2020年中考数学复习知识点分类专题提升练习《圆》的六类高频考点靶向专练(无答案)
2020年中考数学基础题提分精讲精练专题09 圆
半圆 O 与 AC 相切，M，N 分别是 BC 与半圆弧上的动点，则 MN 的最小值和最大值之和是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解析】
如图，设⊙O 与 AC 相切于点 D，连接 OD，作 OP BC 垂足为 P 交⊙O 于 F， 此时垂线段 OP 最短，PF 最小值为 OP OF ， ∵ AC 4 ， BC 3， ∴ AB 5
2 ∴ ABD ABC CBD 72
故选：C．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）
×180°是解题的关键．
【举一反三】 1．（2019·四川中考模拟）如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，AB=2 2 ，则 AB 的长是（ ）
9
专题 09 圆
必考点 1 圆的有关性质 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫
圆，固定的端点 O 叫圆心，线段 OA 叫半径。 由圆的意义可知： 圆上各点到定点（圆心 O）的距离等于定长的点都在圆上。 就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径
故选 A．
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB 的度数和 OA 的长是解此题的关键．
2．（2019·贵州中考真题）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是（
）
A．30°
B．45°
C．60°
10
D．90°
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《圆》题型分类资料一．圆的有关概念:1。
下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（）A. 1个B。
2个C。
3个D.4个2．下列命题是假命题的是（ )A．直径是圆最长的弦B．长度相等的弧是等弧C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等D．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3。
下列命题正确的是 ( ）A．三点确定一个圆B．长度相等的两条弧是等弧C．一个三角形有且只有一个外接圆D。
一个圆只有一个外接三角形4.下列说法正确的是（）A．相等的圆周角所对的弧相等B．圆周角等于圆心角的一半C．长度相等的弧所对的圆周角相等D．直径所对的圆周角等于90°5。
下面四个图中的角，为圆心角的是（）A．B．C．D．二．和圆有关的角：1. 如图1,点O是△ABC的内心,∠A=50 ，则∠BOC=_________图1 图22。
如图2,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为（ ) A。
116° B。
64° C. 58° D。
32°3. 如图3，点O为优弧AB所在圆的圆心,∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D 的度数为A图3 图44. 如图4,AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C,D是优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝_________度．5. 如图5，在⊙O中， BC是直径，弦BA,CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°,则∠AOD ＝．图5 图66。
中考数学复习资料】专题圆
初三数学辅导班学习资料圆学校姓名1.圆有关的概念: （中心对称、轴对称图形）（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．2.圆的有关的性质：（旋转不变性）（1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条同一类弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；（知一得二）（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（此处直径可减弱为过圆心的半径）（3）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；（4）圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（5）圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补. （6）圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90.的圆周角所对的弦是直径；（7）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（8）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；（9）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角，并平分两切点的连线段.（10）公共弦定理：两圆相交，连心线垂直平分公共弦.3．三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心4.点与圆的位置关系（3种）：点在圆外，圆上，圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．5．直线和圆的位置关系（3种）：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r，直线与圆相切⇔d=r，直线与圆相离⇔d＞r6.圆与圆的位置关系（5种）．设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则⑴两圆外离⇔d＞R+r；⑵两圆外切⇔d=R＋r；⑶ 两圆相交⇔R －r ＜d ＜R+r （R ＞r ） ⑷ 两圆内切⇔d=R －r （R ＞r ） ⑸ 两圆内含⇔d ＜R —r （R ＞r ） 7.圆有关的计算:(1)弧长计算公式：180R n l π=（R 为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数，l 为弧长） (2)扇形面积：2360R n S π=扇形或lRS 21=扇形（R 为半径，n 是扇形所对的圆心角的度数，l 为扇形的弧长）(3)圆锥: 圆锥的侧面积为S 侧＝12·2πr·l ＝πr l ；全面积为S 全＝πr 2＋πr l ．8.圆中的多解及常作辅助线（1）由于点与圆的位置，点在圆上的位置不确定关系而多解 （圆内、圆外、圆上） （2）由于弦所对弧的优劣而多解（一条弦对两条弧） （3）弦所对的圆周角的位置产生多解（一条弦对两类圆周角） （4）由于两平行弦与圆心的位置而多解 （在圆心同侧或异侧） （5）直线与圆的关系而多解（6）圆与圆的关系而多解（相切包括内切、外切）（7）两圆相交时，两圆心与公共弦的位置而多解（两圆心在公共弦同侧或异侧） 9.圆中常作辅助线 （1）证明线段相等作半径（2）求圆中弦的长度，过圆心做垂线段，利用垂径定理构造直角三角形求解 （3）求角的度数，利用同一类圆周角转化一、知识点1、与圆有关的角——圆心角、圆周角，（两者之间的关系 ） （1）图中的圆心角 ；圆周角 ；（2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB= 度；（3）在上图中，若AB 是圆O 的直径，则∠ACB= 度； 2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为 ．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图，∵CD 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于E∴ = ， =3、点和圆的位置关系有三种：点在圆 ，点在圆 ，点在圆 ； 例1：已知圆的半径r 等于5厘米，点到圆心的距离为d ， （1）当d =2厘米时，有d r ，点在圆 （2）当d =7厘米时，有d r ，点在圆 （3）当d =5厘米时，有d r ，点在圆4、直线和圆的位置关系有三种：相 、相 、相 ．例2：已知圆的半径r 等于12厘米，圆心到直线l 的距离为d ， （1）当d =10厘米时，有d r ，直线l 与圆 （2）当d =12厘米时，有d r ，直线l 与圆 （3）当d =15厘米时，有d r ，直线l 与圆 5、圆与圆的位置关系：例3：已知⊙O 1的半径为6厘米，⊙O 2的半径为8厘米，圆心距为 d ， 则：R+r= ， R －r= ；（1）当d =14厘米时，因为d R+r ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： （2）当d =2厘米时， 因为d R －r ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： （3）当d =15厘米时，因为 ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： （4）当d =7厘米时， 因为 ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： （5）当d =1厘米时， 因为 ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： 6、切线性质：例4：（1）如图，PA 是⊙O 的切线，点A 是切点，则∠PAO= 度（2）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 是切点，则 = ，∠ =∠ ； 7、圆中的有关计算 （1）弧长的计算公式：例5：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？ 解：因为扇形的弧长=()180所以l =()180= (答案保留π)（2）扇形的面积：例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？ 解：因为扇形的面积S=()360所以S=()360= (答案保留π)②若扇形的弧长为12πcm ，半径为6㎝，则这个扇形的面积是多少？ 解：因为扇形的面积S=所以S= =（3）圆锥：例7：圆锥的母线长为5cm ，半径为4cm ，则圆锥的侧面积是多少？解：∵圆锥的侧面展开图是 形，展开图的弧长等于 ∴圆锥的侧面积=8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的 交点； 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的 交点； 例8：画出下列三角形的外心或内心（1）画三角形ABC 的内切圆， （2）画出三角形DEF 的外接圆， 并标出它的内心； 并标出它的外心二、练习：OBAC （一）填空题1、如图，弦AB 分圆为1：3两段，则⌒AB 的度数= 度，⌒ACB 的度数等于 度；∠AOB ＝ 度，∠ACB ＝ 度， 2、如图，已知A 、B 、C 为⊙O 上三点，若⌒AB 、⌒CA 、⌒CB 的 度数之比为1∶2∶3，则∠AOB ＝ ，∠AOC ＝ ， ∠ACB ＝ ，3、如图1－3－2，在⊙O 中，弦AB=1.8cm ，圆周角∠ACB=30○ ， 则 ⊙O 的半径等于=_________cm ．4、⊙O 的半径为5，圆心O 到弦AB 的距离OD=3， 则AD= ，AB 的长为 ；5、如图，已知⊙O 的半径OA=13㎝，弦AB ＝24㎝， 则OD= ㎝。
2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题(含答案)
1 ∵AH＝2AC＝ 3，
AH ∴OA＝sin60°＝2. ∴⊙O 半径的长为 2. (2)证明：在 BM 上截取 BE＝BC，连接 CE， ∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC， ∴∠MBA＝∠MBC＝60°. ∵BE＝BC， ∴△EBC 是等边三角形．
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°. ∴∠BCD＋∠DCE＝60°. ∵∠ACM＝∠ABM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°. ∴∠ECM＝∠BCD. ∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°. ∴△ACM 是等边三角形．∴AC＝CM. ∴△ACB≌△MCE(SAS)．∴AB＝ME. ∵ME＋EB＝BM， ∴AB＋BC＝BM.
基础题组
1．(2019·保定一模)已知⊙O 的半径 OA 长为 2，若 OB＝ 3，则可以得到的正确图形可
能是(A)
2．(2019·广州)平面内，⊙O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙O 的切线条
数为(C)
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点 A 为圆心作圆．如果⊙A 与线
则∠D＝27°．
基础题组
1．(2019·柳州)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是(D)
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
A︵B
A︵B
2．(2019·吉林)如图，在⊙O 中， 所对的圆周角∠ACB＝50°.若 P 为 上一点，
∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为(B)
A．30°
3 切，连接 OC，则 tan∠OCB＝ 5 ．
北师大版2020九年级数学：《圆》章节知识点复习专题
【文库独家】《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
中考圆专题知识点总结
中考圆专题知识点总结一、圆的概念圆是平面上一个集合，该集合中任意两点的距离都相等，并且距离都等于圆的半径。
圆的周长叫做圆的周长，圆的面积叫做圆的面积。
圆的半径为r，圆的直径为d。
二、圆的性质1. 圆的周长和面积：圆的周长C = 2πr圆的面积S = πr²2. 弧和圆心角：- 弧：两点间的曲线部分，圆的一部分。
- 弧长：弧的长度，记作L。
- 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的弧度数。
3. 弧长公式：L = rθ（θ用弧度表示）4. 圆周角：圆周角是一条弧所对的圆心角。
圆周角的度数等于它所对的圆心角的两倍。
5. 切线和切点：切线是与圆只有一个交点的直线。
切线与圆相切的点叫做切点。
6. 相交弧、对应弧和交角：- 相交弧：两个圆相交的弧。
- 对应弧：两个圆相交的弧的对应部分。
- 交角：两个相交弧的交角。
7. 圆内接四边形：如果一个四边形的四个顶点都在圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。
8. 圆的切线和割线：切线是与圆只有一个交点的直线，割线是与圆相交而不相切的直线。
切线和割线的切点到圆心的连线和圆的半径相垂直。
三、圆周角、圆心角和弧对应的关系1. 圆周角的度数等于所对的圆心角的两倍。
2. 圆周角的度数等于所对的弧的度数。
3. 圆心角的度数等于所对的弧的度数。
四、圆的性质定理证明1. 同弧或同角：弧对应的圆心角和圆周角以及弧的长度都相等。
2. 切线定理：若直线与圆相交，且交点在圆外，则直线与圆的切点连线垂直于直线。
3. 切线与弦定理：如果一条切线和一条弦相交于圆上的同一点，则切线上这个点的两个切线段相等。
五、常见的圆相关问题1. 圆与圆之间的位置关系：相离、外切、相交、内切、相切。
2. 圆的面积和周长问题：求圆的面积和周长。
3. 圆心角、圆周角和弧的问题：根据给定的信息计算圆心角、圆周角和弧的长度。
4. 切线和切点的问题：计算切线和切点的位置以及相关长度。
5. 圆的切线和割线问题：计算切线和割线的位置以及相关长度。
2020年中考数学一轮复习基础考点及题型专题 圆(解析版)
专题圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。
中考数学圆知识点归纳(中考数学专题复习)
中考数学圆知识点归纳（中考数学专题复习）圆是初中数学几何部分的难点，涉及到的公式定理相对较多，且容易和其他数学知识相结合，以压轴题的方式出现在试卷中。
豆姐建议大家在复习的过程中，一定要先打好基础知识，这遍复习一定要确保掌握概念、公式、定理等！圆的高频考点你会吗？一起来看~考点一圆的定义圆是圆周，是曲线，而不是指圆面。
考点二弦与直径弦与直径的关系：直径是过圆心的弦，凡是直径都是弦，但弦不一定是直径，因此，在提到“弦”时，如果没有特殊说明，不要忘记直径这种特殊的弦。
(直径是圆中最长的弦)考点三弧和半圆半圆是弧，但弧不一定是半圆。
(1)优弧和半圆通常用三个字母表示，劣弧通常用两个字母表示。
(2)知道弧的两个端点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论。
(3)由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
同一条弦分别与所对的优弧、劣弧组成两个不同的弓形。
等弧只能出现在同圆或等圆之中，等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧。
考点四圆的对称性圆有无数条对称轴；圆是旋转对称图形，它关于圆心有任意角的旋转对称性。
考点五垂径定理及其推论一条直线如果具有：(1)经过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(被平分的弦不是直径)；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧。
这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”。
考点六圆心角及圆心角定理圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
圆心角、弧、弦直接的关系可归纳为：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么所对应的其余各组量也分别相等。
考点七圆周角及圆周角定理圆周角必须具备两个特征：第一，顶点在圆上；第二，两边都与圆相交，如图，只有③是圆周角。
切记，同一条弧所对的圆周角有无数个。
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。
(1)在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
数学中考复习 圆的相关知识点及习题
圆专题一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1.圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．（2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．F EBA CDOr a 2d O CBA所对的两圆心角相等所对的两条弦相等 所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等EO D B A【例1】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>【例2】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例3】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例4】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ ∠的大小为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒【例5】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例6】 如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于ON MHG FE DC BA（ ） A ．60°B ．100°C ．80°D ．130°【例7】 如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．【例8】 如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例9】 如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．【例10】 如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 都在O 上，若C D E ==∠∠∠，求A B +∠∠．DCA BBA【例11】 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．【例12】 如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为( )B.4D.5【例13】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例14】 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．2. 圆内接四边形【例15】 如图，O ⊙外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上一点，且1AP =，PB =PC 的长．【例16】 如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点P ，BAPEC BAP DCBAAB BD =，且0.6PC =，求四边形ABCD 的周长．【例17】 如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．一、点与圆的位置关系4. 确定圆的条件（5） 圆心(定点)，确定圆的位置； （6）半径(定长)，确定圆的大小．注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 5. 点与圆的位置关系（7） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定． （8） 设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.如下表所示：C二、过已知点的圆1. 过已知点的圆（1） 经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个． （2） 经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A B 、的圆，这样的圆也有无数个． （3） 过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． （4） 过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．三、三角形的外接圆及外心1. 三角形的外接圆（1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2） 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2. 三角形外心的性质（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.一、点与圆的位置关系【例18】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．7二、过三点的圆【例19】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【例20】 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C ，，，其中B 点的坐标为()44，，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ．三、三角形的外接圆及外心【例21】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC = .【例22】 等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍． ABCD ．12【例23】 ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【例24】 已知如图，ACD ∆的外角平分线CB 交其外接圆于B ，连接BA 、BD ，求证：BA BD =．N【例25】 已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ． ⑴ 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；⑴ 若30∠=︒BAC ，∆ABC 中BC边上的高为2+∆ABC 外接圆的面积．直线与圆的位置关系设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：6. 切线的性质（9） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（10） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB 过圆心，AB 过切点M ，则AB l ⊥． ②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB 过圆心，AB l ⊥，则AB 过切点M ． ③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l ⊥，AB 过切点M ，则AB 过圆心．7. 切线的判定（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．AB CD El8. 切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-．二、切线的性质及判定【例1】 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC 与O ⊙相切．lcb acbaO F ED CACBAB A【例2】 已知：如图，ABC ∆内接于O ，AD 是过A 的一条射线，且B CAD ∠=∠．求证：AD 是O 的切线．【例3】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例4】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．【例5】 已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．【例6】 如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．C【例7】 如图，已知AB 为⑴O 的弦，C 为⑴O 上一点，⑴C =⑴BAD ，且BD ⑴AB 于B ．（1）求证：AD 是⑴O 的切线．（2）若⑴O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．【例8】 如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．【例9】 如图，AB 是O ⊙的的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦DF AB⊥于点G ．（1）求证：点E 是BD 的中点； （2）求证：CD 是O ⊙的切线；（3）若4sin 5BAD ∠=，O ⊙的半径为5，求DF 的长．【例10】 如图，等腰三角形ABC 中，10AC BC ==，12AB =．以BC 为直径作O ⊙交AB 于点D ，交AC于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O ⊙的切线； （2）求sin E ∠的值．一、切线长定理1.如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=︒，P ∠的度数为（ ） A ．35︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．70︒2.如图，PA PB 、分别切O ⊙于A B ，两点，PC 满足AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅，且AP PC ⊥，2PAB BPC ∠=∠，求ACB ∠的度数．3.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．8C．D．P则OP =（ ）A ．50cm B．cm Ccm D．cm5.如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D C E ，，．若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（ ）A ．9B ．10C ．12D ．146.等腰梯形ABCD 外切于圆，且中位线MN 的长为10，那么这个等腰梯形的周长是________．7.如图，PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、，若10PO =，PDE ∆周长为16，求O ⊙的半径．8.如图，PA PB ，切O 于AB ，，MN 切O 于C ，交PA PB ，于M N ，两点，已知8PA =，求PMN ∆的周长．PB P于G，交AB AC、于MN，则BMN∆的周长为______________．10.如图，已知AB是O⊙的直径，BC是和O⊙相切于点B的切线，O⊙的弦AD平行于OC，若2OA=，且6AD OC+=，求CD的长．补充讲义两圆的公切线（选讲自己了解）9.两圆的外公切线（11）求两圆外公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的差为边的特征直角三角形．如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为α，则两圆的外公切线长为：l=，sin2R rdα-=（12）求两圆内公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的和为边的特征直角三角形．10.两圆的内公切线如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为α，则两圆的内公切线长l=，sin2R r dα+ =CB AP圆与相似三角形经典证明题1.如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3 点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系为．2．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．3．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．4．．Rt．ABC．．．ACB=90°．D．AB．．．．．．．BD．．．．．O．AC．．E．．．DE．．．．．BC．．．．．．．F．．BD=BF．．1．．．．AC．．O．．．．2．．BC=6．AB=12．．．O．．．．5．．．．AB．．O．．．．．．A．．O．．．．．．．．．．C．．．OC．．O．．D．BD．．．．．AC．E．．．AD．．1．．．．．CDE．．CAD．．2．．AB=2．AC=2．．AE．．．6. 已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB 于点E．．1．．．．AC•AD=AB•AE．．2．．．BD．⊙O．．．．D．．．．E．OB．．．．．BC=2．．．AC．．．7．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线.8. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．9. 如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．10.．．．．．O．．AB．．．．OC．AB．．CD．OB．．．F．．AB．．．．．．．E．．EF=ED．．1．．．．DE．．O．．．．．2．．OF．OB=1．3．．O．．．R=3．．．．．11．．．．AB ．⊙O ．．．．．D ．．．．．．∠BDE =∠CBE ．BD ．AE ．．．F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2=DF •DB ；（3）在（2）的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA =AO ，DE =2，求PD 的长和⊙O 的半径．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连接AC ，BC ，PB ：PC =1：2． （1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由； （3）若AD =3，求△ABC 的面积．13．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OF ⊥BC 于点F ，交⊙O 于点E ，AE 与BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且∠ODB =∠AEC . （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）求证：2CE EH EA =⋅； （3）若⊙O 的半径为5，3sin 5A =，求BH 的长.第13题图FH EOC B A。
初三《圆》章节知识点复习专题
初三《圆》章节知识点复习专题(总7页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；A3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；图4图5（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
2020年中考数学 临考大专题复习：圆(解析版)
2020中考数学临考大专题复习：圆（含答案）一、选择题（本大题共8道小题）1. 如图，AB为☉O的切线.切点为A，连接AO，BO，BO与☉O交于点C，延长BO与☉O交于点D，连接AD.若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°2. 如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，若AB=10，AC=8，则BD的长为()A.2√5B.4C.2√13D.4.83. 下列四个命题:①直径所对的圆周角是直角;②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等;④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为 ()A.1B.2C.3D.4⏜=CB⏜.若∠C=110°，4. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC则∠ABC的度数等于()A.55°B.60°C.65°D.70°5. 如图，☉O的直径AB垂直于弦CD.垂足是点E，∠CAO=22.5°，OC=6，则CD的长为()A.6√2B.3√2C.6D.126. 如图，已知AB是☉O的直径，点P在BA的延长线上，PD与☉O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4，BC=6，则P A的长为()A.4B.2√3C.3D.2.57. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是()A.AB，AC边上的中线的交点B.AB，AC边上的垂直平分线的交点C.AB，AC边上的高所在直线的交点D.∠BAC与∠ABC的角平分线的交点8. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5道小题）9. 如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2√3，则☉O的半径是.10. 如图所示，AB为☉O的直径，点C在☉O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD=度.11. 如图，∠AOB=90°，∠B=30°，以点O为圆心，OA为半径作弧，交AB于点A，C，交OB于点D，若OA=3，则阴影部分的面积为.12. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE，若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为.⏜上.若13. 如图，☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧EDF∠BAC=66°，则∠EPF等于度.三、解答题（本大题共4道小题）14. 如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作☉O，点E在BC边上，连接AE交☉O于点F，连接BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG.⏜的长.(结果保留π)(2)若∠AEB=55°，OA=3，求BF15. 如图，AB是☉O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证:CE为☉O的切线.(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.16. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)请连接FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．17. 如图，过☉O外一点P作☉O的切线P A，切☉O于点A，连接PO并延长，与☉O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC，CM.(1)求证:CM2=MN·MA;(2)若∠P=30°，PC=2，求CM的长.2020中考数学 临考大专题复习：圆-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】D [解析]∵AB 为☉O 的切线，∴∠OAB=90°. ∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°.∵OA=OD ，∴∠ADC=∠OAD ，∵∠AOB=∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC=12∠AOB=27°，故选D .2. 【答案】C[解析]∵AB 是直径，∴∠C=90°，∴BC=√AB 2-AC 2=6.∵OD ⊥AC ，∴CD=AD=12AC=4， ∴BD=√BC 2+CD 2=2√13，故选C .3. 【答案】C4. 【答案】A[解析]连接AC ，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°.∵DC ⏜=CB ⏜，∴∠CAB=12∠DAB=35°.∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A .5. 【答案】A[解析]∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵☉O 的直径AB 垂直于弦CD ， ∴∠CEO=90°，CE=DE. ∵∠COE=45°， ∴CE=OE=√22OC=3√2， ∴CD=2CE=6√2，故选A .6. 【答案】A[解析]如图，连接OD.∵PC切☉O于点D，∴OD⊥PC.∵☉O的半径为4，∴PO=P A+4，PB=P A+8.∵OD⊥PC，BC⊥PD，∴OD∥BC，∴△POD∽△PBC，∴ODBC =POPB，即46=PA+4PA+8，解得P A=4.故选A.7. 【答案】B[解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B.8. 【答案】B【解析】由垂径定理可得DH＝2，所以BH＝BD2－DH2＝1，又可得△DHB∽△ADB，所以有BD2＝BH·BA，(3)2＝1×BA，AB＝3.二、填空题（本大题共5道小题）9. 【答案】2[解析]连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.∵OB⊥CD，CD=2√3，∴CH=√3，∴OH=1，∴OC=2.10. 【答案】20[解析]如图，连接DO，∵CO⊥AB，∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB，∴∠BAD=20°.11. 【答案】34π[解析]连接OC，过点C作CN⊥AO于点N，CM⊥OB于点M，∵∠AOB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OC，∴△AOC为等边三角形，∵OA=3，∴CN=32√3，CM=ON=32，∴S扇形AOC =32π，S△AOC=94√3，在Rt △AOB 中，OB=√3OA=3√3，S △OCB =94√3，∠COD=30°，S 扇形COD =34π，∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC +S △OCB -S 扇形COD =34π.12. 【答案】52°[解析]∵圆内接四边形对角互补，∴∠B +∠D=180°，∵∠B=64°，∴∠D=116°.∵点D 关于AC 的对称点是点E ，∴∠D=∠AEC=116°. ∵∠AEC=∠B +∠BAE ，∴∠BAE=52°.13. 【答案】57[解析]连接OE ，OF .∵☉O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，∴OF ⊥AC ，OE ⊥AB ，∴∠BAC +∠EOF=180°，∵∠BAC=66°， ∴∠EOF=114°.∵点P 在优弧EDF ⏜上， ∴∠EPF=12∠EOF=57°.故填:57.三、解答题（本大题共4道小题）14. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形，AB 为☉O 的直径， ∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，AB=BC ， ∴∠BAF +∠ABF=90°，∠ABF +∠EBF=90°， ∴∠EBF=∠BAF ， 在△ABE 与△BCG 中，{∠BAF =∠EBF ，AB =BC ，∠ABE =∠BCG ，∴△ABE ≌△BCG (ASA). (2)连接OF ，∵∠ABE=∠AFB=90°，∠AEB=55°， ∴∠BAE=90°-55°=35°， ∴∠BOF=2∠BAE=70°. ∵OA=3， ∴BF⏜的长=70×π×3180=7π6.15. 【答案】解:(1)证明:如图，连接OD ，∵点C ，D 为半圆O 的三等分点， ∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°. ∵OA=OD ，∴△AOD 为等边三角形， ∴∠DAO=60°， ∴AE ∥OC. ∵CE ⊥AD ， ∴CE ⊥OC ， ∴CE 为☉O 的切线. (2)四边形AOCD 为菱形. 理由:∵OD=OC ，∠COD=60°， ∴△OCD 为等边三角形， ∴CD=CO. 同理:AD=AO. ∵AO=CO ，∴AD=AO=CO=DC ， ∴四边形AOCD 为菱形.16. 【答案】解：(1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM 等．(写出两对即可)以下证明△AMF ∽△BGM.由题知∠A ＝∠B ＝∠DME ＝α，而∠AFM ＝∠DME ＋∠E ，∠BMG ＝∠A ＋∠E ，∴∠AFM ＝∠BMG ，∴△AMF ∽△BGM. (2)当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC ，∵M 为AB 中点， ∴AM ＝BM ＝2 2.由△AMF ∽△BGM 得，AF·BG ＝AM·BM ，∴BG ＝83.又AC ＝BC ＝42cos 45°＝4，∴CG ＝4－83＝43，CF ＝4－3＝1，∴FG ＝（43）2＋12＝53.17. 【答案】解:(1)证明:∵在☉O 中，点M 是半圆CD 的中点，∴∠CAM=∠DCM ， 又∵∠CMA 是△CMN 和△AMC 的公共角， ∴△CMN ∽△AMC ，∴CM AM =MNMC ，∴CM 2=MN ·M A . (2)连接OA ，DM ，∵P A 是☉O 的切线，∴∠P AO=90°， 又∵∠P=30°， ∴OA=12PO=12(PC +CO ). 设☉O 的半径为r ，∵PC=2，∴r=12(2+r )，解得r=2. 又∵CD 是直径，∴∠CMD=90°， ∵点M 是半圆CD 的中点，∴CM=DM ， ∴△CMD 是等腰直角三角形， ∴在Rt △CMD 中，由勾股定理得CM 2+DM 2=CD 2，∴2CM 2=(2r )2=16，∴CM 2=8，∴CM=2√2.。
2023年中考专题复习：圆形知识点
2023年中考专题复习：圆形知识点1. 圆的基本属性- 定义：圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。
定义：圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。
- 半径：从圆心到圆上任意点的距离都相等，称为圆的半径。
半径：从圆心到圆上任意点的距离都相等，称为圆的半径。
- 直径：穿过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的两倍等于圆的周长。
直径：穿过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的两倍等于圆的周长。
- 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的部分圆弧，圆心角等于弧对应的夹角。
弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的部分圆弧，圆心角等于弧对应的夹角。
- 扇形：由圆心、弧和两个弧上的端点组成的图形称为扇形。
扇形：由圆心、弧和两个弧上的端点组成的图形称为扇形。
- 弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。
弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。
2. 圆的计算公式- 周长：圆的周长等于圆的直径乘以π（π≈3.14），即C = πd。
周长：圆的周长等于圆的直径乘以π（π≈3.14），即C = πd。
- 面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。
面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。
3. 圆的相关定理- 圆的内接四边形：四边形内接于一个圆时，对角线互相垂直。
圆的内接四边形：四边形内接于一个圆时，对角线互相垂直。
- 圆的垂直定理：如果一个直径与一条弦相交，那么它一定垂直于该弦。
圆的垂直定理：如果一个直径与一条弦相交，那么它一定垂直于该弦。
- 圆的切线与半径定理：切线与半径的垂直线性交于圆上一点。
圆的切线与半径定理：切线与半径的垂直线性交于圆上一点。
- 同弦定理：圆上的两个弧所对的圆心角相等，则这两个弧相等。
同弦定理：圆上的两个弧所对的圆心角相等，则这两个弧相等。
- 相交弧定理：相交的两个弧所对的圆心角互补。
相交弧定理：相交的两个弧所对的圆心角互补。
4. 圆的应用- 圆的投影：当光线垂直照射在立体表面上时，投影形成的图形通常是圆。
初三数学圆知识点复习专题
圆—苑老师一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；dr d=r r d四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；rddC BAO内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图3rR d五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
初三数学圆知识点复习专题
圆—苑老师一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；rddCBAOdrd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图3rR d五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：图2r Rd 图4rRd图5r Rd①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
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2020年中考数学复习知识点分类专题提升练习
《圆》的六类高频考点靶向专练
1．下列有关圆的一些结论
①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（）
A．①B．②C．③D．④
2. 到圆心的距离不大于半径的点的集合是( )
A.圆的外部
B.圆的内部
C.圆
D.圆的内部和圆
3. 下列命题中,正确的是( )
A.圆和正方形都既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.圆和正方形的对称轴都有无数条
C.圆和正方形都具有旋转不变性
D.圆和正方形都有有限条对称轴
1.如图，A，B，C，D是⊙O上四点， ==，∠E=30°，则∠DBE的度数是（）
A．17.5°B．22.4°C．22.5°D．23°
2. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=40°，点D是劣弧上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是（）
A．50°B．45°C．140°D．130°
3. 如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长交⊙O于点D，∠D=30°，则∠BAD的度数是（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4. 如图，在⊙O中，O为圆心，点A，B，C在圆上，若OA=AB，则∠ACB=（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
5. 如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B等于（）
A．30°B．35°C．40°D．50°
6. 如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数
为度．
7. 如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O
于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA= ．
1. （2019•梧州）如图，O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是（）
A．26 B．210 C．211 D．43
2.（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（-5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB=60°，则点C的纵坐标为（）
A．．．
3. （2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接
BD，BC，且AB=10，AC=8，则BD的长为（）
A． B．4 C．．4.8
4. （2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD
O的半径是_______．
5.（2019•甘肃）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=8，DE=5，求BC的长．
1. 已知正方形的边长是10厘米，则阴影部分的面积为（）
A．25π﹣50 B．50π﹣50 C．25π﹣25 D．50π﹣25
= ．2. 如图，AB是⊙O直径，CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则S
阴影
3. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△A′B′C，则边AB扫过的面积（图中阴影部分）
是．
4.（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是________．
5.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，现将此矩形绕点C顺时针旋转90°得到新的矩形A′B′CD′，则边AD扫过的面积（阴影部分）是（结果保留π）
5. 如图，△ABC内接于半⊙O，AB为直径，弦AD平分∠CAB，DE切⊙O于点D．
（1）求证：DE∥BC
（2）若AD=BC，⊙O半径为2，求∠CAD与围成区域的面积．
1. 如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）
A．4 B．3 C．2 D．1
2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G
三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）
A．B．C．D．2
3. 如图，直线AB分别交x轴，y轴于点A（﹣4，0），B（0，3），点C为y轴上的点，若以点C为圆心，CO长为半径的圆与直线AB相切时，则点C的坐标为．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC 于点E，且∠A=∠ADE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
5. 如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长．
6. 如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，以AB为直径作⊙O恰好与CD相切．
（1）求证：AD+BC=CD；
（2）若E为OA的中点，连结CE并延长交DA的延长线于F，当AE=AF时，求sin ∠DCF．
1. 如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）
A．（）°B．（）°C．（）°D．（）°
2. 如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是（）
A．B．5C．D．3
3. 如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒B点P位于点C的位置，……，则第2017秒点P所在位置的坐标为（）
A．（，）B．（）C．（0，﹣1）D．（）4. （2019•嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为_______．
5.（2019•眉山）如图，在Rt△AOB中，OA=OB O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为_________．
6.如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC=CO，点B在⊙O 上，且∠CAB=30°．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若D为圆O上任一动点，⊙O的半径为5cm时，当弧CD长为时，四边形ADPB为菱形，当弧CD长为时，四边形ADCB为矩形．。