matlab第六讲

>>clear; >>a=[1 -1 1 -1; -1 1 1 -1;2 -2 -1 1];b=[1;1;-1]; >>x0=a\b %非齐次方程的一个特解 >> X1=null(a) %齐次方程的通解 exno64
一、Matlab的线性方程组求解 Matlab的线性方程组求解
结果为： x0 =
X1 =
ans =
从而通解为 x1=x2,x3=x4+1,x2,x4为 自由变量。
-1 0 0 1 0 -1 0 1
1 0
exno63
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、Matlab的线性方程组求解 Matlab的线性方程组求解
另外一种方法用null命令求齐次方程组的一个基础解系。 由于非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上非齐次方 程的一个特解，故可用如下方法：
二、数据分析
1.最大值和最小值 m a x ( x ) 返回x中最大的元素值，如果x是复数，则返 回m a x ( a b s ( x ) )值。 m a x ( A ) 返回一个行向量，它的第i个元素是A中第i 列的最大的元素；如果A为复数时，则返回m a x ( a b s ( A ) )值。 [ y , i n d ] = m a x ( A )返回一个行向量，它的第i个元 素是A中第i列的最大的元素；并在行向量i n d中保存 每列的最大数的行下标。 m a x ( A , B ) 返回一个和A、B相同维数的矩阵，每一 元素都是在A和B中的相同位置上是最大的元素。
Matlab中主要用inv,null分别求矩阵的逆和齐次方程组的基 础解系。 例1
x + 2 y = 23 解方程组 4 x − 3y = 2
exno61
如果用inv命令也可
>>clear; >>A=[1 2;4 -3];b=[23;2]; >>x=A\b %左除法 （x,y）=6.6364,8.1818
if rank(A)==rank([a，b]) %方程组相容 ， 方程组相容 if rank(A)==m x=A\b； ； else %方程组有无穷多个解，基础解系 方程组有无穷多个解， 方程组有无穷多个解 %有唯一解 有唯一解
disp('原方程组有无穷多个解，其齐次方程组的基础解系为 ，特解 原方程组有无穷多个解，其齐次方程组的基础解系为y， 原方程组有无穷多个解 为x')； ； y=null(A，'r')； ， ； x=A\b； ；
的解。 的解。
程序如下： 程序如下： 在Matlab的命令窗口中直接输 的命令窗口中直接输 入以下命令： 入以下命令：
exno65
一、Matlab的线性方程组求解 Matlab的线性方程组求解
从结果中y=[ ]，说明该方程组只有唯一的解。为了检 从结果中 ，说明该方程组只有唯一的解。 验这一结果， 的命令窗口中输入命令： 验这一结果，在Matlab的命令窗口中输入命令： 的命令窗口中输入命令 >>A*x 运行结果： 运行结果： ans= 4 6 12 6 说明所求得的结果满足原方程组， 是正确的。 说明所求得的结果满足原方程组，结果是正确的。
0 0 原方程组的通解为：
0.7071 0.7071
0.0000 0.0000
1 ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (0,0.0000 k1 (0.7071,0.7071,0,0) 0,1,0) + 0.7071
+ k 2 (0,0,0.7071,0.7071) 0 0.0000
一、Matlab的线性方程组求解 Matlab的线性方程组求解
end else 乘法解 %方程组不相容，给出最小二 方程组不相容， 方程组不相容
disp('方程组的最小二乘法解是：')； 方程组的最小二乘法解是： ； 方程组的最小二乘法解是 x=A\b； ； end else %齐次方程组 齐次方程组 %列满秩 列满秩 %零解 零解 disp('方程组有无穷多个解， disp('方程组有无穷多个解，基 方程组有无穷多个解 础解系为x') x')； 础解系为x')； =null(A， ')； x=null(A，'r')； end end return
if rank(A)>=n x=zero(m，1) ， else
linesolution
一、Matlab的线性方程组求解 Matlab的线性方程组求解
例5 求下列方程组
2x1+2x2−x3+x4=4 4x1+3x2−x3+2x4=6 8x1+5x2−3x3+4x4=12 3x1+3x2−2x3+2x4=6 >>A=[2，2，−1，1；4，3，−1，2；8， ， ， ， ； ， ， ， ； ， 5，−3，4；3，3，−2，2]； ， ， ； ， ， ， ； >>b=[4，6，12，6]'； ， ， ， ； >>[x，y]=linesolution(A，b) %调用 ， ， 调用 自定义函数文件 运行结果： 运行结果： x= 1.00000000000000 1.00000000000000 −1.00000000000000 −1.00000000000000 y= []
一、Matlab的线性方程组求解 Matlab的线性方程组求解
计算表明，系数矩阵和增广矩阵的秩都是2，小于变量的个 数4，说明原方程组有无穷多组解。有几种方法求原方程组 的通解。一种是用rref命令化为行最简形式 行最简形式求解。 行最简形式
>>clear; >>a=[1 -1 1 -1; -1 1 1 -1;2 -2 -1 1];b=[1;1;-1]; >>rref([a,b])
x1 − x 2 + x 3 − x 4 = 1 − x + x + x − x = 1 例4 求方程组 的通解。 1 2 3 4 2 x1 − 2 x 2 − x 3 + x 4 = −1
我们首先看方程组解的结构，计算系数矩阵和增广矩阵的秩。
>>clear; >>a=[1 -1 1 -1; -1 1 1 -1;2 -2 -1 1];b=[1;1;-1]; >>rank(a) %系数矩阵的秩 >>rank([a,b]) %增广矩阵的秩 exno62
Matlab语言程序设计
理学院
徐屹
东北电力大学
Northeast Dianli College
第六讲 线性方程组和数据分析
1
线性方程组求解
2
数据分析
一、Matlab的线性方程组求解 Matlab的线性方程组求解 1、线性方程组解的结构
线性方程组的解可能出现三种情形：无解、有唯一解和 有无穷多组解。 这主要取决于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等， 秩与变量个数是否相等，具体地： 若 R (A) ≠
一、Matlab的线性方程组求解 Matlab的线性方程组求解
根据上面的讨论， 根据上面的讨论 ， 就可以设计出求解线性方程组的 一般函数了。函数文件为如下形式： 一般函数了。函数文件为如下形式：
function[x，y]=linesolution(A，b) ， ， [m，n]=size(A)；y=[ ]； ， ； ； if norm(b)>0 %非齐次方程组 非齐次方程组
>>clear; >>A=[1 2; -2 -4];b=[1;-2]; >>x=A\b x=inf %说明不能直接 求解
如果用
>>clear; >>A=[1 2; -2 -4;0 0];b=[1;-2;0]; >>x=A\b 仍可求出一个特解 (x,y)=(0,0.5000)
一、Matlab的线性方程组求解 Matlab的线性方程组求解
>>clear; >>A=[1 2 1;3 -2 1];b=[2;2]; >>x=A\b （x,y,z）=(1,0.5,0)
一、Matlab的线性方程组求解 Matlab的线性方程组求解
x + 2y = 1 的一个特解。 例3 求奇异方程组 的一个特解。 − 2 x − 4 y = −2
R (A / b) ，则线性方程组无解；
若 R ( A ) = R ( A / b) = n （n为变量个数），则线性方程组 有唯一解： 若 R (A) = R (A / b) < n ，则线性方程组有无穷多组解。
一、Matlab的线性方程组求解 Matlab的线性方程组求解 2、线性方程组求解的matlab命令 、线性方程组求解的 命令
二、数据分析
max(A , k)将A中小于k的数换成k。 m i n ( x ) 返回向量x中最小的元素。该命令关于矩阵 的操作和m a x一样，如果x是复数，则返回m i n ( a b s ( x ) )值。
二、数据分析 1）查找下面数列x的最大值。 例5： ： x=[3 5 9 6 1 8] % 产生数列x x= 3 5 9 6 1 8 y=max(x) % 查出数列x中的最大 值赋予y y= 9 [y,k]=max(x) % 查出数列x中的最大值 及其该元素的位置赋予y，k y= 9 l= 3
一、Matlab的线性方程组求解 Matlab的线性方程组求解
①当rank(A)=rank([A，B])=n时，方程组有唯一的解： ， 时 方程组有唯一的解： x=A\b或x=pinv(A)*b。 或 。 ② 当 rank(A)=rank([A，B])＜n时，方程组有无穷多个解， ， ＜ 时 方程组有无穷多个解， 其通解由一个特解和对应的齐次方程组Ax=0的通解组成。 的通解组成。 其通解由一个特解和对应的齐次方程组 的通解组成 可以用A\b求出方程组的一个特解，用null(A，'r')求出该 求出方程组的一个特解， 可以用 求出方程组的一个特解 ， 求出该 方程组所对应的齐次方程组的基础解系， 方程组所对应的齐次方程组的基础解系 ， 基础解系中包 个线性无关的解向量。 含n−rank(A)个线性无关的解向量。 个线性无关的解向量 ③当rank(A)＜rank([A，B])n时，方程组无解，即没有 ＜ ， 时 方程组无解， x使得 使得Ax=b。应用向量范数理论即没有 ， 使得成 使得 。 应用向量范数理论即没有x，使得成||Axb||2=0。由此可以想到，是否有 ，使得 。由此可以想到，是否有x，使得||Ax-b||2 取最小 值 ， 这 个 最 小 值 问 题 是 有 解 的 ， 其 解 为 x=A\b 或 x=pinv(A)*b，即A的伪逆矩阵与 的乘积。 的伪逆矩阵与b的乘积 ， 的伪逆矩阵与 的乘积。