7.2015高考预测试卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷(Y.P.M 预测第七试卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.姓名 分数第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(理)设i 是虚数单位,复数iai++21的实部与虚部相等,则实数a=( ) (A)3 (B)-3 (C)1 (D)-1 (文)i 是虚数单位,z 为z 的共轭复数,若z=i i 212-+,则zz=( ) (A)-1 (B)1 (C)-i (D)i2.(理)己知定义在上的奇函数f(x)满足f(x+5)=-f(x),若f(1)=1,f(2)=2,则f(18)=( )(A)2 (B)-2 (C)1 (D)-1 (文)若集合A={x|-1≤x1log 2≤-21,x ∈R},B={x||2x-7|≤3,x ∈R},则C R A ∩B=( ) (A)A (B)B (C)C R A (D)∅3.(理)在极坐标系中,点P 从(2,0)出发沿圆ρ=2cos θ逆时针方向运动3π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为( ) (A)(23,23) (B)(23,-23) (C)(3,6π) (D)(3,3π)(文)在直角坐标中,从点P(0,2)向圆x 2+y 2=4x 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) (A)2π (B)π (C)23π(D)2π4.(理)如图所示是求数列{a n }:a n =2n-1通项a n 的程序框图(算法流程图),图中空白框中应填入的内容为( ) (A)S=S+k (B)S=2S-1 (C)S=2S+1 (D)S=2S 开始 S=1,k=1,m=n k=k+1 k>n ？ 是 输出S 结束 否 (文)执行如图所示的程序框图(算法流程图),则输出的结果是( ) 开始 s=0,k=1 S 是有理数？否S=S+11++k k k=k+1 输出k 结束是(A)2 (B)3 (C)4 (D)55.(理)“a>2”是“方程||x-1|-2|=a 恰有二个相异实根”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (文)“0<a<1”是“函数f(x)=xa 1-,g(x)=ax+1,对任意的x,至少有一个的值为正数”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件6.(理)设非零向量a 、b 满足:|a |=3,|a +2b |=1,则|a +b |+|b |的最大值为( )(A)1 (B)3 (C)2 (D)23(文)在正方形ABCD 中,已知AB=2,M 为BC 的中点,若P 为正方形内(含边界)任意一点,AP =λAB +μAM ,则λ+μ的最大值是( )(A)1 (B)23 (C)2 (D)257.(理)设a,b 是夹角为300的异面直线,则满足条件“a ⊆α,b ⊆β,且α⊥β”的平面α,β( ) (A)不存在 (B)有且只有一对 (C)有且只有两对 (D)有无数对(文)某几何体中有一面积为13的三角形ABC,在该几何体的三视图的正视图、侧视图、俯视图中,△ABC 的投影分别是面积为3、x 、y(单位:cm 2)的三角形,则x+y 的最大值为( )(A)8 (B)15 (C)16 (D)858.(理)在△ABC 中,4sinBsinC-2cos(B-C)=1,M 为AC 的中点,BM=23,则AB+AC 的最大值为( )(A)43 (B)83 (C)47 (D)87(文)如果圆x 2+y 2=k 2至少覆盖函数f(x)=3sinkxπ的一个最大值点和一个最小值点,则k 的取值范围是( ) (A)|k|≥3 (B)|k|≥2 (C)|k|≥1 (D)1≤|k|≤29.(理)以抛物线y 2=4x 上的一点为M(1,2)直角顶点,作抛物线的两个内接直角三角形△MAB 与△MCD,则直线AB 与CD 的交点E 的坐标为( )(A)(5,-2) (B)(4,-2) (C)(5,-1) (D)(4,-1) (文)己知双曲线C:22a x -22b y =1的左、右顶点分别为A 、B,垂直于x 轴的直线交双曲线C 于P 、Q 两点,若AQ ⋅BP =0,则双曲线C 的离心率e=( )(A)2 (B)3 (C)2 (D)510.(理)4名乒乓球选手参加一次单打单循环赛(即每两名选手都赛且只赛一场,每场均决出胜负).赛后确定优秀选手:对于选手A 与B,若A 胜B(A 直接胜B),或A 间接胜B(即存在选手P,使得A 胜P 且P 胜B),则称A 优于B.若A 优于其他所有选手,则称A 为优秀选手.则赛后确定的优秀选手人数可能为( )(A)1,4 (B)1,3,4 (C)1,2,4 (D)1,2,3,4 (文)在过正方体两个顶点的所有直线中任取两条,则这两条直线成异面的概率是( ) (A)63627 (B)6329 (C)6331 (D)6334第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置)11.(理)在二项式(2x-x1)n的展开式中,若第5项是常数项,则n= (用数字作答)(文)方程sin(3πx)=x 3的实根个数为 .12.(理)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入x i (单位:千元)与月储蓄y i (单位:千元)的数据资料,算得∑=101i i x =80,∑=101i i y =20,∑=101i i i y x =184,∑=1012i i x =720.若该居民区某家庭月收入为8千元,预测该家庭的月储蓄为 千元.(文)函数f(x)对任意的x 满足:f(x+2)=-)(1x f ,且0≤x ≤1时,f(x)=log 2(x+1),则f(2015)= . 13.(理)若三个非零实数xy+yz+zx,x 2+y 2+z 2,(x+y+z)2成等比数列,则其公比q= . (文)若三个非零实数xy,x 2+y 2,(x+y)2成等比数列,则其公比q= .14.(理)在平面直角坐标系中,如果x 与y 都是整数,就称点(x,y)为整点,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥n y x y x 00(n ∈N +)的整点个数记为a n ,则a n = .(文)若满足等式:y=ax+1与不等式组:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+010101x y x y x 的实数对(x,y)有无数个,则实数a 的取值范围是 .15.(理)己知集合M 是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x ∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.关于集合M 给出下列命题:①若f(x)=a x(0<a<1),则f(x)∈M;②若f(x)=sin(πx),则f(x)∈M;③若f(x+21)=-f(x),则f(x)∈M;④若f(x)是周期为T 的周期函数,且g(x)∈M,则f(x)g(x)∈M;⑤若f(x)是周期为T(T>1)的周期函数,且g(x)∈M,则f(x)+g(x)∈M.其中正确的命题是 (写出所有正确命题的编号). (文)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)为不同的两点,直线l:ax+by+c=0,δ=cby ax cby ax ++++2211.给出下列命题:①对任意实数δ,点Q 不在直线l 上;②当δ=1时,直线PQ 平行于直线l;③当δ>1时,线段PQ 的延长线与直线l 相交;④当δ=-1时,直线l 过线段PQ 的中点;⑤当δ<-1时,线段PQ 的反向延长线与直线l 相交.则其中正确的命题是 (写出所有正确命题的编号).三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)16.(理)己知函数f(x)=2(2cos 22x ω-1)sin ωx+sin(2ωx+3π)在[0,6π]上单调,且对x ∈R,f(x)≤|f(6π)|恒成立.(Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)若α∈(125π,32π),且f(α)=-533,求cos2α的值. (文)在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长,c=3,a=2,tanB=CA AC cos 2cos 2sin sin +-.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)求△ABC 的面积.17.(理)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,己知∠ABC=450,AB=2,BC=22,SA=SB=3. (Ⅰ)证明:SA⊥BC; S(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值; C B(Ⅲ)求二面角B-AS-D的余弦值 D A(文)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图:(Ⅰ)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率;(Ⅱ)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2的列联表.并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？18.(理)己知函数f(x)=x axa2ln)1(-+-(a∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)求证:对任意实数b>e,方程x b=b x有满足0<x0<b的根x0;(文)如图,在四面体PABC中,∠BAC=∠BAP=∠CAP=60º,AB=AC=6,AP=32/2,过BC的中点D,且垂直于平面ABC P Q的直线交四面体PABC的外接球O于Q、E两点(Q与P在平面ABC的同侧). C (Ⅰ)求证:PQ∥平面ABC; D (Ⅱ)求球O的表面积; AB E19.(理)对任意正整数n,设a n 是关于x 的方程x 3+n 2x-1=0的实数根. (Ⅰ)求证:0<a n+1<a n <1; (Ⅱ)求证:1+n n <a 1+a 2+…+a n <23. (文)已知椭圆C:22ax +22by =1(a>b>0)的离心率e=21,长轴的左、右端点分别为A(-2,0)、B(2,0). (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线x=ty+1与椭圆C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在定直线上.20.(理)某养鸡场发现流行一种传染病,假定每只鸡的感染概率为0.2.现对10000只鸡进行抽血化验,以期查出所有病鸡. (Ⅰ)若按每组5只鸡进行分组,并把同组的5只鸡抽到的血混合在一起化验,若发现有问题,再分别对该组5只鸡逐只化验.求化验次数ξ1的数学期望E ξ1;(Ⅱ)若按每组4只鸡进行分组,并把同组的4只鸡抽到的血混合在一起化验,若发现有问题,再分别对该组4只鸡逐只化 验.求化验次数ξ2的数学期望E ξ2,比较E ξ1与E ξ2的大小,并说明其意义. (文)已知函数f(x)满足2f(x)+f(2-x)=3x 2-4x+4,g(x)=f(x)+alnx. (Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若∃x>0,使得g(x)≤0,求实数a 的取值范围.21.(理)已知椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)过A(1,23),且椭圆C 的离心率e=21. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆C 的四个顶点分别为A 1、A 2、B 1、B 2,点P 是椭圆C 上异于顶点的动点,直线A 1A 与PA 2交于点M,直线AB 1与PB 2交于点N,过点M 且平行于y 轴的直线与过点N 且平行于x 轴的直线交于点Q,证明:点Q 在某定直线上.(文)设数列{a n }的前n 项和S n =34a n -321 n +32,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求首项a 1与通项a n ; (Ⅱ)令数列{na 1}的前n 项和为T n ,求证:T n <32.2015年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷(Y.P.M 预测第七试卷)姓名 分数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(理)设i 是虚数单位,复数iai++21的实部与虚部相等,则实数a=( ) (A)3 (B)-3 (C)1 (D)-1 解:由i ai ++21的实部与虚部相等,设iai++21=b+bi ⇒1+ai=b(1+i)(2+i)⇒1+ai=b(1+3i)⇒b=1,a=3.故选(A). (文)i 是虚数单位,z 为z 的共轭复数,若z=i i 212-+,则zz=( ) (A)-1 (B)1 (C)-i (D)i 解:由z=i i 212-+=51(2+i)(1+2i)=i ⇒z =-i ⇒zz=-1.故选(A). 2.(理)己知定义在上的奇函数f(x)满足f(x+5)=-f(x),若f(1)=1,f(2)=2,则f(18)=( )(A)2 (B)-2 (C)1 (D)-1 解:由f(x+5)=-f(x)⇒f(x+10)=f(x)⇒f(18)=f(-2)=-f(2)=-2.故选(B). (文)若集合A={x|-1≤x1log 2≤-21,x ∈R},B={x||2x-7|≤3,x ∈R},则C R A ∩B=( ) (A)A (B)B (C)C R A (D)∅ 解:由A:-1≤x1log 2≤-21⇔-1≤-log x 2≤-21⇔21≤log x 2≤1⇔1≤log 2x ≤2⇔2≤x ≤4;B:|2x-7|≤3⇔-3≤2x-7≤3 ⇔2≤x ≤4⇒A=B ⇒C R A ∩B=∅.故选(D).3.(理)在极坐标系中,点P 从(2,0)出发沿圆ρ=2cos θ逆时针方向运动3π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为( ) (A)(23,23) (B)(23,-23) (C)(3,6π) (D)(3,3π)解:由圆ρ=2cos θ⇒x 2+y 2=2x ⇒圆心M(1,0);由∠QMx=3π⇒|OQ|=3,∠QOM=6π⇒Q(3,6π).故选(C).(文)在直角坐标中,从点P(0,2)向圆x 2+y 2=4x 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) (A)2π (B)π (C)23π(D)2π 解:由圆:(x-2)2+y 2=4的圆心M(2,0)⇒该圆夹在两条切线间的劣弧是圆的41⇒劣弧长=π.故选(B).4.(理)如图所示是求数列{a n }:a n =2n-1通项a n 的程序框图(算法流程图),图中空白框中应填入的内容为( ) (A)S=S+k (B)S=2S-1 (C)S=2S+1 (D)S=2S 开始 S=1,k=1,m=n k=k+1 k>n ？ 是 输出S 结束 否 解:由a n =2n-1⇒a n+1=2n+1-1=2(a n +1)-1⇒a n+1=2a n +1.故选(C).(文)执行如图所示的程序框图(算法流程图),则输出的结果是( ) 开始 s=0,k=1 S 是有理数？ 否S=S+11++k k k=k+1 输出k 结束是(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解:本题的实质是:求数列{a k }:a k =11++k k 的前k 项和S k ;由a k =11++k k =1+k -k ⇒S k =1+k -1∈Q ⇒k=3.故选(C).5.(理)“a>2”是“方程||x-1|-2|=a 恰有二个相异实根”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解:作y=|x-1|的图像①: y y y⇒y=|x-1|-2的图像②: O x⇒y=||x-1|-2|的图像③: O x O x由图③知 方程||x-1|-2| 图① 图② 图③ =a 恰有二个相异实根⇔a=0,或a>2.故选(A). (文)“0<a<1”是“函数f(x)=xa 1-,g(x)=ax+1,对任意的x,至少有一个的值为正数”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解:①当a=1时,f(x)=0(x ≠0),g(x)=x+1,不满足题意;②当a>1时,由f(x)与g(x)的图像知,不满足题意;③当a<1时,由f(x)与g(x)的图像知,a ≥0⇒0≤a<1.故选(A).6.(理)设非零向量a 、b 满足:|a |=3,|a +2b |=1,则|a +b |+|b |的最大值为( )(A)1 (B)3 (C)2 (D)23解:由|a |=3,|a +2b |=1⇒a 2=3,a 2+4ab +4b 2=1⇒2ab +2b 2=-1⇒|a +b |2+|b |2=(a +b )2+b 2=a 2+2ab +2b 2=2;由2||||b b a ++≤ 2||||22b b a ++=1⇒|a +b |+|b |≤2.故选(C).(文)在正方形ABCD 中,已知AB=2,M 为BC 的中点,若P 为正方形内(含边界)任意一点,AP =λAB +μAM ,则λ+μ的最大值是( )(A)1 (B)23 (C)2 (D)25 解:建立坐标系如图,则AB =(0,2),AM =(1,2), y 由AP =λAB +μAM =(μ,2λ+2μ)⇒P(μ, B M C 2λ+2μ)⇒0≤μ≤2,0≤2λ+2μ≤2⇒λ+μ P≤1.故选(A). A D x 7.(理)设a,b 是夹角为300的异面直线,则满足条件“a ⊆α,b ⊆β,且α⊥β”的平面α,β( ) (A)不存在 (B)有且只有一对 (C)有且只有两对 (D)有无数对解:任作过a 的平面α,可以作无数个.在b 上任取一点M,过M 作α的垂线.b 与垂线确定的平面β垂直于α.故选(D). (文)某几何体中有一面积为13的三角形ABC,在该几何体的三视图的正视图、侧视图、俯视图中,△ABC 的投影分别是面积为3、x 、y(单位:cm 2)的三角形,则x+y 的最大值为( )(A)8 (B)15 (C)16 (D)85 解:由面积为S 的三角形,在三视图中的面积分别为S 1、S 2、S 3,则S 12+S 22+S 32=S 2⇒9+x 2+y 2=169⇒x 2+y 2=160;又由2yx +≤ 222y x +=45⇒x+y ≤85.故选(D). 8.(理)在△ABC 中,4sinBsinC-2cos(B-C)=1,M 为AC 的中点,BM=23,则AB+AC 的最大值为( )(A)43 (B)83 (C)47 (D)87 解:由4sinBsinC-2cos(B-C)=1⇒4sinBsinC-2cosBcosC-2sinBsinC=1⇒2sinBsinC-2cosBcosC=1⇒-2cos(B+C)=1⇒ cosA=21;在△ABM 中,c 2+(2b )2-2c 2b cosA=BM 2⇒b 2+4c 2-2bc=48;令AB+AC=b+c=t ⇒7c 2-4tc+t 2-48=0⇒△=16t 2-28(t 2-48)≥0⇒t ≤47.故选(C).(文)如果圆x 2+y 2=k 2至少覆盖函数f(x)=3sinkxπ的一个最大值点和一个最小值点,则k 的取值范围是( ) (A)|k|≥3 (B)|k|≥2 (C)|k|≥1 (D)1≤|k|≤2 解:因f(x)=3sin2x π为奇函数,图像关于原点对称,所以圆x 2+y 2=k 2只要覆盖f(x)的一个最值点即可.令kx π=2π⇒f(x)距原点最近的一个最大值点P(2k ,3),由题意(2k )2+(3)2≤k 2⇒|k|≥2.故选(B). 9.(理)以抛物线y 2=4x 上的一点为M(1,2)直角顶点,作抛物线的两个内接直角三角形△MAB 与△MCD,则直线AB 与CD 的交点E 的坐标为( )(A)(5,-2) (B)(4,-2) (C)(5,-1) (D)(4,-1) 解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB:y=kx+b;由⎩⎨⎧=+=xy b kx y 42⇒ky 2-4y+4b=0⇒y 1+y 2=k 4,y 1y 2=k b 4;又由MA ⋅MB =0⇒(x 1-1)(x 2 -1)+(y 1-2)(y 2-2)=0⇒(421y -1)(422y -1)+(y 1-2)(y 2-2)=0⇒(y 1-2)(y 2-2)[161(y 1+2)(y 2+2)+1]=0⇒[y 1y 2-2(y 1+y 2)+4][y 1y 2+2(y 1+y 2)+20]=0⇒(k+b-2)((5k+b+2)=0;①当k+b-2=0时,直线AB 过点M,不合题意;②当5k+b+2=0时,直线AB 过定点(5, -2)⇒直线AB 与CD 的交点E(5,-2).故选(A). (文)己知双曲线C:22a x -22b y =1的左、右顶点分别为A 、B,垂直于x 轴的直线交双曲线C 于P 、Q 两点,若AQ ⋅BP =0,则双曲线C 的离心率e=( )(A)2 (B)3 (C)2 (D)5 解:设P(x 0,y 0),则220ax -220by =1,Q(x 0,-y 0)⇒AQ =(x 0+a,-y 0),BP =(x 0-a,y 0),由AQ ⋅BP =0⇒x 02-a 2-y 02=0⇒x 02=a 2+y 02⇒222a y a +-220b y =1⇒220a y -220b y =0⇒a=b ⇒离心率e=2.故选(A).10.(理)4名乒乓球选手参加一次单打单循环赛(即每两名选手都赛且只赛一场,每场均决出胜负).赛后确定优秀选手:对于选手A 与B,若A 胜B(A 直接胜B),或A 间接胜B(即存在选手P,使得A 胜P 且P 胜B),则称A 优于B.若A 优于其他所有选手,则称A 为优秀选手.则赛后确定的优秀选手人数可能为( )(A)1,4 (B)1,3,4 (C)1,2,4 (D)1,2,3,4 解:设有4名选手分别为A,B,C,D,①若A 胜其他所有选手,则A 是唯一的优秀选手⇒优秀选手人数为1;②若A 胜B,D,负C,B 胜C,D,D 胜C,则A,B 均为优秀选手⇒优秀选手人数为2;③若A 胜B,B 胜C,C 胜A,D 负A,B,C,则A,B,C 均为优秀选手⇒优秀选手人数为3;④若A 胜B,A 胜C,C 胜D,D 胜B,D 胜A,B 胜C,则A,B,C,D 均为优秀选手⇒优秀选手人数为4.故选(D).(文)在过正方体两个顶点的所有直线中任取两条,则这两条直线成异面的概率是( ) (A)63627 (B)6329 (C)6331 (D)6334解:过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1两个顶点的直线有AB,AC,AD,AA 1,…,C 1D 1,共有7+6+5+4+3+2+1=28条,这28条直线共组成28+27 +…+2+1=14×27对;以正方体的四个顶点为顶点的四面体共有C 84-6-6=58个,每个四面体中有3对异面直线⇒概率P=2714583⨯⨯=6329.故选(B). 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置)11.(理)在二项式(2x-x1)n的展开式中,若第5项是常数项,则n= (用数字作答)解:由T k+1=C n k (2x)n-k(-21-x)k⇒第5项=T 5=C n4(2x)n-4(-21-x)4=C n 4⋅2n-4⋅x n-6是常数项⇒n-6=0⇒n=6.(文)方程sin(3πx)=x 3的实根个数为 .解:由y=sin(3πx)与y=x 3均是奇函数,且y=sin(3πx)的最小正周期T=32,作y=sin(3πx)与y=x 3(x>0)的图像知有三个交点,且x=0是其根⇒实根个数为7.12.(理)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入x i (单位:千元)与月储蓄y i (单位:千元)的数据资料,算得∑=101i i x =80,∑=101i i y =20,∑=101i i i y x =184,∑=1012i i x =720.若该居民区某家庭月收入为8千元,预测该家庭的月储蓄为 千元.解:由n=10⇒x =8,y =2,∑=1012i i x -10x 2=80,∑=101i i i y x -10x y =24⇒bˆ=8024=0.3⇒回归方程:y-2=0.3(x-8),当x=8时,y=2. (文)函数f(x)对任意的x 满足:f(x+2)=-)(2015x f ,且0≤x ≤1时,f(x)=log 2(x+1),则f(2015)= . 解:由f(x+2)=-)(2015x f ⇒f(1)=-)1(2015-f ,f(x+4)=-)2(2015+x f =f(x)⇒f(-1)=-2015⇒f(2015)=f(-1)=-2015. 13.(理)若三个非零实数xy+yz+zx,x 2+y 2+z 2,(x+y+z)2成等比数列,则其公比q= . 解:由x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx ⇒q ≥1;又由(x+y+z)2=x 2+y 2+z 2+2(xy+yz+zx)⇒q 2=q+2⇒q=2. (文)若三个非零实数xy,x 2+y 2,(x+y)2成等比数列,则其公比q= . 解:由x 2+y 2≥2xy ⇒q ≥2;又由(x+y)2=x 2+y 2+2xy ⇒q 2=q+2⇒q=2.14.(理)在平面直角坐标系中,如果x 与y 都是整数,就称点(x,y)为整点,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥n y x y x 00(n ∈N +)的整点个数记为a n ,则a n = .解:设z=n-(x+y),由x+y ≤n ⇒z ≥0,x+y+z=n;所以,a n =不定方程x+y+z=n 的非负整数解的个数=不定方程(x+1)+(y+1)+ (z+1)=n+3的正整数解的个数=C n+22=2)1)(2(++n n . (文)若满足等式:y=ax+1与不等式组:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+010101x y x y x 的实数对(x,y)有无数个,则实数a 的取值范围是 .解:不等式组确定的平面区域是△ABC,其中A(1,0),B(1,2),C(0,1);直线l:y=ax+1恒过点C(0,1),直线l 与△ABC 区域有无数个交点⇒斜率a ∈[-1,1].15.(理)己知集合M 是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x ∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.关于集合M 给出下列命题:①若f(x)=a x(0<a<1),则f(x)∈M;②若f(x)=sin(πx),则f(x)∈M;③若f(x+21)=-f(x),则f(x)∈M;④若f(x)是周期为T 的周期函数,且g(x)∈M,则f(x)g(x)∈M;⑤若f(x)是周期为T(T>1)的周期函数,且g(x)∈M,则f(x)+g(x)∈M.其中正确的命题是 (写出所有正确命题的编号).解:①因0<x<1⇒f(x)=a x的图象与y=x 的图象有公共点,设a T=T,则f(x+T)=a x+T=a T a x=Ta x=Tf(x)⇒f(x)=a x∈M;②由f(x)=sin(πx)⇒f(x-1)=sin(πx-π)=-sin(πx)(T=-1)⇒f(x)∈M;③由f(x+21)=-f(x)⇒f(x+1)=-f(x+21)=f(x)(T= 1)⇒f(x)∈M;④由f(x+T)g(x+T)=f(x)[Tg(x)]=Tf(x)g(x)⇒f(x)g(x)∈M;⑤由f(x+T)+g(x+T)=f(x)+Tg(x)=Tf(x)+ Tg(x)⇒T=1⇒f(x)+g(x)∉M.故选①②③④.(文)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)为不同的两点,直线l:ax+by+c=0,δ=cby ax cby ax ++++2211.给出下列命题:①对任意实数δ,点Q 不在直线l 上;②当δ=1时,直线PQ 平行于直线l;③当δ>1时,线段PQ 的延长线与直线l 相交;④当δ=-1时,直线l 过线段PQ 的中点;⑤当δ<-1时,线段PQ 的反向延长线与直线l 相交.则其中正确的命题是 (写出所有正确命题的编号).解:①对任意实数δ,ax 2+by 2+c ≠0⇒点Q 不在直线l 上;由δ=cby ax c by ax ++++2211=22222211b a c by ax b a cby ax ++++++;②当δ=1时,ax 1+by 1+c 与ax 2+ by 2+c 同号⇒点P 、Q 在直线l 的同侧,且到直线l 的距离相等⇒直线MN 平行于直线l;③当δ>1时,点P 、Q 在直线l 的同侧,且点P 到直线l 的距离大于点Q 到直线l 的距离⇒线段PQ 的延长线与直线l 相交;④当δ=-1时,点P 、Q 在直线l 的异侧,且到直线l 的距离相等⇒直线l 过线段PQ 的中点;⑤当δ<-1时,点P 、Q 在直线l 的异侧⇒直线l 与线段PQ 相交.故选①②③④.三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)16.(理)己知函数f(x)=2(2cos 22x ω-1)sin ωx+sin(2ωx+3π)在[0,6π]上单调,且对x ∈R,f(x)≤|f(6π)|恒成立.(Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)若α∈(125π,32π),且f(α)=-533,求cos2α的值. 解:由f(x)=2(2cos22x ω-1)sin ωx+sin(2ωx+3π)=2cos ωxsin ωx+(21sin2ωx+23cos2ωx)=23sin2ωx+23cos2ωx= 3sin(2ωx+6π); (Ⅰ)由f(x)≤|f(6π)|⇒在x=6π处取得最值⇒sin(3πω+6π)=±1⇒3πω+6π=2k π+2π,或3πω+6π=2k π-2π⇒ω=6k+1,或ω=6k-2(k ∈Z);又由f(x)在[0,6π]上单调⇒2T =ωπ2≥6π⇒ω≤3⇒0<6k+1≤3,或0<6k-2≤3⇒k=0⇒ω=1;(Ⅱ)由α∈(125π,32π)⇒2α+6π∈(π,23π);由f(α)=-533⇒3sin(2α+6π)=-533⇒sin(2α+6π)=-53⇒cos(2α+6π)=-54⇒cos2α=cos[(2α+6π)-6π]=23cos[(2α+6π)+21sin(2α+6π)=-10334+. (文)在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长,c=3,a=2,tanB=CA AC cos 2cos 2sin sin +-.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)求△ABC 的面积. 解:(Ⅰ)由tanB=C A A C cos 2cos 2sin sin +-⇒B B cos sin =CA AC cos 2cos 2sin sin +-⇒sinBcos2A+sinBcosC=sinCcosB-sin2AcosB ⇒sinCcosB-sinBcosC=sinBcos2A+sin2AcosB ⇒sin(C-B)=sin(2A+B)⇒C-B=2A+B,或(C-B)+(2A+B)=π⇒C=2A+2B,或C+2A=π(此时C=π-2A⇒cosC=-cos2A ⇒已知中的分母=0,舍去)⇒3(A+B)=π⇒A+B=3π⇒C=32π. (Ⅱ)由A a sin =C c sin ⇒Asin 2=32sin3π⇒sinA=22⇒A=4π(由C 是钝角⇒A 是锐角)⇒sinB=sin(A+C)=sinAcosC+ cosAsinC=426-;由B b sin =A a sin ⇒b=226-⇒△ABC 的面积=21absinC=433-. 17.(理)四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD,己知∠ABC=450,AB=2,BC=22,SA=SB=3.(Ⅰ)证明:SA ⊥BC; S(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值; C B (Ⅲ)求二面角B-AS-D 的余弦值 D A 解:在△SAB 中,cos ∠ABS=33,由cos ∠ABCcos ∠SBC=cos ∠ABS ⇒cos ∠SBC=36.设BA =a ,BC =b ,BS =c ,|a |=2,|b |= 22,|c |=3,ab =4,bc =4,ca =2;(Ⅰ)因SA =a -c ⇒SA BC =(a -c )b =ab -bc =0⇒SA ⊥BC ⇒SA ⊥BC;(Ⅱ)SD =a +b -c ,设平面SAB 的法向量m =x a +y b +z c ,由ma =0,mc =0⇒2x+2y+z=0,2x+4y+3z=0,令z=2⇒x=1,y=-2⇒m =a -2b +2c ⇒|SD |=11,|m |=22,m SD =-4⇒cos<m ,SD >=-1122⇒直线SD 与平面SAB 所成的角θ满足sin θ=1122; (Ⅲ)设平面SAD 的法向量n =x a +y b +z c ,由n AD =0,n AS =0⇒nb =0,n (c -a )=0⇒2x+4y+z=0,y-z=0,令z=2⇒y=2,x=-5⇒n = -5a +2b +2c ⇒|n |=213,mn =(a -2b +2c )(-5a +2b +2c )=-8⇒cos<m ,n >=-1326(文)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组: [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),分别加以 统计,得到如图所示的频率分布直方图:(Ⅰ)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽 取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率;(Ⅱ)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2的列联表.并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 解:(Ⅰ)由样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名⇒样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05=3(人),记为a,b,c,25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为x,y,则随机抽取2名有:{a,b},{a,c},{a,x},{a,y},{b,c},{b,x},{b,y},{c,x},{c,y},{x,y},共10种,其中,至少抽到一名“25周岁以下组”工人的计7种⇒概率P=0.7;(Ⅱ)在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手40× 0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:k 2=70304060)45152515(1002⨯⨯⨯⨯-⨯=1425≈1.79<2.706⇒没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. 18.(理)己知函数f(x)=xa x a 2ln )1(-+-(a ∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)求证:对任意实数b>e,方程x b=b x有满足0<x 0<b 的根x 0; 解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),)(x f '=2ln )1(1x xa --;①当a=1时,)(x f '>0⇒f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无递减区间;②当a>1时,)(x f '=-21x a -(lnx-11-a )⇒f(x)的单调递增区间为(0,11-a e ),递减区间为(11-a e ,+∞);③当0<a<1时,)(x f '=-21x a -(lnx-11-a )⇒f(x)的单调递增区间为(11-a e ,+∞),递减区间为(0,11-a e ); (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a=2时,f(x)=xxln 在区间为(0,e)内单调递增, y 在区间为(e,+∞)内单调递减,f(x)的图像如图: 方程x b=b x⇔blnx=xlnb ⇔x x ln =bbln ⇔f(x)=f(b); O e b x 由b>e ⇒f(b)=b b ln >0,且f(b)=b b ln <f(e)=e 1⇒b b ln ∈(0,e 1); 而f(1)=0,f(e)=e1;令g(x)=f(x)-f(b),则g(1)<0,g(e)>0⇒函数g(x)=f(x)-f(b)存在零点x 0∈(1,e).故对任意实数b>e,方程x b=b x有满足0<x 0<b 的根x 0.(文)如图,在四面体PABC 中,∠BAC=∠BAP=∠CAP=60º,AB=AC=6,AP=32/2,过BC 的中点D,且垂直于平面ABC P Q 的直线交四面体PABC 的外接球O 于Q 、E 两点(Q 与P 在平面ABC 的同侧). C (Ⅰ)求证:PQ ∥平面ABC; D (Ⅱ)求球O 的表面积; A解:(Ⅰ)设△ABC 的外心为F,则OF ⊥平面ABC;在边 B 长为6的正△ABC 中,AD=33,外接圆半径r=23⇒FD=3;作PH ⊥平面ABC 于H,由∠BAP=∠CAP ⇒ E点H 在AD 上,且∠BAD=300,由折叠角公式:cos ∠BAD⋅cos ∠PAD=cos ∠PAB ⇒cos ∠PAD=33⇒sin ∠PAD=36⇒AH=APsin ∠PAD=223⋅36=3⇒FH=3⇒FD=RH ⇒QD=PH ⇒四边形PQDH 是矩形⇒PQ ∥AD ⇒PQ ∥平面ABC;(Ⅱ)取AP 的中点G,则AG=423,OG ⊥AG ⇒A 、F 、O 、G 四点共圆;由FG 2=AF 2+AG 2-2AF ⋅AGcos ∠PAD=8216105-⇒四面体PABC 的外接球O 的半径R=OA=四边形AFOG 的外接圆直径=△AFG 的外接圆直径=A FG sin =32FG ⇒球O 的表面积S=4πR 2= 4π(32FG)2=316πFG 2=316π⋅8216105-=3232210-π. 19.(理)对任意正整数n,设a n 是关于x 的方程x 3+n 2x-1=0的实数根.(Ⅰ)求证:0<a n+1<a n <1; (Ⅱ)求证:1+n n <a 1+a 2+…+a n <23. 解:(Ⅰ)令f(x)=x 3+n 2x-1,则f(0)=-1<0,f(1)=n 2>0,且f '(x)=3x 2+n 2>0⇒f(x)在区间(0,1)内单调递增⇒f(x)有唯一零点a n 在区间(0,1)内;由a n 3+n 2a n -1=0,a n+13+(n+1)2a n+1-1=0⇒a n+13-a n 3+(n+1)2a n+1-n 2a n =0;若a n+1≥a n >0,则a n+13≥a n 3,(n+1)2a n+1>n 2a n⇒a n+13-a n 3+(n+1)2a n+1-n 2a n >0,这与a n+13-a n 3+(n+1)2a n+1-n 2a n =0矛盾,故a n+1<a n ⇒0<a n+1<a n <1;(Ⅱ)令数列{b n }的前n 项和=1+n n ,则b 1=21,当n ≥2时,b n =1+n n -n n 1-=)1(1+n n ⇒b n =)1(1+n n ;由0<a n <1⇒a n 3<a n ;又由a n 3+ n 2a n -1=0⇒a n +n 2a n -1>0⇒a n >112+n ,而112+n ≥)1(1+n n ⇒a n >b n ⇒a 1+a 2+…+a n >b 1+b 2+…+b n =1+n n ⇒a 1+a 2+…+a n >1+n n ; 当n=1时,由f(x)=x 3+x-1⇒f(43)=(43)3+43-1=6411>0⇒a 1<43;当n ≥2时,由0<a n <1和a n 3+n 2a n -1=0⇒a n =231na n -<21n < n n )1(1-=11-n -n1⇒a 1+a 2+…+a n <43+221+(21-31)+(31-41)+…+(11-n -n 1)=1+21-n 1<23.(文)已知椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的离心率e=21,长轴的左、右端点分别为A(-2,0)、B(2,0). (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线x=ty+1与椭圆C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在定直线上. 解:(Ⅰ)由e=221a b -=21⇒22ab =43;又由a=2⇒b 2=3⇒椭圆C:42x +32y =1; (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由⎩⎨⎧=++=1243122y x ty x ⇒(3t 2+4)y 2+6ty-9=0⇒y 1+y 2=-4362+t t ,y 1y 2=-4392+t ;由直线AM:y=211+x y (x+ 2),直线BN:y=222-x y (x-2)⇒211+x y (x P +2)=222-x y (x P -2)⇒y 1(ty 2-1)(x P +2)=y 2(ty 1+3)(x P -2)⇒x P =2⋅212121332y y y y y ty ++-=2⋅ 221221212)(4)(2y y y y y y y ty ++++-=2⋅2222243644312y t t y t t ++-++-=4⇒点P 在定直线x=4上.20.(理)某养鸡场发现流行一种传染病,假定每只鸡的感染概率为0.2.现对10000只鸡进行抽血化验,以期查出所有病鸡. (Ⅰ)若按每组5只鸡进行分组,并把同组的5只鸡抽到的血混合在一起化验,若发现有问题,再分别对该组5只鸡逐只化验.求化验次数ξ1的数学期望E ξ1;(Ⅱ)若按每组4只鸡进行分组,并把同组的4只鸡抽到的血混合在一起化验,若发现有问题,再分别对该组4只鸡逐只化 验.求化验次数ξ2的数学期望E ξ2,比较E ξ1与E ξ2的大小,并说明其意义.解:(Ⅰ)设X 为一组5只鸡中病鸡的个数,则X ～B(5,0.2)⇒5只鸡中无病鸡的的概率=0.85;设Y 为一组5只鸡中的化验次数,则Y 的取值为1,6,且P(Y=1)=0.85,P(Y=6)=1-0.85⇒EY=1×0.85+6(1-0.85)⇒化验次数ξ1的期望值E ξ1=2000×EY=10000(1+51-0.85); (Ⅱ)同理可得E ξ2=10000(1+41-0.84)⇒E ξ1-E ξ2=10000(0.05-0.2×0.84)>0⇒E ξ1>E ξ2;说明采用每组4只鸡进行分组比每组5只鸡进行分组进行化验经济.(文)已知函数f(x)满足2f(x)+f(2-x)=3x 2-4x+4,g(x)=f(x)+alnx. (Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若∃x>0,使得g(x)≤0,求实数a 的取值范围.解:(Ⅰ)由2f(x)+f(2-x)=3x 2-4x+4⇒2f(2-x)+f(x)=3(2-x)2-4(2-x)+4=3x 2-8x+8⇒2[(3x 2-4x+4)-2f(x)]+f(x)=3x 2-8x+8⇒f(x)=x 2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=x 2+alnx ⇒g '(x)=2x+x a =x 2(x 2+2a ); ①当a=0时,g(x)=x 2,∀x>0,g(x)>0,不合题意;②当a>0时,g '(x)>0⇒g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=1>0,取正整数n,使得nen 21⋅<a,则g(e -n )=e -2n -na<e -2n-nnen 21⋅=0⇒∃x>0,使得g(x)≤0;③当a<0时,g '(x)=x 2(x+2a -)(x-2a-)⇒ g(x)的最小值=g(x)的极小值=g(2a -)=-2a +aln 2a -;所以,∃x>0,使得f(x)≤0⇔g(x)的最小值≤0⇔-2a +aln 2a-≤0⇔1-2ln 2a -≤0⇔ln 2a-≥21⇔2a-≥21e ⇔-2a ≥e ⇔a ≤-2e.综上,实数a 的取值范围是(-∞,-2e]∪(0,+∞). 21.(理)已知椭圆C:22ax +22by =1(a>b>0)过A(1,23),且椭圆C 的离心率e=21. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆C 的四个顶点分别为A 1、A 2、B 1、B 2,点P 是椭圆C 上异于顶点的动点,直线A 1A 与PA 2交于点M,直线AB 1与PB 2交于点N,过点M 且平行于y 轴的直线与过点N 且平行于x 轴的直线交于点Q,证明:点Q 在某定直线上. 解:(Ⅰ)由题知,21a +249b =1,e=221a b -=21⇒a 2=4,b 2=3⇒椭圆C:42x +32y 1; (Ⅱ)因A 1(-2,0),A 2(2,0),B 1(0,-3),B 2(0,3),设P(x 0,y 0),直线AP:x=ky+m,则23k+m=1,x 0=ky 0+m;由⎩⎨⎧=++=124322y x m ky x ⇒ (3k 2+4)y 2+6kmy+3m 2-12=0⇒23y 0=4312322+-k m ⇒y 0=43)4(222+-k m ;由直线A 1A:y=21(x+2),PA 2:y=200-x y (x-2);令21(x+2)=200-x y (x -2)⇒x M =22)22(20000----y x y x =-2⋅)2()2()2()2(00-+--++m y k m y k =-2⋅)2(3)2(2)2(3)4(200-++--+-m y m m y m =-2⋅)43)(2(3)4)(2(4)43)(2(3)4)(4(42222+-+-+-+-+--k m m m k m m m =-2⋅)132)(2(4)4)(2(4)132)(2(4)4)(4(42222+--+-+-+--+--m m m m m m m m m m =-2)132()2()132()2)(4(222+-++-+-++-m m m m m m m =m 4;由直线AB 1:y=2323+x-3,PB 2:y=003x y -x +3;令2323+x-3=003x y -x+3⇒x=)3(2)323(34000--+y x x ⇒y N =2323+⋅)3(2)323(34000--+y x x -3=-m k 3;设Q(x, y),则x=m 4,y=-m k 3,代入23k+m=1得:x+2y=4⇒点Q 在某定直线x+2y=4上.(定直线x+2y=4恰是椭圆C 在A 处的切线).(文)设数列{a n }的前n 项和S n =34a n -321+n +32,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求首项a 1与通项a n ; (Ⅱ)令数列{na 1}的前n 项和为T n ,求证:T n <32.解:(Ⅰ)在S n =34a n -321+n +32中,令n=1得:S 1=34a 1-34+32,并由a 1=S 1得a 1=S 1=2;又由S n =34a n -321+n +32…①⇒S n+1=34a n+1-322+n +32…②,②-①得:S n+1-S n =34a n+1-34a n -322+n +321+n ⇒a n+1=34a n+1-34a n -321+n ⇒a n+1=4a n +2n+1⇒114++n na =n n a 4+121+n ⇒令b n =nn a 4,则b 1=21,b n+1=114++n n a ,所以,b n+1-b n =121+n ⇒b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+(b 4-b 3)+…+(b n -b n-1)=21+[(21)2+(21)3+(21)4+…+(21)n] =1-(21)n ⇒a n =4n [1-(21)n ]=4n -2n;(Ⅱ)令f(n)=11a +21a +…+n a 1+n a 4,则f(n+1)-f(n)=11+n a +14+n a -n a 4=11+n a -143+n a ;令f(n+1)-f(n)≤0⇒11+n a -143+n a ≤0⇒a ≥31⋅111244+++-n n n ;而111244+++-n n n =1+1211-+n 单调递减⇒111244+++-n n n ≤34⇒a ≥94⇒f(n)=11a +21a +…+n a 1+1491-⋅n 单调递减⇒f(n)≤f(1)=1811<32⇒T n <32.。