高三第六次阶段复习达标检测数学试题(理科)
福建省2019年高三(上)第六次质检数学试卷(理科)(解析版)
2019年福建省高三（上）第六次质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={5，a2﹣3a+5}，N={1，3}，若M∩N≠∅，则实数a 的值为（）A．1 B．2 C．4 D．1或22．复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．1+2i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=﹣20，则﹣6a4+3a5=（）A．﹣20 B．4 C．12 D．204．在平行四边形ABCD中，AC=5，BD=4，则•=（）A． B．﹣C．D．﹣5．已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣2，2）D．[﹣3，3]6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（）种．A．12 B．24 C．48 D．1207．已知向量=（sinA，）与向量=（3，sinA+cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为（）A． B． C． D．8．某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A．1007 B．2015 C．2016 D．30249．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=2x无交点，则离心率e的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，2]C．（1，） D．（1，]10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000πB．200πC．πD．π11．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．4 B． C．1 D．212．已知定义域为R的函数g（x），当x∈（﹣1，1]时，g（x）=，且g（x+2）=g（x）对∀x∈R恒成立，若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则实数m 的取值范围是（）A．（，）B．（﹣∞，]∪（，+∞）C．[，）D．[，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知a=﹣2sinxdx，则二项式（x2+）5的展开式中x的系数为．14．已知向量=（1，），=（3，m）．若向量在方向上的投影为3，则实数m=．15．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n=．16．设点P在曲线y=e x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．18．2015年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为A，B，C，现在对他们的成绩进行量化：A级记为2分，B级记为1分，C级记为0分，用（x，y，z）表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标w=x+y+z的值评定该同学的得分等级．若w≥4，则得分等级为一级；若2≤w≤3．则得分等级为二级；若0≤w≤1，则得分等级为三级．得到如下结果：（Ⅰ）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；（Ⅱ）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求X的分布列及其数学期望．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．20．如图，已知M（x0，y0）是椭圆C： +=1上的任一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=2作两条切线，分别交椭圆于点P、Q．（1）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值．（2）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．设函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），其中a∈R．（1）讨论f（x）极值点的个数；（2）设a=﹣，函数g（x）=2f（x）﹣（λ+3）x+2，若x1，x2（x1≠x2）满足g（x1）=g（x2）且x1+x2=2x0，证明：g′（x0）≠0．请考生在第22、23、24题中任选一题做答.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（Ⅰ）求证：|AE|=|EB|；（Ⅱ）求|EF|•|FC|的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系x轴正半轴重合，单位长度相同．）（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l与x轴的交点，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={5，a2﹣3a+5}，N={1，3}，若M∩N≠∅，则实数a 的值为（）A．1 B．2 C．4 D．1或2【考点】交集及其运算．【分析】根据题意得，a2﹣3a+5=1或a2﹣3a+5=3，解方程即可．【解答】解：由题意得，a2﹣3a+5=1或a2﹣3a+5=3，即a2﹣3a+4=0或a2﹣3a+2=0；解a2﹣3a+4=0得，此方程无解；解a2﹣3a+2=0得，a=1或a=2；综上，a的值为1或2．故选：D．2．复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．1+2i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z=+i3=﹣i=﹣（i﹣1）﹣i=1﹣2i，其共轭复数为1+2i，故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=﹣20，则﹣6a4+3a5=（）A．﹣20 B．4 C．12 D．20【考点】等差数列的前n项和．【分析】求出数列的第三项，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，S5=﹣20，可得a3=﹣4，﹣6a4+3a5=﹣6（a3+d）+3（a3+2d）=﹣3a3=12．故选：C．4．在平行四边形ABCD中，AC=5，BD=4，则•=（）A． B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量加法、减法的三角形法则把用向量表示，平方后作差得答案．【解答】解：∵，=．∴，则•=．故选：C．5．已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣2，2）D．[﹣3，3]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得圆心（0，0）到直线l：x+y=a的距离d满足d ＜r+1，根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：由圆的方程可知圆心为（0，0），半径为2．因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r+1=3，即d=＜3，解得﹣3＜a＜3．故选：A．6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（）种．A．12 B．24 C．48 D．120【考点】计数原理的应用．【分析】甲、乙两人必须相邻，利用捆绑法，都不站在两端，安排在23，或34位置，即可得出结论．【解答】解：由题意，利用捆绑法，甲、乙两人必须相邻且都不站在两端，安排在23，或34位置，方法数为2A22•A33=24种．故选：B．7．已知向量=（sinA，）与向量=（3，sinA+cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为（）A． B． C． D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由，可得sinA（sinA+cosA）﹣=0，化为=1，由于A∈（0，π），即可得出．【解答】解：∵，∴sinA（sinA+cosA）﹣=0，∴2sin2A+2sinAcosA=3，化为1﹣cos2A+sin2A=3，∴=1，∵A∈（0，π），∴∈．∴=，解得A=．故选：C．8．某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A．1007 B．2015 C．2016 D．3024【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S 是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：D．9．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=2x无交点，则离心率e的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，2]C．（1，） D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得，≤2，由此能求出离心率e的取值范围．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=2x无交点，∴由题意可得，≤2，∴e=，又∵e＞1，∴离心率e的取值范围是（1，]．故选：D．10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000πB．200πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱外接球的球心为A1B的中点，B=10，所以外接球的半径为5，因为A体积为π•=π．故选：D．11．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．4 B． C．1 D．2【考点】简单线性规划的应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=4且y=6时z的最大值为4a+6b=12．再利用基本不等式求最值，即可算出+的最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．因此， +=（+）×（4a+6b）=2+（），∵a＞0，b＞0，可得≥=12，∴当且仅当即2a=3b=3时，的最小值为12，相应地， +=2+（）有最小值为4．故选：A12．已知定义域为R的函数g（x），当x∈（﹣1，1]时，g（x）=，且g（x+2）=g（x）对∀x∈R恒成立，若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则实数m 的取值范围是（）A．（，）B．（﹣∞，]∪（，+∞）C．[，）D．[，]【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．【分析】若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则y=g（x）与y=m（x+1）的图象在区间[﹣1，5]内有6个交点．画出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：∵g（x+2）=g（x）对∀x∈R恒成立，∴函数g（x）的周期为2．又∵当x∈（﹣1，1]时，g（x）=，∴函数g（x）的图象如下图所示：令函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）=0，则g（x）=m（x+1），若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则y=g（x）与y=m（x+1）的图象在区间[﹣1，5]内有6个交点．∵y=m（x+1）恒过点（﹣1，0），过（﹣1，0），（4，2）点的直线斜率为，过（﹣1，0），（2，2）点的直线斜率为，根据图象可得：x∈（，），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知a=﹣2sinxdx，则二项式（x2+）5的展开式中x的系数为．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】先求出a的值，再利用二项式的展开式通项公式求出x的系数．【解答】解：∵a=﹣2sinxdx=2=2（cosπ﹣cos0）=﹣4，∴二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=•x2（5﹣r）•=（﹣4）r••x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3，∴展开式中x的系数为（﹣4）3•=﹣640．故答案为：﹣640．14．已知向量=（1，），=（3，m）．若向量在方向上的投影为3，则实数m=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由投影的定义即得，所以得到，解出m即可．【解答】解：根据投影的概念：；∴．故答案为：．15．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n=．【考点】等差数列的性质．【分析】令b n=nS n+（n+2）a n，由已知得b1=4，b2=8，从而b n=nS n+（n+2）a n=4n，进一步得到{}是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出{a n}的通项公式．【解答】解：设b n=nS n+（n+2）a n，∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，∴b1=4，b2=8，∴b n=b1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，即b n=nS n+（n+2）a n=4n当n≥2时，S n﹣S n﹣1+（1+）a n﹣（1+）a n﹣1=0∴=，即2•，∴{}是以为公比，1为首项的等比数列，∴=，∴．16．设点P在曲线y=e x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两点间距离公式的应用．【分析】由于函数y=e x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数y=e x上的点P（x，e x）到直线y=x的距离为d=，设g（x）=e x﹣x，求出g（x）=1﹣ln2，即可得出结论．min【解答】解：∵函数y=e x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称函数y=e x上的点P（x，e x）到直线y=x的距离为d=设g（x）=e x﹣x，（x＞0）则g′（x）=e x﹣1由g′（x）=e x﹣1≥0可得x≥ln2，由g′（x）=e x﹣1＜0可得0＜x＜ln2∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，d min=由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2d min=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．【考点】解三角形．【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD 的面积；（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．【解答】解：（1）因为∠D=2∠B，cos∠B=，所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣．…因为∠D∈（0，π），所以sinD=．…因为AD=1，CD=3，所以△ACD 的面积S===．…（2）在△ACD 中，AC 2=AD 2+DC 2﹣2AD •DC •cosD=12．所以AC=2．… 因为BC=2，，… 所以=．所以 AB=4．…18．2015年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为A ，B ，C ，现在对他们的成绩进行量化：A 级记为2分，B 级记为1分，C 级记为0分，用（x ，y ，z ）表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标w=x +y +z 的值评定该同学的得分等级．若w ≥4，则得分等级为一级；若2≤w ≤3．则得分等级为二级；若0≤w ≤1，则得分等级为三级．得到如下结果：（Ⅰ）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；（Ⅱ）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求X的分布列及其数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）在这10名同学中任取两人，基本事件总数n=，10名学生中A1，A3，A6，A8等4名学生的英语成绩都是2分，另外6名学生的英语成绩都是1分，再求出任取的两名学生的英语成绩相同的基本事件个数，由此能求出这两位同学英语得分相同的概率．（Ⅱ）由已知条件求出X的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，从而能求出X的分布列数学期望．【解答】解：（Ⅰ）在这10名同学中任取两人，基本事件总数n==45，∵A1，A3，A6，A8等4名学生的英语成绩都是2分，另外6名学生的英语成绩都是1分，∴任取的两名学生的英语成绩相同的基本事件个数m==21，∴这两位同学英语得分相同的概率p=．（Ⅱ）得分等级是一级的同学有A1，A2，A3，A5，A6，A8，A9，其中A1，A2，A5，A9的综合指标为4，A6，A8的综合指标为5，A3的综合指标为6，得分等级为二级的同学有A4，综合指标为1，A7，A10，综合指标都是3，∴X的可能取值为1，2，3，4，5，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，∴X的分布列为：X的数学期望EX==．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0）， A （0，，0），D （0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1，又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．20．如图，已知M（x0，y0）是椭圆C： +=1上的任一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=2作两条切线，分别交椭圆于点P、Q．（1）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值．（2）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，P（x1，y1），Q（x2，y2），设过原点圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=2的切线方程为y=kx，运用直线和圆相切的条件：d=r，再由二次方程的韦达定理，即可得到定值﹣；（2）联立直线OP、OQ方程和椭圆方程，求得P，Q的坐标，运用韦达定理，化简整理，即可得到定值9．【解答】解：（1）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，由直线和圆相切的条件：d=r，可得==，平方整理，可得k12（2﹣x02）+2k1x0y0+2﹣y02=0，k22（2﹣x02）+2k2x0y0+2﹣y02=0，所以k1，k2是方程k2（2﹣x02）+2kx0y0+2﹣y02=0的两个不相等的实数根，k1•k2=，因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以+=1，即y02=3（1﹣）=3﹣•x02，所以k1k2==﹣为定值；（3）OP2+OQ2是定值，定值为9．理由如下：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，解得x12=，y12=，所以x12+y12=，同理得x22+y22=，由k1k2=﹣，所以OP2+OQ2=x12+y12+x22+y22=+=+==9．故OP2+OQ2为定值9．21．设函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），其中a∈R．（1）讨论f（x）极值点的个数；（2）设a=﹣，函数g（x）=2f（x）﹣（λ+3）x+2，若x1，x2（x1≠x2）满足g（x1）=g（x2）且x1+x2=2x0，证明：g′（x0）≠0．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后分a=0，a＜0和a＞0求函数的单调区间，并进一步求得函数的极值；（2）把f（x）代入g（x）=2f（x）﹣（λ+3）x+2，求其导函数，假设结论不成立可得，然后三个等式结合可得矛盾，从而证得结论．【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．令g（x）=ax（2x﹣3）+1．①当a=0时，φ（x）=1，f（x）=lnx，∴函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值；②当a＜0时，φ（x）在（0，）上单调递增，在（）上单调递减，且φ（0）=1＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上有唯一零点，从而函数f （x）在（0，+∞）上有唯一极值点；③当a＞0时，若φ（）=1﹣，即0时，则φ（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，从而f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；若φ（）=1﹣，即a＞，由于φ（0）=1＞0，则φ（x）在（0，+∞）上有两个零点，从而函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上有唯一极值点；当0≤a≤时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值点；当a＞时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点．（2）证明：g（x）=2lnx﹣x2﹣λx，g′（x）=．假设结论不成立，则有，由①，得，，∴，由③，得，∴，即，即．④令，不妨设x1＜x2，u（t）=lnt﹣（0＜t＜1），则u′（t）=，∴u（t）在0＜t＜1上增函数，u（t）＜u（1）=0，∴④式不成立，与假设矛盾．∴g′（x0）≠0．请考生在第22、23、24题中任选一题做答.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（Ⅰ）求证：|AE|=|EB|；（Ⅱ）求|EF|•|FC|的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，EA为圆D的切线，由切割线定理能证明|AE|=|EB|．（Ⅱ）连结BF，推导出BF⊥EC，由射影定理能求出EF•FC的值．【解答】（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线…依据切割线定理得EA2=EF•EC，…另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，…同样依据切割线定理得EB2=EF•EC，…故|AE|=|EB|．…解：（Ⅱ）连结BF，∵BC为圆O直径，∴BF⊥EC，…由=，得BF==，…又在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=．…【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系x轴正半轴重合，单位长度相同．）（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l与x轴的交点，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用cos2θ+sin2θ=1，可把曲线C的参数方程可化为普通方程；直线l的方程为ρsin（θ+）=．可化为=，，利用即可得出直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线c为圆，圆C的圆心坐标为（1，2），半径r=1，则|MC|=．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．【解答】解：（Ⅰ）利用cos2θ+sin2θ=1，可把曲线C的参数方程可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为ρsin（θ+）=．可化为=，可得：直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0．（Ⅱ）令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线c为圆，圆C的圆心坐标为（1，2），半径r=1，则|MC|=．∴|MN|≤|MC|+r=+1，∴|MN|的最大值为1．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6}…（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…。
高三数学六调考试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021～2021第二学期高三年级六调考试理科数学试卷一、选择题〔每一小题5分，一共60分.以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕1.，，为虚数单位，且，那么的值是〔〕A.4B.C.-4D.【答案】C【解析】试题分析：根据复数相等的概念可知，，∴，∴，应选C考点：此题考察了复数的运算点评：纯熟掌握复数的概念及运算法那么是解决此类问题的关键，属根底题2.集合，，那么以下结论中正确的选项是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得，故，选项为C.考点：集合间的关系.【此处有视频，请去附件查看】3.的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，那么的面积为〔〕A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】画出△ABC，通过，2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．【详解】由题意可知，P为AC的中点，2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC2．所以S△APQ．应选：B．【点睛】此题考察向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考察转化思想与计算才能．4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的外表积为〔〕A. B. C.8 D.4【答案】D【解析】试题分析：因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，所以菱形的边长为，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为，侧棱长为，所以几何体的外表积为：，应选D．考点：1、三视图；2、多面体的外表积．【此处有视频，请去附件查看】5.七巧板是我国古代劳动人民的创造之一，被誉为“模板〞，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形一共七块板组成的.如下列图的是一个用七巧板拼成的正方形，假设在此正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将右下角黑色三角形进展挪动，可得黑色局部面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为那么①处面积和右下角黑色区域面积一样故黑色局部可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色局部面积为：那么所求概率为：此题正确选项：【点睛】此题考察几何概型中的面积类问题，属于根底题.6.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，那么的最小值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，将函数化为再向左平移〔〕个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或者最小值,即或者,所以,即,又,所以的最小值是.考点：对定义的理解才能,三角函数恒等变性,三角函数图象及性质.7.，，，那么以下选项正确的选项是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，，，那么a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f 〔x〕，那么f′〔x〕，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．【详解】，，，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f〔x〕，那么f′〔x〕，当x＝e时，f′〔x〕＝0，当x＞e时，f′〔x〕＞0，当0＜x＜e时，f′〔x〕＜0∴f〔x〕在〔e，+∞〕上，f〔x〕单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，应选：D．【点睛】此题考察了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．8.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，假设是以为底边的等腰三角形，那么双曲线的离心率为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，那么，即，∴．考点：抛物线的HY方程及几何性质．9.如图①，利用斜二侧画法得到程度放置的的直观图，其中轴，，设的面积为，的面积为，记，执行如图②的框图，那么输出的值A.12B.10C.9D.6【答案】A【解析】【分析】由斜二侧画法的画图法那么，结合可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．【详解】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′A′B′•B′C′•sin45°由斜二侧画法的画图法那么，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S AB•BC＝9那么由S＝kS′得k＝2，那么T＝T〔m﹣1〕＝T2〔m﹣1〕故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进展循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2当T＝0，m＝2时，满足进展循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进展循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进展循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进展循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12应选：A．【点睛】根据流程图〔或者伪代码〕写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图〔或者伪代码〕，从流程图〔或者伪代码〕中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据〔假设参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进展分析管理〕⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10.边形“扩展〞而来的多边形的边数为，那么〔〕A.；B.；C.；D.【答案】A【解析】，猜想,,,应选A.11.过椭圆上一点作圆的两条切线，点，为切点，过，的直线与轴，轴分别交于点，两点，那么的面积的最小值为〔〕A. B. C.1 D.【答案】B【解析】试题分析：：∵点在椭圆上，∴设，∵过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，那么∴以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为①．又圆的方程为②．①-②得，直线AB的方程为：∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，∴P，Q，∴△POQ面积，∵-1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值．考点：圆与圆锥曲线的综合12.假设函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：的最大值为0，那么称为“柯西函数〞，那么以下函数：①：②：③:④.其中为“柯西函数〞的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点一共线，结合“柯西函数〞定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点一共线.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点一共线，结合“柯西函数〞定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点一共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像假设f(x)与直线y=kx有两个交点，那么必有k≥2，此时，，所以〔x＞0〕，此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又〔e,1〕不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O一共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.应选：B【点睛】此题主要考察柯西不等式，考察学生对新概念的理解和应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.二、填空题〔每一小题5分，一共20分.把答案填在答题纸的横线上〕13.假设等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，那么________【答案】【解析】，那么其常数项为，所以，那么14.在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，那么的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：∵，，，，，∴，又∵∴故本例转化为在线性约束条件下，求线性目的函数的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点时为最优解.∵即∴考点：线性规划.15.数列的前项和为，且，那么使不等式成立的的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适宜上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.考点：1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.16.假设四面体的三组对棱分别相等，即，，，那么________.〔写出所有正确结论的编号〕①四面体每个面的面积相等②四面体每组对棱互相垂直③连接四面体每组对棱中点的线段互相垂直平分④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【答案】【解析】【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．【详解】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如下列图；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，那么正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，那么错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互相垂直平分，那么正确；由，，，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，那么正确．故答案为：．【点睛】三、解答题〔本大题一一共6小题，一共62分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，写在答题纸的相应位置〕17.设的三内角、、的对边长分别为、、，、、成等比数列，且.〔I〕求角的大小；〔Ⅱ〕设向量，，当取最小值时，判断的形状.【答案】〔I〕；〔Ⅱ〕为锐角三角形.【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；〔Ⅱ〕根据向量的数量积公式进展计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的形状．【详解】〔I〕因为、、成等比数列，那么.由正弦定理得.又，所以·因为，那么.因为，所以或者.又，那么，当且仅当a=c等号成立，即故.〔Ⅱ〕因为，所以.所以当时，，于是.又，从而为锐角三角形.【点睛】此题主要考察三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决此题的关键，考察学生的运算才能．18.在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.〔1〕求证：；〔2〕设为的中点，点在线段上，假设直线平面，求的长；〔3〕求二面角的余弦值.【答案】〔1〕见解析；〔2〕1；〔3〕.【解析】【分析】〔1〕利用线面垂直的断定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；〔2〕取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，证明三角形AMF为直角三角形，即可求AF的长；〔3〕建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【详解】〔1〕∵是正三角形，是中点，∴，即.又∵平面，∴.又，∴平面.∴.〔2〕取中点，连接，那么平面，又直线平面，EG∩EF=E所以平面平面，所以∵为中点，，∴.∵，，∴，那么三角形AMF为直角三角形，又，故〔3〕分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，∴，，，.为平面的法向量.，.设平面的一个法向量为，那么，即，令，得，，那么平面的一个法向量为，设二面角的大小为，那么.所以二面角余弦值为.【点睛】此题考察线面垂直的断定定理与性质，考察二面角，考察学生分析解决问题的才能，考察向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道总分值是10分的选做题，学生可以从，〔1〕假设采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数；〔2〕假设采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：〔3〕假设采用分层轴样，按照学生选择题目或者题目，将成绩分为两层，且样本中题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中【答案】【解析】【分析】〔1〕由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数〔2〕按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和。
高三下学期数学六模(理科)
2012—2013学年度下学期第六次模拟考试高三数学(理科试卷)（满分：150分，时间：120分钟）注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合},3125|{R x x x A ∈≤-≤-=，},0)8(|{Z x x x x B ∈≤-=，则A B = ( ) A ．()0,2B ．[]0,2 C ．{}0,2 D ．{}0,1,22．如果复数miim -+12是实数，则实数=m ( )A.1-B. 1C. 2-D.23．焦点为（0，6）且与双曲线1222=-y x有相同渐近线的双曲线方程是（ ） A.1241222=-y x B .1241222=-x y C.1122422=-x y D.1122422=-y x 4. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,,若a =2b =，sin cos B B +A 的大小为( )A ． 060B ． 030C ． 0150D ．0455. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域。
在D 中随机取一点，则该点在E 中的概率为（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．126. 利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的 点落在坐标轴上的个数是（ ）A.0B. 1C. 2D. 37．在ABC ∆中, AM AC AB 2=+，点P 在AM 上且满足PM AP 2=,则()PA PB PC ⋅+等于( )A8. 函数)sin()(ϕω+=x x f （R x ∈）)20(πϕω<>,的部分图像如图所示，如果)3,6(,21ππ-∈x x ，且)()(21x f x f =，则=+)(21x x f （ ）AB．19. 如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面BD A 1的垂线，垂足 为H ．则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是BD A 1∆的垂心 B ．AH 垂直平面11D CB C ．AH 的延长线经过点1C D ．直线AH 和1BB 所成角为04510.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（，若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A.（0，）12-B.（122，） C.（0，22） D.（12-，1）11．函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为 （ ）A ．[)+∞,12 B ．[]3,0C ．[]12,3 D ．[]12,012．已知函数()()21(0)()110x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝（ ） A ．15 B ．22 C ．45 D ． 502012—2013学年度下学期第六次模拟考试高三数学(理科试卷) 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
陕西省咸阳中学2022-2023学年高三下学期第六次质量检测理科数学试题
一、单选题1.已知等比数列的前项和为，且公比大于1．若，则（ ）A ．28B ．21C ．7D ．7或282.已知函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，若在上有两个不同的根，（），则的值为（）A．B．C．D．3. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．4. 复数 A．B．C．D．5. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）A．B．C．D．7. 哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为，，；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为，，.为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计生活垃圾，数据统计如图.则估计生活垃圾投放错误的概率为20010401512020155030A．B．C．D．8. 中国互联网络信息中心（CNNIC ）发布了第46次《中国互联网络发展状况统计报告》，报告公布了截至2020年6月的中国互联网状况数据与对比数据，根据下图，下面结论不正确的是（ ）陕西省咸阳中学2022-2023学年高三下学期第六次质量检测理科数学试题陕西省咸阳中学2022-2023学年高三下学期第六次质量检测理科数学试题二、多选题三、填空题A ．2020年6月我国网民规模接近9.4亿，相比2020年3月新增网民3625万B ．2020年6月我国互联网普及率达到67%，相比2020年3月增长2.5%C ．2018年12月我国互联网普及率不到60%，经过半年后普及率超过60%D ．2018年6月我国网民规模比2017年6月我国网民规模增加的百分比大于7%9. 在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（ ）A．B．C．D．10. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法正确的是（）A．不存在某个位置，使B．存在某个位置，使C．当三棱锥体积取得最大值时，AD 与平面ABC成角的正弦值为D ．当时，的最小值为11. 是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）A ．若，则B ．若，，则C ．若，则D ．若，则12. 设，用表示不大于的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．13. 天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好呢？四、解答题14.设数列的前项和为，若，则___________.15.若向量，，则___________.16. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，．当最大时，求直线的方程．17. 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E (ξ)，方差D (ξ)．18. 已知：中，角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的大小及的值；(2)若，求的值．19. 在中，角的对边分别是，从下列条件中任选一个补充到题中解决题.条件：①：; ②：; ③：.(1)求的值;(2)，求的取值范围．20. 为推动实施健康中国战略，树立大卫生、大健康理念，某单位组织职工参加“万步有约”健走激励大赛活动，每月评比一次，对该月内每日运动都达到一万步及以上的职工授予该月“健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号，(1)现从该单位参加活动的职工中随机抽查70人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系，统计结果如下：健走先锋健走之星男员工2416女员工1614能否据此判断有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关？(2)根据（1）中的表格，将样本的频率视为概率，现从该单位职工中随机抽取3人进行调查，记X 为这3人中是获得“女员工健走之星”的人数，求X 的分布列与数学期望.（其中）0.150.100.050.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.63521. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，E 是的中点，且．(1)证明：平面．(2)若，求二面角的余弦值．。
甘肃省武威六中高三数学理科第六次诊断性考试卷 人教版
甘肃省武威六中高三数学理科第六次诊断性考试卷 人教版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四处备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数ii z -+=1)1(2等于A ．－1－iB ．－1+ iC ．1－iD ．1+ i2．曲线233x x y -=有一条切线与直线03=+y x 平行，则此切线方程为A ．013=+-y xB ．053=++y xC ．013=--y xD ．013=-+y x3．已知集合A x x x =-=-{|()}332，B x x x =-=-{|}33，p x A ：∈，q x B ：∈，则p 是q 的A. 充分条件，但不是必要条件B. 必要条件，但不是充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件，也不是必要条件4．某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据。
结果用右侧的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 A.0.6h B.0.9h C.1.0hD.1.5h5．已知函数)(1x fy -=的图象过点（1，0），则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点A 、（0，2）B 、（2，0）C 、（2，1）D 、（1，2）. 6．方程x ＝sinx 在x ∈-[]ππ，上实根的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 47．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 3+a 7+a 11为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 A ．S 7B ．S 11C ．S 12D ．S 138．设θ是三角形的一个内角，且θθcos sin +=15，则方程1cos sin 22=-θθy x 表示的曲线是A 、焦点在x 轴上的双曲线B 、焦点在x 轴上的椭圆C 、焦点在y 轴上的双曲线D 、焦点在y 轴上的椭圆9．已知三条直线l n m ,,，三个平面γβα,,，以下四个命题中正确的是A βαγβγα||,⇒⊥⊥B ββ⊥⇒⊥l m m l ||,C n m n m ||||,||⇒γγD n m n m ||,⇒⊥⊥γγ10．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，若021=⋅PF PF ，则△F 1PF 2的面积是A 、1B 、25 C 、2D 、511．某省举行的一次民歌大奖赛中，全省六个地区各送了一对歌手参赛，现从这12名选手中选出4名优胜者，则选出的4名优胜者中，恰有两人是同一地区来的歌手的概率是A 、338 B 、16564 C 、3316 D 、116 12．如右图，正方形ABCD 的顶点A （0，22），B （22，0），顶点C 、D 位于第一象限，直线)20(≤≤=t t x l ：将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数)(t f S =的图象大致是二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中相应的横线上．13．在2524(4)x x+-的展开式中含4x 项的系数是___________（用数字作答）。
高三数学第六次阶段考试理 试题
内蒙古海拉尔二中2021届高三第六次阶段考试制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
理科数学 (2021.5.15)时间是：120分钟 分值：150分第一卷〔选择题 一共60分〕一．选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1．设集合}80|{≤<∈=x N x U ，}5,4,2,1{=S ，}7,5,3{=T ，那么)(T C S U =A ．}4,2,1{B ．}7,5,4,3,2,1{C ．}2,1{D ．}8,6,5,4,2,1{2. 复数,121ii z -+=那么 2009z的值是 A ．1- B ．1 C ．i D ．i -3．正项数列{a n }成等比数列，a 1+a 2=3，a 3+a 4=12,那么65a a +的值是A . -24B . 21C . 24D . 484．函数()ln 1f x x =-的图像大致形状是5．在四边形ABCD 中，“AB =2DC 〞是“四边形ABCD 为梯形〞的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6某校根据新课程HYHY 的要求，开设数学选修4系列的10门课程供学生选修，其中4—1，4—2，4—4三门由于上课时间是一样，所以致多项选择一门，根据学分制要求，每位同学必须选修三门，那么每位同学不同的选修方案种数是A ．120；B ．98；C ．63；D ．56；7．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，那么球的外表积是A ．28cm πB ．212cm πC ．216cm πD ．220cm π8．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么1(0)f - 的值是A ．2B ．1C ．1-D ．09. 抛物线12-=ax y 的焦点是坐标原点，那么以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 A .1 B .4 C .2 D .2110．正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，那么侧棱与底面所成角的余弦值等于A .6 B .4 C .2D .2 11. 在二项式nx )1(+的展开式中，存在系数之比为3:2的相邻两项，那么指数)(*N n n ∈ 的最小值为A ．6B ．5C ．4D ．312．双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的两个焦点为1F 、2F ，假设P 为其上一点，且||2||21PF PF =，那么双曲线离心率的取值范围为A ．(]3,1B ．()3,1C ．()+∞,3D ．[)+∞,3海拉尔二中2021届高三第六次阶段考试试题〔理〕第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中的横线上〕13. 实数40,,220,0,0,x y x y x y z x y x y +-≤⎧⎪-+≥=-⎨⎪≥≥⎩满足条件则的最大值为________ .14. 设曲线x x y +=3在点)2,1(处的切线与直线10x ay ++=垂直，那么a =______.15. 将圆1)1(22=++y x 按向量)1,2(=a平移后，恰好与直线0x y b -+=相切，那么b =_______16. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(2,)(0)N σσ>，假设ξ在〔0，2〕内取值的概率为40．，那么ξ在(,4)-∞内取值的概率为_______三．解答题(本大题一一共6小题，解容许写出文字说明．证明过程或者演算步骤) 17．〔本小题满分是10分〕向量a =(sin(2π+xcos x )，b =(sin x , cos x ), f (x )= a ·b . ⑴求f (x )的最小正周期和单调增区间；⑵假如ABC ∆中，满足)(A fA 的值．18．〔本小题满分是12分〕 某次抽奖活动，有彩票号从0001到1000一共1000张彩票，其中彩票号为0123是一等奖，奖金5000元；彩票号后两位数为23的是二等奖，奖金1000元；彩票号尾数为3是三等奖，奖金20元.〔1〕某人买了2张彩票，问他获得一等奖或者二等奖的概率是多少？(用分数表示) 〔2〕某人买了1张彩票，求他获得奖金数ξ的分布列以及期望19.〔本小题满分是12分〕 如图，直二面角D AB E --，四边形BF ⊥平ABCD 是边长为2的正方形，,AE EB F =为CE 上的点，且面ACE ．〔1〕求证AE ⊥平面BCE ； 〔2〕求二面角B AC E --的大小．20．〔本小题满分是12分〕 设数列{}n a 满足：n n n a a a a a 3235,35,11221-===++ 〔1〕令n n na ab -=+1，求数列{}n b 的通项公式；〔2〕求数列{}n na 的前n 项和n S ． )(*∈N n21．〔此题12分〕椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，焦点到相应准线的间隔 及离心率均为2，直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆C 交于相异两点A ，B 〔1〕求椭圆方程；〔2〕假设PB AP 3=，求m 的取值范围．22．〔此题满分是12分〕 函数1ln () (1)xf x x x+=≥ 〔1〕试判断()f x 的单调性，并说明理由； 〔2〕假设()1kf x x ≥+恒成立，务实数k 的取值范围；理数参考答案一．选择题：CACA ABBD ACDB二、填空题: 13. 4 14. 4 15. 2± 16. 9.0三．解答题17．解：⑴f (x )= sin x cos x +2+2cos2x = sin(2x+3π)+2T=π，2 k π-2π≤2x+3π≤2 k π+2π，k ∈Z , 最小正周期为π，单调增区间[k π-512π,k π+12π],k ∈Z . ⑵由sin(2A+3π)=0,3π<2A+3π<73π,∴2A+3π=π或者2π，∴A =3π或者56π18. 解：〔1〕11100221210009902101990110=+=C C C C C P 〔2〕设各等奖的奖金数为ξ那么∴E ξ=5+9+1.8+0=15.8〔元〕 19．解：〔1〕BF ⊥平面,ACE BF AE ∴⊥∵二面角D AB E --为直二面角，且CB AB ⊥，CB ∴⊥平面,ABE CB AE ∴⊥ AE ∴⊥平面BCE ．〔2〕连接BD 与高AC 交于G ，连接,FG ABCD 是边长为2的正方形，,BG AC BG ∴⊥=BF 二平面ACE ，由三垂线定理逆定理得FG AC ⊥BGF ∴∠是二面角B ACE --的平面角由〔1〕AE ⊥平面,BCE AE EB ∴⊥，,AE EB BE ==．在Rt BCE ∆中，3BC BE EC BF EC ⋅==-==∴在Rt BFG ∆中，3sin 23BF BGF BG ∠===故二面角B AC E --等于arcsin 3． 〔2〕可用向量法20. 解：〔1〕因1211115222()3333n n n n n n n n n b a a a a a a a b ++++++=-=--=-= 故{}n b 是公比为23的等比数列，且12123b a a =-=故2()(1,2,)3nn b n ==．〔2〕由12()3nn n n b a a +=-=得111121()()()n n n n n a a a a a a a a ++--=-+-++-122222()()()3333n n -=++++22[1()]3n =-注意到11a =，可得11233n n n a ++=-，即123(1,2,)3nn n a n -=-=记数列12{}3n n n -的前n 项和为n T ，那么12212()33n n T n -=+⨯++⋅22222()()3333n n T n =+⨯++⋅两式相减得：2112221()()3333n n T -=++++- 222()3[1()]()333n n n n n ⋅=--⋅故1122(3)29[1()]3()9333n n n n n n T n +-+=--⋅=-从而1223(12)2n n n S a a na n T =+++=+++-13(3)2(1)1823nnn n n -+=++-．21．解:〔1〕由22a cc c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得1,22a c b ===∴椭圆C 的方程为：2221y x +=．〔2〕设直线l 的方程为：y kx m =+由2221y kx m y x =+⎧⎨+=⎩得222(2)2km (1)0k x x m +++-= 222(2km)4(2)(1)k m ∴∆=-+-224(22)0k m =-+>由此得2222k m >-．①设l 与椭圆C 的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，那么21212222km 1,12m x x x x k k -+=-=++由3AP PB =得123x x -=122212223x x x x x x +=-⎧∴⎨=-⎩，整理得212123()40x x x x ++=22222134022km m k k -⎛⎫∴-+= ⎪++⎝⎭，整理得222(41)22m k m -=- 214m =时，上式不成立，2222122,441m m k m -∴≠=- ②由式①、②得2222222122(1)104141m m m m m -⎛⎫>-⇔-+< ⎪--⎝⎭2(1)(1)101(21)(21)2m m m m m m -+⇔<⇔-<<--+或者112m <<∴m 取值范围是111,,122⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 22.,解〔1〕'2ln ()xf x x=- 1 ln 0 '()0x x f x ∴≥∴≥∴≤ 故()f x 在[1,)+∞递减 〔2〕(1)(1ln )() 1k x x f x k x x ++≥⇔≥+ 记(1)(1ln )()x x g x x ++= 22[(1)(1ln )]'(1)(1ln )ln '()x x x x x x xg x x x++-++-∴== 再令 1()ln '()1 1 '()0h x x x h x x h x x=-⇒=-≥∴≥()h x ∴在[1,)+∞上递增min [()](1)10h x h ∴==>，从而 '()0g x > 故()g x 在[1,)+∞上也单调递增 min [()](1) 2 2g x g k ∴==∴≤制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
高三数学第六次阶段考试题 理含解析 试题
实验中学2021届高三数学第六次阶段考试题 理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
本套试卷分第一卷和第二卷两局部.本套试卷满分是150分，考试时间是是120分钟.试卷Ⅰ一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合{|124}x P x =≤<，{1,2,3}Q =，那么P Q =〔 〕A. {1}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}【答案】A 【解析】集合{}02P x x =≤<,那么P Q ⋂＝{}1,应选A.点睛: 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.此题利用了指数函数的单调性求解不等式.在求交集时注意区间端点的取舍. 纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目.2.x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =-+的最大值是〔 〕A. -1B. -2C. -5D. 1【答案】A 【解析】由不等式组表示的平面区域如图阴影局部，当直线y=2x+z 经过A 时使得z 最大，由1y y x =⎧⎨=⎩得到A 〔1，1〕，所以z 的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故答案为：A．3.执行如下图的程序框图，那么输出S 〔〕A. 26B. 57C. 120D. 247【答案】B【解析】试题分析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：应选B.考点：程序框图.【方法点睛】根据流程图〔或者伪代码〕写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，难度不大；分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量的值，并输出时，变量的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进展分析，不难得到输出结果.,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，那么“l m ⊥〞是“//l α〞的〔 〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】假设l m ⊥，因为m 垂直于平面α，那么//l α或者l α⊂；假设//l α，又m 垂直于平面α，那么l m ⊥，所以“l m ⊥〞是“//l α的必要不充分条件，应选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 【此处有视频，请去附件查看】5.〔10〕设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=〔a ＞0，b ＞0〕的焦点，假设在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F 7a ,那么该双曲线的渐近线方程为 33 2y ="0" 2x ±y=0【答案】D 【解析】不妨设12(,0),(,0)F c F c -，那么11221222OF F P OF F P F P F POP ++++==因为1260F PF ∠=，所以121212cos602F P F PF P F P F P F P ⋅⋅=⋅=，22212121212||||1cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅ 所以2221212||4PF PF PF PF c +=⋅+因为P 在双曲线上，所以122PF PF a -=那么2222212121212()||244PF PF PF PF PF PF c PF PF a -=+-⋅=-⋅= 所以221244PF PF c a ⋅=-，故122212222F P F PF P F P c a ⋅⋅==-222221212||484PF PF PF PF c c a +=⋅+=-因为OP =，所以1272F P F POP +==故22121212||274F P F P F P F Pa ++⋅=，即222327c a a -=故22237b a a +=，解得b =所以双曲线的渐近线方程为0x a ±=0y ±=，应选D 【此处有视频，请去附件查看】6.设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，那么有〔 〕A. 13()()(1)32f f f << B. 31(1)()()23f f f <<C. 13(1)()()32f f f <<D. 31()(1)()23f f f <<【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案.【详解】解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，应选A.【点睛】此题考察利用函数的单调性、奇偶性比拟函数值的大小，考察利用知识解决问题的才能.7.函数sin()(0,0,)2y A x b A πωϕωϕ=++>><的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为,318π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,09π⎛⎫⎪⎝⎭，那么函数()f x 的单调增区间为〔 〕 A. 222,3939k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ B. 242,3939k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ C. 227,318318k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈ D. 252,+318318k k ππππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出()f x 的解析式，利用三角函数的性质得出其单调增区间可得答案. 【详解】解：由题意得：对称中心为2,09π⎛⎫⎪⎝⎭，可得b=0，图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为,318π⎛⎫⎪⎝⎭，2,09π⎛⎫⎪⎝⎭， 124918T ππ∴=-可得23T π=，23Tπω∴==，3A ∴=， 可得3sin(3)y x ϕ=+将2,09π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得2sin 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得2,3k k Z ϕππ+=∈，且2πϕ<， 3πϕ∴=，可得()3sin 3+3f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 令23++2,232k x k k Z πππππ-+≤≤+∈，可得252+318318k x k ππππ-≤≤， 应选D.【点睛】此题主要考察三角函数的单调性及sin()y A x ωϕ=+的性质，得出函数的解析式是解题的关键.8.定义在(1,)+∞上的函数()f x 满足以下两个条件：〔1〕对任意的(1,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立；〔2〕当(1,2]x ∈时，()2f x x =-；记函数()()(1)g x f x k x =--，假设函数()g x 恰有两个零点，那么实数k 的取值范围是〔 〕 A. [1,2) B. 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件可得()f x 的解析式，又y=(1)k x -的函数图像过点〔1，0〕点直线，结合函数的图像，根据题意可得参数的范围.【详解】解：因为(1,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立，所以*(2)2()()k k f x f x k N =∈.所以当1*22()k k x k N +<≤∈时，有122k x<≤，从而 ()22k kxf x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭222k kx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12k x +=-.画出()f x 的图象如下图.从图中可以看出，要使()g x 有两个零点，只要函数(1)y k x =-的图象与()y f x =的图象有两个交点，当函数(1)y k x =-的图象经过点(4,4)时，这时43k =，函数()g x 恰有两个零点，当函数(1)y k x =-的图象经过点(2,2)时，2k =，函数()g x 只有一个零点，当43k <时，或者2k >时，都不符合题意，故实数k 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】此题主要考察函数零点的断定定理，解決此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学是解决数学问题的必备的解题工具，属于根底题.试卷Ⅱ二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.把答案填在题中横线上. 9.假设复数z 满足3iz i =〔i 为虚数单位〕，那么z =______. 【答案】2 【解析】 由题意可得：3iz -=， 那么：33221i iz ii--====.10.正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，那么这个球的外表积是______. 【答案】2a π【解析】 【分析】由题意可得正方体的边长及球的半径，可得球的外表积.【详解】解：根据正方体的外表积可以求得正方体的边长为l=体心，半径为正方体体对角线的一半，求得球的半径r==，可得外接球外表积为242aS rππ==，故答案：2aπ.【点睛】此题主要考察空间几何体的外表积,得出正方体的边长和球的半径是解题的关键.xOy中，直线l的参数方程是112xy t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t为参数〕，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cosρθ=-，那么圆C的圆心到直线l的间隔为______.【答案】12．【解析】直线l的参数方程为12{12xy t=-+=〔t为参数〕，普通方程为x，圆ρ=﹣4cosθ 即ρ2=﹣4ρcosθ，即 x2+y2+4x=0，即〔x+2〕2+y2=4，表示以〔﹣2，0〕为圆心，半径等于2的圆．∴圆C的圆心到直线l的间隔=12，故答案为：12．12.假设0a>，0b>，且11121a b b=+++，那么2+a b的最小值为______.【答案】2312+ 【解析】试题分析：由11121a b b =+++可得，即，所以〔当且仅当时取等号〕，即2+a b 的最小值为.考点：根本不等式及灵敏运用.11121a b b =+++进展合理变形得到，再根据该等式中变量的关系，解出用来表示，从而将欲求代数式中的两个变量消去一个，得到只含的代数式，然后运用根本不等式使其获解.这里要强调的是 “一正、二定、三相等〞是根本不等式的运用情境，也是学会运用根本不等式的精华，这是运用好根本不等式的关键之所在.13.A ，B 是圆O ：224x y +=上的两个动点，2AB =，5233OC OA OB =-.假设M 是线段AB 的中点，那么OC OM ⋅的值是__. 【答案】3 【解析】 【分析】 易得1OM (OA OB)2=+，可得152()233OC OM OA OB OA OB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭，结合A ，B 是圆O ：224x y +=上的两个动点，2AB =，计算可得答案.【详解】解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 那么11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，1212,22x x y y OM ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()2121,AB x x y y =--，所以1212525252,,333333OC OA OB x x y y ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭. 由2AB =，得()()2221214x x y y -+-=， ① 又A ，B 在圆O 上，所以22114x y +=，22224x y +=， ② 联立①②得12122x x y y +=， 所以121212125252,,333322x x y y OC OM x x y y ++⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简并整理，得()()()222211221212511632x y x y x x y y +-+++ 511442632=⨯-⨯+⨯ 3=.优解由条件易知OAB ∆为正三角形. 又由M 为AB 的中点， 那么1OM (OA OB)2=+， 所以152()233OC OM OA OB OA OB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22152||||233OA OA OB OB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭3=.【点睛】此题主要考察平面向量的应用及平面向量数量积运算，由得出1OM (OA OB)2=+代入计算是解题的关键.14.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数一共有______. 【答案】324 【解析】分两大类：(1)四位数中假如有0，这时0一定排在个、十、百位的任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时一共有C 32A 33C 41＋C 32A 33C 41＝144(种)．(2)四位数中假如没0，这时后三位可以全是偶数，或者两奇一偶．此时一共有A 33C 31＋C 32C 31A 33C 31＝180(种)．故符合题意的四位数一共有144＋180＝324(种)． 【此处有视频，请去附件查看】三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.函数21()2cos 2f x x x =--. 〔1〕求()f x 的最小正周期；〔2〕设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =()0f C =，假设sin 2sin B A =，求a ，b 的值.【答案】〔1〕函数()f x 的最小正周期为π.〔2〕1a =，2b = 【解析】 【分析】〔1〕将原解析式化为一个角的正弦函数，代入周期公式即可求出()f x 的最小正周期; 〔2〕由()0f C =可得C 的范围,可得C 的值，由sin 2sin B A =，由正弦定理得2ba=，由余弦定理可得223a b ab +-=，联立可得a 、b 的值.【详解】〔1〕21()2cos 2f x x x =--1cos 21sin 2222x x +=--12cos 2122x x =-- sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期为π. 〔2〕由()0f C =，得sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0C π<<，所以112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，3C π=，又sin 2sin B A =，由正弦定理得2ba=. ①由余弦定理，得2222cos3ca b ab π=+-，即223a b ab +-=. ② 由①②解得1a =，2b =.【点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有:正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，纯熟掌握定理及公式是解此题的关键.16. 〔10分〕盒中一共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全一样. 〔1〕从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色一样的概率；〔2〕从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X .【答案】〔1〕518；〔2〕20()9E X =. 【解析】试题分析：〔1〕先求出取2个球的所有可能，再求出颜色一样的所有可能，最后利用概率公式计算即可；〔2〕先判断X 的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．试题解析：解：224329163153618C C P C ++++=== 〔2〕X 的可能取值为2，3，4()()31314536449911134,312663C C C C P x P x C C +======()198********1261269E x ++===考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.古典概型及其概率计算公式． 【此处有视频，请去附件查看】17.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AB AD ⊥，AB PA ⊥，224BC AB AD BE ===，平面PAB ⊥平面ABCD .〔1〕求证：平面PED ⊥平面PAC ；〔2〕假设直线PE 与平面PAC 5，求二面角A PC D --的平面角的余弦值. 【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕155【解析】试题分析：〔1〕证明面面垂直的根本思路，是在其中一个面内，找一条直线垂直于另一个平面内两条相交直线，此题只需证明ED⊥PA，ED⊥AC 即可；〔2〕重点是找二面角的平面角，即在两个面内分别找垂直于交线的直线，然后构造三角形求解。
2021年高三第六次测试(理数)
2021年高三第六次测试（理数）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 2.已知复数满足，则=（ ）A ．B ．C ．D ． 2 3．已知向量(1,2),(cos ,sin ),//,tan()4a b a b πααα==+=且则 （ ）A ．B ．C ．3D ．-34.某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．，分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则__．（填“”、“”或“＝”）．A ．B ．C ．＝D ．不能确定 5．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若”的逆命题是真命题B ． “”是“”的充分不必要条件C ．命题“”的否定是“”D ．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题 6．在等差数列中，首项公差，若，则（ ）A ．22B ．23C ．24D ．25 7．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（ ） A ． B ． C ． D ．8．已知直线与轴，轴分别交于两点，若动点在线段上，则的最大值为（ ）A ．B ．2C ．3D ．9．某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设O 为坐标原点，，若点满足，则取得最小值时，点B 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.无数个11．若函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．③④12． 已知函数满足：①定义域为R ；②，有；③当时， ．记 .根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（ ）A ．15B ．10C ．9D ．8第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．抛物线 与直线所围成的图形面积是_____14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是_____15．已知双曲线的左右焦点是F 1，F 2，设P 是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e 为__.16．若自然数使得作加法运算均不产生进位现象，则称为“给力数”，例如：是“给力数”，因不产生进位现象；不是“给力数”，因产生进位现象.设小于的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合，则用集合中的数字可组成无重复数字的三位偶数的个数为_______________三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分12分)已知函数的最小正周期为（Ⅰ）在中，分别为角所对的边，且，；求角的大小. （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，求的值. 18．（本题满分12分)某小学三年级的英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个应语单词；每周星期五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）； （Ⅰ）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率； （Ⅱ）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为；若老师从后三天所学单词中各抽取了一个进行检测，求该学生能默写对第14题第4题图的单词数的分布列和期望. 19.（本题满分12分)已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点． （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 20．（本题满分12分）已知数列的前项和为，通项满足（是常数，且）。
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高三第六次阶段复习达标检测数学试题（理科）2012.01.15 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分。
测试时间120分钟。
请将第I卷答案涂到答题卡上，将第II卷答案写到答题纸上，在本试卷上作答无效。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U=R，则正确表示集合M={ x∈R｜0≤x≤2}和集合N={ x∈R｜x2-x=0}关系的韦恩（Venn）图是2.命题：“若-1＜x＜1，则x2＜1”的逆否命题是A.若x≥1或x≤-1，则x2≥1B.若x2＜1，则-1＜x＜1C.若x2＞1，则x＞1或x＜-1D.若x2≥1，则x≥1或x≤-13.同时满足两个条件：①定义域内是减函数②定义域内是奇函数的函数是A. f(x)=-x｜x｜B. f(x)= x3C. f(x)=sinxD. f(x)=ln x x4.设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题正确的是A.若m∥α，m∥n，则n∥αB.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC.若α⊥β， m⊥α，m⊥n，则n∥βD.若α⊥β， m⊥α，n∥m，n⊄β，则n∥β5.已知x ，y满足条件503x yx yx-+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，+，，则z=13yx-+的最大值A.3B.76C.13D.-236.已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x则该双曲线的方程为A.5x2-45y2=1 B.22154x y-= C.22154y x-= D. 5x2-54y2=17.等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 3+a 7-a 10=8, a 11-a 4=4,则S 13等于 A.152 B.154 C.156 D.158 8.若把函数sin y x x =-的图象向右平移m(m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A.3π B.23π C.6π D.56π 9. 在ABC ∆中, 3π=∠B ，三边长a ，b ，c 成等差数列，且6=ac ，则b 的值是( )A ．2B ．3C ．6D ．10.设函数f(x)=313log ,0log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩，若f(m)＜f(-m)，则实数m 的取值范围是A.（-1，0）∪（0，1）B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（0，1） 11.已知函数f(x)在R 上可导，且f(x)=x 2+2x(2)'f ，则f (-1）与f (1）的大小关系为A. f （-1）= f （1）B. f （-1）＞f （1）C. f （-1）＜ f （1）D.不确定12.在△ABC 中，AB=2，AC=1，BD =DC ，则AD BD ⋅的值为A.-23 B. 23 C.-34 D. 34高三第六次阶段复习达标检测数学试题（理科）第II 卷（非选择题，本大题共4个小题，每小题4分，共16分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上.）13.由两条抛物线y 2=x 和y=x 2所围成的图形的面积为 . 14.右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为 . 15.已知A(1,2)，B(3,4)，C(-2,2)，D(-3,5)，则向量AB 在向量CD 上的投影为 .16. 椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120︒的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为三、解答题（本大题共6个小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（（本小题满分12分）已知2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+- （Ⅰ）求函数f(x)的单调增区间（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a=1，b+c=2,f(A)=12，求△ABC 的面积.题满分12分）18.（本小题满分12分）如图，平面ABCD ⊥平面PAD ，△APD 是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD 是直角梯形，其中BC ∥AD ，∠BAD=90°，AD=2 BC ，且AB=BC=PD=2，O 是AD 的中点，E ，F 分别是PC ，OD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥平面PBO ；（Ⅱ）求二面角A- PF - E 的正切值.题满分12分）19.（本小题满分12分）设等比数列{a n }的前n 项和为n S ，已知122()n n a S n N ++=+∈（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）在a n 与a n+1之间插人n 个数，使这n+2个数组成公差为n d 的等差数列，求数列{1nd }的前n 项和n T ．本小题满分12分） 20.（本小题满分12分）已知⊙M：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切⊙M 于A 、B 两点． （Ⅰ）求证直线AB 恒过一个定点；（Ⅱ）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程．21.（本小题满分12分）已知椭圆两焦点为12(F F ，离心率2e = （I ）求此椭圆的标准方程； （II ）若直线:l y x m =+在此椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值；（III ）以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由。
22.（本小题满分14分）设函数21()ln .2f x x ax bx =-- （I ）当12ab ==时，求()f x 的最大值；（II ）令21()(),(03)2aF x f x ax bx x x=+++<≤，在其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率12k≤恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）当20,1,2()ab mf x x ==-=方程有唯一实数解，求正数m 的值。
高三数学试题（理）参考答案及评分标准一、选择题 BDCAA DCCCD BC二、填空题 13. 1316.2-三、解答题 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为f(x)=2sin(2)2cos 16x x π-+-12cos2cos22x x x -+12cos22x x +=sin(2)6x π+……………………………（3分） 所以函数f(x)的单调递增区间是〔,36k k πππ-π+〕（k Z ∈）……………………（5分） (Ⅱ)因为f(x)=12，所以1sin(2)62A π+=，又1302666AA ππππ+，所以从而52,663A A πππ+==故……………………………………………………（7分） 在△ABC 中，∵a=1,b+c=2,A=π3∴1=b 2+c 2-2bccosA,即1=4-3bc.故bc=1……………………………………………………………………………（10分）从而S △ABC =1sin 2bc A =…………………………………………………（12分） 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取BP 中点G ，连EG ，由E 为PC 中点故EG 1,2BC 又F 为OD 中点， ∴OF=1122ODBC ∴EGOF ，故四边形OFEG 为平行四边形…………（3分）∴EF ∥GO 则EF ∥面PBO ……………………………（4分）(Ⅱ) 连CO ，OP ，则BA ∥CO ，又AB ⊥AD ，面ABCD ⊥面APD ∴CO ⊥面APD 故面COP ⊥面APD ………………（6分） 过E 作EN ⊥OP 于N ，则EN ⊥面APD过N 作NH ⊥PF 于H ，连EH ，则EH ⊥PF ，故∠NHE 为二面角A-PF-E 的平面角………（8分）由于E 为PC 中点，故EN=12CO=12AB=1. ∵∠APD=90°，AD=4，PD=2由O 为AD 的中点，故OD=2，又F 为OD 的中点，可知PF ⊥AD从而NH ∥OD , 又N 是DP 的中点, ∴H 为PF 的中点 ∴NH=12OF=12…………（11分） ∴tan ∠NHE=NE NH=2 ∴二面角A-PF-E 平面角的正切值为2. ……………………………（12分）20.解：（Ⅰ）证明：设Q (a,0)，由题意知M ，A ，Q ，B 四点共圆，直径为MQ ，设R (x ，y )是该圆上任一点，由MR ·QR ＝0得，x (x －a )＋(y －2)y ＝0.即x 2＋y 2－ax －2y ＝0. ①①式与x 2＋(y －2)2＝1联立，消去x 2＋y 2项得两圆公共弦AB 的方程为－ax ＋2y ＝3，∴无论a 取何值，直线AB 恒过点(0，32)．（Ⅱ）连结MB ，MQ ，设P (x ，y )，Q (a,0)，点M 、P 、Q 在一条直线上，当a ≠0时，得2－a ＝2－y －x.② 由射影定理有|MB |2＝|MP |·|MQ |，即x 2＋(y －2)2·a 2＋4＝1.③由②及③消去a ，并注意到y ＜2，可得x 2＋(y －74)2＝116(y ＜2)．当a ＝0时，易得P 点为(0，32)，满足方程x 2＋(y －74)2＝116(y ＜2)．即中点P 的轨迹方程为x 2＋(y －74)2＝116(y ＜2)．。