高考数学- 圆

. 第二十四章 圆

24.1 圆的有关性质

24.1.1 圆

知能演练提升

能力提升

1.下列说法错误的是( ) A.直径是圆中最长的弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.面积相等的两个圆是等圆 D.半径相等的两个半圆弧是等弧

2.如图,在△ABC 中,AB 为☉O 的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C 的度数为( ) A.50° B.60° C.70°

D.80°

3.木杆AB 斜靠在墙壁上,当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时,木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线,其中正确的是(

)

.

4.如图,AB 是半圆O 的直径,点P 从点O 出发,沿OA →AB ⏜→BO 的路径运动一周.设OP 为s ,运动时间为t ,则下列图象能大致地刻画s 与t 之间关系的是( )

5.如图,A ,B 是☉O 上两点,若四边形ACBO 是平行四边形,☉O 的半径为r ,则点A 与点B 之间的距离为 .

6.如图,O 2是☉O 1上的一点,以O 2为圆心,O 1O 2为半径作☉O 2,与☉O 1交于点A ,B ,则∠AO 1B 的度数为 .

(第5题图)

(第6题图)

7.如图,一根2 m 长的绳子,一端拴在墙边,另一端拴着一只羊,画出羊的活动区域.

8.

如图,AB,AC为☉O的弦,连接CO,BO并延长,分别交弦AB,AC于点E,F,∠B=∠C,求证:CE=BF. .

★9.如图,点A,D,G,M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c之间有什么关系?

.

10.如图,已知AB是☉O的直径,C为AB延长线上的一点,CE交☉O于点D,且CD=OA,求证:∠C=1

∠

3

AOE.

.

创新应用

★11.如图①,☉O的半径为r(r>0),若点P'在射线OP上,满足OP'·OP=r2,则称点P'是点P关于☉O的“反演点”.

如图②,☉O的半径为4,点B在☉O上,∠BOA=60°,OA=8.点A',B'分别是点A,B关于☉O的反演点,求A'B'的长.

图①

图②

.

. 知能演练·提升 能力提升 1.B 2.C

3.D 连接OP ,因为OP 是Rt △AOB 斜边上的中线,所以OP=1

2AB ,不管木杆如何滑动,它的长度不变,也就是OP 是一个定值,点P 就在以O 为圆心的圆弧上,那么中点P 下落的路线是一段弧线. 4.C 当点P 从点O 向点A 运动时,OP 逐渐增大,当点P 从点A 向点B 运动时,OP 不变,当点P 从点B 向点O 运动时,OP 逐渐减小,故能大致地刻画s 与t 之间关系的是选项C 中的图象. 5.√3r 连接AB.∵OA=OB ,

∴▱ACBO 是菱形.

∴AB 与CO 互相垂直且平分.

∴AB=2√r 2-(1

2

r)2

=√3r.

6.120° 连接AO 2,BO 2,由题意知☉O 1与☉O 2是等圆,所以△AO 1O 2与△BO 1O 2都为等边三角形.

所以∠AO 1O 2=∠BO 1O 2=60°,即∠AO 1B=120°.

7.分析 根据题意,羊的活动区域应是以O 为圆心,以2m 为半径的半圆及其内部. 解 如图,羊的活动区域是图中的阴影部分(包括半圆周).

8.证明 ∵OB ,OC 是☉O 的半径,

∴OB=OC.

又∠B=∠C ,∠BOE=∠COF

,

. ∴△EOB ≌△FOC (ASA). ∴OE=OF.∴CE=BF.

9.解 连接OM ,OD ,OA ,根据矩形的对角线相等,得BC=OA ,EF=OD ,NH=OM.再根据同圆的半径相等,得a=b=c.

10.分析 因为∠AOE 是△COE 的一个外角,且与∠C 不相邻,

所以∠AOE=∠C+∠E.

现在要证明∠C=13

∠AOE ,即∠AOE=3∠C ,所以只要证得∠E=2∠C 即可.

又由于OE 为半径,而连接OD 后OD 也是半径,故OE=OD ,所以∠ODE=∠E ,从而可证结论成立.

证明 如图,连接OD.

因为CD=OA=OD , 所以∠C=∠COD. 又OD=OE ,

所以∠OED=∠ODE.

所以∠AOE=∠C+∠OED=∠C+∠ODE=∠C+∠COD+∠C=3∠C,即∠C=1

∠AOE.

3

创新应用

11.解因为☉O的半径为4,点A',B'分别是点A,B关于☉O的反演点,点B在☉O上,OA=8,所以OA'·OA=16,解得OA'=2.同理可知,OB'=4,所以点B的反演点B'与B重合.设OA交☉O于点M,连接B'M,因为∠BOA=60°,OM=OB',所以△OB'M为等边三角形,又OA'=A'M=2,所以A'B'⊥OM,所以在Rt△OB'A'中,根据勾股定理,得OB'2=OA'2+A'B'2,即16=4+A'B'2,解得A'B'=2√3.

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