2-1,2 刚体运动学和定轴转动

F
解：飞轮制动时有角加速度

0
t
2
0
0 1000r / min 104.7rad/s 0 t 5s 20.9rad/s

外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
M＝ f r R NR J mR
2
NR mR
2
2
1
1 1 2 2 J J M d Jd 2 1 1 2 2 1 1 2 2 W J 2 J 1 2 2
2
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。

六 、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律 刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力 势能之和.

3. 求一质量为m的均匀实心球对其一条直径 为轴的 转动惯量。 解： 一球绕Z轴旋转， Z 离 球心Z高处切一厚为dz dZ r 的薄圆盘。其半径为 Z
O
X
R
Y
r R Z
2
2
其体积：
2 2 2
dV r dZ ( R Z )dZ
其质量：
dm dV ( R Z )dZ
2）分析受力矩
3）建立轴的正方向； 4）列方程：
M+ M0
J M1
M 0 M1 J

解：4）列方程：
M 0 M1 J M 0 M 1 M 0 a J J d M 0 a
dt J 分离变量：
M+
M0
M1=–a
d dt M 0 a J t dt d 0 M 0 a 0 J

三、转动定律
作用在刚体上的轴的力矩
Z
f1 O r P
F
f2
Mz r F
M z rF sin
注意：式中的F应理 解为转动平面中的 分量f2
转动平面

转动定律
Fi f i mi ai
Z
fi
Fi
Fi sin i f i sin i mi ai
8 2 5 R mR2 15 5
R
4 3 m R 3

4、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。 2
解：取如图坐标
A
J r dm
x
L
dx
dm=dx
L 2 2 0
B
X
J A x dx mL / 3
JC
L 2 L 2
A
L/2
C L/2
B
X
x dx mL / 12
2 2

平行轴定理
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表 示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距 L/2。可见：
1 1 1 L 2 2 J A＝J C＋m mL mL mL2 4 3 2 12
2
推广上述结论，若有任一轴与过质 心的轴平行，相距为d，刚体对其转 动惯量为J，则有： J＝JC＋md2。
dl
M＝ dM gl cosdl
0
L
gdm
1 gL cos mgL cos 2 2
2

代入转动定律，可得 1 mgL cos M 2 3 g cos 1 J 2L mL2 3

d d d d M J J J J dt d dt d 1 代入M＝ mgl cos Md Jd 2
（4） M,J,是对于同一根轴的力矩、转动惯量 和角速度。

转动定律应用举例
二类问题:
第一类: 由角量运动方程,求力矩。(微分法)
第二类: 由力矩及初始条件,求刚体运动。(积分法) 特别注意:
1. 明确转动轴位置。 2. 选定转动的正方向, 注意力矩、角速度、角加速 度的正负。
3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。 解题步骤: 1. 认刚体; 2. 定转轴,找运动;

J r dm
2
质量为线分布
质量为面分布
质量为体分布
dm dl dm ds dm dV
其中、、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。 注 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 意 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量

1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解：细圆环
式中 F F cos
Z
M F r
W Md
1
2
O d
dr


r P
F
力矩做功是力做功的角量表达式.
力矩的瞬时功率
dW p M dt

五、刚体定轴转动的动能定理
d d d d MJ J J J dt d dt d

将切向分量式两边同乘以 r , i 变换得
ri m i i
2
i
Fi ri sin i f i ri sin i mi ri
2 F r sin f r sin ( m r i i i i i i i i ) i i i
合外力矩M
M J
解：棒下摆为加速过程，外 力矩为重力对O的力矩。 棒 上取质元dm,当棒处在下摆 角时，该质量元的重力对轴 的元力矩为
O

l
dm
dl
gdm
dM l cos gdm gl cos dl

dM l cos gdm gl cos dl
重力对整个棒的合力矩为
O

l
dm
2 2
其转动惯量：
1 2 1 2 2 2 dJ r dm ( R Z ) dZ 2 2

Z Z
1 2 1 2 2 2 dJ r dm ( R Z ) dZ 2 2
r
R
dZ
J dJ
Y
O
X
1 2 2 2 ( R Z ) dZ 2 R
2
dm dl
2 L
dl
R
J C R dm R dl
R dl R 2R mR
2 2 L 2
又解: J R 2dm R 2 dm mR 2
J是可加的，所以若为薄圆为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转 动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
A
d
C M
这个结论称为平行轴定理。
右图所示刚体对经过棒端 且与棒垂直的轴的转动惯量 如何计算？(棒长为L、球半
mL
径为R）
mO
1 2 J L1 m L L 3
2 2 J o mo R 5
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R )
1 2 2 2 2 J m L L mo R mo ( L R ) 3 5
M 0 a 1 t (ln ) a M0 J
M 0 a e M0 at 1 M 0 (1 e J ) a
at J

例4、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转 动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的 角加速度和角速度。

（2）研究对象：刚体——理想模型 运动模式：刚体绕定轴的转动。 （3） 研究方法：是把质点力学的规律应用到组 成刚体的质点系。 质点→质点系→刚体
F ; v 平动、转动的类比： M ; ; ; mv ; J ; m J;
F ma
M z J
J r 2dm — 转动惯量
J ( mi ri2 )
i
刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia) 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半。
1 比较： E J 2 k 2
1 2 E k mv 2

二、转动惯量
对于离散型分布的刚体，其转动惯量为
J ( mi ri )
2 i
n


r mi M
对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成
J lim
n
2 2 m r r i i dm i 1 V
其中r是质量元到转轴的距离。
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量 与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
*刚体的质量 与转动惯量有关的因素： *质量的分布 *转轴的位置
O

定轴转动：各质元均作圆周
转轴
运动，其圆心都在一条固定 不动的直线（转轴）上。

刚体的一般运动
既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动
o vc
.

二、定轴转动的角量描述
P
X
参考 方向
P
Q


X X
转动平面
转轴
各质元的线速度、加速度一般不同，
但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体整体的运动用角量最方便。
3. 分析力和力矩; 4. 定转向,列方程。

一般方法：对有质点和刚体参加的系统，应用隔离体 方法。对质点：受力分析，应用牛顿第二定律；对刚 体：进行受力矩分析，应用转动定律,并由角量与线量 关系,列出几何补充方程. 例1 一个质量为M、半径为R的定 滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细 绳，绳的一端固定在滑轮边上，另 一端挂一质量为m的物体而下垂。 忽略轴处摩擦，求物体m由静止下 落高度h时的速度和此时滑轮的角 速度。
第二章 刚体和流体力学
谁滚得快些？

刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体.