河北省清河县高三数学《39直接证明与间接证明》课时作业

河北省清河县高三数学《39直接证明与间接证明》课时作业
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若x ，y ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．log 2(1＋2x 2
)>0 B ．x 2＋y 2
≥2(x －y －1) C ．x 2
＋3xy ≥2y 2
D.x y <
x ＋1
y ＋1
解析：∵1＋2x 2
≥1，∴log 2(1＋2x 2
)≥0， 故A 不正确；
x 2＋y 2－2(x －y －1)＝(x －1)2＋(y ＋1)2≥0，
故B 正确；
令x ＝0，y ＝1，则x 2
＋3xy <2y 2
，故C 不正确； 令x ＝3，y ＝2，则32>3＋1
2＋1，故D 不正确．
答案：B
2．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b
D ．a >c >b
解析：∵a ＝3－2＝
13＋2
，
b ＝6－5＝16＋5，
c ＝7－6＝
17＋6
，
∴若比较a ，b ，c 的大小，
只要比较3＋2，6＋5，7＋6的大小． ∵7＋6>6＋5>3＋2>0， ∴
1
7＋6<16＋5<13＋2， ∴c <b <a . 答案：A
3．已知P ＝2－32，Q ＝(52)3，R ＝(12)3
，则P 、Q 、R 的大小关系是( )
A ．P <Q <R
B ．R <P <Q
C ．Q <P <R
D ．R <Q <P
解析：∵0<P ＝2－32<1，Q ＝(52)3>1,0<R ＝(12)3＝1
8<1，
∴P <Q ，R <Q ，∵2－32>2－3
.
∴R <P ，∴R <P <Q . 答案：B
4．设a >2，b >2，则( ) A ．ab >a ＋b B ．ab <a ＋b
C ．存在a ，b ，使得ab ＝a ＋b D.a b
>1
解析：⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b >4a －
b －
⇒ab >2(a ＋b )－4>a ＋b .
答案：A
5．(2010·揭阳模拟)设a ，b ，u 都是正实数，且a ，b 满足1a ＋9
b
＝1，则使得a ＋b ≥u
恒成立的u 的范围是( )
A ．(0,16]
B ．(0,12]
C ．(0,10]
D ．(0,8]
解析：∵1a ＋9
b
＝1，
∴a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋9b )＝1＋a b ×9＋b
a
＋9≥10＋2·
9a b ×b
a
＝16.
当且仅当9a b ＝b
a
，即a ＝4，b ＝12时取等号．
若a ＋b ≥u 恒成立， ∴0<u ≤16. 答案：A
6．设a 、b 、c ∈R ＋
，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a
满足( )
A ．都不大于2
B ．都不小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2
解析：若a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1
a
<2同时成立，
相加得(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1
c
)<6.①
但∵a 、b 、c ∈R ＋
，
∴a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1
c
≥2.
∵(a ＋1a )＋(b ＋1b
)＋(c ＋1
c
)≥6.②
∵①式与②式矛盾，
∴a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a
至少有一个不小于2，选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若x >1，则x 与ln x 的大小关系是________． 解析：令f (x )＝x －ln x ， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1
x
.
∵x >1，∴
x －1
x
>0， ∴f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )>f (1)＝1>0， 即x －ln x >0，∴x >ln x . 答案：x >ln x
8．lg9·lg11与1的大小关系是__________．
解析：lg9·lg11<(lg9＋lg112)2＝(lg992)2<(lg1002)2
＝1.
答案：lg9·lg11<1
9．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意
x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n
n
)，已知函数y ＝sin x
在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．
解析：∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)， ∴
f A ＋f B ＋f C
3
≤f (
A ＋
B ＋C
3)＝f (π
3
)，
即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝33
2，
所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为33
2.
答案：332
三、解答题(共55分)
10．(15分)已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a 、b 、c 成等比数列． 求证：a 2
＋b 2
＋c 2
>(a －b ＋c )2
. 证明：左边－右边＝2(ab ＋bc －ac )．
∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2
＝ac .∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)， ∴0<b ＝ac ≤
a ＋c
2
<a ＋c .
∴a ＋c >b .∴2(ab ＋bc －ac )＝2(ab ＋bc －b 2
)＝2b (a ＋c －b )>0.∴a 2
＋b 2
＋c 2
>(a －b ＋
c )2.
11．(20分)(1)设x 是正实数， 求证：(x ＋1)(x 2
＋1)(x 3
＋1)≥8x 3
；
(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2
＋1)(x 3
＋1)≥8x 3
是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．
解：(1)x 是正实数，由基本不等式知
x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3，
故(x ＋1)(x 2
＋1)(x 3
＋1)≥2x ·2x ·2x 3
＝8x 3
(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2
＋1)(x 3
＋1)≥8x 3
仍然成立． 由(1)知，当x >0时，不等式成立； 当x ≤0时，8x 3
≤0，
而(x ＋1)(x 2
＋1)(x 3
＋1)＝(x ＋1)2
(x 2
＋1)(x 2
－x ＋1) ＝(x ＋1)2(x 2
＋1)[(x －12)2＋34]≥0，
此时不等式仍然成立．
——探究提升——
12．(20分)已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若
f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.
(1)证明：1
a 是f (x )＝0的一个根；
(2)试比较1
a
与c 的大小； (3)证明：－2<b <－1.
解：(1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，
又x 1x 2＝c a
，∴x 2＝1a (1
a
≠c )，
∴1
a
是f (x )＝0的一个根．
(2)假设1a <c ，又1
a
>0，由0<x <c 时，f (x )>0，
知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a
>c .
(3)由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0， ∴b ＝－1－ac . 又a >0，c >0，∴b <－1.
二次函数f (x )的图象的对称轴方程为
x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，
即－b 2a <1a
.
又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.。