高考数学圆复习课件

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（江苏专用）高考数学总复习第八章第3课时圆的方程课件

【解】设点M的坐标是(x，y)，点A 的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是 (4,3)且M是线段AB的中点，
所以 x＝x0＋2 4，y＝y0＋2 3，于是有 x0＝2x－4，y0＝2y－3. ① 因为点 A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，
所以点 A 的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝ 4，即(x0＋1)2＋y20＝4. ② 把 ①代入 ②，得(2x－ 4＋ 1)2＋ (2y－ 3)2 ＝4，
(2)求圆的方程有两类方法 ①几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程；
②代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：a.根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式(本例题中涉及圆心及切线，故设标准形式较简单)；b.利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；c.解出a，b，r或D，E，F，代入所设的标准方程或一般方程．
第八章平面解析几何
第3课时圆的方程
回归教材•夯实双基
基础梳理 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 (a_，__b_)____为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F＞0)其中圆心为
__－__D2_，__－__E2___，半径为_12__D__2_＋__E_2－ __4_F_.
d＝|2－－1－1|＝ 2.
1＋1
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2， ∴2＝2，即2＝2，解得r＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝ 4.
(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2＝r2，则有
b＝－4a，
3－a2＋－2－b2＝r2， |a＋b－1|＝r， 2

高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程圆的方程课件

解析设圆心的坐标为x，41x2，据题意得14x2＋1＝－x，解得 x＝－2，此时圆心的坐标为(－2,1)，圆的半径为 2，故所求圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝4.
9 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3．直线 y＝x－1 上的点到圆 x2＋y2＋4x－2y＋4＝0 的最近距离为( )
解法二：从形的角度，AB 为圆的弦，由平面几何知识知，圆心 P 应在 AB 中垂线 x＝4 上，则由
2x－y－3＝0， x＝4，
得圆心 P(4,5)．
∴半径 r＝|PA|＝ 10. ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
13 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第九章直线和圆的方程
1 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第2讲圆的方程及点、线、圆的位置关系
2 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
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3 撬点·基础点重难点
注意点圆的标准方程与一般方程的关系圆的标准方程展开整理即可得到圆的一般方程，而圆的一般方程通过配方亦可转化为圆的标准方程，二者只是形式的不同，没有本质区别.
7 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1．思维辨析 (1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆．( × ) (2)方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆心为－a2，－a，半径为12 －3a2－4a＋4的圆．( × ) (3)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ ) (4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ ) (5)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ )

高考数学复习---动圆过定点PPT考向课件

6
动圆过定点问题本质上是向量垂直的问题.
7
在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点(1，0)的距离与它到直线x＝－1的距离相等．
(1)求动点E的轨迹C的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋b与曲线C相切于点P，与直线x＝－1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点． [解] (1)设动点E的坐标为(x，y)，由抛物线的定义知，动点E的轨迹是以(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，所以动点E的轨迹C 的方程为y2＝4x.
8
(2)证明：易知 k≠0.由yy＝ 2＝k4xx＋b，消去 x，得 ky2－4y＋4b＝0.因为直线 l 与抛物线相切，所以 Δ＝16－16kb＝0，即 b＝1k，所以直线 l 的方程为 y＝kx＋1k，令 x＝－1，得 y＝－k＋1k，所以 Q(－1，－k＋1k)．设切点 P(x0，y0)，则 ky20－4y0＋4k＝0，解得 P(k12，2k)，设 M(m，0)，
高考数学复习---动圆过定点 PPT考向课件
动圆过定点动圆过定点问题求解时可以先取特殊值或者极值，找出
这个定点，再用向量法证明用直径所对圆周角为直角．
2
(2019·北京高考)已知抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2，－1)．
(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程； (2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y＝－1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点．
9
则M→Q·M→P＝(k12－m)·(－1－m)＋2k(－k＋1k，
即 m＝1 时，M→Q·M→P＝0，即 MQ⊥MP.
所以，以 PQ 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 M(1，0)．

高考数学一轮复习第八章立体几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件

12/13/2021
第十页，共四十一页。
1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外
切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公
(4)由题意知圆的方程为 x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为 2，则圆心到直线 y＝x＋1 的距离 d＝|－1－2 1|＝ 2，所以|AB|＝2 22－ 22＝2 2.
(5)由xx22＋＋yy22－－44＝ x＋04，y－12＝0，得两圆公共弦所在直线为 x －y＋2＝0.又圆 x2＋y2＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 2
若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为( A )
A．4π
B．2π
C．9π
D．22π
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第十九页，共四十一页。
【解析】 (1)因为圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝
a2|c＋| b2＝
|c| ＝ 2|c|
22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半
就等于 1－ 222＝ 22，所以弦长为 2. (2)易知圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 的圆心为(0，a)，半径为
置关系是( A )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1) 在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆相交．
12/13/2021
第二十七页，共四十一页。
2．(方向 2)已知直线 y＝ax 与圆 C：x2＋y2－6y＋6＝0 相交于 A，B

高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2

k2＋1· x1＋x22－4x1x2＝ k2＋1|x1－x2|.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.

高考数学一轮总复习教学课件第八章平面解析几何第3节圆的方程

+
+Dx0+Ey0+F>0.
( √)
(4)方程x2+y2-4x-2y+5=0表示圆心为(2,1)的圆.( × )
2.已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列各点中在圆内的是
(
)
A.(2,2)
B.(1,3)
C.(-1,-2)
√
D.(0,-1)
解析:A中(2-3)2+(2+2)2=17>16,在圆外;
(1)直角顶点C的轨迹方程;
解:(1)法一
设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.
因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,
所以 kAC·kBC=-1,又 kAC=

所以+·

-

,kBC=

+
-
,
=-1,
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
连线组成的三角形为直角三角形,该直角三角形的外接圆的圆心为
点(0,0)和点(4,2)所连线段的中点,即(2,1),直径2R等于点(0,0)和

点(4,2)所连线段的长,即 2R= (-) + (-) ,可得 R= ,所以圆的
2
2
方程为(x-2) +(y-1) =5.
③若圆过(0,0),(-1,1),(4,2)三点,设过这三点的圆的一般方程为
已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
[针对训练]
(1)经过坐标原点,且圆心坐标为(-1,1)的圆的一般方程是(

高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系PPT课件

16－34k2>0，解得－8
3
38 <k<
3
3，
.
由题易知点(1,2)应在已知圆的外部，把点代入圆的方程得 1＋4＋k＋4＋k2－15>0，即(k－2)·(k＋3)>0，解得 k>2 或 k<－3，则实数 k 的取值范围是－83 3，－3∪2，8 3 3.
[答案]
1．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
解析：选 D 设圆心的坐标为(a,0)(a>0)，又因为直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，所以 |33a2＋＋44|2＝2，解得 a＝2 或－134(舍)，因此圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，即 x2＋y2－4x＝0.
(2)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A，B
两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线
l 的斜率等于( )
A. 3 B．－ 3 C．± 3 D．－ 3
3
3
3
[自主解答] (1)圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－ a，圆心 C(－1,1)，半径 r 满足 r2＝2－a，则圆心 C 到直线 x ＋y＋2＝0 的距离 d＝ 12＋1＝ 2，所以 r2＝4＋2＝2－a⇒a ＝－4.
解析：法一：几何法：圆心到直线
的距离为d＝
|0－2| 2
＝
2 ，圆的半径r＝
2，所以弦长l＝2× r2－d2 ＝2 4－2 ＝
2 2.

2025年高考数学一轮复习-9.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】

第九章
第四节
直线与圆、圆锥曲线
直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(
×
)
提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两
圆外切或内切,故(3)错误;
(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(
√
)
提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内
切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
3.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12 +12 -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2 =0(22 +22 -
x= 或x+2 y-5 =0
______________________.
【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r= 2;
当过P的直线斜率不存在,即直线方程为
x= 2时,直线与圆C相切;
设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x- 2),即kx-y- 2k+2=0,

高考数学一轮总复习课件：圆的方程及直线与

所以圆的方程为x2＋y2－4x－235y－5＝0. 将D(a，3)代入得a2－4a－21＝0. 解得a＝7或a＝－3(舍)．
(2)(2021·辽宁大连模拟)在直线l：y＝x－1上有两个点A， B，且A，B的中点坐标为(4，3)，线段AB的长度|AB|＝8，则过 A，B两点且与y轴相切的圆的方程为____(_x_－_4_)_2＋__(y_－__3)_2＝__1_6___
解析 (x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1表示圆，则 4m2－5m＋1>0，解得m<14或m>1.
3．(2021·成都七中月考)圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与
x轴相切，则该圆的方程是( B )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
第3课时圆的方程及直线与圆的位置关系
[复习要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程和一般方程.3.掌握直线与圆的位置关系．
课前自助餐
圆的定义平面内到定点的距离__等_于__定_长___的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径．注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为 λ，即||PPAB||＝ λ， ①当 λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当 λ≠1 时，P 点轨迹是圆．
A＝B≠0，
__D_2＋__E_2_－_4_A_F_>_0.
圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为xy＝＝ab＋＋rrcsoinsθθ，(θ 为参数)．
确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程．

高考数学一轮总复习课件：圆与圆的位置关系

【解析】设圆心到直线l：mx＋y＋3m－ 3 ＝0的距离为d，
则弦长|AB|＝2
12－d2 ＝2
3
，得d＝3，即
|3m－ 3| m2＋1
＝3，解得m＝
－ 33，则直线l：x－ 3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝co|sA3B0°| ＝4.
(3)【多选题】已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交
因为kMN＝65－－31＝34，所以两圆的公切线的斜率是－43. 设切线方程为y＝－43x＋b，则有43×143＋23＋－1b＝ 11. 解得b＝133±5 311. 容易验证，当b＝133＋5 311时，直线与后一圆相交，舍去．故所求公切线方程y＝－43x＋133－5 311，即4x＋3y＋5 11－13＝0.
状元笔记
在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若OA⊥OB(O为原点)，则可转化为x1x2＋y1y2＝0，再结合根与系数的关系，代入方程简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的．
(2)若弦AB的中点为(x0，y0)，圆的方程为x2＋y2＝r2， xx1222＋＋yy1222＝＝rr22，，∴k＝yx22－－yx11＝－xy22＋＋xy11＝－xy00.
2＋P→C·(C→B＋C→A)＋C→B·C→A＝|P→C|2－1＝(x－1)2＋(x＋1)2－1＝2x2
＋1，所以P→A·P→B的最小值为1，故选D.
授人以渔
题型一圆与圆的位置关系
例1 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋ m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

2025版高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8.3圆的方程课件

=
0 +3
，
2
=
0 +0
，所以0
2
= 2 − 3，0 = 2.
由①，知点的轨迹方程为 − 1
2
+ 2 = 4 ≠ 0 ，
将0 = 2 − 3，0 = 2代入得 2 − 4
因此动点的轨迹方程为 − 2
2
2
+ 2
2
= 4，即 − 2
+ 2 = 1 ≠ 0 .
= 0.
所以圆的方程为 − 3
2
+ 2 = 2.
4−3
2
+ 1−0
2
= 2.
（方法二）设圆的方程为 −
2
+ −
2
= 2 > 0 .
因为点 4,1 ， 2,1 在圆上，
4−
所以൝
2−
又因为
−1
−2
2
+ 1−
2
+ 1−
2
2
= 2,
= 2.
= −1，解得 = 3， = 0， = 2.
2
+ +
2
= 16.由
4−
2
+ 2 = 16，解得 = 0或 = 4.故所求圆的标准方程为 2 + 2 = 16或
−4
2
+ +4
2
= 16.故填 2 + 2 = 16或 − 4
2
+ +4
2
= 16.
(
（2）过点 4,1 的圆与直线 − − 1 = 0相切于点 2,1 ，则圆的方程为_______
2

高考数学复习考点知识讲解课件44 直线与圆圆与圆的位置关系

— 12 —
(新教材) 高三总复习•数学
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5．(教材P98T3改编)已知直线l：y＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长的范围是(0， 10)，则k的取值范围是____－__13_，__12__∪__12_，__3______．
[解析] 圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线l过定点(2,0)，且点(2,0)在圆C
— 6—
(新教材) 高三总复习•数学
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2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝ 2 r2－d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· xM＋xN2－4xM·xN. 3．两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
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(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
核心考点突破
02
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考点一直线与圆的位置关系的判断——自主练透
对点训练
1．(2022·广东茂名一模)过三点A(0,0)，B(0,2)，C(2,0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k

2025高考数学一轮复习-2.1.2-圆的一般方程【课件】

[跟进训练] 2．已知圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线 x＋y－1＝0 上，且圆心在第二象限，半径长为 2，求圆的一般方程． [解] 圆心 C－D2 ，－E2， ∵圆心在直线 x＋y－1＝0 上， ∴－D2 －E2－1＝0，即 D＋E＝－2.①
又∵半径长 r＝ D2＋2E2－12＝ 2， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得DE＝＝－2，4 或ED＝＝2－. 4，又∵圆心在第二象限，∴－D2 ＜0，即 D＞0. 则DE＝＝－2，4. 故圆的一般方程为 x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
＋Ey0＋F>0．
()
[解析] (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)错误．当 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2<a<23时才表示圆． (4) 正确．因为点 M(x0 ， y0) 在圆外，所以 x0＋D2 2 ＋ y0＋E2 2 >D2＋E42－4F，即 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0. [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
方程
条件
图形
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
x2＋y2＋ Dx＋Ey＋
F＝0
D2＋E2－4F＝0 D2＋E2－4F＞0
表示一个点－D2 ，－E2
表
示
以
－D2 ，－E2
为
圆
心
，
以
1 2
D2＋E2－4F为半径的圆
么？
方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的条件是什
[提示] A＝C≠0，B＝0 且 D2＋E2－4F＞0.
(2)圆心坐标和半径． [解] (2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x ＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.

2025年高考数学总复习课件64第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

有|a|＝4＋1＝5，所以a＝±5；当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，所以a＝±3.
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识落实“四基”
核心考点提升“四能”
核心回扣
圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系
图形
量的关系
课时质量评价
外离
__d_>_r_1_＋__r_2 __
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为 11和 61－m. ①当两圆外切时， 5－1 2+ 6－3 2＝ 11+ 61－m，解得m＝25＋10 11.
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识落实“四基”
②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？解：(方法一：作差法)
核心考点提升“四能”
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识落实“四基”
核心考点提升“四能”
课时质量评价
应用1 圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P 1， 3 处的切线方程为( )
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
√D．x－ 3y＋2＝0
D 解析：圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.因为P 1， 3 在圆Q上，所以所求
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识落实“四基”
核心考点提升“四能”
课时质量评价
2．(教材改编题)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 C．外切
√B．相交
D．相离
B 解析：两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝

高考数学(文通用)一轮复习课件：第八章第3讲圆的方程

第3讲第八章平面解析几何圆的方程教材回顾▼夯实基础1.圆的定义及方程平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）课本温故追根求源标准方程(x —a)2+(y —〃)2=以0>0)心：（…）,半径：丄_____一般方程x2+j2+£>x+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)111半径：|\/z>2+E2-4F心:2•点与圆的位置关系点M（x0,旳）与圆（x—af+（y—b）2=r2的位置关系: (1)若旳)在圆外，贝l|(x0—a)2+(yo—^)2(2)若旳)在圆上，贝!|(xo-a)2+(y o-^)2(3)若为)在圆内，贝!Kx0-«)2+(y0-^)2―\，1.辨明两个易误点⑴求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.(2)对于方程X2+J2+D X+£^+F=0表示圆时易忽视Z)2+ 炉一4尸＞0这一条件.2.求解有关圆的问题的转化路径(1)注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用切割线定理、垂径定理等平面中动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离.(2)在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形.双基自测,1•圆心在丿轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为(A ) A. x 2+(y-2)2=l B. x 2+(y+2)2=l C. (x-1)2+ (y~3)2= 1D. x 2+(y-3)2= 1\ (0—1) 2+ (b_2) —I,解得b=2,故圆的方程为x + (y —2)2=1.2.方程^2+j 2+ 4wx —2j + 5w=0(B ) （0 , b ）,则由题意知,1A•一 svl4r 1C. m<rD. m>l解析：S(W+4-4XSw>0,得m>l.43.圆心在丿轴上且经过点(3, 1)的方程是（B ）A. X2+J2+10J=0B. x2+/-10y = 0C. x2+j2+10x=0 D・ x2+j2—10x=0所以9 +(1—方)2=方「解得方=5.解析：设圆心为(0,b）9半径为八Jl!| r= \b\9x2+(y —bf=b)因为点(3, 1)所以圆的方程为x2+j2—10y=0.4.点(1, 1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内，则实数日的取值范围思’J .解析：因为点(1, 1)在圆的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4, 所以一1<a<1.5.(必修2P124习题4.1 A组T4改编)圆C的圆心在x轴上, 并且过点4(-1, 1)和B(1, 3),则圆C的方程为(X—2)2+j2=10解析：设圆心坐标为C(a, 0),因为点A(-l, 1)和B(l, 3)在圆C所以IC4I= ICBI,即7(a+1)彳+1=7 (a—l) 解得a=2f所以圆心为C(2, 0), 半径IC4I=〈(2+1) 2+1=莎，所以圆C的方程为(X-2)2+/=10.典例剖析▼考点突破*考点一求圆的方程(1)经过卩(一2, 4)、0(3, 一1)两点，并且在兀轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线j=-4x±,且与直线Z ： x+y-l=0相切于点 P(3, -2).［解］⑴设圆的方程为X 2+J 2+D X +E J +F=0, 将P 、0点的坐标名师导悟以例说法根据下列条件，求圆的方程:分别代入得2D-4E-F=20,①3D-E+F=-1Q.②又令J=O,得x2+Z)x+F=0e③设帀，兀2是方程③的两根, 由I X!-X2I=6,有Q2_4F=36，④由①②④解得D=—2, E=—4, F=_8 或D = _6, E= —,F=0・故所求x2+j2—2x—4y—8=0或x2+j2—6x—8j=0.(2站^沿^啟»1窘)2+Q—y o )2H >{yoH— 4X0》(3—XO )2+(—2—YO )2H?-IF +y o —一一—— 刍J求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径, 进而写出方程. (2)待定系数法:①若已知条件与(冷方)和半径/有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于“，"厂的方程组，从而求出“,b,厂的值;②若已知条件没有明确给出般方程，依据已知条件列出关于D, E, F 的方程组，进而求岀D, E, F的值.跟踪训练(2)若不同的四点 4(5, 0)、5(-1, 0)、C(-3, 3)、D(a 9 3) 共圆，求“的值.1.(1)已知圆心为C4(0，-6), 5(1, -5),且|心在直线％兀一丿+1=0上, ;解：（1）法一：设圆的方程为x2+j2+Dx+ Ey+F= 0（^+E2—4F>0）,则圆心坐标为（一£,—「(一6) 2_6E+F=0,由题意可得* I2 + (-5) 2+Z>-5E+F=0,— 2=0,D+E-IO=O,— 2=0,解得*二代入求得i 所以圆的方程为x2+j2+ 6x4- 4j—12= 0,标准方程为(x+ 3)2+ (y+ 2)2= 25.丄11 y+y= — 刁'即 x+y+5=0・法二：因为 A(0, —6), B(l, —5), 所以线段4B 的中点D 的坐标为g ，—因此线段AB 的垂直平分线I 的方程是直线AB 的斜率k AB = —5— ( — 6) iPox+j+5=0,圆心C的坐标是方程组, 的解,lx-j+l=Ox=— 3，解得宀b=_2,所以圆心C的坐标是（一3, -2）.圆的半径长r= IACI =yj (0+3) 2+ (-6+2) 2= 5,所以,心为C的的标准方程是(x+ 3)2+ (y+ 2f= 25.3(2)设过A 、B. C 三点的圆的方程为x 2 +J 2+D X + Ey+F= 0,分别代入A 、B. C 三点坐标，得25+5D+F=0,< l-D+F=0,5>+9-3D+3E+F=0,F=-5.解得D=-4,所以A、B、C三点确定的圆的方程为x2+j2-4x-p-5 因为ZX 偽3）也在此圆上, 所以/+9—4«— 25—5=0.所以a=7或a= —3（舍去）. 即a的值为7.考点二与圆有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题.高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度:(1)半径、面积型最值;⑵斜率型最值;⑶截距型最值;⑷距离型最值.鯉［2 （ 1）（2014-高考江西卷）在平面直角坐标系中分别是兀轴和V轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y_4= 0相切，则圆C面积的最小值为（A ）A 4 口3A•一兀B•一Ji5 4C. （6—2质）兀D.討（2）（2016-河南省豫西五校联考）已知M为圆C：X2+J2-4X 一14丿+45=0上任意一点，且点2（-2, 3）.①求IM0的最大值和最小值；②若M（〃，砒，求三|的最大值和最小值.加十2［解］⑴选A.因为ZAOB=90°,所以点O在圆C上. 设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D,则点C与点O间的距离等于它到直线2x+j-4=0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x+j-4=0为准线的抛物线上，所以当且仅当O, C, D共线时，圆的直径最小为IODI.4 2=质，所以圆C的最小半径为恭，所以圆C面积的最小值为兀1114 亏•IIIf 12X0+0-41 又如=—^―(2)由圆C： x2+j2— 4x— 14y+ 45= 0,可得(x-2)2+(y-7)2 =8,所以圆心C的坐标为(2, 7),半径①I0C1= 7 (2+2) ?+ (7-3) j血所以IMei max= 40+20 = 60, IM0lmin= 40 —2\{2 = 2\[i.②可知表示直线MQ的斜率, 加十2设直线MQ的方程为丿一3=饥兀+2),YI — 3即 kx-y-V 2k-\- 3= 0,则—;—=k.m + 2 由直线M0与圆C 有交点,可得 2—书WEW2+V5,所以所以加+ 2的最大值为2+书, 1小值为2—书.与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如“=巳形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(兀一a)2+® —耐?形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.通关练习2•已知实数x, y满足方程x2+j2— 4x+1= 0.⑴求j-x的j 【大值和最小值;(2)求x2+j2的最大值和最小值.解：原方程可化为(X—2)2+J2=3,表示以(2, 0)为圆心，\[3为半径的圆.(1)丿一兀可看作是直线丿=兀+方在丿轴上的截距，当直线y= x + b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时号解得―朋(如图1).所以y—x的最大值为一2+心,图2（2）X 2+J 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图2）.又圆心到原点的距离为7 （2-0）牛（0一0） 2= 2, 所以x 2+j 2的最大值是（2+书）2=7+4\伎x 2+j 2的最小值是（2—厉）2=7—4\月・1=1oyX2考点三与圆有关的轨迹问题已知圆X2+J2=4±一定点A(2, 0), B(l, 1)为圆内一点，P, 0为圆上的动点.(1)求线段4P中点的轨迹方程；(2)若ZPBQ=W ,求线段P0中点的轨迹方程.［解］⑴设AP 的中点为M(x, j),由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x-2, 2y).故线段AP 中点的轨迹方程为(x-l)2+j 2=l.⑵设 P0 的中点为 j),在 RtZ\PB0 中，I PN\ = \BN\, 设O 为坐标原点，连接ON (图略)，贝!|ON 丄P0,所以IOP|2 = \ON\2+\PN\2=ION?+\BN\29 所以 x 2+j 2+(x —l)2+(y —1)2=4.故线段中点的轨迹方程为x 2+j 2—X —J —1 = 0.因为P+J 2=4±,所以(2X -2)2+(2J )2=4.求与圆有关的轨迹方程的方法直接法L直接根据题设给定的条件列出方程（组）求解的方法定义法一根据圆（或直线）的定义列方程（组）求解的方法跟踪训练 3•已知直角三角形ABC 的斜边为AB,且A(-l, 0), B(3, 0),求：(1)直角顶点C 的轨迹方程; (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程.解：⑴法一：设顶点eg j),因为AC 丄BC,且A 、B 、C 三点不共线，所以兀H3且兀H —1・所以~Z7i =— 1，即 /+丿2— 2x — 3= 0・JL eV因此，直角顶点c 的轨迹方程为x 2-\-y 2— 2x — 3= 0(X7^3且兀工一1).又 kac=x+1法二设AB的中点为D,由中点坐标公式得n(l, 0),由直角三角形的性质知，ICDI=|lABI = 2,由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(l, 0)为圆心，2为半径长的圆(由于4B, C三点不共线，所以应除去与兀轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x—1)2+/= 4(xH 3且xH —1).⑵设点M(x, j),点C(x 0, jo)，因为B(3, 0), M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得兀=迴兰3工3且xHl), y由(1)知，点C 在圆(x-l)2+/= 4(x^3且兀工一1)上运动,将兀o=2x —3, yo=2y 代入该方程得(2x —4『+(2刃2=4,即 (X -2)2+J 2=1(X #：3且兀Hl).因此动点M 的轨迹方程为(兀 —2)2+J 2= 1(兀工 3 且 x#= 1).=Jo + O—2 ,于是有 x 0 = 2x —3, y 0=2y.拓展升华触类旁通考题溯源一一求圆的方程（2015•高考全国卷II）己知三点4（1, 0）,B（0,C（2,厉），则外接圆的圆心到原点的距离为（B.长为2的正三角形，其外接圆的圆心为［解析］法一:设圆的方程为X 2+J 2+Z)X +£J +F=0, ri+D+F=0, 则5 3+\^E+F=0, 解得 D= — 2, E=_誓法二在平面直角坐标系兀Oy 中画出△4BG 易知△ABC 是边咼考题溯源本题源于人教A 版必修2 P122例4 “求过三点M+3+ 2£>+ 应 + F= 0, •因此IODI =0(0, 0), Mi(l, 1), M2(4, 2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标”.考题变式〔如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为方程为闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能解析:因为三角形三边所在的直线方程分别为x+2y—5=0,y—2= 0, x+j—4= 0,所以可得三角形的三个顶点分别是(1, 2), (2, 2), (3, 1). 设三角形外接圆的方x2+j2+Dx+Ey+F= 0,贝||D+2E+F=-5,< 2D+2E+F=一& 3D+E+F=-10,D= _3, 所以\E=-1, 、F=0,所以该三角形外接圆的方程为x2+j2—3x—y= 0,闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能点击链接本部分内容讲解结束闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能。

2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】

5
5 .
考点突破题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例 1 (1)(多选)已知圆 C 被 x 轴分成两部分的弧长之比为 1∶2，且被 y 轴截得的弦
长为 4，当圆心 C 到直线 x＋ 5y＝0 的距离最小时，圆 C 的方程为( AB )
A.(x＋4)2＋(y－ 5)2＝20
B.(x－4)2＋(y＋ 5)2＝20
B( )
5 A. 5
25 B. 5
35 C. 5
45 D. 5
解析由题意可知圆心在第一象限，设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0).
∵圆与两坐标轴均相切，∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2，1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2. 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2) ＝0.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ ) (2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.( × ) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.( × )
A.a＜－2
B.－32＜a＜0
C.－2＜a＜0
D.－2＜a＜23
解析由方程表示圆的条件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，
即 3a2＋4ห้องสมุดไป่ตู้－4＜0，∴－2＜a＜32.
3.过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( C )

高考数学(理)复习第55讲圆的方程

1－a2＋0－a2＝r2 a＝2 得， 2 2 2 ，解得 2 3－x－2)2＋(y－2)2＝5.
(方法二)设所求圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ex＋F＝0，则由条件得
12＋02＋D＋0＋F＝0 32＋02＋3D＋0＋F＝0 D E －＝－ 2 2 D＝－4 ，解得E＝－4 F＝3
解析：设所求方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
22＋－12＋2D－E＋F＝0 2 2 则5 ＋0 ＋5D＋0＋F＝0 2 2 6 ＋ 1 ＋6D＋E＋F＝0 D＝－4 ，解得E＝－8 F＝－5
，
故所求圆的一般方程为 x2＋y2－4x－8y－5＝0.
3．圆 x2－2x＋y2－3＝0 的圆心到直线 x－ 3y－3＝0 的距离为 .
(2)设圆 C 的方程为(x2＋y2－4x＋2y)＋λ(x2＋y2－2y－4) ＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－4x＋(2－2λ)y－4λ＝0，其中 λ≠ －1. λ－1 2 由圆 C( ， )在 2x＋4y＝1 上，得 1＋λ 1＋λ λ－1 2 1 2· ＋4· ＝1，求得 λ＝ . 3 1＋λ 1＋λ 从而可得圆 C 的方程为 x2＋y2－3x＋y－1＝0.
(3) x2＋y2＋2x－4y＋5即为 [x－－1]2＋y－22，可视为点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心 (2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又因为圆心到定点 (－ 1,2)的距离为 34，所以 x2＋y2＋2x－4y＋5 的最大值为 34＋1，最小值为 34－1.
【拓展演练 2】已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求 y－x 的最大值和最小值； (2)求 x2＋y2 的最大值和最小值．