三角函数与平面向量综合问题
人教A版高中数学必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (21)(含答案解析)
必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (21)一、解答题(本大题共30小题,共360.0分)1.平面内给定三个向量a⃗=(3,2),b⃗ =(−1,2),c⃗=(4,1).(Ⅰ)求|3a⃗+b⃗ −2c⃗|;(Ⅱ)求满足a⃗=m b⃗ +n c⃗的实数m和n;(Ⅲ)若(a⃗+k c⃗ )⊥(2b⃗ −a⃗ ),求实数k.2.已知,与的夹角为.(1)求;(2)求为何值时,3.已知向量a⃗=(1,0),|b⃗ |=√2,a⃗、b⃗ 的夹角为45°,c⃗=a⃗+b⃗ ,d⃗=a⃗−b⃗ ,求c⃗在d⃗方向上的数量投影.4.已知向量a⃗=(cosα,sinα),b⃗ =(cosβ,sinβ),c⃗=(−1,0)(1)求向量b⃗ +c⃗的长度的最大值;(2)设α=π,且a⃗⊥(b⃗ +c⃗ ),求cosβ的值。
45.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.6. 如图,平行四边形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,∠DAB =π3.求:(1)|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |; (2)cos∠CAB 的大小.7. 已知飞机从A 地按北偏东30°方向飞行2000km 到达B 地,再从B 地按南偏东30°方向飞行2000km 到达C 地,再从C 地按西南方向飞行 1000√2km 到达D 地.画图表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , BC⃗⃗⃗⃗⃗ , CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,并指出向量 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模和方向.8. 设两个非零向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线.(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ,,求证:A ,B ,D 三点共线; (2)试确定实数k ,使k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ −k b ⃗ 共线.9. 已知平面上一定点O ,不共线的三点A ,B ,C ,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |),λ∈[0,+∞),求证:P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.10. 已知点A(p,t)、B(q,t +4)、C(0,2),O 为坐标原点.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5,求|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围.11.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20km/ℎ,此时水的流向是正东,流速为20km/ℎ.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向.12.已知向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗|=2,|b⃗ |=1,|a⃗−b⃗ |=2,求|a⃗+b⃗ |.13.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角θ=120°,且|a⃗|=4,|b⃗ |=2,求:(1)a⃗⋅b⃗ ;(2)(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−2b⃗ );(3)|a⃗+b⃗ |.14. 在△ABC 中,∠B =120°,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,且|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,试用a ⃗ 、b ⃗ 表示与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量c 0⃗⃗⃗ .15. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥底面ABC ,记a ⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,b ⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,c ⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)用a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 表示AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)若AB 1⊥BC 1,A 1C ⊥BC 1,求证:AB 1=A 1C .16.已知向量a⃗=(1,−2),b⃗ =(−7,−6),求与a⃗+b⃗ 同向,且模等于20的向量c⃗.17.已知a⃗=(−6,8),2a⃗−b⃗ =(2,2),求b⃗ 和|b⃗ |.18.如图,正方形ABCD,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量法证明:(1)PA=EF;(2)PA⊥EF.19.在下图田字格中,以图中的结点为向量的起点或终点.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量;(1)写出与A1A2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量;(2)写出与A1B2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的负向量.(3)写出A1A3⃗⃗⃗⃗⃗ 共20.如图,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,写出与AB线(平行)的向量.21. 设a ⃗ 、b ⃗ 是两个不共线的非零向量(t ∈R ).(1)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗=13(a ⃗ +b ⃗ ),则当实数t 为何值时,A 、B 、C 三点共线? (2)若|a ⃗ |=|b ⃗ |=1,且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°,则当实数x 为何值时,|a ⃗ −x b⃗ |的值最小?22. 已知|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,|a ⃗ −b ⃗ |=√7.求:(1)a ⃗ 与b ⃗ 的夹角;(2)向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的数量投影.23. 在△ABC 中,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,F 、G 分别是DB 、EC 的中点,判别下列命题是否正确.(1)DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和FG⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量; (3)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <FG⃗⃗⃗⃗⃗ .24. 如图,质点O 受到两个力F 1和F 2的作用,已知∠F 1OF 2=135°,|OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8 N ,|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2 N ,求这两个力的合力OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小以及∠FOF 1的大小.25. 已知O 、A 、B 是平面上不共线的三点,记OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,若平面上另一点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ ),求证:A 、B 、C 三点共线,且C 恰为线段的中点.26.已知a⃗=(3,−1),b⃗ =(1,−2),求a⃗⋅b⃗ ,|a⃗|,|b⃗ |,⟨a⃗,b⃗ ⟩.27.已知平面向量a⃗与b⃗ 满足|a⃗|=2,|b⃗ |=1,且a⃗与b⃗ 的夹角为2π.3(1)求|2a⃗+b⃗ |;(2)若2a⃗+b⃗ 与a⃗+λb⃗ (λ∈R)垂直,求λ的值.28.已知,|b⃗ |=4,a⃗与b⃗ 的夹角为135°.求:;(2)|a⃗+b⃗ |.29.已知|a⃗|=|b⃗ |=3,且向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°.求|a⃗+b⃗ |,|a⃗−b⃗ |.30.如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,O为其中心,分别写出:⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点、终点和模;(1)向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量;(2)与向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量.(3)与向量OA【答案与解析】1.答案:解:(Ⅰ)根据题意,向量a ⃗ =(3,2),b ⃗ =(−1,2),c ⃗ =(4,1). 则3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ =(0,6),故|3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ |=6; (Ⅱ)若a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ ,即(3,2)=m(−1,2)+n(4,1), 则有{3=−m +4n 2=2m +n ,解可得{m =59n =89, 故m =59,n =89;(Ⅲ)根据题意,a ⃗ +k c ⃗ =(3+4k,2+k),2b ⃗ −a ⃗ =(−5,2),若(a ⃗ +k c ⃗ )⊥(2b ⃗ −a ⃗ ),则(a ⃗ +k c ⃗ )⋅(2b ⃗ −a ⃗ )=(−5)(3+4k)+2(2+k)=0, 解可得k =−116, 故k =−116.解析:本题考查平面向量数量积的计算,涉及向量的坐标和向量模的计算,属于基础题. (Ⅰ)根据题意,求出3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ 的坐标,由向量模的计算公式计算可得答案;(Ⅱ)根据题意,由向量的坐标计算公式可得若a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ ,必有{3=−m +4n 2=2m +n ,求出m 、n 的值,即可得答案;(Ⅲ)根据题意,求出a ⃗ +k c ⃗ 与2b ⃗ −a ⃗ 的坐标,由向量数量积的计算公式可得(a ⃗ +k c ⃗ )⋅(2b ⃗ −a ⃗ )=0,求出k 的值,即可得答案.2.答案:解:(1)因为|a ⃗ |=4,|b ⃗ |=8,a ⃗ 与b ⃗ 夹角是,所以,因此|a ⃗ +b ⃗ |=√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√42+82+2×(−16)=4√3;(2)因为(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(k a ⃗ −b ⃗ ),所以(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(k a ⃗ −b ⃗ )=k a ⃗ 2−2b ⃗ 2+(2k −1)a ⃗ ⋅b ⃗ =0,整理得16k −128+(2k −1)×(−16)=0, 解得k =−7.即当k =−7值时,(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(k a ⃗ −b ⃗ ).解析:本题考查了向量的数量积和向量垂直的判断与证明,属于基础题.(1)利用向量的数量积计算得a ⃗ ⋅b ⃗ =−16,再利用|a ⃗ |2=a ⃗ 2计算得结论;(2)利用向量垂直得16k −128+(2k −1)×(−16)=0,计算求解即可.3.答案:解:设b ⃗ =(m,n),又|b ⃗ |=√2.所以m 2+n 2=2,因为a⃗ 、b ⃗ 的夹角为45°, 所以cos 45∘=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=m √2=√22,联立方程组, 可解得:{m =1,n =1,或{m =1,n =−1.当b ⃗ =(1,1)时,c ⃗ =(2,1),d ⃗ =(0,−1), 所以c ⃗ 在d⃗ 方向上的数量投影为c ⃗ ⋅d ⃗⃗ |d|=−11=−1;当b ⃗ =(1,−1)时,c ⃗ =(2,−1),d⃗ =(0,1), 所以c ⃗ 在d⃗ 方向上的数量投影为c ⃗ ⋅d ⃗⃗|d|=−11=−1, 综上所述:c ⃗ 在d⃗ 方向上的数量投影为−1解析:本题考查向量的投影以及向量夹角和向量模的计算,首先设b ⃗ =(m,n),利用已知条件求出m ,n 然后分别求出c ⃗ 和d⃗ ,进而通过向量投影公式求出结果,属于基础题. 4.答案:解:,c ⃗ =(−1,0),∴b ⃗ +c ⃗ =(−1+cosβ,sinβ),=√2−2cosβ,当cosβ=−1时,上式取最大值2; (2)由(1)知,b ⃗ +c ⃗ =(−1+cosβ,sinβ),当α=π4时, a ⃗ =(√22,√22), 由向量垂直可得a ⃗ ·(b ⃗ +c ⃗ )=0, 故√22(−1+cosβ)+√22sinβ=0, 由三角函数公式化简可得sin(β+π4)=√22,∴β+π4=2kπ+π4,或β+π4=2kπ+3π4,k ∈Z ,故β=2kπ或β=2kπ+π2,k ∈Z , ∴cosβ=1或0.解析:本题考查平面向量和三角函数的综合,解决问题的关键是熟练掌握先关的结论. (1)由已知可得b ⃗ +c ⃗ 坐标,可得|b ⃗ +c ⃗ |,由三角函数最值可得答案;(2)由(1)可得向量坐标,由垂直可得数量积为0,由等式和三角函数可得sin(β+π4)=√22,可得β=2kπ或β=2kπ+π2,k ∈Z ,求其余弦值可得答案.5.答案:解:设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a →,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b →,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a →−b →,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a →+b →, 而|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a →−b →|=√a →2−2a →·b →+b →2=√1+4−2a →·b →=√5−2a →·b →=2, 所以5−2a →·b →=4,所以a →·b →=12,又|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|a →+b →|2=a →2+2a →·b →+b →2=1+4+2a →·b →=6, 所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6, 即AC =√6.解析:【试题解析】本题考查了向量的线性运算,考查了向量的数量积,根据条件可以得到BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a →−b →,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a →+b →,然后由向量数量积求解即可.6.答案:解:(1)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵AB =2,AD =4, ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4, ∴|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=16+4−2×4=12, ∴|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3. (2)由|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=16+4+2×2×4×cos60°=28, 故|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√7, 在△ABC 中,AB =2,AC =2√7,BC =4, 根据余弦定理得出:cos∠CAB =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=2×2×2√7=2√77.解析:本题综合考察了平面向量的运算,几何意义,三角形中的定理,考察了学生的计算能力,运用图形的能力.(1)根据向量的加法几何意义得出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4,再求解|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2,即可得出|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | (2)在△ABC 中,AB =2,AC =2√7,BC =4,运用余弦定理求解即可.7.答案:解:以A 为原点,正东方向为x 轴正方向,正北方向为y 轴正方向建立直角坐标系.据题设,B 点在第一象限,C 点在x 轴正半轴上,D 点在第四象限,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 如图所示,由已知可得△ABC 为正三角形,所以AC =2000km .又∠ACD =45°,CD =1000√2 km ,所以△ADC 为等腰直角三角形, 所以AD =1000√2 km ,∠CAD =45°. 故向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为1000√2 km ,方向为东南方向.解析:本题主要考查平面向量问题有生产生活中的实际应用,是中档题,解题认真审题,注意向量加法法则和数学结合思想的合理运用,是高考中常见的题型.8.答案:(1)证明:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +8b ⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a ⃗ −b ⃗ ).∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +8b ⃗ +3(a ⃗ −b ⃗ ) =2a ⃗ +8b ⃗ +3a ⃗ −3b ⃗=5(a ⃗ +b ⃗ )=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, 又它们有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线.(2)解:∵k a ⃗ −b ⃗ 和a ⃗ −k b ⃗ 共线, ∴存在实数λ,使k a ⃗ −b ⃗ =λ(a ⃗ −k b ⃗ ), 即k a ⃗ −b ⃗ =λa ⃗ −λk b ⃗ , ∴(k −λ)a ⃗ =(1−λk)b ⃗ . ∵a ⃗ ,b ⃗ 是不共线的两个非零向量, ∴k −λ=1−λk =0, ∴k 2−1=0,∴k =±1.解析:略9.答案:证明:如图所示,因为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |均为单位向量,且两向量方向分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向. 记AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |, 由向量加法的几何意义知AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |对应一个平行四边形AMQN 的对角线AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又因为|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=1, 所以▱AMQN 是菱形. 所以AQ 在∠BAC 的平分线上.因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以点P 在∠BAC 的平分线上,即P 的轨迹必过△ABC 的内心.解析:本题考查平面向量的加减运算和向量运算的平行四边形法则,先根据AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的单位向量,判断AQ 在∠BAC 的平分线上,确定OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP⃗⃗⃗⃗⃗ ,据此可判断. 10.答案:解:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(q −p,4),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2),而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴2(q −p)=0,即p =q ,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(p,t)⋅(p,t +4)=p 2+t 2+4t =5.∴|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=p2+t2=5−4t,∵p2+t2+4t=5,∴p2=5−t2−4t≥0,解得−5≤t≤1,1≤|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2≤25,∴1≤|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |≤5.|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围:[1,5].解析:通过向量平行,推出p=q,利用向量的数量积,求解p,t的关系式,通过p2=5−t2−4t≥0求解即可.本题考查向量的数量积的应用,向量的模的求法,考查转化思想以及计算能力.11.答案:解:建立如图所示的直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度为|v1⃗⃗⃗⃗ |=20(km/ℎ),水流的方向为正东,速度为|v2⃗⃗⃗⃗ |=20(km/ℎ),设帆船行驶的速度为v⃗,则v⃗=v1⃗⃗⃗⃗ +v2⃗⃗⃗⃗ .由题意,可得向量,向量v2⃗⃗⃗⃗ =(20,0),则帆船的行驶速度v⃗=v1⃗⃗⃗⃗ +v2⃗⃗⃗⃗ =(10,10√3)+(20,0)=(30,10√3),所以.因为tanα=10√330=√33(α为v和v2的夹角,α为锐角),所以α=30°.所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度为20√3km/h.解析:本题考查了向量的物理运用、向量的模和平面向量的坐标运算,建立如图所示的直角坐标系,设帆船行驶的速度为v ⃗ ,则v ⃗ =v 1⃗⃗⃗⃗ +v 2⃗⃗⃗⃗ .由向量坐标运算得出v⃗ ,再求模即可. 12.答案:解:|a ⃗ −b ⃗ |2=(a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ·b ⃗ =4+1−2a ⃗ ·b ⃗ =4, 故a ⃗ ·b ⃗ =12,|a ⃗ +b ⃗ |=√(a ⃗ +b ⃗ )2=√4+1+2×12=√6.解析:此题考查向量的模,属于基础题.将|a ⃗ −b ⃗ |=2完全平方求得a ⃗ ·b ⃗ ,进而再对|a ⃗ +b ⃗ |平方求解即可.13.答案:解:(1)a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ=4×2×cos120°=−4.(2)(a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −2b ⃗ )=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=16+4−8=12. (3)|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−8+4=12,∴|a ⃗ +b ⃗ |=√12=2√3.解析:本题考查了平面向量的数量积运算,以及向量的模,属于基础题. (1)利用数量积的定义进行计算; (2)利用数量积的运算法则展开计算; (3)先计算(a ⃗ +b ⃗ )2,再开方即可.14.答案:解:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ , ∴与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量c 0⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1919(a ⃗ +b⃗ ).解析:此题考查了平面向量的知识.注意掌握单位向量,三角形法则以及向量的坐标运算. 由在直角三角形ABC 中,∠B =120°,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 且|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,直接利用AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量c 0⃗⃗⃗ ▱AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a⃗ +b ⃗ |a ⃗ +b⃗ |求解即可求得答案. 15.答案:(1)解:AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −a ⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ ; (2)证明:∵AA 1⊥底面ABC ,∴AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB , ∴a ⃗ ·c ⃗ =0,a ⃗ ·b ⃗ =0, ∵AB 1⊥BC 1,∴(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0,∴|a ⃗ |2−|b ⃗ |2+a ⃗ ·c ⃗ +b ⃗ ·c ⃗ =|a ⃗ |2−|b ⃗ |2+b ⃗ ·c ⃗ =0,∵A 1C ⊥BC 1,∴(c ⃗ −a ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0,∴|c ⃗ |2−|a ⃗ |2−b ⃗ ·c ⃗ =0, ∴|b ⃗ |2=|c ⃗ |2,∴|b ⃗ |=|c ⃗ |,即AB 1=A 1C .解析:本题考查向量线性运算、向量数量积、向量的模,属于基础题. (1)由向量加减法可得BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ ; (2)由题意得(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0,且(c ⃗ −a ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0,化简得 |b ⃗ |2=|c ⃗ |2,即可得AB 1=A 1C .16.答案:解:∵向量a ⃗ =(1,−2),b ⃗ =(−7,−6),∴a ⃗ +b ⃗ =(−6,−8),与之同向的单位向量为c 0⃗⃗⃗ =(−35,−45), 故:c ⃗ =20c 0⃗⃗⃗ =(−12,−16).解析:本题主要考查了向量的模以及向量同向共线的概念,平面向量的坐标运算,属于基础题. 先求出与a ⃗ +b ⃗ 同向的单位向量为c 0⃗⃗⃗ =(−35,−45),再由c ⃗ =20c 0⃗⃗⃗ 可得结论.17.答案:解:由题意可得:b ⃗ =2a ⃗ −(2,2)=2(−6,8)−(2,2)=(−12,16)−(2,2)=(−14,14), 那么|b ⃗ |=√(−14)2+142=14√2,综上所述,结论为:b ⃗ =(−14,14),|b ⃗ |=14√2.解析:本题主要考查平面向量的坐标运算,以及向量的模,属于基础题. 直接利用平面向量的坐标运算可的结论.18.答案:证明:(1)建立如图所示坐标系,设正方形边长为1,设| DP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ,则A(0,1), P(√22λ, √22λ),E(1, √22λ),F(√22λ,0), ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22λ,1− √22λ), EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( √22λ−1,− √22λ), | PA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(−√22λ)2+(1−√22λ)2=λ2− √2λ+1 , | EF |2=( √22λ−1)2+(− √22λ)2=λ2− √2λ+1,∴| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=| EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故PA =EF ; (2)由(1)可得: PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(− √22λ)( √22λ−1)+(1− √22 λ)(− √22λ)=0, ∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⊥EF .解析:略19.答案:解:(1)A 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1C 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 2C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)A 1C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 2C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 2A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 3A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 3A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)A 3A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 3C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗解析:本题考查向量相等、平行、相反的概念,属于基础题, (1)根据向量相等的概念求解即可; (2)根据向量平行的概念求解即可; (3)根据向量相反的概念求解即可.20.答案:解:∵点D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的中点,∴AB//EF ,AC//DE ,BC//DF ,∴与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量有BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ 。
专题二 三角函数与平面向量的综合应用
的参数 A,ω ,φ,从图象的特征上寻找答案,A 主要由最值 确定,ω 是由周期确定,周期通过特殊点观察求得,如相邻 两个最大、最小值点相差半个周期,φ 可由点在函数图象上 求得,确定 φ 值时,注意它的不惟一性.如果函数的最大值 与最小值不互为相反数,说明解析式为 y=Asin( ω x+φ)+k 的形式.设最大值为 m,最小值为 n,则 A+k=m,-A+k m-n m+n =n,从而 A= 2 ,k= 2 .
π 由图象最高点为 , 3得 6
(2)由 (1)知,函数的最小值为- 3; π π π 由 2x+ =2kπ- ,k∈Z,得 x=kπ- ,k∈ Z, 6 2 3 π ∴函数取得最小值时自变量 x 的集合为x|x=kπ- , k∈ Z. 3
探究提高
确定函数关系式 y=Asin( ω x+φ)就是确定其中
题型分类 深度剖析
题型一 三角函数的化简求值问题 3 1 1 例1 求 2 - 2 · 的值. sin 140° cos 140° 2sin 10°
思维启迪 从角、函数名称、式子结构入手找其
特征,构造“相消”、“约分”或构造特殊角.
3cos2140° - sin2140° 1 解 原式= · sin2140° cos2140° 2sin 10° 3cos240° - sin240° 1 = · sin240° cos240° 2sin 10° ( 3cos 40° - sin 40° )( 3cos 40° + sin 40° ) 1 = · 1 2 2sin 10° sin 80° 4 2sin(60° - 40° )· 2sin(60° + 40° ) 1 = · 1 2 2sin 10° cos 10° 4 8sin 20° sin 100° 16sin 10° · cos210° = = = 16. cos210° · sin 10° cos210° · sin 10° π 探究提高 若 α+β=π,则 sin α=sin β;若 α+β=2,
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一:三角函数的图象和性质1.注意对基本三角函数y =sin x ,y =cos x 的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y =A sin(ωx +φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解. 2.解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x +b cos x 的形式. (2)构造f (x )=a 2+b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2+b 2·sin x +b a 2+b 2·cos x . (3)和角公式逆用,得f (x )=a 2+b 2sin(x +φ)(其中φ为辅助角). (4)利用f (x )=a 2+b 2sin(x +φ)研究三角函数的性质. (5)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π2,其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0.(1)求ω;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4上的最小值.【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6+sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π2,所以f (x )=32sin ωx -12cos ωx -cos ωx =32sinωx -32cos ωx =3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx -32cos ωx =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0,所以ωπ6-π3=k π,k ∈Z .故ω=6k +2,k ∈Z .又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,所以g (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4-π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4,所以x -π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3,当x -π12=-π3,即x =-π4时,g (x )取得最小值-32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养,将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数,从而便于对性质的研究,考查数学建模的核心素养.【突破训练1】 设函数f (x )=32-3sin 2ωx -sin ωx cos ωx (ω>0),且y =f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值;(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π,3π2上的最大值和最小值. 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )=32-3·1-cos2ωx 2-12sin2ωx =32cos2ωx -12sin2ωx = -sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx -π3.因为y =f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,故该函数的周期T =4×π4=π.又ω>0,所以2π2ω=π,因此ω=1.(2)由(1)知f (x )=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3.当π≤x ≤3π2时,5π3≤2x -π3≤8π3,所以-32=sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3≤sin 5π2=1,所以-1≤f (x )≤32,即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π,3π2上的最大值和最小值分别为32,-1.▶▶题型二 解三角形1.高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力;(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题. 2.用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步:找条件,寻找三角形中已知的边和角,确定转化方向.第二步:定工具,根据已知条件和转化方向,选择使用的定理和公式,实施边角之间的转化. 第三步:求结果,根据前两步分析,代入求值得出结果.第四步:再反思,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.【例2】 在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且cos(C +B)cos(C -B)=cos2A -sin Csin B . (1)求A ;(2)若a =3,求b +2c 的最大值. 【答案】见解析【解析】(1)cos(C +B)cos(C -B)=cos2A -sinCsinB =cos2(C +B)-sinCsinB ,则cos(C +B)[cos(C -B)-cos(C +B)]=-sinCsinB ,则-cosA·2sinCsinB=-sinCsinB ,可得cosA =12,因为0<A <π,所以A=60°.(2)由a sinA =b sinB =csinC =23,得b +2c =23(sinB +2sinC)=23[sinB +2sin(120°-B)]=23(2sinB+3cosB)=221sin(B +φ),其中tanφ=32,φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,2π3得B +φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,7π6,所以sin(B +φ)的最大值为1,所以b +2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系,从而求得三角形的部分度量关系,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a >b ,a =5,c =6,sin B =35.(1)求b 和sin A 的值; (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A +π4的值.【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中,因为a >b ,故由sin B =35,可得cos B =45.由已知和余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B=13,所以b =13.由正弦定理得sin A =a sin B b =31313. (2)由(1)及a <c ,得cos A =21313,所以sin2A =2sin A cos A =1213,cos2A =1-2sin 2A =-513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A +π4=sin2A cos π4+cos 2A ·sin π4=7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1.三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面:(1)以三角函数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式;(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、余弦定理解决问题.2.(1)向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,注意角的范围对变形过程的影响. 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )=a ·b ,其中a =(2cos x ,-3sin2x ),b =(cos x,1),x ∈R .(1)求函数y =f (x )的单调递减区间;(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,f (A )=-1,a =7,且向量m =(3,sin B )与n =(2,sin C )共线,求边长b 和c 的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )=a ·b =2cos 2x -3sin2x =1+cos2x -3sin2x =1+2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3,由2k π≤2x +π3≤2k π+π(k ∈Z ),解得k π-π6≤x ≤k π+π3(k ∈Z ),所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π6,k π+π3(k ∈Z ).(2)因为f (A )=1+2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A +π3=-1,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A +π3=-1.因为0<A <π,所以π3<2A +π3<7π3,所以2A +π3=π,即A =π3.因为a =7,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-3bc =7.①因为向量m =(3,sin B )与n =(2,sin C )共线,所以2sin B =3sinC . 由正弦定理得2b =3c ,② 由①②可得b =3,c =2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ,且32AB →·AC →=S ,|AC →-AB →|=3.(1)若f (x )=2cos(ωx +B )(ω>0)的图象与直线y =2相邻两个交点间的最短距离为2,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16=1,求△ABC 的面积S ;(2)求S +3 3 cos B cos C 的最大值. 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 因为32AB →·AC →=S ,所以32bc cos A =12bc sin A , 解得tan A =3,所以A =π3.由|AC →-AB →|=3得|BC →|=a =3.(1)因为f (x )=2cos(ωx +B )(ω>0)的图象与直线y =2相邻两个交点间的最短距离T =2,即2πω=2,解得ω=π,故f (x )=2cos(πx +B ).又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6+B =1,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+B =12.因为B 是△ABC 的内角,所以B =π6,从而△ABC 是直角三角形,所以b =3,所以S △ABC =12ab =332.(2)由题意知A =π3,a =3,设△ABC 的外接圆半径为R ,则2R =a sin A = 332=23,解得R =3,所以S+33cos B cos C =12bc sin A +33cos B cos C =34bc +33cos B cos C =33sin B sin C +33cos B cos C =33cos(B -C ),故S +33cos B cos C 的最大值为3 3.。
高三数学三角函数综合试题答案及解析
高三数学三角函数综合试题答案及解析1.已知函数,则的值为 .【答案】.【解析】∵,两边求导,∴,令,得,∴,∴,即.【考点】导数的运用.2.已知函数.(1)求的最小正周期和最小值;(2)若,且,求的值.【答案】(1),;(2).【解析】(1)首先根据二倍角公式进行化简,并将函数的解析式化为的形式,然后利用最小正周期公式,最小值为,可得结果;(2)将代入,化简,利用得到三角函数值,根据,得到的值.此题考察三角函数的化简求值,属于基础题.试题解析:(1)解:, 4分,,所以的最小正周期为,最小值为. 8分(2)解:,所以, 11分因为,,所以,因此的值为. 13分【考点】1.三角函数的化简;2.三角函数的求值.3.函数的值域为.【答案】【解析】令,则.【考点】1、三角函数;2、二次函数;3、换元法.4.已知,,则x= .(结果用反三角函数表示)【答案】【解析】本题关键是注意反三角函数值的取值范围,适当利用诱导公式,,,而,故,即.【考点】反正弦函数.5.已知函数.(Ⅰ)求的单调减区间;(Ⅱ)求在区间上最大值和最小值.【答案】(Ⅰ)函数的单调减区间是:;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)将降次化一,化为的形式,然后利用正弦函数的单调区间,即可求得其单调递增区间.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,又的范围为,由此可得的范围,进而求得的范围.试题解析:.函数的单调减区间是:.的范围为,所以,所以即:【考点】1、三角恒等变换;2、三角函数的单调区间及范围.6.如图,两座建筑物的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9和15,从建筑物的顶部看建筑物的视角.⑴求的长度;⑵在线段上取一点点与点不重合),从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时,最小?【答案】⑴;⑵当为时,取得最小值.【解析】⑴根据题中图形和条件不难想到作,垂足为,则可题中所有条件集中到两个直角三角形中,由,而在中,再由两角和的正切公式即可求出的值,又,可求出的值;⑵由题意易得在两直角三角形中,可得,再由两角和的正切公式可求出的表达式,由函数的特征,可通过导数求出函数的单调性和最值,进而求出的最小值,即可确定出的最小值.试题解析:⑴作,垂足为,则,,设,则 2分,化简得,解之得,或(舍)答:的长度为. 6分⑵设,则,. 8分设,,令,因为,得,当时,,是减函数;当时,,是增函数,所以,当时,取得最小值,即取得最小值, 12分因为恒成立,所以,所以,,因为在上是增函数,所以当时,取得最小值.答:当为时,取得最小值. 14分【考点】1.两角和差的正切公式;2.直角三角形中正切的表示;3.导数在函数中的运用7.已知以角为钝角的的三角形内角的对边分别为、、,,且与垂直.(1)求角的大小;(2)求的取值范围【答案】(1);(2).【解析】(1)观察要求的结论,易知要列出的边角之间的关系,题中只有与垂直提供的等量关系是,即,这正是我们需要的边角关系.因为要求角,故把等式中的边化为角,我们用正弦定理,,,代入上述等式得,得出,从而可求出角;(2)要求的范围,式子中有两个角不太好计算,可以先把两个角化为一个角,由(1),从而,再所其化为一个三角函数(这是解三角函数问题常用方法),下面只要注意这个范围即可.试题解析:1)∵垂直,∴(2分)由正弦定理得(4分)∵,∴,(6分)又∵∠B是钝角,∴∠B(7分)(2)(3分)由(1)知A∈(0,),, (4分),(6分)∴的取值范围是(7分)【考点】(1)向量的垂直,正弦定理;(2)三角函数的值域.8.已知向量,,(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)在中,角的对边分别是,且满足,求函数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角函数的值域等基础知识,考查运用三角公式进行三角变换的能力和基本的运算能力.第一问,利用向量的数量积将坐标代入得表达式,利用倍角公式、两角和的正弦公式化简表达式,因为,所以得到,而所求中的角是的2倍,利用二倍角公式计算;第二问,利用余弦定理将已知转化,得到,得到,得到角的范围,代入到中求值域.试题解析:(Ⅰ)∵,而,∴,∴,(Ⅱ)∵,∴,即,∴,又∵,∴,又∵,∴,∴.【考点】1.向量的数量积;2.倍角公式;3.两角和与差的正弦公式;4.余弦公式;5.三角函数的值域.9.若,且,则 ( )A.B.C.D.【答案】B.【解析】,故选B.【考点】1.三角函数诱导公式;2.三角函数平方关系.10.在△ABC中,角均为锐角,且,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形【答案】D.【解析】又角均为锐角,则且中,,故选D.【考点】1.诱导公式;2.正弦函数的单调性.11.已知函数为常数).(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)若时,的最小值为,求a的值.【答案】(Ⅰ)的最小正周期;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)求函数的最小正周期,由函数为常数),通过三角恒等变化,把它转化为一个角的一个三角函数,从而可求函数的最小正周期;(Ⅱ)利用三角函数的图像,及,可求出的最小值,让最小值等于,可求出a的值.试题解析:(Ⅰ)∴的最小正周期(Ⅱ)时,时,取得最小值【考点】三角函数的性质.12.已知函数.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)函数.通过二倍角的逆运算将单角升为二倍角,再化为一个三角函数的形式,从而求出函数的周期.(2)x的范围是所以正弦函数在是递增的.所以f(x)的范围是本题考查三角函数的单调性,最值,三角函数的化一公式,涉及二倍角的逆运算等.三角函数的问题要关注角度的变化,角度统一,二次式化为一次的,三角函数名称相互转化.切化弦,弦化切等数学思想.试题解析:(1) 4分6分故的最小正周期为 8分(2)当时, 10分故所求的值域为 12分【考点】1.三角函数的化一公式.2.二倍角公式.3.函数的单调性最值问题.13.下列命题中:函数的最小值是;②在中,若,则是等腰或直角三角形;③如果正实数满足,则;④如果是可导函数,则是函数在处取到极值的必要不充分条件.其中正确的命题是_____________.【答案】②③④.【解析】当,等号成立时当且仅当“即”,显然不成立,则命题①不正确;在中,若,则或,则是等腰或直角三角形,故②正确;由,因为正实数,满足,所以,故③正确;如果是可导函数,若函数在处取到极值,则,当,,但函数在处无极值,则是函数在处取到极值的必要不充分条件,故④正确.【考点】基本不等式、三角函数性质、不等式及导数的性质.14.已知向量,函数.(1)求函数的最小正周期;(2)已知分别为内角、、的对边, 其中为锐角,且,求和的面积.【答案】(1);(2).【解析】(1)根据题意,再利用二倍角公式及辅助角公式将化简为;(2)将代入,得,因为,所以,再利用余弦定理,解出,最后根据三角形面积公式求出. 试题解析:(1)由题意所以.由(1),因为,所以,解得.又余弦定理,所以,解得,所以.【考点】1.三角函数恒等变形;2.三角函数周期;3.余弦定理及三角形面积公式.15.已知,,其中,若函数,且函数的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为.(l)求的值;(2)在△ABC中,以a,b,c(分别是角A,B,C的对边,且,求△ABC周长的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)先根据,结合二倍角公式以及和角公式化简,求得,函数最大值是,那么函数的图像与直线两相邻公共点间的距离正好是一个周期,然后根据求解的值;(2)先将代入函数的解析式得到:,由已知条件以及,结合三角函数的图像与性质可以解得,所以,由正弦定理得,那么的周长可以表示为:,由差角公式以及和角公式将此式化简整理得,,结合角的取值以及三角函数的图像与性质可得.试题解析:(1), 3分∵,∴函数的周期,∵函数的图象与直线两相邻公共点间的距离为.∴,解得. 4分(2)由(Ⅰ)可知,,∵,∴,即,又∵,∴,∴,解得. 7分由正弦定理得:,所以周长为:, 10分,所以三角形周长的取值范围是. 12分【考点】1.和角公式;2.差角公式;3.二倍角公式;4.三角函数的图像与性质;5.正弦定理16.已知向量,(Ⅰ)当时,求的值;(Ⅱ)求函数在上的值域.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)本小题主要利用向量平行的坐标运算得到,然后解出,再利用二倍角正切公式可得;(Ⅱ)本小题首先化简函数解析式,然后根据三角函数的图像与性质,得到三角函数的取值范围,进而求值域;试题解析:(Ⅰ),, 2分即,, 4分6分(Ⅱ)=10分,12分,即 14分【考点】1.平行向量;2.三角函数的图像与性质.17.已知 .【答案】【解析】.【考点】1.两角差的正切公式;2.三角函数的拆角方法.18.已知∈(,),sin=,则tan()等于()A.-7B.-C.7D.【答案】A.【解析】由题意,则.【考点】三角函数运算.19.在中,的对边分别为且成等差数列.(1)求B的值;(2)求的范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)对于三角形问题中的边角混合的式子,可以利用正弦定理和余弦定理边角转化,或边化角转化为三角函数问题,或角化边转化为代数问题来处理,该题由等差中项列式,再利用正弦定理边化角为,,又根据三角形内角的关系,得,进而求;(2)由(1)得,可得,代入所求式中,化为自变量为的函数解析式,再化为,然后根据的范围,确定的范围,进而结合的图象确定的范围,进而求的范围.试题解析:(1)成等差数列,∴,由正弦定理得,,代入得,,即:,,又在中,,∵,∴;(2)∵,∴,∴===,∵,∴,∴,∴的取值范围是.【考点】1、等差中项;2、正弦定理;3、型函数的值域.20.取得最小值a时,此时x的值为b,则取得最大值时,的值等于________。
三角函数题型及解法
高中数学常见三角函数题型及解法近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查,而重点转移对三角函数的图象与性质的考查,对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时,也直接考查了三角函数的性质及图象的变换,降低了对三角函数恒等变形的要求,加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格,尽管命题的背景上有所变化,但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后,新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容,它们会吸引命题者关注的目光.三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。
1、三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.例1(10全I 卷理2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒= A.21k k - B.-21k k - C.21k - D.-21k- 解: 222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,∴tan100tan80︒=-2sin 801.cos80k k-=-=-。
故选B 评注:本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式,并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2(10全1卷文1)cos300︒=(A)32- (B)-12(C)12(D) 32 解:()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒= 评注:本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识2、三角函数的化简求值这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用,变形运用和、差、倍角公式和诱导公式,进行化简、求值.例3(10重文数15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ,各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=,则232311cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________解:232312311cos cos sin sin cos 33333ααααααααα++++-=又 1232αααπ++=,∴1231cos 32ααα++=- 评注:本题以过同一点的三段圆弧为背景,考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧,将已知与求解合理转化,从而达到有效地求解目的.例4(10全1理数14)已知α为第三象限的角,3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . 解: α为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ232+k∴ππ24+k <2α<ππ34+k (Z K ∈)又 3cos 25α=-<0,∴4sin 25α=,∴sin 24tan 2cos 23ααα==- ∴tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+. 评注:本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。
【巧解妙解】高考数学向量与其他问题结合的经典题型
平面向量综合应用与解题技巧【命题趋向】由2019年高考题分析可知:1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右.2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为:1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式.5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题. 【例题解析】1. 向量的概念,向量的基本运算(1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1(北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0,那么( ) A.AO OD = B.2AO OD = C.3AO OD = D.2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力.解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A . 例2.(安徽卷)在ABCD 中,,,3AB a AD b AN NC ===,M 为BC 的中点,则MN =______.(用a b 、表示)命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+由得,12AM a b =+,所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+. 例3.(广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量=( ) (A )BA BC 21+- (B ) 21--(C ) 21- (D )21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解:21+-=+=,故选A.例4. (重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 (C )⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 (D )⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解:设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-==- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5.(天津卷)设向量a 与b 的夹角为θ,且)3,3(=a,)1,1(2-=-a b ,则=θcos __. 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅===⋅+例6.(2006年湖北卷)已知向量()3,1a =,b 是不平行于x 轴的单位向量,且3a b ⋅=,则b = ()(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 (C )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 (D ) ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠,则依题意有1,y +=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ,满足2i i b a =,且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向,其中1,2,3i =,则( )(A )1230b b b -++= (B )1230b b b -+= (C )1230b b b +-= (D )1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法:∵1230a a a ++=,∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3),分别按顺时针旋转30 后与i b 重合,故1230b b b ++=,应选D.巧妙解法:令1a =0,则2a =3a -,由题意知2b =3b -,从而排除B ,C ,同理排除A ,故选(D). 点评:巧妙解法巧在取1a =0,使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题,由于结合性强,因而综合能力较强,所以复习时,通过解题过程,力争达到既回顾知识要点,又感悟思维方法的双重效果,解题要点是运用向量知识,将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题,如垂直、平行、共线等,此类题综合性比较强,难度大. 例8.(2007年陕西卷理17.)设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π,(Ⅰ)求实数m 的值;(Ⅱ)求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解:(Ⅰ)()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++,由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得1m =.(Ⅱ)由(Ⅰ)得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭,∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,()f x 的最小值为1,由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z , 例2.(2007年陕西卷文17)设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.(Ⅰ)求实数m 的值; (Ⅱ)求函数)(x f 的最小值.解:(Ⅰ)()(1sin )cos f x m x x ==++a b ,πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得1m =.(Ⅱ)由(Ⅰ)得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭,∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,()f x 的最小值为1例9.(湖北卷理16)已知ABC △的面积为3,且满足06AB AC ≤≤,设AB 和AC 的夹角为θ. (I )求θ的取值范围;(II )求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大 解:(Ⅰ)设ABC △中角A B C ,,的对边分别为a b c ,,, 则由1sin 32bc θ=,0cos 6bc θ≤≤,可得0cot 1θ≤≤,ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴.(Ⅱ)2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∵,ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,,π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤.即当5π12θ=时,max ()3f θ=;当π4θ=时,min ()2f θ=. 例10.(广东卷理)已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0) (1)若c=5,求sin ∠A 的值;(2)若∠A 为钝角,求c 的取值范围; 解:(1)(3,4)AB =--,(3,4)AC c =--,若c=5, 则(2,4)AC =-,∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=sin ∠A ; (2)∠A 为钝角,则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >,∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11.(山东卷文17)在ABC △中,角A B C ,,的对边分别为tan a b c C =,,,(1)求cos C ;(2)若52CB CA =,且9a b +=,求c .解:(1)sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±. tan 0C >,C ∴是锐角. 1cos 8C ∴=. (2)52CB CA =, 5cos 2ab C ∴=,20ab ∴=. 又9a b += 22281a ab b ∴++=. 2241a b ∴+=.2222cos 36c a b ab C ∴=+-=.6c ∴=.例12. (湖北卷)设函数()()f x a b c =⋅+,其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.(Ⅰ)求函数()x f 的最大值和最小正周期;(Ⅱ)将函数()x f y =的图像按向量d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力.解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=a ·(b c +)=(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx -3cosx)=sin 2x -2sinxcosx+3cos 2x =2+cos2x -sin2x =2+2sin(2x+43π).所以,f(x)的最大值为2+2,最小正周期是22π=π.(Ⅱ)由sin(2x+43π)=0得2x+43π=k.π,即x =832ππ-k ,k ∈Z ,于是d =(832ππ-k ,-2),(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数,要使d 最小,则只有k =1,此时d =(―8π,―2)即为所求.例13.(2006年全国卷II )已知向量a =(sin θ,1),b =(1,cos θ),-π2<θ<π2.(Ⅰ)若a ⊥b ,求θ;(Ⅱ)求|a +b |的最大值. 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识,考查推理和运算能力.解:(Ⅰ)若a ⊥b ,则sin θ+cos θ=0,由此得 tan θ=-1(-π2<θ<π2),所以 θ=-π4;(Ⅱ)由a =(sin θ,1),b =(1,cos θ)得|a +b |=(sin θ+1)2+(1+cos θ)2=3+2(sin θ+cos θ)=3+22sin(θ+π4),当sin(θ+π4)=1时,|a +b |取得最大值,即当θ=π4时,|a +b |最大值为2+1.例14.(2006年陕西卷)如图,三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈(I )求动直线DE 斜率的变化范围; (II )求动点M 的轨迹方程。
高考数学常考知识点总结
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平面向量与三角函数、解三角形的综合习题
三角函数与平面向量、解三角形综合题题型一:三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角,且A +B +C =π.若向量→p =(2-2sinA ,cosA +sinA)与向量→q =(cosA -sinA ,1+sinA)是共线向量.(Ⅰ)求角A ;(Ⅱ)求函数y =2sin 2B +cos C -3B2的最大值.题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】已知向量→a =(3sinα,cosα),→b =(2sinα,5sinα-4cosα),α∈(3π2,2π),且→a ⊥→b .(Ⅰ)求tanα的值;(Ⅱ)求cos(α2+π3)的值.题型三. 三角函数与平面向量的模的综合【例3】 已知向量→a =(cosα,sinα),→b =(cosβ,sinβ),|→a -→b |=25 5.(Ⅰ)求cos(α-β)的值;(Ⅱ)若-π2<β<0<α<π2,且sinβ=-513,求sinα的值.题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例3】设函数f(x)=→a ·→b .其中向量→a =(m ,cosx),→b =(1+sinx ,1),x ∈R ,且f(π2)=2.(Ⅰ)求实数m 的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值.题型五:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】(山东卷)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a bc ,tan C =. (1)求cos C ;(2)若52CB CA ⋅=,且9a b +=,求c .题型六:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算【例6】()f x a b =⋅,其中向量(,cos 2)a m x =,(1sin 2,1)b x =+,x R ∈,且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π.(Ⅰ)求实数m 的值;(Ⅱ)求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
题型七:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+. (Ⅰ)求函数()f x 的最大值与最小正周期;(Ⅱ)求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集.题型八:三角函数平移与向量平移的综合【例8】把函数y =sin2x 的图象按向量→a =(-π6,-3)平移后,得到函数y =Asin(ωx +ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|=π2)的图象,则ϕ和B 的值依次为( )A .π12,-3B .π3,3C .π3,-3D .-π12,3题型九:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例9】已知04πα<<,β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期,(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅=,求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值.题型十:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题 【例10】如图,函数2sin(),y x x R πϕ=+∈(其中02πϕ≤≤)的图像与y 轴交于点(0,1)。
高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)
平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标: 一)向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二)考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主,基本稳定为选择题或填空题,难度较低;2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合,以工具的形式进行考查,常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点:(1) 理解有关概念是基础,掌握线性运算、坐标运算的方法是关键;(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时,应注意运用数形结合的数学思想,将共线、垂直等问题,通过建立平面直角坐标系,利用坐标运算解题.4.难点:向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件,综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质,会用向量的几何意义解决问题,有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述:常见的向量法解决简单的平面几何问题: 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离(长度)问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用:已知ABC D 中,(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ,求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标(x ,y ),由AD 是BC 边上的高可得⊥,且B 、D 、C 共线,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为(1,1),AD =(-1,2). 【答案】AD =(-1,2)【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ,,(12)B --,,(31)C ,,且2BC AD =u u u r u u u r,则顶点D 的坐标为 ( ) A .722⎛⎫ ⎪⎝⎭,B .122⎛⎫- ⎪⎝⎭,C .(32),D .(13),【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ , 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1,点D E 、分别为AB BC 、的中点,求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r (1,),(,1),cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用:已知向量3(sin ,)4a x =r ,(cos ,1)b x =-r .设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ,已知在ABC ∆中,内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、,若a =2b =,sin B =()4cos(2)6f x A π++([0,]3x π∈)的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为,所以4A π=.因为+.所以, ,, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用:(1)已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA →+OB →|=|OA →-OB →|,其中O 为坐标原点,则实数a 的值为________.【解析】如图所示,以OA 、OB 为边作平行四边形OACB , 则由|OA →+OB →|=|OA →-OB →|得, 平行四边形OACB 是矩形,OA →⊥OB →.由图象得,直线y =-x +a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2(2)椭圆的焦点为F F ,点P 为其上的动点,当∠F P F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一:F 1(-,0)F 2(,0),设P (3cos ,2sin ).为钝角,.∴=9cos 2-5+4sin 2=5 cos 2-1<0.解得: ∴点P 横坐标的取值范围是(). 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r(θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】() 法二:F 1(-,0)F 2(,0),设P (x,y ).为钝角,∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得:353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是(). 【答案】() 2. 在物理学中的应用:如图所示,用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10N ,则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的(对称) ,∴OA =OB ,∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ,∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD , ∴三角形OAD 为等边三角形 ,∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 , ∴OA =10 ,∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是( )A .2-B .32-C .43- D .1-【解析】如图,以BC 为x 轴,BC 的垂直平分线DA 为y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,则A ,(1,0)B -,(1,0)C ,设(,)P x y ,所以()PA x y =-u u u r ,(1,)PB x y =---u u u r,(1,)PC x y =--u u u r ,所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ,22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-,当(0,2P 时,所求的最小值为32-,故选B . 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中,已知点()10A -,、()20B ,,E 、F 是y 轴上的两个动点,且||2EF =u u u r ,则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________.【解析】根据题意,设E (0,a ),F (0,b );∴2EF a b =-=u u u r;∴a =b +2,或b =a +2;且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ,;∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r; 当a =b +2时,()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r;∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-; ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3,同理求出b =a +2时,AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3.故答案为:﹣3.【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,()5,0B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=u u u r u u u r,则点A 的横坐标为___________.【解析】设(),2(0)A a a a >,则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ,与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-,因为0a >,所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2b |=___________. 【解析】方法一:222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ,所以|2|+==a b .方法二:利用如下图形,可以判断出2+a b 的模长是以2为边长,一夹角为60°的菱形的对角线的长度,则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图,在同一个平面内,向量OA u u u r ,OB uuu r ,OC uuu r 的模分别为1,1,2,OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α,且tan α=7,OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ,则m n +=___________.【解析】由tan 7α=可得sin 10α=,cos 10α=,根据向量的分解,易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩,即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩,即得57,44m n ==,所以3m n +=. 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ,b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________,最大值是___________.【解析】设向量,a b 的夹角为θ,则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+,据此可得:()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ,即++-a b a b 的最小值是4,最大值是【答案】4,7. 【2016·江苏卷】如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,BA →·CA →=4, BF →·CF →=-1,则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →=a ,AC →=b ,则BA →·CA →=(-a )·(-b )=a ·b =4.又∵D 为BC 中点,E ,F 为AD 的两个三等分点,则AD →=12(AB →+AC →)=12a +12b ,AF →=23AD →=13a +13b ,AE →=13AD →=16a +16b ,BF →=BA →+AF →=-a +13a +13b =-23a +13b ,CF →=CA →+AF →=-b +13a +13b =13a -23b ,则BF →·CF →=⎝⎛⎭⎫-23a +13b ·⎝⎛⎭⎫13a -23b =-29a 2-29b 2+59a ·b =-29(a 2+b 2)+59×4=-1. 可得a 2+b 2=292.又BE →=BA →+AE →=-a +16a +16b =-56a +16b ,CE →=CA →+AE →=-b +16a +16b =16a -56b ,则BE →·CE →=⎝⎛⎭⎫-56a +16b ·⎝⎛⎭⎫16a -56b =-536(a 2+b 2)+2636a ·b =-536×292+2636×4=78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若a ∥b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【解析】(1)因为co ()s ,sin x x =a,(3,=b ,a ∥b,所以3sin x x =. 若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠.于是tan 3x =-.又[]0πx ∈,,所以5π6x =.(2)π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b . 因为[]0πx ∈,,所以ππ7π[,]666x +∈,从而π1cos()62x -≤+≤. 于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3; 当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-【答案】(1)5π6x =;(2)0x =时,()f x 取到最大值3;5π6x =时,()f x取到最小值-.1.已知数列{}n a 为等差数列,且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ,若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,点O 为直线BC 外一点,则12017a a +=( )A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r , ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r, 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r , 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,∴3201511a a ++=, ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中, AD 为斜边BC 边的高,若1AC =u u u r , 3AB =u u u r,则CD AB ⋅=u u u r u u u r ( )【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B,所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为,平面ABC 内的动点P ,M 满足1AP =uu u r ,PM MC =uuu r uuu r ,则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心,以D 为原点,直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系,由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ,得()2221x y -+=,又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ,它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14,()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ,故选B.【答案】B4.已知曲线C :x =直线l :x=6.若对于点A (m ,0),存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r,则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点,设(,)P x y ,则(2,)Q m x y --,由题意20x -≤≤,26m x -=,解得23m ≤≤.3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示, 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中,∠ABC =120°,BA =2,BC =3,D ,E 是线段AC 的三等分点,则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →=(BA →+AD →)·(BC →+CE →)=⎝⎛⎭⎫BA →+13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →+13CA → =⎣⎡⎦⎤BA →+13(BC →-BA →)·⎣⎡⎦⎤BC →+13(BA →-BC →)=⎝⎛⎭⎫13BC →+23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →+13BA → =29BC →2+59BC →·BA →+29BA →2=29×9+59×2×3×cos 120°+29×4=119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC =3BE ,DC =λDF . 若AE →·AF →=1,则λ的值为________. 【解析】法一、 如图,AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →,AF →=AD →+DF →=AD →+1λDC →=BC →+1λAB →,所以AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫AB →+13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →+1λAB →=⎝⎛⎭⎫1+13λAB →·BC →+1λAB →2+13BC →2=⎝⎛⎭⎫1+13λ×2×2×cos 120°+4λ+43=1,解得λ=2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知:A (0,1),C (0,-1),B (-3,0),D (3,0).由BC =3BE ,DC =λDF .可求点E ,F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫-233,-13,F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1-1λ,-1λ, ∴AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫-233,-43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1-1λ,-1λ-1=-2⎝⎛⎭⎫1-1λ+43⎝⎛⎭⎫1+1λ=1,解得λ=2. 【答案】28.在△ABC 中,∠A =60°,AB =3,AC =2,若BD →=2DC →,AE →=λAC →-AB →(λ∈R ),且AD →·AE →=-4,则λ的值为________.【解析】AB →·AC →=3×2×cos 60°=3,AD →=13AB →+23AC →,则AD →·AE →=⎝⎛⎭⎫13AB →+23AC →·(λAC →-AB →)=λ-23AB →·AC →-13AB →2+2λ3AC →2=λ-23×3-13×32+2λ3×22=113λ-5=-4,解得λ=311.【答案】3119.在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →.若MN →=xAB →+yAC →,则x =__________;y =__________.【解析】MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →-AC →)=12AB →-16AC →,∴x =12,y =-16.【答案】 12 -1610.在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,可得DC =1,AE →=AB →+λBC →,AF →=AD →+19λDC →,∴AE →·AF →=(AB →+λBC →)·(AD →+19λDC →)=AB →·AD →+AB →·19λDC →+λBC →·AD →+λBC →·19λDC →=2×1×cos 60°+2×19λ+λ×1×cos 60°+λ·19λ×cos 120°=29λ+λ2+1718≥229λ·λ2+1718=2918,当且仅当29λ=λ2,即λ=23时,取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则B (2,0),C ⎝⎛⎭⎫32,32,D ⎝⎛⎭⎫12,32.又BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则E ⎝⎛⎭⎫2-12λ,32λ,F ⎝⎛⎭⎫12+19λ,32,λ>0,所以AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫2-12λ⎝⎛⎭⎫12+19λ+34λ=1718+29λ+12λ≥1718+229λ·12λ=2918,λ>0, 当且仅当29λ=12λ,即λ=23时取等号,故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB =2,AD =1.点P ,Q 分别在边BC ,CD 上,且∠P AQ =π4,则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),D (0,1).设∠P AB =θ,则AP →=(2,2tan θ),AQ →=⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ,1,0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →=(2,2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ,1=2tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ+2tan θ=2(1-tan θ)1+tan θ+2tan θ=41+tan θ+2tan θ-2=41+tan θ+2(tan θ+1)-4≥42-4,当且仅当tan θ=2-1时,“=”成立,所以AP →·AQ →的最小值为42-4.法二(基底法) 设BP =x ,DQ =y ,由已知得,tan ∠P AB =x2,tan ∠QAD =y ,由已知得∠P AB +∠QAD =π4,所以tan ∠P AB +tan ∠QAD 1-tan ∠P AB tan ∠QAD =1,所以x +2y 2=1-xy2,x +2y =2-xy ≥2x ·2y ,解得0<xy ≤6-42,当且仅当x =2y 时,“=”成立.AP →·AQ →=22·(4+x 2)(1+y 2)=22·(xy )2+(x +2y )2-4xy +4=22·(xy )2+(2-xy )2-4xy +4=(xy )2-4xy +4=2-xy ≥42-4. 【答案】 42-412.设O 为坐标原点,C 为圆(x -2)2+y 2=3的圆心,且圆上有一点M (x ,y )满足OM →·CM →=0,则y x =________.【解析】 ∵OM →·CM →=0,∴OM ⊥CM ,∴OM 是圆的切线,设OM 的方程为y =kx , 由|2k |1+k 2=3,得k =±3,即yx =± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中,已知AB =1,AC =2,∠A =60°,若点P 满足AP →=AB →+λAC →,且BP →·CP →=1,则实数λ的值为________.【解析】 由AB =1,AC =2,∠A =60°,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =3,即BC = 3.又AC 2=AB 2+BC 2,所以∠B =90°.以点A 为坐标原点,AB →,BC →的方向分别为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则B (1,0),C (1,3).由AP →=AB →+λAC →,得P (1+λ,3λ),则BP →·CP →=(λ,3λ)·(λ,3λ-3)=λ2+3λ(λ-1)=1,即4λ2-3λ-1=0,解得λ=-14或λ=1.【答案】 -14或114.证明:同一平面内,互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图,用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力,且r a ,r b ,rc 互成120°,模相等,按照向量的加法运算法则,有:r a +r b +r c = r a +(r b +r c )=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知:三角形OBD 为等边三角形, 故r a 与u u u r OD 共线且模相等,所以:u u u r OD = -r a ,即有:r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中,已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ,点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域(含边界)上,且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.(1)若23m n ==,求||OP u u u r ;(2)用,x y 表示m n -,并求m n -的最大值.【解析】(1)(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ,(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ,又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r,|OP ∴u u u r(2)OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩,两式相减得:m n y x -=-.令y x t -=,由图可知,当直线y x t =+过点(2,3)B 时,t 取得最大值1,故m n -的最大值为1.【答案】(1)(2)m n y x -=-,1.16.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1,动点P 在边BC 上,且满足AP →=mAB →+nAD →(m ,n 均为正实数),求1m +1n的最小值.【解析】 如图,建立平面直角坐标系,得A (0,0),B (4,0),D (0,4),C (1,4),则AB →=(4,0),AD →=(0,4).设AP →=(x ,y ),则BC 所在直线为4x +3y =16. 由AP →=mAB →+nAD →,即(x ,y )=m (4,0)+n (0,4),得x =4m ,y =4n (m ,n >0), 所以16m +12n =16,即m +34n =1,那么1m +1n =⎝⎛⎭⎫1m +1n ⎝⎛⎭⎫m +34n =74+3n 4m +m n ≥74+23n 4m ·m n =74+3=7+434(当且仅当3n 2=4m 2时取等号). 17.已知向量m =(cos α,-1),n =(2,sin α),其中α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且m ⊥n . (1)求cos 2α的值; (2)若sin(α-β)=1010,且β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ,得2cos α-sin α=0,sin α=2cos α,代入cos 2α+sin 2α=1,得5cos 2α=1, 又α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则cos α=55,cos 2α=2cos 2α-1=-35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,得α-β∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2.因为sin(α-β)=1010,所以cos(α-β)=31010,而sin α=1-cos 2α=255, 则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=255×31010-55×1010=22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以β=π4.。
向量和三角函数综合题
向量和三角函数综合题引言向量和三角函数是数学中常见且重要的概念,它们在物理学、几何学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍向量和三角函数的基本概念和性质,并通过一些综合题目来加深理解和应用。
向量的基本概念什么是向量向量是由大小和方向共同决定的量,可以用有向线段表示,其中起点和终点分别称为向量的始点和终点。
通常用小写字母表示向量,如a、b等。
向量的表示方法向量可以用矩阵或坐标表示。
如果一个向量在二维坐标系中,可以用二维列向量表示;如果一个向量在三维坐标系中,可以用三维列向量表示。
向量的运算向量之间可以进行加法、减法和数量乘法。
向量的加法和减法可以通过将向量的始点与终点相连得到,而数量乘法就是将向量的长度进行比例缩放。
向量的数量特征向量的数量特征包括模长、方向角和方向余弦。
模长表示向量的长度,方向角表示向量与正方向的夹角,而方向余弦就是向量的方向角的余弦值。
三角函数的基本概念什么是三角函数三角函数是描述角度关系的函数,主要包括正弦、余弦和正切函数。
它们在三角形的计算和周期性变化的问题中经常出现。
正弦函数正弦函数在数学上表示为sin(x),其中x为角度。
正弦函数的值域在[-1, 1]之间,当x为0、π、2π等整数倍的π时,函数的值为0,这也是函数图像上的极值点。
余弦函数余弦函数在数学上表示为cos(x),其中x为角度。
余弦函数的值域也在[-1, 1]之间,当x为π/2、3π/2、5π/2等奇数倍的π/2时,函数的值为0,极值点出现在函数图像的波峰和波谷处。
正切函数正切函数在数学上表示为tan(x),其中x为角度。
正切函数的值域为全体实数,当x为π/2、3π/2、5π/2等奇数倍的π/2时,函数没有定义。
三角函数的性质三角函数有很多重要的性质,包括周期性、奇偶性、和差公式、倍角公式、半角公式等。
这些性质在计算中经常用到,对于解题非常有帮助。
向量和三角函数的综合应用向量与三角函数的关系向量和三角函数在很多应用中是密切相关的。
考点练习(必修五):正、余弦定理与向量的综合(附答案)
正、余弦定理与向量的综合 1. 在ABC △中,已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r,当π6A =时,ABC △的面积为 .2. 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足b 2+c 2-a 2=bc ,AB ―→·BC ―→>0,a =32,则b +c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1,32 B.⎝⎛⎭⎫32,32C.⎝⎛⎭⎫12,32D.⎝⎛⎦⎤12,323. 在锐角三角形C AB 中,1tan 2A =,D 为边C B 上的点,D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4.过D 作D E ⊥AB 于E ,DF C ⊥A 于F ,则D DF E⋅= .4. ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行. (I)求A ;(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.5. 在平面直角坐标系xoy 中,已知向量222m ⎛=- ⎝⎭,()sin ,cos n x x =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (1)若m n ⊥,求tan x 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值.6. 已知向量(,cos2)a m x =,(sin 2,)b x n =,设函数()f x a b =⋅,且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. (Ⅰ)求,m n 的值;(Ⅱ)将()y f x =的图象向左平移ϕ(0ϕπ<<)个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求()y g x =的单调增区间.7. 在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ⋅=,1cos 3B =,3b =,求:(1)a 和c 的值;(2)cos()B C -的值.8. 设向量a =(3sin x ,sin x ),b =(cos x ,sin x ),x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2. (1)若|a |=|b |,求x 的值;(2)设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值.9. 已知向量a =⎝⎛⎭⎫cos x ,-12,b =(3sin x ,cos 2x ),x ∈R ,设函数f (x )=a ·b . (1)求f (x )的最小正周期.(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上的最大值和最小值.10. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 且2cos 2A -B 2·cos B -sin(A -B )sin B +cos(A +C )=-35.(1)求cos A 的值;(2)若a =42,b =5,求向量B A →在B C →方向上的投影.11. 已知向量m =(sin x,1),n =(3A cos x ,A2cos 2x )(A >0),函数f (x )=m·n 的最大值为6.(1)求A ;(2)将函数y =f (x )的图像向左平移π12个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图像,求g (x )在[0,5π24]上的值域.12. 已知向量a =(cos ωx -sin ωx ,sin ωx ),b =(-cos ωx -sin ωx,23cos ωx ),设函数f (x )=a ·b +λ(x ∈R)的图象关于直线x =π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈(12,1).(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若y =f (x )的图象经过点(π4,0),求函数f (x )在区间[0,3π5]上的取值范围.参考答案正、余弦定理与向量的综合1. 由已知及平面向量数量积的定义可得cos tan AB AC AB AC AA ⋅==,326cos 6tancos tan ===ππA A , 所以616sin 3221=⨯⨯==∆πA S ABC 答案:162. 解析:选B 在△ABC 中,b 2+c 2-a 2=bc ,由余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc =bc 2bc =12,∵A 是△ABC 的内角,∴A =60°. ∵a =32, ∴由正弦定理得a sin A =b sin B =csin C=c -B=1,∴b +c =sin B +sin(120°-B )=32sin B +32cos B =3sin(B +30°).∵AB ―→·BC ―→=|AB ―→|·|BC ―→|·cos(π-B )>0,∴cos B <0,B 为钝角, ∴90°<B <120°,120°<B +30°<150°,故sin(B +30°)∈⎝⎛⎭⎫12,32,∴b +c =3sin(B +30°)∈⎝⎛⎭⎫32,32.3.【答案】1615-4. 【解析】试题解析:(I)因为//m n ,所以sin cos0a B A =由正弦定理,得sin sin cos 0A B B A-=, 又sin 0B ≠,从而tan A =0A π<<,所以3A π=(II)解法一:由余弦定理,得2222cos a b c bc A =+-,而2a b ==,3A π=,得2742c c =+-,即2230c c --=,因为0c >,所以3c =, 故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.解法二:由正弦定理,得2sin sin3B π=,从而sin 7B = 又由a b >知A B >,所以cos B =, 故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin3314B B ππ=+=, 所以ABC ∆面积为1sin 22ab C =. 5. 【解析】(1)∵222m ⎛=-⎝⎭,()sin ,cos n x x =且m n ⊥, ∴()2sin ,cos sin 04m n x x x x x π⎛⎛⎫⋅=⋅==-=⎪⎝⎭⎝⎭, 又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴ ,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,∴ 04x π-=即4x π=,∴ tan tan 14x π==; (2)由(1)依题知 sin cossin 34x m n x m nπππ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫===- ⎪⎝⎭⋅⎛,∴ 1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, ∴ 46x ππ-=即512x π=.6. 【解析】(Ⅰ)已知x n x m x f 2cos 2sin )(+=⋅=,因为()f x 过点)2,32(),3,12(-ππ, 36cos 6sin )12(=+=πππn m f 所以,234cos 34sin )32(-=+=πππn m f ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+2212332321n m 所以解得⎩⎨⎧==13n m(Ⅱ))62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ,)(x f 左移ϕ后得到)622sin(2)(πϕ++=x x g ,设)(x g 的对称轴为0x x =,1120=+=x d 因为解得00=x ,2)0(=g 所以, 解得6πϕ=,x x x x g 2cos 2)22sin(2)632sin(2)(=+=++=πππ所以,z k k x k ∈≤≤+-,222πππ所以,z k k x k ∈≤≤+-,2πππ,)(x f 所以的单调增区间为z k k k ∈+-],,2[πππ7. 【解析】(1)由2BA BC ⋅=,1cos 3B =得cos 2BA BC ca B ⋅==,所以6ac =; 又由3b =及余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,所以2213a c += 结合a c >,解得3,2a c ==(Ⅱ)由3,3,2a b c ===得2227cos 29a b c C ab +-==,sin C ==由1cos 3B =得sin B ==;所以1723cos()cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+=8. 解:本题考查向量与三角函数的综合应用,侧重考查三角函数的性质. (1)由|a |2=(3sin x )2+(sin x )2=4sin 2x ,|b |2=(cos x )2+(sin x )2=1, 及|a |=|b |,得4sin 2x =1,又x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,从而sin x =12,所以x =π6. (2)f (x )=a ·b =3sin x ·cos x +sin 2x =32sin 2x -12cos 2x +12=sin ⎝⎛⎫2x -π6+12, 当x =π3∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.9. 解:本题主要考查向量的数量积和三角恒等变换的方法以及三角函数的有界性,意在考查考生应用向量和三角工具解决问题的能力.f (x )=⎝⎛⎭⎫cos x ,-12·( 3 sin x ,cos 2x )=3cos x sin x -12cos 2x =32sin 2x -12cos 2x =cos π6sin 2x -sin π6cos 2x =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. (1)f (x )的最小正周期为T =2πω=2π2=π,即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2,∴-π6≤2x -π6≤5π6.由正弦函数的性质,知当2x -π6=π2,即x =π3时,f (x )取得最大值1.当2x -π6=-π6,即x =0时,f (x )取得的最小值-12.因此,f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上的最大值是1,最小值是-12.10. 解:本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化等数学思想. (1)由2cos 2A -B 2cos B -sin(A -B )sin B +cos(A +C )=-35,得[cos(A -B )+1]cos B -sin(A -B )sin B -cos B =-35,即cos(A -B )cos B -sin(A -B )sin B =-35.则cos(A -B +B )=-35,即cos A =-35.(2)由cos A =-35,0<A <π,得sin A =45,由正弦定理,有a sin A =b sin B ,所以,sin B =b sin A a =22.由题知a >b ,则A >B ,故B =π4.根据余弦定理,有(42)2=52+c 2-2×5c ×⎝⎛⎭⎫-35,解得c =1或c =-7(舍去). 故向量BA →在B C →方向上的投影为|B A →|cos B =22.11. 解:(1)f (x )=m·n =3A sin x cos x +A 2cos 2x =A (32sin 2x +12cos 2x )=A sin(2x +π6).因为A >0,由题意知A =6. (2)由(1)f (x )=6sin(2x +π6).将函数y =f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y =6sin[2(x +π12)+π6]=6sin(2x +π3)的图像;再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到y =6sin(4x +π3)的图像.因此g (x )=6sin(4x +π3).因为x ∈[0,5π24],所以4x +π3∈[π3,7π6],故g (x )在[0,5π24]上的值域为[-3,6].12. 解:(1)因为f (x )=sin 2ωx -cos 2ωx +23sin ωx ·cos ωx +λ=-cos 2ωx +3sin 2ωx +λ=2sin(2ωx -π6)+λ.由直线x =π是y =f (x )图象的一条对称轴,可得sin(2ωπ-π6)=±1,所以2ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z),即ω=k 2+13(k ∈Z).又ω∈(12,1),k ∈Z ,所以k =1,故ω=56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y =f (x )的图象过点(π4,0),得f (π4)=0,即λ=-2sin(56×π2-π6)=-2sin π4=-2,即λ=- 2. 故f (x )=2sin(53x -π6)-2,由0≤x ≤3π5,有-π6≤53x -π6≤5π6,所以-12≤sin(53x -π6)≤1,得-1-2≤2sin(53x -π6)-2≤2-2,故函数f (x )在[0,3π5]上的取值范围为[-1-2,2- 2 ].。
平面向量及其应用综合练习题 百度文库
一、多选题1.若a →,b →,c →是任意的非零向量,则下列叙述正确的是( ) A .若a b →→=,则a b →→= B .若a c b c →→→→⋅=⋅,则a b →→= C .若//a b →→,//b c →→,则//a c →→D .若a b a b →→→→+=-,则a b →→⊥2.已知向量a =(2,1),b =(1,﹣1),c =(m ﹣2,﹣n ),其中m ,n 均为正数,且(a b -)∥c ,下列说法正确的是( ) A .a 与b 的夹角为钝角B .向量a 在bC .2m +n =4D .mn 的最大值为2 3.下列结论正确的是( )A .在ABC 中,若AB >,则sin sin A B >B .在锐角三角形ABC 中,不等式2220b c a +->恒成立 C .若sin 2sin 2A B =,则ABC 为等腰三角形D .在ABC 中,若3b =,60A =︒,三角形面积S = 4.ABC 中,2AB =,30ACB ∠=︒,则下列叙述正确的是( ) A .ABC 的外接圆的直径为4.B .若4AC =,则满足条件的ABC 有且只有1个 C .若满足条件的ABC 有且只有1个,则4AC =D .若满足条件的ABC 有两个,则24AC <<5.在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )A .10,45,70b A C ==︒=︒B .45,48,60b c B ===︒C .14,16,45a b A ===︒D .7,5,80a b A ===︒6.以下关于正弦定理或其变形正确的有( ) A .在ABC 中,a :b :c =sin A :sin B :sin C B .在ABC 中,若sin 2A =sin 2B ,则a =bC .在ABC 中,若sin A >sin B ,则A >B ,若A >B ,则sin A >sin B 都成立D .在ABC 中,sin sin sin +=+a b cA B C7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,b =15,c =16,B =60°,则a 边为( )A .B .C .8D .8.ABC 中,4a =,5b =,面积S =c =( )A BC D .9.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且()()()::9:10:11a b a c b c +++=,则下列结论正确的是( )A .sin :sin :sin 4:5:6ABC = B .ABC ∆是钝角三角形C .ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D .若6c =,则ABC ∆ 10.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列结论中正确的是( )A .若a b >,则sin sin AB >B .若sin 2sin 2A B =,则ABC 是等腰三角形 C .若cos cos a B b A c -=,则ABC 是直角三角形D .若2220a b c +->,则ABC 是锐角三角形11.已知a 、b 是任意两个向量,下列条件能判定向量a 与b 平行的是( ) A .a b =B .a b =C .a 与b 的方向相反D .a 与b 都是单位向量12.给出下列命题正确的是( ) A .一个向量在另一个向量上的投影是向量 B .a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C .两个有共同起点的相等向量,其终点必定相同D .若向量AB 与向量CD 是共线向量,则点,,,A B C D 必在同一直线上 13.(多选题)下列命题中,正确的是( ) A .对于任意向量,a b ,有||||||a b a b +≤+; B .若0a b ⋅=,则00a b ==或; C .对于任意向量,a b ,有||||||a b a b ⋅≤ D .若,a b 共线,则||||a b a b ⋅=±14.如图所示,梯形ABCD 为等腰梯形,则下列关系正确的是( )A .AB DC =B .AB DC =C .AB DC >D .BC AD ∥15.如图,46⨯的方格纸(小正方形的边长为1)中有一个向量OA (以图中的格点O 为起点,格点A 为终点),则( )A .分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与OA 是相反向量的共有11个B .满足10OA OB -=的格点B 共有3个C .存在格点B ,C ,使得OA OB OC =+D .满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个二、平面向量及其应用选择题16.如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C ,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ,测得45BDC ∠=︒,则塔AB 的高是(单位:m )( )A .2B .106C .103D .1017.O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=,且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=,若3a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为( ) A .23π B .43π C .6π D .3π 18.在ABC 中,A ∠,B ,C ∠所对的边分别为a ,b ,c ,过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ,90C ∠=︒,1CD =.当直线CD AB ⊥时,+a b 值为M ;当D 为边AB 的中点时,+a b 值为N .当a ,b 变化时,记{}max ,m M N =(即M 、N 中较大的数),则m 的最小值为( ) A .MB .NC .22D .119.a ,b 为单位向量,且27a b +=,则向量a ,b 夹角为( )A .30B .45︒C .60︒D .90︒20.在三角形ABC 中,若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,1a =,42c =,45B =︒,则sin C 的值等于( )A .441B .45C .425D .44121.如图,在ABC 中,60,23,3C BC AC ︒===,点D 在边BC 上,且27sin 7BAD ∠=,则CD 等于( )A 23B 3C 33D 4322.在ABC 中,AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线,它们交于点G ,则下列各等式中不正确...的是( ) A .23BG BE = B .2CG GF = C .12DG AG =D .0GA GB GC ++=23.在ABC 中,若()()0CA CB CA CB +⋅-=,则ABC 为( ) A .正三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .无法确定24.在ABC ∆中,已知2AB =,4AC =,若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心,则()AG AW BC +⋅=( )A .4B .6C .10D .1425.在ABC 中,三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为S ,若()22S a b c +=+,则cos A 等于( )A .45B .45-C .1517D .1517-26.题目文件丢失!27.在ABC 中,()2BC BA AC AC +⋅=,则ABC 的形状一定是( ) A .等边三角形 B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .直角三角形28.如图所示,在正方形ABCD 中,E 为BC 的中点,F 为AE 的中点,则DF =( )A .1324AB AD -+ B .1223AB AD + C .1132AB AD - D .1324AB AD - 29.ABC ∆中,22:tan :tan a b A B =,则ABC ∆一定是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形30.在ABC ∆中,2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===,M 为线段EF 的中点,若1AM =,则λμ+的最大值为( ) A 7B 27C .2D 21 31.ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=,则ABC 的面积为( )A .6B .332C .33D 332.在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且3BC CD =,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若()1AO xAB x AC =+-,则x 的取值范围是( )A .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D .1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭33.如图所示,在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°,向山顶前进50 m 到达B 处,又测得C 对于山坡的斜度为45°,若CD =50 m ,山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ等于( )A .3 B .2 C .31- D .21-34.题目文件丢失!35.如图所示,在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒,沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点,又测得山顶的仰角为75︒,则山高BC =( )A .500米B .1500米C .1200米D .1000米【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、多选题 1.ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断. 【详解】对应,若,则向量长度相等,方向相同,故,故正确; 对于,当且时,,但,可以不相等,故错误; 对应,若,,则方向相同 解析:ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断. 【详解】对应A ,若a b =,则向量,a b 长度相等,方向相同,故||||a b =,故A 正确; 对于B ,当a c ⊥且b c ⊥时,··0a c b c ==,但a ,b 可以不相等,故B 错误; 对应C ,若//a b ,//b c ,则,a b 方向相同或相反,,b c 方向相同或相反, 故,a c 的方向相同或相反,故//a c ,故C 正确;对应D ,若||||a b a b +=-,则22222?2?a a b b a a b b ++=-+,∴0a b =,∴a b ⊥,故D 正确.故选:ACD 【点睛】本题考查平面向量的有关定义,性质,数量积与向量间的关系,属于中档题.2.CD 【分析】对于A ,利用平面向量的数量积运算判断; 对于B ,利用平面向量的投影定义判断;对于C ,利用()∥判断;对于D ,利用C 的结论,2m+n=4,结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ,向量(解析:CD 【分析】对于A ,利用平面向量的数量积运算判断; 对于B ,利用平面向量的投影定义判断;对于C ,利用(a b -)∥c 判断;对于D ,利用C 的结论,2m +n =4,结合基本不等式判断. 【详解】对于A ,向量a =(2,1),b =(1,﹣1),则2110a b ⋅=-=>,则,a b 的夹角为锐角,错误;对于B ,向量a =(2,1),b =(1,﹣1),则向量a 在b 方向上的投影为2a b b⋅=,错误;对于C ,向量a =(2,1),b =(1,﹣1),则a b -= (1,2),若(a b -)∥c ,则(﹣n )=2(m ﹣2),变形可得2m +n =4,正确;对于D ,由C 的结论,2m +n =4,而m ,n 均为正数,则有mn 12=(2m •n )12≤ (22m n +)2=2,即mn 的最大值为2,正确; 故选:CD. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用,属于基础题.3.AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ,由余弦定理判断B ,由正弦函数性质判断C ,由三角形面积公式,余弦定理及正弦定理判断D . 【详解】中,,由得,A 正确; 锐角三角形中,,∴,B 正确; 中,解析:AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ,由余弦定理判断B ,由正弦函数性质判断C ,由三角形面积公式,余弦定理及正弦定理判断D . 【详解】ABC 中,A B a b >⇔>,由sin sin a b A B=得sin sin A B >,A 正确; 锐角三角形ABC 中,222cos 02b c a A bc+-=>,∴2220b c a +->,B 正确;ABC 中,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22180A B +=︒,即A B =或90A B +=︒,ABC 为等腰三角形或直角三角形,C 错;ABC 中,若3b =,60A =︒,三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =,∴2222cos 13a b c bc A =+-=,a =,∴2sin a R A ===,R =D 错. 故选:AB . 【点睛】本题考查正弦定理,余弦定理,正弦函数的性质,三角形面积公式等,考查学生的逻辑推理能力,分析问题解决问题的能力.4.ABD 【分析】根据正弦定理,可直接判断的对错,然后,,三个选项,都是已知两边及一边的对角,判断解得个数的问题,做出图象,构造不等式即可. 【详解】解:由正弦定理得,故正确; 对于,,选项:如图解析:ABD 【分析】根据正弦定理,可直接判断A 的对错,然后B ,C ,D 三个选项,都是已知两边及一边的对角,判断解得个数的问题,做出图象,构造不等式即可. 【详解】解:由正弦定理得224sin sin30AB R ACB ===∠︒,故A 正确;对于B ,C ,D 选项:如图:以A 为圆心,2AB =为半径画圆弧,该圆弧与射线CD 的交点个数,即为解得个数. 易知当122x =,或即4AC =时,三角形ABC 为直角三角形,有唯一解; 当2AC AB ==时,三角形ABC 是等腰三角形,也是唯一解;当AD AB AC <<,即122x x <<,24x ∴<<时,满足条件的三角形有两个.故B ,D 正确,C 错误. 故选:ABD .【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下,三角形解得个数的判断问题.属于中档题.5.BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法,逐项判定,即可求解,得到答案. 【详解】对于选项A 中:由,所以,即三角形的三个角是确定的值,故只有一解; 对于选项B 中:因为,且,所以角有两解析:BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法,逐项判定,即可求解,得到答案. 【详解】对于选项A 中:由45,70A C =︒=︒,所以18065B A C =--=︒,即三角形的三个角是确定的值,故只有一解; 对于选项B 中:因为csin 83sin 115B C b ==<,且c b >,所以角C 有两解; 对于选项C 中:因为sin 2sin 17b A B a ==<,且b a >,所以角B 有两解; 对于选项D 中:因为sin sin 1b AB a=<,且b a <,所以角B 仅有一解. 故选:BC .【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定,其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.6.ACD【分析】对于A ,由正弦定理得a :b :c =sinA :sinB :sinC ,故该选项正确; 对于B ,由题得A =B 或2A+2B =π,即得a =b 或a2+b2=c2,故该选项错误; 对于C ,在ABC 中解析:ACD 【分析】对于A ,由正弦定理得a :b :c =sin A :sin B :sin C ,故该选项正确; 对于B ,由题得A =B 或2A +2B =π,即得a =b 或a 2+b 2=c 2,故该选项错误; 对于C ,在ABC 中,由正弦定理可得A >B 是sin A >sin B 的充要条件,故该选项正确; 对于D ,由正弦定理可得右边=2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+=左边,故该选项正确.【详解】对于A ,由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===,可得a :b :c =2R sin A :2R sin B :2R sin C =sin A :sin B :sin C ,故该选项正确;对于B ,由sin2A =sin2B ,可得A =B 或2A +2B =π,即A =B 或A +B =2π,∴a =b 或a 2+b 2=c 2,故该选项错误;对于C ,在ABC 中,由正弦定理可得sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ,因此A >B 是sin A >sin B 的充要条件,故该选项正确;对于D ,由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===,可得右边=2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++=左边,故该选项正确.故选:ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.AC 【分析】利用余弦定理:即可求解. 【详解】在△ABC 中,b =15,c =16,B =60°, 由余弦定理:,即,解得.故选:AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理,考查了基解析:AC【分析】利用余弦定理:2222cos b a c ac B =+-即可求解.【详解】在△ABC 中,b =15,c =16,B =60°,由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,即216310a a -+=,解得8a =故选:AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理,考查了基本运算,属于基础题.8.AB【分析】在中,根据,,由,解得或,然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】中,因为,,面积,所以,所以,解得或,当时,由余弦定理得:,解得,当时,由余弦定理得:,解得所以或解析:AB【分析】在ABC 中,根据4a =,5b =,由1sin 2ABC S ab C ==60C =或120C =,然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中,因为4a =,5b =,面积ABC S =所以1sin 2ABC S ab C ==所以sin 2C =,解得60C =或120C =,当60C =时,由余弦定理得:2222cos 21c a b ab C =+-=,解得c =当120C =时,由余弦定理得:2222cos 61c a b ab C =+-=,解得c =所以c =c =故选:AB【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 9.ACD【分析】先根据已知条件求得,再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为所以可设:(其中),解得:所以,所以A 正确;由上可知:边最大,所以三角形中角最大,又 ,所以角为解析:ACD【分析】先根据已知条件求得::4:5:6a b c =,再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=所以可设:91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩(其中0x >),解得:4,5,6a x b x c x ===所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==,所以A 正确;由上可知:c 边最大,所以三角形中C 角最大, 又222222(4)(5)(6)1cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ,所以C 角为锐角,所以B 错误;由上可知:a 边最小,所以三角形中A 角最小, 又222222(6)(5)(4)3cos 22654c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯,所以21cos22cos 18A A =-=,所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得:()20,A π∈,0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2A C =,所以C 正确; 由正弦定理得:2sin c R C =,又sin 8C ==所以2R =,解得:7R =,所以D 正确. 故选:ACD.【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理,属于基础题.10.AC【分析】对选项A ,利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确;对选项B ,首先利用正弦二倍角公式得到,从而得到是等腰三角形或直角三角形,故B 错误;对选项C ,利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析:AC【分析】对选项A ,利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确;对选项B ,首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =,从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形,故B 错误;对选项C ,利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确;对D ,首先根据余弦定理得到A 为锐角,但B ,C 无法判断,故D 错误.【详解】对选项A ,2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>,故A 正确;对选项B ,因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=所以A B =或2A B π+=,则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误;对选项C ,因为cos cos a B b A c -=,所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+,sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+,sin cos cos sin B A A B -=,因为sin 0B ≠,所以cos 0A =,2A π=,ABC 是直角三角形,故③正确; 对D ,因为2220a b c +->,所以222cos 02a b c A ab +-=>,A 为锐角. 但B ,C 无法判断,所以无法判断ABC 是锐角三角形,故D 错误.故选:AC本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,同时考查学三角函数恒等变换,属于中档题. 11.AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项,若,则与平行,A选项合乎题意;对于B选项,若,但与的方向不确定,则与不一定平行,B选项不合乎题意;对于C选项,若与的方向相反,解析:AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项,若a b=,则a与b平行,A选项合乎题意;=,但a与b的方向不确定,则a与b不一定平行,B选项不合乎题对于B选项,若a b意;对于C选项,若a与b的方向相反,则a与b平行,C选项合乎题意;对于D选项,a与b都是单位向量,这两个向量长度相等,但方向不确定,则a与b不一定平行,D选项不合乎题意.故选:AC.【点睛】本题考查向量共线的判断,考查共线向量定义的应用,属于基础题.12.C【分析】对A,一个向量在另一个向量上的投影是数量;对B,两边平方化简;对C,根据向量相等的定义判断;对D,根据向量共线的定义判断.【详解】A中,一个向量在另一个向量上的投影是数量,A解析:C【分析】对A,一个向量在另一个向量上的投影是数量;+=+;对B,两边平方化简a b a b对C,根据向量相等的定义判断;对D,根据向量共线的定义判断.A 中,一个向量在另一个向量上的投影是数量,A 错误;B 中,由a b a b +=+,得2||||2a b a b ⋅=⋅,得||||(1cos )0a b θ⋅-=,则||0a =或||0b =或cos 1θ=,当两个向量一个为零向量,一个为非零向量时,a 与b 方向不一定相同,B 错误;C 中,根据向量相等的定义,且有共同起点可得,其终点必定相同,C 正确;D 中,由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上,D 错误. 故选:C 【点睛】本题考查了对向量共线,向量相等,向量的投影等概念的理解,属于容易题.13.ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确; 当时,,故选项B 错误; 因为,故选项C 正确;当共线同向时,,当共线反解析:ACD 【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确;当a b ⊥时,0a b ⋅=,故选项B 错误; 因为||cos ||||a b a b a b θ⋅=≤,故选项C 正确;当,a b 共线同向时,||||cos 0||||a b a b a b ⋅==,当,a b 共线反向时,||||cos180||||a b a b a b ⋅=︒=-,所以选项D 正确.故选:ACD.【点睛】本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析,注意数量积运算有交换律,但没有消去律,本题属于基础题.14.BD【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可;【详解】解:与显然方向不相同,故不是相等向量,故错误;与表示等腰梯形两腰的长度,所以,故正确;向量无法比较大小,只能比较向量模的大小,故解析:BD【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可;【详解】解:AB 与DC 显然方向不相同,故不是相等向量,故A 错误; AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度,所以AB DC =,故B 正确;向量无法比较大小,只能比较向量模的大小,故C 错误;等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行,所以//BC AD ,故D 正确;故选:BD .【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解,属于基础题.15.BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项,确定结果.【详解】解:分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与是相反向量的共有 18个,故错,以为原点建立平面直角坐标系,,设,若,所以解析:BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项,确定结果. 【详解】解:分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与OA 是相反向量的共有 18个,故A 错, 以O 为原点建立平面直角坐标系,()1,2A ,设(,)B m n ,若10OA OB -=(33m -,22n -,且m Z ∈,)n Z ∈, 得(0,1)B -,(2,1)-,(2,1)-共三个,故B 正确.当(1,0)B ,(0,2)C 时,使得OA OB OC =+,故C 正确. 若1OA OB ⋅=,则21m n +=,(33m -,22n -,且m Z ∈,)n Z ∈, 得(1,0)B ,(3,1)-,(1,1)-,(3,2)-共4个,故D 正确.故选:BCD .【点睛】本题考查向量的定义,坐标运算,属于中档题.二、平面向量及其应用选择题16.B【分析】设塔高为x 米,根据题意可知在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x ,从而有3x ,在△BCD 中,CD=10,∠BCD=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30°,由正弦定理可求 BC ,从而可求x 即塔高.【详解】设塔高为x 米,根据题意可知在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x ,从而有3x ,23x , 在△BCD 中,CD=10,∠BCD=60°+30°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30° 由正弦定理可得,sin sin BC CD BDC CBD = 可得,BC=10sin 453102sin 303x ==. 则6;所以塔AB 的高是6米;故选B .【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用,解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题,即正确建立数学模型,结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据,进而选择合适的公式进行求解.17.A【分析】根据题意得出tan tan tan A B C a b c==,利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==,从而可得知ABC ∆为等边三角形,进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长.【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=,a b OC OA OB c c∴=--, 同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--,tan tan tan tan a A c C b B cC ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩,tan tan tan A B C a b c∴==, 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==,所以,111cos cos cos A B C==, cos cos cos A B C ∴==, 由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减,所以,3A B C π===, 设ABC ∆的外接圆半径为R,则22sin a R A ===,1R ∴=, 所以,边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选:A.【点睛】 本题考查弧长的计算,涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用,考查计算能力,属于中等题.18.C【分析】当直线CD AB ⊥时,由直角三角形的勾股定理和等面积法,可得出222+=a b c , 1ab c =⨯,再由基本不等式可得出2c ≥,从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时,由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =,2224a b c +==,由基本不等式可得出2ab ≤,从而得出N 的范围,可得选项.【详解】当直线CD AB ⊥时,因为90C ∠=︒,1CD =,所以222+=a b c ,由等面积法得1ab c =⨯,因为有222a b ab +≥(当且仅当a b =时,取等号),即()22>0c c c ≥,所以2c ≥, 所以+M a b ===≥(当且仅当a b =时,取等号),当D 为边AB 的中点时,因为90C ∠=︒,1CD =,所以2c =,2224a b c +==, 因为有222a b ab +≥(当且仅当a b =时,取等号),即42ab ≥,所以2ab ≤,所以+N a b ===≤(当且仅当a b =时,取等号),当a ,b 变化时,记{}max ,m M N =(即M 、N 中较大的数),则m 的最小值为(此时,a b =);故选:C.【点睛】本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用,以及考查对新定义的理解,属于中档题.19.C【分析】 首先根据题的条件27a b +=,得到2()7a b +=,根据a ,b 为单位向量,求得12a b ⋅=,进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=,所以2()7a b +=, 即22447a a b b +⋅+=, 因为221a b ==,所以12a b ⋅=, 所以1cos ,2a b <>=,因为向量a ,b 夹角的范围为[0,180]︒︒, 所以向量a ,b 夹角的范围为60︒,故选:C.【点睛】 该题考查的是有关向量的问题,涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的,已知向量数量积求向量夹角,属于简单题目.20.B【分析】在三角形ABC 中,根据1a =,c =45B =︒,利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sin b c B C=求解. 【详解】在三角形ABC 中, 1a =,c =45B =︒,由余弦定理得:2222cos b a c ac B =+-,13221252=+-⨯⨯=,所以5b =, 由正弦定理得:sin sin b c B C=,所以2sin 42sin 55c B C b ===,故选:B【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用,所以考查了运算求解的能力,属于中档题. 21.A【分析】首先根据余弦定理求AB ,再判断ABC 的内角,并在ABD △和ADC 中,分别用正弦定理表示AD ,建立方程求DC 的值.【详解】AB =3==,222cos 22AB BC AC B AB BC +-∴===⋅, 又因为角B 是三角形的内角,所以6B π=,90BAC ∴∠=,sin BAD ∠=,cos 7BAD ∴∠==,sin cos 7DAC BAD ∴∠=∠=, 在ABD △中,由正弦定理可得sin sin BD B AD BAD ⋅=∠, 在ADC 中,由正弦定理可得sin sin DC C AD DAC⋅=∠,()1DC DC ⨯=,解得:3DC =. 故选:A【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,重点考查数形结合,转化与化归,推理能力,属于中档题型.22.C【分析】由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案.【详解】 ABC 中,AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线,它们交于点G ,可得G 为重心,则23BG BE =,2CG GF =,12DG GA =且0GA GB GC ++= 故选:C【点睛】本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理,属于中档题.23.C【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=,从而可得答案.【详解】 解:在ABC 中,(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=, a b ∴=,ABC ∴为等腰三角形,故选:C .【点睛】本题考查三角形形状的判断,考查向量的数量积的运算性质,属于中档题.24.C【解析】【分析】取BC 的中点D ,因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心,则0DW BC ⋅=, 再用AB 、AC 表示AW ,AG ,BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得.【详解】解:如图,取BC 的中点D ,因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++ ()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选:C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示,考查运算能力,属于中档题.25.D【分析】由22()S a b c +=+,利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得:1sin 2cos 22bc A bc A bc =+,化为sin 4cos 4A A -=,与22sin cos 1A A +=.解出即可.【详解】解:22()S a b c +=+,2222S b c a bc ∴=+-+,∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+, 所以sin 4cos 4A A -=,因为22sin cos 1A A +=.解得15cos 17A =-或cos 1A =-. 因为1cos 1A -<<,所以cos 1A =-舍去.15cos 17A ∴=-. 故选:D .【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.26.无27.D【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系,再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=,所以222a c b -=,即ABC 是直角三角形,选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.②化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用πA B C ++=这个结论.28.D 【分析】 利用向量的三角形法则和向量共线定理可得:DF AF AD =-,1=2AF AE ,=AE AB BE +,1=2BE BC ,=BC AD ,即可得出答案.【详解】 利用向量的三角形法则,可得DF AF AD =-,=AE AB BE +, E 为BC 的中点,F 为AE 的中点,则1=2AF AE ,1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD1324DF AB AD ∴=-. 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法:一是几何运算,往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和);二是坐标运算,建立坐标系转化为解析几何问题解答(求最值与范围问题,往往利用坐标运算比较简单).29.D【分析】由已知22:tan :tan a b A B =,利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简,然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断.【详解】∵22:tan :tan a b A B =, 由正弦定理可得,22sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos AA A AB B B B B B AB===, ∵sin sin B 0A ≠, ∴sin cos sin cos A B B A=, ∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =,∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈, ∴22A B =或22A B π+=,∴A B =或2A B π+=,即三角形为等腰或直角三角形, 故选D .【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用,利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点.30.C【分析】 化简得到22AM AB AC λμ=+,根据1AM =得到221λμλμ+-=,得到λμ+的最大值. 【详解】 ()1222AM AE AF AB AC λμ=+=+, 故2222224cos1201222AM AB AC λμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-= ⎪⎝⎭ 故()()()222223134λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-+,故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立.故选:C .【点睛】本题考查了向量的运算,最值问题,意在考查学生的综合应用能力.31.B【分析】由条件和余弦定理得到6ab =,再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知:22226c a b ab =+-+,①由余弦定理可知:222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-,②所以由①②可知,62ab ab -=-,即6ab =,则ABC 的面积为11sin 62222S ab C ==⨯⨯=. 故选:B【点睛】本题考查解三角形,重点考查转化与化归思想,计算能力,属于基础题型.32.D【分析】设CO yBC =,则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++,根据3BC CD =得出y 的范围,再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系,从而得出x 的取值范围.【详解】设CO yBC =,则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合), 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,又因为()1AO xAB x AC =+-,所以x y =-,所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选:D【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算,考查利用向量关系式求参数的取值范围问题,难度一般.33.C【分析】易求30ACB ∠=︒,在ABC 中,由正弦定理可求BC ,在BCD 中,由正弦定理可求sin BDC ∠,再由90BDC θ∠=+︒可得答案.【详解】45CBD ∠=︒,30ACB ∴∠=︒,在ABC 中,由正弦定理,得sin sin BC AB CAB ACB =∠∠,即50sin15sin30BC =︒︒,解得25(62)BC =-, 在BCD 中,由正弦定理,得sin sin BC CD BDC CBD =∠∠,即25(62)50sin 45-=︒, 31sin BDC -∴∠=,即31sin(90)θ-+︒=, 31cos θ-∴=, 故选:C .【点睛】该题考查正弦定理在实际问题中的应用,由实际问题恰当构建数学模型是解题关键.34.无35.D【分析】作出图形,过点S 作SE AC ⊥于E ,SH AB ⊥于H ,依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长,从而可得山顶高BC .【详解】解:依题意,过S 点作SE AC ⊥于E ,SH AB ⊥于H ,30SAE ∠=︒,1000AS =米,sin30500CD SE AS ∴==︒=米,依题意,在Rt HAS ∆中,453015HAS ∠=︒-︒=︒,sin15HS AS ∴=︒,在Rt BHS ∆中,30HBS ∠=︒,22000sin15BS HS ∴==︒,在Rt BSD ∆中,sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米, 1000BC BD CD ∴=+=米,故选:D .【点睛】本题主要考查正弦定理的应用,考查作图与计算的能力,属于中档题.。
2023年新考案 微专题5 数学工具——平面向量在解题中的应用(共22张PPT)
21
目录
(2)若 θ∈
π
0,
2
,向量 m= ,n=(1-cos θ,sinθ-2cos θ),求 m·n 的最
小值及对应的 θ 的值.
【解析】由题意得 C(cosθ,sinθ),m= =(cosθ+1,sin θ),
π
4
则 m·n=1-cos2θ+sin2θ-2sin θcosθ=1-cos 2θ-sin 2θ=1- 2sin 2θ+ ,
要使·最小,则与方向相反,即点 P 在线段 AD 上,则
(2·)min=-2||||,问题转化为求||||的最大值.
3
又||+||=||=2× = 3,
2
| |+| | 2
3 2 3
∴||||≤
=
= ,
2
2
4
∴
3 3
[·(+ )]min=(2·)min=-2× =- .故选
4
(1)若 θ= ,设点 D 为线段 OA 上的动点,求| + |的最小值;
2 2
2 2
【解析】
(1)设 D(t,0)(0≤t≤1),由题意知 C - ,
-
2
2
+t,
2
2
,所以 +=
,
所以| +|2= t2
2
2 2 1
+ ,
2
2
2
2
所以当 t= 时,| +|有最小值,最小值为 .
即点 B 在圆(x-2)2+y2=1 上运动.
∵=a-b,∴|a-b|的最小值即点 B 到射线 OA 的距离的最小值,为圆心(2,0)
到射线 y= 3x(x≥0)的距离减去圆的半径,
平面向量常见题型汇编(含答案)
解析:外心 在 上的投影恰好为它们的中点,分别设为 ,
所以 在 上的投影为 ,而 恰好为 中点,
故考虑 ,
所以
2.范围问题
例题8: 若过点 的直线 与 相交于 两点,则 的取值范围是_______
解析:本题中因为 位置不断变化,所以不易用数量积定义求解,可考虑利用投影,即过 作直线 的垂线,
,则 , ,
由 , 为中点可得: 为 中点,从而 在 方向上的投影分别为 ,由 即可求得 的范围为
3.综合问题
例题10:已知 为直角三角形 的外接圆, 是斜边 上的高,且 , ,点 为线段 的中点,若 是 中绕圆心 运动的一条直径,则 _________
解析:本题的难点在于 是一条运动的直径,所以很难直接用定义求解。
解析:由 可将三角形放入平面直角坐标系中,建立如图坐标系,
其中 , ,
∵ ∴
∵ ,即 当且仅当 时取等号
∴
变式2:已知点A在线段BC上(不含端点),O是直线BC外一点,且 ,则 的最小值是___________
分析:本题主要考查了不等式,不等式求最值问题,属于中档题。解决此类问题,重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式,很多情况下,要根据一正、二定、三取等的思路去思考,本题根据条件构造 ,研究的式子分别加1后变形,即可形成所需条件,应用均值不等式.
解析: ,
变式9:在平面上, , ,若 ,则 的取值范围是
分析:以 为入手点,考虑利用坐标系求解,题目中用字母表示:设 ,则 ,所求 范围即为求 的范围。下一步将题目的模长翻译成 关系,再寻找关于 的不等关系即可
解析:如图以 为轴建立坐标系:设 ,
常考问题平面向量的线性运算及综合应用
常考问题平面向量的线性运算及综合应用部门: xxx时间: xxx整理范文,仅供参考,可下载自行编辑常考问题8平面向量的线性运算及综合应用[真题感悟] 1.(2018·辽宁卷>已知点A(1,3>,B(4,-1>,则与向量A错误!同方向的单位向量为( >.b5E2RGbCAPA.错误!B.错误!p1EanqFDPwC.错误!D.错误!DXDiTa9E3d解读A错误!=(4,-1>-(1,3>=(3,-4>,∴与A错误!同方向的单位向量为错误!=错误!.RTCrpUDGiT答案A 2.(2018·福建卷>在四边形ABCD中,错误!=(1,2>,错误!=(-4,2>,则该四边形的面积为( >5PCzVD7HxAA.错误!B.2错误!C.5D.10解读因为错误!·错误!=0,所以错误!⊥错误!.jLBHrnAILg 故四边形ABCD的面积S=错误!|错误!||错误!|=错误!×错误!×2错误!=5.xHAQX74J0X答案C 3.(2018·湖北卷>已知点A(-1,1>,B(1,2>,C(-2,-1>,D(3,4>,则向量错误!在错误!方向上的投影为( >LDAYtRyKfEA.错误!B.错误!C. -错误!D.-错误!解读错误!=(2,1>,错误!=(5,5>,所以错误!在错误!方向上的投Zzz6ZB2Ltk影为错误!=错误!=错误!=错误!.dvzfvkwMI1答案A 4.(2018·新课标全国Ⅰ卷>已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t>b.若b·c=0,则t=________.rqyn14ZNXI 解读因为向量a,b为单位向量,又向量a,b的夹角为60°,所以a·b=错误!,由b·c=0,得∴b·c=ta·b+(1-t>·b2=错误!t+(1-t>×12=错误!t+1-t=1-错误!t=0.∴t=2.EmxvxOtOco答案2 5.(2018·山东卷>已知向量错误!与错误!的夹角为120°,且|错误!|=3,|错误!|=2.若A错误!=λ错误!+错误!,且错误!⊥错误!,则实数λ的值为________.SixE2yXPq5解读由错误!⊥错误!知错误!·错误!=0,即错误!·错误!=(λ错误!+错误!>·(错误!-错误!>=(λ-1>错误!·错误!-λA 错误!2+错误!2=(λ-1>×3×2×错误!-λ×9+4=0,解得λ=错误!.6ewMyirQFL答案错误![考题分析]题型选择题、填空题难度低档考查平面向量的有关概念(如单位向量>、数量积的运算(求模与夹角等>.中档在平面几何中,求边长、夹角及数量积等.高档在平面几何中,利用数量积的计算求参数值等.1.向量的概念(1>零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0.(2>长度等于1个单位长度的向量叫单位向量,a的单位向量为±错误!.(3>方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量>.(4>如果直线l的斜率为k,则a=(1,k>是直线l的一个方向向量.(5>|b|cos〈a,b〉叫做b在向量a方向上的投影.2.两非零向量平行、垂直的充要条件设a=(x1,y1>,b=(x2,y2>,(1>若a∥b⇔a=λb(λ≠0>;a∥b⇔x1y2-x2y1=0.(2>若a⊥b⇔a·b=0;a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.3.平面向量的性质(1>若a=(x,y>,则|a|=错误!=错误!.(2>若A(x1,y1>,B(x2,y2>,则|A错误!|=错误!.kavU42VRUs (3>若a=(x1,y1>,b=(x2,y2>,θ为a与b的夹角,则cosθ=错误!=错误!.y6v3ALoS89 4.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示,就要根据向量加减法的法则进行,特别是减法法则很容易使用错误,向量错误!=错误!-错误!(其中O为我们所需要的任何一个点>,这个法则就是终点向量减去起点向量.M2ub6vSTnP 5.根据平行四边形法则,对于非零向量a,b,当|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a+b|=|a-b|等价于向量a,b互相垂直,反之也成立.0YujCfmUCw 6.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求不能反向共线.eUts8ZQVRd热点一平面向量的线性运算【例1】(2018·江苏卷>设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=错误!AB,BE=错误!BC.若错误!=λ1错误!+λ2错误!(λ1,λ2为实数>,则λ1+λ2的值为________.sQsAEJkW5T解读如图,错误!=错误!+错误!=错误!错误!+错误!错误!=错误!错误!+错误!(错误!-错误!>=-错误!错误!+错误!错误!,则λ1=-错误!,λ2=错误!,λ1+λ2=错误!.GMsIasNXkA答案错误![规律方法]在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作字母,其运算类似于代数中合并同类项的运算,在计算时可以进行类比.本例中的第(1>题就是把向量错误!用TIrRGchYzg 错误!,错误!表示出来,再与题中已知向量关系式进行对比,得出相等关系式,可求相应的系数.7EqZcWLZNX【训练1】(2018·天津卷>在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若错误!·错误!=1,则AB的长为________.lzq7IGf02E 解读在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则错误!=错误!,∴错误!=错误!=错误!-错误!错误!,又错误!=错误!+错误!,zvpgeqJ1hk ∴错误!·错误!=(错误!+错误!>·(错误!-错误!错误!>=错误!2-错误!错误!·错误!+错误!·错误!-错误!错误!2=|错误!|2+错误!|错误!||错误!|·cos60°-错误!|错误!|2=1+错误!×错误!|错误!|-错误!|错误!|2=1.NrpoJac3v1∴错误!|错误!|=0,又|错误!|≠0,∴|错误!|=错误!.1nowfTG4KI答案错误!热点二平面向量的数量积【例2】若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量b与a+b的夹角为( >.A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!fjnFLDa5Zo 解读法一由已知|a+b|=|a-b|,两边平方,整理可得a·b=0.①由已知|a+b|=2|a|,两边平方,整理可得a2+b2+2a·b=4a2.②把①代入②,得b2=3a2,即|b|=错误!|a|.③而b·(a+b>=b·a+b2=b2,故cos〈b,a+b〉=错误!=tfnNhnE6e5错误!=错误!=错误!.HbmVN777sL又〈b,a+b〉∈[0,π],所以〈b,a+b〉=错误!.法二如图,作O错误!=a,O错误!=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则O错误!=a+b,B错误!=a-b.V7l4jRB8Hs 由|a+b|=|a-b|,可知|O错误!|=|B错误!|,所以平行四边形OACB是矩形.又|a+b|=|a-b|=2|a|,可得|O错误!|=|B错误!|=2|O错误!|,故在Rt△AOB中,|错误!|=错误!83lcPA59W9=错误!|O错误!|,故tan∠OBA=错误!=错误!,所以∠BOC=∠OBA=错误!.而〈b,a+b〉=∠BOC=错误!.mZkklkzaaP答案A [规律方法]求解向量的夹角,关键是正确求出两向量的数量积与模.本例中有两种解法,其一利用已知向量所满足的条件和向量的几何意义求解,其二构造三角形,将所求夹角转化为三角形的内角求解,更为直观形象.AVktR43bpw 【训练2】(2018·湖南卷>已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( >.ORjBnOwcEd A.[错误!-1,错误!+1] B.[错误!-1,错误!+2]2MiJTy0dTTC.[1,错误!+1] D.[1,错误!+2]解读由a,b为单位向量且a·b=0,可设a=(1,0>,b=(0,1>,又设c=(x,y>,代入|c-a-b|=1得(x-1>2+(y-1>2=1,又|c|=错误!,故由几何性质得错误!-1≤|c|≤错误!+1,即错误!-1≤|c|≤错误!+1.答案A热点三平面向量与三角函数的综合【例3】已知向量m=(sinx,-1>,n=(cosx,3>.(1>当m∥n时,求错误!的值;(2>已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,错误!c=2asin(A+B>,函数f(x>=(m+n>·m,求f错误!的取值范围.gIiSpiue7A解(1>由m∥n,可得3sinx=-cosx,于是tanx=-错误!,∴错误!=错误!=错误!=-错误!.uEh0U1Yfmh(2>在△ABC中A+B=π-C,于是sin(A+B>=sinC,由正弦定理,得错误!sinC=2sinAsinC,∵sinC≠0,∴sinA=错误!.又△ABC为锐角三角形,∴A=错误!,于是错误!<B<错误!.∵f(x>=(m+n>·m=(sinx+cosx,2>·(sinx,-1>=sin2x+sinxcosx-2=错误!+错误!sin2x-2=错误!sin错误!-错误!,IAg9qLsgBX ∴f错误!=错误!sin错误!-错误!=错误!sin2B-错误!.由错误!<B<错误!得错误!<2B<π,∴0<sin2B≤1,-错误!<错误!sin2B-错误!≤错误!-错误!,WwghWvVhPE即f(B+错误!>∈错误!.asfpsfpi4k [规律方法]在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题.在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.ooeyYZTjj1【训练3】(2018·江苏卷>已知向量a=(cosα,sinα>,b=(cosβ,sinβ>,0<β<α<π.BkeGuInkxI(1>若|a-b|=错误!,求证:a⊥b;(2>设c=(0,1>,若a+b=c,求α,β的值.(1>证明由|a-b|=错误!,即(cosα-cosβ>2+(sinα-sinβ>2=2,整理得cosαcosβ+sinαsinβ=0,即a·b=0,因此a⊥b.PgdO0sRlMo(2>解由已知条件得错误!3cdXwckm15 cosβ=-cosα=cos(π-α>,由0<α<π,得0<π-α<π,又0<β<π,故β=π-α.则sinα+sin (π-α>=1,即sinα=错误!,故α=错误!或α=错误!.当α=错误!时,β=错误!(舍去>h8c52WOngM 当α=错误!时,β=错误!.审题示例(四> 突破有关平面向量问题的思维障碍图1解读法一设直角三角形ABC的两腰长都为4,如图1所示,以C为原点,CA,CB所在的直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,则A(4,0>,B(0,4>,因为D为AB的中点,所以D(2,2>.因为P为CD的中点,所以P(1,1>.故|PC|2=12+12=2,|PA|2=(4-1>2+(0-1>2=10,|PB|2=(0-1>2+(4-1>2=10,所以错误!=错误!=10.v4bdyGious图2法二如图2所示,以C为坐标原点,CA,CB所在的直线分别作为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设|CA|=a,|CB|=b,则A(a,0>,B(0,b>,则D错误!,P错误!,J0bm4qMpJ9∴|PC|2=错误!2+错误!2=错误!+错误!,XVauA9grYP|PB|2=错误!2+错误!2=错误!+错误!,bR9C6TJscw|PA|2=错误!2+错误!2=错误!+错误!,pN9LBDdtrd 所以|PA|2+|PB|2=10错误!=10|PC|2,DJ8T7nHuGT∴错误!=10.法三如图3所示,取相互垂直的两个向量C错误!=a,C错误!=b 作为平面向量的基向量,显然a·b=0.QF81D7bvUA图3则在△ABC中,B错误!=a-b,因为D为AB的中点,所以C错误!=错误!(a+b>.4B7a9QFw9h 因为P为CD的中点,所以P错误!=-错误!C错误!=-错误!×错误!(a+b>=-错误!(a+b>.在△CBP中,P错误!=P错误!+C 错误!=-错误!(a+b>+b=-错误!a+错误!b,在△CAP中,P 错误!=P错误!+C错误!=-错误!(a+b>+a=错误!a-错误!b.所以|P错误!|2=错误!2=错误!(a2+b2+2a·b>=错误!(|a|2+|b|2>,|P错误!|2=错误!2=错误!a2+错误!b2-错误!a·b=错误!|a|2+错误!|b|2,|P错误!|2=错误!2=错误!a2+错误!b2-错误!a·b=错误!|a|2+错误!|b|2.故错误!=错误!=10.ix6iFA8xoX答案D 方法点评以上根据向量数与形的基本特征,结合题目中的选项以及直角三角形的条件,从三个方面提出了不同的解法,涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识,在寻找解题思路时,应牢牢地把握向量的这两个基本特征.wt6qbkCyDE [针对训练]在△ABC中,已知BC=2,错误!·错误!=1,则△ABC的面积S△ABC最大值是________.Kp5zH46zRk解读以线段BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-1,0>,C(1,0>.设A(x,y>,则错误!=(-1-x,-y>,错误!=(1-x,-y>,于是错误!·错误!=(-1-x>(1-x>+(-y>(-y>=x2-1+y2.Yl4HdOAA61由条件错误!·错误!=1知x2+y2=2,ch4PJx4BlI这表明点A在以原点为圆心,错误!为半径的圆上.当OA⊥BC时,△ABC面积最大,即S△ABC=错误!×2×错误!=错误!.(建议用时:60分钟>1.(2018·陕西卷>设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的( >.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解读由|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|,则有cos〈a,b〉=±1.即〈a,b〉=0或π,所以a∥b.由a∥b,得向量a与b同向或反向,所以〈a,b〉=0或π,所以|a·b|=|a||b|.qd3YfhxCzo答案C 2.已知向量a与b的夹角为120°,|a|=3,|a+b|=错误!则|b|等于( >.E836L11DO5A.5B.4C.3D.1解读向量a与b的夹角为120°,|a|=3,|a+b|=错误!,则a·b=|a||b|·cos120°=-错误!|b|,|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2.所以13=9-3|b|+|b|2,则|b|=-1(舍去>或|b|=4.答案B 3.(2018·辽宁一模>△ABC中D为BC边的中点,已知A错误!=a,A错误!=b则在下列向量中与A错误!同向的向量是( >.S42ehLvE3MA.错误!+错误!B.错误!-错误!501nNvZFisC.错误!D.|b|a+|a|b解读∵A错误!=错误!(A错误!+A错误!>=错误!(a+b>,jW1viftGw9∴向量错误!与向量A错误!是同向向量.xS0DOYWHLP答案C 4.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a与b的夹角为60°,且|a|=|b|=1,则向量a与c的夹角为( >.LOZMkIqI0wA.30°B.60°C.120°D.150°解读因为a+b+c=0,所以c=-(a+b>.所以|c|2=(a+b>2=a2+b2+2a·b=2+2cos60°=3.所以|c|=错误!.ZKZUQsUJed 又c·a=-(a+b>·a=-a2-a·b=-1-cos60°=-错误!,设向量c与a的夹角为θ,则cosθ=错误!=错误!=-错误!.又0°≤θ≤180°,所以θ=150°.dGY2mcoKtT答案D5.(2018·安徽卷>在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|错误!|=|错误!|=错误!·错误!=2,则点集{P|错误!=λ错误!+μ错误!,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( >.rCYbSWRLIA A.2错误!B.2错误!C.4错误!D.4错误!FyXjoFlMWh 解读由|错误!|=|错误!|=错误!·错误!=2,知cos∠AOB=错误!,又0≤∠AOB≤π,则∠AOB=错误!,又A,B是两定点,可设A(错误!,1>,B(0,2>,P(x,y>,由错误!=λ错误!+μ错误!,可得错误!⇒错误!TuWrUpPObX 因为|λ|+|μ|≤1,所以错误!+错误!≤1,当错误!7qWAq9jPqE 由可行域可得S0=错误!×2×错误!=错误!,所以由对称性可知点P所表示的区域面积S=4S0=4错误!,故选D.llVIWTNQFk答案D 6.(2018·新课标全国Ⅱ卷>已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则错误!·错误!=________.yhUQsDgRT1解读由题意知:错误!·错误!=(错误!+错误!>·(错误!-错误!>=(错误!+错误!错误!>·(错误!-错误!>=错误!2-错误!错误!·错误!-错误!错误!2=4-0-2=2.MdUZYnKS8I答案2 7.(2018·江西卷>设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为错误!,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为________.09T7t6eTno 解读a在b方向上的射影为|a|cos〈a,b〉=错误!.∵a·b=(e1+3e2>·2e1=2e错误!+6e1·e2=5.|b|=|2e1|=2.∴错误!=错误!.答案错误! 8.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰DC上的动点,则|P错误!+3P错误!|的最小值为______.e5TfZQIUB5解读建立如图所示的直角坐标系,设DC=m,P(0,t>,t∈[0,m],由题意可知,A(2,0>,B(1,m>,P错误!=(2,-t>,P错误!=(1,m-t>,P错误!+3P错误!=(5,3m-4t>,|P错误!+3P 错误!|=错误!≥5,当且仅当t=错误!m时取等号,即|P错误!+3P错误!|的最小值是5.s1SovAcVQM答案59.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴正半轴上,直线AB的倾斜角为错误!,|OB|=2,设∠AOB=θ,θ∈错误!.GXRw1kFW5s(1>用θ表示点B的坐标及|OA|;(2>若tanθ=-错误!,求O错误!·O错误!的值.UTREx49Xj9解(1>由题意,可得点B的坐标为(2cosθ,2sinθ>.在△ABO中,|OB|=2,∠BAO=错误!,∠B=π-错误!-θ=错误!-θ.由正弦定理,得错误!=错误!,8PQN3NDYyP即|OA|=2错误!sin错误!.mLPVzx7ZNw(2>由(1>,得O错误!·O错误!=|O错误!||O错误!|cosθAHP35hB02d=4错误!sin错误!cosθ.NDOcB141gT因为tanθ=-错误!,θ∈错误!,1zOk7Ly2vA所以sinθ=错误!,cosθ=-错误!.又sin错误!=sin错误!cosθ-cos错误!sinθ=错误!×错误!-错误!×错误!=错误!,fuNsDv23Kh 故O错误!·O错误!=4错误!×错误!×错误!=-错误!.tqMB9ew4YX 10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m =(a,b>,n=(sinB,sinA>,p=(b-2,a-2>.HmMJFY05dE(1>若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(2>若m⊥p,边长c=2,C=错误!,求△ABC的面积.(1>证明因为m∥n,所以asinA=bsinB,即a·错误!=b·错误!(其中R是△ABC外接圆的半径>,所以a=b.所以△ABC为等腰三角形.ViLRaIt6sk(2>解由题意,可知m·p=0,即a(b-2>+b(a-2>=0,所以a+b =ab,由余弦定理,知4=c2=a2+b2-2abcos错误!=(a+b>2-3ab,即(ab>2-3ab-4=0,所以ab=4或ab=-1(舍去>.9eK0GsX7H1所以S△AB C=错误!absinC=错误!×4×sin错误!=错误!.naK8ccr8VI11.如图所示,A,B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点,点P在单位圆上,∠AOP=θ(0<θ<π>,C点坐标为(-2,0>,平行四边形OAQP的面积为S.B6JgIVV9ao(1>求O错误!·O错误!+S的最大值;P2IpeFpap5(2>若CB∥OP,求sin错误!的值.3YIxKpScDM解(1>由已知,得A(1,0>,B(0,1>,P(cos θ,sin θ>,因为四边形OAQP是平行四边形,所以O错误!=O错误!+O错误!=(1,0>+(cosθ,sinθ>gUHFg9mdSs=(1+cosθ,sinθ>.所以O错误!·O错误!=1+cos θ.uQHOMTQe79又平行四边形OAQP的面积为S=|O错误!|·|O错误!|sinθ=sinθ,IMGWiDkflP 所以O错误!·O错误!+S=1+cosθ+sinθ=错误!sin错误!+1.WHF4OmOgAw又0<θ<π,所以当θ=错误!时,O错误!·O错误!+S的最大值为错误!+1.aDFdk6hhPd(2>由题意,知C错误!=(2,1>,O错误!=(cosθ,sinθ>,ozElQQLi4T因为CB∥OP,所以cosθ=2sinθ.又0<θ<π,cos2θ+sin2θ=1,解得sinθ=错误!,cosθ=错误!,所以sin2θ=2sinθcosθ=错误!,cos2θ=cos2θ-sin2θ=错误!.CvDtmAfjiA 所以sin错误!=sin2θcos错误!-cos2θsin错误!=错误!×错误!-错误!×错误!=错误!.QrDCRkJkxh申明:所有资料为本人收集整理,仅限个人学习使用,勿做商业用途。
高一数学三角函数综合试题答案及解析
高一数学三角函数综合试题答案及解析1.如图,已知角α的终边在第二象限,且与单位圆交于点P(m,).(Ⅰ)求实数m的值;(Ⅱ)求的值.【答案】(Ⅰ) m=﹣;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由于该圆是单位圆,=1,又角α的终边在第二象限,所以m<0,联立,可得到结果m=﹣;(Ⅱ)由m=﹣得sinα=,cosα=﹣,对式子化简,=得将数值代入,化简可得到答案.试题解析:(Ⅰ)根据题意得:=1,且m<0,解得:m=﹣;(5分)(Ⅱ)∵sinα=,cosα=﹣,∴原式= === .(10分)【考点】三角函数化简.2.(本小题满分12分)已知.(1)若,求的取值构成的集合.(2)若,求的值.【答案】(1) ;(2)【解析】(1) 先化简函数f(x),再解即可.(2) 由,即,然后代入即可.(1)由已知可得 (3分)因为,即,有 (5分).所以取值的集合为 (6分)(2)因为, (9分)所以 (12分)【考点】解三角方程;诱导公式,三角函数式的化简.3.已知,(1)若,且∥(),求x的值;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1) (2) .【解析】(1)先将向量化为代数式,即,;(2)由已知先写出,的坐标,再由则有:当时等式不成立;将写成关于的函数,即,再求函数的值域即是的取值范围为(或解)用表示,即,又因为,可解得的取值范围为.试题解析:(1),,,(2),若则有:当时等式不成立;解得:的取值范围为【考点】本题考查向量的坐标运算;向量共线的;利用三角函数的有界性求参数.4.函数y=++的值域是()A.{1}B.{1,3}C.{-1}D.{-1,3}【答案】D【解析】由题意知角X的终边不在坐标轴上。
当X为第一象限角时,当X为第二象限角时,当X为第三象限角时,当X为第四象限角时。
所以或【考点】三角函数正负符号问题5.已知向量m=(sinA,cosA),n=(,-1),m·n=1,且A为锐角.(1)求角A的大小;(2)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域.【答案】(1)A=.(2)函数f(x)的值域是.【解析】(1)由题意得m·n=sinA-cosA=1,2sin=1,sin=,由A为锐角得,A-=,∴A=.(2)由(1)知cosA=,所以f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-22+.因为x∈R,所以sinx∈[-1,1],因此,当sinx=时,f(x)有最大值,当sinx=-1时,f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是.【考点】平面向量的坐标运算,和差倍半的三角函数,三角函数的图象和性质,二次函数的图象和性质。
2020高考数学核心突破《专题三 三角函数、解三角形与平面向量》(含往年真题分析)
专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象1.(1)要得到函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象,只需将函数g (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象( C ) A .向左平移π2个单位长度B .向右平移π2个单位长度C .向左平移π4个单位长度D .向右平移π4个单位长度(2) (2017·山西朔州模拟)函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为__-1__.突破点拨(1)先利用诱导公式将两函数化为同名三角函数,再利用平移法则求解. (2)先求函数f (x )的解析式,再利用解析式求最值. 解析 (1)因为f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2-π6 =sin ⎝⎛⎭⎫π6-2x =sin ⎝⎛⎭⎫2x +5π6=sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π4+π3, 所以要得到函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象,只需将函数g (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象向左平移π4个单位长度.故选C. (2)由函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象,可得A =2,14·2πω=5π6-7π12,解得ω=2.再根据图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12,0, 可得2·7π12+φ=π+2k π,k ∈Z .因为|φ|<π2,所以φ=-π6,故函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,所以2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-π6,5π6, 故函数f (x )的最小值为2×⎝⎛⎭⎫-12=-1. 2. 某同学用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)(2)将y =f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y =g (x )的图象.若y=g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12,0,求θ的最小值.突破点拨(1)由表中数据先写出A ,ω,φ的值,再由ωx +φ=0,π,2π,求出其余值. (2)写出函数y =g (x )的解析式,由y =sin x 图象的对称中心为(k π,0),k ∈Z ,利用整体思想建立关于θ的方程,根据k ∈Z 及θ>0,求出θ的最小值.解析 (1)根据表中已知数据,解得A =5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表.且函数表达式为f (x )=5sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. (2)由(1)知f (x )=5sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6, 得g (x )=5sin ⎝⎛⎭⎫2x +2θ-π6. 因为y =sin x 的对称中心为(k π,0),k ∈Z . 令2x +2θ-π6=k π,解得x =k π2+π12-θ,k ∈Z .由于函数y =g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12,0中心对称, 令k π2+π12-θ=5π12,解得θ=k π2-π3,k ∈Z . 由θ>0可知,当k =1时,θ取得最小值π6.(1)三角函数图象平移问题需注意三点:一是函数名称是否一致;二是弄清由谁平移得到谁;三是左右的平移是自变量本身的变化.(2)对于由三角函数的图象确定函数解析式的问题,一般由函数的最值可确定A ,由函数的周期可确定ω,由对称轴或对称中心和φ的范围确定φ.题型二 三角函数的性质1. 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫π2-x sin x -3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值; (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6,2π3上的单调性. 突破点拨(1)先将已知解析式化简,然后求解.(2)根据y =A sin(ωx +φ)+k (A >0,ω>0)与y =sin x 的关系求解. 解析 (1)f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫π2-x sin x -3cos 2x =cos x sin x -32(1+cos 2x ) =12sin 2x -32cos 2x -32=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3-32. 因此f (x )的最小正周期为π,最大值为2-32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6,2π3时,0≤2x -π3≤π,从而当0≤2x -π3≤π2,即π6≤x ≤5π12时,f (x )单调递增; 当π2<2x -π3≤π,即5π12<x ≤2π3时,f (x )单调递减.综上可知,f (x )在⎣⎡⎦⎤π6,5π12上单调递增;在⎝⎛⎦⎤5π12,2π3上单调递减. 2. 设函数f (x )=sin ωx +sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π2,x ∈R . (1)若ω=12,求f (x )的最大值及相应x 的集合;(2)若x =π8是f (x )的一个零点,且0<ω<10,求ω的值和f (x )的最小正周期.突破点拨(1)先用公式化简,再利用三角函数的性质求解. (2)将x =π8代入,求ω,则周期可求.解析 由已知得f (x )=sin ωx -cos ωx =2sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π4. (1)若ω=12,则f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫12x -π4. 又x ∈R ,则2sin ⎝⎛⎭⎫12x -π4≤2,所以f (x )max =2,此时12x -π4=2k π+π2,k ∈Z ,即f (x )取最大值时,x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =4k π+3π2,k ∈Z .(2)∵x =π8是函数f (x )的一个零点,∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω-π4=0,∴π8ω-π4=k π,k ∈Z . 又0<ω<10,∴ω=2,∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4,其最小正周期为π.求解函数y =A sin(ωx +φ)的性质的三种意识(1)转化意识:利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )=A sin(ωx +φ)的形式. (2)整体意识:类比y =sin x 的性质,只需将y =A sin(ωx +φ)中的“ωx +φ”看成y =sin x 中的“x ”,采用整体代入的方法求解.(3)讨论意识:当A 为参数时,求最值应分情况讨论.三角函数的综合应用【预测】 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2ωx -π6-4sin 2ωx +2(ω>0),其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度,得到的函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫-π3,0,求当m 取得最小值时,g (x )在⎣⎡⎦⎤-π6,7π12上的单调递增区间. 思维导航(1)解题导引:①先化简函数f (x )的解析式,再利用图象与x 轴相邻两个交点的距离是半个周期求解析式;②先求函数g (x )的解析式,再求在⎣⎡⎦⎤-π6,7π12上的单调递增区间. (2)方法指导:三角函数的综合应用主要是将三角函数的图象和性质与三角变换相结合,通过变换将函数化为y =A sin(ωx +φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意整体思想的应用.规范解答(1)函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2ωx -π6-4sin 2ωx +2 =32sin 2ωx -12cos 2ωx -4×1-cos 2ωx 2+2 =32sin 2ωx +32cos 2ωx =3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π3(ω>0). 根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2,可得函数f (x )的最小正周期为2×π2=2π2ω,得ω=1. 故函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数 g (x )=3sin ⎣⎡⎦⎤2(x +m )+π3=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +2m +π3的图象.根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫-π3,0, 可得3sin ⎝⎛⎭⎫-2π3+2m +π3=0, 即sin ⎝⎛⎭⎫2m -π3=0, 所以2m -π3=k π(k ∈Z ),m =k π2+π6(k ∈Z ).因为m >0,所以当k =0时,m 取得最小值,且最小值为π6.此时,g (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3. 令2k π-π2≤2x +2π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-7π12≤x ≤k π-π12,k ∈Z ,故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-7π12,k π-π12,k ∈Z . 结合x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,7π12,可得g (x )在⎣⎡⎦⎤-π6,7π12上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π6,-π12和⎣⎡⎦⎤5π12,7π12. 【变式考法】 已知向量a =(m ,cos 2x ),b =(sin 2x ,n ),函数f (x )=a·b ,且y =f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12,3和点⎝⎛⎭⎫2π3,-2. (1)求m ,n 的值;(2)将y =f (x )的图象向左平移φ (0<φ<π)个单位后得到函数y =g (x )的图象,若y =g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y =g (x )的单调递增区间.解析 (1)由题意,知 f (x )=a·b =m sin 2x +n cos 2x .因为y =f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12,3和⎝⎛⎭⎫2π3,-2, 所以⎩⎨⎧3=m sin π6+n cos π6,-2=m sin 4π3+n cos 4π3,即⎩⎨⎧3=12m +32n ,-2=-32m -12n ,解得m =3,n =1.(2)由(1)知f (x )=3sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6. 由题意知g (x )=f (x +φ)=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +2φ+π6. 设y =g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2),由题意知x 20+1=1,所以x 0=0,即y =g (x )的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2). 将其代入y =g (x )并整理得sin ⎝⎛⎭⎫2φ+π6=1, 因为0<φ<π,所以φ=π6.因此g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=2cos 2x . 由2k π-π≤2x ≤2k π,k ∈Z ,得k π-π2≤x ≤k π,k ∈Z ,所以函数y =g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-π2,k π,k ∈Z .1.(教材回归)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2 B .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2 C .y =sin 2x +cos 2xD .y =sin x +cos x解析 y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2=-sin 2x ,符合题意,故选A. 2.(2017·广西南宁质检)将函数y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象向左平移π6个单位长度后,得到f (x )的图象,则( B )A .f (x )=-sin 2xB .f (x )的图象关于直线x =-π3对称C .f ⎝⎛⎭⎫7π3=12D .f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12,0对称 解析 将函数y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象向左平移π6个单位长度,得到的图象对应的解析式为f (x )=cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π6+π3=cos ⎝⎛⎭⎫2x +2π3.函数f (x )的图象的对称轴满足2x +2π3=k π(k ∈Z ),即对称轴方程为x =k π2-π3(k ∈Z ),所以f (x )的图象关于直线x =-π3对称;令2x +2π3=k π+π2,得x =k π2-π12(k ∈Z ),即f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫-π12,0对称;f ⎝⎛⎭⎫7π3=-12.故选B. 3.(2017·湖北襄阳模拟)同时具有性质“①最小正周期是4π;②直线x =π3是图象的一条对称轴;③在区间⎝⎛⎭⎫2π3,5π6上是减函数”的一个函数是( D )A .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6B .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π6 C .y =cos ⎝⎛⎭⎫x 2+π3D .y =sin ⎝⎛⎭⎫x 2+π3解析 对于A 项,B 项,∵T =2π2=π,故A 项,B 项不正确.对于C 项,若直线x =π3为其图象的一条对称轴,则π3×12+π3=k π,k ∈Z ,得π2=k π,k ∈Z ,k 不存在,不满足题意,故C 项不正确.对于D 项,因为T =2π12=4π,且由x 2+π3=k π+π2,k ∈Z ,解得图象的对称轴方程为x =2k π+π3,k ∈Z ;当k =0时,x =π3为图象的一条对称轴.由2k π+π2≤x 2+π3≤2k π+3π2,k ∈Z ,解得单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π+π3,4k π+7π3,k ∈Z ,所以函数在区间⎝⎛⎭⎫2π3,5π6上是减函数,故D 项正确.故选D.4.(2017·山西晋中考前测试)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,将函数y =f (x )的图象向左平移4π3个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,则函数y =g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2,5π2上的最大值为( C )A .3B .332C.322D .22解析 由图象可知函数y =f (x )的周期为2⎝⎛⎭⎫7π3-π3=4π, ∴ω=12.又点⎝⎛⎭⎫π3,0,⎝⎛⎭⎫0,-32在函数y =f (x )的图象上, ∴⎩⎨⎧A sin ⎝⎛⎭⎫π6+φ=0,A sin φ=-32,且|φ|<π2.∴φ=-π6,A =3,则f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫12x -π6, ∴g (x )=3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x +4π3-π6=3cos 12x . 由x ∈⎣⎡⎦⎤π2,5π2,可得12x ∈⎣⎡⎦⎤π4,5π4,则3cos 12x ∈⎣⎡⎦⎤-3,322,即g (x )的最大值为322.5.(书中淘金)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y =a +A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x -6)(x =1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温为__20.5__℃.解析 依题意知,a =28+182=23,A =28-182=5,所以y =23+5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x -6),当x =10时,y =23+5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4=20.5. 答案 20.56.(高考改编)把函数y =sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y =f (x )的图象,对于函数y =f (x )有以下四个判断:①该函数的解析式为y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6;②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3,0对称;③该函数在⎣⎡⎦⎤0,π6上是增函数;④若函数y =f (x )+a 在⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为3,则a =2 3. 其中,正确判断的序号是__②④__.解析 将函数y =sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y =sin 2⎝⎛⎭⎫x +π6=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象,然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象,所以①不正确.f ⎝⎛⎭⎫π3=2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3+π3=2sin π=0,所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3,0对称,所以②正确.由-π2+2k π≤2x +π3≤π2+2k π,k ∈Z ,得-5π12+k π≤x ≤π12+k π,k ∈Z ,∴函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤-5π12+k π,π12+k π,k ∈Z ,而⎣⎡⎦⎤0,π6⃘⎣⎡⎦⎤-512π+k π,π12+k π(k ∈Z ),所以③不正确.y =f (x )+a =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3+a ,当0≤x ≤π2时,π3≤2x +π3≤4π3,所以当2x +π3=4π3,即x =π2时,函数取得最小值,y min =2sin 4π3+a =-3+a ,令-3+a =3,得a =23,所以④正确.所以正确的判断为②④.7.(考点聚焦)设函数f (x )=32-3sin 2ωx -sin ωx ·cos ωx (ω>0),且y =f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值;(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π,3π2上的最大值和最小值. 解析 (1)f (x )=32-3sin 2ωx -sin ωx cos ωx =32-3·1-cos 2ωx 2-12sin 2ωx =32cos 2ωx -12sin 2ωx =-sin ⎝⎛⎭⎫2ωx -π3=sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +2π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,又ω>0,所以2π2ω=4×π4.因此ω=1.(2)由(1)知f (x )=-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3. 当π≤x ≤3π2时,5π3≤2x -π3≤8π3,所以-32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3≤1. 因此-1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π,3π2上的最大值和最小值分别为32,-1. 8.(2018·山东青岛调考)已知函数f (x )=2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x +π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间; (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,求函数f (x )的值域. 解析 (1)f (x )=2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x +12cos x=3×1-cos 2x 2+12sin 2x=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+32. 函数f (x )的最小正周期为T =π. 由-π2+2k π≤2x -π3≤π2+2k π,k ∈Z ,解得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤-π12+k π,5π12+k π,k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,2x -π3∈⎣⎡⎦⎤-π3,2π3, sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3∈⎣⎡⎦⎤-32,1, 可得函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0,1+32. 9.(母题营养)已知函数f (x )=sin x cos x +12cos 2x .(1)若tan θ=2,求f (θ)的值;(2)若函数y =g (x )的图象是由函数y =f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到,且g (x )在区间(0,m )内是单调函数,求实数m 的最大值.解析 (1)因为tan θ=2,所以sin θ=2cos θ. 代入sin 2θ+cos 2θ=1,得cos 2θ=15.所以f (θ)=sin θcos θ+12cos 2θ=2cos 2θ+12(2cos 2θ-1)=3cos 2θ-12=110.(2)由已知得f (x )=12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. 依题意,得g (x )=22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π4+π4, 即g (x )=22sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4. 因为x ∈(0,m ),所以2x -π4∈⎝⎛⎭⎫-π4,2m -π4. 又因为g (x )在区间(0,m )内是单调函数,所以-π4<2m -π4≤π2,即0<m ≤3π8,故实数m的最大值为3π8.10.(母题营养)设函数f (x )=sin 2ωx +23sin ωx ·cos ωx -cos 2ωx +λ(x ∈R )的图象关于直线x =π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈⎝⎛⎭⎫12,1.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若y =f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4,0,求函数f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2上的值域. 解析 (1)因为f (x )=sin 2ωx +23sin ωx ·cos ωx -cos 2ωx +λ=-cos 2ωx +3sin 2ωx +λ=2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx -π6+λ,由直线x =π是y =f (x )图象的一条对称轴,可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ-π6=±1,所以2ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z ),即ω=k 2+13(k ∈Z ).又ω∈⎝⎛⎭⎫12,1,k ∈Z ,所以k =1,从而ω=56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y =f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4,0,得f ⎝⎛⎭⎫π4=0, 即λ=-2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2-π6=-2sin π4=-2, 即λ=- 2.故f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫53x -π6-2, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴53x -π6∈⎣⎡⎦⎤-π6,2π3, ∴函数f (x )的值域为[-1-2,2-2].1.函数f (x )=cos(w x +φ)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π-14,k π+34,k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π-14,2k π+34,k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k -14,k +34,k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k -14,2k +34,k ∈Z 解析 由题图可知T 2=54-14=1,所以T =2.结合题图可知,在⎣⎡⎦⎤-34,54(f (x )的一个周期)内,函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫-14,34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知,f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k -14,2k +34,k ∈Z ,故选D. 2.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2 B .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2 C .y =sin 2x +cos 2xD .y =sin x +cos x解析 y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2=-sin 2x 是奇函数,图象关于原点对称,且最小正周期为π,A 项正确.y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=cos 2x ,是偶函数,B 项错误.y =sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4,非奇非偶,C 项错误.y =sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,非奇非偶,D 项错误.故选A. 3.为了得到函数y =sin(2x +1)的图象,只需把函数y =sin 2x 的图象上所有的点( A ) A .向左平行移动12个单位长度B .向右平行移动12个单位长度C .向左平行移动1个单位长度D .向右平行移动1个单位长度 解析 ∵y =sin(2x +1)=sin 2⎝⎛⎭⎫x +12, ∴只需把y =sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y =sin(2x +1)的图象.故选A.4.将函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B .π2C.π4D .-π4解析 y =sin(2x +φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π8+φ=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+φ是偶函数,即π4+φ=k π+π2(k ∈Z )⇒φ=k π+π4(k ∈Z ),当k =0时,φ=π4,故选C.5.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫π6x +φ+k ,据此函数可知,这段时间水深的最大值为( C )A .5 mB .6 mC .8 mD .10 m解析 由题意可知,当sin ⎝⎛⎭⎫π6x +φ=-1时,函数取得最小值2,即3×(-1)+k =2,∴k =5.因此,函数的最大值是8,故水深的最大值为8 m.6.将函数y =3cos x +sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( B )A.π12 B .π6C.π3D .5π6解析 y =3cos x +sin x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3,向左平移m 个单位长度后得到y =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3+m ,由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3+m =±1,∴π3+m =k π+π2,k ∈Z ,∴m =k π+π6,k ∈Z ,又m >0,∴m 的最小值为π6.7.已知函数f (x )=A sin(w x +φ)(A ,w ,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x =2π3时,函数f (x )取得最小值,则下列结论正确的是( A )A .f (2)<f (-2)<f (0)B .f (0)<f (2)<f (-2)C .f (-2)<f (0)<f (2)D .f (2)<f (0)<f (-2)解析 ∵ω>0,∴T =2πω=π,∴ω=2.又A >0,∴f ⎝⎛⎭⎫2π3=-A , 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3+φ=-1,得φ+4π3=2k π+32π(k ∈Z ), 即φ=2k π+π6(k ∈Z ).又∵φ>0,∴可取f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6, ∴f (2)=A sin ⎝⎛⎭⎫4+π6, f (-2)=A sin ⎝⎛⎭⎫-4+π6,f (0)=A sin π6. ∵π<4+π6<3π2,∴f (2)<0.∵-7π6<-4+π6<-π,且y =sin x 在⎝⎛⎭⎫-7π6,-π上为减函数, ∴sin ⎝⎛⎭⎫-4+π6<sin ⎝⎛⎭⎫-7π6=sin π6,且sin ⎝⎛⎭⎫-4+π6>sin(-π)=0,从而有0<f (-2)<f (0).故有f (2)<f (-2)<f (0).故选A.8.将函数f (x )=sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2,有|x 1-x 2|min =π3,则φ=( D )A.5π12B .π3C.π4D .π6解析 g (x )=sin[2(x -φ)] =sin(2x -2φ). ∵|f (x )|≤1,|g (x )|≤1, ∴|f (x )-g (x )|≤2,当且仅当f (x 1)=1,g (x 2)=-1或f (x 1)=-1,g (x 2)=1时,满足|f (x 1)-g (x 2)|=2. 不妨设A (x 1,-1)是函数f (x )图象的一个最低点,B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点, 于是x 1=k 1π+3π4(k 1∈Z ),x 2=k 2π+π4+φ(k 2 ∈Z ).∴|x 1-x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4-⎝⎛⎭⎫π4+φ=⎪⎪⎪⎪π2-φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,|x 1-x 2|min =π3, ∴π2-φ=π3,即φ=π6,故选D. 9.已知函数f (x )=2sin x +φ2cos x +φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2,且对于任意的x ∈R ,f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6,则( C ) A .f (x )=f (x +π) B .f (x )=f ⎝⎛⎭⎫x +π2 C .f (x )=f ⎝⎛⎭⎫π3-xD .f (x )=f ⎝⎛⎭⎫π6-x解析 f (x )=sin(x +φ).由题意,可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立,即sin(x +φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6+φ.又因为|φ|<π2,所以π6+φ=π2,所以φ=π3,所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π3.f ⎝⎛⎭⎫π3-x =sin ⎝⎛⎭⎫π3-x +π3=sin ⎣⎡⎦⎤-⎝⎛⎭⎫π3+x +π=sin ⎝⎛⎭⎫x +π3=f (x ).故选C. 10.已知函数f (x )=3sin w x +cos w x (w >0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列,把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位,得到函数g (x )的图象.下列说法正确的是( D )A .g (x )在⎣⎡⎦⎤π4,π2上是增函数B .g (x )的图象关于直线x =-π4对称C .函数g (x )是奇函数D .当x ∈⎣⎡⎦⎤π6,2π3时,函数g (x )的值域是[-2,1]解析 f (x )=3sin ωx +cos ωx =2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6,由题意知T 2=π2,∴T =π,∴ω=2πT=2,∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位,得到g (x )=2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π6+π6=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=2cos 2x 的图象,易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4,π2上是减函数,其图象不关于直线x =-π4对称,所以A 项,B 项,C 项错误.当x ∈⎣⎡⎦⎤π6,2π3时,2x ∈⎣⎡⎦⎤π3,4π3,则g (x )min =2cos π=-2,g (x )max =2cos π3=1,即函数g (x )的值域为[-2,1],故选D.11.函数f (x )=2x -4sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,π2的图象大致是( D )解析 因为函数f (x )是奇函数,所以排除A ,B 项,f ′(x )=2-4cos x ,令f ′(x )=2-4cos x =0,得x =±π3,故选D.12.函数f (x )=A sin w x (A >0,w >0)的部分图象如图所示,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)的值为( A )A .2+2B .32C .62D .-2解析 由题图可知,A =2,T =8,2πω=8,ω=π4,∴f (x )=2sin π4x ,∴f (1)=2,f (2)=2,f (3)=2,f (4)=0,f (5)=-2,f (6)=-2,f (7)=-2,f (8)=0,而2 018=8×252+2,∴f (1)+f (2)+…+f (2 018)=f (1)+f (2)=2+ 2.故选A.第2讲 三角变换与解三角形题型一三角恒等变换1.(1)(2018·河南郑州模拟)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=( A )A.17 B .16C .57D .56(2) (2017·河北唐山中学模拟)已知α是三角形的内角,sin ⎝⎛⎭⎫α+π3=45,则cos ⎝⎛⎭⎫5π12-α=( D )A.210B .-210C .-7210D .7210突破点拨(1)注意到β=(α+β)-α,再结合已知条件求tan β的值. (2)注意到cos ⎝⎛⎭⎫5π12-α=-cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α+π3+π4,再实施运算. 解析 (1)tan β=tan[(α+β)-α] =tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)·tan α=12-131+12×13=17.故选A.(2)∵α是三角形的内角,sin ⎝⎛⎭⎫α+π3=45<32, ∴α+π3是钝角,∴cos ⎝⎛⎭⎫α+π3=-35,cos ⎝⎛⎭⎫5π12-α=-cos ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫5π12-α=-cos ⎝⎛⎭⎫712π+α=-cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α+π3+π4=-cos ⎝⎛⎭⎫α+π3·cos π4+sin ⎝⎛⎭⎫α+π3sin π4=7210.故选D. 2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6+α·cos ⎝⎛⎭⎫π3-α=-14,α∈⎝⎛⎭⎫π3,π2. (1)求sin 2α的值; (2)求tan α-1tan α的值. 突破点拨(1)利用诱导公式转化为二倍角公式,再利用同角三角函数基本关系式求解. (2)切化弦,转化为二倍角公式,再利用(1)的结论求解. 解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6+α·cos ⎝⎛⎭⎫π3-α =cos ⎝⎛⎭⎫π6+α·sin ⎝⎛⎭⎫π6+α=12sin ⎝⎛⎭⎫2α+π3=-14, 即sin ⎝⎛⎭⎫2α+π3=-12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3,π2,∴2α+π3∈⎝⎛⎭⎫π,4π3, ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α+π3=-32, ∴sin 2α=sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α+π3-π3=sin ⎝⎛⎭⎫2α+π3cos π3-cos ⎝⎛⎭⎫2α+π3sin π3=12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3,π2,∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3,π, 又由(1)知sin 2α=12,∴cos 2α=-32.∴tan α-1tan α=sin αcos α-cos αsin α=sin 2α-cos 2αsin α cos α=-2cos 2αsin 2α=-2×-3212=2 3.利用三角恒等变换公式解题的常用技巧(1)项的分拆与角的配凑:如sin 2α+2cos 2α=(sin 2α+cos 2α)+cos 2α,α=(α-β)+β等. (2)降幂与升幂:通过二倍角公式得到. (3)弦、切互化:一般是切化弦. 题型二 解三角形1. 已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B =2sin A sin C . (1)若a =b ,求cos B ;(2)设B =90°,且a =2,求△ABC 的面积. 突破点拨(1)根据正弦定理把已知条件转化为边的关系,然后利用余弦定理求解.(2)利用勾股定理得到边的一个方程,结合已知条件解方程组求得边长,然后求面积.解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2=2ac . 又a =b ,可得b =2c ,a =2c . 由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =14.(2)由(1)知b 2=2ac . 因为B =90°,由勾股定理得a 2+c 2=b 2,故a 2+c 2=2ac ,进而可得c =a = 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2=1.【变式考法】 (1)在本例条件下,求角B 的范围. (2)在本例条件下,若B =60°,b =2,求a 的值. 解析 (1)因为b 2=2ac ,所以cos B =a 2+c 2-b 22ac ≥2ac -2ac2ac =0,又因为0<B <π,所以0<B ≤π2.(2)因为b 2=2ac ,b =2,所以ac =1, 又因为b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以a 2+c 2=3, 所以a +c =5, 所以a =5+12或5-12. 2. △ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin ∠B sin ∠C; (2)若AD =1,DC =22,求BD 和AC 的长. 突破点拨(1)利用面积关系得边的关系,再利用正弦定理求解. (2)先利用面积比求BD ,再利用余弦定理求解. 解析 (1)S △ABD =12AB ·AD sin ∠BAD ,S △ADC =12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD =∠CAD ,所以AB =2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C =AC AB =12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC ,所以BD = 2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知 AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD cos ∠ADB , AC 2=AD 2+DC 2-2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6. 由(1)知AB =2AC ,所以AC =1.利用正、余弦定理解三角形的技巧解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理,正弦定理可以将角转化为边,也可以将边转化成角,当涉及边的平方关系时,一般利用余弦定理,要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式,灵活选用.有关解三角形的综合问题(1)求∠ACP ;(2)若△APB 的面积是332,求sin ∠BAP .思维导航(1)由已知条件选择余弦定理求得AP .(2)由三角形的面积和(1)结论解得PB ,再由余弦定理及正弦定理求得AB 和sin ∠BAP . 规范解答(1)在△APC 中,因为∠P AC =60°,PC =2,AP +AC =4, 由余弦定理得PC 2=AP 2+AC 2-2AP ·AC ·cos ∠P AC ,所以22=AP 2+(4-AP )2-2AP ·(4-AP )·cos 60°,整理得AP 2-4AP +4=0,解得AP =2,所以AC =2.所以△APC 是等边三角形,所以∠ACP =60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角,所以∠APB =120°.因为△APB 的面积是332,所以12AP ·PB ·sin ∠APB =332,所以PB =3.在△APB 中,AB 2=AP 2+PB 2-2AP ·PB ·cos ∠APB =22+32-2×2×3×cos 120°=19,所以AB =19.在△APB 中,由正弦定理得AB sin ∠APB =PBsin ∠BAP,所以sin ∠BAP =3sin 120°19=35738.【变式考法】 (2017·广州模拟)如图,在△ABC 中,∠ABC =30°,AB =3,AC =1,AC <BC ,P 为BC 右上方一点,满足∠BPC =90°.(1)若BP =2,求AP 的长; (2)求△BPC 周长的最大值.解析 由题意知1=AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos ∠ABC =3+BC 2-3BC ,解得BC =2(BC =1舍去,则∠CAB =90°.又∠BPC =90°,且BP =2,所以∠PBC =45°,从而∠ABP =75°.连接AP ,由余弦定理得AP =3+2-2×3×2×6-24=6+22. (2)由(1)可知BC =2或BC =1,又因为求△BPC 周长的最大值,所以BC =2,设BP =m ,PC =n ,则m 2+n 2=4.由于BC 长为定值,因此求△BPC 周长的最大值只需求BP +PC =m +n 的最大值即可. 又4=m 2+n 2≥(m +n )22,则m +n ≤22, 当且仅当m =n =2时取等号,此时△BPC 的周长取得最大值,为2+2 2.1.(教材回归)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( D ) A .-32B .32C .-12D .12解析 原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=12,故选D.2.(2017·“江南十校”模拟)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若C=2B ,则sin Bsin A=( D )A.c 2a 2+b 2-c 2 B .b 2a 2+b 2-c 2C.a 2a 2+b 2-c2 D .c 2a 2+c 2-b2解析 由已知,得sin C =sin 2B =2sin B cos B , 所以sin C sin B =2cos B .由正弦定理及余弦定理,得c b =2×a 2+c 2-b 22ac ,则b a =c 2a 2+c 2-b2. 再由正弦定理,得sin B sin A =c 2a 2+c 2-b 2,故选D.3.已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为__3__.解析 tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan α=17-(-2)1+17×(-2)=3.4.(2017·河南郑州调考)已知△ABC 中,角C 为直角,D 是边BC 上一点,M 是AD 上一点,且CD =1,∠DBM =∠DMB =∠CAB ,则MA =__2__.解析 如图,设∠DMB =θ,则∠ADC =2θ,∠DAC =π2-2θ,∠AMB =π-θ,∠ABM =π2-2θ,在Rt △ABC 中,cos θ=cos ∠CAB =ACAB ;在△CDA 中,由正弦定理得CD sin ⎝⎛⎭⎫π2-2θ=ACsin 2θ; 在△AMB 中,由正弦定理得MA sin ⎝⎛⎭⎫π2-2θ=ABsin (π-θ), ∴CD MA =AC ·sin θAB ·sin 2θ=AC ·sin θ2AB ·sin θcos θ=12,从而MA =2. 5.在△ABC 中,a =4,b =5,c =6,则sin 2Asin C=__1__.解析 在△ABC 中,由余弦定理的推论可得cos A =b 2+c 2-a 22bc =52+62-422×5×6=34,由正弦定理可知sin 2A sin C =2sin A cos A sin C =2a ·cos Ac =2×4×346=1.6.(书中淘金)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD解析 依题意有AB =600,∠CAB =30°,∠CBA =180°-75°=105°,∠DBC =30°,DC ⊥CB . ∴∠ACB =45°,在△ABC 中,由AB sin ∠ACB =CB sin ∠CAB ,得600sin 45°=CBsin 30°, 有CB =3002,在Rt △BCD 中,CD =CB ·tan 30°=1006, 则此山的高度CD =100 6 m.7.(考点聚焦)已知函数f (x )=2sin ωx +m cos ωx (ω>0,m >0)的最小值为-2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2=65,θ∈⎝⎛⎭⎫π4,3π4,求f ⎝⎛⎭⎫θ+π8的值. 解析 (1)易知f (x )=2+m 2sin(ωx +φ)(φ为辅助角), ∴f (x )min =-2+m 2=-2,∴m = 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π,∴2πω=π,∴ω=2.(2)由(1)得f (x )=2sin 2x +2cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2=2sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=65, ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=35, ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4,3π4,∴θ+π4∈⎝⎛⎭⎫π2,π,∴cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=-1-sin 2⎝⎛⎭⎫θ+π4=-45, ∴f ⎝⎛⎭⎫θ+π8=2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ+π8+π4=2sin ⎝⎛⎭⎫2θ+π2 =2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ+π4=4sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4 =4×35×⎝⎛⎭⎫-45=-4825. 8.(教材回归)在△ABC 中,已知AB =2,AC =3,A =60°. (1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.解析 (1)由余弦定理知,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =4+9-2×2×3×12=7,所以BC =7.(2)由正弦定理知sin C =AB BC ·sin A =2sin 60°7=217.因为AB <BC ,所以C <A ,所以C 为锐角, 则cos C =1-sin 2C =1-37=277. 因此sin 2C =2sin C ·cos C =2×217×277=437. 9.(2017·河北唐山二模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a 2+b 2=λab . (1)若λ=6,B =5π6,求sin A ;(2)若λ=4,AB 边上的高为3c6,求C . 解析 (1)已知B =5π6,a 2+b 2=6ab ,结合正弦定理得4sin 2A -26sin A +1=0,解得sin A =6±24. 因为0<A <π6,所以sin A <12,所以sin A =6-24.(2)由题意可知S △ABC =12ab sin C =312c 2,得12ab sin C =312(a 2+b 2-2ab cos C )=312(4ab -2ab cos C ). 从而有3sin C +cos C =2,即sin ⎝⎛⎭⎫C +π6=1. 又π6<C +π6<7π6,所以C =π3.10.(2017·山东淄博模拟)已知a ,b ,c 分别为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边,且a cos C +3a sin C -b -c =0.(1)求A ;(2)若a =2,求△ABC 面积的最大值.解析 (1)由a cos C +3a sin C -b -c =0及正弦定理, 得sin A cos C +3sin A sin C -sin B -sin C =0. 因为B =π-A -C ,所以3sin A sin C -cos A sin C -sin C =0. 易知sin C ≠0,所以3sin A -cos A =1, 所以sin ⎝⎛⎭⎫A -π6=12.又0<A <π,所以A =π3. (2)方法一 由(1)得B +C =2π3⇒C =2π3-B ⎝⎛⎭⎫0<B <2π3,因为a sin A =2sin π3=43, 所以由正弦定理得b =43sin B ,c =43sin C . 所以S △ABC =12bc sin A =12×43sin B ×43sin C ·sin π3=433sin B ·sin C =433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3-B =433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B +12sin 2B =sin 2B -33cos 2B +33=233sin ⎝⎛⎭⎫2B -π6+33.易知-π6<2B -π6<7π6, 故当2B -π6=π2,即B =π3时,S △ABC 取得最大值,最大值为233+33= 3.方法二 由(1)知A =π3,又a =2,由余弦定理得22=b 2+c 2-2bc cos π3,即b 2+c 2-bc =4⇒bc +4=b 2+c 2≥2bc ⇒bc ≤4,当且仅当b =c=2时,等号成立.所以S △ABC =12bc sin A =12×32bc ≤34×4=3,即当b =c =2时,S △ABC 取得最大值,最大值为 3.1.已知函数f (x )=2cos 2x -sin ⎝⎛⎭⎫2x -7π6. (1)求函数f (x )的最大值,并写出f (x )取最大值时x 的取值集合;(2)已知△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f (A )=32,b +c =2,求实数a的取值范围.解析 (1)f (x )=(1+cos 2x )-⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6-cos 2x sin 7π6 =1+32sin 2x +12cos 2x =1+sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6, ∴函数f (x )的最大值为2,当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6=1, 即2x +π6=2k π+π2,k ∈Z ,即x =k π+π6,k ∈Z 时取到.∴函数f (x )取最大值时x 的取值集合为x ⎪⎪⎭⎬⎫x =k π+π6,k ∈Z . (2)由题意,f (A )=sin ⎝⎛⎭⎫2A +π6+1=32, 化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A +π6=12. ∵A ∈(0,π),∴2A +π6∈⎝⎛⎭⎫π6,13π6, ∴2A +π6=5π6,∴A =π3.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2-2bc cos π3=(b +c )2-3bc .由b +c =2,知bc ≤⎝⎛⎭⎫b +c 22= 1,即a 2≥1,当b =c =1时取等号. 又由b +c >a ,得a <2, ∴a 的取值范围是[1,2).2.已知a ,b ,c 分别是△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边,且c =2,C =π3.(1)若△ABC 的面积等于3,求a ,b ; (2)若sin C +sin(B -A )=2sin 2A ,求A 的值. 解析 (1)∵c =2,C =π3,∴由余弦定理得4=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2-ab .∵△ABC 的面积等于3, ∴12ab sin C =3,∴ab =4, 联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 2+b 2-ab =4,ab =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =2.(2)∵sin C +sin(B -A )=2sin 2A , ∴sin(B +A )+sin(B -A )=4sin A cos A , ∴sin B cos A =2sin A cos A . ①当cos A =0时,A =π2;②当cos A ≠0时,sin B =2sin A ,由正弦定理得b =2a ,联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2-ab =4,b =2a ,解得⎩⎨⎧a =233,b =433,∴b 2=a 2+c 2,∵C =π3,∴A =π6.综上所述,A =π2或A =π6.3.(2017·浙江重点中学联考)已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若C =2B ,求证:cos A =3cos B -4cos 3B ;(2)若b sin B -c sin C =a ,且△ABC 的面积S =b 2+c 2-a 24,求角B .解析 (1)证明:∵C =2B ,∴A =π-3B , ∴cos A =cos(π-3B )=-cos(B +2B ) =-cos B cos 2B +sin B sin 2B =-cos B (2cos 2B -1)+2sin 2B cos B=cos B -2cos 3B +2cos B (1-cos 2B )=3cos B -4cos 3B , ∴cos A =3cos B -4cos 3B .(2)在△ABC 中,∵S =b 2+c 2-a 24,∴S =b 2+c 2-a 24=12bc sin A .由余弦定理知b 2+c 2-a 24=12bc cos A ,∴12bc cos A =12bc sin A ,∴tan A =1, 而A ∈(0,π),∴A =π4.∵b sin B -c sin C =a ,由正弦定理,得 sin 2B -sin 2C =sin A =22, ∴cos 2C -cos 2B = 2.∵2C =2π-2A -2B =3π2-2B ,∴-sin 2B -cos 2B =2,∴sin ⎝⎛⎭⎫2B +π4=-1. ∵B ∈(0,π),∴2B +π4=3π2,∴B =5π8.4.(2017·武汉武昌五月调研)已和函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0,12,且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0,π]上的单调递增区间;(2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,若f ⎝⎛⎭⎫A 2-cos A =12,bc =1,b +c =3,求a 的值.解析 (1)将⎝⎛⎭⎫0,12代入f (x )的解析式,得sin φ=12. 又因为0<φ<π2,所以φ=π6.又因为最小正周期T =π2×2=π,所以ω=2.所以函数f (x )的解析式为f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6. 因为x ∈[0,π], 所以π6≤2x +π6≤13π6,所以2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π6,π2或2x +π6∈⎣⎡⎦⎤3π2,13π6时,f (x )递增,即x ∈⎣⎡⎦⎤0,π6或x ∈⎣⎡⎦⎤2π3,π时,f (x )递增.所以函数f (x )在[0,π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0,π6,⎣⎡⎦⎤2π3,π. (2)由(1)知f ⎝⎛⎭⎫A 2=sin ⎝⎛⎭⎫A +π6,代入已知等式得 sin ⎝⎛⎭⎫A +π6-cos A =32sin A +12cos A -cos A =32sin A -12cos A =sin ⎝⎛⎭⎫A -π6=12, 所以A -π6=π6或5π6,即A =π3或A =π(舍去).又因为bc =1,b +c =3,由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A =b 2+c 2-bc =(b +c )2-3bc =6,所以a = 6. 5.(2018·山东青岛模拟)在△ABC 中,边a ,b ,c 的对角分别为A ,B ,C ,且b =4,A =π3,面积S =2 3. (1)求a 的值;(2)设f (x )=2(cos C sin x -cos A cos x ),将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象,求g (x )的单调增区间.解析 (1)在△ABC 中,∵S =12bc sin A ,∴23=12×4×c ×32,∴c =2.∴a =b 2+c 2-2bc cos A =16+4-2×4×2×12=2 3.(2)∵a sin A =b sin B ,即2332=4sin B,∴sin B =1, 又0<B <π,∴B =π2,∴C =π6,∴f (x )=2(cos C sin x -cos A cos x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x -π6, 将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),得到的图象对应的函数解析式为g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6, 令2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2(k ∈Z ),解得k π-π6≤x ≤k π+π3(k ∈Z ),故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π-π6,k π+π3(k ∈Z ). 6.(2018·辽宁协作体一模)设△ABC 是锐角三角形,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且(sin A -sin B )(sin A +sin B )=sin ⎝⎛⎭⎫π3+B sin ⎝⎛⎭⎫π3-B . (1)求角A 的值;(2)若AB →·AC →=12,a =27,求b ,c (其中b <c ).解析 (1)∵(sin A -sin B )(sin A +sin B )=sin ⎝⎛⎭⎫π3+B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3-B ,∴sin 2A -sin 2B =⎝⎛⎭⎫32cos B +12sin B⎝⎛⎭⎫32cos B -12sin B , 即sin 2A =34cos 2B -14sin 2B +sin 2B=34(cos 2B +sin 2B )=34, ∵角A 为锐角△ABC 的内角,∴sin A >0, ∴sin A =32,∴A =π3. (2)AB →·AC →=bc cos A =12,∴bc =24,又a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-3bc =(27)2, ∴b +c =10,又∵b <c ,∴b =4,c =6.第3讲 平面向量题型一 向量的概念及线性运算高考中常从以下角度命题:1. (1)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若(a+k c)∥(2b-a),则k=-1613.(2)如图,E为平行四边形ABCD的边DC的中点,F为△ABD的重心,且AB→=a,AD→=b,则FE→=23b+16a.突破点拨(1)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解.(2)利用向量加、减法的几何意义和重心公式求解.解析(1)因为(a+k c)∥(2b-a),又a+k c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,所以k=-1613.(2)由F为△ABD的重心,得AF→=23×12AC→=13(a+b).又AE→=AD→+DE→=b+12a,所以FE→=AE→-AF→=23b+16a.2.(1)在△ABC中,点M,N满足AM→=2MC→,BN→=NC→.若MN→=xAB→+yAC→,则x=12,y=-16.(2)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若m a+n b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为__-3__.突破点拨(1)画出图形,利用向量加减法则求解.(2)利用向量的坐标运算求解.。
高中数学写题步骤
高中数学写题步骤
题型一:与平面向量综合的三角函数问题
第一步:根据向量运算将向量式转化为三角式。
第二步:化简三角函数式,一般化为y=Asin(wx)的形式。
第三步:解三角方程或求三角函数的单调区间、最值。
第四步:明确规范地写出答案。
第五步:反思回顾。
查看关键点、易错点和答题规范。
题型二:数列求和问题
第一步:利用条件求数列bn的通项公式。
第二步:写出数列求和表达式。
第三步:分析表达式的结构特征、确定求和方法。
(例如:公式法、裂项法)。
第四步:明确规范表述结论。
第五步:反思回顾。
查看关键点,易错点及解题规范。
例说平面向量与三角函数的综合性问题
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三角函数与平面向量综合问题【题型解读】题型特点命题趋势1.注意对基本三角函数y =sin x ,y =cos x 的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y =A sin(ωx +φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解. 2.解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x +b cos x 的形式. (2)构造f (x )=a 2+b 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫a a 2+b2·sin x +ba 2+b 2·cos x . (3)和角公式逆用,得f (x )=a 2+b 2sin(x +φ)(其中φ为辅助角). (4)利用f (x )=a 2+b 2sin(x +φ)研究三角函数的性质. (5)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. 【例1】 (2020年·山东卷)设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx -π6+sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx -π2,其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6=0. (1)求ω;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-π4,3π4上的最小值. 【答案】见解析 【解析】(1)因为f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx -π6+sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx -π2,所以f (x )=32sin ωx-12cos ωx -cos ωx =32sin ωx -32cos ωx =3⎝⎛⎭⎪⎪⎫12sin ωx -32cos ωx =3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx -π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6=0,所以ωπ6-π3=k π,k ∈Z .故ω=6k +2,k ∈Z .又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x -π3,所以g (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x +π4-π3=3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x -π12.因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-π4,3π4,所以x -π12∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-π3,2π3,当x -π12=-π3,即x =-π4时,g (x )取得最小值-32. 【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养,将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数,从而便于对性质的研究,考查数学建模的核心素养.【突破训练1】 设函数f (x )=32-3sin 2ωx -sin ωx cos ωx (ω>0),且y =f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值; (2)求f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π,3π2上的最大值和最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )=32-3·1-cos2ωx 2-12sin2ωx =32cos2ωx -12sin2ωx =-sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx -π3.因为y =f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,故该函数的周期T =4×π4=π.又ω>0,所以2π2ω=π,因此ω=1. (2)由(1)知f (x )=-sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x -π3.当π≤x ≤3π2时,5π3≤2x -π3≤8π3,所以-32=sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x -π3≤sin 5π2=1,所以-1≤f (x )≤32,即f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π,3π2上的最大值和最小值分别为32,-1. ▶▶题型二 解三角形1.高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力;(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题.2.用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步:找条件,寻找三角形中已知的边和角,确定转化方向.第二步:定工具,根据已知条件和转化方向,选择使用的定理和公式,实施边角之间的转化.第三步:求结果,根据前两步分析,代入求值得出结果.第四步:再反思,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性. 【例2】 在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且cos(C +B)cos(C -B)=cos2A -sin Csin B . (1)求A ;(2)若a =3,求b +2c 的最大值. 【答案】见解析【解析】(1)cos(C +B)cos(C -B)=cos2A -sinCsinB =cos2(C +B)-sinCsinB ,则cos(C +B)[cos(C -B)-cos(C +B)]=-sinCsinB ,则-cosA·2sinCsinB=-sinCsinB ,可得cosA =12,因为0<A <π,所以A =60°.(2)由a sinA =b sinB =csinC =23,得b +2c =23(sinB +2sinC)=23[sinB+2sin(120°-B)]=23(2sinB +3cosB)=221sin(B +φ),其中tanφ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大值为1,所以b +2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系,从而求得三角形的部分度量关系,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.【突破训练2】 (优质试题·天津卷)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a >b ,a =5,c =6,sin B =35.(1)求b 和sin A 的值; (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A +π4的值. 【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中,因为a >b ,故由sin B =35,可得cos B =45.由已知和余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B =13,所以b =13.由正弦定理得sin A=a sin B b =31313.(2)由(1)及a <c ,得cos A =21313,所以sin2A =2sin A cos A =1213,cos2A =1-2sin 2A =-513.⎝⎭▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1.三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面:(1)以三角函数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式;(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、余弦定理解决问题.2.(1)向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,注意角的范围对变形过程的影响.【例3】 (优质试题·佛山调考)已知函数f (x )=a ·b ,其中a =(2cos x ,-3sin2x ),b =(cos x,1),x ∈R .(1)求函数y =f (x )的单调递减区间;(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,f (A )=-1,a =7,且向量m =(3,sin B )与n =(2,sin C )共线,求边长b 和c 的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )=a ·b =2cos 2x -3sin2x =1+cos2x -3sin2x =1+2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x +π3,由2k π≤2x +π3≤2k π+π(k ∈Z ),解得k π-π6≤x ≤k π+π3(k ∈Z ),所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π-π6,k π+π3(k ∈Z ).(2)因为f (A )=1+2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A +π3=-1,所以cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A +π3=-1.因为0<A<π,所以π3<2A +π3<7π3,所以2A +π3=π,即A =π3.因为a =7,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-3bc =7.①因为向量m =(3,sin B )与n =(2,sin C )共线,所以2sin B =3sinC . 由正弦定理得2b =3c ,② 由①②可得b =3,c =2.【突破训练3】(优质试题·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ,且32AB →·AC →=S ,|AC →-AB →|=3. (1)若f (x )=2cos(ωx +B )(ω>0)的图象与直线y =2相邻两个交点间的最短距离为2,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16=1,求△ABC 的面积S ;(2)求S +3 3 cos B cos C 的最大值. 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 因为32AB →·AC →=S ,所以32bc cos A =12bc sin A ,解得tan A =3,所以A =π3.由|AC →-AB →|=3得|BC →|=a =3.(1)因为f (x )=2cos(ωx +B )(ω>0)的图象与直线y =2相邻两个交点间的最短距离T =2,即2πω=2,解得ω=π,故f (x )=2cos(πx +B ).又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16=2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6+B =1,即cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6+B =12. 因为B 是△ABC 的内角,所以B =π6,从而△ABC 是直角三角形,所以b =3,所以S △ABC =12ab =332.(2)由题意知A =π3,a =3,设△ABC 的外接圆半径为R ,则2R =a sin A =332=23,解得R =3,所以S +33cos B cos C =12bc sin A +33cos B cos C =34bc +33cos B cos C =33sin B sin C +33cos B cos C =33cos(B -C ),故S +33cos B cos C 的最大值为3 3.。