作为教育任务的数学

作为教育任务的数学【荷兰】弗赖登塔尔著，陈昌平、唐瑞芬等编译，上海教育出版社，1995年3月第一版序言：“教学法的颠倒”……数学家从不按照他们发现、创造的真实过程来介绍他们的工作，实际上经过艰苦曲折的思维推理获得的结论，常以“显然”二字一笔带过。

教科书更是常将通过分析法所得的结论采取综合法的形式来叙述，也就是说文字表达思维过程与实际获得的发现过程完全相反，因而严重阻塞了“再创造”的通道。

P1：P4：这类研究工作在技术上无论怎样的完善，都不能回答教育的基本问题，即该教什么？为什么目的而教？拿这些内容教谁？我要批评的是这类研究工作背后的思想，也就是要指出，用统计数字把自己装扮起来并不就是把自然科学的精确性引入到教育研究中来。

那种自负地宣称小数点后面第七位数字是准确的而无视小数点左边的数字都错了的态度，并不是科学的态度。

我不是从这样的一些实验中学，而是从自己的或别人的课堂教学经验中，从教科书中以及有经验的教师关于教科书和学习表现的实事求是的分析中，学到了不少的东西。

P4：真正的教育活动意味着遵循自己的真诚信念去探索正确的教育途径，而教育科学首先应该是对这种真诚信念的合理性作出论证，你可以把它称为哲学。

但不管我们叫它做什么，它是不可或缺的，任何细节的研究都无法代替它的。

相反，只有在健康的教育哲学的土壤上，具体的研究工作才能兴旺起来。

编译者序：P2：弗赖登塔尔的两方面的看法：第一方面，对数学的看法。

数学是系统化了的常识。

……数学比其他任何自然科学都更易于创造：一个聪明的儿童，靠自己就能发现或创造出许多数学知识。

……常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则。

这些法则在高一层次里又成为常识，再一次被提炼、组织，而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以至于无穷。

这样，数学的发展过程就显出层次性，构成许多等级；同时也形成诸多如抽象、严密、系统等特性。

一个人在数学上能达到怎样的层次，则因人而异，决定于他的先天和后人达到这个层次，并努力不断地提高这个层次，和指出达到这个层次的途径。

第二方面，关于学习方法的看法。

弗赖登塔尔反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。

他认为这是一种最自然、当时的人有幸具备了我们现在有了的知识，他们是怎样把那些知识创造出来的。

（波利亚：重蹈数学发现的关键性步子。

）……说这种方法最有效，是因为只有通过自己的再创造而获数学是人的一种活动，如同游泳一样，要在游泳中学会游泳，数学家向来都不是按照他创造数学的思维过程去叙述他的工作成果，而是恰好相反，把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，去把其他的东西推导出来。

弗赖登塔尔把这种叙述方法称为“教学法的颠倒”，指出了这种颠倒掩盖了创造的思维过程，如果学习者不实行再创造，他对学习的内容就难以真正的理解，更谈不上灵活应用了。

P4：“再创造”是弗赖登塔尔关于数学教学方法的基本思想，它是学习的基本方法，也是判断教法好坏的基本准则。

……与其说让学生学习公理体系，第一章：数学的传统P2：学生之所以要及早学习数学，是因为数学是智力的磨刀石。

P3：希腊人的贡献就在于把证明变成了数学中的一项原则。

什么是演绎体系？自古至今，亚里士多德的解释最为清楚。

他说，任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来。

P8：事实上，希腊数学和巴比伦数学一样，远远超越了它们的应用——超越多远？这可以从圆锥曲线的理论看出一斑：它们诞生后经过了两千年，到开普勒发现行星的轨道是椭圆时，才得到了应用。

这其实是数学的特性……它寻求各种思想模式，以供应用者选择使用。

第四章：数学教育的用处和目的P63：数学教育最大的问题就是用处与目的之间的分歧，任何一个其他的教育领域，都不像数学教育那样，在无用处的目的与无目的的用处之间有着如此之大的距离。

P64：他们所教的算术是自身能力的顶点和极限。

如果一个教育工作者只知道所教的那些，并不知道得更多，那他总是错误的。

他不懂得站得高可以望得远，他会把仅有的一点知识捧上了天。

……为学校设计数学教学计划而又不了解学校的数学家，从来没有想到学校中还有什么事情比学习数学更重要，这些人也像那些计算迷（特指）一样，陷入了狭隘的观念之中。

P65：我担心结果是：不少国家在低年级教“数学”的人甚至不懂得什么是数学。

……我不能确定真正的数学是否已经渗入到了低水平的算术。

P66：（如何设置数学课程？）首先考虑到，存在一种约束，那就是学生的接受能力。

……其次，某个题材能教，并不等于说这个题材就应该教。

P67：我们应该反复强调人们最容易忘记的一点：除了未来的数学家以外，还有很多人必须学数学，其中只有少数人会用到一些比较复杂的数学，大多数人只用一些简单的数学，而即使那些从不应用数学的人，也应该学数学，因为数学已经成了人类生存所不可缺少的一个方面。

P68：化可能是结果而并非出发点。

P70：……从小学、中学一直到大学，就形成了一个奇迹——非数学化的自然科学。

……自然科学的这种非数学化，同时损害了数学教育与自然科学教育。

（数学教师应学习相关的科目，了解数学如何在这些课目中应用；自然科学教师应学习必要的数学，了解如何在自然科学中应用数学。

）P72：不要教孤立的片断，应该教连贯的材料……因为有联系的事物学得快，记得牢。

P73：数学的最大优点就是它的灵活性。

数学如果为了迎合某些应用而失去了灵活性，它就僵化了。

我并不要求学生学应用数学，我只是希望他能学会如何去用数学。

（起码要让他知道数学有用！）……所以我宁愿以多方面联系的数学来代替应用数学。

（数学与外部的联系，而非仅仅是数学内部的联系！）P74：数学依附于现实结构，虽然起初似乎与数学无关，在成长过程中这种联系会得到发展。

对非数学家而言，与亲身经历的现实的联系将是至关重要的。

P74：一些试验者声称，已经证明了这个或那个事可教的，我认为并不奇怪，儿童确实能学所有你想教的东西，但儿童也将很快地完全忘记。

一个教学实验如果不涉及教材的深度及保持的时间有多久，那是没有意义的。

而决定其深度的不是别的，就是与现实生活经历的联系，而这些联系又保证了记忆的持久性。

当然不排斥内在的数学联系，只要它们是有效的。

但不应狭义地把内在联系局限于演绎体系。

P75：（关于联系，他特别提到类比的重要性！）类比是建立数学内部与外部联系的一个极为有效的手段，因为在试图使整个世界系统化的所有手段中，它是最自然、最基本的，即使在较高水平也仍然具有生命力，学生甚至在学数学以前就知道。

P76：要保证有活力，就必须教给学生充满着联系的数学。

P82：并尽可能使之明确。

P83：不管数学是否作为一种思维训练，它对语言运用方法的影响是显然的。

加上语言的通用性，它和我们所有的智力表达与智力活动都有联系，因此数学语言的特性可以超越数学的范围而起作用。

P85：如果不通过新旧定义的比较进行再创造，只是鹦鹉学舌一样，把它当作一个既成事实接受下来，那也不是思维训练；只有依赖于自身的方式，联系多方面相关的背景，来获得相应的数学专门语言，这才是一种思维的训练。

P89：不是将详细整理好的证明提供给学生，而是必须让学生自己发现粗略的证明，自己加以整理。

第五章：苏格拉底的方法P94：狭义地说，苏格拉底所做的就是在教学过程中再创造或再发现所教的东西。

题材都是在学生的眼前发生而不是教条式地灌输。

虽然苏格拉底方法中，学生自己的活动是虚构的，但是应该让学生有这种感觉，那就是所教的东西都是在上课的过程中产生的，而教师实质上只是一个助产士。

P94：与苏格拉底方法（产婆术）相对的方法称为“跳伞者法则”，思想像降落伞一样突然从天上掉下来。

P94：P95：照这个方法来教，于是形成了一个循环。

但是这并非恶性循环，因为强调的是“发生”而不是“强加于人”。

P95：我们不必全盘否定苏格拉底，但也不必全盘继承。

我们保留他的通过再发现来学习，但这个“再”并非是学生的前世（苏格拉底认为，真正的知识早就存在于人的灵魂深处，教师的职责就是帮助他回忆起他灵魂深处早已知道的知识），而是指人类的历史，也就是重复人类祖先发现他们所掌握知识时的发展情况，我们不妨称之为再创造。

P96：如果对数学的分析表明数学有一个演绎结构，那么就必须按照这个结构来教数学，或者更精确地说，要按照教师或教科书作者相信的某个特定的演绎体系来教。

这就是我所谓……学生面对的只是分析的结果，或是看着知道结果的教师将被分析的内容再放在一起。

P98：……教给学生现成的数学，这种数学由数学家事先组合好，他们知道每个部分是如何配合的，其中每一个部分的用处又是什么，但是对学生却没有介绍这些秘密的知识，因而在学生看来，所获得的只是一堆毫无意义的孤立的砖头。

……这种教学法纯粹是苏格拉底以前的。

第六章：再创造P102：他（夸美纽斯）认为教师应该通过提问以激发学生的活动，且不说别的，至少可以确定学生没有打瞌睡。

P103：夸美纽斯的教学论原理是：教一个活动的最好方法是演示。

……我的意见是：学一个活动的最好方法是做。

P106：任何从事创造性数学的人都知道，在与数学有关的任何问题中，直觉比严密的逻辑过程起着更为重要的作用。

P109：面对现成的数学，学生唯一能做的事就是复制。

……一个世纪以来的考试问题证实了长期以来所教的沉闷的模仿数学，不是有效的数学，而是无价值的数学。

……对学生和数学家应该同样看待，让他们拥有同样的权利，那就是通过再创造来学习数学，而且我们希望这是真正的再创造，而不是因袭和仿效。

P110：学习过程必须含有直接创造的侧面，即并非客观意义的创造而是主观意义上的创造，通过再创造获得的知识与能力要比以被动方式获得者，理解得更好也更容易保持。

P111：将数学作为一种活动来进行解释和分析，建立在这一基础上的教学方法，我称之为再创造方法。

P114：只有亲身的感受与经历，才是再创造的动力。

P114：几乎所有的课程都是从已经组织好了的数学对象开始，因而学生就被剥夺了一次最好的机会，即是被剥夺了将一个非数学的题材形成为数学内容的“数学化”的机会……学生又被剥夺了创造定义的机会。

P117：实质上活动是为数学作准备的，所以在更高程度上是相关的。

P119：只要儿童没能对自己的活动进行反思，他就达不到高一级的层次。

第七章：用数学化方法组织一个领域P121：数学研究需要不断的观察和比较，它的主要武器之一是归纳，它经常求助于实际的试验与证实，同时它还对想象力与创造力进行最好的训练。

（转引）P122：数学家的数学结构也并非像书架上陈列的书那样一成不变，而是每天都在改变，P122：倒。

不是从具体问题出发，再用数学方法进行研究，而是先学数学，再将具体问题作为它的“应用”。