高中数学圆锥曲线轨迹问题题型分析
圆锥曲线的轨迹方程问题(教师版)
圆锥曲线的轨迹方程问题1.抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，P 在抛物线C 上，O 是坐标原点，当PF 与x 轴垂直时，△OFP 的面积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若A ，B 都在抛物线C 上，且OA ⋅OB =-4，过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足是G ，求动点G 的轨迹方程.【答案】(1)y 2=4x ;(2)x 2+y 2-2x =0x ≠0【解析】(1)当PF 与x 轴垂直时，P p 2,p ，故S △OFP =12×p 2×p =1，故p =2，故抛物线的方程为：y 2=4x .(2)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB :x =ty +m ，因为OA ⋅OB =-4，故y 21y 2216+y 1y 2=-4，整理得到：y 21y 22+16y 1y 2+64=0，故y 1y 2=-8.由x =ty +my 2=4x可得y 2-4ty -4m =0，故-4m =-8即m =2，故直线AB :x =ty +2，此直线过定点M 2,0 .因为OG ⊥GM ，故G 的轨迹为以OM 为直径的圆，其方程为：x -0 x -2 +y -0 y -0 =0即x 2+y 2-2x =0.因为直线AB :x =ty +2与x 轴不重合，故G 不为原点，故G 的轨迹方程为：x 2+y 2-2x =0x ≠0 .2.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率e =233，且经过点P 3,1 .(1)求双曲线C 的方程；(2)设A ，B 在C 上，PA ⊥PB ，过P 点向AB 引垂线，垂足为M ，求M 点的轨迹方程.【答案】(1)x 26-y 22=1;(2)x -92 2+y +122=92(去掉点P )【解析】(1)∵双曲线的离心率e =c a =233，∴c 2=43a 2=a 2+b 2，即a 2=3b 2，将P 3,1 代入C :x 23b 2-y 2b 2=1，即93b 2-1b2=1，解得b 2=2，a 2=6，故双曲线C 的方程为x 26-y 22=1；(2)当直线AB 斜率不存在时，不满足PA ⊥PB ，故不满足题意；当直线AB 斜率存在时，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB :y =kx +m ，代入双曲线方程整理得：3k 2-1 x 2+6kmx +3m 2+6 =0.Δ>0，则x 1+x 2=-6km 3k 2-1，x 1x 2=3m 2+63k 2-1，∵PA ⊥PB ，∴x 1-3 x 2-3 +y 1-1 y 2-1 =0，即x 1-3 x 2-3 +kx 1+m -1 kx 2+m -1 =0，整理得18k 2+9km +m 2+m -2=0，即3k +m -1 6k +m +2 =0，当3k +m -1=0时，AB 过P 点，不符合题意，故6k +m +2=0，直线AB 化为y +2=k x -6 ，AB 恒过定点Q 6,-2 ，∴M 在以PQ 为直径的圆上且不含P 点，即M 的轨迹方程为x -92 2+y +12 2=92(去掉点P ).3.已知抛物线C :y =x 2，过点M 1,2 的直线交抛物线C 于A ,B 两点，以A ,B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .(1)若线段AB 的中点N 的纵坐标为32，求直线AB 的方程；(2)求动点P 的轨迹.【答案】(1)x -y +1=0；(2)2x -y -2=0【解析】(1)依题意有：直线AB 的斜率必存在，故可设直线AB 的方程为y -2=k (x -1).由y -2=k (x -1)，y =x 2， 可得：x 2-kx +k -2=0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2.于是：y 1+y 2=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=k 2-2k +4=3，解得k =1，故直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)设P (x 0，y 0)，对于抛物线y =x 2，y =2x ，于是：A 点处切线方程为y -y 1=2x 1(x -x 1)，点P 在该切线上，故y 0-x 21=2x 1(x 0-x 1)，即x 21-2x 0x 1+y 0=0.同理：P 点坐标也满足x 22-2x 0x 2+y 0=0，于是：x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根，所以x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=y 0.又由(1)可知：x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2，于是x 0=k2，y 0=k -2，消k 得y 0=2x 0-2，于是P 的轨迹方程为2x -y -2=0，点P 的轨迹是一条直线.4.已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线x -2y =0上且在第一象限内，圆C在直线y =x 上截得的弦长为214.(1)求圆C 的方程；(2)已知线段MN 的端点M 的横坐标为-4，端点N 在(1)中的圆C 上运动，线段MN 与y 轴垂直，求线段MN 的中点H 的轨迹方程.【答案】(1)x -4 2+y -2 2=16;(2)4x 2+y -2 2=16【解析】(1)依题意，设所求圆C 的方程为x -a 2+y -b 2=r 2a >0 .所以圆心a ,b 到直线x -y =0d =a -b2，则有d 2+14 2=r 2，即a -b 2+28=2r 2.①由于圆C 与y 轴相切，所以r 2=a 2.②又因为圆C 的圆心在直线x -2y =0上，所以a -2b =0.③联立①②③，解得a =4,b =2,r =4，故所求圆C 的方程为x -4 2+y -2 2=16.(2)设点H 的坐标为x ,y ，点N 的坐标为x 0,y 0 ，点M 的坐标为-4,y ，因为H 是线段MN 的中点，所以x =x 0-42，y =y 0，于是有x 0=2x +4，y 0=y .①因为点N 在第(1)问中圆C 上运动，所以点N 满足x 0-4 2+y 0-2 2=16.②把①代入②，得2x +4-4 2+y -2 2=16，整理，得4x 2+y -2 2=16.此即为所求点H 的轨迹方程.5.已知圆O ：x 2+y 2=4与x 轴交于点A (-2,0)，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过-65,0 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1=4k 2．【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)设N (x 0，y 0)，则H (x 0，0)，∵N 是MH 的中点，∴M (x 0，2y 0)，又∵M 在圆O 上，∴ x 20+(2y 0)2=4，即x 204+y 20=1；∴曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =-65，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则P -65,45 ,Q -65,-45，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，∴S 65,45，k 1=k AP =45-0-65+2=1,k 2=k AS =45-065+2=14,∴k 1=4k 2；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方，同理得：P -65,-45 ,Q -65,45 ,S 65,-45，∴k1=k AP=-45-0-65+2=-1,k2=k AS=-45-065+2=-14，∴k1=4k2；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：x=my-6 5,，由x=my-65,与x24+y2=1联立可得(m2+4)y2-12m5y-6425=0，其中Δ=144m225+4×(m2+4)×6425>0，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则S(-x2,-y2)，则y1+y2=12m5m2+4,y1y2=-6425m2+4，∴k1=k AP=y1-0x1+2=y1x1+2,k2=k AS=-y2-0-x2+2=y2x2-2,则k1k2=y1x1+2⋅x2-2y2=y1my2-165my1+45y2=my1y2-165y1my1y2+45(y1+y2)-45y1=-6425m2+4-165y1-6425mm2+4+45⋅125mm2+4-45y1=-6425m2+4-165y1-1625m2+4-45y1=4，∴k1=4k2.6.已知点E(2,0)，F22,0，点A满足|AE|=2|AF|，点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1交于M，N两点，且∠MON=π2(O为坐标原点)，求点A到直线l距离的取值范围.【答案】(1)x2+y2=1；(2)655-1,655+1.【解析】(1)设A(x,y)，因为|AE|=2|AF|，所以(x-2)2+(y-0)2=2×x-2 22+(y-0)2，平方化简，得x2+y2=1；(2)直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1的方程联立，得y=kx+mx2 4-y29=1⇒(4k2-9)x2+8kmx+4m2+36=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，所以有4k2-9≠0(8km)2-4⋅(4k2-9)(4m2+36)>0⇒m2+9>4k2且k≠±32，所以x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9，因为∠MON =π2，所以OM ⊥ON⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，化简，得(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，把x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9代入，得(k 2+1)⋅4m 2+364k 2-9+km ⋅-8km 4k 2-9 +m 2=0，化简，得m 2=36(k 2+1)5，因为m 2+9>4k 2且k ≠±32，所以有36(k 2+1)5+9>4k 2且k ≠±32，解得k ≠±32，圆x 2+y 2=1的圆心为(0,0)，半径为1，圆心(0,0)到直线l :y =kx +m 的距离为d =mk 2+1=65k 2+1k 2+1=655>1，所以点A 到直线距离的最大值为655+1，最小值为655-1，所以点A 到直线距离的取值范围为655-1,655+1 ，7.在平面直角坐标系xOy 中，点D ，E 的坐标分别为-2,0 ，2,0 ，P 是动点，且直线DP 与EP 的斜率之积等于-14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知直线y =kx +m 与椭圆：x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m 使得OA +3OB =4OM，求m 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1x ≠±2 ;(2)-1,-12 ∪12,1 【解析】(1)设P x ,y ，则k EP ⋅k DP =y x -2⋅y x +2=-14x ≠±2 ，所以可得动点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1x ≠±2 .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又M 0,m ，由OA +3OB =4OM得x 1+3x 2,y 1+3y 2 =0,4m ，x 1=-3x 2联立y =kx +m x 24+y 2=1可得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0∵Δ=(8km )2-4×(4k 2+1)×(4m 2-4)>0，即64k 2-16m 2+16>0∴4k 2-m 2+1>0，且x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-44k 2+1，又x 1=-3x 2∴x 2=4km 4k 2+1，则x 1⋅x 2=-3x 22=4km 4k 2+1 2=4m 2-44k 2+1，∴16k 2m 2-4k 2+m 2-1=0，∴k 2=m 2-14-16m 2代入4k 2-m 2+1>0得m 2-11-4m2+1-m 2>0，14<m 2<1，解得m ∈-1,-12 ∪12,1 .∴m 的取值范围是-1,-12 ∪12,1 8.如图，设点A ，B 的坐标分别为(-3,0)，(3,0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为-23.(1)求P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求△MON 的面积.【答案】(1)x 23+y 22=1x ≠±3 ;(2)62【解析】(1)由已知设点P 的坐标为x ,y ，由题意知k AP ⋅k BP =y x +3⋅y x -3=-23x ≠±3 ，化简得P 的轨迹方程为x 23+y 22=1x ≠±3(2)证明：由题意M 、N 是椭圆C 上非顶点的两点，且AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，则直线AP ,BP 斜率必存在且不为0，又由已知k AP ⋅k BP =-23.因为AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，所以k OM k ON =-23设直线MN 的方程为x =my +t ，代入椭圆方程x 23+y 22=1，得3+2m 2 y 2+4mty +2t 2-6=0....①，设M ,N 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4mt 3+2m 2,y 1y 2=2t 2-63+2m 2又k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=y 1y 2m 2y 1y 2+mt y 1+y 2 +t 2=2t 2-63t 2-6m 2，所以2t 2-63t 2-6m2=-23，得2t 2=2m 2+3又S △MON =12t y 1-y 2 =12t -24t 2+48m 2+723+2m 2，所以S △MON =26t t 24t 2=62，即△MON 的面积为定值62.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x =1，点F 4,0 ，动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率大于3的直线交C 于两点，点Q -2,0 ，连接QA 、QB 交直线l 于M 、N 两点，证明：点F 在以MN 为直径的圆上．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设P x ,y ，由题意得x -4 2+y 2=2x -1 化简得x 24-y 212=1，所以曲线C 的方程为x 24-y 212=1．(2)证明：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 、M 1,m 、N 1,n ，设直线AB 的方程为y =k x -4 且k >3，联立y =k x -4 x 24-y 212=1得3-k 2 x 2+8k 2x -16k 2-12=0，3-k 2≠0，Δ=64k 4+43-k 2 16k 2+12 =144k 2+1 >0，由韦达定理可得x 1+x 2=8k 2k 2-3，x 1x 2=16k 2+12k 2-3，因为点M 在直线QA 上，则k QM =k QA ，即m3=y 1x 1+2，可得m =3y 1x 1+2=3k x 1-4x 1+2，同理可得n =3k x 2-4 x 2+2，FM=-3,m ，FN =-3,n ，所以，FM ⋅FN =9+mn =9+9k 2x 1x 2-4x 1+x 2 +16x 1x 2+2x 1+x 2 +4=9+9k 216k 2+12-32k 2+16k 2-4816k 2+12+16k 2+4k 2-12=0，故点F 在以MN 为直径的圆上．10.已知圆C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(2，3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件PM =PO 的点P 的轨迹方程.【答案】(1)x =2或3x -4y +6=0；(2)2x +2y -1=0.【解析】(1)把圆C 的方程化为标准方程为(x -1)2+(y -1)2=1，∴圆心为C (1，1)，半径r =1.当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x =2，C 到l 的距离d =1=r ，满足条件.当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y -3=k (x -2)，即kx -y +3-2k =0，则k -1+3-2k1+k 2=1，解得k =34.∴l 的方程为y -3=34(x -2)，即3x -4y +6=0.综上，满足条件的切线l 的方程为x =2或3x -4y +6=0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2=|PC |2-|MC |2=(x -1)2+(y -1)2-1，|PO |2=x 2+y 2，∵|PM |=|PO |.∴(x -1)2+(y -1)2-1=x 2+y 2，整理，得2x +2y -1=0，∴点P 的轨迹方程为2x +2y -1=0.11.已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ .(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析；(2)y 2=x -1.【解析】(1)由题意可知F 12,0 ，设l 1：y =a ，l 2：y =b 且ab ≠0，A a 22,a ，B b 22,b ，P -12,a ，Q -12,b ，R -12,a +b 2 ，直线AB 方程为2x -(a +b )y +ab =0，∵点F 在线段AB 上，∴ab +1=0，记直线AR 的斜率为k 1，直线FQ 的斜率为k 2，∴k 1=a -b 1+a 2，k 2=b-12-12=-b ，又∵ab +1=0，∴k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba =-b =k 2，∴AR ∥FQ ；(2)设l 1：y =a ，l 2：y =b ，A a 22,a ，B b 22,b ，设直线AB 与x 轴的交点为D x 1,0 ，∴S △ABF =12a -b FD =12a -b x 1-12，又S△PQF=a-b2，∴由题意可得S△PQF=2S△ABF，即a-b2=2×12·a-b⋅x1-12，解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)，则x=a2+b24y=a+b2，当AB与x轴不垂直时，由k AB=k DE可得a-ba22-b22=yx-1，即2a+b=yx-1(x≠1)，∴y2=x-1x≠1.当AB与x轴垂直时，E与D重合，也满足y2=x-1.∴AB中点的轨迹方程为y2=x-1.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为5，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(不同于A，B两点)，且直线BM ⊥BN时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【答案】(1)x24+y2=1，离心率为32;(2)x-322+y+3102=2125【解析】(1)由题意可得：2a=4，a2+b2=5，a2=b2+c2，可得a=2，c=3，b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1，离心率为e=ca=32．(2)当直线斜率存在时，可设l:y=kx+m代入椭圆方程x24+y2=1，得：4k2+1x2+8kmx+4m2-1=0．设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1．因为直线BM ，BN 垂直，斜率之积为-1，所以k BM ⋅k BN =-1，所以k BM ⋅k BN =k 2x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2x 1x 2=-1．将x 1+x 2=-8km 4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1代入，整理化简得：m -1 5m +3 =0，所以m =1或m =-35．由直线l :y =kx +m ，当m =1时，直线l 经过0,1 ，与B 点重合，舍去，当m =-35时，直线l 经过定点E 0,-35，当直线斜率不存在时，可设l :x =t ，则M t ,1-t 24 ，N t ,-1-t 24，因为k BM ⋅k BN =-1，所以1-t 24-1t ×-1-t 24+1t=-1，解得t =0，舍去．综上所述，直线l 经过定点E 0,-35，而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆，其E 0,-35 ，F 3,0 ，所以圆心32,-310 ，半径r =215，所以圆的方程为x -32 2+y +310 2=2125，即为点H 的轨迹方程．13.在平面直角坐标系xOy 中，A (-3,0)，B (3,0)，C 是满足∠ACB =π3的一个动点．(1)求△ABC 垂心H 的轨迹方程；(2)记△ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y =kx +m (km ≠0)与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2x 2+y 2=1交于P ，Q 两点，且|DE |=2|PQ |，求证：|k |>2．【答案】(1)x 2+(y +1)2=4(y ≠-2)；(2)证明见解析．【解析】设△ABC 的外心为O 1，半径为R ，则有R =AB 2sin ∠ACB=2，又∠OO 1B =∠OO 1C =π3，所以OO 1=R cos π3=1，即O 1(0,1)，或O 1(0,-1)，当O 1坐标为(0,1)时．设C (x ,y )，H x 0,y 0 ，有O 1C =R ，即有x 2+(y -1)2=4(y >0)，由CH ⊥AB ，则有x 0=x ，由AH ⊥BC ，则有AH ⋅BC=x 0+3 (x -3)+y 0y =0，所以有y 0=-x 0+3 (x -3)y =3-x 2y =(y -1)2-1y=y -2，y >0，则y 0=y -2>-2，则有x 20+y 0+1 2=4(y 0>-2)，所以△ABC 垂心H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2).同理当O 1坐标为(0,-1)时．H 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=4(y <2).综上H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2)或x 2+(y -1)2=4(y <2)．(2)若取x 2+(y +1)2=4(y >-2)，记点(0,-1)到直线l 的距离为d ，则有d =|m +1|1+k 2，所以|DE |=24-d 2=24-(m +1)21+k 2，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立y =kx +m 2x 2+y 2=1，有2+k 2 x 2+2kmx +m 2-1=0，所以Δ=4k 2+2-2m 2 >0，|PQ |=1+k 2⋅Δ2+k 2=21+k 2 k 2+2-2m 2 2+k 2，由|DE |=2|PQ |，可得4-(m +1)21+k 2=4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+1 2+k 2 2≤4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+22，所以4k 2+2+8m 22+k 22≤(m +1)2k 2+1，即有4k 2+1 k 2+2+8k 2+1 m 22+k 22≤(m +1)2，所以2+2m 2-4k 2+1 k 2+2-8k 2+1 m 2k 2+22≥(m -1)2，即2k 2k 2+2k 2m 2k 2+2-1 =(m -1)2⇒k 2m 2k 2+2-1≥0⇒m 2≥1+2k2又Δ>0，可得m 2<1+k 22，所以1+2k2<1+k 22，解得k 2>2，故|k |>2．同理，若取x 2+(y -1)2=4(y <2)，由对称性，同理可得|k |> 2.综上，可得|k |> 2.14.在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为-1,0 ，1,0 ，平面内两点G ，M 同时满足以下3个条件：①G 是△ABC 三条边中线的交点；②M 是△ABC 的外心；③GM ⎳AB ．(1)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；(2)若点P 2,0 与(Ⅰ)中轨迹上的点E ，F 三点共线，求PE ⋅PF 的取值范围．【答案】(1)x 2+y 23=1(y ≠0)；(2)3,92.【解析】(1)设C x ,y ，G x 0,y 0 ，M x M ,y M ，圆锥曲线的轨迹方程问题第11页因为M 是△ABC 的外心，所以MA =MB ，所以M 在线段AB 的中垂线上，所以x M =-1+12=0．因为GM ⎳AB ，所以y M =y 0．又G 是△ABC 三条边中线的交点，所以G 是△ABC 的重心，所以x 0=-1+1+x 3=x 3，y 0=0+0+y 3=y 3，所以y M =y 0=y 3．又MA =MC ，所以0+1 2+y 3-0 2=0-x 2+y 3-y 2，化简得x 2+y 23=1(y ≠0)，所以顶点C 的轨迹方程为x 2+y 23=1(y ≠0)．(2)因为P ，E ，F 三点共线，所以P ，E ，F 三点所在直线斜率存在且不为0，设所在直线的方程为y =k x -2 ，联立y =k x -2 ,x 2+y 23=1,得k 2+3 x 2-4k 2x +4k 2-3=0．由Δ=4k 2 2-4k 2+3 4k 2-3 >0，得k 2<1．设E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2k 2+3,x 1⋅x 2=4k 2-3k 2+3.所以PE ⋅PF =1+k 22-x 1 ⋅1+k 22-x 2 =1+k 2 ⋅4-2x 1+x 2 +x 1⋅x 2=1+k 2 ⋅4k 2+3 -8k 2+4k 2-3 k 2+3=91+k 2 k 2+3=9-18k 2+3．又0<k 2<1，所以3<k 2+3<4，所以3<PE ⋅PF <92．故PE ⋅PF 的取值范围为3,92 ．15.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是抛物线C :y 2=4x 上两个不同的点，C 的焦点为F ．(1)若直线AB 过焦点F ，且y 21+y 22=32，求AB 的值；(2)已知点P -2,2 ，记直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB ，且k PA +k PB =-1，当直线AB 过定点，且定点在x 轴上时，点D 在直线AB 上，满足PD ⋅AB =0，求点D 的轨迹方程．【答案】(1)AB =10；(2)x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 ).【解析】(1)由抛物线方程知：F 1,0 ，准线方程为：x =-1．圆锥曲线的轨迹方程问题第12页∵AF =x 1+1=y 214+1，BF =x 2+1=y 224+1，∴AB =AF +BF =y 21+y 224+2=10.(2)依题意可设直线AB :x =ty +m ，由y 2=4x x =ty +m得：y 2-4ty -4m =0，则Δ=16t 2+16m >0，∴y 1+y 2=4t y 1y 2=-4m ⋯①∵k PA +k PB =y 1-2x 1+2+y 2-2x 2+2=y 1-2ty 1+m +2+y 2-2ty 2+m +2=-1，∴2ty 1y 2+m +2 y 1+y 2 -2t y 1+y 2 -4m +2 t 2y 1y 2+t m +2 y 1+y 2 +m +2 2=-1⋯②由①②化简整理可得：8t -4m +m 2-4=0，则有m +2-4t m -2 =0，解得：m =2或m =4t -2．当m =4t -2时，Δ=16t 2+64t -32=16t +2 2-96>0，解得：t >-2+6或t <-2-6，此时AB :x =ty +4t -2=t y +4 -2过定点-2,-4 ，不符合题意；当m =2时，Δ=16t 2+32>0对于∀t ∈R 恒成立，直线AB :x =ty +2过定点E 2,0 ，∴m =2.∵PD ⋅AB =0，∴PD ⊥AB ，且A ,B ,D ,E 四点共线，∴PD ⊥DE ，则点D 的轨迹是以PE 为直径的圆．设D x ,y ，PE 的中点坐标为0,1 ，PE =25，则D 点的轨迹方程为x 2+y -1 2=5．当D 的坐标为-2,0 时，AB 的方程为y =0，不符合题意，∴D 的轨迹方程为x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 )．圆锥曲线的轨迹方程问题第13页。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
圆锥曲线之轨迹问题(有答案)
圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。
这种求轨迹的方法称之为直接法。
2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。
3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。
4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。
5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。
二、小试牛刀1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。
故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x ，圆O '的方程为010822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上 ∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+=-,0),21(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。
圆锥曲线专题五轨迹问题
圆锥曲线专题五：轨迹问题有关动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题，求动点的轨迹和圆锥曲线的定义、 性质有着密切的关系。
在求解时要先画出相应的草图进行分析，再选择好相应的解题策略和 具体方法。
探求曲线轨迹的基本方法主要有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法(代 入法)、参数法。
(1)已知A(2,3)且|PA|=7，则点P 的轨迹是 圆(2) 已知：ABC 的一边BC 的长为6,周长为16,则顶点A 的轨迹是什么？(椭圆，除去与 BC 边共线的两个顶点。
)若A( -1,0), B(5,0)且| MA | - | MB 4则点M 的轨迹是 双曲线右支(4) (5) 致是1 1b .0,因此--0,所以有：椭圆的焦点在 y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项.a -a(6) 已知圆C ： x 2 +y 2 +6x-91 =0及圆内一点P (3, 0),求过点P 且与已知圆内切的圆 的圆心M 的轨迹方程。
分析：(1 )圆C 的半径与圆心坐标可定。
(2) 两圆内切可得：外圆半径=内圆半径+连心距。
(3) 动点M 满足的等量关系：| MC| + | MP | = 10> | PC |(4) 由定义可确定动点 M 的轨迹为以P 、C 为焦点的椭圆。
(7) 已知动圆与圆 C 1 : (x 5)2 y^ 49和圆C 2： (x - 5)2 y 2 = 1都外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。
分析：(1 )从已知条件可以确定圆C 、G 的圆心与半径。
(2) 两圆外切可得：两圆半径和=圆心距 (3) 动圆半径r,依题意有r 1 + r = | P C 1 | , r 2 + r = | P C 2 |两式相减得：| PC 1 | -- | PC 2 | = r 1 -r 2 < | C 1 C 2|(3) b答案：D过点(2，3)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹是什么？(抛物线) a(a . b . 0)的曲线大=1, y^ -- x .因为b1(4)由双曲线定义得：点P的轨迹是C1、G以为焦点的双曲线的右支。
圆锥曲线轨迹的例题和练习(优秀).doc
圆锥曲线轨迹的例题和练习(优秀)专题:圆锥曲线轨迹首先，准备第一场战斗。
直接法(五部分法):如果运动点所满足的几何条件本身是某些几何量的等价关系，或者这些几何条件简单、明了、易于表达，我们只需要将这种关系“转化”为包含方程，就可以得到曲线的轨迹方程。
这种寻找轨迹的方法叫做直接法。
2.定义方法:如果运动点轨迹的条件满足基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义)，则运动点的轨迹方程可以根据定义直接计算。
3.坐标转移法(替代法):在一些问题中，移动点满足的条件不容易在方程中列出，但是移动点随着另一个移动点(称为相关点)移动。
如果相关点满足的条件是明显的或可分析的，那么我们可以用移动点的坐标来表示相关点的坐标。
根据相关点所满足的方程，我们可以得到运动点的轨迹方程。
这种寻找轨迹的方法也称为坐标转移法或替代法。
4.参数方法: 有时很难找出一个运动点应该满足的几何条件，并且没有明显的相关点，但是更容易发现(或者可以通过分析找到)这个运动点的运动经常受到另一个变量(角度、斜率、比率、截距或时间等)的限制。
)，也就是说，移动点的坐标随着另一个变量的变化而变化。
我们可以将这个变量设置为一个参数，并建立轨迹的参数方程。
这种方法称为参数方法。
如果我们需要得到轨迹的一般方程，我们只需要消除参数变量。
5.钢轨穿越方法:在寻找运动点轨迹的过程中，有时会出现需要两条运动曲线相交的轨迹问题。
这类问题通常可以通过求解方程来获得带参数的交点坐标，然后消除参数来获得期望的轨迹方程来解决。
这个方法被称为交集方法。
(2)小型试验手术刀1把。
已知的M轨迹(-圆锥曲线)首先，准备第一场战斗。
直接法(五部分法):如果运动点所满足的几何条件本身是某些几何量的等价关系，或者这些几何条件简单、明了、易于表达，我们只需要将这种关系“转化”为包含方程，就可以得到曲线的轨迹方程。
这种寻找轨迹的方法叫做直接法。
2.定义方法:如果运动点轨迹的条件满足基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义)，则运动点的轨迹方程可以根据定义直接计算。
圆锥曲线大题题型分类归纳大全
圆锥曲线大题题型归纳梳理圆锥曲线中的求轨迹方程问题解题技巧求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。
【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。
【例2.】已知点P 在椭圆1422=+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 31=求动点M 的轨迹方程。
【例3.】已知圆),,(,)(:0236222B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。
【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆1422=+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。
巩固提升1. 在平面直角坐标系xOy 中，点()(),,,,4010B A 若直线02++-m y x 上存在点P ,使得,PB PA 21=则实数m 的取值范围为_________________.2. 已知()Q P ,,24-为圆422=+y x O :上任意一点，线段PQ 的中点为,M 则OM 的取值范围为________________.3. 抛物线x y C 42:的焦点为,F 点A 在抛物线上运动，点P 满足,FA AP 2-=则动点P 的轨迹方程为_____________________.4. 已知定圆,)(:100422=++y x M 定点),,(40F 动圆P 过定点F 且与定圆M 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为____________________.5. 已知定直线,:2-=x l 定圆,)(:4422=+-y x A 动圆H 与直线l 相切，与定圆A 外切，则动圆圆心H 的轨迹方程为____________________6. 直线033=+-+t y tx l :与抛物线x y 42=的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数t 的取值范围为_________________.7. 抛物线y x 42=的焦点为,F 过点),(10-M 作直线l 交抛物线于B A ,两点，以BF AF ,为邻边作平行四边形,FARB 求顶点R 的轨迹方程。
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。
在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。
适用条件需要注意。
例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。
例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。
对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。
PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。
例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。
例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。
题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。
在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。
例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。
题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。
例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。
例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。
题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。
高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中动点轨迹方程问题
高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中动点轨迹方程问题本文介绍了解动点轨迹问题的四种方法：直译法、定义法、代入法和参数法。
其中，直译法包括建系、设点、列式、代换和证明五个步骤；定义法则是根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；代入法和参数法则是在特定条件下使用的方法。
此外，文章还提到了解轨迹问题时需要注意的两点：求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，要验证曲线上的点是否都满足方程。
接下来，文章以一个例题为例，介绍了利用代点法求轨迹方程的具体步骤。
该例题要求求出点P的轨迹方程，通过设点、列式、代换和证明四个步骤，最终得出了轨迹方程x2+y2=2.此外，文章还介绍了如何利用轨迹方程验证曲线上的点是否都满足方程，以及如何去掉满足方程的解而不再曲线上的点。
最后，文章介绍了另一种解轨迹问题的方法：定义法。
该方法是先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
I）设圆心C的坐标为(x,y)，则圆方程为(x-1)^2+y^2=1，又因为在y轴上截得的弦长为2，所以C到y轴的距离为1，即x^2+y^2=1.联立两式可得圆心C的轨迹方程为x^2+y^2-x-1=0.II）由题意可知，直线l的斜率为k，且过点Q(1,0)，则直线方程为y=k(x-1)。
将直线方程代入圆的方程中，得到方程x^2+(k(x-1))^2-x-1=0，化简可得x^2(1+k^2)-2xk^2+k^2-1=0.由于直线l与轨迹C有交点A、B，所以方程有两个不同的实根，即Δ=4k^4-4(k^2+1)(k^2-1)≥0.解得-1≤k≤1.再将k带入直线方程可求出交点A、B的坐标，进而证明AR//FQ。
求AB中点的坐标为((k^2-1)/(1+k^2),k(k^2-2)/(1+k^2))，将其代入x^2+y^2-x-1=0中得到轨迹方程为x^4-2x^3+6x^2-2x+1-4y^2=0.1.定点、定值问题的解法定点、定值问题通常可以通过设定参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少。
高考题型专题讲解6： 圆锥曲线中的轨迹问题
专题六 圆锥曲线中的轨迹问题
轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的 数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是 高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方 程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思 想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想．
y
−
2
=
k
(
x
−
2)
，M
(
x,
y
)
．联立
y
−
2
=
k
(
x
−
2)
消去
x2 + y2 − 8y = 0
可得 ，于是 ，将 代入， y (k2 +1) x2 − 4(k2 + k ) x + (4k2 + 8k −12) = 0
(2 k 2 + k )
x = k2 +1
k = y−2 x−2
消去参数 ，可得 ，整理可得 （ ）． k
3
3
点 O 到直线l 的距离为 d = 4 10 ，所以 PM = 2 OP 2 − d2 = 4 10 ，于是△ POM 的面积为
5
5
． 1 × 4 10 × 4 10 = 16
25 5 5
2/8
【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下 4 种：点在圆上，向量数量积为 0，斜 率乘积为 −1，勾股定理．用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向 量数量积为 0”的角度能避开分类讨论．
x
=
高考数学解答题(新高考)圆锥曲线中的轨迹方程问题 (典型例题+题型归类练)(解析版)
专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型例题+题型归类练)目录类型一：定义法求轨迹方程类型二：直接法类型三：代入法（相关点法）类型四：点差法一、必备秘籍1、曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0F x y =的解； ②以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点．此时，把方程(,)0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 3、求轨迹方程的方法： 3.1定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(,)x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P '的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线y x 、例题5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知P 是平面上的动点，且点P 与(2,0),(2,0)F F -的距离之差的的直线分别与x 轴的正半轴和y 为坐标原点．若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点，则0,0a b >>，(,BP x y ∴=，(PA a =-2BP PA =，a ∴又(),AB a b =-=，(,OQ x =-，1OQ AB ⋅=，()332x x ⎛⎫∴-⋅-+ ⎪⎝⎭)2230,0x y y +=>.故答案为：)2302x y +>.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知定点()0,4A ，满足12NR NM =，又12NR NM =，可得例题5．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．(1)求动点P 的轨迹【答案】(1)24y x =设(),P x y ，()AP x =+，()1,0OB =，(1PB =-，(AP OB x ⋅=+()221x B y P =-+，因为AP OB PB ⋅=，则)221x x y +=-+，所以222121x x x x ++=-+，即24y x =．例题6．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（文））已知直线线l 垂直于轴，动点在直线l 上，且OP OQ ⊥，记点的轨迹为C ，设点P 的坐标为(),x y ，则(Q x OP OQ ⊥，∴0OP OQ ⋅= 220x y -=，0x =时，P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故曲线C 的方程为(22x y x =≠ 412NR NM =；AP OB PB ⋅=；OP OQ ⊥等，根据这些已知条件直接转化为代数式求解.类型三：代入法（相关点法）21y =上运动时，连接A 与定点故答案为：()()22211x y -+-=，)()0,+∞.()22,x y ，(1221y y k-=)221212y y +=圆a=，24∴动圆圆心6．（2022·和2，动圆【答案】动圆O O=，大圆O的半径为5.过动点P分别作7．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆O与圆O内切，且4【答案】圆心为(6,0)，半径为3的圆.【详解】如图，以O O所在直线为x轴，以O O的中点为原点，设动点(,)P x y ，(,0)Q t (01)t ≤≤， 高二专题练习）在ABC 中，2BC y x =⨯+足，且33QM QP =. 求动点M 的轨迹Γ的方程；【答案】(1)221x y +=；0,),(,)y M x y ，则Q ，所以0(,0),(,QP x QM x y ==，由33QM QP =得x y ⎧=⎪⎨⎪⎩，即()22313x y +=，故动点的轨迹Γ的方程为x【答案】点M的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为a的圆.M x y，若A、B不与原点重合时，则AOB是直角三角形，且∠O为直角，设线段AB的中点(,)为半径的圆，。
解圆锥曲线问题常用的八种方法及七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法〔点参数、K 参数、角参数〕7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型〔1〕中点弦问题 〔2〕焦点三角形问题〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题 〔4〕圆锥曲线的有关最值〔围〕问题 〔5〕求曲线的方程问题1．曲线的形状--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程〔6〕存在两点关于直线对称问题 〔7〕两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法〔1〕椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
〔2〕双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离〞互相转化。
〔3〕抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法〞。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法〞，即设弦的两个端点A(*1,y 1),B(*2,y 2),弦AB 中点为M(*0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求〞法，具体有：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有02020=+k by a x 。
圆锥曲线竞赛中的常见题型
专业精心策划Ｓ高二数学爱好者数学爱好者课余揽胜▲湖南李生茂近几年的全国高中数学联赛中，对圆锥曲线这部分内容考查，一般是一个解答题再加一个选择题或填空题，分值大约是２６分或２９分，其题型比较稳定．解决的策略主要是以坐标法为切入点，运算技能则是解决这方面问题的关键点．一、探求轨迹问题例１已知过点（０，１）的直线ｌ与曲线Ｃ：ｙ＝ｘ＋１ｘ（ｘ＞０）交于两个不同点Ｍ和Ｎ．（１）求证：与曲线Ｃ相切于点（ｘ０，ｙ０）的切线斜率ｋ＝１－１ｘ０２；（２）求曲线Ｃ在点Ｍ、Ｎ处切线的交点轨迹．分析由直线与曲线相切知，通过联立两方程成方程组后，消元得到的一元二次方程，根据判别式及韦达定理，进而可求得斜率的值．第二问则可以按交轨法求得．解析（１）设相切于点（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，则由已知得ｙ＝ｘ＋１ｘ，ｙ＝ｋｘ＋ｂ"$$$#$$$%．消去ｙ，得ｘ＋１ｘ＝ｋｘ＋ｂ，即（ｋ－１）ｘ２＋ｂｘ－１＝０，因为直线与曲线相切，则上述方程有两相等正实数根，且这个根就是ｘ０，可知ｋ≠１，所以Δ＝ｂ２＋４（ｋ－１）＝０，且ｘ０＝－ｂ２（ｋ－１），即ｂ＝－２ｘ０（ｋ－１），消去ｂ得ｋ＝１－１ｘ０２；（２）设交点Ｍ、Ｎ分别为（ｘ１，ｙ１）和（ｘ２，ｙ２），曲线Ｃ在点Ｍ、Ｎ处的切线分别为ｌ１、ｌ２，其交点Ｐ的坐标为（ｘｐ，ｙｐ）．若直线ｌ的斜率为ｋ，则ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１．由方程组ｙ＝ｘ＋１ｘ，ｙ＝ｋｘ＋"$$$’$$$%１消去ｙ，得ｘ＋１ｘ＝ｋｘ＋１，即（ｋ－１）ｘ２＋ｘ－１＝０．由题意知，该方程在（０，＋∞）上有两个相异的实根ｘ１、ｘ２，故ｋ≠１，且Δ＝１＋４（ｋ－１）＞０，①ｘ１＋ｘ２＝１１－ｋ＞０，②ｘ１ｘ２＝１１－ｋ＞０，③由此解得３４＜ｋ＜１，由（１）知，直线在（ｘ１，ｙ１）和（ｘ２，ｙ２）点处的切线斜率分别是ｋ１＝１－１ｘ１２，ｋ２＝１－１ｘ２２，于是直线ｌ１的方程为ｙ－ｙ１＝１－１ｘ１２()（ｘ－ｘ１），即ｙ－ｘ１＋１ｘ１(*＝１－１ｘ１２+*（ｘ－ｘ１），圆锥曲线竞赛中的常见题型ｃｈａｎｇｊｉａｎｔｉｘｉｎｇ$%&专业精心策划高二数学爱好者Ｓ数学爱好者课余揽胜化简后得到直线ｌ１的方程为ｙ＝１－１ｘ１２!"ｘ＋２ｘ１，④同理可求得直线ｌ２的方程为ｙ＝１－１ｘ２２!"ｘ＋２ｘ２，⑤④－⑤得１ｘ２２－１ｘ１２!"ｘＰ＋２ｘ１－２ｘ２＝０，因为ｘ１≠ｘ２，故有ｘＰ＝２ｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２，⑥将②、③两式代入⑥式得ｘＰ＝２．④＋⑤得２ｙＰ＝２－１ｘ１２＋１ｘ２２!"$%ｘＰ＋２１ｘ１＋１ｘ２!"，⑦其中１ｘ１＋１ｘ２＝ｘ１＋ｘ２ｘ１ｘ２＝１，１ｘ１２＋１ｘ２２＝ｘ１２＋ｘ２２ｘ１２ｘ２２＝（ｘ１＋ｘ２）２－２ｘ１ｘ２ｘ１２ｘ２２＝ｘ１＋ｘ２ｘ１ｘ２!"２－２ｘ１ｘ２＝１－２（１－ｋ）＝２ｋ－１，代入⑦式得２ｙＰ＝（３－２ｋ）ｘＰ＋２，而ｘＰ＝２，得ｙＰ＝４－２ｋ．又由３４＜ｋ＜１得２＜ｙＰ＜５２，即点Ｐ的轨迹为（２，２）、（２，２．５）两点间的线段（不含端点）．点评此题是典型的直线与圆锥曲线的位置关系问题，常用的解题策略是设而不求，变式消元，利用韦达定理沟通坐标与参数的关系．在求轨迹方程时应该注意曲线的完备性和纯粹性．二、求参数的取值范围例２平面直角坐标系ｘＯｙ中，给定三点Ａ０，４３!"、Ｂ（－１，０）、Ｃ（１，０），点Ｐ到直线ＢＣ的距离是该点到直线ＡＢ、ＡＣ距离的等比中项．（１）求点Ｐ的轨迹方程；（２）直线ｌ经过三角形ＡＢＣ的内心（设为Ｄ），且与Ｐ点的轨迹恰好有３个公共点，求ｌ的斜率ｋ的取值范围．分析第一问利用直接法便可求得轨迹方程．第二问求取值范围，根据直线与曲线相交问题转化为方程的问题来解．解（１）直线ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ的方程依次为ｙ＝４３（ｘ＋１），ｙ＝－４３（ｘ－１），ｙ＝０．点Ｐ（ｘ，ｙ）到ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ的距离依次为ｄ１＝１５４ｘ－３ｙ＋４，ｄ２＝１５４ｘ＋３ｙ－４，ｄ３＝ｙ，依题有ｄ１ｄ２＝ｄ３２，得１６ｘ２－（３ｙ－４）２＝２５ｙ２，即１６ｘ２－（３ｙ－４）２＋２５ｙ２＝０，或１６ｘ２－（３ｙ－４）２－２５ｙ２＝０，即Ｐ的轨迹方程为圆Ｓ：２ｘ２＋２ｙ２＋３ｙ－２＝０与双曲线Ｔ：８ｘ２－１７ｙ２＋１２ｙ－８＝０；（２）由（１）知，点Ｐ的轨迹包含两部分：圆Ｓ：２ｘ２＋２ｙ２＋３ｙ－２＝０，①和双曲线Ｔ：８ｘ２－１７ｙ２＋１２ｙ－８＝０．②因为Ｂ（－１，０）和Ｃ（１，０）是适合题设条件的点，所以点Ｂ和点Ｃ在点Ｐ的轨迹上，且点Ｐ的轨迹曲线Ｓ与Ｔ的公共点只有Ｂ、Ｃ两点．三角形ＡＢＣ的内心Ｄ也是适合题设条件的点，由ｄ１＝ｄ２＝ｄ３，解得Ｄ０，１２!"，且知它在圆Ｓ上．直线ｌ经过Ｄ，且与点Ｐ的轨迹有３个公共点，所以ｌ的斜率存在，设ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１２，③（ｉ）当ｋ＝０时，ｌ与圆Ｓ相切，有唯一的公共点Ｄ；此时，直线ｙ＝１２平行于ｘ轴，表明ｌ与双曲线有不同于Ｄ的两个公共点，所以ｌ恰好与点Ｐ的轨迹有３个公共点．（ｉｉ）当ｋ≠０时，ｌ与圆Ｓ有两个不同的交点，这时，ｌ与点Ｐ的轨迹恰有３个公共点，只能下面两种情况：情况１：直线ｌ经过点Ｂ或点Ｃ，此时ｌ的斜率ｋ＝±１２，直线ｌ的方程为ｘ＝±（２ｙ－１）．代入方程②得ｙ（３ｙ－４）＝０，解得Ｅ５３，４３!"或Ｆ－５３，４３!"．()*专业精心策划Ｓ高二数学爱好者数学爱好者课余揽胜表明直线ＢＤ与曲线Ｔ有２个交点Ｂ、Ｅ；直线ＣＤ与曲线Ｔ有２个交点Ｃ、Ｆ．故当ｋ＝±１２时，ｌ恰好与点Ｐ的轨迹有３个公共点．情况２：直线ｌ不经过点Ｂ和Ｃ（即ｋ≠±１２），因为ｌ与Ｓ有两个不同的交点，所以ｌ与双曲线Ｔ有且只有一个公共点，即方程组８ｘ２－１７ｙ２＋１２ｙ－８＝０，ｙ＝ｋｘ＋１２"$$$#$$$%有且只有一组实数解，消去ｙ并化简得（８－１７ｋ２）ｘ２－５ｋｘ－２５４＝０，该方程有唯一实数解的充要条件是８－１７ｋ２＝０，④或（－５ｋ）２＋４（８－１７ｋ２）２５４＝０，⑤解方程④得ｋ＝±２３４&１７，解方程⑤得ｋ＝±２&２．综上可得：直线ｌ的斜率ｋ的取值范围是有限集０，±１２，±２３４&１７，±２&２’(．点评本题主要先是通过直接法求曲线的方程，然后用方程的思想去解决直线和圆锥曲线的交点问题，对直线的斜率及方程根的分布要进行分类讨论则是本题的难点，在思想方法上体现了方程的思想、分类讨论思想及数形结合思想．三、探求有关的性质例３设Ａ、Ｂ分别为椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）和双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的公共的左、右顶点，Ｐ、Ｑ分别为双曲线和椭圆上不同于Ａ、Ｂ的动点，且满足Ａ)*Ｐ＋Ｂ)*Ｐ＝λ（Ａ)*Ｑ＋Ｂ)*Ｑ）（λ∈Ｒ，λ＞１）．设直线ＡＰ、ＢＰ、ＡＱ、ＢＱ的斜率分别为ｋ１、ｋ２、ｋ３、ｋ４．（１）ｋ１＋ｋ２＋ｋ３＋ｋ４是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，则说明理由；（２）设Ｆ１、Ｆ２分别为椭圆和双曲线的右焦点，若ＰＦ２∥ＱＦ１，求证：ｋ１２＋ｋ２２＋ｋ３２＋ｋ４２＝８．分析本题是探求定值问题，有两个已知方程，Ａ、Ｂ点的坐标可表示出来，再设两个Ｐ、Ｑ两个坐标参数，可把四条直线的斜率一一表示出来，然后计算斜率的关系．解（１）设Ｐ、Ｑ两点的坐标分别为Ｐ（ｘ１，ｙ１）、Ｑ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１２ａ２－ｙ１２ｂ２＝１，ｘ２２ａ２－ｙ２２ｂ２＝１．则ｋ１＋ｋ２＝ｙ１ｘ１＋ａ＋ｙ１ｘ１－ａ＝２ｘ１ｙ１ｘ１２－ａ２＝２ｂ２ａ２·ｘ１ｙ１，①同理可得ｋ３＋ｋ４＝－２ｂ２ａ２·ｘ２ｙ２，②设Ｏ为原点，则２Ｏ)*Ｐ＝Ａ)*Ｐ＋Ｂ)*Ｐ＝λ（Ａ)*Ｑ＋Ｂ)*Ｑ）＝２λＯ)*Ｑ，所以Ｏ)*Ｐ＝λＯ)*Ｑ，Ｏ、Ｐ、Ｑ三点共线，于是得ｘ１ｙ１＝ｘ２ｙ２．由①、②得ｋ１＋ｋ２＋ｋ３＋ｋ４＝０；（２）由点Ｑ在椭圆上，有ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１．由Ｏ)*Ｐ＝λＯ)*Ｑ，得（ｘ１，ｙ１）＝λ（ｘ２，ｙ２）．所以ｘ２＝１λｘ１，ｙ２＝１λｙ１，即ｘ１２ａ２＋ｙ１２ｂ２＝λ２，③又由点Ｐ在双曲线上，有ｘ１２ａ２－ｙ１２ｂ２＝１，④由③、④得ｘ１２＝λ２＋１２ａ２，ｙ１２＝λ２－１２ｂ２，因为ＰＦ２∥ＱＦ１，所以ＯＦ２＝λＯＦ１，所以λ２＝ａ２＋ｂ２ａ２－ｂ２，ｘ１２ｙ１２＝（λ２＋１）ａ２（λ２－１）ｂ２＝ａ４ｂ４，由①得（ｋ１＋ｋ２）２＝４ｂ４ａ４·ｘ１２ｙ１２＝４，同理可得（ｋ３＋ｋ４）２＝４，另一方面ｋ１ｋ２＝ｙ１ｘ１＋ａ·ｙ１ｘ１－ａ＝ｂ２ａ２．类似地，ｋ３ｋ４＝－ｂ２ａ２，故ｋ１２＋ｋ２２＋ｋ３２＋ｋ４２＝（ｋ１＋ｋ２）２＋（ｋ３＋ｋ４）２－２（ｋ１ｋ２＋ｋ３ｋ４）＝８．点评坐标法是解析几何中的最基本也是最重要的方法，它的思维较简单，只是需要计算便可达到目的，另外本题中巧妙地抓住了各点的“对称性”，简化了计算．()*。
解圆锥曲线问题常用的八种方法及七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
圆锥曲线中的轨迹方程问题-(解析版)
专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。
首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y 的等式，就得到轨迹方程。
直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。
经典例题：1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【详解】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =，12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）=﹣4，+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |，=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．2．（2020·湖南省高三期末）点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. 求点P 的轨迹方程；【答案】22143x y +=12=，化简即可求出；12=，化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方程．【答案】轨迹方程是221169x y -=.【分析】利用动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54可得方程，化简由此能求出轨迹M 的方程．【详解】由题意，设P （x ，y ），则()22252516165x y x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得轨迹方程是221169x y -=． 故答案为221.169x y -=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
圆锥曲线轨迹方程题型
圆锥曲线轨迹方程题型一、引言圆锥曲线是高中数学中的一个重要部分，涉及到的内容包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
其中，求解圆锥曲线轨迹方程是一个常见的题型。
本文将从以下几个方面详细介绍圆锥曲线轨迹方程题型。
二、基本概念1. 圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面截过一个双曲面或抛物面得到的图形。
根据截面与轴的位置不同，可以分为四种类型：圆、椭圆、双曲线和抛物线。
2. 坐标系在解决圆锥曲线问题时，通常会使用笛卡尔坐标系或极坐标系。
笛卡尔坐标系是平面直角坐标系，在二维平面上用两个垂直于彼此的轴来确定点的位置。
极坐标系则是以原点为中心，以极径和极角来表示点在平面上的位置。
3. 曲线方程在笛卡尔坐标系下，通常使用一般式或标准式来表示圆锥曲线的方程。
一般式为Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，标准式则是将一般式进行化简后得到的形式。
在极坐标系下，通常使用参数方程或极坐标方程来表示圆锥曲线的方程。
三、圆锥曲线轨迹方程题型1. 求解椭圆轨迹方程椭圆是指平面上到两个定点F1和F2距离之和为常数2a的所有点P的集合。
求解椭圆轨迹方程的方法是先确定坐标系，然后根据定义列出方程，并进行化简。
例如，已知椭圆的焦点为F1(-3,0)和F2(3,0)，离心率为1/2，求解该椭圆的轨迹方程。
解法如下：（1）确定坐标系：以焦点连线所在直线为x轴正半轴，以中心点O(0,0)为原点建立坐标系。
（2）列出方程：由于离心率为e=1/2，则有a=3/2。
根据椭圆定义可得：PF1+PF2=2a即√[(x+3)²+y²]+√[(x-3)²+y²]=3将上式平方并移项可得：(x+3)²+y²+(x-3)²+y²+2√[(x+3)²+y²]√[(x-3)²+y²]=9化简得到：x²/9+y²/4=1这就是所求的椭圆轨迹方程。
专题09(圆锥曲线中的轨迹问题)(解析版)-备战2021年高考数学中平面解析(江苏专用)
专题九 圆锥曲线中的轨迹问题一、解答题1. 已知点B 是圆C ：(x −1)2+y 2=16上的任意一点，点F(−1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设曲线E 与x 轴的两个交点分别为A 1，A 2，Q 为直线x =4上的动点，且Q 不在x 轴上，QA 1与E 的另一个交点为M ，QA 2与E 的另一个交点为N ，证明：△FMN 的周长为定值． 【答案】解：(1)由题意可知|PF|+|PC|=|PB|+|PC|=4>2=|FC|， 所以动点P 的轨迹是以F ，C 为焦点且长轴长为4的椭圆， 所以a =2，c =1，b 2=3， 因此E 的方程为x 24+y 23=1．(2)不妨设A 1(−2,0)，A 2(2,0)，Q(4,t)(t ≠0)为直线x =4上一点，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 直线A 1Q 方程为y =t6(x +2)，直线A 2Q 方程为y =t2(x −2)， 由{y =t6(x +2),x 24+y 23=1,得(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108=0，得(−2)⋅x 1=4t 2−10827+t 2，所以x 1=54−2t 227+t 2，自我检测圆锥曲线中的轨迹问题是高考热点，在高考中常常涉及此类问题且位于难题的位置．本专题以圆锥曲线中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.所以M(54−2t 227+t 2,18t 27+t 2)，同理可得N(2t 2−63+t 2,−6t3+t 2)，所以直线MN 的方程为y +6t 3+t 2=−6t t 2−9(x −2t 2−63+t 2)，即y =−6tt 2−9x +6tt 2−9=−6tt 2−9(x −1)， 故直线MN 过定点(1,0)所以△FMN 的周长为定值=4a =8．【解析】本题考查圆锥曲线中的轨迹问题，考查 圆锥曲线中的定点与定值问题，属于中档题．(1) 由题意可知动点P 的轨迹是以F ，C 为焦点且长轴长为4的椭圆，计算可得动点P 的轨迹E 的方程； (2)不妨设A 1(−2,0)，A 2(2,0)，Q(4,t)(t ≠0)为直线x =4上一点，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线A 1Q 方程为y =t 6(x +2)，直线A 2Q 方程为y =t2(x −2)，与椭圆方程联立可得M 、N ，即可得直线MN 的方程，从而可得直线MN 过定点(1,0)，即可得△FMN 的周长为定值．2. 在平面直角坐标系xOy 中，A(−2,0)，B(2,0)，P 为不在x 轴上的动点，直线PA ，PB 的斜率满足k PA k PB =−14．(1)求动点P 的轨迹Γ的方程；(2)若M ，N 是轨迹Γ上两点，k MN =1，求△OMN 面积的最大值． 【答案】解：(1)设P(x,y)为轨迹Γ上任意一点，则根据k PA k PB =−14． 即yx+2⋅yx−2=−14，整理得动点P 的轨迹Γ的方程为：x 24+y 2=1(y ≠0)；(2)设MN ：y =x +b ，联立{y =x +bx 24+y 2=1，整理得5x 2+8bx +4b 2−4=0，△=5−b 2>0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−85b ，x 1x 2=45(b 2−1)， |MN|=√2|x 1−x 2|=4√25√5−b 2，O 到直线MN 的距离d =√2，所以△OMN 面积S =12×4√25√5−b 2√2=25√5b 2−b 4，设f(b)=5b 2−b 4，则f′(b)=10b −4b 3=0，解得b =0或b =±√102又因为5−b 2>0，故b =0或b =±√102且S(0)=0，S(±√102)=152，故△OMN 的面积S 最大值为152．【解析】(1)设点P(x,y)，利用k PA k PB =−14即可的动点P 的轨迹方程；(2)设MN 的方程为y =x +b ，与Γ方程联立，利用根与系数关系表示出|MN|，再表示出点O 到直线MN 的距离d ，进而可表示出面积表达式，运用导数求出面积最值即可．本题考查点的轨迹方程，涉及直线与椭圆形成三角形最值问题，利用根于系数关系表示线段长度是关键，属于中档题．3. 已知点A ，B 在双曲线xy =4上，且点A ，B 关于直线y =x 对称，点A 在直线x =2(直线x =2与x 轴的交点记为点C)上的投影为点A ′，点B 在直线x =−2(直线x =−2与x 轴的交点记为点D)上的投影为点B ′，直线A′D 与BC 相交于点M ，记点M 的轨迹为曲线Г (Ⅰ)求曲线Г的方程(Ⅱ)过点T(1,0)的直线与曲线Г交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，在x 轴上是否存在定点S 使得∠PSO =∠QSO?若存在，求出定点S 的坐标;若不存在，请说明理由。
圆锥曲线中轨迹问题
圆锥曲线中轨迹问题曲线轨迹方程的探求一直是高考中的重点和热点，涉及面广，综合性强。
曲线轨迹方程的探求有两种类型，第一种类型是几何关系已知，轨迹未知；第二种类型是曲线形状已知，求方程。
类型一常用的方法有直接法、相关点法和参数法。
类型二常用的方法有定义法和待定系数法。
（1）直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何的基本知识推出等量关系，求方程时便可利用直接法。
（2）定义法：如果所给几何条件能够确定符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。
（3）相关点法：如果动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某一已知曲线上运动，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便可得出动点P的轨迹方程，又称为代入法。
（4）参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，如求两动直线的交点时常用这种方法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。
（6）几何法：利用平面几何或解析几何的有关基础知识去分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后求出动点的轨迹方程。
热点透析题型1：直接法【例1】已知定点A、B，且AB=2a。
如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？【解】本题首先要建立坐标系，建立坐标系的要求是保持对称性，以使所求方程简单，容易看出方程表示什么曲线。
如图，取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-a，0）、B（a，0）。
设P（x，y）。
∵即化简整理，得，即。
这就是动点P的轨迹方程。
专题17 圆锥曲线的轨迹问题(解析版)
专题17 圆锥曲线中的轨迹问题1．（浙江省杭州市八县市区2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知椭圆C的离心率为2，其焦点是双曲线2213y x -=的顶点.(1)写出椭圆C 的方程；(2)直线l ：y kx m =+与椭圆C 有唯一的公共点M ，过点M 作直线l 的垂线分别交x 轴､y 轴于(),0A x ，()0,B y 两点，当点M 运动时，求点(),P x y 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【答案】(1)2212x y +=(2)轨迹方程()2221,0,0x y x y +=≠≠，为椭圆2221x y +=除去4个顶点【解析】 【分析】（1）根据双曲线的顶点，结合椭圆离心率的公式与基本量的关系求解即可；（2）根据题意可得直线l 与椭圆C 相切，故联立直线与椭圆的方程，利用判别式为0可得,k m 的关系，再得到点M 坐标的表达式，从而得到过点M 作直线l 的垂线的方程，求得(),P x y ，结合椭圆的方程求解即可 (1)设椭圆C 的方程为()22221,0x y a b a b +=>>，()222,0a b c c =+>，由题意，双曲线2213y x -=的顶点为()1,0±，故1c =.又c a =，故a =2211b =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=(2)由题意，直线l 与椭圆C 相切，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124220k x kmx m +++-=，故()()222216412220k m k m ∆=-+-=，即2221m k =+.设(),M M M x y ，则22212M km kx k m-==-+，故22221M k m k y k m m m m -⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭，故21,k M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AB 的方程为112k y x m k m ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即11y x k m =--，当0y =时，k x m =-，故,0k A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当0x =时，1x m =-，故10,B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故1,kP m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.又21,k M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故(),P x y 则()2,M x y -，又()2,M x y -在2212x y +=上，故()()22212x y +-=，即2221x y +=，由题意可得0,0x y ≠≠，故点(),P x y 的轨迹方程为()2221,0,0x y x y +=≠≠，为椭圆2221x y +=除去4个顶点2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知动圆E 过定点()2,0P ，且y 轴被圆E 所截得的弦长(1)求圆心E 的轨迹方程．(2)过点P 的直线l 与E 的轨迹交于A ，B 两点，()2,0M -，证明：点P 到直线AM ，BM 的距离相等． 【答案】(1)24y x = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）设(),E x y ，由圆的弦长公式列式可得；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设():2l y k x =-，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得12x x +，12x x ，计算0AM BM k k +=，得直线PM 平分AMB ∠，从而得结论，再说明直线l 斜率不存在时也满足． (1)设(),E x y ，圆E 的半径r =E 到y 轴的距离d x =，由题意得224r d =+，化简得24y x =，经检验，符合题意． (2)设():2l y k x =-，与E 的方程联立，消去y 得，()22224440k x k x k -++=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221244,4x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩， ()()()()()()()()12122112121212222222222222AM BM k x k x k x x k x x y yk k x x x x x x ---++-++=+=+=++++++∵()()()()()1221122222240k x x k x x k x x -++-+=-=，∵0AM BM k k +=，则直线PM 平分AMB ∠，当直线l 与x 轴垂直时，显然直线PM 平分AMB ∠． 综上，点P 到直线AM ， BM 的距离相等．3．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知圆心在y 轴上移动的圆经过点()0,4A -，且与x 轴、y 轴分别交于点()0,0B x ，()00,C y 两个动点，记点()00,D x y 的轨迹为曲线Γ. (1)求曲线Γ的方程；(2)过点()0,1F 的直线l 与曲线Γ交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与圆E ：()2224x y +-=的另一交点分别为M ，N （其中O 为坐标原点），求OMN 与OPQ △的面积之比的最大值. 【答案】(1)24x y = (2)6425【解析】（1）设动圆的圆心为H ，则040,2y H -⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，半径为042y +，所以22220004422y y BH x -+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简整理即可；（2）分析可知直线斜率存在，设1y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立得124x x k +=，124x x =-，再求出直线OP 的方程为14x y x = ，直线OQ 的方程为24xy x =，分别与圆联立求出216416M x x =+，226416N x x =+，所以()()221210241616OMN OPQ OM ON S S OP OQ x x ⨯==⨯++△△，展开再代入韦达定理，分析求解即可.(1)设动圆的圆心为H ，则040,2y H -⎛⎫⎪⎝⎭ ，半径为042y +， 22220004422y y BH x -+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：0204x y = ，即Γ的方程为24x y = ； (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为：0x =，此时与抛物线只有一个交点，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设过()0,1F 的直线方程为1y kx =+ ， ()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程：241x yy kx ⎧=⎨=+⎩ ，得2440x kx --= ，124x x k +=，124x x =-， 则直线OP 的方程为1114y x y x x x == ，直线OQ 的方程为2224y xy x x x == ， 联立方程：()221244x y x y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，解得216416M x x =+ ，同理226416N x x =+ ，OP x，OQ x ===，1OM ==2ON ==()()221210241616OMN OPQ OM ONS S OP OQx x ⨯===⨯++△△ ()()2222222121212121024102410246425640025162561625616216k k x x x x x x x x ====++⎡⎤+++++-+⎣⎦显然当0k =时最大，最大值为6425； 综上，Γ的方程为24y x =，OMN 与OPQ △ 的面积之比的最大值为：6425.4．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知点)F ，平面上的动点S 到F 的距离是S40+=S 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过直线:2l y =上的动点()(),22P s s >向曲线C 作两条切线1l ，2l ，1l 交x 轴于M ，交y 轴于N ，2l 交x 轴于T ，交y 轴于Q ，记PNQ 的面积为1S ，PMT △的面积为2S ，求12S S ⋅的最小值．【答案】(1)2214x y +=(2)48 【解析】 【分析】（1）设(),S x y 是所求轨迹C 上的任意一点，根据题意列出方程，即可求解；（2）设直线12,l l 的方程分别为12()2,()2y k x s y k x s =-+=-+，求得,,,M N T Q 的坐标，求得22112122k k S S s k k ⋅=⋅+-，联立方程组求得0∆=，得到12122243,44s k k k k s s +==--，化简得到221224(12)3(4)s s S S s +⋅=-，令24(0)s t t -=>，结合基本不等式，即可求解. (1)解：设(),S x y 是所求轨迹C 上的任意一点， 由题意知动点S到)F的距离是S40+=x =，整理得2214x y +=， 即曲线C 的方程为2214x y +=.(2)解：设直线12,l l 的方程分别为12()2,()2y k x s y k x s =-+=-+，可得()()1212220,2,0,2,,0,,0N k s Q k s M s T s k k ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12212111122=2224P P S S NQ x y MT s k s k s k k ⋅⋅⋅=⋅-⋅-22221211212()2k k k ks s k k k k -=⋅=⋅+-，联立方程组22()214y k x s x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(41)8(2)4(2)40k x k ks x ks +--+--=，则222264(2)4(41)[4(2)4]0ks k k ks ∆=--+--=，整理得()224430s k ks --+=，所以12122243,44s k k k k s s +==--， 所以2221212()163(4)k k s k k s +=-，所以2212121623(4)k k s k k s +=--， 代入上式，可得22221222164(12)43(4)3(4)s s s S S s s s +⋅=-=--，令24(0)s t t -=>，124(4)(16)46442020)48333t t S S t t t ++⋅==++≥⋅=，当且仅当64t t=时，即8t =时，即s =12S S 的最小值为48.5．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知点)F，动点(),M x y到直线:l x =d，且d =，记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程； (2)过M 作圆221:43O x y +=的两条切线MP 、MQ （其中P 、Q 为切点），直线MP 、MQ 分别交C 的另一点为A 、B ．从下面∵和∵两个结论中任选其一进行证明． ∵PA PM ⋅为定值； ∵MA MB =．【答案】(1)22142x y += (2)条件选择见解析，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于x 、y 的等式，化简后可得出曲线C 的方程；（2）设()00,M x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，分2043x =、2043x ≠两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证OM OA ⊥；在第二种情况下，设直线MA 的方程为y kx m =+，由直线与圆相切结合韦达定理可得出OM OA ⊥.选∵，分析出Rt Rt MOP AOP ∽，利用三角形相似可求得PA PM ⋅的值； 选∵，分析可知OA OB =，结合勾股定理可证得结论成立. (1)解：由题意知x =2224x y +=，所以，曲线C 的方程为22142x y +=.(2)证明：设()00,M x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，当2043x =时，2043y =，则不妨设点M ⎝⎭，则点A ⎝⎭或A ⎛ ⎝⎭， 此时0OM OA ⋅=，则OM OA ⊥；当2043x ≠时，设直线:MA y kx m =+，由直线MA 与圆224:3O x y +=()22341m k =+， 联立2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()222214240k x kmx m +++-=， ()()()()22222221616421248424103k m k m k m k ∆=-+-=+-=+>， 由韦达定理可得012421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k ，则()()()()220101000101011OM OA x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()()()222222222212441234101212k m k m m k m k kk+--++-+===++，所以，OM OA ⊥，同理可得OM OB ⊥.选∵，由OM OA ⊥及OP AM ⊥可得Rt Rt MOP AOP ∽， 则PM OP OPPA=，所以，243PM PA OP =⋅=； 选∵，出OM OA ⊥及OM OB ⊥可得：A 、O 、B 三点共线，则OA OB =， 又222222MA OA OM OB OM MB =+=+=，因此，MA MB =.6．（2022·河南郑州·三模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为()2211x y +-=．P 为曲线1C 上一动点，且2OQ OP =，点Q 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)曲线3C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，点M 为曲线3C 上一动点，求MQ 的最大值．【答案】(1)2sin ρθ=；4sin ρθ= (2)5 【解析】 【分析】（1）利用直角坐标和极坐标的互化关系求1C 的极坐标方程，利用代入法求2C 的极坐标方程；（2）M 为2212x y +=上一点，Q 为()2224x y +-=上一点，可知max max 2MQ MN =+，即可求解.(1)由题意可知，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y +-=得2sin ρθ=，则曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=， 设点P 的极坐标为()00,ρθ，则002sin ρθ=，点Q 的极坐标为(),ρθ，由2OQ OP =得002ρρθθ=⎧⎨=⎩，即0012ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 将012ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入002sin ρθ=得4sin ρθ=， 所以点Q 轨迹曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=；(2)曲线3C 直角坐标方程为2212x y +=，设点),sin Mϕϕ，曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=，则圆心为()0,2N ，max max 2MQ MN =+，即MN =当sin 1ϕ=-时，max 3MN = ，所以max 325MQ =+=.7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知12,A A两点的坐标分别是(，直线,A B A B 12相交于点B ，且它们的斜率之积为13. (1)求点B 的轨迹方程；(2)记点B 的轨迹为曲线C ，,,,M N P Q 是曲线C 上的点，若直线MN ，PQ 均过曲线C 的右焦点F 且互相垂直，线段MN 的中点为R ，线段PQ 的中点为T . 是否存在点G ，使直线RT 恒过点G ，若存在，求出点G 的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1)(2213x y x -=≠；(2)存在，()3,0. 【解析】 【分析】（1）根据直线斜率公式，结合已知等式进行求解即可；（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系、直线斜率公式进行求解即可. (1)设(,)M x y ，因为直线,A B A B 12相交于点B ，且它们的斜率之积为13，13=， 整理可得2213x y -=，所以点B的轨迹方程为(2213x y x -=≠.(2)因为曲线C的方程为(2213x y x -=≠，所以直线,MN PQ 的斜率都存在且不为0.设直线MN ：(2)y k x =-，则直线PQ ：1(2)y x k=--，设()()1122,,,,M x y N x y由()(22233y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩可得：()222231121230k x k x k --++=， 当2310k -=时，即213k =，方程为470x -+=，此时只有一解，不符合题意，当2310k -≠时，42221444(31)(123)12(1)0k k k k ∆=--+=+>，由韦达定理可得：21221231k x x k +=-，所以点R 的横坐标为()212216231R k x x x k =+=-，代入直线MN ：(2)y k x =-可得：()22262223131R Rk ky k x k k k ⎛⎫=-=-= ⎪--⎝⎭， 所以线段MN 的中点22262,3131k k R k k ⎛⎫⎪--⎝⎭， 用1k -替换k 可得22266331T k x k k ==--，2222331T k k y k k --==--，所以线段PQ 的中点2262,33k T k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，当1k ≠±时，()()()()()2222222222222232312313666363131313RTk k k k k k k k k k k k k k k k k ---+---===-------， 直线RT 的方程为：222226()33(1)3k k y x k k k+=----， 整理可得：222222623(1)3(1)33k k k y x k k k k =-⋅-----2222222222622932(1)(3)3(1)33(1)3(1)33(1)3(1)k k k k k kx x x k k k k k k k -=-+=-=--------， 此时直线RT 过定点G ()3,0， 若1k =±时，则()3,1R ， ()3,1T -，或()3,1R -，()31T ,，直线RT 的方程为3x =， 此时直线RT 也过点G ()3,0， 综上所述：直线RT 过定点G ()3,08．（2022·河北张家口·三模）已知0b a >>，点)A，B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，动点P满足|||PA PB =，点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线y kx m =+与曲线C 相切，与曲线2222:1x yE a b-=交于M ､N 两点，且π2MON ∠=（O 为坐标原点），求曲线E 的离心率. 【答案】(1)222x y b +=；【解析】 【分析】（1）根据两点间距离距离公式，结合已知等式进行求解即可；（2）根据曲线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、平面向量垂直的性质、双曲线的离心率公式进行求解即可. (1)设(,)P x y，由|||PA PB ==222x y b +=即为曲线C ； (2)y kx m =+与曲线C相切，b ∴=2221m b k=+.设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入曲线E 整理得：222222222()2(0)b a k x a kmx a m a b ---+=，2220b a k -≠，222222()40a b m b a k ∆=+->，2122222a km x x a k b -∴+=-，222212222a m a b x x a k b +=-.π2MON ∠=，0OM ON ∴⋅=，即12120x x y y +=. 222222212121212222()()()k a b m b y y kx m kx m k x x km x x m a k b -=++=+++=-， 2222222222222220a m a b k a b m b a k b a k b +-∴+=--，整理得2222221m a b k b a =+-， 22222a b b b a∴=-，即222b a =，223c a =，e 故曲线E9．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知点D 为圆O ：221x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，连接BA 并延长至点P ，使得1PA =，点P 的轨迹记为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)设直线l 与曲线C 交于不同于右顶点Q 的M ，N 两点，且QM QN ⊥，求QM QN ⋅的最大值．【答案】(1)2214x y +=(2)3225【解析】 【分析】(1) 注意到A 为BP 的中点，由相关点法，即可求得曲线C 的方程；(2) 先判断直线l 恒过点6,05T ⎛⎫⎪⎝⎭，而QM QN ⋅即为∵QMN 面积的两倍，故将问题转化为求∵QMN 面积的最大值. (1)设点P （x ，y ），D 00(,)x y ，则A 0(,0)x 、B 0(0,)y ，由题意的1AB =，因为1PA =， 所以BA AP = 而00(,)BA x y =-，0(,)AP x x y =-，所以002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩代入圆O ：221x y +=得曲线C 的方程为2214x y += . (2)由题意知，直线l 的斜率不为0，则不妨设直线l 的方程为()2x ky m m =+≠．联立得2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=，()()222244440k m k m ∆=-+->，化简整理，得224k m +>．设()11,M x y ，()22,N x y ，则12224km y y k -+=+，212244m y y k -=+．因为QM QN ⊥，所以0QM QN ⋅=．因为()2,0Q ，所以()112,QM x y =-，()222,QN x y =-，得()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式，得()()()()2212121220k y y k m y y m ++-++-=，得()()()2222242122044m km k k m m k k --+⋅+-⋅+-=++，解得65m =或2m =（舍去）， 所以直线l 的方程为65x ky =+，则直线l 恒过点6,05T ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12114822525QMNS QT y y =⋅-=⨯△ 设214t k =+，则14t <≤，825QMN S =△ 易知825y =10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以当14t =时，QMNS取得最大值为1625． 又12PMN S QM QN =⋅△，所以()()maxmax32225QMN QM QN S ⋅==△． 10．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知点1,0A ，动点M 到直线4x =的距离与到点A 的距离的比为2，设动点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)若点()1,0B -，点P ，Q 为曲线C 上位于x 轴上方的两点，且PA QB ∥，求四边形PABQ 的面积的最大值.【答案】(1)22143x y += (2)3 【解析】 【分析】（1）直接法求点的轨迹方程 ；（2） 由已知得A ，B 为所求椭圆C 的焦点，通过计算=PE QF ，可得四边形PEFQ 为平行四边形，将所求四边形PABQ 的面积转化为求三角形POE的面积，从而得到2POEPABQS S ==四边形△，利用换元法及导数法即可求出面积的最大值. (1)设(),M x y2=，所以4x -=两边平方，得()()2224414x x y -=-+，化简，得22143x y +=，即曲线C 的方程为22143x y +=.(2)如图，由（1）知曲线C 为椭圆，A ，B 为其焦点，延长PA 与椭圆相交于另一点E ，延长QB 与椭圆相交于另一点.F设直线PE 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,E x y ，联立方程221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并化简，得()2234690,m y my ++-=， 所以122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，所以PE()22121.34m m +=+ 因为//PA QB ，所以//PE QF ，设QF 的方程为1x my =-， 同理可求()2212134m QF m +=+，所以PE QF =，所以四边形PEFQ 为平行四边形，所以四边形PABQ 的面积 2PQE POE PABQ S S S ==四边形△△. 点O 到直线PE的距离d ==所以()22121112234POEm S PE d m +=⋅=⨯=+△所以2POEPABQ S S ==四边形△()1t t ≥，所以212121313PABQ t S t t t==++四边形，令13y t t =+，则2221313t y t t -=-='，显然当1t ≥时，0y '>，所以13y t t=+在[)1,+∞上单调递增，所以当1t =，即0m =时，y 取得最小值，且min 4y =， 所以()max3PABQS =四边形，即四边形PABQ 的最大值为3.11．（2022·全国·模拟预测（理））已知(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足AM 与BM 的斜率之积为14-，记M 的轨迹为曲线C . (1)求点M 的轨迹方程；(2)点P ，Q 在C 上，且AP AQ ⊥，求APQ 面积的取值范围.【答案】(1)221(2)4x y x +=≠±(2)160,25⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）设点(),M x y ，由坐标分别求出直线AM 、BM 的斜率，结合斜率之积为14-，得到关于x ，y 得方程，化简即可，注意考虑斜率不存在，得到取值范围；（2）直线AP 的斜率为k ，，由点斜式得到直线AP 的方程，联立椭圆C 消去y 得到关于x 的一元二次方程，联立韦达定理求得P x ，再由弦长公式求得AP ，因为AP AQ ⊥，则直线AQ 的斜率为1k-，同理可得AQ ，代入12APQ S AP AQ =△化简得到关于k 的式子，利用换元法和对勾函数得到取值范围. (1)直线AM 的斜率为(2)2AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率为(2)2BM y k x x =≠-， 由题意可知：22144224AM BM y y k k x y x x ⋅=⋅=-⇒+=+-(2)x ≠±， 故曲线C 的方程为：221(2)4x y x +=≠±.(2)不妨设P 在x 轴的上方，直线AP 的斜率为k ，则0k >.则直线AP 的方程为：()2y k x =+，联立椭圆22:14x C y +=，得2222(14)161640k x k x k +++-=，即()()()222216414164160k k k ∆=-+-=>，则由韦达定理得：22221648221414p p k k x x k k --+-=⇒=++，所以，2p AP +==由于AP AQ ⊥，所以AQ 的斜率为1k -，直线AQ 的方程为：1(2)y x k=-+，以1k -代替2||14()k AQ k⇒==+-，所以222218()118(1)||122(14)(4)4()9APQk k k k S AP AQ k k k k++====++++△‖， 令1t k k=+，由于0k >，所以2t ≥，2889494APQ t S t t t==++△.由于94t t+在2t ≥时单调递增，所以2t =时面积最大，此时1625APQ S =△. 综上：160,25APQ S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦△，故APQ 面积的取值范围为160,25⎛⎤⎥⎝⎦.12．（2022·四川·石室中学三模（理））已知点(0,M，(0,N -，(4,R ，(4,0)Q ，动点S ，T 满足RS RQ λ→→=，2()MT MR λλ→→=∈R ，直线MS 与NT 交于一点P ．设动点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线1:320l x y -=与曲线C 交于A ，B 两点，G 为线段AB 上任意一点（不与端点重合），倾斜角为α的直线2l 经过点G ，与曲线C 交于E ，F 两点.若2||||||EF GA GB ⋅的值与点G 的位置无关，求证：||||GE GF =.【答案】(1)2211612x y +=；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设(),P x y ，由M ，P ，S 三点共线，得(4y x -=-，由N ，P ，T 三点共线，得8(y λ+=，消去λ即得解；（2）不妨设点A 在第一象限，设点(2,3)G m m ，其中11m -<<，若直线2l 的斜率不存在，则直线2l 的方程为2x m =，故2||||||EF GA GB ⋅不为定值. 若直线2l 的斜率存在，设直线2l 的斜率为k ，则直线2l 的方程为(23)y kx k m =--.将直线2l 的方程代入曲线C 的方程化简、整理得到韦达定理计算即得证.(1)解：由题意，知(0,RQ →=-，从而)()4,1S λ-，则()4,MS →=-. 设(),P x y，则(,M x P y →=-，(,N x P y →=+. 由M ，P ，S三点共线，得(4y x -=-. 由()4,0MR →=，得(8,T λ，从而(8NT λ→=.由N ，P ，T三点共线，得8(y λ+=，消去λ得()22321224y x -=-，整理得2211612x y +=，即曲线C 的方程为2211612x y +=.(2)证明：由题意并结合（1）易知（不妨设点A 在第一象限），(2,3)A ，(2,3)B --. 设点(2,3)G m m ，其中11m -<<，则||)GA m =-，||)GB m =+，所以()2||||131GA GB m ⋅=-.若直线2l 的斜率不存在，则直线2l 的方程为2x m =，此时(2E m，(2,F m ，故()()222124||||||131m EF GA GB m -=⋅-不为定值.若直线2l 的斜率存在，设直线2l 的斜率为k ，则直线2l 的方程为(23)y kx k m =--.将直线2l 的方程代入曲线C 的方程化简、整理，得()2222438(23)4(23)480k x km k x k m +--+--=.设()11,E x y ，()22,F x y ，则1228(23)43km k x x k -+=+，221224(23)4843k m x x k --=+， 所以()()22212||1EF kx x =+-()(){}()222222222164(23)1643(23)1243k k m k k k m k ⎡⎤+--+--⎣⎦=+()()()222222481(23)161243k k m k k⎡⎤+--+⎣⎦=-+，故()()()()22222222481(23)1612||||||13431k k m k EF GA GB k m ⎡⎤+--+⎣⎦=⋅+-. 因为2||||||EF GA GB ⋅的值与m 的值无关，所以22(23)1612k k -=+，解得12k =-，所以1224(23)2243x x km k m k +-==+， 所以G 是EF 的中点，即||||GE GF =.13．（2022·福建三明·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0F ，过直线l ：4x =左侧且不在x 轴上的动点P ，作PH l ⊥于点H ，HPF ∠的角平分线交x 轴于点M ，且2PH MF =，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 与x 轴正半轴交于点1A ，过点()4,0S -的直线1l 交C 于A ，B 两点，AS BS λ=，点T 满足AT TB λ=，其中1λ<，证明：12ATB TSO ∠=∠. 【答案】(1)()221043x y y +=≠(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，代入动点()(),0P x y y ≠的坐标，化简即可； （2）注意到S 点在x 轴上，所以12y y λ=，将λ作为桥梁，合理利用，即可求解. (1)设()(),0P x y y ≠，因为PH x ∥轴，所以HPM PMF ∠=∠， 因为PM 为HPF ∠的角平分线，所以HPM FPM ∠=∠， 所以FPM PMF ∠=∠，即MF PF =，所以12PF MF PHPH==.12=，化简整理得22143x y +=，因为P 不在x 轴上，即曲线C 的方程为()221043x y y +=≠(2)易知直线1l 的斜率存在且不为0，设1l 的方程为()40x my m =-≠.联立方程组221434x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消x 整理得()223424360m y my +-+=， 所以()()2224434360m m ∆=--⨯+⨯>，得2m >或2m <-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1222434m y y m +=+，1223634y y m =+. 由AS BS λ=得12y y λ-=-，所以12y y λ=， 设()00,T x y ，由AT TB λ=，得()0120y y y y λ-=-，所以21211201122236222334241134y y y y y m y y m y y my m λλ⨯++=====++++， 所以003441x my m m=-=⨯-=-， 所以点31,T m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线1x =-上，且00y ≠，又因为()4,0S -与()12,0A 关于直线1x =-对称，所以1TSA △是等腰三角形， （或者证明直线TS 与直线1TA 的斜率互为相反数）所以11TSA TA S ∠=∠，因为111ATB TSA TA S ∠=∠+∠，所以12ATB TSO ∠=∠， 综上所述，12ATB TSO ∠=∠.14．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知平面上一动点P 到定点()1,0F 的距离与它到定直线1x =-的距离相等，设动点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的轨迹方程(2)已知点(2,B ，过点B 引圆()()222:402M x y r r -+=<<的两条切线BP ；BQ ，切线BP 、BQ 与曲线C 的另一交点分别为P 、Q ，线段PQ 中点N 的纵坐标记为λ，求λ的取值范围．【答案】(1)24y x ＝；(2)λ的取值范围为(--． 【解析】 【分析】(1)根据曲线轨迹方程的定义求解；(2) 设切线BP的方程为12y k x +＝（﹣）BQ的方程为22y k x +＝（﹣）1224k k r +=-， 212284r k k r =--，再求出12228y y t r +==--，即得解.(1)设(,)P x y ，|1|x =+， 化简得()222(1)1x y x -+=+， 所以24y x =，所以曲线C 的方程为24y x ＝， (2)由已知2B（，所以切线,BP BQ 的斜率存在， 设切线BP的方程为12y k x -+＝（） 则圆心40M （，）到切线AP的距离d r ==，所以22211480r k r -++（）﹣＝， 设切线BQ的方程为22y k x -+＝（）同理可得22222480r k r -++（）﹣＝，所以12k k ，是方程222480r k r -++（）﹣＝的两根，所以12k k += 212284r k k r =--，设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立12(2)4y k x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩211048k y y k =+﹣﹣，所以11=所以114y k =-，同理224y k =-，所以121244(=22y y k k λ-+-++=12112k k ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=﹣12122k k k k +⋅=﹣224284r r r -=-⋅--=- 因为02r ＜＜，所以2111884r <<-所以--<- 所以λ的取值范围为(--．15．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知点()2,0A -，()2,0B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为12-，记动点P 的轨迹为曲线C(1)求曲线C 的方程；(2)设D 为曲线C 上的一点，线段AD 的垂直平分线交y 轴于点E ，若ADE 为等边三角形，求点D 的坐标﹒【答案】(1)()220421x y y +=≠；(2)25⎛- ⎝⎭或2,5⎛-⎝⎭﹒ 【解析】 【分析】(1)设P (x ，y )(y ≠0)，根据12PA PB k k ⋅=-即可求C 的方程；(2)设()00,D x y (00y ≠)，根据D 在C 上列出一个方程，用D 表示出E ，根据ADE 为等边三角形的AD AE =，由此可得第二个方程，两根方程联立即可求出D 的坐标． (1)设点P 的坐标为()(),0x y y ≠，∵直线PA 与直线PB 的斜率之积为12-，∵12PA PBk k ⋅=-，即1222y y x x ⨯=-+-，化简得22142x y +=， ∵曲线C 的方程为()220421x y y +=≠；(2)设()00,D x y (00y ≠)，()0,E t ，线段AD 的中点为002,22x y Q -⎛⎫⎪⎝⎭， 则直线AD 的斜率002AD y k x =+，直线QE 的斜率00222QEy t k x -=-， 由题可知1AD QEk k ⋅=-，∵000021222y t y x x -⨯=--+，整理得2000422y x y t -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又∵2200142x y +=，∵20002y y t y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得02y t =-，故00,2y E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又∵ADE 为等边三角形，有AD AE =，220003404y x x ++=，∵20532120x x ++=，解得025x =-或06x =-(舍去)， 将025x =-代入2200142x y+=，解得0y0y = ∵点D的坐标为25⎛- ⎝⎭或2,5⎛-⎝⎭． 16．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点F （2，0）且与直线2x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线Γ． (1)求曲线Γ的方程；(2)过点M （m ，0）（m ＞0）作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与曲线Γ交于A ，B 两点，2l 与曲线Γ交于C ，D 两点，点P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，求△MPQ 面积的最小值． 【答案】(1)28y x = (2)16 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，列出等量关系，整理得到轨迹方程；（2）设出直线方程，与第一问求出的抛物线联立，得到两根之和，两根之积，从而表达出点P ，Q 的坐标，表达出△MPQ 面积，利用基本不等式求出面积的最小值. (1)设圆心为(),A x y ，2=+x ，两边平方，整理得：28y x =，故曲线Γ的方程为28y x =.(2)显然直线12,l l 斜率均存在，不妨设1:l x ky m =+，（0k >）与28y x =联立得：2880y ky m --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y k y y m +==-，则()21212282x x k y y m k m +=++=+，故21242x x k m +=+，1242y y k +=，所以()24,4P k m k +，由于直线12,l l 互相垂直，故244,Q m kk ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以2MPQSk m m m m =+--1816k k ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当1k k ，即1k =时等号成立，所以△MPQ 面积的最小值为16.17．（2021·福建省德化第一中学三模）在平面直角坐标系中，∵ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为()1,0-，()1,0，平面内两点G ，M 同时满足以下3个条件：∵G 是∵ABC 三条边中线的交点：∵M 是∵ABC 的外心；∵//GM AB(1)求∵ABC 的顶点C 的轨迹方程；(2)若点P （2，0）与（1）中轨迹上的点E ，F 三点共线，求||PE PF ⋅的取值范围【答案】(1)221(0)3y x y +=≠；(2)93,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，利用两点间的距离公式即可求得轨迹方程；（2）设出三点所在的直线方程，与（1）中的轨迹方程联立，由判别式大于0求出2k 的范围，利用韦达定理得到E ，F 两点横坐标的和与积，将PE PF ⋅表示为k 的关系式，进一步得到PE PF ⋅的取值范围． (1)设C （x ，y ），G （0x ，0y ），M （M x ，M y ）， 因为M 是∵ABC 的外心，所以MA MB = 所以M 在线段AB 的中垂线上，所以1102M x -+==， 因为/GM AB ，所以0M y y =，又G 是∵ABC 三条边中线的交点，所以G 是∵ABC 的重心， 所以0011003333x x y yx y -++++====，， 所以03M yy y ==， 又MA MC =，=化简得()22103y x y +=≠，所以顶点C 的轨迹方程为()22103y x y +=≠；(2)因为P ，E ，F 三点共线，所以P ，E ，F 三点所在直线斜率存在且不为0， 设所在直线的方程为()2y k x =-，联立()222,1,3y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()222234430k x k x k +-+-=．由()()()2222443430k k k ∆=-+->，得21k <．设()11,E x y ，()22,F x y ，则212221224,343.3k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩所以()()2121212142PE PF x x k x x x x ⋅=--=+⋅-++⋅()()()222224384313k k k k k +-+-=+⋅+()2229118933k k k +==-++．又201k <<，所以2334k <+<， 所以932PE PF <⋅<． 故PE PF ⋅的取值范围为93,2⎛⎫⎪⎝⎭．18．（2022·广西柳州·三模（理））已知点(A ，点(2,B -，点M 与y 轴的距离记为d ，且点M 满足：214d MA MB ⋅=-，记点M 的轨迹为曲线W ． (1)求曲线W 的方程；(2)设点P 为x 轴上除原点O 外的一点，过点P 作直线1l ，2l ，1l 交曲线W 于点C ，D ，2l 交曲线W 于点E ，F ，G ，H 分别为CD ，EF 的中点，过点P 作x 轴的垂线交GH 于点N ，设CD ，EF ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，3k 的，求证：()312k k k +为定值．【答案】(1)22186x y +(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)设(),M x y ，则d x =，根据平面向量数量积的坐标表示化简计算即可；(2)设()0,0P x 和直线GH 的方程，进而求出点G 的坐标，设(,)C C C x y 、(,)D D D x y ，利用点差法和弦中点坐标公式计算化简可得()2401014330k x m k x k m +++=，同理可得()2402024330k x m k x k m +++=，根据韦达定理可得()124034x k k k x m +=-+，代入()312k k k +计算化简即可. (1)设(),M x y ，由题意得d x =，()2MA x y =-，()2,MB x y =--由214d MA MB ⋅=-,∵()()222,14d x y x y -⋅--=-∵2224314x x y -+-=-．∵22364x y +=， 即M 的轨迹方程为22186x y +；(2)显然GH 斜率存在，设()0,0P x ，设GH 的方程为：4y k x m =+ 由题意知CD 的方程为：()10y k x x =-联立方程()104y k x x y k x m⎧=-⎨=+⎩ 解得：()101414014k x m x k k k k x m y k k +⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩ 可得：()140101414,k k x m k x m G k k k k +⎛⎫+ ⎪--⎝⎭设(,)C C C x y ，(,)D D D x y ，C ，D 都在曲线W 上，则有22186C Cx y +=∵22186D D x y +=∵ ∵-∵得：2222086C D C D x x y y --+=则有：134C D C DC D C Dy y x x k x x y y -+==-⋅-+又G 为CD 中点，则有；()10114034C D C D y y k x m k x x k k x m -+==-⋅-+可得：()2401014330k x m k x k m +++= 同理可得：()2402024330k x m k x k m +++=故1k ，2k 为关于k 的方程()24004330k x m k x k m +++=的两实根由韦达定理得：()124034x k k k x m +=-+，将0x x =代入直线GH 中得：40y k x m =+ 可得：()040,N x k x m +故有：4030k x mk x += 则()()4003120403344k x m x k k k x k x m ⎡⎤++=⋅-=-⎢⎥+⎣⎦，故()312k k k +为定值34- 19．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆22:2O x y +=与x 轴交于A ，B 两点，动点P 满足直线AP 与直线BP 的斜率之乘积为12-.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点()1,0的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，则在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅的值为定值？若存在，求出点Q 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2212x y +=，(x ≠；(2)存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭使得QM QN ⋅为定值716-，理由见解析；【解析】 【分析】（1）设出动点(),P xy (x ≠，利用直接法求解轨迹方程；（2）先求出直线l 斜率为0时不合题意，得到直线斜率不等于0，从而设出直线l 的方程1x ky =+，联立第一问求出的轨迹方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，设出(),0Q m ，求解QM QN ⋅，化简整理得到QM QN ⋅()224522m m k -=--+，从而得到存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭使得QM QN ⋅为定值716-.(1)令0y =得：x =()),A B ，(),P x y (x ≠，则12PA PB k k ⋅==-，整理得：2212x y +=，(x ≠；动点P 的轨迹方程E 为2212x y +=，(x ≠；(2)存在点(),0Q m ，使得QM QN ⋅为定值，理由如下：当直线l 斜率为0时，则直线l 为0y =，此时与2212xy +=，(x ≠无交点，故不合题意，舍去，即直线l 斜率不为0设(),0Q m ，直线l 设为1x ky =+，则与2212x y +=，(x ≠联立得：()222210k y ky ++-=，设()()1122,,,M x y M x y ，则12122221,22k y y y y k k +=-=-++，所以()()()()11221212,,QM QN x m y x m y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+()()()()221212121212121111x x m x x m y y ky ky m ky ky m y y =-+++=++-+++++()()()()22121211k y y k mk y y m =++-++-()224522m m k -=--+ 当450m -=即54m =时，QM QN ⋅为定值，即存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭使得QM QN ⋅为定值716-； 综上：存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭使得QM QN ⋅为定值716-.20．（2022·全国·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面∵∵∵中选取两个作为条件，证明另外一个成立：∵M 在AB 上；∵PQ AB ∥；∵||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)2213y x -= (2)见解析 【解析】 【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k , M (x 0,y 0),由∵|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由∵//PQ AB 等价转化为003ky x =，由∵M 在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可. (1)右焦点为(2,0)F ，∵2c =,∵渐近线方程为y =，∵ba=∵b =，∵222244c a b a =+==，∵1a =，∵b =∵C 的方程为：2213y x -=；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由∵∵推∵或选由∵∵推∵：由∵成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选∵∵推∵，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符； 总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件∵M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--, 设()00,M x y ,则条件∵AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-, 移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM的斜率为直线QM∵由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∵)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==---,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =, 代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-=⎣⎦, 解得P的横坐标：100x y ⎛⎫=⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∵0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫-++-=--⎪--⎭∵03x m y =, ∵条件∵//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=， 综上所述：条件∵M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件∵//PQ AB 等价于003ky x =；条件∵AM BM =等价于200283k x ky k +=-；选∵∵推∵:由∵∵解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∵∵成立； 选∵∵推∵：由∵∵解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∵003ky x =，∵∵成立； 选∵∵推∵：由∵∵解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∵02623x k -=-，∵()2002ky k x =-，∵∵成立.。
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有关圆锥曲线轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。
该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。
轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。
求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。
【解析】设MN 切圆C 于N ，则222ON MO MN -=。
设),(y x M ,则2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x（1） 当1=λ时，方程为45=x ，表示一条直线。
（2） 当1≠λ时，方程化为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。
◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，.由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以221212(1)PO PO -=-.设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=)评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
例2、已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程；【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2px =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。
【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为1251625)3(22=++y x ◎◎已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知， 点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p x =-可求得动点P 的轨迹方程为：2218172x y += 评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。
三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。
例3、如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。
求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
【解析】设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1） 则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2①又PQ 垂直于直线x+y=2，故111=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0② 由①②解方程组得12321,1212311-+=-+=y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=0◎◎已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT求点T 的轨迹C 的方程；【解析】解法一：（相关点法） 设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时， 点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y cx x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①lO' P E DC BA由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ 解法二：（几何法）设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。
四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
例4、在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； 【解析】解法一：以OA 的斜率k 为参数由{2y kx y x==解得A （k ，k 2） ∵OA ⊥OB ，∴OB ：1y x k =-由21y x k y x⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得B 211,k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设△AOB 的重心G （x ，y ），则22113113x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 消去参数k 得重心G 的轨迹方程为2233y x =+解法二：设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x (1)∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y 。
◎◎如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点 P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的 两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 的重心G 的轨迹方程.【解析】设切点A 、B 坐标分别为)((,(),(0121120x x x x x x ≠和∴切线AP 的方程为：;0220=--x y x x 切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+= 所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310， ,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即评析：1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。
2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。