高等数学3.1

因此当| x x0 | 很小时，有近似公式
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) .
从几何上看，上述表达式可以解释为:在点x0的附 近用曲线y=f(x)在点 ( x0 , f ( x0 ))处的切线来代替曲线
y=f(x) (简言之，在点x0附近，用切线近似曲线.) .
3 π 3 π f ( π) 1 f ( ).因此 sin x在[ π , ]上满足罗 2 2 2 2 尔定理.应选C.
对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可
导，因此应排除Ｄ.
综合之，本例应单选Ｃ.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导， f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( A.仅有一条； C.不一定存在； B.至少有一条； D.不存在. ).
定理条件.
由拉格朗日定理可知，必定存在 (1,3), 使
f (b) f (a) f ( ) . ba 由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(－1)=4,而f ( ) 4 1 .
因此有
16 4 4 1 3. 3 (1)
可解得 1 ，因此本例应选D.
上述结论对b<a也成立.
如果f(x)在(a,b)内可导， 0 (a, b), x0 x (a, b), 则 x 在以 x0与x0 x为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日 中值定理，即
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( )x,
其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
例4 试证 | arctan b arctan a || b a | .
对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变 量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x. 证 设f(x)=arctan x ,不妨设a<b . 由于arctan x在[a,b]上连续，在(a,b)内可导. 因此arctan x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件. 可知必定存在一点 (a, b) , 使得 f (b) f (a) f ( )(b a) . 由于
1 (arctan x) 1 x2
从而有
arctan b arctan a
由于1 2 1 ，因此
1 1
2
(b a), a b .
| arctan b arctan a |
1 1
2
| b a || b a | .
x ln(1 x) x . 例5 当x>0时,试证不等式 1 x 分析 ln(1 x) ln(1 x) ln 1
例如f(x)=|x|在[－1,1]上连续，且f(－1)=f(1)=1,但 是|x|在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在 (1,1), 使 f ' ( ) 0 . 又如f(x)=x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，但是
f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 (0,1) ，使 f ( ) 0 .
弧两端点连线对应的纵坐标之差.
f (b) f (a) ( x a). 证 令 ( x) f ( x) f (a ) ba
由于f(x)在[a,b]上连续，因此 (x) 在[a,b]上连续. 由于f(x)在(a,b)内可导，因此 (x) 在(a,b)内可导. 又由于
(a) 0 (b),
取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.
则f(t)=ln(1+t) 在区间[0,x]上满足拉格朗日中值
定理，因此必有一点 (0, x) 使得. 1 f (t ) ln(1 t )，f ' (t ) ，f ' ( ) , 1 t 1 1 x ln(1 x) ln 1 [(1 x) 1] , 1 1
来近似表达函数f(x)，并使得当x x0 时， f ( x) Pn ( x) 为比 ( x x0 ) n 高阶的无穷小,还希望能写出 f ( x) Pn ( x) 的具体表达式，以便能估计误差.
设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使 与f(x)尽可能相近，希望
因此 (x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少
存在一点 (a, b)，使 ( ) 0 ，即
f (b) f (a) f ( ) 0, ba
f (b) f (a) ，或表示为 从而有f ( ) ba
f (b) f (a) f ( )(b a).
1 不难发现 f ( x) ，在[－2,0]上不满足连续的 x 条件，因此应排除A.
对于 f ( x) ( x 4) 2，在[－2,4]上连续，在(－2,4) 内可导；f(－2)=36，f(4)=0，f (2) f (4) ，因此 应排除B.
3 π 3 π 对于f ( x) sin x，在[ π, ]上连续, 在( π, )内 2 2 2 2 可导,
上述近似公式有两点不足： 1. 精度往往不能满足实际需要； 2. 用它作近似计算时无法估计误差. 因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式. 在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望
能用多项式
Pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) 2 an ( x x0 ) n
于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 ( , f ( )), 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
弦线的方程为
f (b) f (a) y f (a) ( x a) . ba 作辅助函数
f (b) f (a) ( x) f ( x) f (a) ( x a) ba 即可. (x) 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格
朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗
日中值定理的推广.
五、泰勒公式
由微分的概念知道，如果y=f(x)在点 x0 处可导，
则有 y dy o(x)，即
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x)x, 0 1
或
y f ( x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 推论1 若 f (x)在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必
分析 由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在[a,b]上
满足罗尔定理条件，可知至少存在一点 (a, b),
使得 f ( ) 0. 又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在 ( , f ( )) 处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本 例应选B.
例3 选择题.函数 f ( x) 2 x 2 x 1在区间[－1,3]上满 足拉格朗日中值定理的 =( ). 3 A. ; B. 0; C. 3; D. 1 . 4 分析 由于 f ( x) 2 x 2 x 1 在[－1,3]上连续，在(－1,3) 内可导，因此f(x)在[－1,3]上满足拉格朗日中值
(
).
1 A. f ( x) , x [2,0] . x
B. f ( x) ( x 4) 2 , x [2,4] .
3 π C. f ( x) sin x, x [ π, ] . 2 2 D. f ( x) | x |, x [1,1] .
分析 注意罗尔定理的条件有三个: (1)函数y=f(x) 在 [a,b]上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).
四、柯西中值定理
定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g ( x) 0,
f ( ) f (b) f (a) 则至少存在一点 (a, b)，使 . g ( ) g (b) g (a)
由于0 x，因此
1 1 1, 1 x 1
进而知
x x x, 1 x 1
即
x ln(1 x) x . 1 x
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明
不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
f(x)=g(x)+C,
其中C为某常数. 事实上，由已知条件及导数运算性质可得
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) 0.
由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.
例1 选择题.选出符合题意的选项.
下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有
件 ( f (0) f (3)), 但是存在 1 (0,3) ，使 f (1) 0 .
三、拉格朗日中值定理
定理4.2 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导；
f (b) f (a) 则至少存在一点 (a, b)，使f ( ) . ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 (x), 使 (x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由 ' ( ) 0
f (b) f (a) 则问题可解决. 能导出 f ( ) ， ba
拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直
x, 0 x 1, 再如 f ( x) f(x) 在(0,1)内可导， 0, x 1, f(0)=0=f(1)，但是f(x)在[0,1]上不连续，本例不存在