2020年《新高考数学全案》高考数学总复习配套测评卷单元检测卷(十)圆锥曲线与方程(选修 文 理)新
2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！圆锥曲线一． 选择题：1.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1）C. （1，2）D. （1，－2）3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是BA. ①③B. ②③C. ①④D. ②④4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1(0,]2C．(0,2 D．,1)26.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） AB ．3 CD ．927.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ）A． B． C ．(25)， D．(28.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为ABCD-26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为A（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x9.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABC D10.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为( B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）3211.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为B（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y += 12.（浙江卷7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 13.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是B（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线14.（重庆卷(8)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e 5k ,则双曲线方程为C（A ）22x a －224y a =1(B)222215x y a a -= (C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=二． 填空题：1.（海南卷14）过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案
即 (x1, y1 2) (x2 , y2 2), x1 x2 ，
于是 x1 x2
x22 , x1
x2
(1
)
x2
,
(
x1 1
x2
)2
x1 x2
，……………⑤
( 4k )2
3
1 k2
1 k2
将③④代入⑤得 2
2
，
(1 )2
16
整理得
3(1 )2 , 1 1
则 16k 2m2 4 2k 2 1 2m2 4 0 ，即 m2 4k 2 2 0
又 x1
x2
4km 2k 2 1
，
x1 x2
2m 2 2k 2
4 1
9分
∴ y1 y2 kx1 mkx2 m k 2 x1x2 kmx1 x2 m2
…………11 分
(2 x1, y1) 3(2 x2 , y2 )
∴ 2yx1133y(22 x2 )
由
y1
y2
3 y2
y2
2 y2
12t 3t2 1
得
y2
6t 3t2 1
由
y1 y2
(3y2 ) y2
3 y22
9 3t2 1
得
y22
y2
1
消去 y得(1 k 2 )x 2 4kx 3 0,由 0得k 2 3 .
2
2
设 M (x1, y1 ), N (x2 , y2 ) ，则
2020年《新高考数学全案》高考数学总复习配套测评卷单元检测卷(九)直线与圆的方程新人教版 精品
2020年《新高考全案》高考总复习配套测评卷单元检测卷(九)直线与圆的方程时间：90分钟，满分150分一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分)1．直线2x ＋ay ＋3＝0的倾斜角为120°，则a 的值是( )A.233B ．－233C ．2 3D ．－2 3[解析] 由tan120°＝－2a ，得a ＝233.[答案] A2．(2020·安徽卷文)直线l 过点(－1,2)且与直线垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0[解析] 可得l 斜率为－32，∴l ∶y －2＝－32(x ＋1)即3x ＋2y －1＝0，选A.[答案] A3．(2020·广州一模)经过圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为( )A ．x －y ＋3＝0B ．x －y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋3＝0 [答案] A4．圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0上的点到直线x ＋y －9＝0的最大距离与最小距离的差为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．6[解析] 圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝3，圆心(2,2)到直线x ＋y －9＝0的距离|2＋2－9|2＝552＞3，故直线x ＋y －9＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0相离，∴圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0上的点到直线x ＋y －9＝0的最大距离与最小距离的差为直径．[答案] B5．(2008·重庆)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心是O 1(1,0)，半径是r 1＝1圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心是O 2(0,2)，半径是r 2＝2 ∵|O 1O 2|＝5，故|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜|r 1＋r 2| ∴两圆的位置关系是相交． [答案] B6．(2008·深圳一模)如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上， 最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5[解析] 点P 关于y 轴的对称点P ′坐标是(－2,0)，设点P 关于直线AB ：x ＋y －4＝0的对称点P ″(a ，b )∴⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×(－1)＝－1a ＋22＋b ＋02－4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2∴光线所经过的路程|P ′P ″|＝210.[答案] A7．(2008·全国Ⅰ)若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( )A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b2≤1D.1a 2＋1b2≥1[解析] 直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，故cos αa＋sin αb＝1∵(cos 2α＋sin 2α)(1a 2＋1b 2)≥(cos αa ＋sin αb)2＝1∴1a 2＋1b2≥1.[答案] D8．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量b ＝(－1，k )，若直线l 2经过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0[解析] ∵直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量b ＝(－1，k ) ∴可设l 1的方程为y ＝3x ＋b 1，直线l 2的方程为y ＝－kx ＋b 2∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝－k ×0＋b 23×(－k )＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝5k ＝13，即直线l 2的方程是y ＝－13x ＋5.[答案] B二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分)9．直线5x －4y －20＝0在x 、y 轴上的截距分别是________． [答案] 4，－510．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________．[解析] 圆的半径r ＝|1＋1－4|1＋1＝ 2.[答案] (x －1)2＋(y －1)2＝211．圆心坐标是(2，－3)，且被直线2x ＋3y －8＝0截得的弦长为43的圆的标准方程为________．[解析] 圆心(2，－3)到直线2x ＋3y －8＝0的距离是d ＝|4－9－8|13＝13故圆的半径r ＝13＋12＝5.[答案] (x －2)2＋(y ＋3)2＝25 12．直线l 经过P (1,2)，且与A (2,3)、B (4，－5)距离相等，则直线l 的方程为________． [解析] (1)当A 、B 两点在直线l 的同侧时，直线l 平行于直线AB 故直线l 的方程是y －2＝k AB (x －1)，即4x ＋y －6＝0(2)当A 、B 两点在直线l 的异侧时，直线l 过AB 的中点(3，－1)故直线l 的方程是y －2－1－2＝x －13－1，即3x ＋2y －7＝0.[答案] C13．(2020·惠州二模)设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.[解析] ∵y ＝e ax ∴y ′＝ae ax∴曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线方程是y －1＝a (x －0)，即ax －y ＋1＝0 ∵直线ax －y ＋1＝0与直线x ＋2y ＋1＝0垂直∴－12a ＝－1，即a ＝2.[答案] 214．圆x 2＋y 2＋x －6y ＋c ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，若OP ⊥OQ (O 为原点)，则c ＝________.[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋c ＝0x ＋2y －3＝0，消x 得5y 2－20y ＋12＋c ＝0.设P ，Q 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1·y 2＝15(12＋c )同时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋c ＝0x ＋2y －3＝0消y 得5x 2＋10x ＋4c －27＝0，x 1·x 2＝15(4c－27)∵OP ⊥OQ ，∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，∴12＋c5＝－4c －275，解得c ＝3. [答案] 3三、解答题(共4小题，满分52分)15．(本小题满分12分)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －12＝0. (1)若直线l 2与l 1平行，且过点(－1,3)，求直线l 2的方程；(2)若直线l 2与l 1垂直，且l 2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 2的方程． [解] (1)由直线l 2与l 1平行，可设l 2的方程为3x ＋4y ＋m ＝0，以x ＝－1，y ＝3代入，得－3＋12＋m ＝0，即得m ＝－9，∴直线l 2的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由直线l 2与l 1垂直，可设l 2的方程为4x －3y ＋n ＝0，令y ＝0，得x ＝－n 4，令x ＝0，得y ＝n 3，故三角形面积S ＝12·|－n 4|·|n3|＝4∴得n 2＝96，即n ＝±4 6∴直线l 2的方程是4x －3y ＋46＝0或4x －3y －46＝0.16．(本小题满分12分)以点A (4，－3)为直角顶点的Rt△OAB 中，|AB |＝2|OA |且点B 纵坐标大于0.(1)求向量AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程．[解] (1)设AB →＝(μ，v )，则由⎩⎪⎨⎪⎧|AB →|＝2|OA →|AB →·OA →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝6v ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧μ＝－6v ＝－8由OB →＝OA →＋AB →＝(μ＋4，v －3)，且v －3＞0∴v ＝8 AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0的标准方程是(x －3)2＋(y ＋1)2＝10 ∴圆心为(3，－1)，半径为10由(1)知B (10,5)，直线OB 的方程为y ＝12x设(3，－1)关于OB 的对称点为(x ，y )则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32－2y －12＝0y ＋1x －3＝－2∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3∴所求圆方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.17．(本小题满分14分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦长AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由．[解] 圆C 化成标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(a ，b )．∵CM ⊥l ，即k CM ·k l ＝b ＋2a －1×1＝－1∴b ＝－a －1∴直线l 的方程为y －b ＝x －a ，即x －y －2a －1＝0∴|CM |2＝(|1＋2－2a －1|2)2＝2(1－a )2∴|MB |2＝|CB |2－|CM |2＝－2a 2＋4a ＋7∵|MB |＝|OM |∴－2a 2＋4a ＋7＝a 2＋b 2，得a ＝－1或32，b ＝2当a ＝32时，b ＝－52，此时直线l 的方程为x －y －4＝0当a ＝－1时，b ＝0，此时直线l 的方程为x －y ＋1＝0故这样的直线l 是存在的，方程为x －y ＋4＝0或x －y ＋1＝0.18．(本小题满分14分)已知圆C 方程为：x 2＋y 2＝4.(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程；(2)过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．[解] (1)①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其距离为23，满足题意．②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，得d ＝1.∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0综上所述，所求直线为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(2)设点M 坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )，则N 点坐标是(0，y 0)∵OQ →＝OM →＋ON →∴(x ，y )＝(x 0,2y 0) 即x 0＝x ，y 0＝y2又∵x 20＋y 20＝4， ∴x 2＋y 24＝4(y ≠0)∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)，轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆，除去短轴端点．。
2020年高考数学真题汇编10 圆锥曲线 理( 解析版)
2020高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2020高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.33 B 。
6223【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B2.【2020高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2020高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2020高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
精选新版2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整版考核题(含标准答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（2013年高考大纲卷（文））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B ．2C D ．22．(2008辽宁理)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.2 B.3 D.923．（2000山东理）(11) 过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )(A) a 2 (B)a 21 (C) a 4 (D) a4 4．（2007四川文）（5）如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)364 (B)362 (C)62(D)325．（2005全国卷2)已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为( )A ．B ．C ．65D ．566．（1998全国文12）椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ） A ．±43 B ．±23 C ．±22 D ．±43 二、填空题7．已知双曲线2218x y m -=m 的值为 ▲ ．8．设P 为椭圆x 24＋y 29＝1上的任意一点，F 1，F 2为其上、下焦点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是________．9．直线02243=+-y x 与抛物线y x 222=和圆21)22(22=-+y x 从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则AB CD的值为 。
精编新版2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整版考核题(含答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（2010福建理数）7．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )A ．)+∞B ．[3)++∞C ．7[-,)4+∞D ．7[,)4+∞2．（1992山东理10)圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( ) A ． x 2+y 2－x －2y －41=0 B ． x 2+y 2+x －2y +1=0(C) x 2+y 2－x －2y +1=0 D ． x 2+y 2－x －2y +41=0 3．（2006）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为（ ） (A)22(B)2 (C) 2 (D)22 4．（2006）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（ ） A ．14-B ．4-C ．4D ．145．（2007四川文）（5）如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)364 (B)362 (C)62(D)326．在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为( )（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- (2011年高考四川卷理科10)7．双曲线2222ay b x -＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．23（2000京皖春，3）二、填空题8．过点F (1,0)且与直线l ：x ＝－1相切的动圆圆心的轨迹方程是________．y 2＝4x9．双曲线22152x y k k +=--的焦点与ｋ无关，则ｋ的取值 范围为 ▲10．如果椭圆191622=+y x 上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离为： 关键字：已知椭圆方程；定义11．在ABC ∆中,60ACB ∠=,sin :sin 8:5A B =,则以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为 .12．抛物线22y px =的准线经过双曲线2213x y -=的左焦点，则p = ▲ ． 13．设O 为坐标原点，12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线上存在点,P 满足1260,||,F PF OP ∠==则该双曲线的渐近线方程为 14．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是_________15．椭圆12222=+by a x (0>>b a )的左焦点为F ，直线m x =与椭圆相交于A ，B 两点，若FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积为ab ，则椭圆的离心率为 。
2020年《新高考数学全案》高考数学总复习配套测评卷单元检测卷(十四)概率新人教版 精品
2020年《新高考全案》高考总复习配套测评卷单元检测卷(十四)概率时间：90分钟，满分：150分一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分)1．现有语文、数学、英语、历史、政治和物理共6本书，从中任取1本，取出的是文科书的概率是( )A.12B.23C.56D.16[解析] 从6本书中任取1本的基本事件的总数共有6种，文科书共有4本，故取出文科书的概率P ＝46＝23.[答案] B2．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A.112B.38C.116D.56[解析] 由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为p ＝580＝116.[答案] C3．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率是( )A.116B.18C.14D.38[解析] 基本事件的总数24＝16个，事件A 发生的个数共有6个，∴P ＝616＝38.[答案] D4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310B.15C.110D.112[解析] 基本事件的总数5×4＝20个，事件A 发生共有6个分别是(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)，(1,5)，(5,1)故P (A )＝620＝310.[答案] A5．(2020·韶关一模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数满足⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12f (－1)≤3的事件为A ，则事件A 的概率为( )A.58B.12C.38D.14[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12f (－1)≤3转化为⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －8≤0－b ＋c －2≤0.依题意，由几何概型知基本事件用图四边形ABCD 区域表示．S ABCD ＝4×4＝16.设事件⎩⎪⎨⎪⎧0≤b ≤40≤c ≤42b ＋c －8≤0－b ＋c －2≤0，为A .事件A 包括的区域如阴影部分S 阴影＝S ABCD －12×2×2－12×2×4＝10P (A )＝S 阴影S ABCD ＝1016＝58故选A. [答案] A6．如下图所示是四个可以自由转动的转盘，转盘被平衡分成若干个扇形．转动转盘，转盘停止后，有两个转盘的指针指向白色区域的概率相同，则这两个转盘是( )A ．转盘1和转盘2B ．转盘2和转盘3C ．转盘2和转盘4D ．转盘3和转盘4 [解析] 本题考查与面积有关的几何概型．根据每个转盘中白色区域面积与转盘总面积的比值分别计算出指向白色区域的概率．P 1＝38，P 2＝26＝13，P 3＝212＝16，P 4＝13，故P 2＝P 4.[答案] C7．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4[解析] 点P (a ，b )共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)6种情况，得x ＋y 分别等于2,3,4,3,4,5，∴出现3与4值均为两次，出现2与5为一次， ∴出现3与4的概率最大． [答案] D8．(2020·江西高考题)为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为( )A.3181 B.3381 C.4881 D.5081[解析] P ＝35－(3×25－3)35＝5081，故选D. [答案] D二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分)9．袋中有5个球，其中3个是红球，2个是白球，任取2个，这2个都是红球的概率是________．[解析] P ＝35×24＝310.[答案] 31010．将一条4米长的绳子随机地切成两条，事件A 表示所切两段绳子都不短于0.5米的事件，则事件A 发生的概率是________．[解析] 为几何概型，要满足所切两段都不短于0.5米，则4－2×0.5＝3米．故事件A 发生的概率P ＝34.[答案] 3411．在1,2,3,4,5五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________．[解析] P ＝35×24×13＋25×34×13＋25×14×33＝310＝0.3.[答案] 0.312．一次掷两颗骰子，得到的点数为m 和n ，则关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋4＝0有实数根的概率是________．[解析] 方程有根Δ≥0即m ＋n ≥4，则对立事件为m ＋n ＜4共有(1,1)，(1,2)，(2,1)3种，基本事件的总数6×6＝36种，故概率P ＝1－336＝1112.[答案] 111213．如图，沿田字型的路线从A 往N 走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法则经过点C 的概率是________．[解析] 从A 往N 走共有6种走法，经过点C 的走法共有4种走法，故概率P ＝46＝23.[答案] 2314．(2008·广东汕头)用黑白两种颜色的正方形地砖依照图的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖____________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是____________．[解析] 白色地砖构成等差数列：8,13,18，…，5n ＋3，…，∴a n ＝5n ＋3，a 100＝503，第100个图形中有地砖503＋100＝603，故所求概率P ＝503603.[答案] 503；503603.三、解答题(共4小题，满分52分)15．(本小题满分12分)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P (A )＝12，P (B )＝12，求出“出现奇数点或偶数点”的概率．[分析] 抛掷骰子，事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可以运用概率的加法公式求解．[解] 记“出现奇数点或偶数点”为事件C ，则C ＝A ∪B .因为A 、B 是互斥事件，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝12＋12＝1.答：出现奇数点或偶数点的概率为1.16．(本小题满分12分)在一个盒子中装有8支铅笔，其中有5支一等品，3支二等品，从只任取2支，问下列事件的概率是多大？(1)恰有一支一等品； (2)没有二等品．[解] 从8支铅笔中任取2支共有8×72＝28种可能(1)设A ＝{所取两支铅笔中恰有一支一等品}，因A 中包括5×3＝15种可能，∴P (A )＝1528. (2)设B ＝{取到两支铅笔中没有二等品}，因B 中包括5×42＝10种可能，∴P (B )＝1028＝514.17．(本小题满分14分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．[解] (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有18个结果，分别是(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)由18个基本事件组成，由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一件事，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}共有6个基本事件组成．∴P (M )＝618＝13(2)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”，这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 共有3个基本事件组成．∴P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.18．(2020(1)分别从集合A ＝x ，y ，求x ＋y ≥10的概率；(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试根据残差平方和： i ＝1n(y i －y ∧i )2的大小，判断哪条直线拟合程度更好．[解] (1)分别从集合A ，B 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对故使x ＋y ≥10的概率为：P ＝925.(2)用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 的实际值与y 的估计值的差的平方和为：S 1＝(1－43)2＋(2－2)2＋(3－3)2＋(4－103)2＋(5－113)2＝73.用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 的实际值与y 的估计值的差的平方和为：S 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋(3－72)2＋(4－4)2＋(5－92)2＝12.即S 2＜S 1，故用直线y ＝12x ＋12拟合程度更好．。
2020新高考全新模拟卷10(解析版)
x1 0 ，所以
f
x1
x2
f
x2
x1
f
x1 x1
f
x2 x2 ，
设函数 g(x) x f (x) ，于是有 g(x1) g x2 ，而 x2 x1 0 ，说明函数 g(x) x f (x) 当 x (0, ) 时，是单
e
e2
∴
f
(x)
1 x2
k
在 x (0, ) 上恒成立，则 k
e 2
，D
正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，难度较大．掌握导数与单调性、极值的关系是解题的基础，解题要注意
问题的转化，例如恒成立问题可能转化为求函数的最值．
其中小于 8 的项有：1， 3 ， (3)3 ， (3)5 ， (3)7 ， (3)9 共 6 个数
这 10 个数中随机抽取一个数，
故选： C ．
则它小于 8 的概率是 P
6
3
．
10 5
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题
7．把边长为 的正方形 㤶⸴㔸 沿对角线 㤶㔸 折起，使得平面 㤶㔸 平面 ⸴㤶㔸，则异面直线 㔸 㤶⸴ 所成的角为（ ）
男生喜欢抖音的人数占男生人数的 4 ，女生喜欢抖音的人数占女生人数 3 ，若有 95% 的把握认为是否喜欢抖音和
5
5
性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人
附表：
P K 2 k0
0.050
0.010
k
3.841
6.635
附：
K
2
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案解几综合题答案1.解：（Ⅰ）由已知得()(,) 11 22OA OB m n mn ?=?=-=-分14m n ∴?= …………4分（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+- …………5分∴)x m ny m n =+=-?? 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn = 8分∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支…………9分（Ⅲ）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 223(2)3ty y +-=即 22(31)1290t y ty -++=易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）又22214436(31)36(1)0t t t ?=--=+>设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧12122121222222(2)(2)2()491224313134031x x ty ty t y y t y y t t t t t t t =++=+++-=?+?+--+=->-∴ 2310t -<，即2103t <<又由 120x x +>同理可得 2103t << …………11分由3ME EN =得1122(2,)3(2,)x y x y --=- ∴121223(2)3x x y y -=-??-=?由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得 22631t y t =-由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得 222331y t =--消去2y 得2222363(31)31t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2103t << …………13分故所求直线l 存在，其方程为：15250x y --=或15250x y +-= 2. （I ）由已知()y M ,0，()y x N -, 2分则()()422,,22=-=-?=?y x y x y x MN OP ，即12422=-y x 4分（II ）设()11,y x A ，()22,y x B ，如图，由QB QA ⊥可得()()()()022,2,221212211=+--=-?-=?y y x x y x y x QB QA 5分①若直线x AB ⊥轴，则21x x =，24||||2121-==x y y此时()()()02422221212121=---=+--x x y y x x ，则0128121=+-x x ，解之得，61=x 或21=x但是若21=x ，则直线AB 过Q 点，不可能有QB QA ⊥所以61=x ，此时Q 点到直线AB 的距离为4 7分②若直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为m kx y +=，则=-+=4222y x m kx y ()042412222=+++-m kmx x k 则()()>+--=?≠-0421241601222222m k m k k ，即>+-≠-024012222k m k又124221--=+k km x x ，12422221-+=k m x x 9分∴()()()22121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=124122124124222222222222222--=--+---+=k m k k m m k k m k k k m k∴()()()()2121221122,2,2y y x x y x y x +--=-?-=?()=+++-=21212142y y x x x x 01241248128124222222222=--+--+-+-+k m k k k k km k m 则012822=++k km m ，可得k m 6-=或k m 2-=若k m 2-=，则直线AB 的方程为()2-=x k y ，此直线过点Q ，这与QB QA ⊥矛盾，舍若k m 6-=，则直线AB 的方程为k kx y 6-=，即06=--k y kx 12分此时若0=k ，则直线AB 的方程为0=y ，显然与QB QA ⊥矛盾，故0≠k ∴41141|4|22<+=+-=k k k d 13分由①②可得，4max =d 14分3. 解：① 设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y112211()(,)[(,)(,)]22OR OP OQ x y x y x y =+?=+121222x x x y y y +?=+?=??..........1’由222x x y y +=?+=，易得右焦点(1,0)F ......................2’ 当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R ........3’ 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =-代入E 有2222(21)4220k x k x k +-+-=2880k ?=+>2122421k x x k +=+....................................................5’于是(,):R x y x =21222221x x k k +=+ (1)y k x =-消去参数k 得2220x y x +-=而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=..................8’②设椭圆另一个焦点为'F ，在'PF F ?中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =，则|'|PF m = 由余弦定理得2220)222cos120m m m =+-??m ?=.............10’同理，在'QF F ?，设||QF n =，则|'|QF m = 也由余弦定理得2220)222cos60n n n =+-??n ?=’于是1111||||PF QF m n +=+=+=..........................14’ 4. 解：（I ）设B(x 0，y 0)，A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)∵双曲线1131222=-x y 的离心率为125，∴F 对应的准线方程为512=y ,由双曲线的定义得|,512|125||,125|512|||11-=∴=-y AF y AF …………（12分）又A 在双曲线的上半支，∴y 1≥12，)4().512(125||),512(125||)3().512(125||201分分 -=-=-=∴y CF y BF y AF∵|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴26113126)(21022210==-=+=x x y y y y 得代入，∴点B 的坐标为)6,26(.…………………………（6分）（II ）∵在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得(+=λ，∴在∠APC 的角平分线上，………………………………（7分）∵线段AC 的中点为D 点，∴△APC 是等腰三角形，PD 是线段AC 的垂直平分线，………………（8分）∴设直线l 的方程为),2(6212121x x x y y x x y +----=-),(13,11312,11312,)(2621222122221212122212121y y x x x y x y y y x x x y y x x y -=-∴=-=---+---=-∴作差得又,21362121+---=-∴x y y x x y l 的方程为直线………………（11分）故直线l 恒过点（0，225）.…………………………（12分） 5. 解：（I ）设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，因B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b=c ，又a 2= b 2+ c 2，所以b a 2=，…………①由于椭圆上的左（右）顶点到左（右）焦点的距离最近，所以12-=-c a ，②由①②知1,2===c b a ，∴椭圆的标准方程为：.1222=+y x （II ）当直线的斜率存在，设直线MN 的方程为2+=kx y 解方程组=++=122y x kx y消去.230,034)21(222>>?=+++k kx x k y 得由得设),(),,(2211y x N y x M ，则221214k k x x +-=+……………… ③ .213221k x x +=………………④又因M 在DN 之间，所以DN DM λ=，即212211),2,()2,(x x y x y x λλ=∴-=-，于是λλλλ212212212221)1(,)1(,x x x x x x x x x x =+++=+=，……………⑤ 将③④代入⑤得λλ2222213)1()214(k k k +=++-，整理得.)1(316121,)1(3121162222λλλλ++=+∴+=+k k …………………………8分 .331,34)1(3161,341211,23222<<<+<∴<+<∴>λλλ由此解得kk又.131,10<<∴<<λλ …………………………………………………………10分当直线的斜率不存在时，直线MN 的方程为x 31,0==这时，.31=∴λ ……………………………………………………………………………11分综上所述，λ的取值范围是.1,31??∈λ …………………………………………12分 6. 解：（1）由于2||,221121==F F NF F F ，+===-==∴.,1||1,2||22221221c b a NF caF F c 解得==1222b a ，从而所求椭圆的方程为.1222=+y x （4分）（2）N B A NB NA ,,,∴=λ 三点共线，而点N 的坐标为（－2，0）.设直线AB 的方程为)2(+=x k y ，其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k ≠0.由=++=12),2(22y x x k y 消去x 得22)21(22=+-y y k ，即.02412222=+-+y k y kk 根据条件可知??≠<+?-=?.0,0128)4(222k kk k 解得.22||0<<="">设),(),,(2211y x B y x A ，则根据韦达定理，得+=+=+.122,1242221221k k y y k k y y 又由),2(),2(,2211y x y x +=+=λλ得=+=+∴.),2(22121y y x x λλ 从而+=+=+.122,124)1(222222k k y k k y λλ 消去.128)1(222+=+k y λλ得（8分）令3151],31,51[,)1()(212≤<≤∈+=λλλλλλφ任取，则22212121)1()1()()(λλλλλφλφ+-+=-.0)11)((2121>--=λλλλ（10分）]31,51[)(是区间λφ∴上的减函数，从而)51()()31(φλφφ≤≤，即536)(316≤≤λφ， 5361283162≤+≤∴k ，解得.22||0,21626221<<≤≤-≤≤-k k k 适合或因此直线AB 的斜率的取值范围是].2 1,62[]62,21[ -- （12分）7. 解：（Ⅰ）∵0MN AF ?=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =，∴ ||||2||ME MF m EF +=>， (4)分∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =，∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．……………………………6分（Ⅱ）设11(,)Q x y ∵ 0(,)2mP y ，PF FQ λ=，∴ 1011(1),2.m x y y λλ?-=--=? ∴ 1101(1),21.m x y y λλλ?=+-=-??……………………………8分由点P 、Q 均在椭圆W 上，∴ 22220222211,411(1) 1.2(1)y m y m m m λλλ?+=?-+-+=?-?……………………………10分消去0y 并整理，得2211m m m λ-+=-，由221121m m m -+-≤≤及1m >，解得12m <≤．……………………………14分8. 解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线，,4,14,4414,2121211222121211=∴+=+--=+=∴y y y y y y y y y y y y k k DM A M 即即………（2分）.544212221=+?=?∴y y y y OM …………………………………………………（3分）设∠POM =α，则.5cos ||||=??α.5sin ||||,25=??∴=αS ROM 由此可得tanα=1.……………………（5分）又.45,45),,0(??=∴∈与故向量απα……………………（6分）（II ）设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴)9(.04,4))(1(,141,441431312331331233232131233分即即即=+++-=++∴+=-+--=+y y y y y y y y y y y y y y y y y y,0444,4,432322121=+++?∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（10分）)4(4,4442232232232232y x y y y y PQ y y y y y y k PQ-+=-∴+=--=的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（12分）由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.故存在定一点 E （1，－4），使PE ∥.QF …………………………………………（14分）9. （Ⅰ）解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点P (x ，y )，则|x ＋y |2?|x －y |2＝1，即|x 2－y 2|＝2．………………………………4分∵P ∈D ．∴x ＋y ＞0，x －y ＞0，即x 2－y 2＞0．∴x 2－y 2＝2(x ＞0)．即曲线C 的方程为x 22－y 22＝1(x ＞0)．…………6分（Ⅱ）解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴以线段AB 为直径的圆的圆心Q (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴半径r ＝12|AB |＝x 1＋x 22．即|AB |＝x 1＋x 2．①……………………………………………………………………8分∵曲线C 的方程为x 22－y 22＝1(x ＞0)，∴F (2，0)为其焦点，相应的准线方程为x ＝1，离心率e ＝2．根据双曲线的定义可得， |AF |x 1－1＝|BF |x 2－1＝2，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2(x 1－1)＋2(x 2－1)＝2(x 1＋x 2)－22．②…………………12分由①，②可得，x 1＋x 2＝2(x 1＋x 2)－22．由此可得x 1＋x 2＝4＋22．∴线段AB 的长为4＋22．……………………………………………………………14分（Ⅱ）解法二：∵曲线C 的方程为x 22－y 2＝1(x ＞0)，∴F (2，0)为其焦点，相应的准线为l ：x ＝1，离心率e ＝2．分别过A ，B 作AA '⊥l ，BB '⊥l ，垂足分别为A '，B '．设AB 中点Q ，过Q 点作QQ '⊥y 轴，垂足为Q '．由双曲线的定义可得，|AF ||AA '|＝|BF ||BB '|＝2，∴|AF |＝2|AA '|，|BF |＝2|BB '|．…………………10分 |AB |＝|AF |＋|BF |＝2(|AA '|＋|BB '|) 根据梯形中位线性质可得 |AA '|＋|BB '|＝2(|QQ '|－1)．∴|AB |＝2?2(|QQ '|－1)．①…………………………12分∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴|QQ '|＝12|AB |．②把②代入①得|AB |＝22(12|AB |－1)，解得|AB |＝4＋22．……………………………………………………………………14分（Ⅱ）解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线AB 过点F (2，0)，当AB ⊥x 轴时，|AB |＝22，以线段AB 为直径的圆与y 轴相离，不合题意．∴设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．代入双曲线方程x 2－y 2＝2得，x 2－k 2(x －2)2＝2，即(1－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋2)＝0，∵直线与双曲线交于A ，B 两点，∴k ≠±1．∴x 1＋x 2＝4k 2k 2－1，x 1x 2＝4k 2k 2－1．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]……………………………………………………9分∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴圆的半径12|AB |与圆心到y 轴的距离12(x 1＋x 2)相等．即12(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]＝12(x 1＋x 2)．∴12(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]＝12?4k 2k 2－1．………………………………………12分化简得k 4 －2k 2－1＝0，解得k 2＝1＋2（k 2＝1－2不合，舍去）．经检验，当k 2＝1＋2时，直线与曲线C 有两个不同的交点。
课标专用2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线101椭圆及其性质教师用书文含解析.
命题规律与趋势
０１ 考查内容 主要考查圆锥曲线的定义与方程、几何性 质、离心率、双 曲 线 的 渐 近 线， 解 答 题 通 常 以椭圆及抛物线为背景，考查直线和圆锥 曲线的位置关系，弦中点问题，定点与定值 问题，范围问 题， 轨 迹 方 程 问 题， 以 及 与 圆 的综合问题．
０２ 命题特征 基础题目考查圆锥曲线的定义、标准方程 和几何性质，解答题有一道有区分度的综 合题，一般难度较大．
２０１５ 课标Ⅰ，５
５ 分 选择题
２０１５ 课标Ⅰ，１６
５ 分 填空题
难度 中 中 易
中
考点
考向
解题方法
双曲线的性质
求双曲线的离心率
公式法
椭圆的定 义和 准 确 求椭圆方程
方程
方程思想的方法
椭圆的几何性质
求椭圆的离心率
定义法
直线与抛物线的位置 关系
①求直线的方程 ②斜率在证明角相等 中的应用
整体运算法 转化法
１－２ 答案 Ｂ
解析 连接 Ｆ２ Ｐ，则 ｜ Ｆ２ Ｐ ｜ ＝ ｜ ＰＡ ｜ ，∵ ｜ Ｆ２ Ｐ ｜ ＋ ｜ Ｆ１ Ｐ ｜ ＝ ｜ ＰＡ ｜ ＋ ｜ Ｆ１Ｐ ｜ ＝ ｜ Ｆ１Ａ ｜ ＝ ６＞ ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ ＝ ４，∴ 由椭圆的定义可得点 Ｐ 的轨 迹是以点 Ｆ１ 、Ｆ２ 为焦点，长轴长为 ６ 的椭圆，
①椭圆的几何性质
准线方程
易
待定系数法
②抛物线的几何性质 ②椭圆过焦点且垂直
长轴所在直线的弦长
双曲线的定义和标准 双曲线的定义在最值
难
数形结合法
方程
中的应用
核心素养 数学运算 数学运算 数学运算 数学运算 逻辑推理 数学运算 直观想象 数学运算
数学运算 数学运算 数学运算 逻辑推理
2020衡水中学高考数学(文)三轮冲刺单元过关检测卷：圆锥曲线的综合应用单元过关检测解析版
圆锥曲线的综合应用单元过关检测(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( )A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0【解析】选A.设所求直线方程为2x+y+m=0,因为经过点(-1,3),所以2×(-1)+3+m=0,所以m=-1,所以所求直线方程为2x+y-1=0.2.已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是( )A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解【解析】选B.由题意,直线y=kx+1一定不过原点O,P,Q是直线y=kx+1上不同的两点,则与不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组一定有唯一解.3.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1【解析】选A.设圆上任意一点N(x0,y0),线段PN的中点M(x,y).由中点坐标公式,得x=,y=,化简得x0=2x-4,y0=2y+2.因为点N(x0,y0)在圆x2+y2=4上运动,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.4.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是( )A.(x+3)2+(y-2)2=B.(x-3)2+(y+2)2=C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=2【解析】选C.圆x2+y2-2x-1=0⇒(x-1)2+y2=2,圆心(1,0),半径,关于直线2x-y+3=0对称的圆半径不变,排除A,B,两圆圆心连线段的中点在直线2x-y+3=0上,C中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心为(-3,2),验证适合.5.已知点A(-1,0),点B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为( )A.+=1B.-=1C.-=1D.+=1【解析】选D.由题意可知|PA|+|PF|=|BF|=2,所以动点P的轨迹是以A,F为焦点,以2为长轴长的椭圆,所以它的轨迹方程为+=1.6.若直线+=1通过点M(cos α,sinα),则 ( )A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.+≤1D.+≥1【解析】选D.因为直线+=1通过点M(cos α,sin α),所以+=1,所以+=+++≥++2==1.7.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选B.y2=4x的焦点是(1,0),设直线方程为y=k(x-1),k≠0,(1)将(1)代入抛物线方程可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x显然有两个实根,且都大于0,它们的横坐标之和是=5⇒3k2=4⇒k=±.8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为右支上一点,点Q 满足=λ1(λ1>0)且||=2a,=λ2,·=0,则|OT|的值为( )A.4aB.2aC.aD.【解析】选C.由题知Q,F1,P三点共线,F2,T,Q三点共线.因为|PF1|-|PF2|=2a=|F1Q|,所以|PQ|=|PF2|,又PT⊥QF2,所以T为等腰三角形QPF2底边QF2的中点,连接OT,则OT为△F1QF2的中位线,所以|OT|=a.9.如图F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是 ( )A. B. C. D.【解析】选D.因为F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,所以c=, 由椭圆、双曲线的定义可知|AF1|+|AF2|=4,|AF2|-|AF1|=2a,所以|AF2|=2+a,|AF1|=2-a,又因为四边形AF1BF2为矩形,所以AF1⊥AF2,所以(2+a)2+(2-a)2=(2)2,解得a=,所以C2的离心率是e==.10.已知抛物线C:y2=2px(0<p<4)的焦点为F,点P为抛物线C上一动点,A(4,0), B(p,p),且|PA|的最小值为,则|BF|等于 ( )A.4B.C.5D.【解析】选B.设点P(x,y),所以|PA|==,因为0<p<4,所以x=-(p-4)>0,所以当且仅当x=-(p-4)时,|PA|取得最小值,所以16-(p-4)2=15,解得p=3,所以抛物线的焦点为F,B(3,3),所以|BF|=.11.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为( )A.-2B.-C.1D.0【解析】选A.设点P(x,y),其中x≥1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),则有=x2-1,y2=3(x2-1),·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4-,其中x≥1.因此,当x=1时,·取得最小值-2.12.已知以T=4为周期的函数f(x)=其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为 ( )A. B.C. D.【解析】选B.令y=f(x).因为当x∈[-1,1]时,将函数化为方程x2+=1(y≥0),实质上为一个半椭圆,其图象如图所示,同时在坐标系中作出当x∈(1,3]的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象,由图易知直线y=与第二个半椭圆(x-4)2+=1(y≥0)相交,而与第三个半椭圆(x-8)2+=1(y≥0)无公共点时,方程恰有5个实数解,将y=代入(x-4)2+=1(y≥0)得(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,令t=9m2(t>0)则(t+1)x2-8tx+15t=0,由Δ1=(-8t)2-4×15t(t+1)>0,得t>15,且m>0得m>.同样由y=与第三个半椭圆(x-8)2+=1(y≥0)无公共点,由Δ2<0可计算m<,综上知m∈ .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,若椭圆上存在点P,使得直线PF与圆x2+y2=b2相切,当直线PF的倾斜角为时,此椭圆的离心率是________. 【解析】设直线PF与圆x2+y2=b2的切点为M,则依题意得OM⊥MF,因为直线PF的倾斜角为,所以∠OFP=,所以sin==,椭圆的离心率e=====.答案:14.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点,若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________.【解析】由题意可知|PQ|=16,因为F,A分别是左右焦点,所以由双曲线的定义得△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=2×3+|QA|+2×3+|PA|+|PQ|=12+2×16=44.答案:4415.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为________.【解析】抛物线y2=8x的准线为x=-2,所以双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为(-2,0),c=2,因为双曲线的离心率为2,所以e==2,所以a=1,b=,所以双曲线的方程为x2-=1.答案:x2-=116.设直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题:①M中所有直线均经过一个定点;②存在定点P不在M中的任一条直线上;③对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上;④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号).【解析】对于①,由已知点(cos θ,2+sinθ)总在直线系上,但是这个点不是定点,所以①错误;对于②,点P(0,2)不在M中的任一条直线上,所以②真;对于③,定点P(0,2)到直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ≤2π)的距离为d==1,这就是说圆x2+(y-2)2=1与直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ =1(0≤θ≤2π)总相切,所以存在正n边形,其所有边均在M中直线上,使这正n边形的内切圆为这个圆,所以③正确;对于④,由③可知M中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等,所以面积不一定相等.答案:②③三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)圆M和圆P:x2+y2-2x-10=0相内切,且过定点Q(-,0).(1)求动圆圆心M的轨迹方程.(2)斜率为的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线经过点,求直线l的方程.【解析】(1)由已知|MP|=2-|MQ|,即|MP|+|MQ|=2,且2大于|PQ|,所以M的轨迹是以(-,0),(,0)为焦点,2为长轴长的椭圆,其方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程得10x2+6mx+3m2-3=0,所以x1+x2=-m,则AB的中点为,AB的垂直平分线方程为y-m=-,将代入得m=,所以直线l的方程为y=x+.18.(12分)(2020·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程.(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=,=8,解得a=2,c=1,于是b==,因此椭圆E的标准方程是+=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为点P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程为:y=-(x+1), ①直线l2的方程为:y=-(x-1). ②由①②,解得x=-x0,y=,所以Q.因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0,即-=1或+=1.又P在椭圆E上,故+=1.由解得x0=,y0=;无解.因此点P的坐标为.19.(12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标.(2)设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.【解析】(1)由已知得,a=b,则椭圆E的方程为+=1,由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0①,方程①根的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为+=1.点T的坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l′的方程为y=x+m(m≠0),由可得3x2+4mx+(4m2-12)=0②,所以Δ=16(9-2m2)>0,解得-<m<且m≠0,设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由②得x1+x2=-,x1x2=. 所以|PA|==,同理|PB|=,所以|PA|·|PB|===|-+|=m2,由得P点坐标为,所以|PT|2=+=m2.故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.20.(12分)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A,B和C,D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S.(1)设A(x1,y1),C(x2,y2),用A,C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=2|x1y2-x2y1|.(2)设l1与l2的斜率之积为-,求面积S的值.【解析】(1)直线l1:y1x-x1y=0,点C到l1的距离d=.|AB|=2|OA|=2,所以S=2S△ABC=2×|AB|·d=2|x1y2-x2y1|.(2)设l1:y=kx,则l2:y=-x.设A(x1,y1),C(x2,y2).由得=.同理==.由(1),S=2|x1y2-x2y1|=2=·|x1x2|=,整理得S=.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1,y1),P2(x2,y2),记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c).若η<0,则称点P1,P2被直线l分隔.若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1,P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.(1)求证:点A(1,2),B(-1,0)被直线x+y-1=0分隔.(2)若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围.【解析】(1)由题得,η=2·(-2)<0,所以A(1,2),B(-1,0)被直线x+y-1=0分隔.(2)由题得,直线y=kx与曲线x2-4y2=1无交点,即⇒(1-4k2)x2-1=0无解所以1-4k2=0或所以k∈∪.又对任意的k∈∪,点(1,0)和(-1,0)在曲线x2-2y2=1上,满足η=-k2<0,被直线y=kx分隔,所以所求k的范围是∪.22.(12分)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C:y2=2px(p>0)于A,B两点,直线l2:x=-2交x轴于点Q.(1)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.(2)点P为抛物线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB交直线l2于M,N两点,·=2,求抛物线C的方程.【解析】(1)设直线l1的方程为x=my+2,点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程得y2-2pmy-4p=0,则y1+y2=2pm,y1y2=-4p.k1+k2=+=+===0.(2)设点P(x0,y0),直线PA:y-y1=(x-x1),当x=-2时,y M=,同理y N=.因为·=2,所以4+y N y M=2,即·====-2, 故p=,所以抛物线C的方程为y2=x.。
2020年高考数学试题分项版解析专题10 圆锥曲线(学生版) 理
2020年高考试题分项版解析数学（理科）专题10 圆锥曲线（学生版）一、选择题:1.(2020年高考新课标全国卷理科4)设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 452.(2020年高考新课标全国卷理科8)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 83. (2020年高考福建卷理科8)双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．56.(2020年高考安徽卷理科9)过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =,则AOB ∆的面积为（ ）()A 22 ()B 2 ()C 322()D 228. (2020年高考四川卷理科8)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ） A 、22 B 、23 C 、4 D 、259．(2020年高考全国卷理科3)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y +=二、填空题:1. （2020年高考江苏卷8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ．2．(2020年高考北京卷理科12)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。
2020最新命题题库大全2020年高考数学试题解析 分项专题10 圆锥曲线 文(1)
2020最新命题题库大全2020年高考数学试题解析 分项专题10 圆锥曲线 文2020年高考试题 一、选择题1.【2020高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 452.【2020高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 2()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.3.【2020高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2833x y =(B) 21633x y = (C)28x y = (D)216x y =4.【2020高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y +=5.【2020高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45【答案】C【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 6.【2020高考浙江文8】 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年《新高考全案》高考总复习配套测评卷 单元检测卷(十)圆锥曲线与方程(选修·文/理)时间：90分钟，满分：150分一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分)1．(2020·福建高考)若双曲线x 2a 2－y 232＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C.32D ．1[答案] B2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[解析] 椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.[答案] D3．(理)已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝2y －1D ．x 2＝2y －2[解析] 抛物线y ＝14x 2的标准方程是x 2＝4y ，故F (0,1)．设P (x 0，y 0)，PF 的中点Q (x ，y )∴⎩⎪⎨⎪⎧0＋x 02＝x 1＋y 02＝y⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x y 0＝2y －1∴x 20＝4y 0，即x 2＝2y －1. [答案] C(文)F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，若|PF |＝2，则点P 的坐标是( )A ．(3，94) B ．(±2,1)C ．(1,4)D ．(0,0)[解析] 抛物线y ＝14x 2的标准方程是x 2＝4y ，其准线方程是y ＝－1，设P (x ，y )∵|PF |＝2∴点P 到准线的距离为2，即y ＋1＝2，得y ＝1. [答案] B4．(理)已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线[解析] 动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，故(－2－x ，y )·(3－x ，y )＝x 2，即y 2＝x ＋6. [答案] D(文)若双曲线x 213－y 212＝1上点P 到右焦点的距离是13，那么点P 到左焦点的距离是( )A.13 B ．313C ．213D ．213或313[解析] 设双曲线x 213－y 212＝1上的点P 到左焦点的距离d ，则|d －13|＝213∴d ＝313或－13(舍去)． [答案] B5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在[解析] 显然，这样的直线存在斜率，设斜率为k ，则过焦点的直线方程是y ＝kx －k (k ≠0)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 所以2k 2＋4k 2＝5，即k ＝±233.[答案] B6．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．1 B.15或5315C.15D ．3或253[解析] 当椭圆x 25＋y 2m＝1的焦点在x 轴上时，a ＝5，b ＝m ，c ＝5－m由e ＝105，得5－m 5＝105，即m ＝3当椭圆x 25＋y 2m ＝1的焦点在y 轴上时，a ＝m ，b ＝5，c ＝m －5由e ＝105，得m －5m＝105，即m ＝253.[答案] D7．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a ＞b ＞0)的曲线大致是( )[解析] ∵a ＞b ＞0∴椭圆a 2x 2＋b 2y 2＝1，即x 21a 2＋y 21b 2＝1，焦点在y 轴上抛物线ax ＋by 2＝0，即y 2＝－abx ，焦点在x 轴的负半轴上．[答案] D8．已知两个点M (－5,0)和N (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |－|PN |＝6，则称该直线为“B 型直线”，给出下列直线是“B 型直线”的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝43xC ．y ＝－43x D ．y ＝2x ＋1[解析] 由|PM |－|PN |＝6＜|MN |可得点P 是以M ，N 为焦点的双曲线x 29－y 216＝1的右支，换言之，点P 是双曲线右支与直线的交点，即“B 型直线”须满足与双曲线的右支相交．B 、C 选项表示的直线是渐近线，与双曲线无交点，D 选项表示的直线的斜率大于渐近线的斜率，故与双曲线的右支无交点．[答案] A二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分)9．方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是_____________．[解析] 方程x 2k －3＋y2k ＋3＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －3＞0k ＋3＞0k －3≠k ＋3⇒k ＞3.[答案] k ＞310．设直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B (如右图)，则这个椭圆的离心率e ＝________.[解析] B (0,1)，F (－2,0)故c ＝2，b ＝1，a ＝b 2＋c 2＝5，e ＝c a ＝255.[答案]25511．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 与椭圆的焦点F 1重合，且椭圆的另外一个焦点F 2在BC 边上，则△ABC 的周长是________．[解析] AB ＋BC ＋CA ＝BF 1＋(BF 2＋CF 2)＋CF 1＝(BF 1＋BF 2)＋(CF 2＋CF 1)＝4a ＝4 3. [答案] 4 312．过点P (－2，－4)的抛物线的标准方程为________． [解析] 点P (－2，－4)是第三象限的点当抛物线的焦点在x 轴的负半轴时，设抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)∴16＝4p ，p ＝4，即抛物线的方程是y 2＝－8x当抛物线的焦点在y 轴的负半轴时，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)∴4＝8p ，p ＝12，即抛物线的方程是x 2＝－y .[答案] y 2＝－8x 或x 2＝－y13．椭圆x 2＋4y 2＝16的离心率等于________，与该椭圆有共同焦点，且一条渐近线是x ＋3y ＝0的双曲线方程是________．[解析] 椭圆x 2＋4y 2＝16的标准方程是x 216＋y 24＝1，其中a ＝4，b ＝2，c ＝23，e ＝ca ＝32∵双曲线的一条渐近线方程是x ＋3y ＝0，∴可设双曲线的方程为x 2λ－y 2λ3＝1(λ＞0)∵椭圆焦点的坐标是(±23，0) ∴双曲线的焦点坐标是(±23，0)∴λ＋λ3＝12，λ＝9，即双曲线的方程是x 29－y 23＝1.[答案] 32，x 29－y23＝114．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则渐近线方程是________．[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ＝c a ＝ a 2＋b 2a 2＝ 1＋b 2a2∴1＋b 2a 2＝2⇒b a ＝1∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线是y ＝±bax ＝±x .[答案] y ＝±x三、解答题(共4小题，满分52分)15．(2008·辽宁)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点．(1)写出C 的方程；(2)若OA →⊥OB →，求k 的值．[解] (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.∵OA →⊥OB →∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.16．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y ＝ax 2(a 为非零常数)的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一个动点，过点P 且与抛物线C 相切的直线记为L .(1)求F 的坐标；(2)当点P 在何处时，点F 到直线L 的距离最小？[解] (1)抛物线方程为x 2＝1a y ，故焦点F 的坐标为(0，14a )．(2)设P (x 0，y 0)则y 0＝ax 2∵y ′＝2ax ，∴在P 点处抛物线(二次函数)的切线的斜率k ＝2ax 0∴切线L 的方程是：y －y 0＝k (x －x 0)，即2ax 0x －y －ax 20＝0∴焦点F 到切线L 的距离d ＝|0－14a －ax 20|(2ax 0)2＋(－1)2＝14|a |4a 2x 20＋1≥14|a | 当且仅当x 0＝0时上式取“＝”此时P 的坐标是(0,0)∴当P 在(0,0)处时，焦点F 到切线L 的距离最小．17．(2020·安徽高考题)(本小题满分14分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，以原点为圆心，椭圆短轴长为半径的圆与y ＝x ＋2相切． (1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1与点P .求PF 1线段垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并说明曲线类型．[解] (1)e ＝33，∴b 2a 2＝23，又b ＝21＋1＝2，∴a ＝3，b ＝ 2.(2)由(1)知F 1，F 2分别为(－1,0)，(1,0)，由题意可设P (1，t )，(t ≠0)那么线段PF 1中点为N (0，t2)，设M (x ，y )是所求轨迹上的任意点，由＝(－x ，t2－y )，＝(－2，－t )则，消t 得y 2＝－4x (x ≠0)其轨迹为抛物线除原点的部分．18．(本小题满分14分)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M (1，423)，N (－322，2)两点．(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上是否存在点P (x ，y )到定点A (a,0)(其中0＜a ＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a 的值及点P 的坐标；若不存在，请给予证明．[解] (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n ) ∵椭圆过M ，N 两点∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋329n ＝192m ＋2n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19n ＝14，即椭圆方程为x 29＋y 24＝1.(2)设存在点P (x ，y )满足题设条件，由x 29＋y 24＝1，得y 2＝4(1－x 29)∴|AP |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋4(1－x 29)＝59(x －95a )2＋4－45a 2(|x |≤3)，当|9a 5|≤3即0＜a ≤53时，|AP |2的最小值为4－45a 2∴4－45a 2＝1⇒a ＝±152∉(0，53]∴95a ＞3即53＜a ＜3，此时当x ＝3时，|AP |2的最小值为(3－a )2 ∴(3－a )2＝1，即a ＝2，此时点P 的坐标是(3,0)故当a ＝2时，存在这样的点P 满足条件，P 点的坐标是(3,0)．。