高考数学- 圆
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.以点为圆心且与直线相切的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，，故选.【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系；3.点到直线的距离.2.某圆的圆心在直线上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知分析可设圆心为，半径为，则有或，解得，故选C.【考点】圆的标准方程以及弦长的基本知识.3.设点，若在圆上存在点N，使得,则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】过M作⊙O切线交⊙O于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMR≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆O上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°．∵|OR|=1，∴|OM|＞2时不成立，∴|OM|≤2，即=≤4，解得，≤≤，故选A. 考点:直线与圆的位置关系4.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A．2B．4C．3D．6【答案】B【解析】由题知圆C的圆心C（-1,2），半径为，因为圆C关于直线对称，所以圆心C在直线上，所以，即，所以由点向圆所作的切线长为===，当时，切线长最小，最小值为4，故选B.【考点】圆的标准方程，圆的切线问题，二次函数最值5.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)【答案】D【解析】MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．6.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8B．－4C．6D．无法确定【答案】C【解析】圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心(－，0)，即－＋3＝0，∴m＝6.7.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－3)2＝1C．(x－3)2＋(y－2)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1【答案】A【解析】设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，∴a＝2.所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.8.已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是()A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】设圆心C的坐标是(t，)．∵圆C过坐标原点，∴|OC|2＝t2＋，设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，故B点的坐标为(0，)．令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，故A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.故选C.9.若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：，故答案为【考点】圆的标准方程.10.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________.【答案】0或6【解析】圆的标准方程为：所以圆的圆心在，半径又直线与圆交于两点，且所以圆心到直线的距离所以，，整理得：解得：或所以答案应填：0或6.【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.11.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x-2）2+（y-1）2=1B．（x-2）2+（y+1）2=1C．（x+2）2+（y-1）2=1D．（x-3）2+（y-1）2=1【答案】A【解析】设圆心为,半径为,则=1,解得,所以,解得,故圆心坐标为(2,1),所以该圆的标准方程是（x-2）2+（y-1）2=1，选A.12.若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为( ) A．-1<k<1B．1<k<C．1<k<2D．<k<2【答案】B【解析】圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝，若圆与两坐标无公共点，即，解得1<k<.故选B．13.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是________.【答案】【解析】由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得，由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.14.方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．【答案】(3，0)，3【解析】(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.15.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________．【答案】m＜或m＞1.【解析】由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1.16.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．【答案】x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.17.如图，已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么．【答案】(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，【解析】设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝|MQ|}.因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－1.设点M的坐标为(x，y)，则，整理得(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，该圆圆心的坐标为(4，0)，半径为.18. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.19.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为()A．(x+1)2+y2=2B．(x-1)2+y2=2C．(x+1)2+y2=4D．(x-1)2+y2=4【答案】A【解析】直线x-y+1=0,令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),因为直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r==,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.20.求圆心在抛物线x2＝4y上，且与直线x＋2y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程．【答案】(x＋1)2＋＝【解析】设圆心坐标为，半径为r.根据已知得r＝＝ (t2＋2t＋2)＝ [(t＋1)2＋1]≥，当t＝－1时取等号，此时r最小为，圆心坐标为(－1，)，故所求的圆的方程是(x＋1)2＋＝.21.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】（1）(x－5)2＋y2＝16（2）4【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|，则＝2，化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．是此圆的切线，连接CQ，由直线l2则|QM|＝，时，|CQ|取最小值，|CQ|＝，此时|QM|的最小值为＝4.当CQ⊥l122.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．【答案】(x－2)2＋y2＝10【解析】依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.23.已知半径为2，圆心在直线上的圆C.（Ⅰ）当圆C经过点A（2,2）且与轴相切时，求圆C的方程；（Ⅱ）已知E(1，1),F(1，-3),若圆C上存在点Q，使,求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为原心在直线上故可设原心为，则可根据圆心和圆上的点的距离为半径列出方程。
高考数学-圆的方程
直线与圆、圆与圆的位置关系一、单选题1．以直线30()ax y a a −−−=∈R 经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）A ．222660x y x y +−++=B ．222660x y x y ++−+=C ．226260x y x y ++−+=D ．226260x y x y +−++=2．若0x =，则2y x −的取值范围为（ ）A ．[B ．(,)−∞+∞C ．11(,][,)22−∞−∪+∞D ．11[,]22− 3．已知圆C ：222210x y x y +−−+=，直线l ：40x y +−=，若在直线l 上任取一点M 作圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则ACB ∠最小时，原点O 到直线AB 的距离为（ ）A B C D ．4．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++−=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A．B ．C ． D ．5．若圆22224120x y ax y a +−++−=上存在到直线4320x y −−=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2921,44 −B ．91,44 −C ．91,,44 −∞−∪+∞D ．2921,,44 −∞−∪+∞6．若直线m ：0kx y +=被圆()2224x y −+=所截得的弦长为2，则点(0,A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（ ）A ．1BCD ．7．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点,A B 是MON ∠的ON 边上的两个定点，C 是OM 边上的一个动点，当C 在何处时，ACB ∠最大？问题的答案是：当且仅当ABC 的外接圆与边OM 相切于点C 时，ACB ∠最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点,D E 的坐标分别是()0,1，()0,3，F 是x 轴正半轴上的一动点，当DFE ∠最大时，点F 的横坐标为（ ）A ．1BCD ．28．过点() 0 引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A B ．C ．D ．二、多选题9．已知二次函数()220y x x m m =−+≠交x 轴于A ，B 两点（A ，B 不重合），交y 轴于C 点.圆M 过A ，B ，C 三点.下列说法正确的是（ ）①圆心M 在直线1x =上；②m 的取值范围是()0,1；③圆M 半径的最小值为1；④存在定点N ，使得圆M 恒过点N .A ．①B ．②C ．③D ．④10．设有一组圆22:()()4()k C x k y k k R −+−=∈，下列命题正确的是（ ）．A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆kC 均不经过点(3,0)C ．经过点(2,2)的圆k C 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π11．已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++−+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()3,3−B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1C ．圆C 与曲线22680x y x y m +−−+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99 −−12．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．圆222x y +=上有且仅有3个点到直线:10l x y −+=B ．曲线221:+20C x y x +=与曲线222480C :x y x y m +−−+=，恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为4m >C ．已知圆22:2C x y +=，P 为直线0x y ++=上一动点，过点P 向圆C 引一条切线PA ，其中A 为切点，则PA 的最小值为2D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线:280l x y +−=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过点11,2三、填空题13．若方程222450x y xy kx y k λλ++++++=表示圆，则k 的取值范围为________.14．已知直线():40l ax y a R +−=∈是圆22:2610C x y x y +−−+=的对称轴.过点()4,A a −作圆C 的一条切线，切点为B ，有下列结论：①1a =；②AB =③切线AB ④对任意的实数m ，直线1y mx m −+与圆C 的位置关系都是相交.其中所有正确结论的序号为__________．15．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点,M N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大”，如图，其结论是：点P 为过,M N 两点且射线QB 相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M −、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN∠取最大值时，点P 的坐标为___________16．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(0,5)A 且与曲线225(0)x y x +=>相切于点B ，则直线l 的方程是_____，设E 是线段OB 中点，PQ （P 在Q 的上方）在直线l 上滑动，则||||OP EQ +的最小值是_____.四、解答题17．如图，已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程为360x y −−=，(2,0)M 满足BM MC = ，点(1,1)T −在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅= .（1）求AC 边所在直线的方程；（2）求ABC ∆外接圆的方程；18．已知点(),P x y 在圆22(1)1y x +−=上运动.（1）求12y x −−的最大值； （2）求2x y +的最小值.19．（疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k 米的区域，如图，1l 、2l 分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，以点O 为坐标原点，1l 、2l 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点()100,400M ）和平安检查点（即点()400,700N ）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.（1）求出k ，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线:10000l x y −+=）上碰头见面，你认为在何处最.20．已知圆1O 过点P ，且与圆2222:(2)(2)(0)O x y r r ++−=>关于直线20x y −+=对称． （1）求圆1O 、圆2O 的方程；（2）过点Q 向圆1O 和圆2O 各引一条切线，切点分别为,C D ,且2QD QC =，则是否存在一定点M ，使得Q 到M 的距离为定值M ？若存在，求出M 的坐标，并求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆N 过点()()1,0,1,0−，且圆心N 在直线:10l x y +−=上；圆22:(3)(4)8M x y −+−=，（1）求圆N 的标准方程，并判断圆M 与圆N 的位置关系； （2）直线MN 上是否存在点B ，使得过点B 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为T ，S （不重合），满足2BS BT =？若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,4)P −−，圆22:4O x y +=与x 轴的负半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ．（1）设直线,QA QB 的斜率分别是12,k k ，求12k k +的值：（2）设AB 的中点为M ，点(1,0)N −，若14MN OM =，求QAB 的面积。
高考数学必考之圆的方程
高考数学必考之圆的方程考点一 圆的方程1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是【答案】()()223125x y -+-=【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()223125x y -+-=，2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为 【答案】()5,2【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为64131-=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+.线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为13-，故线段AC 的垂直平分线方程为()1323y x -=--，即11133y x =-+.由75111233y x x y y x =-+⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==-+⎩⎪⎩.所以ABC ∆外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是【答案】－2<a <23【解析】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<.考点二 点与圆的位置关系1．点()1,1在圆()2211x y +-=的（ ）A ．圆上B ．圆内C ．圆外D ．无法判定【答案】A【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2211x y +-=的方程即()221111+-=，∴点()1,1在圆()2211x y +-=上，2．经过点(1,2)A 可做圆22240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（ ）A ．(,(23,)-∞-+∞B ．(5,(23,)--+∞C ．(,)-∞-⋃+∞D ．(5,(22,)--+∞【答案】B【解析】圆22240x y mx y ++-+=，即为222()(1)324m m x y -+-=-， 2304m ∴->⇒m <-m > 由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-．所以5m -<<-m >故选B3．若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．,22⎛-⎝⎭C ．(D ．(【答案】D【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-⨯+⨯+-<解得：m <本题正确选项：D考点三 直线与圆1．已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b = 。
圆的高考数学试卷
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 在直角坐标系中，圆C的方程为x² + y² - 4x - 6y + 9 = 0，则圆C的半径为：A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知圆O的半径为r，圆心坐标为（a，b），则圆O的标准方程为：A. (x - a)² + (y - b)² = r²B. (x - a)² - (y - b)² = r²C. (x + a)² + (y + b)² = r²D. (x + a)² - (y + b)² = r²3. 若直线y = kx + b与圆x² + y² = 4相切，则k和b的关系为：A. k² + b² = 4B. k² + b² = 1C. k² + b² = 16D. k² + b² = 04. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为(x - 1)² + (y + 2)² = 9，则圆C的圆心坐标为：A. (1, -2)B. (1, 2)C. (-1, -2)D. (-1, 2)5. 已知圆C的方程为x² + y² - 6x + 4y + 12 = 0，圆C关于直线y = x的对称圆方程为：A. x² + y² - 6y + 4x + 12 = 0B. x² + y² + 6y - 4x + 12 = 0C. x² + y² + 6x - 4y + 12 = 0D. x² + y² - 6x - 4y + 12 = 06. 圆O的半径为r，圆心坐标为（0，0），若圆上任意一点P的坐标为（x，y），则|OP|的最大值为：A. rB. r + 1C. r - 1D. 2r7. 若圆C的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 1，则圆C上的点到直线3x + 4y - 5 = 0的距离的最大值为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 圆O的方程为x² + y² = 4，直线l的方程为y = mx + c，若圆O与直线l相切，则m和c的关系为：A. m² + c² = 4B. m² + c² = 1C. m² + c² = 16D. m² + c² = 09. 圆C的方程为(x - 3)² + (y + 1)² = 25，若直线y = kx + b与圆C相交，则k和b的关系为：A. k² + b² = 25B. k² + b² = 1C. k² + b² = 9D. k² + b² = 1610. 若圆C的方程为x² + y² - 8x + 6y + 12 = 0，则圆C关于原点O的对称圆方程为：A. x² + y² - 8x - 6y + 12 = 0B. x² + y² + 8x - 6y + 12 = 0C. x² + y² - 8x + 6y - 12 = 0D. x² + y² + 8x + 6y - 12 = 0二、填空题（每小题5分，共50分）1. 圆C的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 1，圆心坐标为________，半径为________。
高中数学关于圆的知识点总结
高中数学关于圆的知识点总结
圆是高中数学中一个重要的几何图形，它在高考数学中经常出现。
以下是高中数学关于圆的一些知识点总结:
1. 圆的定义：圆是到定点距离等于定长的点的集合。
2. 圆的方程：圆的方程通常用 (x,y) 表示圆心坐标，用 (x0,y0) 表示圆心坐标，用 r 表示圆的半径，则有
x=x0+rcos(θ),y=y0-rsin(θ)。
3. 圆的性质：圆的轴对称性、圆的旋转对称性、圆的平移对称性。
4. 圆的切线：圆上的任意一点到圆心的距离等于该点到切线的
距离，切线的定义、性质、判定。
5. 圆的弦：圆上的任意一点到圆心的距离等于弦的半径，弦的
定义、性质、判定。
6. 圆的弦图：圆的弦图是指用圆规在圆上画出的表示弦的图形，弦图的作用、绘制方法。
7. 圆周角定理及其推论：圆周角定理是指到同圆或等圆中，同
弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角度数定理是指圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
8. 圆周运动：质点沿圆周运动，在相等的时间里通过的圆弧长
度相同，匀速圆周运动的特点是质点受到的向心力始终指向圆心，向心力只改变运动物体的速度方向，不改变速度大小。
9. 向心力公式：向心力公式是指 F=ma，其中 F 为向心力，m 为
质点的质量，a 为质点的速度变化率。
10. 圆的幂函数：圆的幂函数是指用圆心角的角度作为自变量，角度的度数作为因变量的函数，幂函数的定义、性质。
高考数学知识点圆
高考数学知识点圆高考数学知识点：圆数学是高考考试中最重要的科目之一，而圆是数学中的一个重要的几何概念。
在高考数学中，对圆的理解和运用是必不可少的。
本文将围绕高考数学中的圆这一知识点展开论述，探究圆的性质、常见的题型及解题技巧，帮助同学们更好地掌握这一知识。
一、圆的性质圆是由平面上离一个定点距离相等的所有点组成的集合。
在高中数学中，圆有许多重要的性质需要我们掌握。
首先，圆的直径是圆上任意两点间的最长线段，并且它恰好通过圆心。
圆的半径是由圆心到圆上任意一点之间的线段，而圆的周长是圆上任意两点间的距离。
其次，圆的内接四边形有一个重要的性质：它的对角线相互垂直。
此外，圆的内切四边形中，对边长乘积相等。
另外，圆的切线与半径的关系也是我们必须熟悉的。
对于一个切线，它与圆的切点处的半径垂直。
以上只是圆的一些基本性质，同学们需要通过大量的习题练习来加深对这些性质的理解，并能够熟练地运用于解题过程中。
二、常见的题型及解题技巧在高考数学中，有一些常见的与圆相关的题型，我们需要掌握相应的解题技巧。
首先是与圆的周长和面积相关的题型。
当给出圆的直径或半径时，我们可以根据对应的公式计算出圆的周长和面积。
对于已知圆的周长或面积的情况下，可以反推出圆的直径或半径。
其次是与切线有关的题型。
对于给定的一条直线与圆相交于一点，我们需要求解切线的长度。
可以利用相似三角形或勾股定理来求解切线的长度。
另外，还有一些与圆的位置关系和角度的题型。
例如，给定两个相交的圆，我们需要求解它们的位置关系。
同样可以利用勾股定理和相似三角形的知识来解决。
总之，对于与圆相关的题型，我们需要熟悉相关的定理和公式，并能够将其灵活应用于解题过程中。
三、解题技巧与调整心态在高考中，数学是一个需要逻辑思维和分析能力的学科。
在解题过程中，我们应该养成良好的解题习惯和方法。
首先，我们要注意审题。
认真阅读题目，理解题目中的条件和要求，明确解题思路。
其次，遇到困难时，要避免急躁和焦虑，要有耐心。
高考数学直线与圆归纳总结
高考数学直线与圆归纳总结直线与圆是高中数学中重要的几何概念。
在高考数学中，直线与圆的相关知识点常常出现，并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。
下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。
一、直线与圆的位置关系1. 直线和圆可能有三种位置关系：相离、相切和相交。
a. 如果直线和圆没有交点，则称直线和圆相离。
b. 如果直线与圆有且仅有一个交点，则称直线与圆相切。
c. 如果直线与圆有两个交点，则称直线与圆相交。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：a. 判断直线与圆相离：计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。
b. 判断直线与圆相切：计算直线到圆心的距离等于圆的半径。
c. 判断直线与圆相交：计算直线到圆心的距离小于圆的半径。
二、直线与圆的方程1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0。
直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y)，满足方程左侧等式。
2. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。
3. 直线与圆的方程应用：a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。
b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。
三、直线与圆的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的夹角是直角，即切线垂直于半径。
2. 切线的性质：a. 切点：切线与圆的交点称为切点。
b. 切线长度：切点到圆心的距离等于半径的长度。
c. 外切线：若直线与圆内切于一点，则这条直线称为外切线。
d. 内切线：若直线切圆于两个相交点，则这条直线称为内切线。
3. 弦的性质：弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的性质有：a. 弦长：弦长等于圆心到弦的距离的两倍。
b. 直径：直径是通过圆心的弦。
直径等于半径的两倍。
四、圆的位置关系1. 同心圆：具有共同圆心的多个圆称为同心圆。
2. 内切圆与外接圆：如果一个圆与另一个圆有且仅有一个切点，则这两个圆称为内切圆与外接圆。
高考数学圆的知识点
高考数学圆的知识点高考数学圆的知识点1数学圆的知识点1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个的公共点叫做切点。
6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;有公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
圆--⊙半径—r弧--⌒直径—d扇形弧长/圆锥母线—l周长—C面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个)1.点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)：P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
6.直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。
数学高考圆的知识点
数学高考圆的知识点数学一直被认为是一门需要动脑筋的学科，其中的圆是数学中的一个重要知识点。
圆的概念在高考中经常出现，考察的内容主要包括圆的性质、圆的方程以及与圆相关的几何关系等等。
本文将重点讨论数学高考中与圆相关的知识点，带你全面了解圆的世界。
一、圆的定义和性质圆是平面上所有到一个定点距离相等的点的集合。
这个定点称为圆心，相等的距离称为半径。
圆的性质有很多，其中一些重要的性质如下：1. 圆是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一点关于圆心的对称点仍在圆上。
2. 在同一个圆中，任意两条弦所对的弧相等。
3. 圆心角是圆弧所对的弧度的两倍。
这意味着圆的周角是360度。
二、圆的方程及其性质1. 标准方程：一个圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
通过标准方程，我们可以计算出圆的相关信息。
2. 圆的切线：一个点在圆上的切线与半径垂直，并且只有一个切点。
切线的斜率等于切点处切线段的斜率的负倒数。
3. 圆与直线的交点：当直线与圆相切时，直线与半径的交点与切点重合；当直线与圆相离时，直线与圆没有交点；当直线与圆相交时，会有两个交点。
三、与圆相关的几何关系1. 圆和直线的位置关系：圆和直线有三种位置关系，分别是相离、相切和相交。
相离表示直线和圆没有交点；相切表示直线和圆只有一个交点；相交表示直线和圆有两个交点。
2. 圆和圆的位置关系：圆和圆也有三种位置关系，分别是相离、相切和相交。
相离表示两个圆没有交点；相切表示两个圆只有一个交点；相交表示两个圆有两个交点。
3. 圆与多边形的位置关系：圆和多边形的位置关系比较复杂，主要有以下几种情况：多边形在圆内部、多边形在圆外部、多边形与圆相切、多边形与圆相交等等。
本文只是介绍了数学高考中与圆相关的一些基本知识点，实际上圆的学问还有很多。
理解了这些基本知识，我们可以更好地解题和理解更复杂的几何关系。
高考数学圆的考察知识点
高考数学圆的考察知识点对于高考来说，数学是一个必考科目，而其中的一个重点知识点就是圆。
在高考试题中，圆的知识点经常被考查。
下面我将从圆的定义、圆的性质、圆上的重要点以及相关解题方法等方面进行解析，帮助大家更好地掌握高考数学圆的考察知识点。
一、圆的定义和性质圆是指平面上到一个固定点的距离都相等的点的集合。
常见的圆的表示方法有三种，即圆心表示法、直径表示法和一般表示法。
其中，圆心表示法以O表示圆心，半径表示法以R表示半径。
圆的性质有很多，其中一些是高考经常考察的。
首先是圆的周长和面积的计算。
周长的计算公式是C=2πR，其中R是半径；面积的计算公式是S=πR²。
其次，圆内接正多边形的面积与圆的面积之间有着特殊的关系，即圆内接正N边形的面积近似等于圆的面积。
再次，圆与其他几何图形的关系，如切线、割线、弦等，以及与圆相交的直线的长度和角度关系等。
二、圆上的重要点在圆的知识考察中，圆上的重要点也是考点之一。
有以下几个重要的点需要特别关注。
1. 弧与弦：圆上的弧是指连接圆上任意两点的部分，而弦是指连接圆上两点，并且过圆心的线段。
弦将圆分为两个弧，且它们之间的弧长是弦长的一半。
当弦过圆心时，它的弧长等于圆的周长的一半。
2. 切点与切线：圆上的切点是指与切线相切的点，即切线与圆只有一个公共点。
圆与切线相切时，切线垂直于过切点的半径。
3. 弦的中点：连接圆上两点中，且通过圆心的弦的中点，这个中点也是圆上切线的切点。
4. 弦截向弧：当两个弦截一个弧时，它们的弦长之积等于它们截取的弧长之积。
三、解题方法对于考察圆的题目，解题方法主要有几种。
1. 利用定义和性质进行计算。
根据圆的定义和性质，可以计算圆的周长、面积，或者通过圆与其他几何图形的关系，解决相关的问题。
2. 运用名词解释法。
有些题目可能会给出一些名词解释，需要根据这些解释推导出相关的结论，再进行计算。
3. 运用方程解法。
有些题目会给出方程式，通过求解这些方程可以得到问题的答案。
数学圆高考知识点
数学圆高考知识点数学圆是高中数学的基础知识点之一，也是高考中常见的考点。
掌握数学圆的相关知识，不仅能够在高考中得分，更能在解决实际问题中发挥作用。
本文将从数学圆的基本概念、性质以及应用等方面进行论述。
一、数学圆的基本概念数学圆由一条特殊的曲线组成，它上面的所有点到圆心的距离都相等。
圆由圆心和半径两个要素确定。
在数学中，我们通常用O表示圆心，r表示半径。
圆的面积公式为S=πr²，周长公式为C=2πr。
二、数学圆的性质1. 切线与半径的关系：任意一条直线若与圆相切，则与切点连线构成的半径垂直于这条直线。
2. 弧度制：数学圆经常使用弧度制来度量角度。
弧度制与角度制的转换关系为：1弧度=180°/π。
3. 弧长和扇形面积：圆的弧长公式为L=2πrθ/360°，其中θ为圆心角的度数。
圆的扇形面积公式为A=πr²θ/360°。
4. 相交弦和切线定理：如果两条弦在圆内或圆上相交，切线与弦的交点分割的弦积相等。
即 AP·PB = CP·PD。
三、数学圆的应用1. 几何应用：建筑设计、地图绘制等领域常常需要运用数学圆的知识来进行几何推理和测量。
2. 物理应用：在物理学中，圆的运动轨迹被广泛应用于描述天体运动、物体轨迹等。
3. 工程应用：在工程领域，数学圆被用于设计轮胎、圆形管道和制造球体等。
四、数学圆的解题思路1. 理解题意：对于圆相关的问题，首先要彻底理解题目所描述的情景和要求。
2. 运用圆的性质：根据题目所给条件，应用数学圆的性质进行推理和计算。
3. 巧妙构造：有时候可以通过巧妙地构造图形，引入辅助线、辅助角等方式来解题。
4. 符号化运算：在解题过程中，适当引入代数符号，进行符号化运算有助于解决复杂的问题。
五、数学圆的注意事项1. 画图准确：数学圆的问题多需配图解析，因此画图要准确，标注清晰。
2. 注意单位转换：在计算过程中，要注意角度的单位转换，如遇到需要弧度制的问题，要将角度转换为弧度。
高考数学圆的知识点归纳
高考数学圆的知识点归纳高考数学中，圆是一个重要的知识点。
涉及面广，包括圆的定义、性质、相关公式等。
本文将对高考数学圆的知识点进行归纳和总结，以帮助同学们更好地掌握圆的相关知识。
一、圆的定义圆是一个平面上所有与给定点距离相等的点的集合。
这个点称为圆心，给定的距离称为半径。
圆可以用一个大写字母表示，如圆O。
圆心用大写字母O表示，半径用小写字母r表示。
二、圆的性质1.在同一个圆中，所有半径相等。
2.在同一个圆中，所有的弧相等。
3.圆心到弧的中心的距离等于半径。
4.两个圆相切，当且仅当它们有一个公共切点。
5.两条相交的弦在弦上的交点到圆心的距离相等。
三、圆的相关公式1.圆的面积公式圆的面积公式为：S=πr²，其中π≈3.14。
2.圆的周长公式圆的周长公式为：C=2πr，其中π≈3.14。
3.圆心角与弧度制、度数制的转换公式圆心角是圆心所对的弧的范围所对的角。
圆心角的度数单位是度或弧度。
1°=π/180弧度（弧度制转换为度数制）1弧度=180/π度（度数制转换为弧度制）四、常见的圆的问题1.求圆的面积和周长。
求圆的面积和周长，可以使用上述公式：S=πr²C=2πr2.判断两个圆的位置关系。
当圆心距离小于两半径之和时，两个圆相交；当圆心距离等于两半径之和时，两个圆外切；当圆心距离大于两半径之和时，两个圆分离。
3.圆与其他图形的关系。
圆与其他图形的关系有很多，如圆与直线的位置关系、圆与三角形的位置关系等。
解决这些问题，可以运用圆心角、交角等相关知识。
五、注意事项1.在计算时，注意把所有长度单位统一换算成同样的单位，比如用厘米或者用毫米。
2.在做题时，要注意理解题目所给的条件，特别是对于关键的长度、角度、位置关系等，需要仔细读题，分析问题。
3.在考试中，要注意圆在各类题型中的使用，熟练掌握圆的相关知识，从而轻松解决考试题目。
六、结论圆是高中数学学科中重要的知识点，涉及面广，包括圆的定义、性质、相关公式等。
2024高考数学常考题型 第18讲 直线与圆常考6种题型总结(解析板)
第18讲直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m ≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即2+-x y ；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：2+-x y 题型五：圆中最值问题【例1】已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．82-B ．1682-C ．842+D ．162+【答案】C 【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离422d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则42AB =PAB △面积的最大值为()14222822⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295【答案】B【分析】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，计算出圆心E 到直线125240x y -+=的距离d ，结合对称性可得出PQ QR +的最小值为25d -，即可得解.【详解】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为()221265247125d ⨯-+==+-，【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。
高考数学圆
高考数学圆公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]第二十四章圆圆的有关性质圆知能演练提升能力提升1.下列说法错误的是()A.直径是圆中最长的弦B.长度相等的两条弧是等弧C.面积相等的两个圆是等圆D.半径相等的两个半圆弧是等弧2.如图,在△ABC中,AB为☉O的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C的度数为()°°°°3.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()4.如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发,沿OA→AA⏜ →BO的路径运动一周.设OP为s,运动时间为t,则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的是()5.如图,A,B是☉O上两点,若四边形ACBO是平行四边形,☉O的半径为r,则点A 与点B之间的距离为.?6.如图,O2是☉O1上的一点,以O2为圆心,O1O2为半径作☉O2,与☉O1交于点A,B,则∠AO1B的度数为.?(第5题图)(第6题图)7.如图,一根2 m长的绳子,一端拴在墙边,另一端拴着一只羊,画出羊的活动区域.8.如图,AB,AC为☉O的弦,连接CO,BO并延长,分别交弦AB,AC于点E,F,∠B=∠C,求证:CE=BF.★9.如图,点A,D,G,M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c之间有什么关系10.如图,已知AB是☉O的直径,C为AB延长线上的一点,CE交☉O于点D,且CD=OA,求证:∠C=1∠AOE.3创新应用★11.如图①,☉O的半径为r(r>0),若点P'在射线OP上,满足OP'·OP=r2,则称点P'是点P关于☉O的“反演点”.如图②,☉O的半径为4,点B在☉O上,∠BOA=60°,OA=8.点A',B'分别是点A,B 关于☉O的反演点,求A'B'的长.图①图②知能演练·提升能力提升AB,不管木杆如何滑动,连接OP,因为OP是Rt△AOB斜边上的中线,所以OP=12它的长度不变,也就是OP是一个定值,点P就在以O为圆心的圆弧上,那么中点P下落的路线是一段弧线.当点P从点O向点A运动时,OP逐渐增大,当点P从点A向点B运动时,OP不变,当点P从点B向点O运动时,OP逐渐减小,故能大致地刻画s与t之间关系的是选项C中的图象.√3连接AB.∵OA=OB,∴?ACBO是菱形.∴AB与CO互相垂直且平分.A)2=√3r.∴AB=2√A2-(12°连接AO2,BO2,由题意知☉O1与☉O2是等圆,所以△AO1O2与△BO1O2都为等边三角形.所以∠AO1O2=∠BO1O2=60°,即∠AO1B=120°.7.分析根据题意,羊的活动区域应是以O为圆心,以2 m为半径的半圆及其内部.解如图,羊的活动区域是图中的阴影部分(包括半圆周).8.证明∵OB,OC是☉O的半径,∴OB=OC.又∠B=∠C,∠BOE=∠COF,∴△EOB≌△FOC(ASA).∴OE=OF.∴CE=BF.9.解连接OM,OD,OA,根据矩形的对角线相等,得BC=OA,EF=OD,NH=OM.再根据同圆的半径相等,得a=b=c.10.分析因为∠AOE是△COE的一个外角,且与∠C不相邻,所以∠AOE=∠C+∠E.∠AOE,即∠AOE=3∠C,所以只要证得∠E=2∠C即可.现在要证明∠C=13又由于OE为半径,而连接OD后OD也是半径,故OE=OD,所以∠ODE=∠E,从而可证结论成立.证明如图,连接OD.因为CD=OA=OD,所以∠C=∠COD.又OD=OE,所以∠OED=∠ODE.所以∠AOE=∠C+∠OED=∠C+∠ODE=∠C+∠COD+∠C=3∠C,即∠C=1∠AOE.3创新应用11.解因为☉O的半径为4,点A',B'分别是点A,B关于☉O的反演点,点B在☉O 上,OA=8,所以OA'·OA=16,解得OA'=2.同理可知,OB'=4,所以点B的反演点B'与B重合.设OA交☉O于点M,连接B'M,因为∠BOA=60°,OM=OB',所以△OB'M为等边三角形,又OA'=A'M=2,所以A'B'⊥OM,所以在Rt△OB'A'中,根据勾股定理,得OB'2=OA'2+A'B'2,即16=4+A'B'2,解得A'B'=2√3.。
高考数学试卷选修圆
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知圆O的半径为2，圆心为点（1，3），则点（4，5）在圆O上的切线斜率为：A. 1B. -1C. 2D. -22. 圆（x-3）²+（y+2）²=1的圆心坐标为：A. （3，-2）B. （-3，2）C. （-3，-2）D. （3，2）3. 下列关于圆的方程中，表示圆的标准方程是：A. x²+y²=5B. (x-1)²+(y+2)²=4C. x²+y²+2x-4y=0D. x²+y²-2x+4y=04. 在平面直角坐标系中，若点P（2，3）在圆x²+y²=25上，则点P到圆心的距离为：A. 5B. 10C. 15D. 205. 已知圆C：x²+y²=4，圆D：x²+y²=1，则两圆的公切线共有：A. 2条B. 4条C. 6条D. 8条6. 在平面直角坐标系中，若点A（2，3）在圆x²+y²=9上，则点A到圆心的距离为：A. 3B. 6C. 9D. 127. 已知圆O的方程为x²+y²=r²，若圆O过点P（2，0），则r的值为：A. 2B. 4C. 6D. 88. 在平面直角坐标系中，若圆x²+y²=4的圆心在直线y=x上，则圆心的坐标为：A. （2，2）B. （-2，-2）C. （2，-2）D. （-2，2）9. 已知圆O的方程为x²+y²=16，若圆O的切线斜率为k，则k的取值范围是：A. k≤4B. k≤2C. k≥4D. k≥210. 在平面直角坐标系中，若圆x²+y²=1的圆心在直线y=3上，则圆心的坐标为：A. （0，3）B. （1，3）C. （-1，3）D. （0，-3）二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆的方程
第3节圆的方程考试要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆.( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√解析 (2)当a ＝0时，x 2＋y 2＝a 2表示点(0，0)；当a ＜0时，表示半径为|a |的圆. 2.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(2，3)，3 B.(－2，3)， 3 C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，13 答案 D解析 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r ＝13.3.(2021·合肥模拟)已知A (1，0)，B (0，3)两点，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝104 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝104 答案 A 解析 |AB |＝12＋32＝10，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，半径r ＝102，∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104.4.(2022·银川模拟)若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.{－4，4}答案 A解析因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以表示点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，即（1－a）2＋[1－（－a）]2<2，两边平方得：(1－a)2＋(a＋1)2<4，化简得a2<1，解得－1<a<1.5.(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7答案 A解析由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为d min＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.6.(易错题)若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则k的取值范围为________________.答案(－∞，1)∪(4，＋∞)解析根据题意，若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则λ＝0，方程为x2＋y2＋2kx＋4y＋5k＝0，∴(2k)2＋42－4×5k>0，即k2－5k＋4>0，解得k<1或k>4，故k的取值范围为(－∞，1)∪(4，＋∞).考点一圆的方程1.已知圆E 经过三点A (0，1)，B (2，0)，C (0，－1)，则圆E 的标准方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254 答案 C解析 法一 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1.所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.法二 (几何法)因为圆E 经过点A (0，1)，B (2，0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上.又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上， 所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0.则圆E 的半径为 |EB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋（0－0）2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.2.在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A.x 2＋(y －1)2＝4 B.x 2＋(y －1)2＝2 C.x 2＋(y －1)2＝8 D.x 2＋(y －1)2＝16答案 B解析 由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1，2)，设圆心(0，1)为点B ，由题意可知要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝（－1－0）2＋（2－1）2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.3.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且截直线x －y －3＝0所得的弦长为6，则圆C 的方程为________. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 法一 ∵所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴可设所求圆的圆心为(a ，－a ). ∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |. 又所求圆截直线x －y －3＝0所得的弦长为6，圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2，∴r 2＝（a －b －3）22＋32，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.① ∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴|a －b |12＋（－1）2＝r .②又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.感悟提升 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 考点二 与圆有关的最值问题 角度1 利用几何意义求最值例1 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆. (1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k＝±3(如图1).所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2).所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 感悟提升把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 角度2利用对称性求最值例2 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A.52－4B.17－1C.6－2 2D.17答案 A解析 P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3).所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.感悟提升 求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.角度3 建立函数关系求最值例3 (2022·衡水模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________. 答案 12解析 由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1，易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12. 感悟提升 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.训练1 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2，3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值.解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2 2. 又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，∴|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，∴y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 考点三与圆有关的轨迹问题例4 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2). (2)设PQ 的中点为N (x ，y ). 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为 x 2＋y 2－x －y －1＝0.感悟提升 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.训练2 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程. 解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，所以点P 的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆.直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1.圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(3，4)，5 B.(－3，4)，5 C.(－3，－4)，5 D.(3，－4)，5答案 D解析 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25，所以圆心坐标是(3，－4)，半径r ＝5.2.过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B.(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C.(x －1)2＋(y －1)2＝4 D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 答案 C解析 设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . 因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上， 所以b ＝2－a . 又|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2， 所以a ＝1，b ＝1，所以r ＝2， 所以方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.3.如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( ) A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，0) D.(0，－1)答案 D 解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，当k ＝0时，r 最大，此时圆心坐标为(0，－1). 4.(2022·太原期末)若k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0不表示圆，则k 的取值集合中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0表示圆的条件为(k －1)2＋(2k )2－4k >0， 即5k 2－6k ＋1>0，解得k >1或k <15.又知该方程不表示圆，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1.又因为k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，所以满足条件的k ＝45，即k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫45. 5.(2022·昆明调研)已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长为6，则圆C 的方程为( )A.x 2＋y 2－2x －4y －8＝0B.x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0C.x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0D.x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 答案 C解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，D 2＋E 2－4F >0， 将P ，Q 两点的坐标代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， ③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6得D 2－4F ＝36， ④ 由①②④得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0，故所求的圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.6.已知两点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( ) A.2，12(4－5) B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5 D.12(5＋2)，12(5－2) 答案 B 解析 如图，圆心(1，0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.7.(2021·郑州模拟)圆(x ＋2)2＋(y －12)2＝4关于直线x －y ＋8＝0对称的圆的方程为________________. 答案 (x －4)2＋(y －6)2＝4 解析 设对称圆的圆心为(m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n －12m ＋2＝－1，m －22－n ＋122＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝6，所以所求圆的圆心为(4，6)， 故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －6)2＝4.8.圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________. 答案2＋1解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1.9.(2022·贵阳调研)已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________. 答案 2 5解析 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，所以圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆.设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2).连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，此时，|P A |＋|PQ |取得最小值，由对称性可知|P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.10.已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.解 (1)设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)， 所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 11.已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值.解(1)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋（－3）－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(3)x2＋y2＋2x－4y＋5＝（x＋1）2＋（y－2）2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为34， ∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值34－1.12.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255C.355D.455答案 B解析 设圆心为P (x 0，y 0)，半径为r ，∵圆与x 轴，y 轴都相切， ∴|x 0|＝|y 0|＝r .又圆经过点(2，1)，∴x 0＝y 0＝r 且(2－x 0)2＋(1－y 0)2＝r 2， ∴(r －2)2＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝1或r ＝5.当r ＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离 d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255；当r ＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离 d ＝|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255.综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.13.(2022·郑州模拟)大约在2 000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有动点P 满足|OP |＝2，其中O 为坐标原点，若M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|PM |的最小值为________.答案 1解析 由题意可得点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上， 因为|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1<2， 所以点M 在圆内，所以|PM |min ＝r －|OM |＝2－1＝1.14.设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为 y ＝k (x －1)(k >0). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2， 所以|AB |＝|AF |＋|BF | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1， 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.故圆的半径为x 0＋p2＝4或12，因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.。
圆的方程-高考数学复习
解：设圆心 C 的坐标为( a ， b ).因为圆心 C 在直线 l ： x － y ＋1＝0上，
所以 a － b ＋1＝0.
①
因为 A ， B 是圆上两点，所以｜ CA ｜＝｜ CB ｜.
根据两点间距离公式，有 ( − 1)2 ＋( − 1)2 ＝
均为动点)，要立足两点：
1. 减少动点的个数.
2. “曲化直”，即将折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要
通过对称性解决.
3. 设 P ( x ， y )是圆( x －2)2＋ y 2＝1上的任意一点，则( x －5)2＋( y ＋4)2的
最大值是(
A. 6
D )
B. 25
C. 26
D. 36
2
(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于 A ， B ， C 三点不共线，所以应除去与
x 轴的交点)，
所以直角顶点 C 的轨迹方程为( x －1)2＋ y 2＝4( y ≠0).
(2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程.
[解] 设 M ( x ， y )， C ( x 0， y 0)，因为 B (3，0)， M 是线段 BC 的中点，
3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圆上；由(4－1)2＋(1
＋2)2＜25知(4，1)在圆内.
(－∞，
－2 2 )∪(2 2 ，＋∞)
关键能力 重点探究
考点一
求圆的方程
(2022·全国甲卷)设点 M 在直线2 x ＋ y －1＝0上，点(3，0)和(0，
2＋( y ＋1)2＝5
4. 已知圆 C 1：( x －2)2＋( y －3)2＝1，圆 C 2：( x －3)2＋( y －4)2＝9，
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积【答案】（1）;（2）的方程为; 的面积为.【解析】（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，根据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：，运用向量数量积运算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.试题解析：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，设，则，，由题设知，故，即.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.又，O到的距离为，，所以的面积为.【考点】1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系2.圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 .【答案】【解析】因为圆心在直线上，所以，可设圆心为.因为圆与轴相切，所以，半径，又因为圆截轴所得弦长为所以，.解得，故所求圆的方程为.【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系.3.（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（1）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为_________；（2）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是_________．【答案】（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．【解析】（1）由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，距离y轴的距离变成2cos45°=2，∴点P′在平面α内的射影P的坐标为（2，2）（2）设（x′﹣）2+2y2﹣2=0上的任意点为A（x0，y），A在平面α上的射影是（x，y）根据上一问的结果，得到x=x0，y=y，∵，∴∴（x﹣1）2+y2=1，故答案为：（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．4.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0B．x2+y2+x=0C．x2+y2﹣x=0D．x2+y2﹣2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．5.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1【答案】D【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，选D6.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1，1)【解析】∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.7.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．【答案】（1）<1且b≠0.（2）x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0（3）C必过定点(－2，1)【解析】(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b ＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．8. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.9.若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程是()A．(x-)2+y2=5B．(x+)2+y2=5C．(x-5)2+y2=5D．(x+5)2+y2=5【答案】B【解析】设圆心为(a,0)(a<0),因为截得的弦长为4,所以弦心距为1,则d==1,解得a=-,所以,所求圆的方程为(x+)2+y2=5.10.与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.【答案】(x-2)2+(y-2)2=2【解析】【思路点拨】数形结合得最小圆的圆心一定在过x2+y2-12x-12y+54=0的圆心与直线x+y-2=0垂直的垂线段上.解:∵圆A:(x-6)2+(y-6) 2=18,∴A(6,6),半径r1=3,且OA⊥l,A到l的距离为5,显然所求圆B的直径2r2=2,即r2=,又OB=OA-r1-r2=2,由与x轴正半轴成45°角,∴B(2,2),∴方程为(x-2)2+(y-2)2=2.11.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是() A．(x-2)2+(y+1)2=1B．(x-2)2+(y+1)2=4 C．(x+4)2+(y-2)2=4D．(x+2)2+(y-1)2=1【答案】A【解析】设圆上任一点为Q(x0,y),PQ的中点为M(x,y),则解得又因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.12.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()．A．10B．20C．30D．40【答案】B【解析】配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为C(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20.13.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】（1）(x－5)2＋y2＝16（2）4【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|，则＝2，化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．是此圆的切线，连接CQ，由直线l2则|QM|＝，当CQ⊥l时，|CQ|取最小值，|CQ|＝，此时|QM|的最小值为＝4.114.过点引直线与曲线相交于两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于．【答案】－【解析】由得：；表示圆心在原点，半径的圆位于轴下方的部分（含端点）；如下图：直线的方程为：，即，所以，当，即，整理得：又因为，所以，.故答案填：【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、数形结合.15.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是_______。
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. 第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
知能演练提升
能力提升
1.下列说法错误的是( ) A.直径是圆中最长的弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.面积相等的两个圆是等圆 D.半径相等的两个半圆弧是等弧
2.如图,在△ABC 中,AB 为☉O 的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C 的度数为( ) A.50° B.60° C.70°
D.80°
3.木杆AB 斜靠在墙壁上,当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时,木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线,其中正确的是(
)
.
4.如图,AB 是半圆O 的直径,点P 从点O 出发,沿OA →AB ⏜→BO 的路径运动一周.设OP 为s ,运动时间为t ,则下列图象能大致地刻画s 与t 之间关系的是( )
5.如图,A ,B 是☉O 上两点,若四边形ACBO 是平行四边形,☉O 的半径为r ,则点A 与点B 之间的距离为 .
6.如图,O 2是☉O 1上的一点,以O 2为圆心,O 1O 2为半径作☉O 2,与☉O 1交于点A ,B ,则∠AO 1B 的度数为 .
(第5题图)
(第6题图)
7.如图,一根2 m 长的绳子,一端拴在墙边,另一端拴着一只羊,画出羊的活动区域.
8.
如图,AB,AC为☉O的弦,连接CO,BO并延长,分别交弦AB,AC于点E,F,∠B=∠C,求证:CE=BF. .
★9.如图,点A,D,G,M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c之间有什么关系?
.
10.如图,已知AB是☉O的直径,C为AB延长线上的一点,CE交☉O于点D,且CD=OA,求证:∠C=1
∠
3
AOE.
.
创新应用
★11.如图①,☉O的半径为r(r>0),若点P'在射线OP上,满足OP'·OP=r2,则称点P'是点P关于☉O的“反演点”.
如图②,☉O的半径为4,点B在☉O上,∠BOA=60°,OA=8.点A',B'分别是点A,B关于☉O的反演点,求A'B'的长.
图①
图②
.
. 知能演练·提升 能力提升 1.B 2.C
3.D 连接OP ,因为OP 是Rt △AOB 斜边上的中线,所以OP=1
2AB ,不管木杆如何滑动,它的长度不变,也就是OP 是一个定值,点P 就在以O 为圆心的圆弧上,那么中点P 下落的路线是一段弧线. 4.C 当点P 从点O 向点A 运动时,OP 逐渐增大,当点P 从点A 向点B 运动时,OP 不变,当点P 从点B 向点O 运动时,OP 逐渐减小,故能大致地刻画s 与t 之间关系的是选项C 中的图象. 5.√3r 连接AB.∵OA=OB ,
∴▱ACBO 是菱形.
∴AB 与CO 互相垂直且平分.
∴AB=2√r 2-(1
2
r)2
=√3r.
6.120° 连接AO 2,BO 2,由题意知☉O 1与☉O 2是等圆,所以△AO 1O 2与△BO 1O 2都为等边三角形.
所以∠AO 1O 2=∠BO 1O 2=60°,即∠AO 1B=120°.
7.分析 根据题意,羊的活动区域应是以O 为圆心,以2m 为半径的半圆及其内部. 解 如图,羊的活动区域是图中的阴影部分(包括半圆周).
8.证明 ∵OB ,OC 是☉O 的半径,
∴OB=OC.
又∠B=∠C ,∠BOE=∠COF
,
. ∴△EOB ≌△FOC (ASA). ∴OE=OF.∴CE=BF.
9.解 连接OM ,OD ,OA ,根据矩形的对角线相等,得BC=OA ,EF=OD ,NH=OM.再根据同圆的半径相等,得a=b=c.
10.分析 因为∠AOE 是△COE 的一个外角,且与∠C 不相邻,
所以∠AOE=∠C+∠E.
现在要证明∠C=13
∠AOE ,即∠AOE=3∠C ,所以只要证得∠E=2∠C 即可.
又由于OE 为半径,而连接OD 后OD 也是半径,故OE=OD ,所以∠ODE=∠E ,从而可证结论成立.
证明 如图,连接OD.
因为CD=OA=OD , 所以∠C=∠COD. 又OD=OE ,
所以∠OED=∠ODE.
所以∠AOE=∠C+∠OED=∠C+∠ODE=∠C+∠COD+∠C=3∠C,即∠C=1
∠AOE.
3
创新应用
11.解因为☉O的半径为4,点A',B'分别是点A,B关于☉O的反演点,点B在☉O上,OA=8,所以OA'·OA=16,解得OA'=2.同理可知,OB'=4,所以点B的反演点B'与B重合.设OA交☉O于点M,连接B'M,因为∠BOA=60°,OM=OB',所以△OB'M为等边三角形,又OA'=A'M=2,所以A'B'⊥OM,所以在Rt△OB'A'中,根据勾股定理,得OB'2=OA'2+A'B'2,即16=4+A'B'2,解得A'B'=2√3.
.。