BABA-BAB=∅例题选讲：例1在管理系学生中任选一名学生, 令事件A表示选出的是男生, 事件B表示选出的是三年级学生, 事件C表示该生是运动员.(1)叙述事件ABC的意义;(2)在什么条件下ABC=C成立?(3)什么条件下C⊂B?(4)什么条件下A=B成立? 解(1)ABC是指当选的学生是三年级男生, 但不是运动员.(2)只有在C⊂AB, 即C⊂A,C⊂B同时成立的条件下才有ABC=C 成立, 即只有在全部运动员都是男生, 且全部运动员都有是三年级学生的条件下才有ABC=C.(3)C⊂B表示全部运动员都是三年级学生, 也就是说, 若当选的学生是运动员, 那么一定是三年级学生, 即在除三年级学生之外其它年级没有运动员当选的条件下才有C⊂B.(4)A⊂B表示当选的女生一定是三年级学生, 且B⊂A表示当选的三年级学生一定是女生.换句话说, 若选女生, 只能在三年级学生中选举, 同时若选三年级学生只有女生中选举.在这样的条件下, A=B成立.例2 考察某一位同学在一次数学考试中的成绩, 分别用A, B, C, D, P, F表示下列各事件(括号中表示成绩所处的范围):A--优秀([90,100]), B--良好([80,90))，C--中等([70,80)),D--及格([60,70)),P--通过([60,100]),F--未通过([0,60)),则A,B,C,D,F是两两不相容事件P与F是互为对立事件，即有P=F;A,B,C,D均为P的子事件，且有P=A Y B Y C Y D.例3（讲义例1）甲，乙，丙三人各射一次靶，记A-“甲中靶” B-“乙中靶” C-“丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1)“甲未中靶”：A;(2)“甲中靶而乙未中靶”：AB;(3)“三人中只有丙未中靶”：ABC;(4)“三人中恰好有一人中靶”：ABC Y ABC Y ABC;(5)“ 三人中至少有一人中靶”：A YB Y C;(6)“三人中至少有一人未中靶”： A Y B Y C;或ABC;(7)“三人中恰有兩人中靶”：ABC Y ABC Y ABC;(8)“三人中至少兩人中靶”：AB Y AC Y BC;(9)“三人均未中靶”：ABC;(10)“三人中至多一人中靶”：ABC Y ABC Y ABC Y ABC;(11)“三人中至多兩人中靶”：ABC或A Y B Y C.注：用其他事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.例4指出下列各等式命题是否成立, 并说明理由:(1)A Y B=(AB)Y B;(2)AB=A Y B;(3)A Y B I C=ABC;(4)(AB)(AB)=∅.解(1)成立.(AB)Y B=(A Y B)I(B Y B)(分配律)=(A Y B)I S=A Y B.(2)不成立.若A发生, 则必有A Y B发生, A发生, 必有A不发生, 从而AB不发生, 故AB=A Y B不成立.(3)不成立.若A Y B I C发生, 即C发生且A Y B发生, 即必然有C发生.由于C发生, 故C必然不发生, 从而ABC不发生, 故(3)不成立.(4)成立.(AB)(AB)=(AB)(BA)=A(BB)A=(A∅)A=∅A=∅.例5 化簡下列事件：(1)(A Y B)(A Y B);(2)AB Y AB Y AB.解(1)(A Y B)(A Y B)=[A(A Y B)]Y[B(A Y B)](分配律)=(AA Y AB)Y(BA Y BB)=(A Y AB)]Y(BA Y∅)(因AB⊂A)=A Y BA=A.(2)AB Y AB Y AB=AB Y AB Y AB Y AB=AB Y AB Y AB Y AB(交换律)=(AB Y AB)Y(AB Y AB)(结合律)=(A Y A)B Y A(B Y B)=B Y A=AB.(对偶律)课堂练习1.设当事件A与B同时发生时C也发生, 则（）.(A)A Y B是C的子事件;(B)ABC;或A Y B Y C;(C)AB是C的子事件;(D)C是AB的子事件.2.设事件A={甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A的对立事件为（）.(A)甲种产品滞销,乙种产品畅销;(B)甲种产品滞销;(C)甲、乙两种产品均畅销;(D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销.第二篇：概率论与数理统计概率论与数理统计，运筹学，计算数学，统计学，还有新增的应用数学，每个学校情况不太一样，每个导师研究的方向也不太一样。
概率论与数理统计ch基本概念-资料
概率论
（2）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中
取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为
A n r n (n 1 ) (n r 1 )
4）组合：
（1）从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考
虑其顺序，称为组合，其总数为
C n rn(n1) r!(nr1)r!(n n !r)!
n n
P Ai i1
P Ai
i1
PA iAj
1ijn
PAiAjAk 1 n 1 P A 1 A 2 A n 1ijkn
要求：熟练掌握概率的性质。
2019/9/8
概率论
四、排列组合公式
2019/9/8
概率论
它具有下述性质:
1 0fn(A)1;
2 fn(S)1;
3 若A1, A2,, Ak是两两互不相容事 则件
fn (A 1 A 2 A k ) fn (A 1 )fn (A 2 ) fn (A k )
2019/9/8
2 ） 频率的稳定性
概率论
2019/9/8
概率论
3) 随 机 事 件
随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件，记作 A, B, C 等等；
基本事件：由一个样本点组成的单点集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件： 空集。 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包
含的一个样本点在试验中出现。
所 以PBC52665A530.4630；
2019/9/8
概率论
事件C
所含样本点数为C
2 5
A62
，
所以，PCC5265A62 0.03858
概率论与数理统计ch1
§1.3条件概率、全概公式和贝叶斯公式一 .条件概率和乘法公式已知大事A发生,大事B发生的可能性多大？这就是条件概率，记作P（3∣A）.例 1 一个家庭有两个小孩，假定男、女诞生率一样，令〃=｛这两个小孩一男一女｝, A=｛两个小孩中至少有一女孩｝.则两个孩子依大小排列的性别为（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）的可能性是一样的.也就是说Ω=｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）｝基本领件总数〃=4, 5的有利基本领件数〃户2,所以P（B）=2∕4=1∕2但若已知A发生了，即至少有一女孩，则考虑b发生的概率时，样本空间就缩减为Q=｛（男，女），（女，男），（女，女）｝,总数〃4=3,而有利基本领件（至少有一女孩，且有一男一女）数∕us=2,从而P｛B∖A） = r^- = -n A 3这里P（B∣A）≠P（因，说明预知4发生这个信息起了作用.儿 AB n AB∣n Pl”)--------- = -------- = ,所以ΠA∏A'N P(A)尸(例A)="殁P(A)定义设4 3为试验£的两个随机大事，且P（4>0,则称此外,P(B | A)=P(AB) P(A)为大事力发生的条件下，大事8发生的条件概率.将上式变形得P（AB）=P（A P（B∖A）称上式为概率的乘法公式.乘法公式可以推广到〃个大事4, A2,…，4的场合.即P(Aι Ai …A H)=P(A I )P(A I∣A1)P(A3∣ Ai Ai)∙∙∙P(Aπ∣A∖ Ai ♦・・A∏-∖)条件概率的性质:例2・已知p（A） = ；，P（β） = i^ P（A月）=；求：P(A∖B)9 P(B IA)例3.某零件寿命超过1年的概率为0.99,超过2年的概率为0.9,求已经使用1年后还能使用1年的概率。
二.全概公式和贝叶斯公式互斥完备大事组:设4, 4,…是随机试验£■下的一组大事，假如满意(D 0A=Ω/=1(2) A i ArΦ (f≠/ 4 j=k 2,…)（完备性）（互斥性）则称4, A 29…为互斥完备大事组.或称4, 4,…构成样本空间Q 的一个划分.明显，若大事组Ai, 42,…是。
概率论与数理统计(刘建亚)习题解答——第1章
1－16
解：设 A1, A2 , A3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产， B 表示为正品。
A1, A2 , A3 构成一个完备事件组，且有 P(A1) 0.5, P(A2 ) 0.3, P(A3 ) 0.2 ；
P(B / A1) 9 /10, P(B / A2 ) 14 /15, P(B / A3 ) 19 / 20 。
1
（1） P( A) nA A133 1312 11 132 ；（2） P( A) 1 P( A) 37 。
n 133
133
169
169
1－5 解：
（1） P( ABC) P( A) P( AB) P( AC ) P( ABC ) 0.45 0.10 0.08 0.03 0.30
0.238
220 220
1－18 解：设 A1, A2 分别表示甲、乙击中目标，由题意知 A1, A2 相互独立。 （1） P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.8 0.9 0.72 （2） P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1)P( A2 ) P( A1)P( A2 ) 0.8 0.1 0.9 0.2 0.26 （3） P( A1 A2 ) 1 P( A1 A2 ) 1 P( A1 )P( A2 ) 1 0.2 0.1 0.98 （4） P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.2 0.1 0.02
1－19 解：与 1－10 题类似。 P(B | A) P( AB) P(B) 0.85 0.9239 P( A) P( A) 0.92
1－20
解法 1：设 Ai＝{3000 小时未坏}，（i＝1，2，3），A1，A2，A3 相互独立，所以
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第一章事件与概率概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科.一．必然现象与随机现象必然现象: 在一定条件下结果必然会发生的现象。
例如:1.在标准大气压下,纯水加热到100o C时必然会沸腾；2.在没有外力作用的条件下，作匀速直线运动的物体必然继续作匀速直线运动；3.掷一颗骰子，出现点数为7是不可能的等等.它们的共同特征是，现象的某个结果在给定条件下能否发生是完全可以预言的.概率论与数理统计以外的数学分支研究的是必然现象的数量规律.随机现象: 在一定条件下可能发生这样的结果，也可能发生那样的结果，即预先不能确定到底发生哪种结果的现象。
例如:1. 当掷一枚硬币时，可能出现“正面朝上”，也可能出现“反面朝上”，在掷硬币之前不能确定哪一面朝上；2.某电话交换台在一分钟内接到的呼唤次数可能是0次，也可能是1次，2次，…，事先不能确定哪种结果会出现.二．随机试验一个试验如果满足下述条件：(1) 试验可以在同一条件下重复进行；(2) 试验的所有可能结果是明确可知道的，而且往往不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的某一个，但在试验之前不能确定哪个结果将会出现.则称这样的试验是一个随机试验，简称试验.一种随机现象就对应一个随机试验.随机试验常用E或E1，E2，…等表示.三．随机现象的统计规律性* 例如:将一枚质料均匀、形状对称的硬币（通常称为均匀的硬币）投掷一次，可能出现正面朝上，也可能出现反面朝上，其结果事先无法肯定. 但是在大量次的投掷中，出现正面朝上的次数几乎总是投掷总次数的一半，呈现出明显的规律性.* 又如，波义耳—马哈特定律就是其中的一个，这个定律告诉我们，构成气体的每个分子在运动过程中是杂乱无章的，然而大量分子运动总体的压强，体积与温度之间是有规律性的.通常把随机现象在大量重复试验下所呈现的这种规律性称为随机现象的统计规律性.§1.1 随机事件和样本空间一．随机事件随机事件：随机试验中可能发生,也可能不发生的事情称为随机事件, 简称事件. 随机事件通常用大写字母A,B…等来表示.必然事件：如果在每次试验中, 某件事一定发生, 则称这件事为必然事件, 通常用Ω表示;不可能事件：如果在每次试验中, 某结果一定不发生, 则称这一事件为不可能事件, 通常用ф表示.必然事件和不可能事件是随机事件的两个极端情形而已.例1.1.1 掷一枚均匀的硬币, 观察哪面朝上. 则A={正面朝上}，B={反面朝上}都是随机事件. Ω={正面朝上或反面朝上}是必然事件, ф={正反面两面都朝上}是不可能事件.例 1.1.2 掷一颗均匀的骰子,观察朝上一面的点数, 则A i={掷出点数为i点}, i= 1,2, (6)C={掷出点数为奇数点}; G={掷出点数大于1且小于5}等都是随机事件. 而Ω={掷出点数小于7}是必然事件,ф={掷出点数小于1}是不可能事件.二．样本空间一个试验E的所有可能出现的结果所组成的集合叫做E的样本空间，记为Ω. Ω中的元素也称为样本点, 通常记为ω.显然，样本空间是确定的.例如，例1.1.1中，Ω={ω1,ω2}, 其中ω1表示正面朝上,ω2表示反面朝下；例 1.1.2中，Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}, 其中ωi表示掷出点数为i, i=1, (6)以上只包含有限个样本点的样本空间称为有限样本空间.例1.1.3 考察某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数，则其所有的样本点为ωi={单位时间内收到i次呼唤}，i= 0, 1, 2, …. 所以样本空间为Ω={ω0,ω1,ω2,…}.以上包含无限可列多个样本点的样本空间称为可列样本空间.有限样本空间，可列样本空间统称为离散样本空间.例1.1.4 测量某电器元件的寿命T，则样本空间Ω=[0，+∞).以上包含无限不可列个样本点的样本空间称为不可列样本空间.归纳：随机事件的定义：随机试验E的样本空间Ω的某些子集A称为E的随机事件. 简称事件. Ω的只包含一个样本点的子集称为基本事件,包含两个或两个以上样本点的子集称为复合事件.约定：事件A发生，当且仅当A所包含的样本点之一在试验中出现.例如，例1.1.1中，A、B是单点集：A={正面}，B={反面}例1.1.2中，C={ω1,ω3,ω5}, G={ω2,ω3,ω4}；例1.1.4中，D={某电器元件的寿命不小于1000小时}=[1000，+∞).练习1：1,2,3,4号运动员，写出下列实验的样本空间：（1）任选3人参加运动会（2）选2人，1人参加全运会，另一人参加亚运会.三．事件间的关系与运算如果没有特别的声明，在以下的叙述中总认为样本空间Ω已经给定，并且还给定了Ω中的一些事件，如A、B、A i（i= 1,2,…）等等.1. 事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含了A或A包含于B 中，记为B⊃A或A⊂B.如在例1.1.2中，令A={掷出点数为4点}，B={掷出点数为偶数}，则A⊂B.几何解释：图1-1 图1-2由此可知，事件A⊂B的含义与集合论中的含义是一致的.规定：对于任意事件A，有φ⊂A .如果A⊂B与A⊃B同时成立，则称A与B是相等(或等价)的，记为A=B.显然，构成两个相等事件的基本事件是相同的，即两个相等的事件含有相同的样本点.2. 并（或和）事件称{事件A、B中至少有一个发生}这一事件为事件A、B的并（或和），记作A∪B.如在例1.1.2中，令A={掷出点数≤3}，B={掷出点数为偶数}，则A ∪B={掷出点数为1,2,3,4,6}.3. 交（或积）事件称{事件A、B同时发生}这一事件为事件A、B的交（或积），记作A∩B或AB.图1-3 图1-4如在例1.1.2中，若A，B同上，则A∩B={掷出点数为2}例1.1.5 掷两枚均匀的硬币，若A={恰有一个正面朝上}，B={恰有两个正面朝上}，C={至少有一个正面朝上}, 则有A∪B=C, AC=A,BC=B, AB=ф另外，显然对于任意事件A、B，有A⊂A∪B，B⊂A∪B，AB⊂A，AB⊂B4. 互斥（或互不相容）事件如果二事件A、B不可能同时发生，即AB=ф，则称A、B是互斥的（或互不相容的）.如在例1.1.2中，A={掷出点数为3}，B={掷出点数为偶数}，则显然AB=ф，即A、B是互斥的.不可能事件与任何事件互斥。
5. 差事件称{事件A发生而B不发生}这一事件为事件A与B的差，记作A-B.如在例 1.1.2中，若A={掷出点数≤3}，B={掷出点数为偶数}，则A-B={掷出点数为1,3}.6. 对立（或余）事件设A为任一事件，称Ω-A为A的对立事件（或A的余），记作A，即A=Ω-A.显然，在一次试验中，A与A必然有一个发生且仅有一个发生，即Ω=AA , Φ=AA ,且AA=.即A也是A的对立事件.另外，还有BAABABA=-=-.如在例1.1.2中，若A={掷出点数为偶数}，则A={掷出点数为奇数}7．可列事件设A1, A2, …, A n…是一列随机事件，则1）{A1, A2, …, A n中至少有一个发生} 这一事件称作A1, A2, …, A n的并，记作 nii A1=；{ A1, A2, …, A n…中至少有一个发生} 这一事件称作A1, A2, …, A n…的可列并，记作 ∞1=ii A.2）{A1, A2, …, A n同时发生}这一事件称作A1, A2, …, A n的交，记作nii A1=或A1A2…A n；{ A1, A2, …, A n…同时发生} 这一事件称作A1, A2, …, A n…的可列交，记作∞1=iiA或A1A2….3）如果n个事件A1, A2, …, A n，中任意两个事件都不可能同时发生，即A i A j=φ (i≠j, i, j=1,2,…,n)则称这n个事件A1, A2, …, A n是互斥的；如果可列个事件A1, A2, …, A n，…中任意两个事件都不可能同时发生，即A i A j=φ (i≠j, i, j=1,2,…,n…)则称这可列个事件A1, A2, …, A n…是互斥的；例1.1.6 若A、B、C是三个随机事件，则（1）A发生而B与C都不发生可表示为：CA或A-B-C或A-（BB∪C）；（2）A与B都发生而C不发生可表示为：CAB或AB-C或AB-ABC；（3）指出事件：CCAA；BBACB（4）指出事件：AB∪AC∪BC或ABCCA.BCAABBC事件之间的关系与运算和集合论中集合之间的关系与运算是一致的事件的运算满足下述规律：（1）交换律A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(AB)C=A(BC)（3）分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)，(AB)∪C=(A∪C)(B∪C)（4）德摩根（De MorGen）定理（5）BA=,B=AAABB对于n个事件，甚至对于可列个事件，德摩根定理也成立.练习2:指出事件A B C与A B C的不同§1.2 概率及其性质概率论中把度量事件A发生可能性大小的数，叫做事件A的概率，记作P(A).一. 概率的统计定义1．频率定义1.2.1 对于随机事件A，若在n次试验中A发生了μn次，则称nA f nn μ=)(为随机事件A 在n 次试验中出现的频率.2．频率的基本性质 (1) 非负性 0≤f n (A )≤1 (2) 正规性 f n (Ω)=1 (3) f n (φ)=0(4) 若两事件A 、B 互斥，即AB =φ,则f n (A ∪B )= f n (A )+ f n (B ) 证明：仅证（4），其余显然注：性质（4）可推广到任意有限个互斥事件的场合. 即设事件A 1, A 2, …, A m 互斥，则f n (A 1∪A 2∪…∪A m )= f n (A 1)+ f n (A 2)+…+ f n (A m )这条性质也称为频率的有限可加性.3．频率的稳定性例1.2.1 下表是历史上有人做过的投掷硬币的试验.实验者投掷次数n正面朝上次数μn频率nAf nnμ=)(DEM or GAn2048 1061 0.518B uffo n4040 2048 0.5069PEA rso n12000 6019 0.5016PEA rso n24000 12012 0.5005 投掷次数越多，频率越接近于0.5，也就是说，频率的稳定值为0.5.据此，我们说P(A)=0.54．概率的统计定义及其基本性质定义1.2.2在大量重复试验中，事件A发生的频率总是稳定在一个确定的常数附近，我们就用这个数来表示事件A发生的可能性大小，并称这个数为事件A的概率，记作P(A).这个定义称为概率的统计定义.概率应具备类似频率的基本性质：(1)非负性0≤P(A)≤1(2)正规性P(Ω)=1(3)P(φ)=0(4)有限可加性: 设事件A1,…,A m互斥，则P(A1∪A2∪…∪A m)=P(A1)+P(A2)+…+P(A m)二．概率的古典定义1．模型与计算公式古典概型: 随机试验具有下列两个特征的数学模型： (1) 试验的所有基本事件只有有限个（有限样本空间）； (2) 试验中每个基本事件发生的可能性是相等的（等可能性）.定义1.2.3 对于给定的古典概型，若基本事件总数为n ，事件A 包括其中的m 个，定义事件A 的概率基本事件总数的有利事件数基本事件总数包括的基本事件数事件A A n m A P ===)(常称之为古典概率. （事件A 包括的基本事件数，习惯上常常称为是A 的有利事件数）例1.2.2 掷一枚匀称的骰子，观察正面朝上的点数，显然这是一个古典概型. 令ωi ={掷出点数为i } , i = 1,2,…,6, B ={掷出点数为偶数点, 则Ω={ω1, ω2, ω3,ω4,ω5,ω6} , n =6; B ={ω2,ω4, ω6}, m =3, 所以2163)(====基本事件总数的有利事件数B n m B P2．基本的组合分析公式3．例子例1.2.3 一套五卷的选集，随机地放到书架上，求各册自左至右或自右至左恰成1，2，3，4，5的顺序的概率.解:例1.2.5 有10个电阻，其电阻值分别为1Ω，2Ω，…，10Ω，从中取出3个，要求取出的3个电阻1个小于5Ω，1个等于5Ω，1个大于5Ω，求取一次就能达到要求的概率.解：小 结一、基本概念 二．样本空间会根据试验E 写出样本空间，随机事件 三．事件间的关系与运算 A B C 、A B C 的含义？B A AB A B A =-=-. A A =Ω-()1()P A P A =-德摩根（De MorGen ）定理 B A AB B A B A ==,四、古典概率：基本事件总数的有利事件数基本事件总数包括的基本事件数事件A A n m A P ===)(Ex P40 2(1,2) , 3(1,3,5,7), 8, 9。