2019聚焦中考数学复习考点精练：第2讲 整式及其运算
备战中考数学分点透练真题整式及其运算(解析版)
第二讲整式及其运算命题1 列代数式及代数式求值类型一列代数式1．（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）。
故选：D．2．（2021•青海）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是（）A．x+y B．10xy C．10（x+y）D．10x+y【解答】解：一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，这个两位数10x+y．故选：D．类型二列代数式求值3．（2021•自贡）已知x2﹣3x﹣12＝0，则代数式﹣3x2+9x+5的值是（）A．31B．﹣31C．41D．﹣41【解答】解：∵x2﹣3x﹣12＝0，∴x2﹣3x＝12．原式＝﹣3（x2﹣3x）+5＝﹣3×12+5＝﹣36+5＝﹣31．故选：B．4．（2021•黔西南州）已知2a﹣5b＝3，则2+4a﹣10b＝．【解答】解：∵2a﹣5b＝3，∴2+4a﹣10b＝2+2（2a﹣5b）＝2+2×3＝8，故答案为：8．5．（2020•黔西南州）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为．【解答】解：当x＝625时，x＝125，当x＝125时，x＝25，当x＝25时，x＝5，当x＝5时，x＝1，当x＝1时，x+4＝5，当x＝5时，x＝1，…依此类推，以5，1循环，（2020﹣2）÷2＝1009，能够整除，所以输出的结果是1，故答案为：1命题点2 整式的有关概念及运算类型一整式的有关概念4．（2021•上海）下列单项式中，a2b3的同类项是（）A．a3b2B．3a2b3C．a2b D．ab3【解答】解：A、字母a、b的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；B、有相同的字母，相同字母的指数相等，是同类项，故本选项符合题意；C、字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；D、相同字母a的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；故选：B．5．（2020•日照）单项式﹣3ab的系数是（）A．3B．﹣3C．3a D．﹣3a 【解答】解：单项式﹣3ab的系数是﹣3．故选：B类型二整式的运算6．（2021•丽水）计算（﹣a）2•a4的结果是（）A．a6B．﹣a6C．a8D．﹣a8【解答】解：原式＝a2•a4＝a6，故选：A．7．（2021•淮安）计算（x5）2的结果是（）A．x3B．x7C．x10D．x25【解答】解：（x5）2＝x5×2＝x10．故选：C．8．（2021•新疆）下列运算正确的是（）A．2x2+3x2＝5x2B．x2•x4＝x8C．x6÷x2＝x3D．（xy2）2＝xy4【解答】解：A．2x2+3x2＝5x2,故此选项符合题意；B．x2•x4＝x6,故此选项不合题意；C．x6÷x2＝x4,故此选项不合题意；D．（xy2）2＝x2y4,故此选项不合题意；故选：A．9．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（）A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab 【解答】解：2a（a2+2b）＝2a•a2+2a•2b＝2a3+4ab．故选：D．10．（2020•宁夏）下列各式中正确的是（）A．a3•a2＝a6B．3ab﹣2ab＝1C．＝2a+1D．a（a﹣3）＝a2﹣3a【解答】解：A、a3•a2＝a5，所以A错误；B、3ab﹣2ab＝ab，所以B错误；C、，所以C错误；D、a（a﹣3）＝a2﹣3a，所以D正确；11．（2021•青海）已知单项式2a4b﹣2m+7与3a2m b n+2是同类项，则m+n＝．【解答】解：根据同类项的定义得：，∴，∴m+n＝2+1＝3，故答案为：3．故选：D．类型三乘法公式的应用及几何背景12．（2021•台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（）A．24B．48C．12D．2【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得2ab+25＝49，则2ab＝24，所以ab＝12，故选：C．13．（2019•枣庄）若m﹣＝3，则m2+＝．【解答】解：∵＝m2﹣2+＝9，∴m2+＝11，故答案为11．14．（2020•衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：【解答】解：由题意可得，方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．类型四整式的化简及求值考向1 整式的化简15．（2021•衡阳）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．【解答】解：原式＝(x2+4xy+4y2)+(x2﹣4y2)+(x2﹣4xy)＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+x2﹣4xy＝3x2．考向2 整式的化简求值16．（2021•吉林）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1），其中x＝．【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1）＝x2﹣4﹣x2+x＝x﹣4，当x＝时，原式＝﹣4＝﹣3．17．（2020•梧州）先化简，再求值：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y），其中+|y+2|＝0．【解答】解：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y）＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy＝9xy，∵+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0且y+2＝0，解得：x＝1，y＝﹣2，当x＝1，y＝﹣2时，原式＝9×1×（﹣2）＝﹣18．18．（2020•广东）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，其中x＝，y＝．【解答】解：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，＝x2+2xy+y2+x2﹣y2﹣2x2＝2xy，当x＝，y＝时，原式＝2××＝2．19．（2020•北京）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）＝9x2﹣4+x2﹣2x＝10x2﹣2x﹣4，∵5x2﹣x﹣1＝0，∴5x2﹣x＝1，∴原式＝2（5x2﹣x）﹣4＝﹣2．命题点3 因式分解及其应用20．（2020•柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）A．a2﹣b2B．﹣a2﹣b2C．a2+b2D．a2+2ab+b2【解答】解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：A．21．（2021•兰州）因式分解：x3﹣4x＝（）A．x（x2﹣4x）B．x（x+4）（x﹣4）C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x2﹣4）【解答】解：x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）．故选：C．22．（2021•贺州）多项式2x3﹣4x2+2x因式分解为（）A．2x（x﹣1）2B．2x（x+1）2C．x（2x﹣1）2D．x（2x+1）2【解答】解：原式＝2x（x2﹣2x+1）＝2x（x﹣1）2．故选：A．23．（2019•沈阳）因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝．【解答】解：﹣x2﹣4y2+4xy，＝﹣（x2+4y2﹣4xy），＝﹣（x﹣2y）2．24．（2021•十堰）已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝．【解答】解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）＝2xy（x﹣3y）2，∵xy＝2，x﹣3y＝3，∴原式＝2×2×32＝4×9＝36，故答案为：36．命题点4 规律套索题类型一数式规律25．（2021•济宁）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（）A．B．C．D．【解答】解：观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，∴第n个数据为：．当n＝3时，□的分子为5，分母＝32+1＝10，∴这个数为＝，故选：D．26．（2021•嘉峪关）一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是．【解答】解:观察代数式,得到第n个式子是:a n+(﹣1)n+1•2b2n﹣1．故答案为:a n+(﹣1)n+1•2b2n﹣1．类型二图形规律27．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n＝.（用含n的式子表达）【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，....．第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n＝．故答案为：．28．（2021•绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n个图形中三角形个数是．【解答】解：观察图中三角形的个数与图形的序号的关系，有如下规律：第一个图形：12+0，第二个图形：22+1，第三个图形：32+2，第四个图形：42+3，•，第n个图形：n2+n﹣1．故答案为：n2+n﹣1．29．（2020•柳州）如图，每一幅图中有若干个菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3菱形．第3幅图中有5个菱形，依照此规律，第6幅图中有个菱形．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当n＝6时，2n﹣1＝2×6﹣1＝11，故答案为：11．30．（2020•赤峰）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．【解答】解：第一次落点为A1处，点A1表示的数为1；第二次落点为OA1的中点A2，点A2表示的数为；第三次落点为OA2的中点A3，点A3表示的数为（）2；…则点A2020表示的数为（）2019，即点A2020表示的数为；故答案为：．。
2019年中考数学专题复习：第02课时 整式概念及运算
[答案] C [解析] A.-x2+4x=-x(x-4),故此选项错误; B.x2+xy+x=x(x+y+1),故此选项错误; C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2,故此选项正确; D.x2-4x+4=(x-2)2,故此选项错误. 故选 C.
c
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2.[2018·预测] 将下列多项式分解因式,结果中不含有因式 a+1 的是 ( )
.
[答案]
9 2
[解析] ∵am=3,an=2, ∴a2m-n=(am)2÷ an =3 2 ÷ 2= .
2 9
c
9 2
故答案为: .
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5.[2017·温州] 化简:(1+a)(1-a)+a(a-2).
解:原式=1-a2+a2-2a=1-2a.
6.先化简,再求值:(a+b)2+(a-b)(2a+b)-3a2,其中 a=-2- 3,b= 3-2.
幂; (2)公因式可以是单项式,也可以是多项式; (3)提取公因式时,若有一项全部提出,括号内的项应是1,而不是0
考点知识聚焦
(续表) a2-b2=③ (a+b)(a-b) ②公因式法 ③十字相乘法 ④分组分解法 a2+2ab+b2=④ (a+b)2 a2-2ab+b2=⑤ (a-b)2 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) (1)分组后能直接提公因式; (2)分组后能直接运用公式 3
【方法模型】 根据同类项“相同字母的指数相同”列方程(组)是解决此类题的一般方法.
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针对训练
2019年中考数学专题复习 第二讲整式、因式分解 (共68张PPT)精品物理
答案:1
(3)由题意可知:m=-1,n=0,c=1, ∴原式=(-1)2015+2016×0+12017=0. 答案:0
【答题关键指导】 整体代入法求代数式值的三种方法 (1)直接整体代入求值:如果已知的代数式与要求的代 数式之间都含有相同的式子,只要把已知式子的值直 接代入到要求的式子中,即可得出结果.
(3)(2017·济宁中考)分解因式: ma2+2mab+mb2=____________.
【思路点拨】(1)先提取公因式,再利用平方差公式进 行分解. (2)通过两次提取公因式,来进行因式分解. (3)先提取公因式,再利用完全平方公式进行分解.
【自主解答】 (1)x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). (2)原式=x(x-2)+(x-2)=(x+1)(x-2). (3)原式=m(a2+2ab+b2)=m(a+b)2.
【答题关键指导】 幂的运算的应用 (1)同底数幂的乘除法应用的前提是底数必须相同,若 底数互为相反数时,要应用积的乘方处理好符号问题, 转化成同底数,再应用法则.
(2)同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方混合运算 的时候要注意三个方面:一是运算顺序,二是正确选择 法则,三是运算符号.
【变式训练】
2.(2017·潍坊中考)下列计算正确的是 ( )
A.a3×a2=a6
B.a3÷a=a3
C.a2+a2=a4
D.(a2)2=a4
【解析】选D.选项A是同底数幂的乘法,结果为a5,故选 项A错误;选项B是同底数幂的除法,结果为a2,故选项B 错误;选项C是合并同类项,结果为2a2,故选项C错误;选 项D是幂的乘方,底数不变,指数相乘,故选项D正确.
中考数学专题复习：第2课 整式及其运算优质课件PPT
【答案】 2
【类题演练 4】 (2018·扬州)计算：(2x＋3)2－(2x＋3)(2x －3)．
【解析】 原式＝4x2＋12x＋9－(4x2－9)＝12x＋18．
1．整式的加减实质就是合并同类项，整式的乘除实质就 是幂的运算．
2．本课主要用到以下三种数学思想方法： (1)数形结合思想： 在列代数式时，常常会遇到一种题型：题中提供一 定的图形，要求通过对图形的观察、探索，提取图 形中反馈的信息，并根据相关的知识列出相应的代 数式，也能用图形来验证整式的乘法和乘法公式．
A．34
B．1
C．23
D．98
【答案】 D
()
题型一 幂的运算
熟记法则，依照法则进行计算.
【典例 1】 有下列运算：①a2·a3＝a6；②(a3)2＝a6；③a5
÷a5＝a；④(ab)3＝a3b3．其中结果正确的个数为 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 ①a2·a3＝a5，故本项错误；②(a3)2＝a6，故本 项正确；③a5÷a5＝1，故本项错误；④(ab)3＝a3b3，故本 项正确．故选 B．
注意公式的变形及整体思想的应用．
【典例 3】 (2018·河北)将 9．52 变形正确的是 ( ) A．9．52＝92＋0．52 B．9．52＝(10＋0．5)(10－0．5) C．9．52＝102－2×10×0．5＋0．52 D．9．52＝92＋9×0．5＋0．52
【解析】 9．52＝(10－0．5)2＝102－2×10×0．5＋0．52．
【答案】 C
【类题演练 3】 (2018·乐山)已知实数 a，b 满足 a＋b＝2，
ab＝34，则 a－b＝
()
A．1
中考数学专题训练第2讲整式(知识点梳理)
整式知识点梳理考点01 代数式1.代数式的概念：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式。
单独一个数或一个字母也是代数式.运算符号是指加、减、乘、除、乘方等。
2.代数式的书写规则：（1）含有乘法运算的代数式的书写规则：字母与字母相乘，乘号一般可以省略不写，字母的排列顺序不变.数字与字母相乘，乘号一般也可以省略，但数字一定要写在字母的前面，且当数字是带分数时，必须写成假分数的形式.数字与数字相乘，乘号不能省略.带括号的式子与字母的地位相同。
（2）含有除法运算的代数式的书写规则：当代数式中含有除法运算时，一般不用“÷”，而改用分数线.因为分数线具有括号的作用，所以分数线又称括线。
（3）含有单位名称的代数式的书写规则：若代数式是和或差的形式，如需注明单位，则必须用括号把整个式子括起来后再写单位.若代数式是积或商的形式，则无需加括号，直接在代数式后面写出单位即可。
3.代数式的值（1）代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出的结果，叫作代数式的值。
（2）求代数式的值的步骤：第1步：代入，用具体数值代替代数式里的字母.第2步：计算，按照代数式里指明的运算，计算出结果。
（3）求代数式的值时要注意：一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值去代替.如果代数式里省略了乘号，那么字母用数值代替时要添上乘号，代入负数和分数时要加括号.代入数值时，不能改变原式中的运算符号及数字。
(4)运算时，要注意运算顺序。
（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要求先算括号里面的）考点02 单项式和多项式一、单项式1.单项式的概念：如3、a 、xy 、ab 31-等这些代数式都是数字、字母、数字与字母的积、字母与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
2.单项式中不能含有加减法运算，但可以含有除法运算。
3.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，确定单项式的系数的注意事项：（1）确定单项式的系数时，最好现将单项式写成数与字母的乘积的形式，在确定系数.（2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数.（3）当一个单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，负数做系数应包括前面的符号.（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。
中考数学专题复习2整式的运算(解析版)
整式的运算复习考点攻略考点01 整式的有关概念1．整式：单项式和多项式统称为整式．2．单项式：单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数． 【注意】单项式的系数包括它前面的符号3.多项式：几个单项式的和叫做多项式；多项式中.每一个单项式叫做多项式的项.其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．4.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 【例1】单项式3212a b 的次数是_____． 【答案】5 【解析】单项式3212a b 的次数是325+=.故答案为5． 【例2】下列说法中正确的是（ ）A ．25xy -的系数是–5 B ．单项式x 的系数为1.次数为0C ．222xyz -的次数是6D ．xy ＋x –1是二次三项式 【答案】D【解析】A.25xy -的系数是–15.则A 错误；B.单项式x 的系数为1.次数为1.则B 错误；C.222xyz -的次数是1+1+2=4.则C 错误；D.xy ＋x –1是二次三项式.正确.故选D.【例3】若单项式32m x y 与3m nxy +是同类项.2m n +_______________．【答案】2【解析】由同类项的定义得：13m m n =⎧⎨+=⎩解得12m n =⎧⎨=⎩221242m n +=⨯+==故答案为：2．【例4】按一定规律排列的单项式：a .2a -.4a .8a -.16a .32a -.….第n 个单项式是（ ）A ．()12n a --B ．()2na -C ．12n a -D ．2n a【答案】A 【解析】解：a .2a -.4a .8a -.16a .32a -.….可记为：()()()()()()0123452,2,2,2,2,2,,a a a a a a ------•••∴ 第n 项为：()12.n a -- 故选A ．【例5】如图.图案均是用长度相等的小木棒.按一定规律拼搭而成.第一个图案需4根小木棒.则第6个图案需小木棒的根数是（ ）A ．54B ．63C ．74D ．84【答案】A【解析】拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒. 拼搭第2个图案需10=2×(2+3)根小木棒. 拼搭第3个图案需18=3×(3+3)根小木棒. 拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒. …拼搭第n 个图案需小木棒n (n +3)=n 2+3n 根. 当n =6时.n 2+3n =62+3×6=54. 故选A.考点02 整式的运算1．幂的运算：a m ·a n =a m +n ；（a m ）n =a mn ；（ab ）n =a n b n ；a m ÷a n =m n a -. 2. 整式的加减：几个整式相加减.如有括号就先去括号.然后再合并同类项。
中考数学总复习2整式及其运算 (共26张)
1
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4
5
5.(2015· 佛山)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝( C )
A.1
C.－1
B.－2
D.2
解析 ∵(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n， 即x2＋x－2＝x2＋mx＋n， ∴mx＋n＝x－2.
考点突破
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考点一
幂的运算
例1 (2016· 宿迁)下列计算正确的是( D ) A.a2＋a3＝a5 C.(a2)3＝a5 B.a2a3＝a6 D.a5÷a2＝a3
当x＝2时，原式＝3×2－1＝5.
分析
答案
考点四
乘法公式
例4 (2016· 重庆B)计算：(x－y)2－(x－2y)(x＋y)． 分析 根据平方差公式、多项式乘多项式法则进行计算． 解 原式＝x2－2xy＋y2－x2＋xy＋2y2＝－xy＋3y2.
分析
答案
规律方法
规律方法
本题考查的是整式的混合运算，掌握完全平方公式、单项式乘多项式 法则是解题的关键．
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诊断自测
1.(2016· 舟山)计算2a2＋a2，结果正确的是( D ) A.2a4 C.3a4 B.2a2 D.3a2
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2.(2016· 福州)下列算式中，结果等于a6的是( D ) A.a4＋a2 C.a2· a3 B.a2＋a2＋a2 D.a2· a2· a2
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的结果是 3.(2016· 成都 )计算 的结果是 ( ( 3.(2016· 成都 )计算 －x y D ) )
4. 乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ (2)完全平方公式：(a±b)2＝ 5. 整式除法 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因子， 对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式，将这个多项式的每一项除以这个单项式，然后 把所得的商相加． a2－b2 a2±2ab＋b2
第二讲整式及运算(整理后)(中考数学复习专题)
第二讲整式及运算【基础知识回顾】一、整式的有关概念：：由数与字母的积组成的代数式1、整式：多项式：。
单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项：①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。
②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。
【友情提醒：1、单独的一个数字或字母都是式。
2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。
】二、整式的运算：1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )③整式加减的步骤是先，再。
【友情提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。
】2、整式的乘法：①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。
②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)= 。
③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)= 。
④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。
【友情提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。
2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。
】3、整式的除法：①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。
即（am+bm）÷m= 。
中考数学总复习 第2讲 整式及因式分解二次函数(基础讲
第2讲整式及因式分解考标要求考查角度1.明确字母表示数的真实内涵及其规范的书写格式，能用代数式探索有关的规律．2．会用语言文字叙述代数式的意义，同时掌握求代数式的值的方法．3．理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则和去括号的法则以及乘法公式，能准确地进行整式的加、减、乘、除、乘方等混合运算．4．能对多项式进行因式分解.整式作为初中数学的基础内容之一，在中考试题中多以填空题和选择题的形式命题，重点考查其基本概念及运算法则，同时也会设计一些新颖的探索与数、式有关的规律性问题.知识梳理一、整式的有关概念1．整式整式是单项式与__________的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的________因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的____叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的______叫做多项式；多项式中，每一个________叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中__________项的次数就是这个多项式的次数．二、整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：a m·a n＝______，(a m)n＝______，(ab)n＝a n b n，a ma n＝a m－n(m，n是正整数)．三、同类项与合并同类项1．同类项所含字母相同，并且相同字母的______也分别相同的项叫做同类项．2．合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做____________，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的______，字母和字母的指数不变．四、求代数式的值1．代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．五、整式的运算1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要______．2．整式的乘除(1)整式的乘法．①单项式与单项式相乘：把______、__________分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc ．③多项式与多项式相乘：(m ＋n )(a ＋b )＝ma ＋mb ＋na ＋nB ． (2)整式的除法．①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的______作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a ＋b )÷m ＝a ÷m ＋b ÷m . 3．乘法公式(1)平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2；(2)完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2. 六、因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的____的形式，叫做多项式的因式分解． 2．因式分解的方法 (1)提公因式法．公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法．①运用平方差公式：a 2－b 2＝__________.②运用完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝________. 3．因式分解的一般步骤一提(提取公因式法)；二套(套公式法)．一直分解到不能分解为止． 自主测试1．(2012福建福州)下列计算正确的是( )A ．a ＋a ＝2aB ．b 3·b 3＝2b 3C ．a 3÷a ＝a 3D ．(a 5)2＝a 72．下列各式中，与x 2y 是同类项的是( )A ．xy 2B ．2xyC ．－x 2yD ．3x 2y 23．(2012四川绵阳)图(1)是一个长为2m ，宽为2n (m ＞n )的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是( )A ．2mnB ．(m ＋n )2C ．(m －n )2D ．m 2－n 24．(2012四川宜宾)分解因式：3m 2－6mn ＋3n 2＝__________.5．单项式－3π5m 2n 的系数是______，次数是______．考点一、整数指数幂的运算【例1】 (2012湖南郴州)下列计算正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 6B ．a ＋a ＝a 2C ．(a 2)3＝a 6D ．a 8÷a 2＝a 4解析：A 项是同底数幂的乘法，a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5，故A 项错误；B 项是整式的加减运算，a ＋a ＝2a ，故B 项错误；C 项是幂的乘方，(a 2)3＝a 2×3＝a 6，故C 项正确；D 项是同底数幂的除法，a 8÷a 2＝a 8－2＝a 6，故D 项错误．答案：C方法总结 幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．触类旁通1下列运算中，正确的是( )A ．x 3·x 2＝x 5B ．x ＋x 2＝x3C ．2x 3÷x 2＝xD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23＝x 32考点二、同类项与合并同类项【例2】 单项式－13x a ＋b y a －1与3x 2y 是同类项，则a －b 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．1解析：本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法，由－13x a ＋b y a －1与3x 2y 是同类项，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0.所以a －b ＝2－0＝2. 答案：A方法总结 1.同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同．二者必须同时具备，缺一不可；2．同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy 2与－y 2x 也是同类项． 3．根据同类项概念，相同字母的指数相同，列方程(组)是解此类题的一般方法．触类旁通2如果3x 2n －1y m 与－5x m y 3是同类项，则m 和n 的取值是( ) A ．3和－2 B ．－3和2 C ．3和2 D ．－3和－2 考点三、整式的运算【例3】 先化简，再求值：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2，其中a ＝3，b ＝－13.解：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2＝a 2－b 2＋a 2＋2ab ＋b 2－2a 2＝2ab ，当a ＝3，b ＝－13时，2ab ＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2. 方法总结 整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a ，b 所表示的两个数及公式的结构特征，注意套用公式．触类旁通3 已知2x －1＝3，求代数式(x －3)2＋2x (3＋x )－7的值． 考点四、因式分解【例4】 (2012湖南常德)分解因式：m 2－n 2＝__________. 答案：(m ＋n )(m －n )方法总结 (1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．(2)提取公因式时，若括号内合并的项有公因式，应再次提取；注意符号的变换y －x ＝－(x －y )，(y －x )2＝(x －y )2.(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点． (4)因式分解要分解到每一个多项式不能分解为止．1．(2012湖南常德)下列运算中，结果正确的是( )A ．a 3·a 4＝a 12B ．a 10÷a 2＝a 5C ．a 2＋a 3＝a 5D ．4a －a ＝3a 2．(2012湖南益阳)下列计算正确的是( )A ．2a ＋3b ＝5abB ．(x ＋2)2＝x 2＋4C ．(ab 3)2＝ab 6D ．(－1)0＝13．(2012湖南湘潭)因式分解：m 2－mn ＝__________.4．(2012湖南益阳)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：__________.5．(2012湖南怀化)当x ＝1，y ＝15时，3x (2x ＋y )－2x (x －y )＝__________.6．(2012湖南株洲)一组数据为：x ，－2x 2,4x 3，－8x 4，…观察其规律，推断第n 个数据应为__________．1．将代数式x 2＋4x －1化成(x ＋p )2＋q 的形式为( )A ．(x －2)2＋3B ．(x ＋2)2－4C ．(x ＋2)2－5D ．(x ＋2)2＋42．如图所示，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式( )A ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )D ．(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 23．多项式__________与m 2＋m －2的和是m 2－2m .4．若3x m ＋5y 2与x 3y n 的和是单项式，则n m＝__________.5．若m －n ＝2，m ＋n ＝5，则m 2－n 2的值为__________．6．若2x ＝3,4y ＝5，则2x －2y的值为__________．7．给出3个整式：x 2,2x ＋1，x 2－2x .(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？参考答案 【知识梳理】一、1.多项式 2.数字 和 3．和 单项式 次数最高二、a m ＋n a mn三、1.指数 2.合并同类项 系数 五、1.(2)变号2．(1)①系数 同底数幂 (2)①指数 六、1.积2．(2)①(a ＋b )(a －b ) ②(a ±b )2导学必备知识 自主测试1．A a ＋a ＝2a ，A 项正确；b 3·b 3＝b 6，B 项错误；a 3÷a ＝a 2，C 项错误；(a 5)2＝a 10，D 项错误．2．C 只有C 选项中相同字母的指数与x 2y 分别相同．3．C 因为长方形的长为2m ，宽为2n (m ＞n )，则小长方形的长为m ，宽为n ，小正方形的边长为(m －n )，所以面积是(m －n )2.4．3(m －n )2 原式＝3(m 2－2mn ＋n 2)＝3(m －n )2.5．－3π53探究考点方法触类旁通1.A A 项是同底数幂相乘，x 3·x 2＝x3＋2＝x 5，B 项中的两项不是同类项，不能合并，C 项是单项式相除，2x 3÷x 2＝(2÷1)x 3－2＝2x ，D 项⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23＝x 323＝x38.触类旁通 2.C 此题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －1＝m ，m ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 触类旁通3.分析：本题需先把2x －1＝3进行整理，得出x 的值，把代数式进行化简，再把x 的值代入即可求出结果．解：由2x －1＝3得x ＝2，又(x －3)2＋2x (3＋x )－7＝x 2－6x ＋9＋6x ＋2x 2－7＝3x 2＋2，∴当x ＝2时，原式＝14.品鉴经典考题1．D a 3·a 4＝a 7，所以A 项不正确；a 10÷a 2＝a 8，所以B 项不正确；a 2与a 3不是同类项，不能合并，所以C 项不正确；4a －a ＝3a ，D 项正确．2．D 2a 与3b 不能合并，A 项不正确；(x ＋2)2＝x 2＋4x ＋4，B 项不正确；(ab 3)2＝a 2b 6，C 项不正确；由任何一个不等于零的数的零次幂等于1，知D 项正确．3．m (m －n ) m 2－mn ＝m (m －n )．4．答案不唯一，如x 2－1.5．5 3x (2x ＋y )－2x (x －y )＝6x 2＋3xy －2x 2＋2xy ＝4x 2＋5xy .当x ＝1，y ＝15时，原式＝4×12＋5×1×15＝4＋1＝5.6．(－2)n －1x n x 的系数为1＝(－2)1－1，次数为1；－2x 2的系数为－2＝(－2)2－1，次数为2；4x 3的系数为4＝(－2)3－1，次数为3；－8x 4的系数为－8＝(－2)4－1，次数为4；….所以第n 个数据的系数为(－2)n －1，次数为n ，即(－2)n －1x n.研习预测试题1．C x 2＋4x －1＝(x 2＋4x ＋4)－4－1＝(x ＋2)2－5.2．C 因为第一个图是一个大的正方形挖去了一个小的正方形，其面积表达式为a 2－b 2.第二个图是一个梯形，下底为2a ，上底为2b ，高为(a －b )，其面积为12(2a ＋2b )(a －b )＝(a＋b )(a －b )，所以两个图验证了公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．3．2－3m 由题意得此多项式为(m 2－2m )－(m 2＋m －2)＝m 2－2m －m 2－m ＋2＝2－3m . 4.14 由题意得m ＋5＝3，n ＝2，所以m ＝－2，所以n m ＝2－2＝122＝14. 5．10 m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )＝5×2＝10. 6.35 2x －2y ＝2x ÷22y ＝2x ÷4y ＝3÷5＝35. 7．解：(1)x 2＋(2x ＋1)＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2或x 2＋(x 2－2x )＝2x 2－2x ＝2x (x －1)或(2x＋1)＋(x 2－2x )＝2x ＋1＋x 2－2x ＝x 2＋1.(2)由(1)可知，概率为23.。
中考数学专题练习二整式及其运算
整式及其运算课标要求1.代数式①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义。
②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。
③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。
④会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
2.整式①了解整数指数幂的意义和基本性质。
②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算。
③会推导乘法公式：()()22b a b a b a -=-+；()2222b ab a b a ++=+.④会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
知识要点1.整式(1).代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.（2）.代数式的值：用数代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.（3）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.(4) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 .(5) 整式： 与 统称整式.2. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是 ___.3.整式的运算：（1）整式的加减：实质上就是合并同类项。
（2）整式的乘法：①幂的运算法则：=∙n m a a ；=÷n m a a ；()=n m a ；()=nab 。
②乘法公式：平方差公式： ()()=-+b a b a ；完全平方公式：()=±2b a ；（3）整式的除法① 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．②多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把所得的商 ．4. 因式分解：(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的 的形式。
第2讲 代数式及整式的运算(讲练)(解析版)
备战2021年中考数学总复习一轮讲练测第一单元数与式第2讲代数式及整式的运算1、了解：因式分解的概念，感受因式分解与整式乘法的互逆运算过程.2、理解：单项式、多项式、整式等概念，及它们之间的区别与联系；理解同类项概念；理解因式分解的意义.3、会：推导幂的运算公式及乘方公式（平方差、完全平方）.4、掌握：正整数幂的乘、除运算性质；整式的加、减、乘、除、乘方的混合运算；掌握提公因式法和公式法这两种分解因式的基本方法.5、能：利用乘法公式进行乘法运算；灵活运算运算律与乘法公式化简求值.1．（2020秋•西城区期末）下列计算正确的是( ) A ．2()2a b a b --=-+ B ．2222c c -= C ．325a b ab +=D ．22243x y yx x y -=-【解答】解：A 、2()22a b a b --=-+，故此选项错误；B 、2222c c c -=，故此选项错误；C 、32a b +，无法合并，故此选项错误；D 、22243x y yx x y -=-，正确．故选：D ．2．（2020秋•海淀区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A ．2(2)2x x x x -=- B ．22(1)21x x x +=++ C ．24(2)(2)x x x -=+-D ．22(1)x x x+=+【解答】解：A 、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；D 、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选：C ．3．（2020•密云区二模）如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是( )A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b +=+-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b -=--【解答】解：计算大正方形的面积：方法一：2()a b +，方法二：四部分的面积和为222a ab b ++， 因此：222()2a b a ab b +=++， 故选：A ．4．（2020•朝阳区二模）如果23x x +=，那么代数式(1)(1)(2)x x x x +-++的值是( ) A ．2B ．3C ．5D ．6【解答】解：(1)(1)(2)x x x x +-++ 2212x x x =-++ 2221x x =+-22()1x x =+-， 23x x +=，∴原式2315=⨯-=．故选：C ．5．（2019秋•东城区校级期中）将一列有理数1-，2，3-，4，5-，6，⋯，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知：“峰1”中峰顶的位置(C 的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C 的位置是有理数( )，2013-应排在A 、B 、C 、D 、E 中的位置( )，其中两个填空依次为( )A ．28-，CB ．29-，BC ．30-，DD ．31-，E【解答】解：每个峰需要5个数， 5525∴⨯=，251329++=，∴ “峰6”中C 位置的数的是29-，(20131)5402-÷=余2，2013∴-为“峰403”的第二个数，排在B 的位置．故选：B ．6．（2020•西城区校级模拟）因式分解：228168ax axy ay -+-= ． 【解答】解：原式228(2)a x xy y =--+28()a x y =--．7．（2020秋•大兴区期末）若22(3)9x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于 ． 【解答】解：22(3)9x m x +-+是完全平方式，33m ∴-=±，解得：6m =或0． 故答案为：6或0．8．（2020秋•海淀区校级月考）已知2a b +=，1ab =，则22a b += ． 【解答】解：2a b +=，1ab =，222()2422a b a b ab ∴+=+-=-=， 故答案为：2．9．（2020春•东城区期末）当n 取正整数时，(1)n x +的展开式中每一项的系数可以表示成如下形式：（1）观察上面数表的规律，若623456(1)1615156x x x ax x x x +=++++++，则a = ； （2）7(1)x +的展开式中每一项的系数和为 ．【解答】解：（1）由题意可得，623456(1)1615156x x x ax x x x +=++++++，则20a =；（2）当1n =时，多项式1(1)x +展开式的各项系数之和为：11122+==， 当2n =时，多项式2(1)x +展开式的各项系数之和为：212142++==， 当3n =时，多项式3(1)x +展开式的各项系数之和为：3133182+++==， 当4n =时，多项式4(1)x +展开式的各项系数之和为：414641162++++==，⋯∴多项式7(1)x +展开式的各项系数之和72=．故答案为：20，72．10．（2020秋•朝阳区期末）已知2277x x -=，求代数式2(23)(3)(21)x x x ---+的值． 【解答】解：2(23)(3)(21)x x x ---+ 224129263x x x x x =-+--++ 22712x x =-+，当2277x x -=时，原式71219=+=．1．同底数幂乘法同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 ，即m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）． 推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，2．同底数幂的除法同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 ，即m n m n a a a -÷=（m ，n 都是正整数，并且m n ＞）． 推导过程：()()()m nm an am n am na a a a a a a a a a aa ++⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=个个个一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，3．幂的乘方幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 ，即()nmmn a a =（m ，n 都是正整数）． 推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，4．积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式 分别乘方 ，再把 所得的幂相乘 ，即()nn n ab a b =（n 为正整数） 推导过程：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，5．单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 同底数幂 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注：单项式与单项式的乘积仍是单项式． 6．单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的 每一项 ，再 把所得的积相加 ，即()m a b c am bm cm ++=++．7．多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项 ，再 把所得的积相加 ，即()()a b m n am an bm bn ++=+++． 8．平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差 ，即：22()()a b a b a b +-=-． 9．完全平方公式()()()m n m an am n am na a a a a a a a a a aa --÷=⋅⋅⋅÷⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=个个个()mn a n mm nm m m m m mmna a a a a a +++=⋅⋅⋅==个个()()()()n abnn an bn nab ab ab ab a a a b b ba b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=个个个两个数的和的平方，等于它们的 平方和 ，加上它们的 积的2倍 ， 即：222()2a b a ab b +=++．两个数的差的平方，等于它们的 平方和 ，减去它们的 积的2倍 ， 即：222()2a b a ab b -=-+． 10．因式分解的定义把一个多项式化成 几个整式的积的形式 ，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 11．因式分解（1）公因式：多项式各项都含有的 公共因式 ，叫做这个多项式的公因式．（2）提公因式法：一般地，如果多因式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式 ，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （3）平方差公式：()()22a b a b a b -=+- （4）完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±考点一 幂的运算例1．（2020秋•海淀区校级期中）已知m x a =，n x b =，则32m n x +可以表示为( ) A ．32a b + B ．32a b - C ．32a b + D ．32a b【解答】解：32m n x + 32m n x x =32()()m n x x =， m x a =，n x b =，∴原式32a b =．故选：D ． 【变式训练】1．（2020秋•西城区期末）下列运算中正确的是( ) A ．23a a a +=B ．5210a a a ⋅=C ．238()a a =D ．2224()ab a b =【解答】解：A ．2a 与a 不是同类项，不能合并，因此A 不符合题意；B ．52527a a a a +⋅==，因此B 不符合题意；C ．23236()a a a ⨯==，因此C 不符合题意；D ．2224()ab a b =，因此D 符合题意；故选：D ．2．（2020秋•海淀区校级月考）计算10099(2)(2)-+-的结果为( ) A ．992-B ．992C ．2-D ．2【解答】解：原式99(2)(21)=-⨯-+99(2)(1)=-⨯-992=．故选：B ． 考点二 整式乘法例2．（2020•密云区一模）下列各式计算正确的是( ) A ．326a a a =B ．5510a a a +=C ．339(2)8a a -=-D ．22(1)1a a -=-【解答】解：A 、原式5a =，不符合题意；B 、原式52a =，不符合题意；C 、原式98a =-，符合题意；D 、原式221a a =-+，不符合题意，故选：C ．【变式训练】1．（2020秋•海淀区校级期中）如果2(4)(8)x x x mx n -+=++，那么m n +的值为( ) A ．36B ．28-C ．28D ．36-【解答】解：2(4)(8)432x x x x -+=+-，2(4)(8)x x x mx n -+=++， 4m ∴=，32n =-， m n ∴+的值为28-，故选：B ．2．（2020秋•海淀区校级期中）计算()(3)x k x -+的结果中不含x 的一次项，则k 的值是( ) A ．0B ．3C ．3-D ．2-【解答】解：()(3)x k x -+ 233x kx x k =-+-2(3)3x k x k =+--．()(3)x k x -+的结果中不含x 的一次项， 30k ∴-=． 3k ∴=．故选：B ．考点三 平方差公式例3．（2020秋•东城区校级期中）下列各式可以利用平方差公式计算的是( ) A ．(2)(2)x x +--B ．(5)(5)a y y a +-C ．()()x y x y -+-D ．(3)(3)x y y x +-【解答】解：222(2)(2)(2)(44)44x x x x x x x +--=-+=-++=---；2222(5)(5)25552455a y y a ay a y ay ay a y +-=-+-=-+； 22222()()()(2)2x y x y x y x xy y x xy y -+-=--=--+=-+-； 22(3)(3)(3)(3)9x y y x y x y x y x +-=+-=-． 故选：D ． 【专项训练】1．化简(23)(32)x x ---的结果是( )A ．249x -B ．294x -C ．249x --D ．2469x x -+【解答】解：2(23)(32)49x x x ---=-， 故选：A ．2．（2020春•朝阳区期末）已知x =+y =，则xy = ．【解答】解：因为x y =，所以xy =22=-53=-2=，故答案为：2．考点四 完全平方公式例4．（2020秋•海淀区校级期中）若17a b +=，60ab =，则2()a b -= ． 【解答】解：17a b +=，60ab =，222()()41746049a b a b ab ∴-=+-=-⨯=． 故答案为49．【专项训练】1．（2020秋•丰台区期末）如果关于x 的多项式24x bx ++是一个完全平方式，那么b = ． 【解答】解：22242x bx x bx ++=++，2124b ∴=±⨯⨯=±，故答案为：4±．2．（2020秋•海淀区校级期中）如果a ，b ，c 满足2222222690a b c ab bc c ++---+=，则abc 等于( ) A ．9B ．27C ．54D ．81【解答】解：222222269a b c ab bc c ++---+，22222(2)(2)(69)a ab b b bc c c c =-++-++-+， 222()()(3)0a b b c c =-+-+-=， 2()0a b ∴-=，2()0b c -=，2(3)0c -=， a b ∴=，b c =，3c =，即3a b c ===． 27abc ∴=．故选：B ．考点五 代数式化简求值——直接代入例5．当13a =时，代数式(4)(3)(1)(3)a a a a -----的值为( )A ．343B ．10-C ．10D ．8【解答】解：(4)(3)(1)(3)a a a a -----， 2271243a a a a =-+-+-， 39a =-+，当13a =时，原式13983=-⨯+=．故选：D ． 【专项训练】1．（2020春•房山区期末）已知12m =，求代数式2(1)(1)(1)m m m +-+-的值． 【解答】解：2(1)(1)(1)m m m +-+-2221(1)m m m =++-- 22211m m m =++-+ 22m =+，当12m =时，原式123=+=． 2．（2019春•房山区期中）已知2|2|(1)0a b -++=，化简求值：4()(2)(2)a a b a b a b +-+-． 【解答】解：4()(2)(2)a a b a b a b +-+- 222444a ab a b =+-+ 24ab b =+，2|2|(1)0a b -++=， |2|0a ∴-=，2(1)0b +=，解得，2a =，1b =-，当2a =，1b =-时，原式242(1)(1)817=⨯⨯-+-=-+=-．考点六 代数式化简求值——整体代入例6．（2020•北京二模）若245a a +=，则代数式2(2)(1)(1)a a a a +-+-的值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．6【解答】解：原式222241(4)1a a a a a =+-+=++， 245a a +=，∴原式516=+=．故选：D ． 【专项训练】1．（2020•海淀区二模）如果220a a --=，那么代数式2(1)(2)(2)a a a -++-的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：原式22222142232()3a a a a a a a =-++-=--=--， 220a a --=， 22a a ∴-=，∴原式2231=⨯-=．故选：A ．2．（2020春•通州区期末）若225m n -=，则22()()m n m n +-的值是( ) A ．25B ．5C ．10D ．15【解答】解：225m n -=，22222()()()25m n m n m n ∴+-=-=， 故选：A ．3．（2020春•海淀区校级期末）已知3x y -=，1xy =，则22(x y += ) A ．5B ．7C ．9D ．11【解答】解：3x y -=，1xy =，222()2x y x y xy ∴-=+-， 2292x y ∴=+-， 2211x y ∴+=， 故选：D ．考点七 因式分解例7．（2020•朝阳区一模）分解因式：2288x x ++= ． 【解答】解：原式222(44)2(2)x x x =++=+．故答案为：22(2)x +． 【专项训练】1．（2020秋•东城区期末）下列各式由左到右是分解因式的是( ) A ．269(3)(3)6x x x x x +-=+-+ B ．2(2)(2)4x x x +-=- C ．2222()x xy y x y --=-D ．22816(4)x x x -+=-【解答】解：A ．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；B ．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；C ．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；D ．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；故选：D ．2．（2020秋•西城区校级期中）分解因式：233ma mb -= ． 【解答】解：原式23()m a b =-．3．（2020•密云区二模）分解因式：2312ax a -= ． 【解答】解：原式23(4)a x =- 3(2)(2)a x x =+-．故答案为：3(2)(2)a x x +-．考点八 规律探索例8．（2020•北京模拟）如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D ．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B C →→→→→→→→→⋯的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4⋯，当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 603 ；当字母C 第21n +次出现时(n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．【解答】解：由题意可得，一个循环为A B C D C B →→→→→，即六个数一个循环， 由题意可得，一个循环中C 出现两次，20121001∴÷=⋯，∴当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是61003603⨯+=，(21)21n n +÷=⋯，∴当字母C 第21n +次出现时（为正整数），恰好数到的数是63n +．故答案为：603，63n +． 【专项训练】1．（2020秋•海淀区校级期中）按一定规律排列的一列数为12-，2，92-，8，252-，18⋯，则第8个数为 ，第n 个数为 ．【解答】解：把整数化为分母是2的分数，可以发现该数列中的每一个数的绝对值的分母都为2，分子恰是自然数列的平方，前面的符号，第奇数个为负，第偶数个为正，可用(1)n -表示，故第n 个数为：2(1)2nn -⨯，第8个数为：288(1)322-⨯=．故答案为：32，2(1)2nn -⨯．2．（2020•密云区一模）如图1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1．取ABC ∆和DEF ∆各边中点，连接成正六角星形111111A F B D C E ，如图2中阴影部分：取△111A B C 和△111D E F 各边中点，连接成正六角星形222222A F B D C E ，如图3中阴影部分⋯如此下去，则正六角星形n n n n n n A F B D C E 的面积为 ．【解答】解：1A 、1F 、1B 、1D 、1C 、1E 分别是ABC ∆和DEF ∆各边中点，∴正六角星形AFBDCE ∽正六角星形111111A F B D C E ，且相似比为2:1，正六角星形AFBDCE 的面积为1，∴正六角星形111111A F B D C E 的面积为14，同理可得，第三个六角形的面积为：311464=， 第n 个六角形的面积为：14n， 正六角星形n n n n n n A F B D C E 的面积为：14n， 故答案为为：14n． 3．（2020•东城区一模）从1-，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作k a ，)k b 构成一个数对{k k M a =，)k b （其中1k =，2，⋯，s ，且将{k a ，}k b 与{k b ，}k a 视为同一个数对），若满足：对于任意的{i i M a =，}i b 和{j j M a =，)(j b i j ≠，1i s ，1)j s 都有i i j j a b a b +≠+，则s 的最大值是 ．【解答】解：101-+=-，121-+=，132-+=，022+=，033+=，235+=， i i a b ∴+共有5个不同的值．又对于任意的{i i M a =，}i b 和{j j M a =，)(j b i j ≠，1i s ，1)j s 都有i i j j a b a b +≠+， s ∴的最大值是5．故答案为：5．。
中考数学 第2讲 代数式及整式的运算(解析版)
第2讲 代数式及整式的运算一、考点知识梳理【考点1 代数式定义及列代数式】1.代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式． 2．代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值．【考点2 幂的运算】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． a m •a n ＝a m +n （m ，n 是正整数） 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （a m ）n ＝a mn （m ，n 是正整数）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab ）n ＝a n b n （n 是正整数）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． a m ÷a n ＝a m ﹣n （a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ） 【考点3 合并同类项】所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项. 把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【考点4 整式的乘法】单项式乘以多项式m(a ＋b)＝am ＋bm多项式乘以多项式(a ＋b)(m ＋n)＝am ＋an ＋bm ＋bn 二、考点分析【考点1 代数式定义及列代数式】【解题技巧】(1)在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出代数式；(2)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言(和、差、积、商、乘以、除以等)在数学语言中的含义；(3)注意书写规则：a×b 通常写作a·b 或ab ；1÷a 通常写作1a；数字通常写在字母前面，如a×3通常写作3a ；带分数一般写成假分数，如115a 通常写作65a.【例1】（2019.海南中考）当m ＝﹣1时，代数式2m +3的值是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】C ．【分析】将m ＝﹣1代入代数式即可求值；【解答】解：将m ＝﹣1代入2m +3＝2×（﹣1）+3＝1； 故选：C ．【一领三通1-1】（2019.云南中考）按一定规律排列的单项式：x 3，﹣x 5，x 7，﹣x 9，x 11，……，第n 个单项式是（ ） A ．（﹣1）n ﹣1x 2n ﹣1 B ．（﹣1）n x 2n ﹣1 C ．（﹣1）n ﹣1x 2n +1 D ．（﹣1）n x 2n +1【答案】C ．【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【解答】解：∵x 3＝（﹣1）1﹣1x 2×1+1， ﹣x 5＝（﹣1）2﹣1x 2×2+1， x 7＝（﹣1）3﹣1x 2×3+1， ﹣x 9＝（﹣1）4﹣1x 2×4+1， x 11＝（﹣1）5﹣1x 2×5+1， ……由上可知，第n 个单项式是：（﹣1）n ﹣1x 2n +1， 故选：C ．【一领三通1-2】（2019•台湾）图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a ，矩形面积为b ．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？（ ）A ．4a +2bB ．4a +4bC ．8a +6bD ．8a +12b【答案】C ．【分析】根据已知条件即可得到结论．【解答】解：∵正三角形面积为a，矩形面积为b，∴图2中直角柱的表面积＝2×4a+6b＝8a+6b，故选：C．【一领三通1-3】（2019•台湾）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为10份意大利面，x杯饮料，y份沙拉，则他们点了几份A餐？（）A．10﹣x B．10﹣y C．10﹣x+y D．10﹣x﹣y【答案】A．【分析】根据点的饮料能确定在B和C餐中点了x份意大利面，由题意可得点A餐10﹣x；【解答】解：x杯饮料则在B和C餐中点了x份意大利面，y份沙拉则在C餐中点了y份意大利面，∴点A餐为10﹣x；故选：A．【考点2 幂的运算】【解题技巧】1.在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．2.概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．3.注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．【例2】（2019•广东中考）下列计算正确的是（）A．b6+b3＝b2B．b3•b3＝b9C．a2+a2＝2a2D．（a3）3＝a6【答案】C．【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、b6+b3，无法计算，故此选项错误；B、b3•b3＝b6，故此选项错误；C、a2+a2＝2a2，正确；D、（a3）3＝a9，故此选项错误．故选：B．【一领三通2-1】（2019•甘肃中考）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a8【答案】C．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选：B．【一领三通2-2】（2019•海南中考）下列运算正确的是（）A．a•a2＝a3B．a6÷a2＝a3C．2a2﹣a2＝2 D．（3a2）2＝6a4【答案】A．【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3，A准确；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，B错误；2a2﹣a2＝a2，C错误；（3a2）2＝9a4，D错误；故选：A．【一领三通2-3】（2019•江苏南京中考）计算（a2b）3的结果是（）A．a2b3B．a5b3C．a6b D．a6b3【答案】D．【分析】根据积的乘方法则解答即可．【解答】解：（a2b）3＝（a2）3b3＝a6b3．故选：D．【一领三通2-4】（2019•山东济南中考模拟）在平面直角坐标系中，任意两点A（a，b），B（c，d），定义一种运算：A*B＝[（3﹣c），]，若A（9，﹣1），且A*B＝（12，﹣2），则点B的坐标是______．【答案】（﹣1，8）．【分析】根据新运算公式列出关于c、d的方程组，解方程组即可得c、d的值；进一步得到点B的坐标．【解答】解：根据题意，得，解得：．则点B的坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．【考点3 合并同类项】【解题技巧】合并同类项时要注意以下三点：（1）要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；（2）明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；（3）“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．（4）只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)．【例3】（2019•吉林长春中考）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．【答案】2．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1，当a＝时，原式＝8a+1＝2．【一领三通3-1】（2019•山东威海中考）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．3a2+a＝3a3C．a5÷a2＝a3（a≠0）D．a（a+1）＝a2+1【答案】C．【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方的性质，单项式与多项式乘法法则，同底数幂的除法的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项错误；B、3a2+a，不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、a5÷a2＝a3（a≠0），正确；D、a（a+1）＝a2+a，故本选项错误．故选：C．【一领三通3-2】（2019•辽宁沈阳中考）下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2【答案】B．【分析】根据合并同类项、幂的乘法除法、幂的乘方、完全平方公式分别计算即可．【解答】解：A.2m3+3m2＝5m5，不是同类项，不能合并，故错误；B．m3÷m2＝m，正确；C．m•（m2）3＝m7，故错误；D．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（m﹣n）2＝﹣n2﹣m2+2mn，故错误．故选：B．【一领三通3-3】（2019•河北石家庄中考模拟）先化简，再求值：（5a2+2a+1）﹣4（3﹣8a+2a2）+（3a2﹣a），其中．【分析】首先去括号，合并同类项，将两代数式化简，然后代入数值求解即可．【解答】解：∵（5a2+2a+1）﹣4（3﹣8a+2a2）+（3a2﹣a）＝5a2+2a+1﹣12+32a﹣8a2+3a2﹣a＝33a﹣11，∴当a＝时，原式＝33a﹣11＝33×﹣11＝0；【一领三通3-4】（2019•山东青岛中考模拟）化简求值：已知整式2x2+ax﹣y+6与整式2bx2﹣3x+5y﹣1的差不含x和x2项，试求4（a2+2b3﹣a2b）+3a2﹣2（4b3+2a2b）的值．【分析】根据两整式的差不含x和x2项，可得差式中x与x2的系数为0，列式求出a、b的值，然后将代数式化简再代值计算．【解答】解：2x2+ax﹣y+6﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7，∵两个整式的差不含x和x2项，∴2﹣2b＝0，a+3＝0，解得a＝﹣3，b＝1，4（a2+2b3﹣a2b）+3a2﹣2（4b3+2a2b）＝4a2+8b3﹣4a2b+3a2﹣8b3﹣4a2b＝7a2﹣8a2b，当a＝﹣3，b＝1时，原式＝7a2﹣8a2b＝7×（﹣3）2﹣8×（﹣3）2×1＝7×9﹣8×9×1＝63﹣72＝﹣9．【考点4 整式的乘法】【解题技巧】多项式的乘法要注意多项式中每一项不要漏乘，还要注意运算符号，遵循去括号的法则。
【人教版】2019年春九年级数学下册：全册中考知识点梳理-第2讲 整式与因式分解
一、知识清单梳理
知识点一：代数式及相关概念
关键点拨及对应举例
1.代数式
（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．
（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．
求代数式的值常运用整体代入法计算.
例：a－b＝3，则3b－3a＝－9.
2.整式（单项式、多项式）
（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.
（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.
（3）整式：单项式和多项式统称为整式.
（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.
例：
（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤.
（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项互为逆运算．
(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．
失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.
例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.
（6）乘法
公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.变形公式：
知识点二：整式的运算
2019年华师大版中考数学总复习知识点梳理：第2讲整式与因式分解
第2讲整式与因式分解2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．以下所给的数值中，为不等式﹣2x+3＜0的解集的是（ ） A.x ＜﹣2B.x ＞﹣1C.x ＜﹣32D.x ＞322．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有（ ）个“O”A.28B.30C.31D.343．点G 为△ABC 的重心（△ABC 三条中线的交点），以点G 为圆心作⊙G 与边AB ，AC 相切，与边BC 相交于点H ，K ，若AB ＝4，BC ＝6，则HK 的长为（ ）A B C D 4．港珠澳大桥全长约为55000米，将数据55000科学记数法表示为（ ） A ．0.55×105B ．5.5×104C ．55×103D ．550×1025．合肥市统计局资料显示，2016年全市生产总值为6274.3亿元，2018年全市生产总值为7822.9亿元，假设2017年与2018年这两年的年平均增长率均为x ，则下列方程正确的是（ ） A.()6274.3127822.9x += B.()26274.3127822.9x += C.()26274.317822.9x +=D.()()6274.31127822.9x x ++=6．如图，在平面直角坐标系中，一个含有45〫角的三角板的其中一个锐角顶点置于点A （﹣3，﹣3）处，将其绕点A 旋转，这个45〫角的两边所在的直线分别交x 轴，y 轴的正半轴于点B ，C ，连结BC ，函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过BC 的中点D ，则（ ）A.9942k ≤≤ B.94k =C.994k ≤≤ D.92k =7．下列命题错误的是 （ ） A ．四边形内角和等于外角和 B ．相似多边形的面积比等于相似比C ．点P （1,2）关于原点对称的点的坐标为（-1，-2）D ．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 8．若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是11x-＝﹣1，﹣1的差倒数为11(1)--＝12，现已知x 1＝13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依此类推，则x 2019的值为（ ） A ．﹣13B ．﹣2C ．3D ．49．若点()1A -3y ，，()2B -1y ，，()3C 2y ，在反比例函数2k +1y=x(k 为常数)的图象上，则123y y y ，，的大小关系是( ) A.213y y y << B.123y y y << C.231y y y <<D.321y y y <<10．如图，函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(),3A m ，则不等式24x ax <+的解集为（ ）A.32x <B.3x <C.32x >D.3x >11．若不等式组2120x xx m ->-⎧⎨+≤⎩有解，则m 的取值范围是（ ）A.1m >-B.1m ≥-C.1m ≤-D.1m <-12．解不等式组3422133x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.二、填空题13．如图，在正方形ABCD 中，对角线BD 。
2019中考数学第一轮复习 第1章第2讲整式及其运算(共18张PPT)
典型例题运用 类型1 同类项的定义
1
【例1】 [2018·凉山州中考]若－ 2 xm＋3y与2x4yn＋3是同类 项，则(m＋n)2017＝____．
1 －1 ∵－ 2 xm＋3y 与 2x4yn＋3 是同类项，∴m＋3＝4，n＋3＝1，解得 m＝1，n＝－2.
∴(m＋n)2017＝(1－2)2017＝－1.
同底数幂相除
底数不变，指数 am÷an＝⑩__am－n__(a≠0，m，n都为
相减
整数)
注意
在进行计算时，一定要先弄清运算顺序，再确定所运用的运算法则，最 后按照法则正确计算．运算时要注意其公式的逆向运用，这样在解决某些 特殊结构的幂的问题时就能避繁就简．
3．整式的乘法
单项式相乘，把它们的系数相乘，字母部分的 单项式与单项 同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式中含
得分要领►对一个多项式进行因式分解，如果有公因式首 先提取公因式，然后再利用公式法因式分解，因式分解要 彻底，直到不能分解为止．
3.下列运算正确的是( B )
A. （-5）2 -5
B. （- 1）-2 16
4
C．x6÷x3＝x2
D．(x3)2＝x5
链接第4讲六年真题全练第1题．
猜押预测►下列运算中，结果是a4的是( D )
A．a2·a3
B．a12÷a3
C．(a2)3
D．(－a)4
得分要领►幂的运算问题，要注意两点：(1)同底数幂的 乘除，积的乘方，幂的乘方，很容易混淆，一定要记准法 则才能做题；(2)注意符号不能出错．
考点4 因式分解
把一个多项式化成①__几个整式的乘积__的形式，叫 概念 做因式分解．因式分解的对象是多项式，过程是恒等
变形，结果是整式的乘积的形式
2019中考数学一轮复习--第二讲 整式
第二讲 整式知识梳理知识点一、整式有关的概念重点：单项式、多项式、同类项的有关概念难点：概念的理解及运用1.2、单项式、多项式的次数和系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，每个单项式叫多项式的项。
不含字母的项叫做常数项。
3、同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
（两相同：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同；两无关：与系数无关，与字母的顺序无关） 例1.若523m xy +与3n x y 的和是单项式，则m n = ．解题思路：由它们的和是单项式，则它们是同类项，由同类项的意义知：m+5=3,n=2所以m=-2,n=2答案：41例2.下列结论正确的是（ ）A 、 没有加减运算的代数式叫整式B 、 单项式237xy π的系数是37，次数是4C 、单项式m 既没有系数，也没有次数D 、单项式2xy z -的系数是-1，次数是4 解题思路：要弄清整式、单项式的系数和次数的概念 答案：D 例3．多项式x x a x a 5154323+-有______项，分别是____________,它的次数是__________ 单项式：数或字母的积形式的式子叫单项式单独一个数或一个字母也是单项式多项式：几个单项式的和解题思路：弄清多项式的项和次数的概念. 答案：三345a x ，23a x - ，15x 5知识点二、整式的加减重点：合并同类项的方法，整式加减的步骤 难点：合并同类项 1. 合并同类项的方法把多项式中的同类项的系数相加作为新的系数，而字母部分不变 2. 整式的加减整式加减的实质就是合并同类项例1．化简)36()32(2222xy y x xy y x --+解题思路：先去括号再合并同类项，去括号注意符号变化2222222222(23)(63)236346x y xy x y xy x y xy x y xyx y xy +--=+-+=-+例2．一个多项式加上x 2y-3xy 2得2x 2y-xy 2，则这个多项式是（ ） A 、3x 2y-4xy 2； B 、x 2y-4xy 2； C 、x 2y+2xy 2； D 、-x 2y-2xy 2解题思路：先列整式，再运用整式加减运算知识点三、整数幂的运算性质 重点：整数幂的运算性质及运用 难点：性质的理解与运用1. 同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即：a m ×a n ＝a m+n（m 、n 都是正整数）. 2. 同底数幂的除法a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，并且m ＞n ）．即：同底数幂相除，底数不变，指数相减． a 0=1（a ≠0） 3. 幂的乘方2222222222(2)(3)232x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy ---=--+=+幂的乘方，底数不变，指数相乘．即：（a m ）n ＝a mn（m 、n 都是正整数）． 4. 积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方的积．即：（ab ）n =a n ·b n注意：整数幂的运算性质的逆运算也有广泛的应用 例题分类讲解 1.比较大小例1 已知a=355,b=444,c=533,则有（ ） A.a<b<c; B.c<b<a; C.c<a<b; D.a<c<b.解题思路：三个幂的指数的最大公约数是11，可以通过逆用幂的乘方法则化成同指数幂，然后比较底数，则谁大谁小一目了然.解： ∵ a=355=（35）11＝24311，b=444＝（44）11＝25611， c=533＝（53）11＝12511， 而125<243<256，∴ 533<355< b=444，即c<a<b. 故选C.【说明】 比较指数较大的幂的大小有两种途径：一是将其化成同底数幂，比较指数；二是化成同指数幂比较底数，例：比较410与218的大小，可以将410化为 (22)10=220则410﹥2182、求值问题例2.已知a m=3，a n＝2，求下列各式的值 （1）am+1； （2）a 3+n ； （3） a3m+2n.（4）23m na-解题思路：（1），（2）两式的指数是相加的形式，很明显是同底数幂相乘的结果，因此我们可以逆用同底数幂的乘法法则把它“退回去”，如am+1=am×a；（3）小题则需逆用同底数幂的乘法法则与逆用幂的乘方法则相结合.（4）小题需逆用同底数幂的除法法则与逆用幂的乘方法则相结合 解： （1）a m+1=a m×a=3a ；（2） a 3+n=a 3×a n＝2a 3； （3） a3m+2n ＝（a m ）3（a n ）2＝33×22＝108（4）23m na-=239()()988m n a a ÷=÷=【说明】 本题对幂的运算要求很高，要熟练掌握运算法则才能灵活运用. 3、解方程例3 如果32x+3-32x+1=72，试求出使等式两边相等的x 值.解题思路：我们都知道题中让我们求使等式成立未知数的值其实就是让我们解方程.从方程的左边两部分来看，都是底数为“3”、指数为“x”的幂的形式，可以用幂的运算来解决. 解： 3 2x+3-32x+1=7224·32x=72 32x =3 2x=1 X=21 这道题若改为32x+3-32x+1=24应该如何求解呢？3 2x+3-32x+1=2424·32x=24 32x=1 2x=0 X=0这两有什么区别呢？我们需注意逆用零指数幂a 0=1.题中就运用到1＝3 0【说明】根据同底数的两个幂相等，它们的幂指数一定相等，即a m=a n，则有m=n （m 、n 为整数） 4、 简化计算 例4、20082007669200811()(3)8()32⨯-+⨯-解题思路：通过观察我们发现本题的指数都比较大，按常规的方法计算是很难的，所以要通过技巧来解决.考虑到13与-3，2与12-都是互为负倒数，乘积为-1.于是：先逆用同底数幂的乘法法则将 20082007111()()333=⨯，20082007111()()()222-=-⨯-，则669366920078(2)2==再逆用积的乘方法则进行计算解：原式=20072007200720071111()(3)2()()3322⨯⨯-+⨯-⨯- =200720071111(3)(2)()3322-⨯⨯+-⨯⨯-=111326-+=知识点四、整式的乘除 重点：掌握整式乘除的运算法则 难点：法则的运用 1、 整式的乘法单项式与单项式相乘23332)(3)6a b a a b --=（ 单项式与多项式相乘 ()m a b ma mb +=+多项式与多项式相乘 ())a b m n am an bm bn ++=+++（ 2、 整式的除法单项式相除 232231()(3)55x y x y y -÷=- 多项式除以单项式 322(27156)3952a a a a a a -+÷=-+ 例题分类讲解 1、 确定字母的值 例1 若12144(5)(2)10m n n m aba b a b +--=-，求m-n 的值。
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一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2018·山西百校联考四)下列运算正确的是(C) A．5x－5x＝x B．(－2x2)3＝－6x6
C．－x4÷(－x)3＝x D．(x－1)2＝x2－2x－1 2．(2018·临沂)观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…
按照上述规律，第2018个单项式是(C)
A．2018x2018B．4029x2017
C．4029x2018D．4031x2018
3．(2018·杭州)下列各式的变形中，正确的是(A) A．(－x－y)(－x＋y)＝x2－y2
B.1
x－x＝1－x x
C．x2－4x＋3＝(x－2)2＋1
D．x÷(x2＋x)＝1
x＋1
4．(2018·天水)定义运算：a⊗b＝a(1－b)．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗(－2)＝6；②a⊗b＝b⊗a；③若a＋b＝0，则(a⊗a)＋(b⊗b)＝2ab；④若a⊗b＝0，则a＝0或b＝1，其中结论正确的序号是(B) A．①④B．①③④C．②③④D．①②④
5．(2012·南昌)已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2＝(C)
A．10B．6C．5D．3
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．(2018·绵阳)计算：a(a2÷a)－a2＝__0__．
7．(2018·大庆)若a2n＝5，b2n＝16，则(ab)n＝__±45__．
8．(2018·常德)计算：b(2a＋5b)＋a(3a－2b)＝
__5b2＋3a2__．
9．(2018·连云港)已知m＋n＝mn，则(m－1)(n－1)＝__1__.
10．请看杨辉三角①，并观察下列等式②：
根据前面各式的规律，则(a＋b)6＝__a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6__．
三、解答题(共40分)
11．(8分)(1)(2018·咸宁)化简：(a2b－2ab2－b3)÷b－(a－b)2；
解：原式＝－2b2
(2)(2018·嘉兴)化简：a(2－a)＋(a＋1)(a－1)．
解：a(2－a)＋(a＋1)(a－1)＝2a－a2＋a2－1＝2a－1
12．(10分)(1)(2018·山西太原)先化简，再求值：(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－3ab，其中a＝－1
2，b＝3；
解：原式＝a2＋2ab＋b2＋a2－b2－3ab＝2a2－ab，当a＝－1
2，b＝3时，原式＝2×
1
4＋
3
2＝2
(2)(2018·长沙)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－x(x＋y)＋2xy，其中x＝(3－π)0，y＝2.
解：(x＋y)(x－y)－x(x＋y)＋2xy＝x2－y2－x2－xy＋2xy＝xy－y2，∵x＝(3－π)0＝1，y＝2，∴原式＝2－4＝－2
13．(7分)(2018·茂名)设y＝ax，若代数式(x＋y)(x－2y)＋3y(x＋y)化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值．
解：原式＝(x＋y)(x－2y)＋3y(x＋y)＝(x＋y)2，当y＝ax，代入原式得(1＋a)2x2＝x2，即(1＋a)2＝1，解得：a＝－2或0
14．(7分)观察下列等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×__275__＝__572__×25；
②__63__×396＝693×__36__．
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”
一般规律的式子(含a，b)，并证明．
解：∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，∴左边的两位数是10a＋b，三位数是100b＋10(a＋b)＋a，右边的两位数是10b＋a，三位数是100a＋10(a＋b)＋b，∴一般规律的式子为：(10a＋b)×[100b＋10(a ＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)
证明：左边＝(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)＝(10a＋b)(110b＋11a)＝11(10a＋b)(10b＋a)，右边＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)＝(110a＋11b)(10b ＋a)＝11(10a＋b)(10b＋a)，∴左边＝右边，故“数字对称等式”一般规律的式子为：(10a＋b)×[100b＋10(a ＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)
15．(8分)(1)填空：
(a－b)(a＋b)＝__a2－b2__；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝__a3－b3__；
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__a4－b4__．
(2)猜想：
(a－b)(a n－1＋a n－2b＋…＋ab n－2＋b n－1)＝__a n－b n__(其中n为正整数，且n≥2)．
(3)利用(2)猜想的结论计算：
29－28＋27－…＋23－22＋2.
解：29－28＋27－…＋23－22＋2＝(2－1)(28＋26＋24＋22＋2)＝342。