七年级数学(沪科版)上册分层训练：3.3 二元一次方程组及其解法

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沪科版数学七年级上册(基础练习)3.3《二元一次方程组及其解法》

《3.3 二元一次方程组及其解法》基础练习1. 有下列方程组：①{xy =1x +y =2；②{x −y =31x +y =1；③{2x +z =13x −y =15；④{x =5x 2+y 3=7；⑤{x +π=3x −y =1，其中二元一次方程组有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 用代入法解方程组{x =2y ， ①y −x =3，② 下列说法正确的是( ).A ．直接把①代入②，消去yB ．直接把①代入②，消去xC ．直接把②代入①，消去yD ．直接把②代入①，消去x3. 用代入法解方程组{3x +4y =2， ①2x −y =5， ② 比较合理的变形是( ).A.由①得x ＝2−4y 3B.由①得y ＝3−2x 4C.由②得x ＝5＋y 2D.由②得y ＝2x －54. 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是( ). A ．1 B ．3 C ．－3 D ．－15. 下列用代入法解方程组{3x −y =2， ①3x =11−2y ， ② 的步骤，其中最简单的是(). A.由①，得x ＝y+23 ③，把③代入②，得3×y+23＝11－2yB.由①，得y ＝3x －2③，把③代入②，得3x ＝11－2(3x －2)C.由②，得y ＝11−x 2 ③，把③代入①，得3x －11−x 2＝2D.把②代入①，得11－2y －y ＝2(把3x 看成一个整体)6. 已知①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，3x －5y ＝9；②⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝7，3x ＋2y ＝10；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，3x －4y ＝1；④⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝9，4x －3y ＝7.四个方程组，比较适宜的解法分别是( ).A ．①②用代入法，③④用加减法B ．②③用代入法，①④用加减法C ．①③用代入法，②④用加减法D ．②④用代入法，①③用加减法7. 解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x －7y ＝－10，①6x ＋5y ＝38②消元时，下面的方法中，计算比较简便的是( ). A ．用代入法，将x ＝7y 6－53代入②B ．用加减法，将①－②消去xC ．用代入法，将y ＝−6x 5＋385代入①D ．用加减法，将②－①消去y8. 用加减法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x －y ＝－1，消x ，消y 分别用( ).A ．加法，加法B ．加法，减法C ．减法，加法D ．减法，减法9. 下列各组数中，不是方程3x －2y －1＝0的解是( ).A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝2，y ＝52C ．x ＝0，y ＝−12D ．x ＝2，y ＝110. 二元一次方程组{x +2y =10y =2x 的解是( ).A ．{x =4y =3B ．{x =3y =6 C ．{x =2y =4 D ．{x =4y =211. 解方程组：{x +y =4，2x −3y =3.12. 用代入法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝－19，①x ＋5y ＝1；② (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，①y ＋14＝x ＋23.②13. 用加减消元法解下列方程组：。

(沪科版)七年级数学上册专题复习二元一次方程组及其解法例题与解析

（沪科版）七年级数学上册专题复习二元一次方程组及其解法例题与解析1．二元一次方程组 (1)二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程．注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy ＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2x＋y ＝5中2x不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．(2)二元一次方程组①联立在一起的几个方程，称为方程组．②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝1，y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.【例1－1】下列方程中，是二元一次方程的个数是( )． ①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y2＝1；④2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m 3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.答案：D【例1－2】下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＝5D ．⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y2＝2y ，y ＝23x解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.答案：A2．二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75的解．谈重点理解二元一次方程组的解(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．【例2】二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝4C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2解析：选项A ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6＝4，右边＝4，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程②得，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程②的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.答案：B 3．代入消元法 (1)消元思想二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．(2)代入消元法的概念从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．解技巧用代入法解二元一次方程组(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解．谈重点运用代入法需注意的问题运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．【例3－1】已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝12x－3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .答案：12x －3 6＋2y【例3－2】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝6，①x ＋4y ＝－15.②分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．解：由②，得x ＝－15－4y ，③ 把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6，解得y ＝－3，把y ＝－3代入③，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3.4．加减消元法 (1)加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．析规律解二元一次方程组的方法(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．【例4】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21，解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8，y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．解二元一次方程组的策略解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．【例5－1】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＝y ＋5，5y －1＝3x ＋5.分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．解：原方程组化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.【例5－2】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．解：①＋②，得100x ＋100y ＝200，化简，得x ＋y ＝2， ③于是原方程变为⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①x ＋y ＝2，③由③，得x ＝2－y ， ④把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112， 106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.6.构造二元一次方程组解题常见的考查方式有：(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b 的解，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b＝0.(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．解技巧用整体代入法解二元一次方程组当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．【例6－1】已知2ay ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1【例6－2】已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m －1y ＝2，nx ＋y ＝1的解，则m ＋n 的值是__________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m －1y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④由③和④可分别求出m ，n 的值为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0.所以m ＋n ＝－1＋0＝－1. 答案：－1【例6－3】已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.7．求二元一次方程的正整数解任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的．一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．析规律注重实际问题中的隐含条件生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．【例7】甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解．解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)．用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y3，当y ＝1时，x ＝11；当y ＝4时，x ＝6；当y ＝7时，x ＝1. 原方程所有的正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝1.答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本．8.列方程组解决实际问题(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．【例8】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360.答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．。

沪科版七年级上册数学二元一次方程组及其解法例题与解析

3.3 二元一次方程组及其解法1．二元一次方程组 (1)二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程．注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy ＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2x＋y ＝5中2x不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．(2)二元一次方程组①联立在一起的几个方程，称为方程组．②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝1，y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.【例1－1】下列方程中，是二元一次方程的个数是( )． ①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y2＝1；④2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m 3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.答案：D【例1－2】下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＝5D ．⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y2＝2y ，y ＝23x解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.答案：A2．二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75的解．谈重点理解二元一次方程组的解(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．【例2】二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝4C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2解析：选项A ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6＝4，右边＝4，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程②得，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程②的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.答案：B 3．代入消元法 (1)消元思想二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．(2)代入消元法的概念从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．解技巧用代入法解二元一次方程组(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解．谈重点运用代入法需注意的问题运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．【例3－1】已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝12x－3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .答案：12x －3 6＋2y【例3－2】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝6，①x ＋4y ＝－15.②分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．解：由②，得x ＝－15－4y ，③ 把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6，解得y ＝－3，把y ＝－3代入③，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3.4．加减消元法 (1)加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．析规律解二元一次方程组的方法(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．【例4】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21，解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8，y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．解二元一次方程组的策略解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．【例5－1】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －1y ＋5，5y －13x ＋5.分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．解：原方程组化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.【例5－2】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．解：①＋②，得100x ＋100y ＝200，化简，得x ＋y ＝2， ③于是原方程变为⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①x ＋y ＝2，③由③，得x ＝2－y ， ④把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112， 106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.6.构造二元一次方程组解题常见的考查方式有：(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b的解，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b＝0.(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．解技巧用整体代入法解二元一次方程组当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．【例6－1】已知2ay ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1【例6－2】已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2xm －1y ＝2，nx ＋y ＝1的解，则m ＋n 的值是__________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2xm －1y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④由③和④可分别求出m ，n 的值为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0.所以m ＋n ＝－1＋0＝－1. 答案：－1【例6－3】已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.7．求二元一次方程的正整数解任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的．一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．析规律注重实际问题中的隐含条件生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．【例7】甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解．解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)．用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y3，当y ＝1时，x ＝11；当y ＝4时，x ＝6；当y ＝7时，x ＝1. 原方程所有的正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝1.答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本． 8.列方程组解决实际问题(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．【例8】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360.答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．。

沪科版七年级数学上册第三章 3.3 二元一次方程组及其解法教案设计

3.3 二元一次方程组及其解法第1课时二元一次方程组【教学目标】【知识与技能】1.了解二元一次方程和它的解的概念，了解二元一次方程组的概念.2.会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程组表示出来.3.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，同时培养学生观察、归纳、概括能力.【过程与方法】从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组的概念，并通过各种师生活动加深学生对“二元一次方程”和“二元一次方程组”的概念的理解；并使学生在解决问题的过程中经历知识的产生过程.【情感态度】从学生的生活实际提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生养成关注身边的事例、关心他人的习惯，培养一种社会责任感.【教学重点】重点是二元一次方程组的意义和二元一次方程组的概念.【教学难点】难点是列出简单的二元一次方程组.【教学过程】一、情境导入,初步认识【情境1】在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？【情境2】实物投影，并呈现问题：昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生设两个未知数，从而得出二元一次方程.情境1中若设老牛驮x 个包裹，小马驮y 个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：x+1=2(y-1).情境2中若设有x 个成年人，有y 个儿童，亦可以得到方程x+y=8和5x+3y=34.【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出具有两个未知数的方程，为后续关于二元一次方程的讨论学习提供了素材，同时，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1.二元一次方程概念问题1什么是二元一次方程？上面各方程是二元一次方程吗？问题2上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？【教学说明】学生通过回顾旧知识，在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.2.二元一次方程组概念问题1上面的两方程x-y=2,x+1=2(y-1)中的x 含义相同吗？y 呢？它们分别表示什么？x+y=8和5x+3y=34中的x 含义相同吗？y 呢？它们分别表示什么？问题2用大括号将x 、y 的含义分别相同的两个方程联立起来.【教学说明】一方面让学生明确方程组中相同的未知数表示的意义相同，另外让学生初步感知二元一次方程组的表示形式.【归纳结论】如()2121x y x y -=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，53348x y x y +=⎧⎨+=⎩等，由两个二元一次方程联立起来得到的方程组就叫做二元一次方程组.三、运用新知，深化理解1.下列方程有哪些是二元一次方程：（1）x+3y-9=0（2）3x 2-2y+12=0 （3）3a-4b=7 （4）2m -5m=1 2.判断下列方程组是否是二元一次方程组：(1) 21,3512;x y x y -=⎧⎨+=⎩(2) 21,35x y x y +=-=⎧⎨⎩ (3) 73,351;x y y z -=⎧⎨+=⎩ (4) 1,2;x y =⎧⎨=⎩ 3.二元一次方程x+y=6的正整数解为__________________.4.买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，设买甲种水x 桶，乙种水y 桶，请列出二元一次方程组.5.请设计一个问题情景，编一道应用题，设其中-个量为x,另一个量为y,使x,y 满足738 5.y x y x =-+⎩=⎧⎨，试一试,你能行.【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对合并同类项有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】1.(1),(3).2.(1)和(4)是二元一次方程组.3.有24x y =⎧⎨=⎩,51x y =⎧⎨=⎩,15x y =⎧⎨=⎩,42x y =⎧⎨=⎩,33x y =⎧⎨=⎩ 4.解：依题意可列8625075%x y y x+=⎧⎨=⎩ 5.(答案不唯一)如:课外活动小组的同学准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人.求课外活动小组的人数x 和应分成的组数y.四、师生互动，课堂小结1.什么叫做二元一次方程？什么叫做二元一次方程组？举例说明.2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.布置作业：从教材第99页“练习”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.基于本节课内容的特点和七年级学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择激趣法、讨论法和总结法相结合.与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围.在引导学生进行观察分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率.第2课时代入消元法解二元一次方程组【教学目标】【知识与技能】1.了解二元一次方程组的解，会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解.2.理解并掌握解二元一次方程组的方法，能运用“代入法”解方程组.3.体会解二元一次方程组的“消元”思想，感受“化归”的广泛作用，发展学生分析问题和解决问题的能力以及运算技能，进一步激发学生学习数学的兴趣.【过程与方法】从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组解的概念，并通过各种师生活动加深学生对“二元一次方程组的解”和“代入法”解方程组的理解；经历代入消元法解二元一次方程组的过程，体会化未知为已知的化归思想方法，知道用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤.【情感态度】针对问题的探究，鼓励学生大胆尝试，通过交流、合作、讨论，享受学习的乐趣和成功感，培养学生大胆发言的习惯，敢于面对挑战.【教学重点】重点是二元一次方程组解的概念和“代入法”解方程组.【教学难点】难点是消元转化的过程.一、情境导入,初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：问题:（1）用含x的代数式表示y①2x+9=y-3 ②4x-3y=72（2）解下列方程①2x+4=5x-5 ②8-3(2x-1)=3x+1【情境2】实物投影，并呈现问题：篮球联赛中每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得40分，那么这个队胜、负场数应分别是多少？你能分别用方程组和方程解决问题吗？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确列出带有括号的整式和不带有括号的整式，对比所列结果，通过观察、比较，给学生以充分的时间去交流和归纳，关注学生对法则的表述，从而得出法则.情境1中（1）①y=2x+12；②4723x y -=；（2）①x=3；②x=109 情境2中设胜x 场,则有：2x+(22-x)=40设胜x 场，负y 场则有：22240x y x y +=⎧⎨+=⎩，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程.【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1.二元一次方程组的解的概念问题1填表问题2上面各组值x,y 对应值中，有哪一组都适合二元一次方程组43612120x y x y +=+=⎧⎨⎩的两个方程？你能类比-元-次方程的解的概念得出二元一次方程组的解的概念吗？【归纳结论】使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程.【教学说明】引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念.2.代入消元法问题1解二元一次方程组的思想是什么？问题2什么是代入消元法？代入消元法解方程的步骤是什么？【教学说明】学生在掌握一元一次方程的解法的基础上，在经过观察、分析、类比、转化后能得出结论.【归纳结论】解二元一次方程组的基本思想是“消元”，也就是要消去其中一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程.从一个方程中求出某个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示y(或x)，②将变形后的方程代入另一个方程中，消去y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；④把x(或y)的值代入方程中，求y(或x)的值；⑤用“联立两个未知数的值”，得到方程组的解.三、运用新知，深化理解1.二元一次方程组2102x yy x+==⎧⎨⎩的解是（）2.已知方程x-2y＝6，用x表示y，则y＝_________；用y表示x，则x＝________.3.解下列方程组：(1)3214,3;x yx y+==+⎧⎨⎩(2)2316,413.x yx y+=+=⎧⎨⎩【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对代入消元法有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】 1.C2.12x-3 6＋2y3.(1)解：将②代入①，得：3y+3+2y=14. 解得：y=1.把y=1代入②，得：x=4.所以原方程组的解为：4,1. xy=⎧⎨=⎩(2)由②，得：x=13-4y ③将③代入①，得：2(13-4y)+3y=16. 解得：y=2.将y=2代入③，得：x=5.所以原方程组的解是5,2. xy=⎧⎨=⎩四、师生互动，课堂小结1.什么是二元一次方程组的解？代入消元法的一般步骤是什么？2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.布置作业：从教材第101页“练习”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中应始终抓住消元的思想方法.讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法.使学生对已学知识进行实际的运用，真正达到熟能生巧.第3课时加减消元法解二元一次方程组【教学目标】【知识与技能】1.理解并掌握“加减消元法”并会用“加减法”解二元一次方程组.2.熟练地运用“代入消元法”和“加减消元法”解二元一次方程组3.体会解二元一次方程组的“消元”思想，感受“化归”的广泛作用，发展学生分析问题和解决问题的能力以及运算技能，进一步激发学生学习数学的兴趣.【过程与方法】经历加减消元法解二元一次方程组的过程，体会化未知为已知的化归思想方法，知道用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.【情感态度】针对问题的探究，鼓励学生大胆尝试，通过交流、合作、讨论，享受学习的乐趣和成功感，培养学生大胆发言的习惯，敢于面对挑战.【教学重点】重点是用加减法解二元一次方程组.【教学难点】难点是探索如何用加减法将“二元”转化为“一元”的消元过程.【教学过程】一、情境导入,初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：（1）根据等式性质填空:若a=b,那么a±c=______.若a=b,那么ac=______.思考若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗?（2）解二元一次方程组基本思路是什么？（3）代入法解方程组的步骤是什么？【情境2】实物投影，并呈现问题：昨天我去水果市场买了1公斤苹果和1公斤梨共花费了22元钱，碰到我们班的地理老师也在，他买了2公斤苹果和1公斤梨共花了40元，问同学们一下，苹果和梨各是多少一公斤？除了代入法解方程组外还有别的方法吗？由此你能得出什么结论.怎样解下面的二元一次方程组呢？【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生回顾已学的知识，为本节要解决的问题做好铺垫.通过学生的观察方程组的特征，发现并归纳出加减消元法解方程组.情境1中（1）b ±c ；bc 若a=b,c=d,那么a+c=b+d.（2）解二元一次方程组基本思路是消元.（3）用代入消元法解二元一次方程组的步骤：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示y(或x)；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；④把x(或y)的值代入方程中，求y(或x)的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解.情境2中设苹果x 元一公斤，梨y 元一公斤，根据题意得出关系式22240x y x y +=⎧⎨+=⎩两方程相减也能达到消元的目的. 【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知加减消元问题1什么是加减消元法？问题2加减消元法解方程组的一般步骤是什么？【教学说明】学生通过回顾代入消元，在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）如果某个未知数的系数的绝对值相等时，采用加减消去一个未知数.（2）如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等，再加减消元.（3）对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，再作如上加减消元的考虑.三、运用新知，深化理解1.用加减法解方程组67196517x y x y +=-⎧⎨-=⎩应用（）A.①-②消去yB.①-②消去xC.②-①消去常数项D.以上都不对 2.方程组3213325x y x y +=⎧⎨-=⎩消去y 后所得的方程是（）A.6x=8B.6x=18C.6x=5D.x=183.解方程组：325,28.x y x y +=⎧⎨-=⎩①② 4.解方程组：()()()3155135.x y y x -=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩ 5.已知方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩与方程组35471x y x y -=⎧⎨-=⎩的解相同，求a ，b 的值.【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对加减消元法有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】1.B 2.B3.解：将方程②×2，得4x-2y ＝16，③③＋①，得7x ＝21，解得x ＝3.把x ＝3代入②，得2×3-y ＝8，y ＝-2.所以原方程组的解是32x y =⎧⎨=-⎩. 4.解：原方程组化简，得38,5320.x y y x -=⎧⎨-=⎩①②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x-7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为57x y =⎧⎨=⎩.5.解方程组35471x yx y-=⎧⎨-=⎩得21xy=⎧⎨=⎩.把21xy=⎧⎨=⎩.代入方程组46ax byax by-=⎧⎨+=⎩.得2426a ba b-=⎧⎨+=⎩，，解得521. ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，四、师生互动，课堂小结1.加减消元法的一般步骤是什么？什么是加减消元法？2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.【课后作业】1.布置作业：从教材第105页“练习”和教材第106页“习题3.3”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.【教学反思】这节课首先从复习与这节课有关的方面着手，解决了教学过程中需要解释的问题，因为数学是一门严密的学科，然后以生活实际引入，这样降低了学习的难度，也对学生的学习兴趣的培养起到一定的作用，特别是对问题提出另外的解法的时候，学生讨论积极，经点拔后就能想到加减的方法，提高了自信心.学生的学习活跃度比较高，化归的思想体现的也比较好.。

七年级数学上册 3.3 二元一次方程组及其解法(1)教案沪科版(2021学年)

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二元一次方程组及其解法∴m=2＝m2-m-m2+m+ｍ２+m=ｍ2+m把m=2代入得:m2+m＝×２２+2=3注意，有些同学为计算简便,把欲求代数式中的分母除去(像解方程一样去分母)这就错了，因为方程是等式,可以利用等式的性质；代数式不是等式,不能随意的扩大（或缩小）代数式中的每一项。

(二)．探索新知,讲授新课问题２:某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵．已知樟树苗每棵2元,白杨树苗每棵１元，购买这些树苗用了6０元．问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵?设:樟树苗买了ｘ棵,白杨树苗买了y棵,根据两种树苗总数为45棵,得x+y＝45, ①又根据购买树苗的钱数是60元,得2ｘ＋y＝60．②上面得到的两个方程含有两个未知数(元),并且未知数的次数都是l，像这样的方程叫做二元一次方程．这里的x、y既要满足树苗总数关系①，又要满足购买树苗钱数关系②，就是说它必须同时满足上面①、②两个方程．因此,我们把上面两个方程加上括号联合在一起,写成:像上面这种由两个一次方程组成的,并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．问题３:我国古代算术《孙子算经》中有一题：今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足，问雉兔各几何？设有雉x只，兔y只.根据头数,足数可得二元一次方程组：x+y=３５①2x＋４y＝９４②学生讨论，教师引导讲解.（三）课堂小结经过本节课的学习,你有什么收获和体会?(四)课堂作业:基础训练板书设计以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

初中数学沪科版七年级上册第3章一次方程与方程组3.3 二元一次方程组及其解法-章节测试习题

章节测试题1.【答题】下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据二元一次方程组的定义，即共含有两个未知数，未知数的次数是1次的整式方程，对A、B、C、D四个选项进行一一验证，从而求解．【解答】A、满足二元一次方程组的定义，故是二元一次方程组；B、满足二元一次方程组的定义，故是二元一次方程组；C、满足二元一次方程组的定义，故是二元一次方程组；D、因为方程组，含有三个未知量，x，y，z，所以不是二元一次方程组.选D.2.【答题】已知是方程2x-ay=3的一个解，那么a的值是（）A.1B.3C.-3D.-1【答案】A【分析】把方程的解代入方程求解即可。

【解答】将代入方程2x－ay＝3中，得2×1－a×（－1）＝3，解得a＝1．3.【答题】已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可能是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，可以将代入到各个方程组即可．【解答】将代入到各个方程组，可知只有满足条件，选D。

4.【答题】某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得＋5，每答错一题得－2分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（）A.x－y＝20B.x＋y＝20C.5x－2y＝60D.5x＋2y＝60【答案】C【分析】设圆圆答对了x道题，答错了y道题，根据“每答对一道题得+5分，每答错一道题得-2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分”列出方程．【解答】设圆圆答对了x道题，答错了y道题，依题意得：5x-2y+（20-x-y）×0=60．选C.5.【答题】如果是二元一次方程ax＋by＝－2的一个解，那么2a－b－6的值为______．【答案】-8【分析】把代入二元一次方程ax＋by＝－2求解即可。

【解答】由于x=2，y=-1是方程ax+by=-2的解，代入方程ax+by=-2，可得2a-b=-2，所以2a-b-6=-8，故答案是-8，故答案为：-8.6.【答题】若x m－2－8y n＋3＝15是关于x，y的二元一次方程，则m＋n＝______．【答案】1【分析】根据二元一次方程的定义列出关于m、n的方程，求出m、n的值，再相加即可求解．【解答】∵方程x m-2-8y n+3=15是关于x、y的二元一次方程，∴m-2=1，n+3=1，解得m=3，n=-2，m+n=3-2=1．故答案为：1．7.【答题】某班学生去看演出，已知甲种票每张30元，乙种票每张20元，如果36名学生购票恰好用去860元．设甲种票买了x张，乙种票买了y张，依据题意，可列方程组为______．【答案】【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据“36名学生购票恰好用去860元”作为相等关系列方程组．【解答】设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据题意，得：，故答案为．8.【答题】若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是，则a=______．【答案】4【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：把代入方程得：9﹣2a=1，解得：a=4，故答案为：4．9.【答题】已知是关于x，y的方程组的解，则(a＋b)2019=______．【答案】0【分析】把代入方程组，得到关于a、b的方程组，解得a、b 的值，再代入(a＋b)2019中求值即可.【解答】把代入方程组，得，解得，故(a＋b)2019=（3-3）2019=010.【题文】某中学组织师生共110人到趵突泉公园游览，趵突泉公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元．该学校购票共花费2400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？(只列出方程组，不求解)【答案】【分析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．①教师人数+学生人数=110人，②教师的总票钱+学生的总票钱2400元．根据题意列出方程组，解得答案．【解答】设在这次游览活动中，教师有x人，学生有y人，由题意，得11.【答题】已知x，y满足方程程组，则x﹣y的值为（）A.0B.1C.2D.8【答案】B【分析】把两个方程的左右两边分别相加，然后两边都除以2，即可求出x﹣y的值.【解答】，①-②得，2x-2y=2,∴x-y=1.选B.12.【答题】方程组的解是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】运用加减消元法求解即可.【解答】解：①+②，得3x=6∴x=2把x=2代入②，得y=1∴方程组的解是选B.13.【答题】方程组,则x﹣y的值为（）A.2B.﹣1C.﹣2D.无法确定【答案】C【分析】观察两个方程可知，只要用①-②，即可得到x﹣y的值.【解答】解：，①-②得，()-()=3-5，∴x﹣y=-2.选C.14.【答题】若与都是方程y＝kx＋b的解，则k与b的值分别为（）A.k＝，b＝－4B.k＝－，b＝4C.k＝，b＝4D.k＝－，b＝－4【答案】A【分析】根据二元一次方程的解解答即可。

沪教版七年级数学上册练习题二元一次方程组及其解法

⎩ ⎩ ⎩ 相关资料3.3 二元一次方程组及其解法一、填空题1、二元一次方程 4x-3y=12，当 x=0，1，2，3 时，y=2、在 x+3y=3 中，若用 x 表示 y ，则 y=，用 y 表示 x ，则 x=3、已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当 k=时，方程为一元一次方程；当 k=时，方程为二元一次方程。

4、对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0 时，则y= ；当y=0 时，则x= 。

5、方程 2x+y=5 的正整数解是。

6、若(4x-3)2+|2y+1|=0，则 x+2= 。

7、方程组 ⎧x + y = a 的一个解为 ⎧x = 2，那么这个方程组的另一个解⎨xy = b 是。

⎨ y = 38、若 x = 1时，关于 x 、y 的二元一次方程组⎧ax - 2 y = 1的解互为倒数，则2a - 2b = 。

⎨x - by = 2二、选择题1、方程２ｘ－３ｙ＝５，ｘｙ＝3， x + 3= 3 ，３ｘ－ｙ+２ｚ＝０， x 2 + y = 6y中是二元一次方程的有（）个。

Ａ、１Ｂ、２Ｃ、３Ｄ、４2、方程 2x+y=9 在正整数范围内的解有（）A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个3、与已知二元一次方程 5x-y=2 组成的方程组有无数多个解的方程是（）A 、10x+2y=4B 、4x-y=7C 、20x-4y=3D 、15x-3y=6 4、若是5x 2 y m 与4x n +m +1 y 2n -2 同类项，则m 2 - n 的值为（）A 、1B 、－1C 、－3D 、以上答案都不⎨ y = -1 ⎨2x + y = 5 ⎨y - 2x = 5 ⎨x + y = 1 ⎨x = 3y + 1 + = ⎨ax + 2 y = c 对5、在方程(k 2-4)x 2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0 中，若此方程为二元一次方程，则 k 值为（）A 、2B 、-2C 、2 或-2D 、以上答案都不对．6、若⎧x = 2⎩是二元一次方程组的解，则这个方程组是（）A 、⎧x - 3y = 5 ⎩B 、⎧ y = x - 3⎩ C 、⎧2x - y = 5 ⎩D 、⎧x = 2 y⎩7、在方程2(x + y ) - 3( y - x ) = 3 中，用含 x 的代数式表示 y ，则（）A 、 y = 5x - 3B 、 y = -x - 3C 、 y = 5x + 3D 、 y = -5x - 38、已知ｘ＝３－ｋ，ｙ＝ｋ＋２，则ｙ与ｘ的关系是（）Ａ、ｘ＋ｙ＝５Ｂ、ｘ＋ｙ＝１Ｃ、ｘ－ｙ＝１Ｄ、ｙ＝ｘ－１9、下列说法正确的是（）Ａ、二元一次方程只有一个解Ｂ、二元一次方程组有无数个解Ｃ、二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解Ｄ、三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成⎧3x + 5y = 6 10、若方程组 ⎨ ⎩6x 15 y 16 是（ =）的解也是方程３ｘ＋ｋｙ=10 的解，则ｋ的值Ａ、ｋ＝６ = Ｂ、ｋ＝１０Ｃ、ｋ＝９Ｄ、ｋ＝ 110三、解答题1、解关于 x 的方程(a - 1)(a - 4)x = a - 2(x + 1)2、已知方程组⎧x + y = 7 ⎩，试确定a 、c 的值，使方程组：（1）有一个解；（2）有无数解；（3）没有解3.关于 x 、y 的方程3kx + 2 y = 6k - 3 ，对于任何k 的值都有相同的解，试求它的解。

七年级数学上册 3.3 二元一次方程组及其解法 3.3.3 用

代入法解二元一次方程组学前温故 1．含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程．2．由两个二元一次方程联立起来得到的方程组就叫做二元一次方程组．新课早知1．使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，x －y ＝1的解是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝1D ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4 答案：B3．从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．4．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －2＝0，4x ＋1＝9y①②的正确解法是( )． A ．先将①变形为x ＝3y －22，再代入② B ．先将①变形为y ＝2－2x 3，再代入② C ．先将②变形为x ＝94y －1，再代入① D ．先将②变形为y ＝9(4x ＋1)，再代入①答案：B5．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝6，x ＋2y ＝－2；①② (2)⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝11，x －y ＝3. ①②解：(1)由①，得y ＝2x －6.③把③代入②，得x ＋2(2x －6)＝－2.解得x ＝2.把x ＝2代入③，得y ＝－2.所以方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2.(2)由②，得x ＝y ＋3.③把③代入①，得3(y ＋3)＋2y ＝11.解得y ＝25. 把y ＝25代入③，得x ＝175.所以方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝175，y ＝25.1．二元一次方程组的解【例1】以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1为解的二元一次方程组是( )． A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －y ＝1 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －y ＝－1 C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －y ＝2 D ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －y ＝－2解析：把x ＝1，y ＝－1分别代入到选项中的各个方程组进行验证即可．答案：C点拨：对二元一次方程组解的判断，一般用代入法检验．二元一次方程组的解，必须使未知数(x ，y )的值同时满足两个方程，也就是两个方程的公共解．2．用代入消元法解二元一次方程组【例2】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝8，①2x －y ＝1.② 解：由②，得y ＝2x －1.③将③代入①，得3x ＋5(2x －1)＝8.解得x ＝1.将x ＝1代入③，得y ＝1.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 点拨：观察方程组中每个方程系数的特点，若其中一个方程比较容易用一个未知数表示出另一个未知数，适合用代入法．1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝－2的解是( )． A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2D ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0 答案：B 2．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是( )．A ．1B ．3C ．－3D ．－1答案：A3．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝8，①3x －5y ＝5②有以下过程：(1)由①得x ＝8－3y 2③； (2)把③代入②，得3×8－3y 2－5y ＝5； (3)去分母得24－9y －10y ＝5；(4)解得y ＝1，再由③得x ＝2.5.其中错误的一步是( )．A ．(1)B ．(2)C ．(3)D ．(4)答案：C4．关于x ， y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax －4y ＝18，3x －2y ＝6的解中y ＝0，则a 的取值是__________．解析：把y ＝0代入3x －2y ＝6，得x ＝2.把x ＝2，y ＝0代入ax －4y ＝18，得a ＝9. 答案：95．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝3，3x －8y ＝13.①,②解：由①，得x ＝2y ＋3③.把③代入②，得3(2y ＋3)－8y ＝13，解得y ＝－2.把y ＝－2代入③，得x ＝－1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.。

3.3新二元一次方程组及其解法-(沪科版)七年级数学上册

3.用代入法解方程组 A．先把①变形
2x+5y=21 x +3y=8
较为简便的方法是（ B
）
B．先把②变形
C．可先把①变形，也可先把②变形
D．把①、②同时变形
教师评价
1、评一评这节课的最佳师友
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• 师友互助，共同进步！ •
把你预习中的疑惑与师傅交流
探究点一:二元一次方程组的解 1.已知下列三对数值：
(1)
x 2
y
1
(2)
x 2
y
4
(3)
x 1
y
7
哪一对是方程2x+y=5的解？
师友探究
探究点一:二元一次方程组的解 1.已知下列三对数值：
(1)
x 2
y
1
(2)
x 2
y
4
(3)
x 1
y
7
哪一对是方程3x+4y=10的解？
规律总结：
用代入法解二元一次方程组的步骤：①从方程组中选取一个比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来； ②把所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数；③解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的未知数的值代入方程，求出另一个未知数的值。
解方程组:
2x + 3y= -7 ① x + 2y= 3 ②
y=45-x ③
2x+(45-x)=60
x=15 y= 30
∴方程组的解是
x =15 y = 30
教师讲解
探究点二:代入消元法解二元一次方程组
1.在x+ y =45中，若用x表示y，则y= 45 - x ，

沪科版数学七年级上册(提高练习)3.3《二元一次方程组及其解法》

《3.3 二元一次方程组及其解法》提高练习1. 已知|m －1|x |m |＋y 2n -1＝3是关于x 、y 的二元一次方程，则m ＋n ＝( ).A ．0B ．1C ．2D ．32. 已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为( ). A ．1 B ．－1 C ．2 D ．33. 若2x |m |＋(m ＋1)y ＝3m －1是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为( ).A ．－1B ．±1C ．1D ．04. 若方程mx －2y ＝3x ＋4是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的取值范围是( ).A ．m ≠0B ．m ≠3C ．m ≠－3D ．m ≠25. 已知{2x +y =7，x +2y =8.那么x －y 的值是( ). A ．1 B ．0 C ．－1 D ．26. 方程组{2(x +2)−3(y −1)=133(x +2)+5(y −1)=30.9的解是( ). A ．{x =6.3，y =2.2. B ．{x =8.3，y =1.2. C ．{x =10.3，y =2.2. D ．{x =10.3，y =0.2.7. 若a 的相反数是2b ＋1，b 的相反数是3a ＋1，则a 2＋b 2＝( ).A ．25B ．−25C ．15D ．−158. 用代入消元法解二元一次方程组{x 2+y 3=132x 3−y 4=32. 9. 甲、乙两人共同解方程组⎩⎨⎧ax ＋5y ＝15；①4x －by ＝－2.②由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1；乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝4.试计算a 2015＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－110b 2016的值． 10. 已知x m -n +1y 与－2x n -1y 3m -2n -5是同类项，求m 和n 的值．答案和解析【答案】1. A2. B3. C4. B5. C6. A7. C8. {x =9y =69. 0.10. ⎩⎨⎧m ＝4，n ＝3【解析】1. 解：根据题意得|m |＝1且|m －1|≠0，2n －1＝1，解得m ＝－1，n ＝1.所以m ＋n ＝0.故选A.根据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1的整式方程，即可求得m 、n 的值．本题的解题关键是正确理解二元一次方程的定义，根据定义求出未知数．2. 解：把解代入原方程组得⎩⎨⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，，所以a －b ＝－1. 故选B.解这类题就是根据方程组解的定义求，即将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．3. 解：根据题意得|m |＝1且m ＋1≠0，解得m ＝±1且m ≠－1.所以m ＝1.故选C.根据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1的整式方程，即可求得m 的值．本题的解题关键是正确理解二元一次方程的定义，根据定义求出未知数．4. 解：将方程变形可得，(m －3)x －2y ＝4，根据二元一次方程的定义可知，m －3≠0，即m ≠－3，所以，m 的取值范围是m ≠－3.故选B.根据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1的整式方程，将方程进行变形后，即可求得m 的值．本题的解题关键是正确理解二元一次方程的定义，根据定义求出未知数．5. 解：方程组{2x +y =7，①x +2y =8. ②要求x －y 的值，用①－②即可.①－② 得，x －y ＝－1.故选C.用加减法解二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数；复杂的方程组一定要先化简，再观察思考消元方案．6. 解：先化简方程组，得{2x −3y =6 ①3x +5y =29.9 ②②×2－①×3得，19y ＝41.8，解得，y ＝2.2.将y ＝2.2代入①得，2x －3×2.2＝6，解得，x ＝6.3.所以方程组的解为{x =6.3，y =2.2.故选A.用加减法解二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数；复杂的方程组一定要先化简，再观察思考消元方案．7. 解：根据题意可得，{a +2b +1=0，①b +3a +1=0. ② 由①得，a ＝－2b －1，③将③代入②得，b ＋3(－2b －1)＋1＝0，解得，b ＝－25，将b ＝－25代入③得，a ＝－2×(－25)－1＝45－1＝－15. 则a 2＋b 2＝(−15)2+(−25)2=125+425=525=15.故选C.根据绝对值的定义和已知条件可得关于a ，b 的二元一次方程组.由加减法可以求出a ，b 的值，进而可以得到代数式a 2＋b 2的值.8. 解：将原方程组化简，得{3x +2y =39，①4x −3y =18，② 由①得y ＝39−3x 2，③把③代入②得4x －3×39−3x 2＝18，解得，x ＝9. 把x ＝9代入③中，得y ＝6.所以原方程组的解为{x =9y =6.当二元一次方程组中的系数较复杂时，可先将方程组整理成二元一次方程组的标准形式{a 1x +b 1y =c1a 2x +b 2y =c 2.这里a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2是常数，x ，y 是未知数． 9. 解：把⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1代入②，得－12＋b ＝－2，所以b ＝10；把⎩⎨⎧x ＝5，y ＝4代入①，得5a ＋20＝15，所以a ＝－1；所以a 2015＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－110b 2016＝(－1)2015＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－110×102016＝0. 由方程组解的定义知：甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1，说明⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1是方程②的解；同样⎩⎨⎧x ＝5，y ＝4是方程①的解．利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解．10. 解：因为x m -n +1y 与－2x n -1y 3m -2n -5是同类项，所以⎩⎨⎧m －n ＋1＝n －1，①3m －2n －5＝1.②整理，得⎩⎨⎧m －2n ＋2＝0，③3m －2n －6＝0.④④－③，得2m ＝8，所以m ＝4.把m ＝4代入③，得2n ＝6，所以n ＝3.所以当⎩⎨⎧m ＝4，n ＝3时，x m -n +1y 与－2x n -1y 3m -2n -5是同类项．根据同类项的概念，可列出含字母m 和n 的方程组，从而求出m 和n .解这类题，就是根据同类项的定义，利用相同字母的指数分别相等，列方程组求字母的值．。

七年级数学上册 3.3 二元一次方程组及其解法分层训练

3.3 二元一次方程组及其解法基础巩固1．在方程组21,31,x y y z -=⎧⎨=+⎩2,31,x y x =⎧⎨-=⎩0,35,x y x y +=⎧⎨-=⎩ 1,23,xy x y =⎧⎨+=⎩ 111,1,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩1,1x y =⎧⎨=⎩中，是二元一次方程组的有( )． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2．若方程2xm －1＋y 2n ＋m ＝12是二元一次方程，则mn 为( )． A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－13．二元一次方程组3,20x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解是( )． A ．1,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．1,2x y =⎧⎨=-⎩C ．1,2x y =-⎧⎨=-⎩D ．2,1x y =-⎧⎨=⎩ 4．小明在解关于x ，y 的二元一次方程组3,31x y x y +⊗=⎧⎨-⊗=⎩时得到了正确结果,1,x y =⊕⎧⎨=⎩后来发现“⊗”“ ⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出⊗、⊕处的值分别是( )．A ．⊗＝1，⊕＝1B ．⊗＝2，⊕＝1C ．⊗＝1，⊕＝2D ．⊗＝2，⊕＝25．从方程组1,21x a y a =-⎧⎨=+⎩中得到x 与y 的关系式为__________． 6．方程组25,211x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解是__________．7．根据下图提供的信息，可知一个杯子的价格是__________．8．解下列方程组：(1),2325%15% 1.25;x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩(2)22,622 2.3x x y y x y x --⎧-=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩能力提升9．若2,1x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组35,22ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，求a ＋2b 的值．10．已知满足方程组352,23x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩的x，y值的和等于2，求m2－2m＋1的值．11．已知|a＋2b－9|＋(3a－b+1)2＝0，求a，b的值．12．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6 000元，B型每台4 000元，C型每台2 500元．某市东坡中学计划将100 500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．参考答案1答案：B 点拨：第1,4,5个不是二元一次方程组．2答案：D 点拨：由题意知m－1＝1，解得m＝2，2n＋m＝1，解得n＝12-，所以mn＝－1.3答案：A4答案：B 点拨：把,1xy=⊕⎧⎨=⎩代入二元一次方程组3,31x yx y+⊗=⎧⎨-⊗=⎩中，得3,3 1.⊕+⊗=⎧⎨⊕-⊗=⎩解这个二元一次方程组得2,1.⊗=⎧⎨⊗=⎩5答案：2x－y＋3＝0 点拨：由于方程组中a的系数较小，故利用加减消元法或代入消元法均可消去未知数a，得到关于x，y的关系式．6答案：3,4.xy=⎧⎨=⎩点拨：两个方程相加得2x＝6.所以x＝3.第二个方程减第一个方程得，4y＝16，所以y＝4.所以方程组的解是3,4. xy=⎧⎨=⎩7答案：8元点拨：仔细观察图形，可知本题存在两个等量关系，即一个水壶的价格＋一个杯子的价格＝43，两个水壶的价格＋三个杯子的价格＝94.根据这两个等量关系可列出方程组．8解：(1)化简方程组，得320, 5325. x yx y-=⎧⎨+=⎩①②①×3＋②×2得19x＝50，所以x＝50 19.把x＝5019代入①得3×5019－2y＝0，所以y＝7519.所以50,1975.19xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(2)化简方程组，得2310, 52 6.x yx y+=⎧⎨-=⎩①②①×2＋②×3，得19x＝38. 所以x＝2.把x＝2代入②，得y＝2.所以2,2. xy=⎧⎨=⎩9解：因为2,1xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组35,22ax byax by⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，把2,1xy=⎧⎨=⎩代入方程组中，得35,2 2.a ba b+=⎧⎨-=⎩两方程相减得a＋2b＝3.即a ＋2b 的值是3.10解：将方程组中的两个方程相减，得x ＋2y ＝2，即(x ＋y )＋y ＝2.因为x ＋y ＝2，所以2＋y ＝2，所以y ＝0，于是得x ＝2.把x ＝2，y ＝0代入2x ＋3y ＝m ，得m ＝4.把m ＝4代入m 2－2m ＋1，得m 2－2m ＋1＝16－2×4＋1＝9.11解：根据题意，得290,310.a b a b +-=⎧⎨-+=⎩①②由①得a ＝9－2b ，③ 把③代入②，得3(9－2b )－b ＋1＝0，解得b ＝4.把b ＝4代入③，得a ＝1.所以1,4.a b =⎧⎨=⎩12解：设从该电脑公司购进A 型电脑x 台，购进B 型电脑y 台，购进C 型电脑z 台．则可分以下三种情况考虑：①只购进A 型电脑和B 型电脑，依题意可列方程组6004000100500,36.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得21.75,57.75.x y =-⎧⎨=⎩不合题意，应该舍去．②只购进A 型电脑和C 型电脑，依题意可列方程组6002500100500,36.x z x z +=⎧⎨+=⎩解得3,33.x z =⎧⎨=⎩③只购进B 型电脑和C 型电脑，依题意可列方程组4002500100500,36.y z y z +=⎧⎨+=⎩ 解得7,29.y z =⎧⎨=⎩答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A 型电脑3台和B 型电脑33台；第二种方案是购进B 型电脑7台和C 型电脑29台．。

3沪科版数学七年级上册专题训练.3二元一次方程组及其解法

⎧1. 用代入法解方程组精品文档用心整理3.3二元一次方程组及其解法正确的解法是（）A. 先将①变形为C. 先将②变形为，再代入② B. 先将①变形为，再代入① D. 先将②变形为，再代入②，再代入①2. 将方程3. 已知方程中的用含的代数式表示为______________的两个解是，，则 _________， _________4. 用代入消元法解下列方程（1）（4）（2）（5）（3）（6）5. 解方程组A. 先将①变形为，错误的解法是（），再代入② B. 先将①变形为，再代入②C. 将，消去 D. 将，消去6. 已知方程的两个解是，，则 ___________， ___________7.二元一次方程组 ⎨ x + y = a, ⎩ x - y = 3a8. 用加减消元法解下列方程的解和二元一次方程 5x+3y=14 的解相同，则 a= .（1）（4）；（2）；（5）；（3）；（6）；.y.答案1.【答案】B【解析】根据解二元一次方程的代入法，将①变形为x=2-y后可知，变形后A是错误的，B是正确的；将②变形为x=2.【答案】或y=2x-7可知，变形后C和D都是错误的.故选B.【解析】移项，得：3y=5－2x，系数化为1，得：.故答案为：.3.【答案】42【解析】把，分别代入，得①+②，得3m=12，m=4，把m=4代入②，得8-n=6，解得n=2.所以m=4，n=2.4.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【解析】(1)把②代入①即可求出y，把y的值代入②即可求出x；(2)把①代入②即可求出x,把x的值代入①即可求出（3）把①变形得到y=2x-5，再代入②得到x的值，再把x的值代入y=2x-5求得y的值.(4)把①变形得到x=5+3y，再代入②得到y的值，再把y的值代入x=5+3y求得x的值.(5)把①代入②即可求出x,把x的值代入①即可求出y.(6)把②变形得到p=5-4q，再代入①得到q的值，再把q的值代入p=5-4q 求得p的值.解:(1)把②代入①得：3y+1−2y=0，解得：y=−1，把y=−1代入②得：x+2=0，x=−2，即方程组的解为（2）.将①代入②，(x−3)−2x=5，x=−8，把x=−8代入①，y=−11，∴方程组的解为.（3）由①得，y=2x-5③把③代入②得x+2x-5=1,解得x=2把x=2代入①得2×2-y=5,解得y=-1∴方程组的解为.(4)由①得，x=5+3y，③把③代入②得2(5+3y)+y=5,解得y=−，代入①得,x−3×(−57)=5，解得x=.故原方程组的解为.(5)把①代入②得：2x+3(x-3)=6，解得：x=3，把x=3代入①得：y=0，.即方程组的解为（6）由②得，p=5-4q，③把③代入①得2(5-4q)-3q=13,解得，代入③得,p=5-4×()，解得.故原方程组的解为.5.【答案】A，再代入②，故A错，B正确；故选A.【解析】将①变形为6.【答案】4-2【解析】把，代入得解得，故答案为4，-2.7.【答案】2【解析】,两式相加得:2x=4ax=2a把x=2a代入得y=-a把代入得5×2a+3×（-a）=14解得a=2故答案为：2.8.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【解析】（1）①和②相加即可得到m的值，再把m的值代入①即可求出n的值.(2)①和②相减即可得到x 的值，再把x的值代入①即可求出y的值.(3)①和②相加即可得到y的值，再把y的值代入①即可求出x 的值.(4)①和②相减即可得到y的值，再把y的值代入①即可求出x的值.(5)①×2减去②即可得到y的值，再把y的值代入①即可求出x的值.(6)①×2＋②×5即可得到x的值，再把x的值代入①可求出y的值.解：（1）①＋②得,7m=14,解得m=2把m=2代入①得3×2-2n=5,解得n=所以方程组的解是.（2）①-②得2x=2,解得x=1把x=1代入①得5×1+2y=7,解得y=1所以方程组的解是.（3）①＋②得,3y=-3,解得y=-1把y=-1代入①得x+4×(-1)=-2,解得x=2所以方程组的解是.(4)①-②得,9y=-9,解得y=-1把y=-1代入①得6x+5×(-1)=1,解得x=1所以方程组的解是.（5）①×2得4x-2y=2③②＋③得y=-1把y=-1代入①得2x-(-1)=1,解得x=0所以方程组的解是.（6）①×2得6x-10y=14③②×5得20x+10y=25④③＋④得26x=39,解得把代入①得3×-5y=7解得所以方程组的解是.点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法是解答此题的关键．。

七年级数学上册 3.3 二元一次方程组及其解法(二)习题

【综合运用】
18．(12 分)已知关于 x，y 的二元一次方程组aa12xx＋＋bb12yy＝＝cc12，的解是 xy＝＝34，，求关于 x，y 的二元一次方程组33aa12xx＋＋22bb12yy＝＝55cc12，的解，三个同学对这个问题提出各自的想法，甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解．”乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试．”丙说： “能不能把两个方程组的两个方程两边都除以 5，通过换元替代的方法来解决．”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是多少？
53a1x＋52b1y＝c1，解：将第二个方程组中的方程两边都除以 5，得35a2x＋25b2y＝c2 即
a1（53x）＋b1（25y）＝c1， a2（53x）＋b2（25y）＝c2
将
3 5
x
，
2 5
y
作为整体，看成
X
，
Y
，
则
得
a1X＋b1Y＝c1， a2X＋b2Y＝c2，
根
据
aa12xx＋＋bb12yy＝＝cc12，的解
A．－1 B．1 C．2 D．3
13．若|x－y－4|＋(x＋2y－1)2＝0，则xy的值为___－__3____．
x＋2y＝k， 14．如果关于 x，y 的方程组3x＋5y＝k－1的解 x，y 满足 x－y＝7，
那么 k 的值是__－__2___．
x＋2y＝10，
bx＋ay＝6，
15．已知关于 x，y 的方程组ax＋by＝1 与方程组2x－y＝5 有
9x＋6y＝6 9x＋6y＝18 A.4x＋6y＝1 B.4x－6y＝2
9x＋6y＝18 6x＋4y＝12 C.4x＋6y＝2 D.6x＋9y＝1
3 ． (4

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