概率论与数理统计总复习-概率论部分
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解：设 B 该小组在比赛中射中目 标
Ai 选i级射手参加比赛 i 1， 2， 3 4
由全概率公式，有
例4 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、 四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概 率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选 一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标 的概率．
P{X 0} ______.
4．已知 X ~ b(4,0.5), Y ~ (1), 且XY 0.25 求
D(3X 4Y ) _______.
5．设 X1, X2, , X n1与Y1,Y2, ,Yn2 分别是来自总体
N(1, 2 )与 N(2, 2)的样本,并且两个样本是独立的,记
X
1
F X
(a)
FY
(b)
F
(a,
b)
10．设 X1, X2,
,
X
是来自总体
25
N
(,
2
)
的样本,其中
两个参数都未知，对于参数μ的置信度为1-α的置信
区间，如果增加α，则区间长度会（）
概率论的基本概念
事件及关系和运算 概率的定义和性质
样本空间，事件的定义
事件之间的关系（和、积、差、 互不相容、对立）
是无效的．现某人服用此药一年，在这一年中， 他得了3次感冒，试求此药对他“疗效显著”的 概率．
例 2（续）
解：设 B={ 此人在一年中得3次感冒 }
A1 该药疗效显著 A2 该药疗效一般
A3 该药无效 则由Bayes公式，得
PA1
B
P A1 PB
A1
P A1 PB PA2 PB
A1 A2
运算律：交换，结合，分配， 德*摩根律
统计定义：频率稳定值 定义
公理化定义：三条
性质：可加性、单调性、和的概率
等可能概型：
条件概率：
概 率
乘法公式：
的
计
算
全概率公式：
注意排列组合要一致！
贝叶斯公式：
独立性： 利用独立性计算和事件的概率
化事件的和
P(
A
B)
源自文库
P(A B) P(A) P(B)
4
PB
P
n1
An
P B An
2 0.85 6 0.64 9 0.45 3 0.32
20
20
20
20
0.5275
例5、假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙 袋中有2个白球3个红球，今从甲中任意取一只放入乙中， 再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？
例6、假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个红球2个白球，乙 袋中有4个红球1个白球，从两袋中任取一袋（等可能）， 再从选中的一袋中取球， （1）第一次取到红球的概率为多少？ （2）连取两次，已知第一次取红球，求第二次也取出
1!
2!
2 2 0
2．
另一个解 0不合题意，舍去
所以，
PX 4 2 4 e2 2 e2
4!
3
0.09022
例2
设一个人在一年内的感冒次数服从参数 5的
Poisson分布，现有一种预防感冒的药，它对
30%的人来讲，可将上述参数 降为 （1 疗效 显著）；对另45%的人来讲，可将参数 降为 （4 疗效一般）；而对其余25%的人来讲，则
P(
A
B)
P(
A)
P(B)
P(
AB)
一般情况
AB
利用事件独立 pA B 1 p A B 1 p AB
化事件的积
P(AB) PP((AA))PP((BB|)A)
一般情况 A,B相互独立
例1、
0.6
例2、 0.3
例3、
例4 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、 四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概 率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选 一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标 的概率．
概率试题
一、填空题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知P A 0.2, PB 0.1, P A B 0.2, 求
PA B
2．设随机事件A、B相互独立,已知A发生且B不发生的
概率与B发生且A不发生的概率相等，均为0.25,则P(A)。
3．设随机变量 X ~ N(2, 2),且 P{2 X 4} 0.3,
1 n1
n1 i1
Xi, Y
1 n2
n2
Yi , S12
i1
1 n1 n1 1 i1
Xi X
2
S22
1 n2 1
n2 i1
Yi Y
2
,
Sw2
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
则统计量
S2
n1
n2
2
2
Sw2
~
____________ .
6．设随机变量X的概率密度为f(x),则随机变量 Y=2X-1 的概率密度为_______
随机变量函数的分布：（1）分布函数法 （2）公式法（注意使用条件）
例1
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2
试求 PX 4．
解： 随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
k!
由已知 PX 1 PX 2
得
1 e 2 e
(A) 2 f (x) 1 (B) 2 f ( x 1) 2
(C) 1 f ( x 1) (D) 1 f (x) 1
22
2
7．设随机事件X、Y 的联合分布律为
已知事件{X 0}与{X Y 1} 相互独立，则（ ） a ?,b ?
8．设随机变量X、Y相互独立，且均服从标准正态分布
则（）
(A) PX Y 0 1 (B) PX Y 0 1
4
4
(C) Pmax(X ,Y ) 0 1 (D) Pmin(X ,Y ) 0 1
4
4
9．设随机事件X、Y 的分布函数为 F(x, y), FX (x), FY ( y)
则PX a,Y b _____
(A) F(a,b) (B) 1 F(a,b)
(C)
1 FX (a)1 FY (b)
(D)
红球的概率？
随机变量及其分布
随机变量的分布： 1、离散型 （1） (0—1)分布 （2）二项分布 X~b（n，p）
(3) 泊松分布
以取值点为临界点讨论 ⑷离散型求分布函数的原则：
区间左开右闭
2、分布函数的性质：
3、概率密度的性质： f (x) x
均匀分布： X ～ U [a, b]
几种常用的分布 指数分布： 正态分布： 标准正态分布：
PA3
PB
A3
0.30 13 e1
0.30
13
e1
0.45
3! 43 e4
0.25
53
e5
3!
3!
Ai 选i级射手参加比赛 i 1， 2， 3 4
由全概率公式，有
例4 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、 四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概 率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选 一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标 的概率．
P{X 0} ______.
4．已知 X ~ b(4,0.5), Y ~ (1), 且XY 0.25 求
D(3X 4Y ) _______.
5．设 X1, X2, , X n1与Y1,Y2, ,Yn2 分别是来自总体
N(1, 2 )与 N(2, 2)的样本,并且两个样本是独立的,记
X
1
F X
(a)
FY
(b)
F
(a,
b)
10．设 X1, X2,
,
X
是来自总体
25
N
(,
2
)
的样本,其中
两个参数都未知，对于参数μ的置信度为1-α的置信
区间，如果增加α，则区间长度会（）
概率论的基本概念
事件及关系和运算 概率的定义和性质
样本空间，事件的定义
事件之间的关系（和、积、差、 互不相容、对立）
是无效的．现某人服用此药一年，在这一年中， 他得了3次感冒，试求此药对他“疗效显著”的 概率．
例 2（续）
解：设 B={ 此人在一年中得3次感冒 }
A1 该药疗效显著 A2 该药疗效一般
A3 该药无效 则由Bayes公式，得
PA1
B
P A1 PB
A1
P A1 PB PA2 PB
A1 A2
运算律：交换，结合，分配， 德*摩根律
统计定义：频率稳定值 定义
公理化定义：三条
性质：可加性、单调性、和的概率
等可能概型：
条件概率：
概 率
乘法公式：
的
计
算
全概率公式：
注意排列组合要一致！
贝叶斯公式：
独立性： 利用独立性计算和事件的概率
化事件的和
P(
A
B)
源自文库
P(A B) P(A) P(B)
4
PB
P
n1
An
P B An
2 0.85 6 0.64 9 0.45 3 0.32
20
20
20
20
0.5275
例5、假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙 袋中有2个白球3个红球，今从甲中任意取一只放入乙中， 再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？
例6、假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个红球2个白球，乙 袋中有4个红球1个白球，从两袋中任取一袋（等可能）， 再从选中的一袋中取球， （1）第一次取到红球的概率为多少？ （2）连取两次，已知第一次取红球，求第二次也取出
1!
2!
2 2 0
2．
另一个解 0不合题意，舍去
所以，
PX 4 2 4 e2 2 e2
4!
3
0.09022
例2
设一个人在一年内的感冒次数服从参数 5的
Poisson分布，现有一种预防感冒的药，它对
30%的人来讲，可将上述参数 降为 （1 疗效 显著）；对另45%的人来讲，可将参数 降为 （4 疗效一般）；而对其余25%的人来讲，则
P(
A
B)
P(
A)
P(B)
P(
AB)
一般情况
AB
利用事件独立 pA B 1 p A B 1 p AB
化事件的积
P(AB) PP((AA))PP((BB|)A)
一般情况 A,B相互独立
例1、
0.6
例2、 0.3
例3、
例4 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、 四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概 率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选 一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标 的概率．
概率试题
一、填空题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知P A 0.2, PB 0.1, P A B 0.2, 求
PA B
2．设随机事件A、B相互独立,已知A发生且B不发生的
概率与B发生且A不发生的概率相等，均为0.25,则P(A)。
3．设随机变量 X ~ N(2, 2),且 P{2 X 4} 0.3,
1 n1
n1 i1
Xi, Y
1 n2
n2
Yi , S12
i1
1 n1 n1 1 i1
Xi X
2
S22
1 n2 1
n2 i1
Yi Y
2
,
Sw2
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
则统计量
S2
n1
n2
2
2
Sw2
~
____________ .
6．设随机变量X的概率密度为f(x),则随机变量 Y=2X-1 的概率密度为_______
随机变量函数的分布：（1）分布函数法 （2）公式法（注意使用条件）
例1
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2
试求 PX 4．
解： 随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
k!
由已知 PX 1 PX 2
得
1 e 2 e
(A) 2 f (x) 1 (B) 2 f ( x 1) 2
(C) 1 f ( x 1) (D) 1 f (x) 1
22
2
7．设随机事件X、Y 的联合分布律为
已知事件{X 0}与{X Y 1} 相互独立，则（ ） a ?,b ?
8．设随机变量X、Y相互独立，且均服从标准正态分布
则（）
(A) PX Y 0 1 (B) PX Y 0 1
4
4
(C) Pmax(X ,Y ) 0 1 (D) Pmin(X ,Y ) 0 1
4
4
9．设随机事件X、Y 的分布函数为 F(x, y), FX (x), FY ( y)
则PX a,Y b _____
(A) F(a,b) (B) 1 F(a,b)
(C)
1 FX (a)1 FY (b)
(D)
红球的概率？
随机变量及其分布
随机变量的分布： 1、离散型 （1） (0—1)分布 （2）二项分布 X~b（n，p）
(3) 泊松分布
以取值点为临界点讨论 ⑷离散型求分布函数的原则：
区间左开右闭
2、分布函数的性质：
3、概率密度的性质： f (x) x
均匀分布： X ～ U [a, b]
几种常用的分布 指数分布： 正态分布： 标准正态分布：
PA3
PB
A3
0.30 13 e1
0.30
13
e1
0.45
3! 43 e4
0.25
53
e5
3!
3!