高二数学 讲义：圆与方程

讲义:圆与方程

圆得标准方程与一般方程

1、圆得标准方程:222

()()x a y b r -+-=(圆心(),A a b ,半径长为r ); 圆心()0,0O ,半径长为r 得圆得方程222

x y r +=。 2、圆得一般方程:()

2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->

(1)当22

40D E F +->时,表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

为圆心为半径得圆; (2)当2240D E F +-=时,表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭;(3)当2240D E F +-<时,不表示任何图形、

特点:(1)①2x 与2

y 得系数相同,且不等于0; ②没有xy 这样得二次项

(2)确定圆得一般方程,只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了

(3)与圆得标准方程比较,它就是一种特殊得二元二次方程,代数特征明显,圆得标准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

3、过圆上一点得切线方程: ),(00y x M 在圆222r y x =+上,过M 得切线方程为200r y y x x =+

当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上,过M 得圆得切线方程为

200))(())((r b y b y a x a x =--+--

典型例题

例1、已知一个圆得直径得端点就是A(-1,2)、B(7,8),求该圆得方程。

例2、求过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上得圆得方程。

例3、求以)3,1(O 为圆心,且与直线0743=--y x 相切得圆得方程、

例4、已知圆得方程就是222r y x =+,求经过圆上一点),(00y x M 得切线方程。 例5、求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)得圆得方程,并求这个圆得半径长与圆心坐标。 巩固练习:

1、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称得圆得方程为 ( )

A.22(2)5x y -+=

B.22(2)5x y +-=

C.22(2)(2)5x y +++=

D.22(2)5x y ++= 2、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处得切线方程为( ) A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x

3、求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --得圆得方程、

4、求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点得圆得方程。

5、求经过点A(0,4),B(4,6)且圆心在直线x ―2y ―2=0上得圆得方程;

直线与圆、圆与圆得关系

1、点与圆得位置关系:

设圆得标准方程222

()()x a y b r -+-=,点00(,)M x y ,将M 带入圆得标准方程,

结果>r 2在外,

判断点P 在圆上、圆内、圆外得依据就是比较点P 到圆心得距离d 与半径r 得大小关系: d >r ⇔点P 在圆外;即点P ),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-外得条件就是22020)()(r b y a x >-+-;

d =r ⇔点P 在圆上;在圆22)()(b y a x -+-=2r 上得条件就是22020)()(r b y a x =-+-;

d

2、直线与圆得位置关系:

①代数法:由方程组⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax ,得)0(022≠=++m p nx mx ,mp n 42-=∆

0>∆方程组有两解

0=∆方程组有一解

0<∆方程组无解

②几何法: 直线与圆相交

r d <

直线与圆相切

r d =

直线与圆相离

r d >

3、圆与圆得位置关系:几何角度判断(圆心距与半径与差得关系)

(1)相离1212C C r r ⇔>+; (2)外切1212C C r r ⇔=+; (3)相交121212r r C C r r ⇔-<<+;

(4)内切1212C C r r ⇔=-; (5)内含1212C C r r ⇔<-、

例1、设m >0,则直线2(x +y )+1+m =0与圆x 2+y 2=m 得位置关系为( )

A 、相切

B 、相交

C 、相切或相离

D 、相交或相切 例2、圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得得弦长等于( )

A 、6

B 、

225 C 、1 D 、5 例3、已知圆C :(x －1)2＋(y －2)2＝25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y －7m －4=0(m ∈R )、

证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点。

巩固练习:

1、若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 得弦AB 得中点,则直线AB 得方程就是( )

A 、 03=--y x

B 、 032=-+y x

C 、 01=-+y x

D 、 052=--y x

2、圆012222=+--+y x y x 上得点到直线2=-y x 得距离最大值就是( )

A.2

B.21+

C.2

21+ D.221+