【高考状元】数学错题本：第7章《数列》易错题(Word版,含解析)

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第7章 数列易错题
易错点1、已知n S 求n a 时, 易忽略1n =致错、
【例1】已知数列{}n a 的前项和为n S ＝12n 2＋12
n ＋1、求{}n a 的通项公式、
【错因】1n n n a S S -=-成立的条件是2n ≥、当1n =要单独验证、
易错点2、利用等比数列前n 项和公式时、忽略公比1q =致错、
【例2】求数列2311,3,5,7,......(21),.....(0)n a a a n a a --≠的前n 项和、
【错解】由于1(21)n n a n a -=-(*)n N ∈、
23211357......(23)(21)n n n S a a a n a n a --=+++++-+- n aS = 2341357......(23)(21)n n a a a a n a n a -+++++-+- 两式相减得231(1)1222.....2(21)n n
n a S a a a a n a --=+++--=12(21)11n n a n a a ----- 21(21)12(1)1n n n a n a S a a
--+∴=--- . 【错因】上述解法只适合1a ≠的情形、
事实上、当1a =时、1357......(23)(21)n S n n =+++++-+-2(121)2
n n n +-== 【正解】221(21)12,1(1)1,1n n n a n a a a a S n a ⎧--+-≠⎪--=⎨⎪=⎩
、
易错点3、忽略数列与函数的区别致错、
【例3】已知函数5,6()(4)4,62
x a x f x a x x -⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩、数列{}n a 满足()n a f n =（*N n ∈）、且数列{}n a 是单调递增数列、则的取值范围是_______、 【错解】由题有651402
(4)642
a a a a -⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪-⨯+<⎪⎩、得78a <<、
【错因】忽略数列与函数的区别致错、实际上、数列是一串离散的点、不能直接将6n =带入到分段函数的两个部分进行比较、 【正解】由题有1402
(5)(6)
a a f f >⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩、得4887a <<、 【例4】 已知数列22n a n tn =-+在[2,)+∞是递增数列、则实数的取值范围是_______、 【错解】依题意、22
t n =≤、解得4t ≤、所以的取值范围是(,4]-∞、 【错因】数列的定义域是全体的正整数、不是实数、所以不能按照函数的处理办法、
【正解】依题意、23a a <、即422932t t -+<-+、故5t <、
易错点4、数列的定义域是全体的正整数、
【例5】已知数列133n a n =-、其前项和为n S 、则n S 的最大值是________、
【错解】由题意、110a =、2(10133)323529()22624n n n S n +-=
=--+、当236n =时、n S 的最大、最大值是为52924
n S =、 【错因】数列的自变量是正整数、不能取非正数、 【正解】方法1：由题意、110a =、2(10133)323529()22624n n n S n +-=
=--+、当4n =时、离二次函数对称轴最近、所以n S 的最大值是为4S =2
23434222
⨯-⨯=、 方法2：令1330n a n =->、解得134
n <、即{}n a 前4项为正数、后面项均为负数、所
以n S 的最大值为4S =2
23434222
⨯-⨯=、
易错点5、乱用结论致错、
【例6】已知等差数列{}n a 的前m 项、前2m 项、前3m 项的和分别为23,,m m m S S S 、若
230,90m m S S ==、求3m S 、
【错解】因为322m m m S S S +=、30m S =、290m S =、所以322150m m m S S S =-=、
【错因】以为{}n a 为等差数列、则23,,m m m S S S 也是为等差数列致错、
【正解】设数列的公差为d 、则123......m m S a a a a =++++、
212312...........m m m m
S a a a a a a +=+++++++、31232213...........m m m m S a a a a a a +=+++++++
11()2m m S a m -=+、2131()2m m m S S a m --=+、32151()2
m m m S S a m --=+ 所以232,,m m m m m S S S S S --是公差为2m d 的等差数列、所以()2322m m m m m
S S S S S -=+-、 即32(9030)3090m S ⨯-=+-、3180m S ∴=、
易错点6、乱设常量致错、
【例7】数列{}n a 与{}n b 的前项和分别为,n n S T 、且:(513):(45)n n S T n n =++、则1010:a b =_______
【错解】(513),(45)n n S n k T n k =+=+、则15n n n a S S k -=-=、14n n n b T T k -=-=、所以1010:5:4a b =、
【错因】从:(513):(45)n n S T n n =++可知、比值:n S (513)n +=n T :(45)n +随着项数的变化而变化、不能设为常数、这里忽略了项数的可变性而致错、
【正解】设(513),(45)n n S n nk T n nk =+=+、则1(108)n n n a S S n k -=-=+、1(81)n n n b T T n k -=-=+、其中2n ≥、:n n a b ∴=(108):(81)n n ++、所以1010:a b =4:3、
易错点7、用归纳代替证明致错、
【例8】【2016年高考四川理数改编】已知数列{n a }的首项为1、n S 为数列{}n a 的前n 项和、11n n S qS +=+ 、其中q>0、*n N ∈ 、若2322,,2a a a + 成等差数列、求{}n a 的通项公式；
【错解】依题意112132=112=32a a a qa a a ìïïïï+=+íïïï+ïî
、解得123124a a a ì=ïïïï=íïïï=ïî、因为2213a a a =、所以{}n a 是一个等比数列、所以1*2()n n a n -=?N 、
【错因】由前3项成等比数列、就认为数列{}n a 为等比数列、
【正解】由已知、1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =、故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以、数列{}n a 是首项为1、公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.
由2322+2a a a ，，成等比数列、可得322=32a a +、即22=32,q q +、则(21)(2)0q +q -=、 由已知,0q >、故 =2q .
所以1*2()n n a n -=?N .
易错点8、数列加绝对值后、认为其还是等差数列、
【例9】在等差数列{}n a 中、331n a n =-、记||n n b a =、求数列{}n b 的前30项和.
【错解】依题意、||n n b a =也是等差数列、11||28b a ==、3030||59b a ==、 所以3012330(2859)30||||||......||12602
S a a a a +⨯=++++==、 【错因】这里易错点是{}n b 也为等差数列、而解题的关键是绝对值号内的n a 的正负号进行讨论、当10n ≤时、0,11n a n <≥时、0n a >
【正解】3012330||||||......||S a a a a =++++
1231011121330(......)(......)a a a a a a a a =-+++++++++
110113010()20()22
a a a a ++=-+=755、
易错点9、使用构造法求数列通项公式时、弄错首项致错、
【例10】已知数列{a n }满足a 1＝1、121n n a a +=+、求n a 的通项公式、
【错解】*121()n n a a n N +=+∈ 、112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以2为公比的等比数列 11122n n n a --∴=⨯=*()n N ∈、
【错因】新数列的首项是112a +=、不是1a 、
【正解】*121()n n a a n N +=+∈ 、112(1),n n a a +∴+=+
{}1n a ∴+是以112a +=为首项、2为公比的等比数列 12
.n n a ∴+=
即 *21().n n a n N =-∈。