2018-2019学年数学高考二轮复习专题八第2讲分类讨论思想转化与化归思想案-文科
高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题八 数学思想方法 第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想练
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专题八数学思想方法第2讲分类讨论思想、转化与化归思想练习理一、填空题1。
等比数列{a n｝中，a3＝7，前3项之和S3＝21,则公比q的值是________。
解析当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7,S3＝3a1＝21，符合要求.当q≠1时，a1q2＝7，错误!＝21，解之得，q＝－错误!或q＝1(舍去）.综上可知,q＝1或－错误!.答案1或－错误!2。
过双曲线错误!－错误!＝1（a＞0,b＞0）上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R,Q两点，则错误!·错误!的值为________.解析当直线PQ与x轴重合时，|错误!|＝|错误!｜＝a.答案a23.方程sin2x＋cos x＋k＝0有解，则k的取值范围是________.解析求k＝－sin2x－cos x的值域.k＝cos2x－cos x－1＝错误!错误!－错误!.当cos x＝错误!时，k min＝－错误!，当cos x＝－1时，k max＝1,∴－54≤k≤1.答案错误!4。
若数列｛a n｝的前n项和S n＝3n－1，则它的通项公式a n＝________。
高考数学二轮复习 第二部分应试高分策略 第1讲 数学思想方法 第2课时 分类讨论思想、转化与化归思想
x≥0， 2．已知变量 x，y 满足的不等式组y≥2x，
表示的是一个直
kx－y＋1≥0
角三角形围成的平面区域，则实数 k＝( D )
A．－12
B．12
C．0
D．－12或 0
x≥0， 解析：不等式组y≥2x，
表示的可行域如图(阴影部分)所示，
kx－y＋1≥0
x≥0， 由图可知，若不等式组y≥2x，
[名师点评] 含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不等式 的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的 最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求 解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进 行分类讨论，分类要合理、要不重不漏、要符合最简原则．
3．(2015·长沙模拟)已知函数 f(x)＝sin x，g(x)＝mx－x63(m 为实 数)．
(1)求曲线 y＝f(x)在点 Pπ4 ，fπ4 处的切线方程；
(2)求函数 g(x)的单调递减区间．
解：(1)由题意得所求切线的斜率 k＝f′π4 ＝cos
π4 ＝
2 2.
切点 Pπ4 ， 22，则切线方程为 y－ 22＝ 22x－π4 ，即 x－ 2y
1．(2015·威海模拟)若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2＋ ym2＝1 的离心率是( D )
3 A. 2
B． 5
C.
23或
5 2
D． 23或 5
解析：因为 m 是 2 和 8 的等比中项，所以 m2＝2×8＝16，所以
m＝±4.
当 m＝4 时，圆锥曲线y42＋x2＝1 是椭圆，其离心率 e＝ac＝ 23；
常见的化归与转化的方法
所以 f(x)的极小值为 f(0)＝0. (2)f(x)＝x(ex－ax－1)，令 g(x)＝ex－ax－1，则 g′(x)＝ex－a. 若 a≤1，则 x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而 g(0) ＝0，所以当 x≥0 时，g(x)≥0，从而 f(x)≥0. 若 a>1，则 x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，g(0)＝0， 故 x∈(0，ln a)时，g(x)<0，从而 f(x)<0，不符合题意． 综上，实数 a 的取值范围是(－∞，1]．
(江苏专用)2021高考数学二轮复习专题八第2讲分类讨论思想、转化与化归思想学案理
第2讲分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般表达在解析几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大.(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、根本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为根本定理、根本公式或根本图形问题.(2)换元法：运用“换元〞把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的根本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.(6)构造法：“构造〞一个适宜的数学模型，把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.(8)类比法：运用类比推理，猜想问题的结论，易于确定.(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进展解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，表达了正难那么反的原那么.热点一 分类讨论思想的应用[应用1] 由性质、定理、公式的限制引起的分类【例1－1】 (1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n ＝3n＋3，那么数列{a n }的通项a n ＝________.(2)实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.假设f (1－a )＝f (1＋a )，那么a 的值为________.解析 (1)由2S n ＝3n ＋3得：当n ＝1时，2S 1＝31＋3＝2a 1，解得a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12[(3n ＋3)－(3n －1＋3)]＝3n －1，由于n ＝1时，a 1＝3不适合上式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)当a >0时，1－a <1，1＋a >1，这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a . 由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2 (2)－34探究提高 由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等.[应用2] 由数学运算要求引起的分类【例1－2】 (1)不等式|x |＋|2x ＋3|≥2的解集是________.(2)m ∈R ，那么函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0，1]上的最大值为________. 解析 (1)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －〔2x ＋3〕≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤0，－x ＋〔2x ＋3〕≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋〔2x ＋3〕≥2.解得x ≤－53或－1≤x ≤0或x ＞0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞). (2)①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数f (x )＝－2x ＋43，它在[0，1]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝43.②当4－3m ≠0, 即m ≠43时，f (x )是二次函数.当4－3m ＞0，即m ＜43时，二次函数f (x )的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m ＞0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，当m ≥2－2m ，又m ＜43，即23≤m ＜43时，f (x )max ＝m .当m ＜2－2m ，又m ＜43，即m ＜23时，f (x )max ＝2(1－m ).当4－3m ＜0，即m ＞43时，二次函数f (x )的图象开口向下，又它的对称轴方程x ＝14－3m ＜0，所以函数f (x )在[0，1]上是减函数，于是f (x )max ＝f (0)＝m .由①，②可知，这个函数的最大值为f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23.答案 (1)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞) (2)f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23探究提高 由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合. [应用3] 由参数变化引起的分类 【例1－3】 函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .假设a ≤0，那么f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.假设a ＞0，那么当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，那么g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1).探究提高 由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. 热点二 转化与化归思想 [应用1] 换元法【例2－1】 实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，那么a 的最大值是________. 解析 令b ＝x ，c ＝y ，那么x ＋y ＝－a ，x 2＋y 2＝1－a 2.此时直线x ＋y ＝－a 与圆x 2＋y 2＝1－a 2有交点，那么圆心到直线的距离d ＝|a |2≤1－a 2，解得a 2≤23，所以a 的最大值为63.答案63探究提高 换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进展替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进展. [应用2] 特殊与一般的转化 【例2－2】 f (x )＝33x＋3，那么f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝________.解析 f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x 3＋3x ＝3x＋33x＋3＝1， ∴f (0)＋f (1)＝1，f (－2 015)＋f (2 016)＝1，…，∴f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝2 016. 答案 2 016探究提高 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而到达成批处理问题的效果. [应用3] 常量与变量的转化【例2－3】 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，那么x 的取值范围为________.解析 对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立，即|m |≤2时，(x 2－1)m －2xg (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，那么原问题转化为g (m )＜0恒成立(m ∈[－2，2]).所以⎩⎪⎨⎪⎧g 〔－2〕＜0，g 〔2〕＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3＞0，2x 2－2x －1＜0.解得7－12＜x ＜3＋12，即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元〞，而把其他变元看作是常量，从而到达减少变元、简化运算的目的. [应用4] 正与反的相互转化【例2－4】 假设对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，那么实数m 的取值范围是________.解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，假设g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，那么①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立.由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，∴m ＋4≥2t－3t 恒成立，那么m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，那么m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－373，－5探究提高 否认性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目假设出现多种成立的情形，且不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多〞、“至少〞及否认性命题情形的问题中.1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整〞.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进展讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏〞的分析讨论. 常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论. (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，根本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点、线、面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等. 2.转化与化归思想遵循的原那么：(1)熟悉化原那么：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为的问题，以便于我们运用熟知的知识、经历和问题来解决.(2)简单化原那么：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，到达解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原那么：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. (4)正难那么反原那么：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.一、填空题1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，那么公比q 的值是________.解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1〔1－q 3〕1－q＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－12.答案 1或－12x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，那么PR →·PQ →的值为________.解析 特殊位置法，当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a . 答案 a 22x ＋cos x ＋k ＝0有解，那么k 的取值范围是________.解析 转化为求k ＝－sin 2x －cos x 的值域.k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－54. 当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 4.假设数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－1，那么它的通项公式a n ＝________. 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1.答案 2×3n －1a 为正常数，假设不等式1＋x ≥1＋x2－x 22a对一切非负实数x 恒成立，那么a 的最大值为________.解析 原不等式即x 22a ≥1＋x2－1＋x (x ≥0)，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，那么x ＝t 2－1，所以(*)式可化为〔t 2－1〕22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝〔t －1〕22对t ≥1恒成立，所以〔t ＋1〕2a≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4. 答案 46.△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →k 使得CA →＋CB →＝kCM →成立，那么k 等于________. 解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心，取AB 的中点D ， ∴CA →＋CB →＝2CD →＝2×32CM →＝3CM →，∵CA →＋CB →＝kCM →，∴k ＝3.答案 3F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，PP ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，那么PF 1PF 2的值为________. 解析 假设∠PF 2F 1＝90°，那么PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25， 解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72.假设∠F 2PF 1＝90°，那么F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2， ∴PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2＝2或72. 答案 2或72f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，假设对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，那么实数b 的取值范围是________.解析 依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，f (x )＝ln x －14x ＋34x －1(x ＞0)，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x2. 由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1，2].当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4； 当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b ＜1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＞2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b ＜1，解第二个不等式组得1≤b ≤142， 第三个不等式组无解.综上所述，b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，142. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142 二、解答题9.数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以{a n ＋1－a n }为常数列， 所以{a n }是以a 1为首项的等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ， 所以d ＝2－83＝－2，所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n ＞5时，a n ＜0；当n ＝5时，a n ＝0；当n ＜5时，a n ＞0. 记T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，那么T n ＝n 〔8＋10－2n 〕2＝9n －n 2.所以当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2〔n ≤5〕，n 2－9n ＋40 〔n ＞5〕.g (x )＝axx ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x ). (1)假设函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性.解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2xx ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2〔x ＋1〕2＝x ＋3〔x ＋1〕2，那么ff (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x . (2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(x ＞－1)， 所以f ′(x )＝1x ＋1＋a 〔x ＋1〕－ax 〔x ＋1〕2＝x ＋1＋a 〔x ＋1〕2. ①当a ≥0时，因为x ＞－1，所以f ′(x )＞0，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′〔x 〕＜0，x ＞－1，得－1＜x ＜－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′〔x 〕＞0，x ＞－1，得x ＞－1－a ，故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减，在(－1－a ，＋∞)上单调递增.x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形. (1)求椭圆的方程；(2)假设过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →·QE →恒为定值？假设存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；假设不存在，请说明理由.解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)，所以c ＝a 2－b 2＝ 3. 因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形，所以b ＝3×33＝1. 可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ，那么l 的方程为y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k 〔x －1〕得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，解上述方程后易得：x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.那么PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)， 所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2 ＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1＝〔4m 2－8m ＋1〕k 2＋〔m 2－4〕4k 2＋1＝〔4m 2－8m ＋1〕⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋〔m 2－4〕－14〔4m 2－8m ＋1〕4k 2＋1 ＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 要使PE →·QE →为定值，令2m －174＝0，即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364.当直线l 的斜率不存在时，不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
最新文档-2019版高考数学文科二轮专题复习课件：第一部分 转化与化归思想、分类讨论思想(共44张PPT)-PPT精
点
C
到
AB
的距离
d＝|2－25－3|＝
3， 5
则阴影部分 D 的面积为 2×12× 5× 35＝3.
答案：(1)C (2)B
[规律方法] 1．一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特 殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题 的一般规律，从而达到成批处理问题的效果． 2．对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目 提供的信息暗示答案是一个定值时，把题中变化的量用 特殊值代替，即可得到答案．
→0，
பைடு நூலகம்
故 f(x)的最大值为 f12＝2e－12， 则 m≥2e－12. 答案：D
角度 正与反、主与次的转化 【例 3】 (1)设 y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若 t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则 x 的取值范围是 ________________． (2)若对于任意 t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2 －2x 在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范 围是________________．
因为 h′(x)＝1x－1≤0， 所以函数 h(x)在[1，＋∞)上为减函数， 又 x∈[1，m)，所以 h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m. 所以要使得对任意 x∈[1，m]，t 值恒存在， 只需 1＋ln m－m≥－1. 因为 h(3)＝ln 3－2＝ln1e·3e＞ln 1e＝－1，
角度 特殊与一般的转化
【例 1】 (1)过抛物线 y＝ax2(a＞0)的焦点 F，作一
直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长度分
别为 p，q，则1p＋1q等于( )
A．2a
1 B.2a
C．4a
2018届高三数学二轮复习第二篇数学思想四转化与化归思想课件文
2,所以实数a的取值范围为(0,2).
应用二 变量与常量的转化
例 对于满足0≤p≤4的所有实数p,使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的 . 取值范围是 答案 解析 (-∞,-1)∪(3,+∞) 设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,
2.已知函数f(x)=aln x+x2+(a-6)x在(0,3)上不是单调函数,则实数a的取值 范围是 .
答案
(0,2)
2 x 2 (a 6) x a a f '(x)= +2x+(a-6)= ,设g(x)=2x2+(a-6)x+a,因为函数 x x
解析
f(x)在(0,3)上不是单调函数,所以函数g(x)=2x2+(a-6)x+a在(0,3)上不会恒
跟踪集训
1.由命题“存在x0∈R,使 e|x 1| -m≤0”是假命题,得m的取值范围是(-∞,a),则
0
实数a的取值是 ( A.(-∞,1) B.(-∞,2)
) C.1 D.2
0
答案 C 由命题“存在x0∈R,使 e|x 1| -m≤0”是假命题,可知它的否 定形式“任意x∈R,使e|x-1|-m>0”是真命题,可得m的取值范围是(-∞,1), 而(-∞,a)与(-∞,1)为同一区间,故a=1.
总纲目录
应用一 正与反的相互转化 应用二 变量与常量的转化 应用三 函数、方程、不等式间的转化
应用一 正与反的相互转化
高中数学思想----转化与化归思想
转化与化归思想[思想方法解读] 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性． 转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．体验高考1．(2016·课标全国乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2．(2016·课标全国丙)已知4213532,4,25,a b c ===则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b答案 A解析 因为4243552,42,a b ===由函数y ＝2x 在R 上为增函数知b <a ；又因为24213,33324,255a c ====由函数23y x =在(0，＋∞)上为增函数知a <c .综上得b <a <c .故选A.3．(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C . (2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.高考必会题型题型一 正难则反的转化例1 已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．点评 本题中，A ∩B ≠∅，所以A 是方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根．分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U ，然后求①的两根均为非负时m 的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”．变式训练1 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0， 即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二 函数、方程、不等式之间的转化 例2 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x －1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)， 令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1n (n ∈N *)时，则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．点评 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 变式训练2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. (1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2)ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减 ↘2－2ln 2＋2a单调递增 ↗故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)， 单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a .(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)， 都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1. 题型三 主与次的转化例3 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－23，1 解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(－1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0， 解得－23<x <1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 点评 主与次的转化法合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x 及a ，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[－1,1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题．变式训练3 设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析 ∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．(*) (*)式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0， 解得x ≥0或x ≤－1，即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 题型四 以换元为手段的转化与化归例4 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间[0，π2]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，请说明理由． 解 y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－(cos x －a 2)2＋a 24＋58a －12.∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1，令cos x ＝t ，则y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递增， ∴t ＝1时，函数有最大值y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013<2(舍去)；当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，则t ＝a2时函数有最大值，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)；当a2<0，即a <0时， 函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递减，∴t ＝0时，函数有最大值y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125>0(舍去)，综上所述，存在实数a ＝32，使得函数在闭区间[0，π2]上有最大值1.点评 换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况．本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设cos x ＝t ，转化为关于t 的二次函数问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1的最值问题，然后分类讨论解决问题．变式训练4 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－8]解析 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a ，得a ＋4＝－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ， ∵t >0，∴－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．高考题型精练1．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，518] B ．(－∞，3]C ．[518，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3， 由于f (x )在区间[1,4]上单调递减， 则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32(x ＋1x )在[1,4]上恒成立，因为y ＝32(x ＋1x )在[1,4]上单调递增，所以t ≥32(4＋14)＝518，故选C.2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞) 答案 D解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F (0，14a )，取过焦点F 的直线垂直于y 轴， 则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q＝4a .4．已知函数f (x )＝(e 2x ＋1＋1)(ax ＋3a －1)，若存在x ∈(0，＋∞)，使得不等式f (x )<1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，e ＋23(e ＋1))B ．(0，2e ＋1)C ．(－∞，e ＋23(e ＋1))D ．(－∞，1e ＋1)答案 C解析 因为x ∈(0，＋∞)，所以2x ＋1>1， 则e 2x ＋1＋1>e ＋1，要使f (x )<1，则ax ＋3a －1<1e ＋1，可转化为：存在x ∈(0，＋∞)使得a <e ＋2e ＋1·1x ＋3成立．设g (x )＝e ＋2e ＋1·1x ＋3，则a <g (x )max ， 因为x >0，则x ＋3>3， 从而1x ＋3<13，所以g (x )<e ＋23(e ＋1)，即a <e ＋23(e ＋1)，选C.5．已知f (x )＝33x ＋3，则f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝________.答案 2 016解析 f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x ＝3x ＋33x ＋3＝1， ∴f (0)＋f (1)＝1，f (－2 015)＋f (2 016)＝1，∴f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝2 016.6．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，求实数p 的取值范围是________． 答案 (－3，32)解析 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为(－3，32)．7．对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围是________________． 答案 (7－12，3＋12) 解析 对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m <0恒成立， 即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1<0恒成立． 设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )<0恒成立(m ∈[－2,2])．所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0， 解得7－12<x <3＋12， 即实数x 的取值范围为(7－12，3＋12)． 8．(2016·天津模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，如果点P ，Q 在正视图中所示位置：点P 为所在线段的中点，点Q 为顶点，则在几何体侧面上，从P 点到Q 点的最短路径的长为________．答案 a 1＋π2解析 由三视图，知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，分别沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平，如图所示．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋(πa )2＝a 1＋π2. 所以P ，Q 两点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.9．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0， 解得x <2或x >4.即x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n>0. (1)证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f (x 2－1)＋f (3－3x )<0；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对∀x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)任取－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1－x 2(x 1－x 2)． ∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1＋(－x 2)≠0，由已知f (x 1)＋f (－x 2)x 1－x 2>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上是增函数．(2)因为f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且在[－1,1]上是增函数，不等式化为f (x 2－1)<f (3x －3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1<3x －3，－1≤x 2－1≤1，－1≤3x －3≤1，解得x ∈(1，43]． (3)由(1)知，f (x )在[－1,1]上是增函数，所以f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对∀x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，只要t 2－2at ＋1≥1⇒t 2－2at ≥0，设g (a )＝t 2－2at ，对∀a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝t 2＋2t ≥0，g (1)＝t 2－2t ≥0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0或t ≤－2，t ≥2或t ≤0， 所以t ≥2或t ≤－2或t ＝0.11．已知函数f (x )＝2|x －1|－a ，g (x )＝－|2x ＋m |，a ，m ∈R ，若关于x 的不等式g (x )≥－1的整数解有且仅有一解－2.(1)求整数m 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12g (x )的图象的上方，求实数a 的取值范围． 解 (1)由g (x )≥－1，即－|2x ＋m |≥－1，|2x ＋m |≤1，得－m －12≤x ≤－m ＋12. ∵不等式的整数解为－2，∴－m －12≤－2≤－m ＋12， 解得3≤m ≤5.又∵不等式仅有一个整数解－2，∴m ＝4.(2)函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12g (x )的上方， 故f (x )－12g (x )>0对任意x ∈R 恒成立， ∴a <2|x －1|＋|x ＋2|对任意x ∈R 恒成立．设h (x )＝2|x －1|＋|x ＋2|，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－2，4－x ，－2<x ≤1，3x ，x >1，则h(x)在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，h(x)取得最小值3，故a<3，∴实数a的取值范围是(－∞，3)．--。
高三数学第二轮专题讲座复习：化归思想
a
46
2(1
4 4 )(a
4 6)
a
例 3 一条路上共有 9 个路灯， 为了节约用电， 拟关闭其中 3 个，要求两端的路灯不能关 闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为
解析 9 个灯中关闭 3 个等价于在 6 个开启的路灯中， 选 3 个间隔 （不包括两端外边的
C
3 5
=10
10
2
2
故 P 的 坐标为 ( a ,
2
)
2a
2
2
2
(2)∵在△ ABP 中，｜ AB｜ =2 a b ，高为
,
a
∴ S(a)
1 2
a2
b2
2
2
a
2(1
4 a4
)
∵ a＞ b＞0,b=
2 a
∴ a＞ 2 ,即 a＞ a
2
,得
0＜
4 a4
＜1
于是 0＜ S（ a）＜ 2 ，故△ ABP 的面积函数 S(a)的值域为 (0, 2 )
例 2 设椭圆
C1 的方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a＞ b＞ 0)，曲线 C2 的方程为 y= 1 ，且曲线 C1 与 x
C2 在第一象限内只有一个公共点 P （ 1）试用 a 表示点 P 的坐标；
（ 2）设 A、B 是椭圆 C1 的两 个焦点，当 a 变化时，求△ ABP 的面积函数 S(a)的值域； （ 3 ）记 min{ y1,y2,…… ,yn} 为 y1,y2,…… ,yn 中最小的一个 设 g(a)是以椭圆 C1 的半焦距 为边长的正方形的面积，试求函数 f(a)=min{ g(a), S(a)} 的表达式
命题意图 本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力
高三数学 二轮专题复习精讲课件：8-2转化与化归思想、数形结合思想
(4)参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易 于转化．
(5)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为 易于解决的问题．
(6)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问 题，是转化方法的一个重要途径．
(7)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定 转化途径．
(8)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并 证明特殊化后的结论适合原问题．
(1)抽象问题向具体问题化归； (2)一般问题向特殊问题化归； (3)正向思维向逆向思维化归； (4)命题向等价命题化归．
3．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公 式或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整 式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于 解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间 形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
[答案] B
[分析] 由奇函数图象的对称性可画出f(x)的图象，不等
式f(x)·cosx<0可等价转化为
fx>0
cosx<0
或
fx<0
cosx>0
，结合图形可
得出解集．
[解析] 不等式f(x)cosx<0等价于
fx>0， cosx<0，
或fx<0， cosx>0.
画出f(x)在(－3,3)上的图象，cosx的图象又熟知，运用数
核心整合
知识方法整合 一、转化与化归思想 转化与化归的基本内涵是：人们在解决数学问题时，常 常将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题 B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问 题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解．用框图可直 观地表示为：
高三数学第二轮专题复习转化与化归思想课堂资料
高三数学第二轮专题复习转化与化归思想课堂资料一、基础知识整合世界数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”，“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”。
他认为，解题过程就是“转化”的过程，因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。
“化归与转化的思想方法”思想方法，就是在把直接求解较为困难的问题转化为一个相对来说自己较为熟悉的，且在已有知识范围内可解的新问题，从而达到解决原问题的目的。
转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
化归与转化应遵循的基本原则：⑴熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
⑵简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
⑶和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
⑷直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
⑸正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
高考理科数学二轮复习新课标通用课件专题八分类讨论转化与化归思想
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高考真题解析与训练
高考真题解析
（2019全国卷Ⅰ理21）本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了分类讨论思想、转化与化归思想的应用 。通过对参数a的分类讨论，将问题转化为求解函数的单调性和极值问题，进而求得参数a的取值范围。
（2020全国卷Ⅱ理21）本题考查了利用导数研究函数的零点问题，考查了分类讨论思想的应用。通过对函数导数的分析，将 问题转化为求解函数的单调性和零点问题，进而求得参数a的取值范围。
与分类讨论思想的关系
分类讨论思想是将问题按照一定的标准进行分类，然后分别进行讨论和解决的一种数学 思想。转化与化归思想与分类讨论思想也有密切联系。在解决某些问题时，可以先将问 题进行分类，然后针对不同类别的问题采取不同的转化策略；同时，在转化过程中也可
能需要对问题进行分类讨论，以便更好地实现问题的转化和解决。
02
利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，将问 题转化为更容易处理的函数形式。
03
通过构造函数模型，将实际问题转化为函数问题， 进而利用函数的性质进行求解。
转化与化归在数列问题中的应用
01 通过数列的通项公式或递推公式，将数列问题转 化为等差数列或等比数列问题。
02 利用数列求和公式或求和技巧，将数列求和问题 转化为更容易计算的数列形式。
难度跨越
分类讨论的题目难度跨度大，既有基础题也有难 题，能够很好地考查学生的数学素养和思维能力 。
思想方法
分类讨论不仅是一种解题方法，更是一种重要的 数学思想，它对于培养学生的逻辑思维和创新能 力具有重要意义。
分类讨论与其他数学思想的关系
与化归思想的关系
分类讨论与化归思想密切相关。化归思想是将复杂问题转化为简单问题、未知问题转化为 已知问题的思想方法。在分类讨论中，常常需要将问题分成不同情况，然后对每个情况分 别进行化归处理。
2018年高考数学二轮专题复习训练：分类讨论、转化与化归思想
分类讨论、转化与化归思想
一、分类讨论思想
分类讨论思想的含义 分类讨论思想在解题中的应用
由数学概念而引起的分类讨论： 如绝对值的定义、不等式的定 1 义、二次函数的定义、直线的 倾斜角等．
分类讨论的思想是将一 个较复杂的数学问题分解(或 分割)成若干个基础性问题， 通过对基础性问题的解答来 由数学运算要求而引起的分类 实现解决原问题的思想策 讨论：如除法运算中除数不为 略．对问题实行分类与整合， 零，偶次方根为非负数，对数 分类标准等于增加一个已知 运算中真数与底数的要求，指 条件，实现了有效增设，将 2 数运算中底数的要求，不等式 大问题(或综合性问题)分解为 中两边同乘以一个正数、负数， 小问题(或基础性问题)，优化 三角函数的定义域，等比数列 解题思路，降低问题难度. {an}的前n项和公式等．
∴Sn＝2n2－n. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1＝1，∴an＝4n－3.
(2)若 bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
[解]
由(1)可得 bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)，
a 因 为 x1 － x2<0,1 － >0 ， 所 以 f(x1) － f(x2)<0 ， 即 x1x2 f(x1)<f(x2)， 故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)若 a>0，当 x∈[1,3]时，不等式 f(x)≥2 恒成立，求 a 的 取值范围． [解] 若 a>0，则 f(x)在(0， a)上单调递减，在( a，＋∞)
函数与方程思想的含义 分类讨论的思想是将 一个较复杂的数学问题分 解(或分割)成若干个基础 性问题，通过对基础性问 题的解答来实现解决原问 题的思想策略．对问题实 行分类与整合，分类标准 等于增加一个已知条件， 实现了有效增设，将大问 题(或综合性问题)分解为 小问题(或基础性问题)， 优化解题思路，降低问题 难度.
高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想
【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想一、分类与整合思想分类与整合思想又叫分类讨论思想．分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论”．在高考中必定考查分类讨论，特别是这几年的压轴题．预测在2015年的高考题中：继续与函数综合考查，结合函数与方程思想以及等价转化思想，考查学生分析问题、解决问题的能力．分类讨论思想解题的步骤为：(1)确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决：(4)归纳总结：将各类情况归纳与总结．1．由概念、法则、公式引起的分类讨论(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和S n 公式等．(3)由函数的性质，定理，公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性，基本不等式等．【例1】 (1)已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为________．(2)若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ (3)等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12【解析】 (1)当直线的斜率不存在时，x ＝2与圆相切，合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0.由题意得|－2k ＋4|k 2＋1＝2.即k ＝34，所以直线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0. (2)由log a 23<1得log a 23<log a a .当a >1时，a >23，所以a >1；当0<a <1时，a <23，所以0<a <23.所以a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．故选C. (3)当q ＝1时，S 3＝3a 3＝21，∴合题意．当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q 1－q ＝21，且a 3＝7，∴q ＝－12，故选C. 【答案】 (1)x ＝2或3x －4y ＋10＝0 (2)C (3)C2．由变量或参数引起的分类讨论由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．所以对分类复杂的参数讨论题，必须科学的选定分类标准，使分类有条不紊，解答自然流畅． 【例2】 已知a ∈R ，求函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值．【解】 设函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值为m .①当a ≤1时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 3－ax 2，因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x >0，x ∈(1,2)， 则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝1－a .②当1<a ≤2时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 2|x －a |≥0，由f (a )＝0，知m ＝f (a )＝0.③当a >2时，在区间[1,2]上，f (x )＝ax 2－x 3，f ′(x )＝2ax －3x 2＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －x . 若a ≤3，在区间(1,2)上，f ′(x )>0，则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝a －1；若2<a <3，则1<23a <2， 当1<x <23a 时，f ′(x )>0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，23a 上的增函数， 当23a <x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，2上的减函数， 因此当2<a <3时，m ＝f (1)＝a －1或m ＝f (2)＝4(a －2)．当2<a ≤73时，4(a －2)≤a －1，故m ＝f (2)＝4(a －2)， 当72<a <3时，4(a －2)>a －1，故m ＝f (1)＝a －1. 综上所述，函数的最小值m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ，a ≤1，0，1<a ≤2，4a －2，2<a ≤73，a －1，a >73.3．由图形位置或形状引起的分类讨论几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【例3】 (1)(2014·河南三市联考)若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或7(2)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47【解析】 (1)当焦点在x 轴上时，2m －8＝2，∴m ＝9.当焦点在y 轴上时，28－m ＝2，∴m ＝7.故选D.(2)由AB →＝(k,1)，且|AB →|≤4得k 2＋1≤4，∴k 2≤15，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.当∠A 是直角时，AB →·AC →＝0，∴2k ＋4＝0，∴k ＝－2，合题意．当∠B 是直角时，BA →＝(－k ，－1)，BC →＝BA →＋AC →＝(－k ＋2,3)，由BA →·BC →＝0得(－k )(－k ＋2)＋(－1)×3＝0，∴k 2－2k －3＝0，∴k ＝3或k ＝－1，合题意．当∠C 是直角时，CA →＝(－2，－4)，CB →＝CA →＋AB →＝(k－2，－3)，由CA →·CB →＝0得(－2)(k －2)＋(－4)(－3)＝0，∴k ＝8，不合题意．故△ABC 是直角三角形的概率为37. 【答案】 (1)D (2)C二、化归与转化思想高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分．转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略．同时也是成功的思维方式．1．由等与不等引起的化归与转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．【例4】 (1)设x ，y 为正实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×(2x ＋y 2)2＋1， ∴(2x ＋y )2≤85， ∴2x ＋y 的最大值为2105. (2)设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解．分离变量a ，得a ＋4＝－(t ＋4t)， ∵t >0，∴－(t ＋4t)≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．【答案】 (1)2105(2)(－∞，－8] 2．由特殊与一般引起的化归与转化特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题． 第五步：回归目标问题．第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．【例5】 若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．【解析】 x 25＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，∴0<m <5. 又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．【答案】 [1,5)3．由正与反引起的化归与转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．【例6】 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2x－3x 恒成立，∴m ＋4≥－1，∴m ≥－5.由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x－3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≤23－9，m ≤－373. ∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5。
高考数学二轮复习专题八第2讲分类讨论思想、转化与化归思想提升训练理
第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想一、填空题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________．解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1. 答案 2×3n －12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为________．解析 当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a . 答案 a 23．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为________．解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求． 当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或－12. 答案 1或－124．方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是________．解析 求k ＝－sin 2x －cos x 的值域．k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－54.当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 5．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于________． 解析 ∵S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.答案 5 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5.点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →，当xy 取最大值时，|AD →|的值为________．解析 ∵AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5， ∴△ABC 为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A (0，0)，B (3，0)，C (0，4)，设D (a ，b )，由AD →＝xAB →＋yAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝4y ，∴xy ＝ab 12.又∵D 在直线l BC ：x 3＋y 4＝1上， ∴a 3＋b 4＝1，则a 3＋b 4≥2ab 12.∴ab 12≤14，即xy ≤14，当且仅当a ＝32，b ＝2时xy 取到最大值14，此时|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 答案 527．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，则PF 1PF 2的值为________．解析 若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25， 解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72.若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2＝2或72. 答案 2或728．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________．解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x ＞0即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为 a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因为g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4； 当x ＜0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g ′(x )＝3（1－2x ）x 4＞0，g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.答案 4二、解答题9．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以{a n ＋1－a n }为常数列，所以{a n }是以a 1为首项的等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ，所以d ＝2－83＝－2，所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n ＞5时，a n ＜0；当n ＝5时，a n ＝0； 当n ＜5时，a n ＞0.所以当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2. 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2（n ≤5），n 2－9n ＋40 （n ＞5）. 10．已知函数g (x )＝ax x ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )．(1)若函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性． 解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2（x ＋1）2＝x ＋3（x ＋1）2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x ＞－1)，所以f ′(x )＝1x ＋1＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝x ＋1＋a （x ＋1）2.①当a ≥0时，因为x ＞－1，所以f ′(x )＞0，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＜0，x ＞－1，得－1＜x ＜－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＞0，x ＞－1，得x ＞－1－a ，故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减， 在(－1－a ，＋∞)上单调递增．11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形．(1)求椭圆的方程； (2)若过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形，所以b ＝3×33＝1.可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)，所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1 ＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 要使PE →·QE →为定值，令2m －174＝0， 即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364. 当直线l 的斜率不存在时，不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，由E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，可得PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32， 所以PE →·QE →＝8164－34＝3364.综上，存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，使PE →·QE →为定值3364.。
高考数学二轮复习专题八第二讲分类讨论思想化归与转化思想理
第二讲 分类讨论思想、化归与转化思想1．在正实数集上定义一种运算*：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a <b 时，a *b ＝b 2，则满足3*x ＝27的x 的值为( )A ．3B ．1或9C ．1或 2D ．3或3 32．(2013·高考福建卷)满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．103．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.89 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或833 4．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与QF 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q等于( )A ．2a B.12a C ．4aD.4a5．设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(－∞，12)6．设集合A ＝{x |12＋x －x 2≥0}，集合B ＝{x |m －1≤x ≤3m －2}，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________．7．(2013·高考北京卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ， x <1，的值域为________．8．已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1，1)上存在零点，则实数a 的取值范围是________．9．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，求a 1与q .10．(2013·惠州模拟题)设a >0，讨论函数f (x )＝ln x ＋a (1－a )x 2－2(1－a )x 的单调性．11．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.答案：第二讲 分类讨论思想、化归与转化思想 1．【解析】选D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3x 3＝27或⎩⎪⎨⎪⎧x >3x 2＝27，解得x ＝3或3 3. 2．【解析】选B.若a ＝0，则b ＝－1，0，1，2，此时(a ，b )的取值有4个；若a ≠0，则方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实根，需Δ＝4－4ab ≥0，∴ab ≤1，此时(a ，b )的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．∴(a ，b )的个数为4＋9＝13. 3．【解析】选D.分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况． 4．【解析】选C.因为直线PQ 是任意的，所以，可以取最特殊的情况：直线PQ 垂直于y轴时．此时|PF |＝|QF |＝12a，∴1p ＋1q＝4a ，故选C.5．【解析】选C.易知f (x )为奇函数、增函数， f (m cos θ)＋f (1－m )>0， 即f (m cos θ)>f (m －1)， ∴m cos θ>m －1，而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0，1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >m －10>m －1，得m <1. 6．【解析】由12＋x －x 2≥0，得－3≤x ≤4，那么A ＝{x |－3≤x ≤4}，由A ∩B ＝B ，当B ≠∅时，结合数轴，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－3m －1≤3m －23m －2≤4⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－2m ≥12m ≤2⇒12≤m ≤2；当B ＝∅时，也有A ∩B ＝B 成立；此时，m －1>3m －2，即m <12；故实数m 的取值范围为{m |m ≤2}． 【答案】{m |m ≤2} 7．【解析】当x ≥1时，log 12x ≤log 121＝0，∴当x ≥1时，f (x )≤0.当x <1时，0<2x <21，即0<f (x )<2. 因此函数f (x )的值域为(－∞，2)． 【答案】(－∞，2)8．【解析】g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1，1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1，1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1，1)上的值域，不难求出这个函数的值域是[－43，7)．故所求的a 的取值范围是[－43，7)．【答案】[－43，7)9．【解】当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立；当q ≠1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝a 3＝32，a 1（1－q 3）1－q ＝S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92， ②由①②，得1＋q ＋q2q2＝3， 即2q 2－q －1＝0，∴q ＝－12或q ＝1(舍去)．当q ＝－12时，a 1＝a 3q2＝6.综上可知，当q ＝1时，a 1＝32；当q ＝－12时，a 1＝6.10．【解】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2a (1－a )x －2(1－a )＝2a （1－a ）x 2－2（1－a ）x ＋1x，令g (x )＝2a (1－a )x 2－2(1－a )x ＋1，Δ＝4(1－a )2－8a (1－a )＝12a 2－16a ＋4 ＝4(3a －1)(a －1)，①当0<a <13时，Δ>0，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a ±（3a －1）（a －1）2a （1－a ），则当0<x <1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）或x >1－a ＋（3a －1）（a －1）2a （1－a ）时，f ′(x )>0；当1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）<x <1－a ＋（3a －1）（a －1）2a （1－a ）时，f ′(x )<0；则f (x )在(0，1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）)，(1－a ＋（3a －1）（a －1）2a （1－a ），＋∞)上单调递增，在(1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ），1－a ＋（3a －1）（a －1）2a （1－a ）)上单调递减；②当13≤a ≤1时，Δ≤0，f ′(x )≥0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a >1时，Δ>0，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a ±（3a －1）（a －1）2a （1－a ），∵x >0，∴x ＝1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）则当0<x <1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）时，f ′(x )>0，当x >1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ）)上单调递增，在(1－a －（3a －1）（a －1）2a （1－a ），＋∞)上单调递减．11．【解】 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4，0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1，2＝－4±627，所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187.。
2018年高考理科数学二轮复习 讲学案：考前数学思想领航 四、转化与化归思想
四、 转化与化归思想方法一 一般与特殊的转化问题模型解法一般和特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．破解此类题的关键点: ①确立转化对象,一般将要解决的问题作为转化对象．②寻找转化元素,由一般问题转化为特殊问题时,寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时,寻找“一般元素”．③转化为新问题,根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系,将其转化为新的需要解决的问题．④得出结论,求解新问题,根据所得结论求解原问题,得出结论．典例1 已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1,1]上的最小值为－3,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－1]B ．[12,＋∞)C ．[－1,12] D.⎣⎡⎦⎤－32，12 解析 当a ＝0时,函数f (x )＝－3x ,x ∈[－1,1],显然满足条件,故排除选项A,B ；当a ＝－32时,函数f (x )＝32x 3－92x , f ′(x )＝92x 2－92＝92(x 2－1), 当－1≤x ≤1时,f ′(x )≤0,所以f (x )在[－1,1]上单调递减,所以f (x )min ＝f (1)＝32－92＝－3,满足条件, 故排除C.综上,故选D.答案 D思维升华 常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题,在题设条件都成立的情况下,用特殊值探求正确选项,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律；对于填空题,当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以用特殊值代替变化的不定量．跟踪演练1 若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≤0，则y ＋1x －1的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－13，15 B.⎣⎡⎦⎤－13，1 C.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪⎣⎡⎭⎫15，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[1,＋∞) 答案 B解析 可行域为如图所示的阴影部分,设z ＝y ＋1x －1,因为点(－2,－1)在可行域内,所以z ＝－1＋1－2－1＝0,排除C,D ；又点A (0,－2)在可行域内,所以z ＝－2＋10－1＝1,排除A.方法二 数与形的转化问题 模型解法数与形的转化包含由数到形和由形到数两个方面．由数到形就是把问题的数量信息转换为图形信息,由形到数就是把图形信息进行代数化处理,用数量关系刻画事物的本质特征,从而得解．破解此类题的关键点:①数形转化,确定需要等价转化的数量关系(解析式)与图形关系．②转化求解,通过降维等方式合理转化,使问题简单化并进行分析与求解．③回归结论,回归原命题,得出正确结论．典例2 某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件的材料利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( )A.89πB.827πC.24(2－1)3π D.8(2－1)3π解析 由三视图知该几何体是一个底面半径为r ＝1,母线长为l ＝3的圆锥,则圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝32－12＝2 2.由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的一个底面A 1B 1C 1D 1在圆锥的底面上,过平面AA 1C 1C 的轴截面如图所示,设正方体的棱长为x ,则有22x r ＝h －x h, 即x 2＝22－x 22,解得x ＝223, 则原工件的材料利用率为V 正方体V 圆锥＝x 313πr 2h ＝89π,故选A. 答案 A思维升华 数与形转化问题,特别是空间转化问题,往往在解决空间几何体问题的过程中将某些空间几何体问题进行特殊化处理,转化为平面几何问题来处理,降低维度,简化求解过程,降低难度．跟踪演练2 已知直线l :y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆3x 2＋y 2＝a 相交于A ,B 两个不同的点,记直线l 与y 轴的交点为C .(1)若k ＝1,且|AB |＝102,求实数a 的值；(2)若AC →＝2CB →,O 为坐标原点,求△AOB 面积的最大值及此时椭圆的方程．解 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，3x 2＋y 2＝a ， 得4x 2＋2x ＋1－a ＝0,则x 1＋x 2＝－12,x 1x 2＝1－a 4, 从而|AB |＝2|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·a －34＝102, 解得a ＝2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2＋y 2＝a ， 得(3＋k 2)x 2＋2kx ＋1－a ＝0,则x 1＋x 2＝－2k 3＋k 2,x 1x 2＝1－a 3＋k 2. 易知C (0,1),由AC →＝2CB →,得(－x 1,1－y 1)＝2(x 2,y 2－1),解得x 1＝－2x 2,所以x 1＋x 2＝－x 2＝－2k 3＋k 2, 则x 2＝2k 3＋k 2. △AOB 的面积S △AOB ＝12|OC |·|x 1－x 2| ＝32|x 2|＝3|k |3＋k 2＝33|k |＋|k |≤323＝32,当且仅当k 2＝3时取等号,此时x 2＝2k 3＋k 2, x 1x 2＝－2x 22＝－2×4k 2(3＋k 2)2＝－23, 又x 1x 2＝1－a 3＋k 2＝1－a 6,则1－a 6＝－23,解得a ＝5. 所以△AOB 面积的最大值为32, 此时椭圆的方程为3x 2＋y 2＝5.方法三 形体位置关系的转化问题模型解法形体位置关系的转化法是针对几何问题采用的一种特殊转化方法．主要适用于涉及平行、垂直的证明,如常见线面平行、垂直的推理与证明实际就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化．破解此类题的关键点:①分析特征,一般要分析形体特征,根据形体特征确立需要转化的对象．②位置转化,将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体．由于新的几何体是转化而来,一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析,准确理解新的几何体的特征．③得出结论,在新的几何结构中解决目标问题．典例3 如图,已知三棱锥P —ABC ,P A ＝BC ＝234,PB ＝AC ＝10,PC＝AB ＝241,则三棱锥P —ABC 的体积为__________．解析 因为三棱锥三组对边两两相等,则可将三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ,易知三棱锥P —ABC 的各棱分别是长方体的面对角线．不妨令PE ＝x ,EB ＝y ,EA ＝z ,由已知有⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得x ＝6,y ＝8,z ＝10,从而知三棱锥P —ABC 的体积为V三棱锥P—ABC＝V长方体AEBG—FPDC－V三棱锥P—AEB－V三棱锥C—ABG－V三棱锥B—PDC－V三棱锥A—FPC ＝V长方体AEBG－FPDC－4V三棱锥P—AEB＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.答案160思维升华形体位置关系的转化常将空间问题平面化、不规则几何体特殊化,使问题易于解决．同时也要注意方法的选取,否则会跳入自己设的“陷阱”中．跟踪演练3如图,在棱长为5的正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF是棱AB上的一条线段,且EF＝2,点Q是A1D1的中点,点P是棱C1D1上的动点,则四面体PQEF的体积()A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量且有最大值和最小值D．是常数答案 D解析点Q到棱AB的距离为常数,所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF,可得棱C1D1∥平面EFQ,所以点P到平面EFQ的距离是常数,于是可得四面体PQEF的体积为常数．。
高考数学文科二轮复习专题八第2讲分类讨论思想转化与化归思想案
第 2 讲分类议论思想、转变与化归思想数学思想解读1.分类议论的思想是当问题的对象不可以进行一致研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，而后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最后综合各种结果获得整个问题的解答.本质上分类议论就是 “化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想 .2.转变与化归思想方法用在研究、解决数学识题时， 思想受阻或追求简单方法或从一种状况转化到另一种情况，也就是转变到另一种情境使问题获得解决，这类转变是解决问题的有效策略，同时也是获得成功的思想方式 .热门一 分类议论思想的应用应用 1 由观点、法例、公式、性质惹起的分类议论【例 1】(1) 若函数 f(x)＝ a x (a>0， a ≠ 1)在 [－ 1， 2]上的最大值为 4，最小值为 m ，且函数 g(x)＝ (1－ 4m) x 在[0 ，＋ ∞)上是增函数，则a ＝________；(2) 在等比数列 { a n } 中，已知 a 3＝3， S 3＝ 9，则 a 1＝ ________.2 22－11分析 (1) 若 a>1，有 a ＝ 4， a＝m ，解得 a ＝2， m ＝ .2此时 g(x)＝－ x 为减函数，不合题意 .若 0<a<1，有 a －1＝ 4， a 2＝m ，故 a ＝ 1， m ＝ 1，查验知切合题意 .416(2) 当 q ＝ 1 时， a 1＝ a 2＝ a 3＝ 3， S 3＝ 3a 1＝9，明显建立 .2 2 当 q ≠1时，由 a ＝3， S ＝ 9，32 3223①a 1q＝ ，2∴a 1（ 1＋ q ＋ q 2）＝ 92，②由①②，得 1＋ q ＋q 22－ q － 1＝ 0，2＝ 3，即 2qq所以 q ＝－ 1 或 q ＝ 1(舍去 ).当 q ＝－ 1a 3 22 时， a 1＝2＝6，q综上可知， a ＝3或 a ＝ 6.121答案(1) 1(2) 3或 6 4 2研究提升 1.指数函数、对数函数的单一性取决于底数a，所以，当底数 a 的大小不确准时，应分0< a<1， a>1 两种状况议论.2.利用等比数列的前 n 项和公式时，若公比 q 的大小不确立，应分q＝ 1 和 q≠1两种状况进行议论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的 .【训练1】(1)(2017 长·沙一中质检 )已知 S n为数列 { a n} 的前 n 项和且 S n＝ 2a n－ 2，则 S5－ S4的值为 ()A.8B.10C.16D.32(2) 函数 f(x)＝sin（πx2），－ 1<x<0，x－ 1， x≥0.若 f(1) ＋ f(a)＝ 2，则 a 的全部可能取值的会合是 ________. e分析(1) 当 n＝ 1 时， a1＝S1＝ 2a1－ 2，解得 a1＝ 2.因为 S n＝ 2a n－2，当 n≥2时， S n－1＝ 2a n－1－2，两式相减得，a n＝ 2a n－2a n－1，即 a n＝ 2a n－1，则数列 { a n} 为首项为2，公比为 2 的等比数列，则 S5－ S4＝ a5＝ 25＝ 32.(2) f(1) ＝ e0＝ 1，即 f(1) ＝ 1.由 f(1) ＋f(a)＝ 2，得 f(a)＝ 1.当 a≥0时， f(a)＝1＝ e a－1，所以 a＝1.2当－ 1<a<0 时， f(a)＝ sin( πa )＝ 1，2π所以πa ＝ 2kπ＋2(k∈Z ).2121，所以 a ＝ 2k＋ (k∈Z )， k 只好取 0，此时 a ＝22因为－ 1<a<0，所以 a＝－22.则实数 a 取值的会合为2.－2，1答案(1)D(2) －22， 1应用 2由图形地点或形状惹起的分类议论【例 2】(1)(2017 ·昆明一中质检 )已知双曲线的离心率为2 3，则其渐近线方程为________；3(2)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F 1， F 2，若曲线 C 上存在点 P 知足 |PF 1|∶ |F 1F2|∶ |PF 2|＝4∶ 3∶2，则曲线 C 的离心率等于 ________.分析(1) 因为 e＝ca＝233，22 2∴c2a ＋ b＝ 4，则 a 2＝ 3b 2，a 2a ＝3若双曲线焦点在 x 轴上，渐近线方程y ＝ ± 3x.3若双曲线焦点在 y 轴上，渐近线方程y ＝ ± 3x.(2) 不如设 |PF 1 |＝ 4t ，|F 1F 2|＝ 3t ， |PF 2|＝ 2t ，此中 t ≠ 0.若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋ |PF 2|＝ 6t ＝ 2a ，c ＝ 2c ＝ 3t ＝ 1；|F 1F 2|＝ 3t ＝ 2c ， e ＝a 2a 6t 2若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－ |PF 2 |＝2t ＝2a ，|F 1F 2|＝ 3t ＝ 2c ， e ＝ c 2c 3t 3＝ ＝ ＝ .a 2a 2t 23 1 3答案 (1) y ＝ ± 3x ，或 y ＝ ±3 x (2) 2或 2研究提升1.圆锥曲线形状不确准时，常按椭圆、双曲线来分类议论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的地点不一样来分类议论.2.有关计算中，波及图形问题时，也常按图形的地点不一样、大小差别等来分类议论 .【训练 2】设 F 1，F 2 为椭圆x 2＋ y 2＝ 1 的两个焦点， P 为椭圆上一点 .已知 P ， F 1， F 2 是一个9 4直角三角形的三个极点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|的值为 ________.|PF 2|分析 若∠ PF 2F 1＝ 90°.则 |PF 1 |2＝ |PF 2|2＋ |F 1F 2|2， 又因为 |PF 1|＋ |PF 2 |＝6， |F 1F 2|＝ 2 5，解得 |PF 1|＝144 ，所以 |PF 1| 73， |PF 2|＝＝ .3 |PF 2| 2若∠ F 1PF 2＝ 90°，则 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋ |PF 2|2，22＝20，所以 |PF 1| ＋ (6－ |PF 1|)|PF 1|所以 |PF 1|＝ 4， |PF 2|＝ 2，所以＝ 2.|PF 1|7综上知，＝或2.答案7或 22应用 3 由变量或参数惹起的分类议论 【例 3】已知 f(x)＝ x － ae x (a ∈R ， e 为自然对数的底 ).(1) 议论函数 f(x)的单一性；2x(2) 若 f(x) ≤e 对 x ∈ R 恒建立，务实数a 的取值范围 .解(1)f ′(x)＝ 1－ ae x ，当 a≤0时， f′(x)>0 ，函数 f(x)是 (－∞，＋∞)上的单一递加函数；当 a>0 时，由 f′(x)＝ 0 得 x＝－ ln a，所以函数 f(x)在 (－∞，－ ln a)上的单一递加，在(－ ln a，＋∞)上的单一递减 .2x x x(2) f(x) ≤e? a≥x－e，ex x2x－ x1－ e设 g(x)＝x－ e ，则 g′(x)＝x.e e当 x<0 时， 1－ e2x>0， g′(x)>0，∴ g(x)在 (－∞， 0)上单一递加 .当 x>0 时， 1－ e2x<0， g′(x)<0，∴ g(x)在 (0，＋∞)上单一递减 .所以 g(x)max＝ g(0) ＝－ 1，所以 a≥－ 1.故 a 的取值范围是 [ －1，＋∞).研究提升 1.(1) 参数的变化取值致使不一样的结果，需对参数进行议论，如含参数的方程、不等式、函数等 .此题中参数 a 与自变量x 的取值影响导数的符号应进行议论.(2) 分析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k 存在或不存在，波及直线与圆锥曲线位置关系要进行议论.2.分类议论要标准明确、一致，有条有理，分类要做到“不重不漏”.【训练 3】(2015 ·全国Ⅱ卷 )已知函数 f(x)＝ ln x＋ a(1－x).(1)议论 f(x)的单一性；(2) 当 f(x)有最大值，且最大值大于2a－ 2 时，求 a 的取值范围 .解 (1)f(x)的定义域为 (0，＋∞)， f′(x)＝1－ a. x若 a≤0，则 f′(x)＞ 0，所以 f(x)在 (0 ，＋∞)上单一递加 .111若 a＞ 0，则当 x∈0，a时， f′(x)＞ 0；当 x∈a，＋∞时， f ′(x)＜ 0，所以 f(x)在 0，a上单一1递加，在，＋∞上单一递减 .综上，知当a≤0时， f(x) 在(0 ，＋∞)上单一递加；当 a＞ 0 时， f(x) 在10， a上单一递加，在1，＋∞上单一递减a.(2)由(1) 知，当 a≤0时， f(x)在(0 ，＋∞)上无最大值；1111当 a＞ 0 时， f(x) 在 x＝a处获得最大值，最大值为 f a＝ ln a＋ a 1－a＝－ ln a＋ a－ 1.所以 f 1＞ 2a－ 2 等价于 ln a＋ a－ 1＜ 0. a令 g(a)＝ ln a＋ a－1，则 g(a)在 (0，＋∞)上单一递加，g(1) ＝ 0.于是，当 0＜ a ＜1 时， g(a)＜ 0；当 a ＞ 1 时， g(a)＞ 0.所以， a 的取值范围是 (0， 1).热门二 转变与化归思想应用 1特别与一般的转变【例 4】(1) 过抛物线 y ＝ ax 2 (a>0)的焦点 F ，作向来线交抛物线于 P ， Q 两点 .若线段 PF 与FQ 的长度分别为1＋1等于 ()p ，q ，则 pq1 A.2 aB. 2a4C.4aD.a(2)(2017 浙·江卷 )已知向量 a ， b 知足 |a |＝1， |b |＝ 2，则 |a ＋ b |＋ |a － b |的最小值是 ________，最大值是 ________.221 1分析(1) 抛物线 y ＝ ax (a>0) 的标准方程为 x ＝ a y(a>0) ，焦点 F 0， 4a .过焦点 F 作直线垂直于 y 轴，则 |PF|＝ |QF |＝ 1 ，2a∴ 1＋ 1＝ 4a.p q(2) 由题意，不如设 b ＝ (2，0) ，a ＝ (cos θ， sin θ)，则 a ＋ b ＝ (2＋ cos θ， sin θ)，a － b ＝ (cos θ－2， sin θ).令 y ＝ |a ＋b |＋ |a － b |＝ （2＋ cos θ） 2＋sin 2θ＋（ cos θ－2） 2＋ sin 2 θ＝ 5＋ 4cos θ＋ 5－ 4cos θ，令 y ＝ 5＋ 4cos θ＋ 5－ 4cos θ，则 y 2＝ 10＋ 2 25－ 16cos 2θ∈ [16 ， 20].由此可得 (|a ＋ b |＋ |a － b |)max ＝ 20＝ 2 5，(|a ＋ b |＋ |a － b |)min ＝ 16＝ 4，即 |a ＋ b |＋ |a － b |的最小值是 4，最大值是 2 5.答案(1)C (2)4 2 5研究提升1.一般问题特别化，使问题办理变得直接、简单.特别问题一般化，能够使我们从宏观整体的高度掌握问题的一般规律，从而达到成批办理问题的成效.2.对于某些选择题、填空题，假如结论独一或题目供给的信息示意答案是一个定值时，能够把题中变化的量用特别值取代，即可获得答案.【训练 4】 在 △ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若 a ，b ，c 成等差数列，则cos A＋cos C＝ ________.1＋ cos Acos C分析令 a ＝ b ＝ c，则△ ABC 为等边三角形，且cos A ＝ cos C＝1，代入所求式子，得2cos A＋ cos C 1＋ 14 2 21＋ cos Acos C＝＝ .1 1 51＋×22答案4 5应用 2函数、方程、不等式之间的转变【例 5】已知函数f(x) ＝3e|x|，若存在实数t∈ [ － 1，＋∞)，使得对随意的x∈ [1 ，m]， m∈Z 且 m>1，都有 f(x＋ t) ≤3ex，试求 m 的最大值 .解∵当 t∈[－ 1，＋∞)且 x∈ [1，m]时， x＋t≥0，∴f( x＋t) ≤3ex? e x＋t≤e x? t≤ 1＋ ln x－x.∴原命题等价转变为：存在实数 t∈ [－ 1，＋∞)，使得不等式 t≤1＋ ln x－ x 对随意 x∈ [1，m]恒建立 .令 h(x)＝ 1＋ ln x－ x(1 ≤x≤m).∵h′(x)＝1－1≤0， x∴函数 h(x)在 [1，＋∞)上为减函数，又 x∈ [1，m]，∴ h(x)min＝ h(m)＝ 1＋ln m－ m.∴要使得对随意x∈ [1， m] ， t 值恒存在，只要 1＋ln m－ m≥－1.∵ h(3) ＝ ln 3 － 2＝ ln 1 3· >ln 1＝－ 1，e e e141h(4) ＝ ln 4 － 3＝ ln ·2 <ln ＝－ 1，e e e又函数 h(x)在 [1，＋∞)上为减函数，∴知足条件的最大整数m 的值为 3.研究提升 1.函数与方程、不等式联系亲密，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，所以借助于函数与方程、不等式进行转变与化归能够将问题化繁为简，一般可将不等关系转变为最值(值域 )问题，从而求出参变量的范围.【训练 5】(2017 ·江苏卷 )在平面直角坐标系xOy 中， A(－ 12，0) ，B(0， 6)，点 P 在圆 O：x2 2→ →＋ y ＝ 50 上 .若 PA·PB≤ 20，则点 P 的横坐标的取值范围是________.分析设点 P(x， y)，且 A(－ 12，0) ，B(0， 6).→ →则 PA·PB＝ (－ 12－ x，－ y) ·(－ x， 6－y)＝x(12＋ x)＋ y(y－ 6) ≤20，22又 x ＋ y ＝ 50，则点 P 在直线 2x－ y＋ 5＝0 上方的圆弧上 (含交点 ).y＝ 2x＋ 5，联立解得 x＝－ 5 或 x＝ 1，22x ＋ y ＝ 50，联合图形知，－ 5 2≤x≤1.故点 P 横坐标的取值范围是 [－ 5 2， 1].答案[－5 2，1]应用 3正与反、主与次的转变【例 6】 (1) 若对于随意 t∈3m＋ 22在区间 (t， 3)上总不为单一[1， 2]，函数 g(x) ＝ x ＋2x － 2x函数，则实数 m 的取值范围是________；(2)对于知足 0≤p≤4的全部实数 p，不等式 x2＋ px>4x＋p－ 3 恒建立，则 x 的取值范围是 ________. 分析 (1)g′(x)＝ 3x2＋ ( m＋ 4)x－ 2，若 g(x)在区间 (t， 3)上总为单一函数，则① g′(x)≥0在 (t， 3)上恒建立，或② g′(x)≤0在 (t， 3)上恒建立 .由①得 3x22＋(m＋ 4)x－ 2≥0，即 m＋4≥ － 3x.x2恒建立，当 x∈ (t， 3)时恒建立，∴ m＋ 4≥ － 3tt则 m＋ 4≥－1，即 m≥－5；2237由②得 m＋ 4≤ － 3x，当 x∈ (t， 3)时恒建立，则m＋ 4≤ － 9，即 m≤－3 .x3∴使函数 g(x)在区间 (t， 3)上总不为单一函数的m 的取值范围为－373 <m<－5.(2) 设 f(p)＝ (x－ 1)p＋ x2－ 4x＋ 3，则当 x＝1时， f(p) ＝0.所以 x≠1.f（ 0）>0，f(p)在 0≤p≤4上恒正，等价于f（ 4）>0，（ x －3）（ x －1） >0 ，即解得 x>3 或 x<－ 1.x 2－ 1>0 ，答案－37，－ 5(2)( －∞，－ 1)∪ (3，＋ ∞)3研究提升 1.第 (1)题是正与反的转变， 因为不为单一函数有多种状况，先求出其反面， 表现 “正难则反 ”的原则 .题目若出现多种建立的情况，则不建立的情况相对极少，从后边考虑较简单，所以，间接法 多用于含有 “至多 ”“起码 ”及否认性命题情况的问题中 .2.第 (2)题是把对于 x 的函数转变为在 [0， 4]内对于 p 的一次函数大于 0 恒建立的问题 .在办理多变元的数学识题时， 我们能够选用此中的参数， 将其看作是 “主元 ”，而把其余变元看作是参数 .【训练 6】已知函数 f(x)＝ x 3 ＋3ax － 1，g(x)＝ f ′(x)－ ax －5，此中 f ′(x)是 f(x)的导函数 .对知足－ 1≤a ≤1的全部 a 的值，都有 g(x)<0 ，则实数 x 的取值范围为 ________.2分析由题意，知 g(x)＝ 3x － ax ＋ 3a －5，对－ 1≤a ≤1，恒有 g(x)<0 ，即 φ(a)<0 ，φ（ 1） <0，3x 2－ x － 2<0 ， ∴即φ（－ 1） <0， 3x 2＋ x － 8<0 ，解得－ 2<x<1.3故当 x ∈ － 2， 1 时，对知足－ 1≤a ≤1的全部 a 的值，都有 g(x)<0.3答案－2， 131.分类议论思想是将一个较复杂的数学识题分解 (或切割 )成若干个基础性问题，经过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题推行分类与整合，分类标准等于增添一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题 ) 分解为小问题 (或基础性问题 )，优化解题思想，降低问题难度 .常有的分类议论问题：(1) 会合：注意会合中空集 ?议论 .(2) 函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分 a ＞1 和 0＜ a ＜ 1 的议论，函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 有时分a ＝0 和 a ≠0的议论，对称轴地点的议论，鉴别式的议论.(3) 数列：由 S n 求 a n 分 n ＝ 1 和 n ＞ 1 的议论；等比数列中分公比q ＝ 1 和 q ≠1的议论 .(4) 三角函数：角的象限及函数值范围的议论.(5) 不等式：解不等式时含参数的议论，基本不等式相等条件能否知足的议论.(6) 立体几何：点线面及图形地点关系的不确立性惹起的议论.(7) 平面分析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b＝0 和 b≠0的议论；轨迹方程中含参数时曲线种类及形状的议论.(8) 去绝对值时的议论及分段函数的议论等.2.转变与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学识题时采纳某种手段将问题经过变换使之转变，从而解决问题的一种方法.一般老是将复杂的问题经过变换转变为简单的问题，将难解的问题经过变换转变为简单求解的问题，将未解决的问题经过变换转变为已解决的问题.。
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第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想
数学思想解读
1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.
2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.
热点一 分类讨论思想的应用
应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论
【例1】 (1)若函数f (x )＝a x
(a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________；
(2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92
，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，解得a ＝2，m ＝12
. 此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意.
若0<a <1，有a －1＝4，a 2
＝m ，
故a ＝14，m ＝116
，检验知符合题意. (2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92
，显然成立. 当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92
， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2
）＝92， ② 由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6， 综上可知，a 1＝32
或a 1＝6.
答案 (1)14 (2)32
或6 探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.
2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.
【训练1】 (1)(2017·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( )
A.8
B.10
C.16
D.32 (2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是
________.
解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2.
因为S n ＝2a n －2，
当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，
两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，
则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，
则S 5－S 4＝a 5＝25＝32.
(2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1.
由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.
当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1.
当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，
所以πa 2＝2k π＋π2
(k ∈Z). 所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z)，k 只能取0，此时a 2＝12
， 因为－1<a <0，所以a ＝－22
. 则实数a 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫－22，1. 答案 (1)D (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论
【例2】 (1)(2017·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为233
，则其渐近线方程为
________；
(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________.
解析 (1)由于e ＝c a ＝233
， ∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43
，则a 2＝3b 2， 若双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程y ＝±33
x . 若双曲线焦点在y 轴上，渐近线方程y ＝±3x .
(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0.
若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，
|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12
； 若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ，
|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32
. 答案 (1)y ＝±3x ，或y ＝±33x (2)12或32
探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.
2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.
【训练2】 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24
＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则
|PF 1||PF 2|的值为________. 解析 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，
又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，
解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72
. 若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，
所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，
所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以
|PF 1||PF 2|＝2. 综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.。