有限元基础-第二讲
合集下载
有限元课件第2章-单元分析精选全文完整版
a1
1 2A
ui uj
xi xj
yi yj
um xm ym
1
a2
1 2A
1
ui uj
yi yj
1 um ym
（2-14）
1
a3
1 2A
1
xi xj
ui uj
1 xm um
式中， A为三角形单元的面积，有
1 A 11
2
xi xj
yi yj
（2-15）
1 xm ym
y
m（7）
i（2）
j（1）
x
特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号
（2-16）
1 2A
[(ai
bi
x
ci
y)
i
(a
j
b
j
x
c
j
y)
j
(am
bm
x
cm
y)
m
]
令
Ni
1 2A
(ai
bi x ci y)
(i, j, m)
（2-18）
位移模式（2-16）可以简写为
u Niui N ju j Nmum Ni i N j j Nm m （2-19）
式（2-19）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应 了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
缩写为
um
vm
{ f } [N ]{ } （2-20）
[N]为形函数矩阵，进一步写成分块形式：
[N ] [[ Ni ] [N j ] [Nm ]]
有限元第2章
3.单元应力
对平面应变问题，有四个应力分量：ζx、ζy、ηxy和ζz。取应 变分量
1 x y z E 1 y y x z E 2(1 ) xy xy E 1 z z x y 0 E
Pe
ptl 0 0 2
2 1 0 0 3 3
6. 整体分析
结构的整体分析就是将离散后的所有单元通过节点连接成 原结构物进行分析，分析过程是将所有单元的单元刚度方程 组集成总体刚度方程，引进边界条件后求解整体节点位移向 量。求出各单元刚度矩阵，利用大域变换法求出结构整体刚 度矩阵[K]，引入边界条件，得到结构的节点平衡方程
第2章 有限单元法基础理论
2.1 结构静力学问题有限元法 2.1.1 平面问题有限元法 平面问题分平面应力问题和平面应变问题两类。 平面应力问题 设有很薄的均匀薄板，只在板边上受有平行于板面并 且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不 沿厚度变化，记薄板的厚度为t，以薄板的中面为xy面， 以垂直于中面的任一直线为z轴．由于板面上不受力，且 板很薄，外力不沿厚度变化，可以认为恒有
* T * T A
ε * B(δ* ) e
Fe
ε B δe
B
A
T
DB tdxdy δ e
可见单元刚度矩阵为
K e B T DBtdxdy
A
4.单元刚度矩阵
进一步表示为
K ii K e K ji K mi K ij K jj K mj K im K jm K mm
bi 1 ε 0 2A ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
有限元讲义2-2
l 6 EI z l2
为了求出另外两个刚度系数，可以通过静力平衡方程
由
Fy 0 Mi 0
得
' ' k31 Fyj Fyi
12EI z l3 l
6 EI z ' ' ' k41 M zj Fyi M zi 2
1 推导单元刚阵中第一行元素 由
ki 2
称为二维坐标系的方向余弦矩阵
称为二维局部坐标系下节点位移行矩阵
称为二维统一坐标系下节点位移行矩阵 （3.3-4a）
qi qi
因为
qi T qi
（3.3-4b）
在式（3.3-4b）两端同乘以[]-1，有
1 I 1 T
1 vi qi 2 zi q q v j 3 j 4 zj
1 Fyi Fi 2 M zi F F F j 3 yj 4 M zj
A-22
将力的公式代入，得
' Fyi l 3
' Fyi l 2
经过推导得出
" k12 Fyi
6 EI z l2 4 EI z l 同理 6 EI z 可推
2
出
k13 k 23 k 33
12EI z l 6 EI z
3
k14
6 EI z
k22 M " zi
l2 12EI z l3 6 EI z l2
" k32 Fyj
k42 M " zj
l 2 EI z l
k 43
l2 2 EI z k 24 l 6 EI z k34 l2 4 EI z k 44 l
第二章有限元分析基础
第二章有限元分析基础有限元分析是一种常用的工程计算方法，在工程学科中被广泛应用。
本章将介绍有限元分析的基本概念和基础知识。
有限元分析是一种数值分析方法，用于求解复杂的物理问题。
它的基本思想是将一个连续的物体或结构离散化为有限数量的基本单元，通过在每个单元上进行计算，最终得到整个物体或结构的行为。
这些基本单元通过节点连接在一起，形成了一个有限元网格。
通过在每个节点上求解方程，可以得到整个物体或结构的应力、变形等相关信息。
在有限元分析中，有三个重要的步骤：建模、离散和求解。
建模是指将实际物体或结构转化为数学模型的过程。
在建模过程中，需要确定物体或结构的几何形状、边界条件和力学性质等。
离散是指将物体或结构划分为有限数量的基本单元。
常用的基本单元有三角形、四边形和六面体等。
离散过程中需要确定每个基本单元的几何属性和材料性质等。
求解是指在离散的基础上，通过求解节点上的方程，得到物体或结构的应力、变形等结果。
求解过程中，需要确定节点的位移和应变等参数。
有限元分析的基本假设是在每个基本单元内，应力和应变满足线性关系。
这意味着在小变形和小位移的情况下，有限元分析是有效的。
此外，为了提高计算精度，通常会增加更多的基本单元。
但是，增加基本单元数量会增加计算复杂度和计算时间。
因此，在实际应用中，需要根据问题的复杂程度和计算资源的限制进行权衡。
有限元分析广泛应用于各个领域，例如结构力学、热传导、电磁场、流体力学等。
在结构力学中，有限元分析可以用于求解静力学和动力学问题。
在热传导中，有限元分析可以用于求解温度分布和热流问题。
在电磁场中，有限元分析可以用于求解电荷和电场分布等。
在流体力学中，有限元分析可以用于求解流速和压力分布等。
总之，有限元分析是一种重要的工程计算方法，可以用于求解各种物理问题。
通过建模、离散和求解等步骤，可以得到物体或结构的应力、变形等结果。
有限元分析在工程学科中有着广泛的应用前景，对于工程设计和优化起着重要作用。
第一章 有限元基础知识2PPT课件
2.1有限元法的基本概念
✓ 有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个 单元来描述。
2.1.1有限元法：把求解区域划分成由许多小的在节点 处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本 方程的分片（子域）近似解的一种数值计算方法。由 于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的 尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的 材料特性和复杂的边界条件。
2.2有限单元法的特点
① 把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点 （节点）作为离散点；
② 不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。 ③ 理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平
上建立起对该法的理解。 ④ 具有灵活性和适用性，适应性强。 ⑤ 在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
2.3有限元法的发展概况
2.1.2 自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
对象
结构 热 电
流体 磁
自由度
位移 温度 电位 压力 磁位
载荷 载荷
2.1.3 节点和单元
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。
第二节 有限元法及其发展
引言
实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维 和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一 组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在 连续体上任一点上未知量的值。因为点是无限多 的，存在无限自由度的问题，很难直接求解这种 偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采 用近似方法来处理。
第2章有限元分析基础
第2章有限元法基础第1节有限单法的形成一、有限元法的形成在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。
其中的第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。
例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。
我们把这类问题，称为离散系统。
尽管离散系统是可解的，但是求解这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术；第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。
例如弹性力学问题、热传导问题和电磁场问题等。
由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。
尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。
对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。
为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。
在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。
有限元法的形成可以追溯到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。
从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。
1956年M.J.Turner，R.W.Clough，H.C.Martin，L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。
他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
1954—1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法、变分原理和加权余量法。
第二讲平面问题有限元课件
➢ 该平板的总位能表达式可写成
3
p
e p
e1
3 e1
1 aeTK eae 2
3
a eT Pfe
e1
3
a eT Pse
e1
3 1 a eT K e a e 3 a eT P e
e1 2
e1
1 a1T K 1a1 a 2T K 2a 2 a3T K 3a3 a1T P1 a 2T P 2 a3T P3 2
v
1 2
ai
bix ci yvi
aj
bj x cj y
vj
ak
bk x ck yvk
式中：
ai
xj xk
yj , yk
1
bi
1
yj , yk
1 ci 1
xj xk
ai a j ak
11 1
bi b j bk
xi x j xk
ci c j ck
yi y j yk
形函数
Ni
1 2
ai
bi
x
ci
y
(i, j,k)
u Niui N ju j Nkuk Niui v Nivi N jv j Nkvk Nivi
d
u v
Ni I
NjI
Nk I e Ne
I 二阶单位阵,[N] 形函数矩阵
形函数的性质
1. 形函数 N（i xi , yi ) 1 N（i x j , y j ) 0 j i
序号为下标，以所属单元序号为上标；
T
P1 p11x p11y p12 x p12 y p13x p13 y
T
P2
p
2 1x
p
2 1
有限元分析第二讲杆单元分析
引入边界位移约束和载荷：
则系统平衡方程化为：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u P 2 L 0 F 0 1 1 3
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
解得：
（四）举例
例1 求图示２段杆中的应力。
解：分２个杆单元，单元之间在节点２连接。 各单元的刚度矩阵分别为：
参考前面弹簧系统的方法，装配２杆系统的有限元方 程（平衡方程）如下：
2 2 0 u1 F1 EA 2 3 1 u 2 F2 L u F 0 1 1 3 3
2 杆单元
一、一维等截面杆单元及其刚度矩阵
考虑一个2节点一维等截面杆单元： L— 杆长 A— 截面积
E— 弹性模量
ui 单元节点位移：d u j
fi 单元节点力：f fj
u u ( x)
——杆单元位移
——杆单元应变 ——杆单元应力
du dx
( x) ( x)
应变—位移关系： 应力—应变关系：
E
（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量：
u j ui
应变：
应力：
L E E L
EA EA k 杆内力： F A L L
EA 杆的轴向刚度： k L
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同， 因此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui f j k k u j L 1 1 u j
有限元法基础2理论基础
n 泛函 (u )单调收敛于
有限元法基础
2.5 Ritz法
Ritz法应用中的难点 求解域比较复杂时，选取满足边界的试函数往往产生 难以克服的困难； 为了提高计算精度，需增加待定参数，这增加了求解 的复杂性；
有限元法同样建立在变分原理的基础上的，可以有效地 避免上述困难
有限元法基础
令
w1 v S
q
T W kv T d W W v Q d W Sq vq d ST kv n d 0
若使v 0 在Sq上，积分方程更简捷
有限元法基础
2.3 加权余量法
由于实际问题的复杂性精确解难于找到，往往求近似解 假设未知场函数u可用近似解表示
象的集合称为T的值域。 算子方程 设算子T的定义域为D，u D ，值域为T(D), f T ( D) , 等式 Tu f 称为算子方程。
有限元法基础
2.1 微分方程的等效积分形式 将算子方程及边界条件在各自的定义域中积分，有
对任意函数 v 有 对任意函数 v 有
W
v ( Au f )d W 0
W
v ( Bu ) d 0
有限元法基础
2.1 微分方程的等效积分形式
进一步改写为
W
v ( Au f )d W v ( Bu ) d 0
W
可以证明在积分方程对任意的v 都成立的话，则积分项 在域内每一点都满足算子方程和边界条件。 称为算子方程的等效形式 特点 v 和 v 是单值函数并且在定义域上可积 u的选择取决于算子A和B
2.4 变分原理
微分方程为
Au f B u W 0
在W内
利用线性自伴随算子的性质
有限元法基础
2.5 Ritz法
Ritz法应用中的难点 求解域比较复杂时，选取满足边界的试函数往往产生 难以克服的困难； 为了提高计算精度，需增加待定参数，这增加了求解 的复杂性；
有限元法同样建立在变分原理的基础上的，可以有效地 避免上述困难
有限元法基础
令
w1 v S
q
T W kv T d W W v Q d W Sq vq d ST kv n d 0
若使v 0 在Sq上，积分方程更简捷
有限元法基础
2.3 加权余量法
由于实际问题的复杂性精确解难于找到，往往求近似解 假设未知场函数u可用近似解表示
象的集合称为T的值域。 算子方程 设算子T的定义域为D，u D ，值域为T(D), f T ( D) , 等式 Tu f 称为算子方程。
有限元法基础
2.1 微分方程的等效积分形式 将算子方程及边界条件在各自的定义域中积分，有
对任意函数 v 有 对任意函数 v 有
W
v ( Au f )d W 0
W
v ( Bu ) d 0
有限元法基础
2.1 微分方程的等效积分形式
进一步改写为
W
v ( Au f )d W v ( Bu ) d 0
W
可以证明在积分方程对任意的v 都成立的话，则积分项 在域内每一点都满足算子方程和边界条件。 称为算子方程的等效形式 特点 v 和 v 是单值函数并且在定义域上可积 u的选择取决于算子A和B
2.4 变分原理
微分方程为
Au f B u W 0
在W内
利用线性自伴随算子的性质
有限元方法ppt-02
=
Dn δ
n1
+
δ
nn
Fn
DnP
刚度法——位移法
[K]nXn{δ}nX1= {F}nX1 刚度影响系数Kij: 在j节点产生单位位移(uj=1)而其它节点位移为零时，需在i 节点位移方向上施加的节点力的大小。 如： [K]2X2{δ}2X1= {F}2X1
K11：在节点1产生单位位移，节点2保持不动，在节点1所需加的力。 K12：在节点2产生单位位移，节点1保持不动，在节点1所需加的力。 K21：在节点1产生单位位移，节点2保持不动，在节点2所需加的力。 K22：在节点2产生单位位移，节点1保持不动，在节点2所需加的力。
Ui
Vi
x
单元节点位移与单元节点力的关系
F1 F2 F3 F4 F5 F6 K11 K21 K31 K41 K51 K61 K12 K22 K32 K42 K52 K62 K13 K23 K33 K43 K53 K63 K14 K24 K34 K44 K54 K64 K15 K25 K35 K45 K55 K65 K16 K26 K36 K46 K56 K66 δ δ δ δ δ δ
刚度法——位移法
对于n次超静定结构，选择n个约束条件对应的n个未知位 移δ1, δ2,,, δn； 将已知载荷作用在基本约束系统上，得到相应于n个未知 位移处固定端的n个F1P,F2P,…,FnP支反力。 将n个未知位移的单位值单独作用在基本约束系统上。每 个单位位移，确定相应于所有n个未知位移处的n个刚度 系数Kij。 实际载荷F1,F2,…,Fn等于已知载荷在约束点产生的力与 未知位移产生的固定端的支反力之和。（力的平衡方程）
2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
第二讲 有限元
若 : a ij b ij ( i 1,2 , , m ; j 1,2 , , n ) 则 A B
2. 矩阵加减—相同行列数的矩阵，对应位置上元素相加减。
1 4 1 3 3 1 2 3 2 2 2 0 6 1 3 1 1 8
e e
e
}
{F
e
}
[K
e
]
{
e
}
矢量的坐标转换
Y
Y
X
X X cos Y sin Y X sin Y cos
X
故,对于节点的受力,有:
F x 1 F x 1 cos F y 1 sin
F y 1 F 1 x sin F 1 y cos
则 B C
五. 转置矩阵的性质
(A )
T T
A
T
(A B) ( A )
T
A
T
T
B
T
A
4.
5.
( AB )
T
B A
T
T
转置矩阵与原矩阵的乘积为一对称方阵
六. 方阵的逆矩阵
1. 定义 A为n阶方阵,若有
即:
A A
1
A B BA I n
1
则称B为A逆矩阵,记为A-1
e e
故,力失量的坐标转换可写成： 同理，位移失量的坐标转换可写成：
{ F } [ T ]{ F }
{
e
} [ T ]{
e
}
四. 整体坐标下单元的刚度矩阵
{F 将以上两式代入局部坐标下的“力—位移”公式
e
} [ K ]{
2. 矩阵加减—相同行列数的矩阵，对应位置上元素相加减。
1 4 1 3 3 1 2 3 2 2 2 0 6 1 3 1 1 8
e e
e
}
{F
e
}
[K
e
]
{
e
}
矢量的坐标转换
Y
Y
X
X X cos Y sin Y X sin Y cos
X
故,对于节点的受力,有:
F x 1 F x 1 cos F y 1 sin
F y 1 F 1 x sin F 1 y cos
则 B C
五. 转置矩阵的性质
(A )
T T
A
T
(A B) ( A )
T
A
T
T
B
T
A
4.
5.
( AB )
T
B A
T
T
转置矩阵与原矩阵的乘积为一对称方阵
六. 方阵的逆矩阵
1. 定义 A为n阶方阵,若有
即:
A A
1
A B BA I n
1
则称B为A逆矩阵,记为A-1
e e
故,力失量的坐标转换可写成： 同理，位移失量的坐标转换可写成：
{ F } [ T ]{ F }
{
e
} [ T ]{
e
}
四. 整体坐标下单元的刚度矩阵
{F 将以上两式代入局部坐标下的“力—位移”公式
e
} [ K ]{
第二章有限元基本原理
{d } = {u v w}T
•
• 弹性体发生形变时，各质点的位移不 弹性体发生形变时， 一定相同，因此位移仍为x,、 、 的 一定相同，因此位移仍为 、y、z的 函数。 函数。由各点位移组成的场通常称为 位移场。 位移场。
二. 弹性力学基本方程
弹性力学基本方程描述弹性 体内任意点应力，应变，位移 体内任意点应力，应变， 及外力之间的关系。 及外力之间的关系。 1。平衡方程 。 弹性体内各点的应力状态不一 定相同， 定相同，因此应力分量是坐标 x,y,z的函数，如右图所示。 的函数， 的函数 如右图所示。 弹性体受力以后仍处于平衡状态。 弹性体受力以后仍处于平衡状态。 根据微元体应力和体力之间的 平衡关系， 平衡关系，得：
微分体的应力分量
微分体表面上的应力可分解为一个正应力和两个切应力。 微分体表面上的应力可分解为一个正应力和两个切应力。垂直 于表面的应力称为正应力；平行于表面的应力称为切应力。 于表面的应力称为正应力；平行于表面的应力称为切应力。
弹性力学中的物理量——（2续）应力 （ 续
• 根据切应力互等定律，微分体上六个切应力有如下关系： 根据切应力互等定律，微分体上六个切应力有如下关系：
1 弹性力学中的物理量； 弹性力学中的物理量； 2 弹性力学基本方程； 弹性力学基本方程； 3.虚位移原理； 虚位移原理； 虚位移原理 4 简化的平面问题。 简化的平面问题。
线弹性问题的特征
• 线性弹性问题的静力分析是力学特性分析中 最简单、最基本的形式。 最简单、最基本的形式。 • 线性是指结构的应力与应变的关系 本构关系 线性是指结构的应力与应变的关系(本构关系 本构关系) 呈线性变化，是一类易于求解的问题， 呈线性变化，是一类易于求解的问题，也是 非线性问题求解的基础。 非线性问题求解的基础。 • 弹性是指结构在外力撤除后能够完全恢复原 有形状的特性，弹性问题的求解也是塑性问 有形状的特性， 题计算的基础。 题计算的基础。 • 静力分析则是指结构所受外力是不随时间变 化的恒力， 化的恒力，其有关的概念和方法也可推广应 用到动态分析。 用到动态分析。
•
• 弹性体发生形变时，各质点的位移不 弹性体发生形变时， 一定相同，因此位移仍为x,、 、 的 一定相同，因此位移仍为 、y、z的 函数。 函数。由各点位移组成的场通常称为 位移场。 位移场。
二. 弹性力学基本方程
弹性力学基本方程描述弹性 体内任意点应力，应变，位移 体内任意点应力，应变， 及外力之间的关系。 及外力之间的关系。 1。平衡方程 。 弹性体内各点的应力状态不一 定相同， 定相同，因此应力分量是坐标 x,y,z的函数，如右图所示。 的函数， 的函数 如右图所示。 弹性体受力以后仍处于平衡状态。 弹性体受力以后仍处于平衡状态。 根据微元体应力和体力之间的 平衡关系， 平衡关系，得：
微分体的应力分量
微分体表面上的应力可分解为一个正应力和两个切应力。 微分体表面上的应力可分解为一个正应力和两个切应力。垂直 于表面的应力称为正应力；平行于表面的应力称为切应力。 于表面的应力称为正应力；平行于表面的应力称为切应力。
弹性力学中的物理量——（2续）应力 （ 续
• 根据切应力互等定律，微分体上六个切应力有如下关系： 根据切应力互等定律，微分体上六个切应力有如下关系：
1 弹性力学中的物理量； 弹性力学中的物理量； 2 弹性力学基本方程； 弹性力学基本方程； 3.虚位移原理； 虚位移原理； 虚位移原理 4 简化的平面问题。 简化的平面问题。
线弹性问题的特征
• 线性弹性问题的静力分析是力学特性分析中 最简单、最基本的形式。 最简单、最基本的形式。 • 线性是指结构的应力与应变的关系 本构关系 线性是指结构的应力与应变的关系(本构关系 本构关系) 呈线性变化，是一类易于求解的问题， 呈线性变化，是一类易于求解的问题，也是 非线性问题求解的基础。 非线性问题求解的基础。 • 弹性是指结构在外力撤除后能够完全恢复原 有形状的特性，弹性问题的求解也是塑性问 有形状的特性， 题计算的基础。 题计算的基础。 • 静力分析则是指结构所受外力是不随时间变 化的恒力， 化的恒力，其有关的概念和方法也可推广应 用到动态分析。 用到动态分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
c2
u j ui Y jYi
u
(e)
uiY j u j Yi Y jYi
u j ui Y j Yi
Y
35
u
(e)
Y Yi ( )ui ( )u j Y jYi Y j Yi Yj Y l
Y Yi Y Yi Sj Y j Yi l
Yj Y
3x 2 2 x 3 S j1 2 3 L L
x x S j2 2 L L
2
3
47
梁单元应变能：
(e)
EI L d 2 v 2 ( 2 ) dx 2 0 dx
梁单元刚度矩阵：
K (e)
6 L 12 6 L 12 6 L 4 L2 6 L 2 L2 EI 3 L 12 6 L 12 6 L 2 2 6L 2L 6L 4L
单元刚度：
(e) Aavg E (ui ui 1 ) ui l
( e ) k u i 刚度矩阵： (e) k u i 1
(e) Aavg E (ui 1 ui ) ui 1 l
k ui , k ui 1
n
(e)
Fi u i
i 1
m
最小势能原理：
ui ui
(e) ui e 1
n
Fu
i 1
m
i i
0, i 1,2,3, , m
40
单元应变：
ui u j du d d y y [Siui S j u j ] [(1 )ui u j ] dy dy dy l l l
梁位移Y
杆位移X
杆位移Y
支座反力
支座反力
①信息收集 分析处理
②发现问题 明确目标
方针政策、基本建设程序 可行性分析、研究、试验
⑦总结评价
法规、标准、规范、经验、范例 模式、计划、大纲、体系、工作程序
③拟定方案 （＞2）
标准化、程序化、规范化、自动化
⑥监督控制 协调激励
安全文化和环境
⑤组织实施
42
2.梁结构分析的有限元方法
43
44
结构静力学问题有限元法
平面问题有限元法 平面应力问题： zz 0, zx xz zy yz 0 平面应变问题： w 0, zz yz zx 0
45
2.平面梁的有限元分析
只有弯曲的平面梁单元模型：
92
北极每年只有一次日出，发生在 3 月21 日，这就是布朗先生的生日。但是，这是 问题的唯一解吗？（初看起来似乎是这样 的，因为没有其它办法。）
93
先别急于下结论，实际上还存在许多其它 解。
N 圆B 圆A
S
那么就到此为止了吗？我们已经找到问题 的完全解集了吗？回答是否定的。 再仔细思考一下，你会发现显然还存在 许多其它的解，因为平行圆A的周长可以等于 1/3英里、1/2英里等等。
59
整体分析
由所有单元矩阵集成总体分析矩阵（方程），引 入边界条件，得到平衡方程
K F
解平衡方程，得到位移、应力和应变。
60
平面问题高次单元
61
62
轴对称问题有限元法
63
空间问题有限元法
(i,
j, m, p)
线性位移函数：
64
高次四面体单元
65
高次六面体单元
24
应变
25
支座反力
26
支座反力
27
大变形解答
28
支座反力-1
29
支座反力-1
30
支座反力-1
31
支座反力-2
32
形状函数
位移场
u( x) a0 a1x a2 x
2
杆单元位移场
u( x) a0 a1x
由节点条件
得
u
xo
u1,
u
x1
u2 ,
u2 u1 x x u ( x) u1 ( ) x (1 )u1 ( )u2 N ( x) q e l l l
N
S E
90
显然，熊应该是白色的，因为在北极周围没有其 它颜色的熊。
91
另一版本：在布朗先生70岁的生 日宴会上，一位女士问他十年前的今 天做了什么。布朗先生想了一会儿， 回答说：“我很清楚地记得那一天。 我在日出时离开帐篷，向南走了一英 里，再向东走了一英里，在这点上我 又向北走了一英里，正好回到我的帐 篷。”现在的问题是：布朗先生的生 日是几号？
u 1 2 x 3 y 4z 5 xy 6 yz 7 zx 8 xyz v 9 10 x 11 y 12z 13 xy 14 yz 15 zx 16 xyz w 17 18 x 19 y 20z 21 xy 22 yz 23 zx 24 xyz
④方案评审 选择决策
问题与方法的关系：
有一个三角形ABC， D是其内一任意点， 试证明：
AB + AC > BD + CD
A D B
89
C
熊的颜色和著名探险家布朗先生的难题
一天清晨，布朗先生离开他的帐篷先向南走了一 英里，再转向东走了一英里，然后再接着转向北走了一 英里，正好回到帐篷。在他出门的时候，正好看见一只 熊。请问熊是什么颜色？ 只要你对地球的几何特征稍作考虑，就能很快得到 答案，即布朗先生的帐篷位于北极。这似乎是完成一个 向南、向东再向北各一英里的回路的唯一方式。
3
有限元方法的基本内容-2
专题（按问题领域/学科）
静力结构问题 弹塑性问题 振动问题 传热问题
流体动力学问题
电磁场问题有限元法 机构运动学、动力学
4
有限元方法的基本内容-3
基本方法和原理
单元划分 平衡方程 力-位移关系 —— 刚度矩阵 形状函数
载荷、质量与阻尼的处理方法 基本方程：单元刚度×单元节点位移 ＝ 节点力 [K]· [Q]=[F]
单元形函数：
Si
Yj Y Y j Yi
单元变形可用形函数和节点变形值表示为：
u
( e)
S i ui S j u j
或
u
(e)
[S i
ui S j ] u j
36
整体坐标系与局部坐标系转换
由关系式
可得
Si Yj Y Y j Yi Yj Y l Y j (Yi y) l 1 y l
杆单元应力 应力-位移关系矩阵
( x) E ( x) E B( x) qe S ( x) qe
E S ( x) EB( x) l E l
34
单元形函数一般表达式
ui c1 c2Yi
u j c1 c2Y j
c1 ui Y j u j Yi Y jYi
48
平面问题（二维连续介质）有限元分析步骤
49
单元位移模式及插值函数
三节点 三角形单元
50
由待定系数法求出各个系数后，即可得到位移函数：
51
位移函数可简化为：
52
应变矩阵
平面问题应变分量
53
将位移函数代入应变分量公式，得单元应变矩阵
54
单元应力
根据弹性力学平面问题物理方程，得到平面应力问 题的弹性矩阵：
(第二讲)
回顾
基本思想和方法 • 有限——无限
• 直线——曲线
• 线性——非线性 • 离散——连续
• 线性方程组——微分方程
基本概念 • 单元 • 节点 • 网格
2
有限元方法的基本内容-1
问题分类（按空间）
杆和梁结构 —— 一维问题 平面问题 —— 二维问题 轴对称问题 —— 三维转二维 空间问题 —— 三维问题
66
单 元 分 析 精 度 比 较
67
68
例2.7（P41） ANSYS解答
69
位移-X
70
位移-Y
71
支座反力
72
支座反力
73
大变形解-位移X
74
大变形解-位移Y
75
大变形支座反力
76
大变形支座反力
77
例题2.7（2）：杆梁组合结构有限元分析
总位移
总位移X
总位移Y
梁位移X
(1) (1) (1)
u ( 4)
60 52 52 45 (0.07504 ) (0.08442 ) 0.07941 15 15
39
能量法求刚度矩阵和载荷矩阵
单元应变能：
(e)
2
V
dV
V
E dV 2
2
n个单元m个节点的总势能：
e 1
EA 1 1 u1 F1 l 1 1 u2 F2
K e qe F e
9
例题2-1（P14）
① 结构离散化 •
自然离散 ② 单元 • 杆单元——只有两个节点 • 单元刚度矩阵——单元平衡方程中刚度系数矩阵 ③ 离散单元的组装 • 拓展 • 等价扩充 • 总刚度方程 ④ 求解
Y Yi y,
0 yl
Si
Yj Y Y j Yi
Yj Y l
(Yi y) Yi y l l
37
算例：轴向受力杆的有限元分析
38
单元应变计算
u1 0 u 0.03283 2 u 3 0.05784 u 0 . 07504 4 0.08442 u 5