八年级数学上册 5.1《认识二元一次方程组》拓展素材 (新版)北师大版
八年级数学上册第五章二元一次方程组知识整理北师大版
第五章 二元一次方程组一、本章知识点梳理：知识点1:二元一次方程（组）的定义 知识点2：二元一次方程组的解定义知识点3:二元一次方程组的解法 知识点4：一次函数与二元一次方程（组）知识点5:实际问题与二元一次方程组 二、各知识点分类讲解知识点1：二元一次方程（组）的定义 1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程注意:1、(1）方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数。
（2）含有未知数的项的次数都是1。
（3）二元一次方程的左右两边都必须是等式. (三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。
即若ax m +by n =c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1 例1：已知（a －2）x －by｜a|－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程,则a ＝______，b ＝_____．例2：下列方程为二元一次方程的有_________ ①y x =-52，②14=-x ,③2=xy ，④3=+y x ,⑤22=-y x，⑥22=-+y x xy ，⑦71=+y x⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（ ） A ．3x-y 2=0 B ．2x+1y=1 C ．3x —52y=6D ．4xy=32、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组注意：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程. 例:下列方程组中,是二元一次方程组的是（ ）A 、228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩【巩固练习】1、 已知下列方程组：（1)32x y y =⎧⎨=-⎩,（2）324x y y z +=⎧⎨-=⎩，（3）1310x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，(4）30x y x y +=⎧⎨-=⎩， 其中属于二元一次方程组的个数为( ）A ．1B 。
八年级数学上册第5章《认识二元一次方程组》参考教案(北师大版)
5.1 认识二元一次方程组●教学目标(一)教学知识点1．体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．2．二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念．(二)能力训练要求1．通过分析实际问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的数学模型．2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．(三)情感与价值观要求1．体会方程的模型思想，培养学生良好的数学应用意识．2．通过对学生熟悉的传统内容(如鸡兔同笼)的讨论，激发学生学习数学的兴趣．●教学重点1．通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型．2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．●教学难点1．探索实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组．2．判断一组数是不是二元一次方程组的解．●教学方法学生自主探索——教师引导的方法．学生已具备了列一元二次方程解决实际问题的经验基础．在教学中，教师可引导学生思考列二元一次方程时，如何寻求等量关系，放手让学生经过自主探索列出二元一次方程组．●教具准备投影片三张：第一张：老牛和小马的对话(记作§5.1 A)；第二张：“希望工程”义演(记作§5.1 B)；第三张：做一做(记作§5.1 C)．●教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课［师］小学时，我们就解答过著名的“鸡兔同笼”的问题，如“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”谁能用我们学过的知识来解答一下呢？［生］解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，根据题意，可得：2x+4(35－x)=94解得x=23∵35－x=35－23=12答：鸡有23只，兔有12只．［生］不用方程也可以解答：如果让每只鸡都抬起一条腿，让每只兔子都抬起两条腿，即让它们表演“优美动人”的“金鸡独立”和“玉兔拜月”，这样它们一共抬起了94÷2=47条腿，并且只有47条腿着地了．接着让鸡飞上蓝天，让兔练习“金鸡独立”，也就是每只兔子只有一只腿着地，这样着地的腿数又减少了35条，而只有47－35=12条腿着地了，并且有一条腿着地，就有一只兔子，所以应该有12只兔子，35－12=23只鸡．［师］这两位同学解答“鸡兔同笼”的问题都非常精彩，特别是第二位同学．我们用掌声鼓励他们．接下来，老师说一种新的思路．在上面“鸡兔同笼”的问题中，我们会发现它有两个等量关系：鸡的只数+兔子的只数=35；鸡的腿数+兔子的腿数=94．如果我设鸡有x只，兔子有y只，这时我们就得到了方程x+y=35和2x+4y=94．这节课我们就来学习这样的方程及由它们组成的方程组．Ⅱ．讲授新课出示投影片(§5.1 A)，并讨论回答下列问题．［师生共析］设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹．从老牛和小马的对话中，我们可以探索到其中的等量关系：①老牛驮的包裹－小马驮的包裹数=2，②老牛驮的包裹数+1=(小马驮的包裹数－1)×2．由此我们就可得到方程x－y=2和x+1=2(y－1)．出示投影片(§5.1 B)［生］在上述问题中，我们可以找到的等量关系为：成人人数+儿童人数=8，成人票款+儿童票款=34．由此我们可得方程x+y=8和5x+3y=34．［师］在上面的两个问题中，我们得到了四个方程：x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34．在这四个方程中，它们有何共同的特点．下面请同学们分组讨论．(此时，老师可参与到学生的讨论中，引导学生和以前学过的一元一次方程相联系，观察方程中有几个未知数，未知数的次数是几次？含有未知数的项的次数是几次？)［生］上面我们所列的四个方程都含有两个未知数，未知数的次数和含有未知数的项的次数都是一次．老师，我们能不能把它们叫二元一次方程．因为我国古代就把未知数叫做元，并且它们的未知数的次数是一次．［师］很好．它们的确都是二元一次方程．但我有一个问题和大家共讨论．我这儿有一个方程6xy－3=2．它也含有两个未知数，且未知数的次数x，y都是一次，它和上面的四个方程一样吗?［生］不一样．它虽然含有两个未知数，未知数x ，y 也都是一次的，但6xy 这一项即含未知数的项却是二次的．［师］你真棒．正象这位同学说的，6xy －3=2不是二元一次方程．x －y=2和x+1=2(y －1)，x+y=8和5x+3y=34它们才是二元一次方程．能用自己的语言归纳什么叫二元一次方程吗？［生］含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．［师］接下来，我们讨论下面的问题：在上面的方程x －y=2和x+1=2(y －1)中，x ，y 的含义相同吗？［生］应该相同．在两个二元一次方程中，x 都表示老牛驮的包裹数，y 都表示小马驮的包裹数，因此x ，y 的含义是相同的．［师］也就是说，x 、y 既满足第一个方程x －y=2，又满足第二个方程x+1=2(y －1)．于是我们把它们联立起来，得x-y=2x+1=2y-1⎧⎨⎩（）像这样的含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．如、x-y=2x+1=2y-1⎧⎨⎩（）和x+2y=73y+1=2⎧⎨⎩都是二元一次方程组．注意在一个方程组中x 、y 应代表同一个量．出示投影片(§5.1 C)(请同学们分组讨论完成，教师深入学生当中，随时发现同学们讨论问题时的闪光点)［师生共析］(1)把x=6，y=2代入方程x+y=8的左边得x+y=6+2=8，左边=右边，所以x=6，y=2是适合方程x+y=8．我们把适合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解．因此x=6，y=2即为x+y=8的一组解．我们会发现x=5，y=3也适合方程x+y=8，因此x=5，y=3也是方程x+y=8的一组解．还有没有其他的x ，y 的值适合方程x+y=8呢？［生］有．如x=1，y=7;x=4，y=4;x=8，y =0;……［生］我发现，只要给出x 的一个值，代入x+y=8中，便可得到y 的一个值．例如我们设x=－1，则代入x+y=8中，得－1+y=8，解得y=9．所以x=－1，y=9适合方程，是方程的一个解．也因此而得到x+y=8的解有无数多个．［师生共析］(2)把x=5，y=3代入方程5x+3y=34的左边=5x+3y=5×5+3×3=34．所以x=5、y=3是方程5x+3y=34的一个解．同样x=2，y=8也是方程5x+3y=34的一个解．我们把x=2，y=8是方程5x+3y=34的一个解记作28x y =⎧⎨=⎩同样53x y =⎧⎨=⎩也是方程5x+3y=34的一个解． (3)由(1)、(2)我们可以发现53x y =⎧⎨=⎩既是方程x+y=8的一个解，也是5x+3y=34的一个解．我们把这两个二元一次方程的公共解，叫做由这两个二元一次方程组成的方程组的解．例如53x y =⎧⎨=⎩就是二元一次方程组85334x y x y +=⎧⎨+=⎩的解．Ⅲ．例题精析［例1］(1)已知方程2x m+2+3y 1－2n =17是一个二元一次方程，则m=________，n=________．(2)方程①y=3x 2+x;②3x+y=1;③2x+4z=5z;④xy=2;⑤3y x ++y=0;⑥x+y+z=1; ⑦y 1+x=4中，是二元一次方程的有_________． 解：(1)由二元一次方程的定义，得m+2=1，1－2n=1∴m=－1，n=0(2)根据二元一次方程的定义．可知②③⑤是二元一次方程．评注：二元一次方程必须要同时符合下列条件的整式方程：①方程中含有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数都是1．［例2］写出一个以⎩⎨⎧-==11y x 为解的二元一次方程组． 解：答案不惟一．只要写出的二元一次方程组的解是⎩⎨⎧-==11y x 即可．例如⎩⎨⎧=-=+.212y x y x 评注：二元一次方程组的解必须同时适合方程组中的每个方程．Ⅳ．随堂练习课本练习的答案1．解：设小明买了面值50分的邮票x 枚和面值80分的邮票y 枚，则可列出方程组．⎩⎨⎧=+=+93.68.05.0y x y x 2．解：分别将四组数值代入方程2x+y=10的左边，可知：(1)⎩⎨⎧=-=62y x 代入左边=2x+y=2×(－2)+6=2≠10，即左边≠右边，所以⎩⎨⎧=-=62y x 不是方程2x+y=10的解．(2) ⎩⎨⎧==43y x 代入左边=2x+y=2×3+4=10即左边=右边，所以⎩⎨⎧==43y x 是方程2x+y=10的解．(3) ⎩⎨⎧==34y x 代入左边=2x+y=2×4+3=11即左边≠右边，所以⎩⎨⎧==34y x 不是方程2x+y=10的解．(4) ⎩⎨⎧-==26y x 代入左边=2x+y=2×6+(－2)=10即左边=右边，所以⎩⎨⎧-==26y x 是方程2x+y=10的解．3．解：根据二元一次方程组的解的定义，将四个解分别代入方程组的每一个方程，可得⎩⎨⎧==42y x 是方程组⎩⎨⎧==+x y y x 2102的解． Ⅴ．课时小结这节课通过对实际问题的分析，使学生进一步体会到了方程是刻画现实世界的有效模型．在此基础上，我们了解了二元一次方程．二元一次方程组及其解等概念，并学会了判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．Ⅵ．课后作业(一)习题5.1(二)预习课本，体会二元一次方程组是如何转化为一元一次方程问题的． Ⅶ．活动与探究求二元一次方程2x+y=7的正整数解．过程：我们知道求二元一次方程2x+y=7的正整数解，就是求适合2x+y=7的一组未知数的正整数的值．2x+y=7的解有无数多个，而正整数解只有九个．由等式的性质可由方程2x+y=7得到y=7－2x ，由于x ，y 只能取正整数，所以x=1，2或3．当x=1时，y=7－2×1=5;当x=2时，y=7－2×2=3;当x=3时，y=7－2×3=1．结果：二元一次方程2x+y=7的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,3;3,2;5,1y x y x y x ●板书设计●备课资料一、参考例题［例1］已知方程8x=31y+4．(1)用x 的代数式表示y ．(2)求当x 为何值时，y=12？分析：第(1)小题中，关键是把x 看作是已知数，把y 看作是未知数，然后按解一元一次方程的解法解；第(2)小题中把y=12代入方程8x=31y+4实际就是含未知数x 的一元一次方程．解：(1)去分母，得24x=y+12移项，得y=24x －12(2)若y=12，即24x －12=12∴24x=24，x=1评注：将二元一次方程中的一个未知数用另一未知数的代数式表示出来，这个过程实质是方程的一个变形，这种变形的方法是，把二元一次方程看做一元一次方程，其中把要表示的未知数仍看作是未知数，把另一个未知数看作已知数，然后解一元一次方程即可．［例2］已知⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx y m x 的解，求m+n 的值． 分析：因为⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx y m x 的解，所以⎩⎨⎧==12y x 同时满足方程①和方程②，将⎩⎨⎧==12y x 分别代入方程①和方程②，可得⎩⎨⎧=+=-+112214n m 则③和④可求出m 、n 的值．解：∵⎩⎨⎧==12y x 是方程组的解，所以将其代入原方程组中两个等式仍成立，即⎩⎨⎧=+=⨯-+⨯11221)1(22n m 解得⎩⎨⎧=-=01n m ，∴m+n=－1+0=－1 评注：仔细体会“已知方程组的解”这类已知条件的用法，并加深理解方程组的解的意义．二、参考练习1．填空题(1)已知方程2x 2n －1－3y 3m －n +1=0是二元一次方程，则m=_________，n=_________．(2)方程①2x+5y=0;②2x －y 1=8;③5x+2y=7;④4x －xy=3;⑤514y x =+;⑥x －2y 2=6;⑦4y x -+y=5中，二元一次方程有_________．(填序号) (3)若x －3y=2，则7－2x+6y=_________．(4)若x=1，y=－1适合方程3x －4my=1，则m=_________．(5)在x －5y=7中，用x 表示y=_________；若用y 表示x ，则_________．答案：(1)21 21 (2)①③⑤⑦ (3)7－2x+6y=7－2(x －3y)=7－2×2=3 (4)－21 (5)57-x 7+5y 2．选择题(1)下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=+7353z x y x B ．⎩⎨⎧=-=--25412y x xy y x ① ②③ ④C ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=413272y x xD ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+3132y xy x(2)下列各对数中，是方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-12472y x y x 的解是（ ） A ．⎩⎨⎧-==20y x B ． ⎝⎛-==32y x C ．⎩⎨⎧-=-=51y x D ．均不对 (3)已知⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-51by ax by ax 的解，则a 等于（ ） A ．23B ．2C ．1D ．－2(4)若⎩⎨⎧==b y a x 是方程3x+y=0的一个解(a ≠0)．则有（ ） A ．a 、b 异号 B ．a 、b 同号C ．a 、b 同号也可能异号D ．以上均不对 答案：(1)C (2)B (3)A (4)A3．已知方程y x 311)1(21=+-，求当x=－3时，y 的值． 答案：－3。
北师大出版社初中八年级数学上册--第五章 认识二元一次方程组
根据二元一次方程的定义求字母的值
方法小结：由方程是二元一次方程可知： (1)未知数的系数不为0； (2)未知数的次数都是1.
1.若x2m-1+5y3n-2m =7是二元一次方程，则m=____，n=___.
2m-1=1
1
3n-2m=1
1
2.如果 是二元一次方程，那么k的值是 ( ) A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
作业内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
不是
例1 判断下列方程是否为二元一次方程：
(7) 4x+ π =0
(8) 2x=1-3y
不是
是
二元一次方程的判断
判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.
(8)4xy+5=0
都是一次方程
观察思考
x－y＝2
x＋1＝2(y－1)
x＋y＝8
5x＋3y＝34
只含有1个未知数（元），未知数的次数为1；
x + y = 45.
x + 15 = 60
含有2个未知数（元），未知数的次数为1.
一元一次方程
都是含未知数的等式方程
二元一次方程
观察比较
(3)
是
不是
不是
不是
不是
根据实际问题列二元一次方程组
分析：第一道工序的人数＋ _______________ ＝总人数；第一道工序的件数＝________________.设安排第一道工序x人，第二道工序y人，用方程把这些条件表示出来： ___________.
北师大版数学八年级上册《1 认识二元一次方程组》说课稿1
北师大版数学八年级上册《1 认识二元一次方程组》说课稿1一. 教材分析《北师大版数学八年级上册》第一章《认识二元一次方程组》是整个初中数学的重要内容，也是解决实际问题的基础。
本章主要介绍二元一次方程组的概念、解法及其应用。
通过本章的学习，学生能够理解二元一次方程组的意义，掌握解二元一次方程组的方法，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了代数的基本知识，具备一定的逻辑思维能力。
但是，对于二元一次方程组这一概念，学生可能初次接触，理解上存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，引导学生逐步理解二元一次方程组的概念，并通过实例让学生感受其在实际问题中的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解二元一次方程组的概念，掌握解二元一次方程组的方法，能够运用二元一次方程组解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，学生能够培养发现问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，提高学生解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二元一次方程组的概念、解法及其应用。
2.教学难点：二元一次方程组的解法，特别是解的判断。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件、网络资源等现代教育技术手段，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例引入二元一次方程组的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：学生自主探究二元一次方程组的解法，总结解题规律。
3.合作交流：学生分组讨论，分享解题心得，互相学习，培养团队合作精神。
4.教师讲解：针对学生的疑问和困难，教师进行讲解，引导学生深入理解二元一次方程组的概念和解法。
5.巩固练习：学生独立完成练习题，检验学习效果。
6.拓展应用：学生分组解决实际问题，体会数学在生活中的应用。
第五章 二元一次方程组易错剖析+重难点突破训练(含答案) 2024-2025-北师大版数学八年级上册
第五章二元一次方程组易错点剖析易错点一对二元一次方程（组）的定义理解不彻底【例1】下列方程中，是二元一次方程的是（）.A. 3x−2y=4zB. 6xy+9=0C. 1x +4y=6 D. 4x=y−24本题容易受6xy+9=0中的xy影响导致误选，二元一次方程（组）必须符合以下三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，注意xy的次数是2；（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.跟踪练习1. 下列方程中，是二元一次方程的是（）.A. xy=2B. 3x+4y=0C. x+1y=2 D. x2+2y=4易错点二解方程组时不注意项的符号导致错误【例2】解方程组：{x−2y=2,①x−y=−2.②用加减消元法中减法消元时，易出现符号错误，所以要特别细心.跟踪练习2. 解方程组：{2x−5y=−3,①2x−3y=−1.②易错点三不理解待定系数法而出错【例3】已知一次函数图象经过点(0,3)，(3,0)，写出它的表达式： .本题容易把待定的系数与变量混为一谈，直接误认为k=3，b=3，做出错误的答案.因此，用待定系数法解题，要牢牢把握准所求的系数.跟踪练习3. 已知一次函数的图象经过点(1,3)和点(−2,−3)，则此一次函数的表达式是 .易错点四列方程组解应用题时不能正确理解题意【例4】现有食盐水两种，一种含盐12%，另一种含盐20%，分别取这两种盐水a kg和b kg，将其混合成18%的盐水100kg，求a，b的值.在列方程时，对背景不熟而出错，如：列方程12%a+20%b=100×18 %，方程左边表示混合之前两种食盐水的含盐量之和，而右边表示最后盐水中的含盐量.因此，解题时，要深刻理解题意，找准等量关系.跟踪练习4. 今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.求该市今年外来和外出旅游的人数.重难点突破重难点一 二元一次方程（组）的有关概念注意理解定义中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数，且“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.1. 下列四个方程中是二元一次方程的是（ ）.A. 4x−1=xB. x +1x =2C. 2x−3y =1D. xy =82. 已知2x 3−k +y =0是二元一次方程，那么k 的值为（ ）.A. 3 B. 0 C. 2 D. 43. 在下列方程组：①{x +y =5,3y−x =1,②{xy =1,x +2y =3,③{1x +1y =1,x +y =1,④{x =1,y =3中，是二元一次方程组的是（ ）.A. ①③B. ①④C. ①②D. 只有①4. 已知3x a−1−5y b +2=1是关于x ，y 的二元一次方程，则a +b = .5. 若方程组{x +y ∣a∣−2=0,(a−3)x +9=0是二元一次方程组，求a 的值.重难点二 求解二元一次方程组解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法，核心思想是“消元”.6. 方程组{x +y =5,x−y =1的解是（ ）.A. {x =3,y =2 B. {x =−2,y =−3 C. {x =4,y =1 D. {x =4,y =37. 方程组{x +y =10,2x +y =16的解是（ ）.A. {x =7,y =3B. {x =6,y =4C. {x =5,y =5D. {x =1,y =98. [2023·深圳期末]解方程组：（1） {y =2x ,x +y =12；（2） {3x +5y =21,2x−5y =−11.重难点三 二元一次方程组的应用利用二元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤：（1）审，（2）设，（3）找，（4）列，（5）解，（6）答.9. 某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：甲食材乙食材每克所含蛋白质0.3单位0.7单位每克所含碳水化合物0.6单位0.4单位若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（）.A. {0.3x+0.6y=21,0.7x+0.4y=40 B. {0.6x+0.3y=21, 0.4x+0.7y=40C. {0.3x+0.7y=21,0.6x+0.4y=40 D. {0.3x+0.7y=40, 0.6x+0.4y=2110. [2023·东莞校考]某车间有60名工人，每人平均每天可加工螺栓14个或螺母20个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设分配x 人生产螺母，y人生产螺栓，依题意列方程组为某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示：购买商品A的数量/个购买商品B的数量/个购买总费用/元第一次购物65 1 140第二次购物37 1 110第三次购物98 1 062（1）在这三次购物中，第次购物打了折扣；（2）求出商品A，B的标价.12. 某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车.据了解，2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计95万元.（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案.重难点四二元一次方程与一次函数的综合一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.13. 如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4)，则关于x，y 的二元一次方程组{kx−y=−b,y−x=2的解是（）.A. {x=3,y=4 B. {x=2,y=4 C.{x=1.8,y=4 D.{x=2.4,y=414. 若关于x，y的二元一次方程组{y=kx+b,y=mx+n的解为{x=2,y=5,则一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象的交点坐标为（）.A. (2,5)B. (5,2)C. (−2,−5)D. (1,5)15. 如图是函数y=−x+4与y=x+2的图象，则方程组{y=−x+4,y=x+2的解是 .16. 如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,b)，分别与x 轴交于A，B两点.（1）求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组{2x−y=−1,mx−y=−4的解；（2）求△ABP的面积；（3）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD的长为2，直接写出a的值.第五章二元一次方程组易错点剖析易错点一对二元一次方程（组）的定义理解不彻底跟踪练习1．B本题容易受6xy+9=0中的xy影响导致误选，二元一次方程（组）必须符合以下三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，注意xy的次数是2；（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.【例1】 D易错点二解方程组时不注意项的符号导致错误跟踪练习2．解：①−②，得−2y=−2，解得y=1，把y=1代入②，得2x −3=−1，解得x=1，所以原方程组的解为{x=1,y=1.用加减消元法中减法消元时，易出现符号错误，所以要特别细心.【例2】解：①−②，得−y=4，∴y=−4.把y=−4代入②，得x −(−4)=−2，解得x=−6，所以原方程组的解为{x=−6,y=−4.易错点三不理解待定系数法而出错跟踪练习3．y=2x+1本题容易把待定的系数与变量混为一谈，直接误认为k=3，b= 3，做出错误的答案.因此，用待定系数法解题，要牢牢把握准所求的系数.【例3】y=−x+3易错点四列方程组解应用题时不能正确理解题意跟踪练习4．解：设去年外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人，由题意得{x−y=20,(1+30%)x+(1+20%)y=226,解得{x=100, y=80,所以(1+30%)x=(1+30%)×100=130，(1+20%)y=(1+20%)×80=96.答：该市今年外来和外出旅游的人数分别是130万人和96万人.在列方程时，对背景不熟而出错，如：列方程12%a+20%b= 100×18%，方程左边表示混合之前两种食盐水的含盐量之和，而右边表示最后盐水中的含盐量.因此，解题时，要深刻理解题意，找准等量关系.【例4】解：根据题意得{a+b=100,12%a+20%b=100×18%,解得{a=25, b=75.答：a，b的值分别为25，75.重难点突破重难点一二元一次方程（组）的有关概念1．C2．C3．B4．15．解：∵方程组{x+y∣a∣−2=0,(a−3)x+9=0是二元一次方程组，∴|a|−2=1且a−3≠0，∴a=−3．重难点二求解二元一次方程组6．A7．B8．（1）解：{y=2x①,x+y=12②,将①代入②,得3x=12，解得x=4.将x=4代入①，得y=8，∴原方程组的解为{x=4,y=8.（2）{3x+5y=21①,2x−5y=−11②,①+②，得5x=10，解得x=2，将x=2代入①，得6+5y=21，∴5y=15，解得y=3，∴原方程组的解为{x=2,y=3.重难点三二元一次方程组的应用9．C10．{x+y=60,20x=2×14y11．（1）三解：∵第三次购买的数量最多，总费用最少，∴小明以折扣价购买商品A，B是第三次购物．故答案为三．（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得{6x+5y=1140,3x+7y=1110,解得{x=90,y=120.答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元．12．（1）解：设A，B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元．依题意，得{2x+3y=80,3x+2y=95,解得{x=25, y=10,答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元，10万元．（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，m<n，依题意，得25m+10n=200，∴m=8−25n.∵m，n均为正整数，∴n为5的倍数，∴m=6，n=5或m=4，n=10或m=2，n=15，∵m<n，∴m=6，n=5不合题意，舍去，∴共有2种购买方案.方案一：购进A型汽车4辆，B型汽车10辆；方案二：购进A型汽车2辆，B型汽车15辆.重难点四二元一次方程与一次函数的综合13．B14．A15．{x=1,y=316．（1）解：把点P(1,b)的坐标代入y=2x+1，得b=2+1= 3，把点P(1,3)的坐标代入y=mx+4，得m+4=3，∴m=−1.∵直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,3)，∴关于x,y的方程组{2x−y=−1,mx−y=−4的解为{x=1, y=3.（2）∵l1：y=2x+1，l2：y=−x+4，∴A (−12,0)，B(4,0)，∴AB=4−(−12)=92.设点P到x轴的距离为ℎ，则ℎ=3，∴S △ABP =12AB ⋅ℎ=12×92×3=274．（3） 直线x =a 与直线l 1 的交点C 的坐标为(a ,2a +1)，与直线l 2 的交点D 的坐标为(a,−a +4)．∵CD =2，∴|2a +1−(−a +4)|=2，即|3a−3|=2，∴3a−3=2 或3a−3=−2，∴a =53或a =13．。
八年级数学北师大版上册第五章二元一次方程组第2节求解二元一次方程组优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.学生能够在学习过程中，体验到数学的趣味性和实用性，培养对数学的兴趣和爱好。
2.学生通过克服困难、解决问题，感受到成功的喜悦，培养自信心和克服困难的勇气。
3.学生在团队合作中，学会尊重他人、倾听他人意见，培养合作精神和团队意识。
2.教师可以使用多媒体教学资源，如数学软件、动画等，展示二元一次方程组的解法过程，让学生更直观地理解和解法步骤。
3.教师可以组织学生进行实际操作，如用纸牌、道具等展示方程组的关系，让学生通过动手操作来加深对知识的理解。
（二）讲授新知
1.教师可以通过讲解和示例，向学生介绍二元一次方程组的概念和解法。例如，可以讲解二元一次方程组的定义，解释方程组的解的意义，并通过示例来说明如何运用加减消元法、代入消元法等方法求解二元一次方程组。
在学习本节内容之前，学生已经掌握了二元一次方程的基本概念，能够理解二元一次方程组的意义，同时，学生已经学习过一元一次方程的解法，这些都为本节课的学习打下了坚实的基础。然而，二元一次方程组的解法相对于一元一次方程的解法更为复杂，需要学生能够灵活运用所学的知识，因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解方程组之间的关系，培养学生的思维能力。
（三）小组合作
1.教师可以根据学生的学习水平和特点，将学生分成若干小组，鼓励学生在小组内进行合作和交流。例如，可以让学生分组讨论和解决一个方程组问题，通过小组合作来共同找到解法。
2.教师可以设计一些小组活动，让学生在合作中解决问题，培养学生的团队合作精神。例如，可以让学生分组进行方程组解法的比赛，看哪个小组能够更快地找到解法。
2.学生能够通过实例，理解二元一次方程组解的意义，能够运用加减消元法、代入消元法等方法求解二元一次方程组。
北师大版八年级上册：5.1认识二元一次方程组
次数都是1的方程。
要求学生注意：这个定义有两个要求：
①含有两个未知数；
②所含未知数的项的最高次数是一次。
引导学生关注两个未
知数的方程。
激发学
生学习的兴趣。
巩固
训练
呈现关于二元一次方程概念的辨析题，进行巩固
练习：
1.下列方程有哪些是二元一次方程：
（1），（2），
（3），（4），（5）。
2.如果方程是二元一次方程，
那么m＝，n＝。
二元一次方程组的概念：
上面的方程中的x含义
相同吗？y呢？由于x、y的含义分别相同，因而
必同时满足和，我们把这
两个方程用大括号联立起来，写成
二元一次方程组的概念：像这样共含有两个未知
数的两个一次方程所组成的一组方程。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，
叫做这个二元一次方程的解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做
做到讲练结合，让学
生更好巩固新知识。
通过讲解与训练，让
学生对利用新知识解
决一些简单问题有更
加明确的认识。
尽量让学生明白
知识点不是孤立的，
需要前后联系，才能
更好地处理一些新问
题。
八年级数学北师大版(上册)5.1_认识二元一次方程组课件
，得4(3m＋1)
－3(2m－2)＝10. 解这个方程，得m＝0.
总结
已知二元一次方程的解求字母的值的方法：将方程 的解代入方程中，得到一个关于这个字母的新方程，解 这个方程即可求出这个字母的值．
探究二：二元一次方程组
红山公园 成人人数+儿童人数=8 成人票数+儿童票数=34
昨天我们8个 人去红山公园 玩，买门票花
预习反馈
问题1: 我们已经知道了方程的定义，学习了最基本的一类方
程，即一元一次方程，你能举出几个例子，并说说它的 定义吗？ 问题2：
哪位同学能举例说说你对一元一次方程概念中“元″ 和“次”含义的理解？
元的历史
相传，用“元”这个字表示未知数 ◆源于我国宋元时期的天元术； ◆朱世杰在《四元玉鉴》中将天元术拓广为四元术 ◆清末，李善兰用“天、地、人、物”分别代替英文字母x、y、z、w，于是， “天、地、人、物”成表示未知数的符号，而“元”，即为未知数的统称。
预习反馈 问题3：类比一元一次方程这个概念，你认为我们还有可能学习哪些方程？
第五章 二元一次方程组
5.1 认识二元一次方程组
学习目标
1.通过概念的正反例辨析，能准确识别出二元一次方程（组），并会判 断一组数是否是某二元一次方程（组）的解.
2.通过类比学习和合作交流，归纳总结出二元一次方程（组）及其解的 概念，提高类比分析和归纳概括的能力.
二元一次方程组中各个方程的公共 解，叫做这个二元一次方程组的解.
从历史上看，二元一次方程组问题和一元一次方程问题几乎 出现得一样早. 对于二元问题，我们既可以选择一个量作为未知量也可以选择 两个量作为未知量，前者得到的是一元一次方程，后者得到的 则是二元一次方程组. 《九章算术》中的“三禾”问题 《四元玉鉴》中的“二果问价”
八年级数学《认识二元一次方程组》课堂评价
《5.1认识二元一次方程组》课例点评《5.1认识二元一次方程组》是北师大版初中八年级上册第五章《二元一次方程组》的起始课，因而兼有介绍本课学习内容、目的和重要性的学习任务. 汪恒老师的课，在全面理解教材、理解学生和理解教学的基础上，有如下特色：1.联系生活,引入新颖利用2016年里约奥运会男女金牌数创设二元一次方程的问题情境，学生感受了数学从生活中来、感受了数学的意义和价值，提高了学生的学习数学的兴趣，激发学生强烈的好奇心和求知欲.渗透爱国主义教育，增强学生的爱国意识和民族自豪感.2. 熟悉学生，衔接舒畅本节课整体课程层层递进，课堂自然流畅；针对学生的易混点、易错点设置典例；问题切中要害，教师讲理丝丝入扣.充分体现了教师对学生基础和认知水平的把握.老师以学生熟悉的生活提出问题，激起学生学习数学的兴趣，进一步体会到数学知识与现实生活紧密联系，数学知识来源于生活，并在生活中得以应用。
在合理运用教材素材，充分熟悉学生认知的基础上，设计合理的教学流程和内容，彰显了教师的综合能力.3. 尊重教材，凸显联系学生充分经历以上数学交流活动后，很自然认识到了二元一次方程和二元一次方程组的概念。
教师以知识树的形式板书了探究出来的成果，学生直观认识到了知识点间的发生发展过程及各知识点间的联系，这是高效的知识链。
在探究二元一次方程（组）的解的教学活动中，汪老师利用Excel表格填表的方式，用代入的思想让学生在x,y的表格中填入每一对使方程成立的特殊数值，提前感受了二元一次方程（组）的解的含义。
老师乘胜追击，归纳了二元一次方程（组）解的概念。
4.把控课堂，游刃有余熟悉学生的认知结构和能力，在学生的最近发展区提问、追问，引导学生建立原有知识与新知识之间联系，引起学生的认知冲突，揭示学生的思维过程；采用类比思想，降低理解新知的难度；始终围绕教学重点展开，突破难点抽丝剥茧、水到渠成；多媒体运用恰当，增强课堂教学的有效性. 教师把控课堂和驾驭学生能力强.5.学生发展，贯穿始终重视发挥学生的主体作用，学生动脑动手动口，在实践中获得亲历体验，力求达到“做中学”. 运用“小组合作学习”模式，培养学生“自主探究、合作学习”能力，指导学生尝试自主学习，培养学生学习能力。
北师大版八年级上册数学《认识二元一次方程组》说课稿
03
说教学目标
说教学目标
1.了解二元一次方程组及其解的定义； 2.掌握如何列出二元一次方程组； 3.掌握如何检验一组数是否是某个二元 一次方程组的解。
04
说教学重难点
说教学重难点
教学重点：让学生了解二元一次方程组及其解的定义，掌握如何列出 二元一次方程组； 教学难点：如何检验一组数是否是某个二元一次方程组的解。
谢谢
练习巩固
1. 求解下列二元一次方程组： 2x + y = 5 x - 3y = -1 2. 判断数对(2,3)是否是下列二元一次 方程组的解： 3x - y = 7 x + 2y = 8 3. 列出一个二元一次方程组，使得它 的解为x=3，y=4。
总结归纳
教师：今天我们学习了什么？ 学生：我们学习了二元一次方程组及 其解的定义，掌握了如何列出二元一 次方程组，以及如何检验一组数是否 是某个二元一次方程组的解。 教师：非常好，你们都很棒！希望你 们能够在以后的学习中继续努力，掌 握更多的数学知识。
01
说教材
说教材
本节课的教材是北师大版八年级上册数学教材， 第五章二元一次方程组的第一节。本节课主要 介绍了二元一次方程组及其解的定义，以及如 何列出二元一次方程组，并检验一组数是否是 某个二元一次方程组的解。
02
说学情
说学情
本节课是初中数学的重要内容，是学生初 步接触二元一次方程组的课程。在学习本 节课之前，学生已经学习了一元一次方程 的解法，对方程及其解有了一定的了解。 但是对于二元一次方程组及其解的概念还 不够清晰，需要通过本节课的学习来进一 步掌握。
06
说教学过程
导入环节
教师可以通过举例子的方式，引出二元一次方程组的概念，并让学生思考 一元一次方程组和二元一次方程组的区别。 教师：小明有一些苹果和橙子，苹果的单价为2元，橙子的单价为3元，小 明购买了5个苹果和3个橙子，花费了13元，请问苹果和橙子的数量各是多 少个？ 学生：这是一个二元一次方程组的问题吗？ 教师：对，这是一个二元一次方程组的问题。那么，你们知道什么是二元 一次方程组吗？ 学生：二元一次方程组是由两个未知数和两个一次方程组成的方程组。 教师：很好，那么一元一次方程和二元一次方程组有什么区别呢？ 学生：一元一次方程只有一个未知数和一个一次方程，而二元一次方程组 有两否是某个二元一次方程组的解
5.1 认识二元一次方程组 课件 2024-2025学年北师大版 八年级数学上册
0.2
0.3
0.4
…
第一个方程中y的值
…
第二个方程中y的值
…
请你帮她完成表格，并找出符合该问题的解.
解：完成表格如下：
x/kg
0.1
0.2
0.3
0.4
…
第一个方程中y的值
0.4
0.3
0.2
0.1
…
第二个方程中y的值
0.2
…
当x＝0.3时，发现两个方程中y值相等，
= . ，
所以可得方程组的解为
= ，
将y＝4代入2x＋y＝8中，得x＝2，所以这个方程组的解为
= ，
= ，
将
代入7x－ay＝2中，得14－4a＝2，解得a＝3，
=
所以a的值为3.
14.小颖自己在家制作南瓜芋圆，她准备了1块南瓜和1包木薯粉共0.5
kg，混合后发现芋圆太软，于是又加了1块与第一次等质量的南瓜和2包木
那么能否满足门票花费34元？
x+y=8
5x + 3y = 34
定义: 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个
二元一次方程组的解.
x=5
y=3
就是二元一次方程组
x+y=8
5x + 3y = 34
的解
温馨提示
1. 二元一次方程的解是成对出现的；
2. 二元一次方程的解有无数多个，与一元一次方程有
显著区别.而二元一次方程组的解一般只有一个.
买了两种邮票各多少枚？
解：设面值50分的邮票x枚，面值80分的邮
票y枚，由题意得：
x+y=9
北师大版八年级数学上册《5.1认识二元一次方程组》课件
像上面这样含有两个未知数的两个一次方 程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。
练习：
1、判断下列方程组是不是二元一次方程组：
x y 2 （ 1） x 1 2( y 1)
2 y 3 （ 3） x 3 x y 1
Hale Waihona Puke x 2 y 7 （2） 3 y 1 2
谁的包裹多
创设情境，导入新课 牛：累死我了！ 马：你还累？这么大的个，才比我多驮了2个。 牛：哼！我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍了！
马：真的？！
牛：不信，你算算。 同学们，你们知道它们各驮了多少包裹吗？请同学们带 着以下问题进行讨论。
设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹。 （1）老牛的包裹数比老马的多了 2个，由此你能 得到怎样的等量关系？根据等量关系你能得出怎样 的方程？ 等量关系：老牛的包裹数─ 小马的包裹数=2 可以得到方程：x-y=2 （2）若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时它们 各有几个包裹？由此你又能得到怎样的等量关系？ 又能列出怎样的方程？ 等量关系：老牛的包裹数+1=2（小马的包裹数─1） 可以得到方程：x+1=2(y-1).
可以得到方程：x+y=8
和
5x+3y=34.
提问：在上面的方程x+y=8和5x+3y=34中，x 的含义相同吗？y呢？ 方程x+y=8和5x+3y=34中，x,y的含义分别相同。 因而x，y必须同时满足方程x+y=8和5x+3y=34。
把它们联立起来，得
x y 8 5 x 3 y 34
x=4,y=4呢？你还能找到其他x,y值适合方程x+y=8吗？
2017-2018学年北师大版八年级数学上册教师用书(pdf版)：5.1认识二元一次方程组
第５章㊀二元一次方程组㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第１课㊀认识二元一次方程组知识目标认识二元一次方程和二元一次方程组ꎻ了解二元一次方程和二元一次方程组的解ꎻ会判断一组数是不是二元一次方程组的解.重㊁难点认识二元一次方程和二元一次方程组.思维目标方程思想.１.含有㊀两㊀个未知数ꎬ并且所含未知数项的次数都是㊀１㊀的方程叫作二元一次方程.注意:㊀①二元一次方程两个未知项的次数是１ꎬ且系数不为０ꎻ㊀②二元一次方程的左边和右边都应是整式.２.共含有㊀两个㊀未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组.３.适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫作二元一次方程的一个解(二元一次方程的解有无数个).４.二元一次方程组中各个方程的㊀公共解㊀ꎬ叫作二元一次方程组的解.二元一次方程定义与特征ʌ例１ɔ填选题:㊀(１)下列方程:①ｙ＝３ｘ２＋ｘꎻ②３ｘ＋ｙ＝１ꎻ③２ｘ＋４ｚ＝５ｚꎻ④ｘｙ＝２ꎻ⑤ｘ＋ｙ３＋ｙ＝０ꎻ⑥ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ꎻ⑦１ｙ＋ｘ＝４ꎬ是二元一次方程的有(㊀Ｂ㊀)㊀Ａ.２个Ｂ.３个Ｃ.４个Ｄ.５个㊀(２)下列方程组中是二元一次方程组的是(㊀Ａ㊀)㊀Ａ.ｘ＋ｙ＝４２ｘ＋３ｙ＝７{Ｂ.２ａ－３ｂ＝１１５ｂ－４ｃ＝６{㊀Ｃ.ｘ２＝９ｙ＝２ｘ{Ｄ.ｘ＋ｙ＝８ｘ２－ｙ＝４{㊀(３)方程ｘ∣ａ∣－１＋(ａ－２)ｙ＝２是关于ｘꎬｙ的二元一次方程ꎬ则ａ的值为㊀－２㊀.㊀分析:(１)(２)按二元一次方程(组)的定义即可得解ꎻ(３)要注意未知项的次数为１ꎬ且系数不为０ꎬ则有∣ａ∣－１＝１且ａ－２ʂ０ꎬ解之即得.二元一次方程(组)解的含义及运用ʌ例２ɔ填选题:㊀(１)已知一个二元一次方程组的解是ｘ＝－１ｙ＝－２{ꎬ则这个方程组是(㊀Ｃ㊀)㊀Ａ.ｘ＋ｙ＝－３ｘｙ＝２{Ｂ.ｘ＋ｙ＝－３ｘ－２ｙ＝１{㊀Ｃ.２ｘ＝ｙｘ＋ｙ＝－３{Ｄ.ｘ＋ｙ＝０３ｘ－ｙ＝５{㊀(２)已知ｘ＝２ｙ＝－１{是方程组ｍｘ＋ｙ＝３ｘ－ｎｙ＝６{的解ꎬ则ｍ＝㊀２㊀ꎬｎ＝㊀４㊀.㊀分析:(１)用验证法即可排除ꎬ要注意Ａ选项不是二元一次方程组ꎻ(２)若知道方程(组)的解ꎬ则直接代入相关方程ꎬ则可求出相应字母的值.㊀解:(１)Ｃꎻ(２)２ꎬ４.特定条件下的二元一次方程组的解ʌ例３ɔ求二元一次方程３ｘ＋２ｙ＝１９的正整数解.㊀分析:观察方程特点ꎬ发现２ｙ是偶数ꎬ则３ｘ应是奇数ꎬ故ｘ应是奇数ꎬ故让ｘ＝１ꎬ３ꎬ５即可得到相应的ｙ值.㊀解:由已知得ｙ＝１９－３ｘ２ꎬʑ当ｘ＝１时ꎬｙ＝８ꎻ当ｘ＝３时ꎬｙ＝５ꎻ当ｘ＝５时ꎬｙ＝２ꎻʑ方程的正整数解为ｘ＝１ｙ＝８{ꎬｘ＝３ｙ＝５{ꎬｘ＝５ｙ＝２{.１.下列方程组中是二元一次方程组的是(㊀Ｄ㊀)Ａ.ｘｙ＝１ｘ＋ｙ＝２{Ｂ.５ｘ－２ｙ＝３１ｘ＋ｙ＝３{Ｃ.２ｘ＋ｚ＝１３ｘ－ｙ＝１５{Ｄ.ｘ＝５ｘ２＋ｙ３＝７{２.(２０１６临沂)为了绿化校园ꎬ３０名学生共种７８棵树苗.其中男生每人种３棵ꎬ女生每人种２棵ꎬ该班男生有ｘ人ꎬ女生有ｙ人.根据题意ꎬ所列方程组正确的是(㊀Ｄ㊀)Ａ.ｘ＋ｙ＝７８３ｘ＋２ｙ＝３０{Ｂ.ｘ＋ｙ＝７８２ｘ＋３ｙ＝３０{Ｃ.ｘ＋ｙ＝３０２ｘ＋３ｙ＝７８{Ｄ.ｘ＋ｙ＝３０３ｘ＋２ｙ＝７８{３.已知方程２ｘ＋３ｙ－４＝０ꎬ用含ｘ的式子表示ｙ为:ｙ＝㊀４－２ｘ３㊀ꎻ用含ｙ的式子表示ｘ为:ｘ＝㊀４－３ｙ２㊀.４.已知ｘ＝－２ｙ＝３{ꎬ是方程ｘ－ｋｙ＝１的解ꎬ那么ｋ＝㊀－１㊀.１.记清二元一次方程(组)的定义与其指数特征ꎻ２.了解二元一次方程的解有无数组ꎬ但在某些特定条件下其解可能是有限的ꎻ但二元一次方程组的解常常是唯一的ꎻ３.要学会设两个未知数来表达应用题中的未知量.Ａ组㊀夯实基础一.选择题１.(２０１４泰安)方程５ｘ＋２ｙ＝－９与下列方程构成的方程组的解为ｘ＝－２ｙ＝１２{的是(㊀Ｄ㊀)Ａ.ｘ＋２ｙ＝１Ｂ.３ｘ＋２ｙ＝－８Ｃ.５ｘ＋４ｙ＝－３Ｄ.３ｘ－４ｙ＝－８２.二元一次方程ｘ－２ｙ＝１有无数多个解ꎬ下列四组值中不是∙∙该方程的解的是(㊀Ｂ㊀)Ａ.ｘ＝０ｙ＝－１２{Ｂ.ｘ＝１ｙ＝１{Ｃ.ｘ＝１ｙ＝０{Ｄ.ｘ＝－１ｙ＝－１{３.(２０１６毕节)已知关于ｘꎬｙ的方程ｘ２ｍ－ｎ－２＋４ｙｍ＋ｎ＋１＝６是二元一次方程ꎬ则ｍꎬｎ的值为(㊀Ａ㊀)Ａ.ｍ＝１ꎬｎ＝－１Ｂ.ｍ＝－１ꎬｎ＝１Ｃ.ｍ＝１３ꎬｎ＝－４３Ｄ.ｍ＝－１３ꎬｎ＝４３４.(２０１６龙东)为了丰富学生课外小组活动ꎬ培养学生动手操作能力ꎬ王老师让学生把５ｍ长的彩绳截成２ｍ或１ｍ的彩绳ꎬ用来做手工编织ꎬ在不造成浪费的前提下ꎬ你有几种不同的截法(㊀Ｃ㊀)Ａ.１Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.４二.填空题５.已知ｘ＝３ｙ＝－２{是方程组２ｘ－ｙ＝ｍｘ＋ｎｙ＝－３{的解ꎬ则ｍ＝㊀８㊀ꎬｎ＝㊀３㊀.６.已知│ｘ－１│＋(２ｙ＋１)２＝０ꎬ且２ｘ－ｋｙ＝４ꎬ则ｋ＝㊀４㊀.７.(２０１６吉林)某学校要购买电脑ꎬＡ型电脑每台５０００元ꎬＢ型电脑每台３０００元ꎬ购买１０台电脑共花费３４０００元.设购买Ａ型电脑ｘ台ꎬ购买Ｂ型电脑ｙ台ꎬ则根据题意可列方程组为㊀ｘ＋ｙ＝１０５０００ｘ＋３０００ｙ＝３４０００{㊀.三.解答题８.若方程ｘ２ｍ－１＋５ｙ３ｎ－２＝７是关于ｘ㊁ｙ的二元一次方程ꎬ求ｍ㊁ｎ的值.㊀解:由已知得２ｍ－１＝１３ｎ－２＝１{ꎬ解得ｍ＝１ｎ＝１{.９.根据题意ꎬ列出方程组(不解):㊀(１)某班共有学生４５人ꎬ其中男生比女生的２倍少９人ꎬ该班男生㊁女生各有多少人?设该班男生有ｘ人ꎬ女生有ｙ人.㊀(２)将一摞笔记本分给若干同学ꎬ每个同学５本ꎬ则剩下８本ꎻ每个同学８本ꎬ又差了７本ꎬ共有多少本笔记本㊁多少个同学?设共有笔记本ｘ本ꎬｙ个同学.㊀(３)将若干只鸡放入若干笼中ꎬ若每个笼中放４只ꎬ则有一鸡无笼可放ꎻ若每个笼里放５只ꎬ则有一笼无鸡可放ꎬ问有多少只鸡ꎬ多少个笼?设ｘ只鸡ꎬｙ个笼.㊀解:(１)ｘ＋ｙ＝４５ｘ＝２ｙ－９{ꎻ(２)５ｙ＋８＝ｘ８ｙ－７＝ｘ{ꎻ(３)４ｙ＝ｘ－１５(ｙ－１)＝ｘ{.１０.甲种物品每个４ｋｇꎬ乙种物品每个７ｋｇꎬ现有甲种物品ｘ个ꎬ乙种物品ｙ个ꎬ共７６ｋｇ.(１)列出关于ｘꎬｙ的二元一次方程㊀㊀㊀㊀ꎻ(２)若ｘ＝１２ꎬ则ｙ＝㊀㊀㊀㊀ꎻ(３)若有乙种物品８个ꎬ则甲种物品有㊀㊀㊀㊀个ꎻ(４)请你用含ｘ的式子表示出ｙꎬ然后再探究出满足条件的ｘꎬｙ的全部数值.解:(１)４ｘ＋７ｙ＝７６ꎻ(２)４ꎻ(３)５ꎻ(４)ｙ＝７６－４ｘ７ꎬ经探究可知:满足条件的ｘꎬｙ有两组:ｘ＝１２ｙ＝４{ꎬｘ＝５ｙ＝８{.Ｂ组㊀提高巩固１１.(２０１６齐齐哈尔)足球比赛规定:胜一场得３分ꎬ平一场得１分ꎬ负一场得０分.某足球队共进行了６场比赛ꎬ得了１２分ꎬ该队获胜的场数可能是(㊀Ｃ㊀)Ａ.１或２Ｂ.２或３Ｃ.３或４Ｄ.４或５(提示:设该队胜ｘ场ꎬ平ｙ场ꎬ则负(６－ｘ－ｙ)场ꎬ根据题意ꎬ得:３ｘ＋ｙ＝１２ꎬ即:ｘ＝１２－ｙ３ꎬȵｘ㊁ｙ均为非负整数ꎬ且ｘ＋ｙɤ６ꎬʑ当ｙ＝０时ꎬｘ＝４ꎻ当ｙ＝３时ꎬｘ＝３ꎻ即该队获胜的场数可能是３场或４场ꎬ故选Ｃ.)１２.二元一次方程２ｘ＋ｙ＝７的正整数解为㊀ｘ＝１ｙ＝５{ꎬｘ＝２ｙ＝３{ꎬｘ＝３ｙ＝１{㊀.(提示:将原方程变形为ｙ＝７－２ｘ.ȵｘꎬｙ均为正整数ꎬʑｘ只能取小于４的正整数ꎬ共有１ꎬ２ꎬ３三个.当ｘ＝１时ꎬｙ＝５ꎻ当ｘ＝２时ꎬｙ＝３ꎻ当ｘ＝３时ꎬｙ＝１.)１３.某电视台有黄金时段的２ｍｉｎ广告时间内ꎬ计划插播长度为１５ｓ和３０ｓ的两种广告.１５ｓ广告每播１次收费０.６万元ꎬ３０ｓ广告每播１次收费１万元.若要求每种广告播放不少于２次ꎬ问:(１)两种广告的播放次数有几种安排方式?(２)电视台选择哪种方式播放收益较大?解:设播１５ｓ的广告ｘ次ꎬ播３０ｓ的广告ｙ次ꎬ则有１５ｘ＋３０ｙ＝１２０.即ｘ＋２ｙ＝８ꎬ又ｘȡ２ꎬｙȡ２ꎬ且ｘ㊁ｙ为整数ꎬʑｘ＝２ｙ＝３{或ｘ＝４ｙ＝２{ꎻ当ｘ＝２ｙ＝３{时ꎬ收费为２ˑ０.６＋３ˑ１＝４.２(万元)ꎬ当ｘ＝４ｙ＝２{时ꎬ收费为４ˑ０.６＋２ˑ１＝４.４(万元).应选择１５ｓ广告播４次ꎬ３０ｓ广告播２次.㊀。
八年级数学上册5.1认识二元一次方程组说课稿 (新版北师大版)
八年级数学上册5.1认识二元一次方程组说课稿（新版北师大版）一. 教材分析本次说课的内容是北师大版八年级数学上册的5.1认识二元一次方程组。
这部分内容是学生在学习了初一、初二的相关知识后，进一步对数学知识的深化和拓展。
二元一次方程组是初高中数学的衔接点，也是解决实际问题的重要工具。
本节内容通过具体的例子引导学生理解二元一次方程组的含义，学会用联立方程的方法求解二元一次方程组的解，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了初一、初二的数学知识，对代数、方程、函数等概念有一定的理解。
但是，对于二元一次方程组的理解可能还比较模糊，需要通过具体的例子和练习来加深理解。
同时，学生的学习兴趣和学习习惯也会影响他们对这部分内容的学习。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解二元一次方程组的含义，学会用联立方程的方法求解二元一次方程组的解。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解二元一次方程组的含义，学会用联立方程的方法求解二元一次方程组的解。
2.教学难点：如何引导学生理解二元一次方程组的概念，以及如何用联立方程的方法求解二元一次方程组的解。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，以及网络资源和实际问题来进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法来解决这个问题，从而引出二元一次方程组的概念。
2.新课导入：讲解二元一次方程组的定义和性质，通过具体的例子让学生理解二元一次方程组的概念。
3.案例分析：分析实际问题，引导学生用联立方程的方法来求解二元一次方程组的解。
4.练习与讨论：让学生进行练习，并通过小组合作的方式来解决问题，培养学生的合作意识和探究精神。
北师大版数学八年级上册第五章认识二元一次方程组优秀教学案例
（一）情景创设
1.利用多媒体展示现实生活中的问题情境，如购物、旅行等，引导学生发现数学问题，引出二元一次方程组的概念。
2.通过设计有趣的数学故事或游戏，让学生在轻松愉快的氛围中学习二元一次方程组的解法。
3.创设具有挑战性的问题情境，激发学生的思考和探索欲望，引导学生主动参与学习。
（二）问题导向
（五）作业小结
1.布置具有针对性的作业，让学生巩固所学知识，提高自己的实际应用能力。
2.要求学生在作业中运用所学知识解决实际问题，培养他们的数学应用意识。
3.教师及时批改作业，了解学生对二元一次方程组的掌握情况，为下一步教学提供依据。
在教学过程中，我将以导入新课、讲授新知、学生小组讨论、总结归纳和作业小结为主线，关注每个学生的学习过程，给予他们个性化的指导。同时，我会充分利用多媒体教学资源，创设生动有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养。在教学过程中，我会注重培养学生的团队协作能力，引导他们通过自主学习、合作交流的方式，探究二元一次方程组的解法，使他们在掌握知识的同时，也能培养良好的学习习惯和团队合作能力。
2.设计小组合作活动，让学生通过实践操作、讨论交流，共同完成任务，培养他们的团队合作能力和沟通能力。
3.关注小组合作过程中的每个学生，给予他们个性化的指导，确保他们在合作中收获成长。
（四）反思与评价
1.引导学生在学习过程中进行自我反思，发现自己的优点和不足，提高自我认知。
2.设计评价量表，让学生对自己的学习过程进行评价，培养他们的评价能力和自我改进意识。
3.定期进行课堂小测，了解学生对二元一次方程组的掌握情况，为下一步教学提供依据。
在教学过程中，我将根据教学目标和教学内容，灵活运用教学策略，关注每个学生的学习过程，给予他们个性化的指导。同时，我会充分利用多媒体教学资源，创设生动有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养。在教学过程中，我会注重培养学生的团队协作能力，引导他们通过自主学习、合作交流的方式，探究二元一次方程组的解法，使他们在掌握知识的同时，也能培养良好的学习习惯和团队合作能力。
北师大版数学八年级上册第五章认识二元一次方程组教学设计
1.教师通过多媒体展示一个生活中的实际问题：小明和小华一起去书店，小明比小华多买了3本书，两人一共买了10本书。请学生思考：如何用数学方法解决这个问题？
2.学生尝试用已学的知识（一元一次方程）解决问题，但发现无法得出两个未知数的具体值。此时，教师引导学生：当一个问题涉及到两个未知数时，我们应该如何解决呢？
4.通过对不同解题方法的探讨，培养学生灵活运用知识的能力，提高学生的创新意识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的热情，增强学生的自信心。
2.培养学生严谨的学习态度，使学生养成认真思考、仔细计算的好习惯。
3.通过解决实际问题，让学生认识到数学在生活中的重要性，增强学生的应用意识。
2.通过典型例题，让学生熟练掌握代入法和消元法，并能够灵活运用。
3.创设有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。
4.加强小组合作学习，培养学生分工合作和沟通交流的能力，提高学生的团队协作精神。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：二元一次方程组的定义及其求解方法（代入法、消元法）。
3.教师揭示本节课的主题：二元一次方程组。并简要介绍二元一次方程组在生活中的应用，激发学生的兴趣。
（二）讲授新知，500字
1.教师给出二元一次方程组的定义，并解释其组成元素：两个未知数、两个方程、线性关系。
2.教师通过具体例题，讲解代入法的步骤和注意事项，引导学生理解代入法的基本思想。
3.教师继续通过例题，讲解消元法的步骤和注意事项，强调消元过程中符号变化和运算技巧。
3.探究题：
-探究二元一次方程组的求解方法是否适用于其他类型的方程组，如三元一次方程组、非线性方程组等。
八年级数学上册5.1认识二元一次方程组教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册5.1认识二元一次方程组教学设计（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册5.1认识二元一次方程组》这一节内容，主要让学生了解二元一次方程组的概念，学会解二元一次方程组的方法。
通过这一节的学习，让学生能够理解二元一次方程组在实际生活中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了方程、一元一次方程、一元一次不等式等知识。
他们对方程的概念和求解方法有一定的了解，但二元一次方程组的概念和求解方法是新的知识点，需要通过实例来引导学生理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生理解二元一次方程组的概念，知道二元一次方程组的组成。
2.让学生学会解二元一次方程组的方法，提高学生解决问题的能力。
3.通过实例，让学生了解二元一次方程组在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。
四. 教学重难点1.重难点：二元一次方程组的概念和求解方法。
2.难点：如何引导学生理解和掌握二元一次方程组的求解方法。
五. 教学方法采用“问题-探究”教学法，通过实例引入二元一次方程组的概念，引导学生探究二元一次方程组的求解方法，并通过实际问题，让学生应用所学知识解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生理解和掌握二元一次方程组的概念和求解方法。
2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二元一次方程组的概念。
例如，小华买了x本故事书和y本数学书，一共花了30元，故事书每本5元，数学书每本4元。
请列出小华买书的一元一次方程。
2.呈现（15分钟）呈现二元一次方程组的定义，让学生了解二元一次方程组的组成。
通过实例，引导学生理解和掌握二元一次方程组的求解方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些二元一次方程组的练习题，巩固所学知识。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生应用所学知识解决问题，提高学生的应用能力。
福建省建宁县城关中学北师大版八年级数学上册教案：5.1认识二元一次方程组
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《认识二元一次方程组》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要同时解决两个未知数的问题？”（如购物时，两种商品的价格和数量关系）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二元一次方程组的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二元一次方程组的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对方程组的理解和求解方法的掌握。我希望大家能够将这些知识点运用到实际问题中，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
4.能够根据实际问题列出二元一次方程组，并解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过分析二元一次方程组的定义和结构，理解方程组中未知数之间的关系；
2.提高学生的数据分析能力，掌握代入法和加减法解二元一次方程组的方法，并能运用这些方法解决实际问题；
3.培养学生的数学建模素养，学会从实际情境中抽象出二元一次方程组，并用以描述和解决现实问题；
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《认识二元一次方程组》
1、现有布料25米，需裁成大人和小孩的两种服装.已知大人每套用布2.4米，小孩每套用布1米，问各裁多少套恰好把布用完？
答案：设裁大人衣服x 套，小孩衣服y 套恰好把布用完.
根据题意得：2.4x +y =25,则y =25－2.4x
∵x 、y 必须都是正整数
∴x 只能取5和10.
当x =5时，y =13;当x =10时，y =1
所以裁大人的5套、小孩的13套或者裁大人的10套，小孩的1套
2、若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2
互为相反数，则a ＝______，b ＝______． 答案：
由“互为相反数”，得|2a ＋3 b －7|＋（2a ＋5b －1）2＝0，再解方程组⎩⎨⎧=-+=-+0
1520732b a b a a ＝8，b ＝－3．
3、已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝12
1，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______． 答案：即作方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-+==121
432c b a c b a ，故可设a ＝2 k ，b ＝3 k ，c ＝ 4 k ，代入另一个方程求k 的值．
a ＝61，
b ＝41，
c ＝3
1． 4、某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒钟和30秒钟的两种广告，15秒广告每播一次收费0.6万元，30秒广告每播一次收费1万元，若要求每种广告播放不少于两次，问：
（1）两种广告的播放次数有几种安排方式？
（2）电视台选择哪种播放方式收益较大？
答案：（1）设15分钟广告播放x 次，30分钟广告播放y 次依题意得
15x+30y=120，因为x ，y 为不小于2的整数，所以42x y =⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩
所以，有两种播放方式，即15秒钟广告播放4次，30秒钟广告播放2次，或15秒钟广告播放2次，30秒钟广告播放3次
（2）若x=4，y=2则0.6×4+1×2=4.4万元
若x=2，y=4则0.6×2+1×3=4.2万元
所以电视台选择15秒钟广告播放4次，30秒钟广告播放2次收益较大。