人教版数学八年级上册：12.2三角形全等的判定(第4课时)-课件
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人教版数学八年级上册第四课时 三角形全等的判定(HL)课件
第十二章 全等三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
13
能力提升
7 ． 在 Rt△ABC 中 ， ∠ACB ＝ 90° ， E 是 AB 上 一 点 ， 且 BE ＝ BC ， 过 点 E 作
DE⊥AB交AC于点D，如果AC＝5 cm，则AD＋DE等于
(C)
A．3 cm
B．4 cm
△ACD(AAS)，∴AE＝AD．在 Rt△ADO 和 Rt△AEO 中，AAOD＝ ＝AAEO，，∴Rt△ADO ≌Rt△AEO(HL)，∴∠DAO＝∠EAO，即 AO 恰好平分∠BAC．
第十二章 全等三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
19
思维训练
13．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过点B、C向过点A 的直线作垂线，垂足分别为点E、F.
15
9．如图，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E.若∠B＝40°，则∠EAC＝ ________. 25°
第十二章 全等三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
16
10．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.若∠ABC＝35°， 求∠CAO的度数．
第十二章 全等三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
11
5．如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD．求证：∠ABE＝
∠BAE.
证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB 和△BDA 是直角三角形．在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中，AABC＝ ＝BBAD，， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，∴∠ABE＝∠BAE.
12.2 第4课时 用“HL”判定两个直角三角形全等课件2024—2025学年人教版数学八年级上册
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，DB＝ BC.求证：AC＝AE＋DE. 证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴△BEC和△BED都是直角三角形． ∵BD＝BC，BE＝BE， ∴Rt△BEC≌Rt△BED(HL)， ∴CE＝DE， ∴AC＝AE＋CE＝AE＋DE.
夯实基础 能力提升
夯实基础 能力提升 思维拓展
(3)如图3，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N， ∴∠ANB＝∠AMC＝90°. ∵点A(2,2)，∴AN＝AM＝2. ∵AB＝AC，由(1)知BN＝MC， ∴OC－OB＝OM＋MC－(BN－ON)＝OM＋ON＝4.
夯实基础 能力提升 思维拓展
解：(1)证明：如图1，在Rt△ADB和Rt△AEC中，AB＝AC， AD＝AE， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC(HL)，∴EC＝DB. (2)证明：如图2，连接AF.由(1)知EC＝DB. ∵∠AEF＝∠D＝90°，AF＝AF，AD＝AE， ∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)， ∴DF＝EF，∴CF＝EF＋CE＝DF＋DB.
夯实基础 能力提升 思维拓展
5．如图，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE.求证：BF＝ EC.
证明：∵∠B＝∠E＝90°， ∴在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，AACB＝＝DDEF，， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)， ∴BC＝EF， ∴BC－FC＝EF－FC，即BF＝EC.
夯实基础 能力提升 思维拓展
2 直角三角形全等的判定方法综合
思维拓展
7．下列条件中不一定能判定两个直角三角形全等的是
( D) A．两条直角边对应相等 B．有两条边对应相等 C．一条边和一锐角对应相等 D．一条边和一个角对应相等
夯实基础 能力提升 思维拓展
夯实基础 能力提升
夯实基础 能力提升 思维拓展
(3)如图3，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N， ∴∠ANB＝∠AMC＝90°. ∵点A(2,2)，∴AN＝AM＝2. ∵AB＝AC，由(1)知BN＝MC， ∴OC－OB＝OM＋MC－(BN－ON)＝OM＋ON＝4.
夯实基础 能力提升 思维拓展
解：(1)证明：如图1，在Rt△ADB和Rt△AEC中，AB＝AC， AD＝AE， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC(HL)，∴EC＝DB. (2)证明：如图2，连接AF.由(1)知EC＝DB. ∵∠AEF＝∠D＝90°，AF＝AF，AD＝AE， ∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)， ∴DF＝EF，∴CF＝EF＋CE＝DF＋DB.
夯实基础 能力提升 思维拓展
5．如图，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE.求证：BF＝ EC.
证明：∵∠B＝∠E＝90°， ∴在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，AACB＝＝DDEF，， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)， ∴BC＝EF， ∴BC－FC＝EF－FC，即BF＝EC.
夯实基础 能力提升 思维拓展
2 直角三角形全等的判定方法综合
思维拓展
7．下列条件中不一定能判定两个直角三角形全等的是
( D) A．两条直角边对应相等 B．有两条边对应相等 C．一条边和一锐角对应相等 D．一条边和一个角对应相等
夯实基础 能力提升 思维拓展
人教版八年级数学上册1三角形全等的判定(第4课时)课件
前提
条件
在直角三角形中
使用
方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条
件中至少有一个条件是一对对应边相等）
探究新知
确定全等
画图思路
N
A
B
C
A′
M
B′
C′
（4）连接A′B′.
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
探究新知
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
B
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
AB=A′B′
AB
AC
BC
直角边是_____、_____，斜边是______.
想一想
前面学过的四种判定三角形全等的方法,
对直角三角形是否适用？
探究新知
A′
A
B
C
B′Βιβλιοθήκη C′问题1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，
这两个直角三角形全等吗？
全等，AAS
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应
相等，这两个直角三角形全等吗？ 全等，AAS或ASA
=
ቊ
=
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
7．如图12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一
点，点E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线交AE于点F.
试猜想BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由．
解：BF⊥AE，理由如下：
∵∠ACB＝90° ∴∠ACE＝∠BCD＝90°
=
∴Rt△AEC ≌ Rt△DFB (HL)
人教版《三角形全等的判定》PPT精美课件
∴∠DEC=∠BFE，DE//BF.
熟练利用“边角边”条件证明两个三角形全等.
两种情况是否都能判定两个三角形全等？你能具体说明吗？
AB=A′B′， 在△ADE和△CBF中，
符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中，
B
C
熟练利用“边角边”条件证明两个三角形全等.
∠B=∠B′， AE=CF，
三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′（即两边及其夹角分别相等），此时的△ABC和△A′B′C′全等吗？
先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得 ∴△CAB≌△CDE（SAS）.
知识点1 三角形全等的基本事实：边角边(SAS)
在△ADC和△CBA中，
∴∠ACB=∠DFE，BC//EF.
B 在△ADC和△CBA中，
C
B′ C′
总结：（1）一定牢记“边边角”不能判定两个三角形全等，只有两边及其夹角分别相等才能判定两个三角形全等.
四条边相等，四个角都是90°
通过画结图,你论能得出：什么两样的边结论？及其中一边的对角分别相等的两个三角
AB=DC，
形不一定全等. ∴∠DEC=∠BFE，DE//BF.
AB=CB,
∠ABG=∠CBE,
D
GB=EB,
∴ △ABG≌△CBE（SAS）， A ∴AG=CE.
C M NG
F B
E
（2）求证：AG⊥CE.
（2）证明： ∵△ABG≌△CBE，
∴∠GAB=∠ECB.
∵∠ABC=∠GBE=90°.
∴在△ABM中,∠AMB+∠GAB=90°. D
熟练利用“边角边”条件证明两个三角形全等.
两种情况是否都能判定两个三角形全等？你能具体说明吗？
AB=A′B′， 在△ADE和△CBF中，
符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中，
B
C
熟练利用“边角边”条件证明两个三角形全等.
∠B=∠B′， AE=CF，
三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′（即两边及其夹角分别相等），此时的△ABC和△A′B′C′全等吗？
先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得 ∴△CAB≌△CDE（SAS）.
知识点1 三角形全等的基本事实：边角边(SAS)
在△ADC和△CBA中，
∴∠ACB=∠DFE，BC//EF.
B 在△ADC和△CBA中，
C
B′ C′
总结：（1）一定牢记“边边角”不能判定两个三角形全等，只有两边及其夹角分别相等才能判定两个三角形全等.
四条边相等，四个角都是90°
通过画结图,你论能得出：什么两样的边结论？及其中一边的对角分别相等的两个三角
AB=DC，
形不一定全等. ∴∠DEC=∠BFE，DE//BF.
AB=CB,
∠ABG=∠CBE,
D
GB=EB,
∴ △ABG≌△CBE（SAS）， A ∴AG=CE.
C M NG
F B
E
（2）求证：AG⊥CE.
（2）证明： ∵△ABG≌△CBE，
∴∠GAB=∠ECB.
∵∠ABC=∠GBE=90°.
∴在△ABM中,∠AMB+∠GAB=90°. D
人教初中数学八上 《三角形全等的判定HL(第4课时)》课件 (高效课堂)获奖 人教数学20222
探索新知
追问3 你能用数学语言概括前面的结论吗？
成轴对称的两个图形的性质：
如果两个图形关于某条
直线对称，那么对称轴是任A
M
何一对对应点所连线段的垂 P
直平分线．即对称点所连线
段被对称轴垂直平分；B对称 轴垂直平分对称点所连线段．
CN
A′
B′ C′
探索新知
问题4 下图是一个轴对称图形，你能发现什么结
不能直接证AB＝CD.应当思考两次全等.
证明：①∵BE∥DF， ∴∠1＝∠2. ∠1＝∠2
在△BOE和△DOF中， ∠3＝∠4（对顶角相等）, OB＝OD
∴△BOE≌△DOF（AAS）.
∵OE＝OF，又∵AE＝CF，∴AE＋OE＝CF＋OF， OB＝OD
∴OA＝OC. 在△AOB和△COD中， ∠3＝∠4
证明：∵CE＝BF， ∴CE－EF＝BF－EF， ∴CF＝BE. AB＝CD 在Rt△ABE和Rt△DCF中， BE＝CF， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， ∴AE=DF.
例2：如图，BE∥DF，OB＝OD， AE＝CF.求证：①AB＝CD；②AB∥CD.
解析：由已知条件可得△BOE≌△DOF，
∴△AOB≌△COD（SAS），
OA＝OC，
∴AB=CD.
例2：如图，BE∥DF，OB＝OD， AE＝CF.求证：①AB＝CD；②AB∥CD.
解析：由已知条件可得△BOE≌△DOF， 不能直接证AB＝CD.应当思考两次全等.
证明：②∵△AOB≌△COD（已证）， ∴∠A＝∠C，
∴AB∥CD.
C
D 8
他条件不变，上述结论还成
立B吗？
B′
C N C′
探索新知
12.2三角形全等的判定(ASA和AAS)(共33张PPT)课件
综合应用 -----全等三角形判定
1. 如图，点 E 在 AB 上，∠ 1=∠2 ，∠ 3=∠4 ，那么 CB 等于 DB 吗？为什
么？
C 3 A 1 2 4 D E B
2.如图，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ， 说出△ABＤ≌ △ＣＤＢ的理由。
Ａ Ｂ
Ｄ
Ｃ
3. 如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC， ∠A＝∠D， 试说明：BF∥CE
BED CFD （已证）
B
F D E C
BDE CDF （对顶角相等）
BE CF （已知）
\DBDE DCDF （AAS）
\ BD CD （全等三角形对应边相等）
练 习
(3) 如图，AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD. 求证： (1)C B ( 2)OA OD
3、角边角 4、角角边 三步走：
(ASA) (AAS)
A
D
①要证什么； ②已有什么； ③还缺什么。
=
=
B
E C
F
练 习
(1) 图中的两个三角形全等吗? 请说明理由. 全等 因为两角和其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等.
解：在DABC和DDBC中
ABC DBC (已知)
A
110
B
A D
A C E
B F
D
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
人教版八年级数学上册12.2《三角形全等的判定》【教学课件】 (共25张PPT)
D
E
B
C
知识点详解
探索“HL”判定方法
任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A＇B＇C＇
，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC，A＇B＇=AB，然后把画好的
Rt△A＇B＇C＇剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？
B
画法： （1） 画∠MC＇N =90°； （2）在射线C＇M上取B＇C＇=BC； （3） 以B＇为圆心，AB为半径画弧，
证明：∵ D 是BC 中点，
A
∴ BD =DC
在△ABD 与△ACD 中，
AB =AC ，
∵
BD =CD ，
B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌△ACD （ SSS ）。
知识点详解
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB， ∠A‘=∠A，C′A′= CA（即两边和它们的夹角分别相等），把 画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？ 画法： （1） 画∠DA′E =∠A；
结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一 定全等。
知识点详解
2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ ①两边； ②一边一角； ③两角.
知识点详解
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
4cm
4cm
6cm
6cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等。
知识点详解
②三角形的一条边为4cm，一个内角为30°时
画法: （1）画线段B′C′=BC ； （2）分别以B′、C′为圆心，BA、BC 为半径画弧，两
弧交于点A′； （3）连接线段A′B′，A′Ｃ′。
知识点详解
新人教版八年级数学上册《12.2 三角形全等的判定》教学PPT
两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三 角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此， △ABC 和△DEF 不一定全等．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎么探究出“SAS”判定方法的？用
“SAS”判定三角形全等应注意什么问题？ （3）到现在为止，你学到了几种证明两个三角形
动脑思考，分类辨析
思考 如果只满足这些条件中的一部分，那么能保 证△ABC ≌△A′B′C′吗？
追问1 当满足一个条件时, △ABC 与△A′B′C′ 全等吗？
动脑思考，分类辨析
思考 如果只满足这些条件中的一部分，那么能保 证△ABC ≌△A′B′C′吗？
追问2 当满足两个条件时, △ABC 与△A′B′C′ 全等吗？
全等的方法？
布置作业
教科书习题12.2第2、3、10题．
八年级 上册
12.2 三角形全等的判定 （第3课时）
动手画图，探究“ASA”判定方法
问题1 先在一张纸上画一个△ABC，然后在另一 张纸上画△DEF，使EF =BC，∠E =∠B，∠F =∠C． △ABC 和△DEF 能重合吗？根据你画的两个三角形 及结果，你能得到又一个判定两个三角形全等的方法 吗？
证明： ∠A =∠C，
∠D =∠B ，
A
AF =CE ，
F
∴ △ADF ≌△CBE（AAS）．
∴ DF =BE．
B
D
E C
课堂练习
变式 若将条件 “∠B =∠D”变为“DF∥BE”， 那么原结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请 说明理由．
A
D
F E
B
C
课堂小结
（1）本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？ 分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎么探究出“SAS”判定方法的？用
“SAS”判定三角形全等应注意什么问题？ （3）到现在为止，你学到了几种证明两个三角形
动脑思考，分类辨析
思考 如果只满足这些条件中的一部分，那么能保 证△ABC ≌△A′B′C′吗？
追问1 当满足一个条件时, △ABC 与△A′B′C′ 全等吗？
动脑思考，分类辨析
思考 如果只满足这些条件中的一部分，那么能保 证△ABC ≌△A′B′C′吗？
追问2 当满足两个条件时, △ABC 与△A′B′C′ 全等吗？
全等的方法？
布置作业
教科书习题12.2第2、3、10题．
八年级 上册
12.2 三角形全等的判定 （第3课时）
动手画图，探究“ASA”判定方法
问题1 先在一张纸上画一个△ABC，然后在另一 张纸上画△DEF，使EF =BC，∠E =∠B，∠F =∠C． △ABC 和△DEF 能重合吗？根据你画的两个三角形 及结果，你能得到又一个判定两个三角形全等的方法 吗？
证明： ∠A =∠C，
∠D =∠B ，
A
AF =CE ，
F
∴ △ADF ≌△CBE（AAS）．
∴ DF =BE．
B
D
E C
课堂练习
变式 若将条件 “∠B =∠D”变为“DF∥BE”， 那么原结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请 说明理由．
A
D
F E
B
C
课堂小结
（1）本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？ 分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？
12.2直角三角形全等的判定PPT课件
12.2 三角形全等的判定
(HL)
1. 如图:△ABC≌△DEF，指出它们的对应 角、对应边。
AD
B
E
C
F
对应边：AB——DE
AC——DF
BC——EF 对应角：∠A——∠D
∠B——∠DEF ∠ACB——∠F
2. 我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ SSS、SAS、ASA、AAS
创设情景 引入课题
形能全等吗？
画一画：
动手实践 探索规律
任意画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，再画一个
Rt△A′C′B′ ，使∠C﹦∠C′，B′C′﹦BC，A′B′﹦AB （1）你能试着画出来吗？与小组内的其他同学交流一
（2）把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上， 它们全等吗？你能发现什么规律？
作法：
1. 画∠MC′N=90°； 2. 在射线C′M上取B′C′=BC； 3. 以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′ 4. 连接A′B′，Rt△A′C′B′就是所求作的三角形。
∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD.
1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC， AB＝AD.
求证：∠1=∠2 . A
12
B
D
C
3.如图，AB=CD，AE⊥BC， DF⊥BC，CE=BF. 求证：AE=DF.
C
D
F E
A
B
2.如图，C是路段AB的中点，两人 从C同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走，并同时到达D，E 两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路 段AB的距离相等吗？为什么？
直角三角形全等的判定方法: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”.
(HL)
1. 如图:△ABC≌△DEF，指出它们的对应 角、对应边。
AD
B
E
C
F
对应边：AB——DE
AC——DF
BC——EF 对应角：∠A——∠D
∠B——∠DEF ∠ACB——∠F
2. 我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ SSS、SAS、ASA、AAS
创设情景 引入课题
形能全等吗？
画一画：
动手实践 探索规律
任意画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，再画一个
Rt△A′C′B′ ，使∠C﹦∠C′，B′C′﹦BC，A′B′﹦AB （1）你能试着画出来吗？与小组内的其他同学交流一
（2）把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上， 它们全等吗？你能发现什么规律？
作法：
1. 画∠MC′N=90°； 2. 在射线C′M上取B′C′=BC； 3. 以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′ 4. 连接A′B′，Rt△A′C′B′就是所求作的三角形。
∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD.
1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC， AB＝AD.
求证：∠1=∠2 . A
12
B
D
C
3.如图，AB=CD，AE⊥BC， DF⊥BC，CE=BF. 求证：AE=DF.
C
D
F E
A
B
2.如图，C是路段AB的中点，两人 从C同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走，并同时到达D，E 两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路 段AB的距离相等吗？为什么？
直角三角形全等的判定方法: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”.
人教版八年级数学上册《三角形全等的判定HL(第4课时)》课件
（2） AC = BD（ H）L；
（3） ∠DAB = ∠CB（A AA）S；
D
Байду номын сангаас
C
（4） ∠DBA = ∠CA（B AA）S．
A
B
“HL”判定方法的运用
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的 高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯 的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， D
C
∴ ∠C 和∠D 都是直角．
在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB =BA，
AC =BD，
A
B
∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）．
∴ BC =AD（全等三角形对应边相等）．
“HL”判定方法的运用
变式1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由． （1） AD = BC（ H）L；
• 学习重点： 理解并运用“HL”判定方法．
创设情境引出“HL”判定方法
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个 问题吗？
课堂练习
练习1 如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时
出发，以相同的速度分别沿
D
两条直线行走，并同时到达
D，E 两地．DA⊥AB，EB⊥ A AB． D，E 与路段AB的距离
相等吗？为什么？
解：相等，由题可知，DE=DC， C
E
且C为中点，所以AC=BC，那么在
人教版数学初二上册(八年级)12.2.4-“斜边、直角边”课件
∴ BC﹦AD(全等三角形的对应边相等).
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
变式1
如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，
垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
D
C
HL
P
Rt△ABD≌Rt△BAC A
B
AC=BD
变式2
如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC
这醉人春芬春去芳去春的春又季又回节回，，新愿新桃你桃换生换旧活旧符像符。春。在天在那一那桃样桃花阳花盛光盛开，开的心的地情地方像方，桃，在在 54、勿海不以内要恶存为小知它而已的为，结之天束，涯而勿若哭以比，善邻应小。当而为Tu不它es为的da。开y,始TJuu而elys笑d1a。4y,,72J.01u24ly0.2J10u42l,y022700.21T04uJ.2eu0slyd2a02y20,0TJ:u2ue8lys2d10a4:2y,,82J20u02l:y02781/:413,402/220002:20087:/3104/2020 花这一这醉样醉人美人芬丽芬芳，芳的感的季谢季节你节，的，愿阅愿你读你生。生活活像像春春天天一一样样阳阳光光，，心心情情像像桃桃 65、莫天愁生生前命我路的才无成必知长有已，用，需。天要下吃8时谁饭2人，8分不还8识需时君要28。吃分苦81时4，-2J吃8u分l亏-28。0时7T.21u84e分.s2d10a42y-0J, uJlu-l2y0174.1,42.022002J0uly 20Tuesday, July 14, 20207/14/2020
【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm， 可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等课件(共23张PPT)
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
随堂练习
1.如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证：(1) AE = DF. 分析： CE - EF = BF - EF. 即 CF = BE
Rt△ABE≌Rt△DCF ( HL )
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
课堂小结
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等( “斜边、直角边”或“HL”).
用“HL”判定 直角三角形全等
前提条件 在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一组对 应边相等）
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
针对训练 1.如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 与 路段 AB 的距离相等吗？为什么？
分析： CA = CB， CD = CE， ∠A =∠B = 90°.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
②当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中，
AB＝PQ， AC＝PA， ∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL). ∴ AP＝AC＝10 cm. 综上， 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
用符号语言表达： 在 Rt△ABC 与 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°
AB = A'B' ∵
12.2.4三角形全等的判定——斜边直角边(同步课件)-人教版初中数学八年级上册
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
A
B
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”).
B
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， AB = A′B′，
BC = B′C′， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
A
C
B′
A′
C′
特别提醒：在做题时往往在相等的边或角上
在 △GBF 和 Rt△GDE 中，
D
BF＝DE
∠BFG＝∠DEG
∠BGF＝∠DGE
∴△GBF≌△GDE (AAS)
∴GF=GE，即BD平分EF.
如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，求 DE的长．
解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D， ∴∠AEC=∠D=90°， 在Rt△AEC与Rt△CDB中
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
∴ BF = DE.
B
F
C
E
D
如图，AB = CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 求证：BD 平分 EF.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， AB = CD， AF = CE，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
B
FC AEG
∴BF＝DE
如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF.求证：BF = DE.
证明：∵ BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BFA =∠DEC = 90°.
∵ AE = CF，∴ AE + EF = CF + EF，
即 AF = CE.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中，
人教版八年级上册数学-“斜边、直角边”课件
画图思路
A
新课讲解
N A′
B
C M B′
C′
（4）连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
知识要点
★“斜边、直角边”判定方法 ▼文字语言：
“SSA”可以判定两个直 角三角形全等，但是“边 边”指的是斜边和一直角 边，而“角”指的是直角.
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
第十二章 全等三角形
12.2 全等三角形的判定
第4课时 斜边、直角边
学习目标
一、基本目标 【知识与技能】 1．会运用“边边边”证明三角形全等． 2．会根据“边边边”作一个角等于已知角． 【过程与方法】 经历探索三角形全等条件的过程，体验由操作、归纳得出结论的过程． 【情感态度与价值观】 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于 探索的良好品质以及发现问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】 掌握两个三角形全等的判定条件——“边边边”． 【教学难点】 探索三角形全等的条件的过程．
B
▼几何语言：
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
A
C
AB=A′B′,
B′
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
A′
C′
新课讲解
判一判 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不
全等的画“×”，全等的注明理由.
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等.（AAS ）
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
则 CH的长为（ A ）
人教版八年级数学上册第4课时“斜边、直角边”判定三角形全等
课堂练习
2.（1）如图， ∠ACB=∠ADB=90 °,要使
△ABC≌△BAD，还需增加一个什么条件？把增加
的条件填在横线上，并在后面的括号中填上判定全 等的理由. ① ____A_D__=_B_C___ （ HL ）； ② ____B_D__=_A_C___ （ HL ）； ③∠__D_A__B_=_∠__C_B__A（AAS）； ④ ∠__D__B_A_=_∠__C__A_B（AAS）.
例 如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D, AC=BD.求证 BC=AD.
证明：∵ AC⊥BC,BD⊥AD，
∴ ∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA, AC=BD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) ∴BC=AD.
探究新知
你能用几种方法判定两个直角三角形全等呢？ “定义、SSS、SAS、ASA、AAS”以及“HL”
的距离相等吗？为什么？
相等
课堂练习
证明：∵ DA⊥AB，EB⊥AB ∴ ∠A=∠B=90 ° 在Rt△ACD和Rt△BCE中，
AC=BC
CD=CE ∴ Rt△ACD ≌ Rt△BCE（HL） ∴ AD=BE
2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为
E，F，CE=BF，求证：AE=DF.
小结
通过本节课的学习，同学们有哪些收获？ 1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一
般三角形判定全等的方法，而且还有直角三角形特 殊的判定全等的方法——“HL”.
2.两个直角三角形中，由于有直角相等的条 件，所以判定两个直角三角形全等，只需找两个条 件（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相 等）即可.
课堂练习
八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.2三角形全等的判定(第4课时图文详解)
通过本课时的学习，需要我们掌握： 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形
判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形 特殊的判定方法：HL.
八年级数学上册第12章全等三角形
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE
B
A
E
F
C
D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵ AE=CF
∴AF=CE 又∵ AB=CD
A
E
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴ BF=DE
D
B
八年级数学上册第12章全等三角形
我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ 1、边边边(SSS) 2、边角边(SAS) 3、角边角(ASA) 4、角角边(AAS)
八年级数学上册第12章全等三角形
A 如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若A= D，AB=DE，
F
E
B
C
则△ ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全
等”）根据 ASA （用简写法）.
D
八年级数学上册第12章全等三角形
（2）若A=D，BC=EF，则 △ABC与△ DEF 全等 （填
“全等”或“不全等”）根据 AAS .（用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△ DEF 全等 （填“全 等”或“不全等”）根据 SAS （用简写法）
八年级数学上册第12章全等三角形
第12章全等三角形
八年级上册
八年级数学上册第12章全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时
八年级数学上册第12章全等三角形
判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形 特殊的判定方法：HL.
八年级数学上册第12章全等三角形
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE
B
A
E
F
C
D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵ AE=CF
∴AF=CE 又∵ AB=CD
A
E
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴ BF=DE
D
B
八年级数学上册第12章全等三角形
我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ 1、边边边(SSS) 2、边角边(SAS) 3、角边角(ASA) 4、角角边(AAS)
八年级数学上册第12章全等三角形
A 如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若A= D，AB=DE，
F
E
B
C
则△ ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全
等”）根据 ASA （用简写法）.
D
八年级数学上册第12章全等三角形
（2）若A=D，BC=EF，则 △ABC与△ DEF 全等 （填
“全等”或“不全等”）根据 AAS .（用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△ DEF 全等 （填“全 等”或“不全等”）根据 SAS （用简写法）
八年级数学上册第12章全等三角形
第12章全等三角形
八年级上册
八年级数学上册第12章全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时
八年级数学上册第12章全等三角形