您的位置：360文档中心› 2015-2016学年福建省福州市福清市东张中学高二上学期数学期中试卷带解析(文科)

2015-2016学年福建省福州市福清市东张中学高二上学期数学期中试卷带解析(文科)

合集下载

数学上学期期中试题-东张中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题及答案(理)

数学上学期期中试题-东张中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题及答案(理)

福清东张中学2015—2016学年度第一学期期中考高二年数 学 (理科) 试 卷（完卷时间：120分钟，满分：150分）说明：本试卷共分两部分，选择题与非选择题，全卷有22小题，共两张；所有答案均需填在答题卡中，写在试卷上的答案无效！第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.答填涂在答题卡对应位置.1. 已知等差数列{}n a 中，11=a ，3=d ，当19=n a 时，则n ＝（ ） A.5 B.6 C.7 D.82. 不等式02<++n mx x 的解集为{}21|<<-x x ，则m ，n 的值分别为（ ） A.1，2 B.1，-2 C.-1，2 D.-1，-23. 下列命题中，正确的是（ ）A.若b a >，则22bc ac >B.32<<-a ，21<<b ，则13<-<-b aC.若0>>b a ，0>m ，则bma m < D.若b a >，dc >，则bd ac > 4. 在ABC ∆中，5=a ，3=b ，︒=60C ，则=c （ ） A.4 B.16 C. 132 D.31834- 5. 函数)1(14>-+=x x x y 的最小值是（ ） A.4 B.5 C.6 D.76. 已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则=q （ ） A.1或21-B.1C.21- D.-2 7. 设)2(2-=a a M ，)3)(1(-+=a a N ，则有（ ）A.N M >B.N M ≥C.N M <D.N M ≤ 8. 已知等比数列{}n a 中，1651=⋅a a ，则=3a （ ） A.8 B.±4 C.-4 D.49. 在锐角ABC ∆中，角B A ,所对的边长分别为b a ,，若b B a 3s i n2=，则角A ＝（ ）A.12π B. 6π C. 4π D. 3π10. 等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2和为100，则它的前m 3项和为（ ） A.130 B.170 C.210 D.26011. 福州为了迎接青运会，计划从2011年到2015年，每年年初投入资金用于更新和改进体育场所与设施，若2011年年初投入a 万元，以后每年年初投入的资金比上一年递增10%，则投入的总资金约为（参考数据 46.11.14≈，61.11.15≈） （ ）A.a 6.4万元B.a 1.6万元C.a 6.14万元D.a 1.16万元12. 设变量x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≥+-≥-24122y x y x y x ，则可行解的平面区域面积为（ ）A.23B.3C.4D.6 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.在ABC ∆中，已知35=b ，15=c ，︒=30B ，则角=C __________________. 14.数列{}n a 中，21=a ，121-=+n n a a ，则=6a __________________. 15.正数b a ,满足12=+b a ，则ba 11+的最小值为____________________. 16. 已知变量x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则22y x z +=的最大值为______________.三、解答题：本题共6小题，共70分。

福建师大附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)资料

福建师大附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)资料

福建师大附中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0]C．[0，4）D．（﹣4，0）3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2B．k1＜k＜k3C．k1≤k≤k3D．k＜k1或k＞k37．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．49 B．50 C．51 D．5210．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣201411．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）12．数列{a n}满足a1=1，=，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n ﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i﹣b i，此时c1，c2，…c n ，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．﹣22015-2016学年福建师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式．【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0]C．[0，4）D．（﹣4，0）【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】若m=0．则﹣1＜0恒成立，若m≠0，由不等式的解集是全体实数可知f（x）=mx2﹣mx﹣1开口向下，△＜0，列出不等式解出m的范围．【解答】解：当m=0时，不等式为﹣1＜0，恒成立；当m≠0时，∵不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，∴，解得﹣4＜m＜0．综上，m的取值范围是（﹣4，0]．故选：B．【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键．3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知式子可得数列{a n}的公比，进而可得等比数列{}的首项为1，公比为±，由求和公式可得．【解答】解：∵，∴S8=17S4，∴=16，∴公比q满足q4=16，∴q=2或q=﹣2，∴等比数列{}的首项为1，公比为±，当公比为时，数列{}的前5项和为=；当公比为﹣时，数列{}的前5项和为=故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】先求出BC，再求出CD即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=β﹣α，∠ABC=π﹣β，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=．故选：B．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值．【分析】①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立；②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==﹣＜0，③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．【解答】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，由正弦定理可知，，所以sinA=＞1，故错误；②若三角形的三边的比是3：5：7，根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，由余弦定理得：cosα==﹣，则最大角为120°，故正确；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，则最大角为B或C所对的角，∴cosB=＞0，得是＜x，cosC=＞0，得x＜．则x的取值范围是，故正确；故选：C．【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．6．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2B．k1＜k＜k3C．k1≤k≤k3D．k＜k1或k＞k3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据z的几何意义，结合直线斜率之间的关系，即可得到结论．【解答】解：A是l1与l3的交点，目标函数z=﹣kx+y仅在点A处取到最大值，∴直线y=kx+z的倾斜角比l1的要大，比l3的要小，即有k1＜k＜k3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率之间的关系，比较基础．7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA﹣3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值．【解答】解：∵A+B=π﹣C，∴sinC=sin（π﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，又∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB，∴sinC+sin（A﹣B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）=6sinBcosB，化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）=0解之得cosB=0或sinA=3sinB．①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=，∵，∴A==，因此sinA=sin=，由三角函数的定义得sinA==；②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以=3．综上所述，的值为或3．故选：C【点评】本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题．8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C【解答】解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1（舍去），∵C∈（0，π），∴C=，故选：A．【点评】本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．49 B．50 C．51 D．52【考点】等差数列的性质．【专题】函数思想；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a50+a51＞0；a51＜0，进而可得a50＞0，且|a50|＞|a51|，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S100==50（a1+a100）=50（a50+a51）＞0，∴a50+a51＞0；同理S101===101a51＜0，∴a51＜0；∴a50＞0，且|a50|＞|a51|，∴k=51故选：C．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，整体得出项的正负是解决问题的关键，属中档题．10．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣2014【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．【分析】利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”可得a n，于是=2（n﹣1）•cos．由于函数y=cos的周期T==4．利用周期性和等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，当n=1时，a1=S1=1﹣1=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．上式对于n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．∴=2（n﹣1）•cos．∵函数y=cos的周期T==4．∴T2015=（b1+b5+…+b2009）+（b2+b6+…+b2010）+（b3+b7+…+b2011）+（b4+b8+…+b2012）+b2013+b2014+b2015=0﹣2（1+5+...+2009）+0+2（3+7+ (2011)+4024•cos+4026•cos+4028•cos=4×503+0﹣4026=﹣2014．故选D．【点评】本题考查了利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求a n、余弦函数的周期性、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式：x2﹣2x﹣3≤0，然后a取特殊值验证即可得到答案．【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3≤0得﹣1≤x≤3；观察选项取a=﹣1解不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x≤0可得﹣4＜x＜0显然A不正确；令a=31不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x﹣32≤0解得﹣8≤x≤4，仅有B正确．故选B．【点评】选择题的解法非常灵活，一定要观察题干和选项，特殊值一定要特殊．是中档题．12．数列{a n}满足a1=1，=，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】数列与不等式的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】先求出数列{a n2}的通项公式，再求S n，注意运用裂项相消求和，以及不等式的性质，可求正整数t的最小值．【解答】解：∵a1=1，=，∴+4=，∴﹣=4，∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，∴=4n﹣3，∴a n2=，a n2•a n+12=•=（﹣），∴S n=a i2a i+12=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，即为t≥30•=7.5，而t为正整数，所以，t min=8．故选C．【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，属于中档题．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=2．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2；故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求出S1+a1=2，可得S n+na n=2，当n≥2时，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，然后利用累积法求得a n．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，∴S1+1×a1=1+1=2，∵{S n+na n}为常数列，∴由题意知，S n+na n=2，当n≥2时，S n﹣1+（n﹣1）a n﹣1=2两式作差得（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，从而=，∴（n≥2），当n=1时上式成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，训练了累乘法求数列的通项公式，是中档题．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是4．【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．【解答】解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99=299=．则b50=2．∴b 8+b92≥=2b50=4，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故答案为：4．【点评】本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值．【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，∵AG⊥BG，∴DG=AB，由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，又∵+=，∴+=，则λ=======．故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为（ax﹣2）（x+1）≥0，且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；∴=2，解得a=1；（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；在a=﹣2时，=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣1﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）设出PA的长度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；（2）设出PA的长度x，把∠CQA与∠DQB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CQD的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置．【解答】解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．依题意有，．由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．依题意有，，tan∠CQD=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=，令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，则=，∵，∴，当时，所张的角为钝角，当，即x=时取得最大角，故点Q应选在距A点km处．【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意和三角形的知识可得cosC=0，可得C=90°，△ABC为直角三角形；（2）由数量积的意义可得•=||2=9，可得AC=3，再由三角形的面积公式可得BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，设P的坐标为（x，y），可得d1+d2+d3=，且，令x+2y=m，由线性规划的知识可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中sinB=cosAsinC，∴sin（A+C）=cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC，∴sinAcosC=0，即cosC=0，C=90°，∴△ABC为直角三角形；（2）∵•=||2=9，解得AC=3，又ABC的面积S=×3×BC=6，∴BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），可得直线AB的方程为+=1，即4x+3y﹣12=0，设P的坐标为（x，y），则d1+d2+d3=x+y+，且，∴d1+d2+d3=x+y﹣=，令x+2y=m，由线性规划的知识可知0≤m≤8∴d1+d2+d3的取值范围为[，4]【点评】本题考查解三角形，涉及向量的知识和简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）设（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF•h表示成关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF的最大值；（2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°设（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，∵C到AB的距离为BC=百米，∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米可得S△DEF=EF•h=λ（1﹣λ）百米2∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当时等号成立∴当时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为百米2（2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α则CF=a•sinα，AF=﹣a•sinα设∠EDB=∠1，可得∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α在△ADF中，=即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]=∴a===（其中φ是满足tanφ=的锐角）∴△DEF边长最小值为．【点评】本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．【考点】复合函数的单调性．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）问题等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；（2），令，则，分k＞1，k=1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为﹣2即可解得k值；（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k=1时易判断；当k＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值；【解答】解：（1）因为4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，因为﹣2x﹣2﹣x=﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，当且仅当2x=2﹣x即x=0时取等号，所以k＞﹣2；（2），令，则，当k＞1时，无最小值，舍去；当k=1时，y=1最小值不是﹣2，舍去；当k＜1时，，最小值为，综上所述，k=﹣8．（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k＞1时，因且，故，即1＜k≤4；当k=1时，f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；当k＜1时，且，故，解得；综上所述，【点评】本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题，考查转化思想，综合性较强，难度较大．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n ﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i﹣b i，此时c1，c2，…c n ，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．﹣2【考点】等差关系的确定．【专题】证明题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】依题意，0＜c1＜c2＜…＜c n﹣1，可用反证法证明x1，x2，…，x n﹣1是单调递增数列；再证明x m为数列{x n}中的最小项，从而可求得是x k=c k+x m，问题得证【解答】证明：设c为c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1的公差，对1≤i≤n﹣2，因为b i≤b i+1，c＞0，所以a i+1=b i+1+c i+1≥b i+c i+c＞b i+c i=a i，又因为a i+1=max{a i，x i+1}，所以x i+1=a i+1＞a i≥x i．从而x1，x2，…，x n﹣1为递增数列．因为a i=x i（i=1，2，…n﹣1），又因为b1=a1﹣c1＜a1，所以b1＜x1＜x2＜…＜x n﹣1，因此x n=b1．所以b1=b2=…=b n﹣1=x n．所以x i=a i=b i+c i=x n+c i，因此对i=1，2，…，n﹣2都有x i+1﹣x i=c i+1﹣c i=c，即x1，x2，…，x n﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．。

2015-2016学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学理试题(实验班)

2015-2016学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学理试题(实验班)

2015-2016学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学理试题（实验班）本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（ ） A ．当0>x 且1≠x 时，2lg 1lg ≥+x x B ．当0>x 时，21≥+xx C ．当2≥x 时，x x 1+的最小值为2 D ．当20≤<x 时，xx 1-无最大值 2．关于x 的不等式012<--mx mx 的解集是全体实数,则m 应满足的条件是（ ） A ．]0,4[- B ．(]4,0- C ．[)0,4 D ．()4,0- 3．已知数列{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且17184=S S ，则数列}1{n a 的前5项和为 （ ） A ．1631或1611 B ．1611或2116 C ．1611 D ．16314． 一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北α方向上，行驶a 千米后到达B 处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ,根据这些测量数据计算(其中αβ>)，此山的高度是（ ） A ．)sin(sin sin αβγα-a B ．)sin(tan sin αβγα-a C ．)sin(sin sin αβγβ-aD ．)sin(tan sin αβγβ-a5．在ABC ∆中，①若60B =︒，10=a ，7=b ，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角；③若ABC ∆为锐角三角形，且三边长分别为2,3,x ，则x 的取值范围是135<<x ．其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知约束条件对应的平面区域D 如图所示，其中123,,l l l 对应的直线方程分别为：112233,,y k x b y k x b y k x b =+=+=+，若目标函数z kx y =-+仅．在点(,)A m n 处取到最大值，则有（ ）l 3l 1y A (m ,n )A ．12k k k << B.13k k k << C.13k k k ≤≤ D.1k k <或3k k >7．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，B B A C 2sin 3)sin(sin =-+.（ ）3 D.38．在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆A．9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1001010,0><S S ，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥，则k 的值为( )A.49B.50C.51D.5210．已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n -=2，令，记数列}{n b 的前n 项为n T ，则(2015=T ）A ．2011-B ．2012-C ．2013-D ．2014-11．若不等式组222304(1)0x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞-B ．[4,)-+∞C ．[4,20]-D ．[40,20)-12．数列{}n a 满足，记2211+==∑nn i i i S a a ，若对任意的n ()n N *∈恒成立，则正整数t 的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，{}n n S na +为常数列，则15．若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”．已知正项数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是16．已知点G 是ABC ∆的重心,且11,tan tan tan AG BG A B Cλ⊥+=,则实数λ的值为三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）关于x 的不等式2(a 2)x 20ax +--≥，()a R ∈（1）已知不等式的解集为(][),12,-∞-⋃+∞，求a 的值；（2）解关于x 的不等式2(a 2)x 20ax +--≥．18．（本小题满分10分）设n S 是数列}[n a 的前n 项和，)2(21,121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-==n S a S a n n n．（1）求{}n S 的通项；（2）设12+=n S b nn ，求数列}{n b 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km . （1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.AB C DQPDC BA20．(本小题满分12分)在ABC ∆中，已知sin cos sin =B A C （1）判断ABC ∆的形状（2）若9⋅=AB AC ,又ABC ∆的面积等于 6.求ABC ∆的三边之长；（3）在（2）的条件下，设p 是ABC ∆（含边界）内一点，p 到三边AB BC 、、CA 的距离分别为123d d d 、、，求123d d d ++的取值范围.21．(本小题满分12分)某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米． (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF 喂食，求△DEF 面积S △DEF 的最大值；(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．22．（本小题满分14分）1）若对于任意的0)(,>∈x f R x 恒成立，求实数k 的取值范围； （2）若)(x f 的最小值为2-，求实数k 的值；（3）若对任意的R x x x ∈321,,，均存在以)(),(),(321x f x f x f 为三边长的三角形，求实数k 的取值范围．附加题：研究数列{}n x 的前n 项发现：{}n x 的各项互不相同，其前i 项（11≤≤-i n ）中的最大者记为i a ，最后-n i 项（11≤≤-i n ）中的最小者记为i b ，记=-i i i c a b ，此时1221,,,--n n c c c c 构成等差数列，且10>c ，证明：1231,,-n x x x x 为等差数列.期中考试参考答案1．B 2．B 3．A 4． B 5．C 6．B 7．C 8．A 9．C 10．D 11．B 12．C 二、填空题13．2 14．2/(1)+n n 15．4 16．1/217．（1）1a = ；（2）0a =时原不等式解集为{}1x x ≤-；0a >时原不等式解集为{}21x x x a≤-≥或；20a -<<时原不等式解集为{}21xx a≤≤-；2a =-时原不等式解集为{}1x x =-；2a <-时原不等式解集为{}21x x a-≤≤． 18．19．2021．22．（1）2->k （2）121211124124)(++-+=+++⋅+=x x xx x x k k x f ，令31212≥++=x xt ，则)3(11≥-+=t t k y ， 当1>k 时，]32,1(+∈k y 无最小值，舍去；当1=k 时，1=y 最小值不是2-，舍去；当1<k 时，)1,32[+∈k y ，最小值为8232-=⇒-=+k k ，综上所述， 8-=k 。

高二上学期期中考试数学试题(带答案)

高二上学期期中考试数学试题(带答案)

高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。

）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。

福州市高二上学期数学期中考试试卷(I)卷(考试)

福州市高二上学期数学期中考试试卷(I)卷(考试)

福州市高二上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）正方体的棱长为1，、、分别为三条棱的中点，、是顶点，那么点到截面的距离是（）A .B .C .D .2. （2分）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A .B .C .D . 23. （2分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A . 若m∥α，n∥α，则m∥nB . 若m⊥α，α⊥β，则m∥βC . 若m⊥α，α⊥β，则m⊥βD . 若m⊥α，m∥β，则α⊥β4. （2分） (2017高一下·芜湖期末) 已知实数x，y满足时，z= + （a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为（）A . 2B . 7C . 8D . 95. （2分） (2018高一下·榆林期中) 直线和直线，若，则的值为（）A .B .C . 或D . 或或6. （2分） (2017高一下·双鸭山期末) 正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高一上·那曲期末) 直线与圆的位置关系为（）A . 相离B . 相切C . 相交但直线不过圆心D . 相交且直线过圆心8. （2分）动圆C经过点F(1，0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积（）A . 有最大值B . 有最小值C . 有最小值D . 有最小值9. （2分） (2016高二上·河北期中) 设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（）A . 若b⊂α，c∥α，则b∥cB . 若b⊂α，b∥c，则c∥αC . 若c∥α，α⊥β，则c⊥βD . 若c∥α，c⊥β，则α⊥β10. （2分）直线和圆的位置关系是（）A . 相离B . 相切C . 相交不过圆心D . 相交过圆心二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2018高二上·雅安月考) 已知点，设点在线段上（含端点），则的取值范围是________12. （1分） (2017高一下·保定期末) 在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦之积为________．13. （1分）已知矩形ABCD的边AB=a，BC=3，PA⊥平面ABCD，若BC边上有且只有一点M，使PM⊥DM，则a 的值为________14. （1分） (2016高二下·浦东期末) 已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是________．15. （1分） (2016高一下·黄石期中) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z= 的最小值为________．16. （1分） (2016高一下·三原期中) 已知一扇形的半径为2，面积为4，则此扇形圆心角的绝对值为________弧度．17. （1分）下列结论不正确的是________（填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2019高二下·上海月考) 已知两直线，，当为何值时，和（1）平行；（2）垂直？19. （10分） (2018高二上·黄山期中) 如图，在四棱锥中，底面是以O为中心的菱形，底面ABCD，，，M为BC上一点．（1）当BM等于多少时，平面POM？（2）在满足的条件下，若，求四棱锥的体积．20. （10分） (2018高二上·武邑月考) 在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4．设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．21. （15分） (2015高二上·龙江期末) 一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M，N 分别是AF，BC的中点（1）求证：MN∥平面CDEF：（2）求二面角A﹣CF﹣B的余弦值；22. （5分） (2018高二上·合肥期末) 已知圆：（其中为圆心）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线 .（1）求曲线的方程；（2）若点为曲线上一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点（其中在的右侧），已知点 .求四边形面积的最大值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分)18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

福建省福州市福清市东张中学2016届高三数学上学期期中试卷文(含解析)

福建省福州市福清市东张中学2016届高三数学上学期期中试卷文(含解析)

2015-2016学年福建省福州市福清市东张中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题包括12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分．）1．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={x|log2x≥0}，集合B={x|0＜x＜1}，则A∪B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1或x＞1} D．∅3．命题“∃x0∈R，使得x02＞4”的否定是（）A．∃x0∉R，使得B．∃x0∉R，使得C．∀x∈R，x2＞4 D．∀x∈R，x2≤44．函数的定义域是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4] C．（0，4） D．（0，4]5．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=sin2x B．f（x）=xe x C．f（x）=x3﹣x D．f（x）=﹣x+lnx6．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2 B．C．0 D．﹣7．下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x8．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（ ）A ．y=sin （+）B ．y=sin （2x+） C ．y=sin|x| D ．y=sin （2x ﹣）9．已知，且，则锐角α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A ． =（0，0），=（1，﹣2）B ． =（﹣1，2），=（5，7）C ． =（3，5），=（6，10） D ．=（2，﹣3），=（，﹣）11．函数f （x ）=sinx•ln|x|的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数f （x ）=有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）A ．a ＜0B ．0＜a ＜C ．＜a ＜1D ．a≤0或a ＞1二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分．） 13．若（i 为虚数单位），则复数a 的值为 ．14．若等差数列{a n }中，，a 4+a 5+a 6=5，则a 8+a 9+a 10= ．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=4，b=4，则角B= ．16．已知，则的值为．三、解答题（本题包括6小题，共70分．）17．已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC+ccosA．（1）求A；（2）若a=，△ABC的面积为，求b，c．19．已知函数f（x）=sinx﹣2．（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．21．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．22．已知函数f（x）=x﹣2lnx．（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．2015-2016学年福建省福州市福清市东张中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分．）1．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选B【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．已知集合A={x|log2x≥0}，集合B={x|0＜x＜1}，则A∪B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1或x＞1} D．∅【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的并集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：log2x≥0=log21，即x≥1，∴A={x|x≥1}，∵B={x|0＜x＜1}，∴A∪B={x|x＞0}．故选A【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．3．命题“∃x0∈R，使得x02＞4”的否定是（）A．∃x0∉R，使得B．∃x0∉R，使得C．∀x∈R，x2＞4 D．∀x∈R，x2≤4【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；转化思想；简易逻辑．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，使得x02＞4”的否定是：∀x∈R，x2≤4．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4．函数的定义域是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4] C．（0，4） D．（0，4]【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由2﹣lg2x≥0，求得x的范围，即可求得函数的定义域．【解答】解：由2﹣lg2x≥0得，lg2x≤2，解得0＜x≤4，故函数的定义域为{x|0＜x≤4}．故选：D．【点评】本题考查求函数的定义域需要对数的真数大于0底数大于0且不大于1．5．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=sin2x B．f（x）=xe x C．f（x）=x3﹣x D．f（x）=﹣x+lnx【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】A中f（x）=sin2x在（0，+∞）上无单调性；B中，利用导数判定f（x）=xe x在（0，+∞）上是增函数；C中，利用导数判定f（x）=x3﹣x在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；D中，利用导数判定f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．【解答】解：对于A，f（x）=sin2x是周期函数，在（0，+∞）上无单调性，∴不满足题意；对于B，∵f（x）=xe x，∴f′（x）=（1+x）e x，∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；对于C，∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=3x2﹣1，∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；∴不满足题意；对于D，∵f（x）=﹣x+lnx，∴f′（x）=﹣1+=，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，∴不满足题意．综上，在（0，+∞）上为增函数的是B．故选：B．【点评】本题考查了判定函数在某一区间上的单调性问题，解题时可以利用函数的导数来判定单调性，是综合题目．6．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2 B．C．0 D．﹣【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：由题意可得cos===，解得 m=，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．7．下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．【解答】解：选项A，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意．选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．故选A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．8．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（）A．y=sin（+）B．y=sin（2x+）C．y=sin|x| D．y=sin（2x﹣）【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．【专题】常规题型；计算题．【分析】利用函数的周期，求出ω，利用图象关系直线x=对称，判断选项的正误．【解答】解：∵T==π，∴ω=2．对于选项D，因为x=为对称轴．所以2×﹣=，满足题意，故选D【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的对称性，考查推理能力，是基础题．9．已知，且，则锐角α的值为（）A．B．C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】利用两个向量共线的性质x1y2﹣x2y1=0可解得sin2α=1，从而求得锐角α的值．【解答】解：∵，且，∴=0，∴sin2α=1．又α为锐角，∴α=．故选C．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，当两个向量共线时，有 x1y2﹣x2y1=0．10．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（）A． =（0，0），=（1，﹣2）B． =（﹣1，2），=（5，7）C． =（3，5），=（6，10）D． =（2，﹣3），=（，﹣）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】综合题．【分析】可以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现A，D，C选项中的两个向量均共线，得到正确结果是B．【解答】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，A中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求C中两个向量是，两个向量共线，D选项中的两个向量是，也共线，故选B．【点评】由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．11．函数f（x）=sinx•ln|x|的部分图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性和x∈（0，1）时，函数f（x）的图象的位置，利用排除法可得答案．【解答】解：∵f（﹣x）=sin（﹣x）•ln|﹣x|=﹣sinx•ln|x|=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，即函数f（x）的图象关于原点对称，故排除CD，当x∈（0，1）时，sinx＞0，ln|x|＜0，此时函数f（x）的图象位于第四象限，故排除B，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中分析出函数图象的形状和位置是解答的关键．12．函数f（x）=有且只有一个零点的充分不必要条件是（）A．a＜0 B．0＜a＜C．＜a＜1 D．a≤0或a＞1【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意，当x＞0时，x=1是函数f（x）的一个零点；故当x≤0时，﹣2x+a≤0恒成立；从而解出a，从而确定选项．【解答】解：∵当x＞0时，x=1是函数f（x）的一个零点；故当x≤0时，﹣2x+a＜0恒成立；即a＜2x恒成立，故a＜0；故选A．【点评】本题考查了函数的零点与函数的关系，属于基础题．二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分．）13．若（i为虚数单位），则复数a的值为﹣2i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；函数思想；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的代数形式混合运算化简求解即可．【解答】解：可得a===﹣2i．故答案为：﹣2i．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，是基础题．14．若等差数列{a n}中，，a4+a5+a6=5，则a8+a9+a10= 17 ．【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a4=，a5=，进而可得公差d，代入a8+a9+a10=3a9，计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a3+a4+a5=3a4=2，a4+a5+a6=3a5=5，∴a4=，a5=，∴等差数列{a n}的公差d=﹣=1，∴a8+a9+a10=3a9=3（+4）=17故答案为：17【点评】本题考查等差数列的通项公式和等差数列的性质，属基础题．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=4，b=4，则角B= 45°．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】由正弦定理可得sinB===，由a=4＞b=4，A，B，C为△ABC 中的内角，由大边对大角可知：0＜B＜60°，即可解得B的值．【解答】解：∵由正弦定理可得：，∴从而有：sinB===，∵a=4＞b=4，A，B，C为△ABC中的内角，∴由大边对大角可知：0＜B＜60°，∴可解得：B=45°．故答案为：45°．【点评】本题主要考察了正弦定理的应用，三角形中大边对大角的应用，属于基础题．16．已知，则的值为﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意可解得tanα，式子弦化切为，代值计算可得．【解答】解：∵，∴=3，解得tanα=﹣2，∴===﹣故答案为：﹣【点评】本题考查三角函数求值，弦化切是解决问题的关键，属基础题．三、解答题（本题包括6小题，共70分．）17．已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC+ccosA．（1）求A；（2）若a=，△ABC的面积为，求b，c．【考点】余弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】（1）利用c=asinC+ccosA及正弦定理可知sin（A+）=，进而可得结论；（2）通过S△ABC=bcsinA=可知bc=4，利用余弦定理可知a2+bc=（b+c）2，进而a=、bc=4计算即得结论．【解答】解：（1）由c=asinC+ccosA及正弦定理得：sinAsinC+cosAsinC﹣sinC=0，∵sinC≠0，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，∴A+，故A=；（2）∵S△ABC=bcsinA=，∴bc=4．∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴a2+bc=（b+c）2，代入a=、bc=4，解得：b+c=4，∴b=c=2．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知函数f（x）=sinx﹣2．（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x+）﹣，可得周期，解可得f（x）的递增区间；（2）由x的范围可得，结合解析式可得其最值．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sinx﹣2=sinx﹣2•=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T=2π，由可得，∴f（x）的递增区间为（k∈Z）；（2）∵，∴．当即时，f（x）在区间上取得最小值，∴代入计算可得f（x）的最小值为；当即时，f（x）在区间上取得最大值，∴代入计算可得f（x）的最大值为．【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（1）先由已知条件得；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ；最后利用tan（α+β）=解之．（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．【解答】解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，因为α为锐角，则sinα＞0，从而同理可得，因此．所以tan（α+β）=；（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=，又，故，所以由tan（α+2β）=﹣1得．【点评】本题主要考查正切的和角公式与转化思想．21．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．22．已知函数f（x）=x﹣2lnx．（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）求出导数为0的x的值，求出单调区间，由极值的定义，即可得到所求极值．【解答】解：（1）依题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），．所以，曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=﹣1．又因为f（1）=1﹣2ln1=1，所以所求切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（2）令f'（x）=0，得x=2．列表：由上表可知，f（x）有极小值f（2）=2﹣2ln2，无极大值．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查运算能力，属于基础题．。

【全国百强校】福建省师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试理数试题解析(解析版)

【全国百强校】福建省师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试理数试题解析(解析版)

本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知a ，R b ∈，下列结论成立的是( )A ．若a b <，则ac bc <B ．若a b <，c d <，则ac bd <C ．若0a b <<，则11a b> D ．若a b <，则错误！未找到引用源。

（n *∈N ，2n ≥） 【答案】C考点：不等式的性质2.下列函数中，最小值为的是( ) A ．=y 32322+++x x B ．xx y 2+= C ．)0(sin 2sin π<<+=x x x y D ．xx y lg 2lg +=0(>x 且)1≠x 【答案】B 【解析】试题分析：A.显然不能取等号，B 正确，C 取等号时，sinx>1与正弦函数定义矛盾，D 显然最小值不是，故选B.考点：均值不等式3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，则64S S = ( ) A ．2 B ．73 C ．83D ．3 【答案】B考点：等比数列性质及其前n 项和4.设错误！未找到引用源。

为等差数列{}n a 的前n 项和，已知1596a a a -+=，则9S 的值为( ) A ．54 B ．45 C ．27 D ．18 【答案】A 【解析】试题分析：1595956,6,954a a a a S a -+=∴=∴== ，故选A. 考点：等差数列的性质5.若关于x 方程22(1)20x m x m +-+-=的一个实根小于1-，另一个实根大于1，则实数m 的取值范围是( )A．( B ．(2,0)- C ．(2,1)- D ．(0,1)【答案】D 【解析】试题分析：令2212f x x m x m =+-+-（）（），则由题意利用二次函数的性质求得实数m 的取值范围．令2212f x x m x m =+-+-（）（），则由题意可得()()22,1112000f m m f m m m ⎧⎪∴<<⎨⎪⎩--<+-<＝＝，故选D. 考点：一元二次方程根的分布与系数的关系 6.已知0,0>>b a ，若不等式ba mb a +≥+212恒成立，则实数m 的最大值是( )A ．10B ．9C ．8D ．7 【答案】B考点：基本不等式7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知)sin sin sin a A c C b B -=-，则角C 的大小为( )A.34π B.4π C.3πD.2π【答案】B 【解析】试题分析：由题根据正弦定理及余弦定理化简分析计算即可)222sin sin sin ,a A c C b B a b c --+=∴+ ＝,2222222a b c a b c cosC ab +-∴+-∴==,04C C ππ∈∴ （，）＝，故选B.考点：正弦定理；余弦定理8.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足65S S <且876S S S >=，则下列结论错误．．的是( ) A ．6S 和7S 均为n S 的最大值 B ．07=aC ．公差0d <D ．59S S > 【答案】D 【解析】试题分析：56678S S S S S =<> ，，则A 正确；6770S S a =∴= ，，∴B 正确；566786780000S S S S S a a a d <>>=∴=∴<< ，，，，， ，C 正确；()6789789520a a a a a a S S +++=+<∴< ， ，D 错误．故选D考点：命题的真假判断，等差数列的前n 项和公式及等差数列的性质9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B a A b tan tan 22=，则△ABC 的形状是( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D考点：三角形的形状判定10.已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围为( )A. (,1)-∞-B. (0,1)C. (1,)+∞D. [1,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：画出不等式组不是的可行域，将目标函数变形，数形结合判断出z 最大时，a 的取值范围．不等式 2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩的可行域．将目标函数变形得y=ax+z ，当z 最大时，直线的纵截距最大，画出直线y=ax 将a 变化，结合图象得到当a ＞1时，直线经过（1，3）时纵截距最大．故选D ．考点：简单的线性规划【方法点睛】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域． (2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．11.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60A = ，b =a 满足的条件是( )A. 6a <<B. 06a <<C. 0a <<D. a ≥6a = 【答案】A考点：正弦定理；解三角形【名师点睛】本题给出三角形ABC 的角A 和b 的长，求当三角形只有一个时边a 满足的条件．着重考查了利用正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用． (2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用12.设数列}{n a 是集合{33|0,sts t +≤<且,}s t Z ∈中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1＝4，a 2＝10，a 3＝12，a 4＝28，a 5＝30，a 6＝36，…. 将数列}{n a 中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表，则200a 的值为( )A ．91933+B ．101933+C ． 92033+D ．102033+ 【答案】C故答案为：C 考点：归纳推理【名师点睛】本题考查了一个探究规律型的问题，解题时要认真分析题意，寻找其中的规律，从而解出结果．综合性较强，难度较大；(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的． (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13.已知关于x 的不等式210mx nx +-<的解集为11{|,}32x x x <>或，则m n +等于 . 【答案】-1考点：一元二次不等式的解法14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30O 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75O 的方向上，仰角为30O ，则此山的高度CD =__________m.【答案】 【解析】考点：解三角形的实际应用15.在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，2,1,30AB AC BAD ==∠=,则AD = .【解析】试题分析：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，在△ABE 中，利用正弦定理，即可得到结论．延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，则,,1BD CD ADC EDB BDE CDA BE AC =∠=∠∴∆∴== ，≌在△ABE 中，2130AB BE BAD ==∠=︒，，，由正弦定理，得∠AEB=90°，故AE AD =∴=考点：正弦定理的应用【方法点睛】正、余弦定理的应用原则：(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用；(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．16.已知数列{}n x 满足()21||n n n x n N x x ++=-∈* ，若121,(1,0)x x a a a ==≤≠，且n n x x =+3对于任意正整数n 均成立，则数列{}n x 的前2015项和2015S 的值为 .（用具体的数字表示） 【答案】1344 【解析】试题分析：依题意可求得1a =，于是可求得12345620112012201322,2x x x x x x x x x ++=++=++= ，，，考点：数列求和【名师点睛】本题考查数列的求和，着重考查函数的周期性，得到相邻三项之和为2是关键，属于中档题； 数列与函数的综合一般体现在两个方面：(1)以数列的特征量n ，a n ，S n 等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37a =，5726a a +=. （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）221,2n n a n S n n =+=+ ；（Ⅱ）4(1)n nT n =+【解析】试题分析：（Ⅰ）根据等差数列所给的项和项间的关系，列出关于基本量的方程，解出等差数列的首项和公差，写出数列的通项公式和前n 项和公式．（Ⅱ）根据前面做出的数列构造新数列，把新数列用裂项进行整理变为两部分的差，合并同类项，得到最简结果，本题考查的是数列求和的典型方法--裂项法，注意解题过程中项数不要出错．试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵37a =，5726a a +=,考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和；数列的求和．【易错点睛】利用裂项相消法求和的注意事项：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.18.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知3=a ，36cos =A ，2π+=A B . （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积． 【答案】（Ⅰ）；【解析】试题分析：（Ⅰ）利用cosA 求得sinA ，进而利用A 和B 的关系求得sinB ，最后利用正弦定理求得b 的值． （Ⅱ）利用sinB ，求得cosB 的值，进而根两角和公式求得sinC 的值，最后利用三角形面积公式求得答案． 试题解析：（Ⅰ）∵36cos =A∴sin A == ……… 1分 ∵2π+=A B∴sin sin()cos 2B A A π=+==……… 3分由正弦定理得sin sin a Bb A===……… 5分 （Ⅱ）21sin sin()sin(2)cos 22cos 123C A B A A A π=+=+==-=……… 8分∴111sin 3223ABC S ab C ∆==⨯⨯=……… 10分 考点：正弦定理的应用19.（本小题满分12分）某小型餐馆一天中要购买,A B 两种蔬菜，,A B 蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元．根据需要，A 蔬菜至少要买6公斤，B 蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，,A B 两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？【答案】餐馆应购买A 蔬菜24公斤，B 蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元答：餐馆应购买A 蔬菜24公斤， B 蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．……… 12分考点：简单的线性规划的应用20.(本小题满分12分)在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍. （Ⅰ）求CB ∠∠sin sin ； （Ⅱ）若22,1==DC AD ，求BD 和AC 的长.【答案】（Ⅰ）12；=，解得1x=即1AC=……… 12分考点：三角形面积公式；正弦定理；余弦定理21.(本小题满分12分)某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？【答案】10层，此时平均费用为每平方米0.111万元．答：了使该幢楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼房建成10层，此时平均费用为每平方米0.111万元． ……… 12分考点：基本不等式的应用【方法点睛】利用基本不等式求解实际应用题的方法：(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．22.（本小题满分14分）已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足122n n n S a +=-,其中*n ∈N ．{}n b 是等差数列； （Ⅱ）设2n n n c b -=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：3n T <；（Ⅲ）设14(1)2n bn n n d λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n d d >+1成立．【答案】（Ⅰ）1n b n =+；（Ⅱ）略（Ⅲ）-1考点：数列递推式；数列的通项与求和；恒成立问：。

福建省福州市高二数学上学期期中试题(有答案)

福建省福州市高二数学上学期期中试题(有答案)

福建省福州市高二数学上学期期中试题（完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．） 1、若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ）A.1(1)1n n +-+B.(1)1n n -+C.(1)n n -D.1(1)n n--2、下列选项中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d <，则a bc d> C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若0ab >，a b >，则11a b< 3、不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为φ，那么 （ ）A. 0,0a <∆≥B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≤D. 0,0a >∆> 4、已知等差数列｛n a ｝满足,0101321=++++a a a a 则有（ ） 57.0.0.0.5199310021011==+<+>+a D a a C a a B a a A5、在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．06030或 B ．06045或 C ．060120或 D ．015030或 6、若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段 （ ） A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形 7、下列函数中，y 的最小值为2的是（ ）A.1y xx =+B.1(0)y x x x =+>C. 4(0)y x x x =+>D.y =8、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123=S ，606=S ，则9S =( )A ．192 B.300 C.252 D.3609、ABC ∆错误！未找到引用源。

福建省高二上学期期中考试数学试题(解析版)

福建省高二上学期期中考试数学试题(解析版)

一、单选题1．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（ ） A ．B ．C ．D ．)(12nn a n =-)(112n n a n +=-)(12nn n a =-)(112n n n a +=-【答案】B【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案． 【详解】根据题意，数列2，，6，，，4-8-⋯其中，，，， 11212a =⨯⨯=2(1)224a =-⨯⨯=-31236a =⨯⨯=2(1)248a =-⨯⨯=-其通项公式可以为， 1(1)2n n a n +=-⨯故选：．B 2．在等比数列中，，则 {}n a 24681,4a a a a +=+=2a =A ．2 B ．4C ．D ．1213【答案】D【分析】设等比数列{an }的公比为q ，由条件得q 4=4，解得q 2．进而得出结果．【详解】因为，解得. ()42468241,4a a a a a a q +=+=+=22q =因为，所以.选D. ()224211a a a q +=+=213a =【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） ()1,0A (4,B -A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可【详解】因为直线经过，两点，()1,0A (4,B -所以直线的斜率为 AB k ==设直线的倾斜角为，则 AB θtan θ=又， 0180θ︒≤<︒所以，120θ=°所以直线的倾斜角为． AB 120︒故选：C4．已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（ ） ()1,0A -()3,4B -A ． B ． ()()22128x y ++-=()()22128x y -++=C ． D ．()()221232x y ++-=()()221232x y -++=【答案】B【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】解：由题意可知，，的中点为， ()1,0A -()3,4B -()1,2-又圆的半径为12r AB ===故圆的方程为． ()()22128x y -++=故选：B ．5．某直线l 过点，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ） (3,4)B -A ．B ．C ．或D ．或43-12-4312-43-12-【答案】D【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为，代入点，则，解得，y kx =(3,4)B -43k =-43k =-当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时， 设直线的方程为，代入点，则，解得，12x y m m +=(3,4)B -3412m m-+=52m =所以所求直线的方程为，即，1552x y+=250x y +-=综上，该直线的斜率是或．43-12-故选：D6．直线的一个方向向量为（ ） 230x y +-=A ． B ．C ．D ．()2,1()1,2()2,1-()1,2-【答案】D【分析】先求出直线的一个法向量，再求出它的一个方向向量. 【详解】直线的一个法向量为，230x y +-=()2,1设直线一个方向向量为，则有， (),a b 20a b +=故只有D 满足条件. 故选：D.7．对于任意的实数，直线恒过定点，则点的坐标为（ ） k 1y kx k =-+P P A ． B ．C ．D ．()1,1--()1,1-()1,1-()1,1【答案】D【分析】令参数的系数等于，即可得的值，即为定点的坐标. k 0,x y P 【详解】由可得， 1y kx k =-+()11y k x -=-令可得，此时， 10x -=1x =1y =所以直线恒过定点， 1y kx k =-+()1,1P 故选：D.8．点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（ ） P 22(1)2x y -+=P 3y x =+A B ．1C D ．【答案】C【分析】首先判断直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半P 3y x =+径，然后求出最短距离即可．【详解】解：圆的圆心为，半径到直线的距离22(1)2x y -+=(1,0)r =(2,0)30x y -+=为到直线的最短距离为圆心到直线d P 3y x =+的距离再减去半径．所以点到直线的最短距离为． P 20l x y -+=:=故选：C ．二、多选题9．下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（ ） 210x y +-=A ． B ． 210x y -+=210x y -+=C ． D ．2410x y -+=4210x y -+=【答案】BC【分析】根据斜率确定正确选项. 【详解】直线的斜率为，210x y +-=2-直线、直线的斜率为，不符合题意. 210x y -+=4210x y -+=2直线、直线的斜率为，符合题意. 210x y -+=2410x y -+=12故选：BC10．下列说法正确的是（ ）A ．直线必过定点 ()2R y ax a a =-∈()2,0B ．直线在轴上的截距为1 13y x +=yC ．直线的倾斜角为10x +=120 D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()2,3-230x y -+=210x y ++=【答案】AD【分析】A 将方程化为点斜式即可知所过定点；B 令求截距；C 由方程确定斜率，根据斜率与0x =倾斜角的关系即可知倾斜角的大小；D 计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断正误.【详解】A ：由直线方程有，故必过，正确； ()2y a x =-()2,0B ：令得，故在轴上的截距为－1，错误；0x =1y =-yC ：由直线方程知：斜率为，错误； 150︒D ：由，的斜率分别为，则有故相互垂直，将代入210x y ++=230x y -+=12,2-1212-⨯=-()2,3-方程，故正确. 2(2)310⨯-++=故选：AD11．(多选)若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2【答案】BD【分析】对进行分类讨论，结合截距相等求得，进而求得直线的斜率. a a l 【详解】时，，不符合题意. 0a =:2l y =时，直线过， 0a ≠l ()20,2,,0a a a +⎛⎫+ ⎪⎝⎭依题意，22aa a++=解得或.2a =-1a =当时，，直线的斜率为. 2a =-:2l y x =2当时，，直线的斜率为.1a =:3l y x =-+1-故选：BD12．设等差数列的前项和是，已知，，正确的选项有（ ） {}n a n n S 120S >130S <A ．， B ．与均为的最大值 C ． D ．10a >0d <5S 6S n S 670a a +>70a <【答案】ACD【解析】利用等差数列的性质，，可得 ，()()11267121212=22++=a a a a S 670a a +>可得 ，，再根据等差数列的单调性判断。

福建省福州市福清市东张中学2015_2016学年高二化学上学期期中试卷理(含解析)

福建省福州市福清市东张中学2015_2016学年高二化学上学期期中试卷理(含解析)

福建省福州市福清市东张中学2015～2016学年度高二上学期期中化学试卷（理科）一、选择题（共20小题）1．在一定的条件下，将 2mol SO2和1mol O2充入一定容密闭容器中，发生下列反应：2SO2（g）+O2（g）⇌2SO3（g）△H=﹣197kJ/mol，当达到平衡状态时，下列说法中正确的是（）A．生成 2 mol SO3B．放出热量197 kJC．SO2和 SO3共有 2 mol D．含有氧原子共有3mol2．一定条件下，在体积为10L的密闭容器中，1mol X和1mol Y进行反应2X（g）+Y（g）⇌Z（g），经60s达到平衡，生成0.3mol Z，下列说法正确的是（）A．达到平衡时X浓度为0.04 mol/LB．将容器体积变为20 L，Z的平衡浓度变为0.015mol/LC．若增大压强，平衡向正方向移动，平衡常数变大D．若升高温度，X的体积分数增大，则该反应的△H＞03．用铁片与稀硫酸反应制取氢气，下列措施不能使氢气的生成速率增大的是（）A．加热B．不用稀硫酸，改用98%的浓硫酸C．滴加少量CuSO4溶液D．不用铁片，改用铁粉4．设C+CO⇌2CO；（正反应为吸热反应；反应速率为v1），N2+3H⇌2NH3；（正反应为放热反应；反应速率为v2），对于上述反应，当温度升高时，v1和 v2的变化情况为（）A．同时增大 B．同时减小 C．增大，减小D．减小，增大5．在密闭容器中进行可逆反应，A与B反应生成C，其反应速率分别用υ（A）υ（B）、υ（C）（mol•L﹣1•s﹣1）表示，且υ（A）、υ（B）、υ（C）之间有如下所示关系：υ（B）=3υ（A）；3υ（C）=2υ（B）．则此反应可表示为（）A．2A+3B=2C B．A+3B=2C C．3A+B⇌2C D．A+3B⇌2C6．沼气是一种新能源，它的主要成分是CH4．0.5mol CH4完全燃烧生成CO2和液态水时放出445kJ的热量，则下列热化学方程式中正确的是（）A．2CH4（g）+4O2（g）═2CO2（g）+4H2O（l）；△H=+890kJ•mol﹣1B．CH4（g）+2O2（g）═CO2（g）+2H2O（l）；△H=+890kJ•mol﹣1C．CH4（g）+2O2（g）═CO2（g）+2H2O（l）；△H=﹣890kJ•mol﹣1D．CH4（g）+O2（g）═CO2（g）+H2O（l）；△H=﹣890kJ•mol﹣17．将铂电极放置在KOH溶液中，然后分别向两极通入CH4和O2，即可产生电流，此装置称为甲烷燃料电池．下列叙述中正确的是（）A．通入CH4的电极为正极B．放电时溶液中的阳离子向负极移动C．负极的电极反应式为：CH4+10OH﹣﹣8e﹣═CO32﹣+7H2OD．通入CH4的电极反应式为：CH4+2O2+4e﹣═CO2+2H2O8．下列对H2（g）+I2（g）═HI（g）△H=+26kJ•mol﹣1的叙述中，正确的是（）A．1mol氢气和1mol碘蒸气完全反应需要吸收26kJ的热量B．1个氢分子和1个碘分子完全反应需要吸收52kJ的热量C．1mol H2（g）与1mol I2（g）完全反应生成2mol的HI（g）需吸收52kJ的热量D．1mol H2（g）与1mol I2（g）完全反应放出26kJ的热量9．针对哥本哈根气候会议所倡导的“低碳经济”节能减排课题．某研究性学习小组提出如下方案，你认为不符合课题要求的是（）①利用风力发电制氢燃料；②利用潮汐能发电；③大力建设火电厂；④用节能灯代替白炽灯；⑤利用太阳能等清洁能源代替化石燃料；⑥提倡人们购物时不用塑料袋；⑦提倡每家使用小排量汽车，取消公共汽车等大排量车；⑧尽量使用含碳量低的产品．A．⑥⑧ B．③⑦⑧C．③④⑦D．③④⑤⑥10．如图是表示：2X（g）+Y（g）⇌Z（g）+2R（g）△H＜0的化学反应速率（υ）与时间（t）的关系，t1时开始改变条件，则所改变的条件符合曲线的是（）A．减少Z物质B．升高温度 C．减小压强 D．使用催化剂11．将两支惰性电极插入CuSO4溶液中，通电电解，当有1×10﹣3mol的OH﹣放电时，溶液显浅蓝色，则下列叙述正确的是（）A．阳极上析出5.6mL O2（标准状况）B．阴极上析出64mg CuC．阴极上析出11.2mL H2（标准状况）D．阳极和阴极质量都无变化12．下列实验方案中不能实现：Fe+H2SO4=FeSO4+H2↑反应的是（）A．用导线将铁片和铜片连接后，放入一盛有稀 H2SO4溶液的烧杯中B．将铁片直接放入一盛有稀 H2SO4溶液的烧杯中C．Cu片作阴极，铁片作阳极，电解一定量的H2SO4溶液D．Cu片作阳极，铁片作阴极，电解一定量的H2SO4溶液13．下列措施或事实不能用勒沙特列原理解释的是（）A．新制的氯水在光照下颜色变浅B．H2、I2、HI平衡混合气加压后颜色变深C．工业上生产硫酸的过程中，使用过量的空气以提高SO2的利用率D．在合成氨的反应中，加压有利于氨的合成14．下列既是氧化还原反应，又是吸热反应的是（）A．二氧化碳与赤热的炭反应生成一氧化碳B．葡萄糖在人体内氧化C．锌粒与稀H2SO4反应制取H2D．Ba（OH）2•8H2O与NH4Cl反应15．被称之为“软电池”的纸质电池，其电池总反应为Zn+2MnO2+H2O=ZnO+2MnO（OH）．下列说法正确的是（）A．该电池的正极为锌B．该电池反应中二氧化锰起催化剂作用C．当65 g Zn完全溶解时，流经电极的电子1molD．电池正极反应式为2MnO2+2H2O+2e﹣=2MnO（OH）+2OH﹣16．下列事实中，与电化学腐蚀无关的是（）A．在空气中，光亮的银表面逐渐变暗B．为保护海轮的船壳，常在船壳上镶入锌块C．埋在潮湿土壤里的铁管比埋在干燥土壤里的铁管更易被腐蚀D．镀银的铁制品，镀层部分受损后，露出的铁表面易被腐蚀17．用铂（惰性）电极进行电解，下列说法中正确的是（）A．电解稀硫酸溶液，实质上是电解水，故溶液pH不变B．电解稀氢氧化钠溶液，要消耗OH﹣，故溶液pH减小C．电解硫酸钠溶液，在阴极上和阳极上析出产物的物质的量之比为1：2D．电解氯化铜溶液，在阴极上和阳极上析出产物的物质的量之比为1：118．关于化学平衡常数K的叙述正确的是（）A．K越大，表示化学反应速率越大B．对任一可逆反应，温度升高，则K值增大C．对任一可逆反应，K越大；表示反应物的转化率越大D．加入催化剂或增大反应物的浓度，则K值增大19．下列变化过程中，△S＜0的是（）A．氯化钠溶于水中B．NH3（g）与HCl（g）反应生成NH4Cl（s）C．干冰升华 D．CaCO3（s）分解为CaO（s）和CO2（g）20．有a、b、c、d四种金属，将a与b用导线连接起来，浸入电解质溶液中，b不易腐蚀；将a、d分别投入等浓度盐酸中，d比a反应激烈；将铜浸入b的盐溶液中，无明显变化；若将铜浸入c的盐溶液中，有金属c析出，据此判断它们的活动性由强到弱的顺序是（）A．d＞c＞a＞b B．d＞a＞b＞c C．d＞b＞a＞c D．b＞a＞d＞c二、解答题（共4小题）（选答题，不自动判卷）21．恒温时，将2molA和2molB气体投入固定容积为2L密闭容器中发生反应：2A（g）+B （g）⇌xC （g）+D（s），10s时，测得A的物质的量为1.7mol，C的反应速率为0.0225mol•L ﹣1•s﹣1；40s时反应恰好处于平衡状态，此时B的转化率为20%．请填空：（1）x=从反应开始到10s，B的平均反应速率为（3）平衡时容器中B的体积分数为（4）该温度下此反应的平衡常数表达式为（5）下列各项能表示该反应达到平衡状态是A．消耗A的物质的量与生成D的物质的量之比为2：1B．容器中A、B的物质的量 n（A）：n（B）=2：1C．气体的平均相对分子质量不再变化D．压强不再变化E．气体密度不再变化．22．如图表示一个电解池，装有电解液a；X、Y是两块电极板，通过导线与直流电源相连．请回答以下问题：（1）若X、Y都是惰性电极，a是NaOH溶液，①电解池中X极上的电极反应式为②电解后溶液PH的变化为（变大、不变或变小）若X、Y都是惰性电极，a是 H2SO4是溶液，①电解池中Y电极上的电极反应式为②电解后溶液PH的变化为（变大、不变或变小）（3）如要用电解方法精炼粗铜，电解液a选用CuSO4溶液，则①X电极的材料是，②Y电极的材料是，电极反应式为．23．由氢气和氧气反应生成1mol水蒸气放热241.8kJ，写出该反应的热化学方程式：．若1g水蒸气转化成液态水放热244.4kJ，则反应H2（g）+O2（g）═H2O （l）的△H kJ•mol﹣1．24．铁的锈蚀是工业上研究的重点内容．为研究铁锈蚀的影响因素，某同学做了如下探究实回答以下问题：（1）上述实验中发生了吸氧腐蚀的是（填实验序号），正极反应式是；发生的腐蚀是析氢腐蚀的是（填实验序号），负极反应式是．由该实验可知，可以影响铁锈蚀速率的因素有；（3）为防止铁的锈蚀，地下埋的水管采用外接电源阴极保护法，则接电源的负极应是；请列举工业上普遍采用的其它方法是（答两种方法）．福建省福州市福清市东张中学2015～2016学年度高二上学期期中化学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共20小题）1．在一定的条件下，将 2mol SO2和1mol O2充入一定容密闭容器中，发生下列反应：2SO2（g）+O2（g）⇌2SO3（g）△H=﹣197kJ/mol，当达到平衡状态时，下列说法中正确的是（）A．生成 2 mol SO3B．放出热量197 kJC．SO2和 SO3共有 2 mol D．含有氧原子共有3mol【考点】化学平衡的计算．【专题】化学平衡专题．【分析】A、反应时可逆反应不能进行彻底；B、反应时可逆反应不能进行彻底；C、依据硫元素守恒分析判断；D、依据营养素守恒分析计算判断．【解答】解：A、在一定的条件下，将 2mol SO2和1mol O2充入一定容密闭容器中，反应时可逆反应生成三氧化硫小于2mol，故A错误；B、在一定的条件下，将 2mol SO2和1mol O2充入一定容密闭容器中，反应放出的热量小于197KJ；故B错误；C、在一定的条件下，将 2mol SO2和1mol O2充入一定容密闭容器中，发生下列反应：2SO2（g）+O2（g）⇌2SO3（g），依据硫元素守恒可知SO2和 SO3共有 2 mol，故C正确；D、依据氧元素守恒可知混合气体中含氧原子共6mol，故D错误；故选C．【点评】本题考查了化学反应达到平衡的分析判断，反应时可逆反应不能进行彻底，理解焓变是完全转化时放出的热量，题目较简单．2．一定条件下，在体积为10L的密闭容器中，1mol X和1mol Y进行反应2X（g）+Y（g）⇌Z（g），经60s达到平衡，生成0.3mol Z，下列说法正确的是（）A．达到平衡时X浓度为0.04 mol/LB．将容器体积变为20 L，Z的平衡浓度变为0.015mol/LC．若增大压强，平衡向正方向移动，平衡常数变大D．若升高温度，X的体积分数增大，则该反应的△H＞0【考点】化学平衡建立的过程；化学平衡的影响因素．【专题】化学平衡专题．【分析】A、根据生成的Z的量求出转化的X的量，再求出平衡时X的浓度；B、由于前后气体计量数之和不相等，容积增大，压强减小，化学平衡向逆反应方向移动；C、平衡常数只随温度的变化而变化；D、升高温度化学平衡向吸热的方向移动．【解答】解：A、经60s达到平衡，生成0.3mol Z，则消耗的X为0.6mol，所以达到平衡时X浓度为=0.04 mol/L，故A正确；B、容积增大为20L，压强减小为原来的一半，如果平衡不移动则Z浓度变为原来的，但是压强减小时，平衡向左移动，Z浓度小于原来的，即Z的平衡浓度小于0.015mol/L，故B错误；C、平衡常数只随温度的变化而变化，所以若增大压强，则平衡常数不变，故C错误；D、若升高温度，X的体积分数增大，说明向逆反应方向移动，故逆反应吸热，则正反应方向为放热，故△H＜0，故D错误．故选：A．【点评】本题主要考查化学平衡移动的影响因素，根据反应物浓度、压强、温度等因素对平衡移动的影响，可以做出准确的判断，题目难度中等．3．用铁片与稀硫酸反应制取氢气，下列措施不能使氢气的生成速率增大的是（）A．加热B．不用稀硫酸，改用98%的浓硫酸C．滴加少量CuSO4溶液D．不用铁片，改用铁粉【考点】化学反应速率的影响因素．【分析】增大金属与酸反应的化学反应速率，可通过增大浓度、升高温度或形成原电池反应等措施，注意浓硫酸和铁发生钝化反应．【解答】解：A．温度升高，反应速率增大，故A不选；B．改用浓硫酸溶液，浓硫酸和铁发生钝化反应，不能生成氢气，反应速率减小甚至为0，故B选；C．滴加少量CuSO4溶液，铁置换出铜，形成原电池反应，可加快反应速率，故C不选；D．改用铁粉，增大了反应物的接触面积，反应速率加快，故D不选．故选B．【点评】本题考查影响化学反应速率的因素，为高频考点，侧重于学生的分析能力的考查，题目难度不大，注意浓硫酸与铁在常温下发生钝化．4．设C+CO⇌2CO；（正反应为吸热反应；反应速率为v1），N2+3H⇌2NH3；（正反应为放热反应；反应速率为v2），对于上述反应，当温度升高时，v1和 v2的变化情况为（）A．同时增大 B．同时减小 C．增大，减小D．减小，增大【考点】化学平衡的影响因素．【专题】化学平衡专题．【分析】化学反应无论是吸热反应还是放热反应，温度升高，化学反应速率都增大．【解答】解：化学反应无论是吸热反应还是放热反应，温度升高，活化分子的百分含量增大，有效碰撞的次数增大，化学反应速率都增大．故选：A．【点评】本题考查温度对化学反应速率的影响，题目难度不大，注意温度对反应速率的影响与反应的吸、放热无关．5．在密闭容器中进行可逆反应，A与B反应生成C，其反应速率分别用υ（A）υ（B）、υ（C）（mol•L﹣1•s﹣1）表示，且υ（A）、υ（B）、υ（C）之间有如下所示关系：υ（B）=3υ（A）；3υ（C）=2υ（B）．则此反应可表示为（）A．2A+3B=2C B．A+3B=2C C．3A+B⇌2C D．A+3B⇌2C【考点】反应速率的定量表示方法．【专题】化学反应速率专题．【分析】根据速率之比等于化学计量数之比确定各物质的系数，据此判断．【解答】解：可逆反应，A与B反应生成C，由于υ（B）=3υ（A）；3υ（C）=2υ（B）．所以υ（A）：υ（B）：υ（C）=1：3：2．所以反应为A+3B2C．故选D．【点评】本题考查化学反应速率，难度较小，关键清楚利用速率之比等于化学计量数之比确定各物质的系数．6．沼气是一种新能源，它的主要成分是CH4．0.5mol CH4完全燃烧生成CO2和液态水时放出445kJ的热量，则下列热化学方程式中正确的是（）A．2CH4（g）+4O2（g）═2CO2（g）+4H2O（l）；△H=+890kJ•mol﹣1B．CH4（g）+2O2（g）═CO2（g）+2H2O（l）；△H=+890kJ•mol﹣1C．CH4（g）+2O2（g）═CO2（g）+2H2O（l）；△H=﹣890kJ•mol﹣1D．CH4（g）+O2（g）═CO2（g）+H2O（l）；△H=﹣890kJ•mol﹣1【考点】热化学方程式．【专题】化学反应中的能量变化．【分析】根据热化学方程式的书写方法可知，化学计量数与反应热成正比，并注意标明物质的聚集状态来解答．【解答】解：0.5mol CH4完全燃烧生成CO2和液态水时，放出445KJ热量，1molCH4在氧气中燃烧生成CO2和液态水，放出890kJ热量，则热化学方程式为CH4（g）+2O2（g）═CO2（g）+2H2O（l）△H=﹣890KJ/mol，故选C．【点评】本题主要考查了热化学方程式的书写，难度不大，根据课本知识即可完成．7．将铂电极放置在KOH溶液中，然后分别向两极通入CH4和O2，即可产生电流，此装置称为甲烷燃料电池．下列叙述中正确的是（）A．通入CH4的电极为正极B．放电时溶液中的阳离子向负极移动C．负极的电极反应式为：CH4+10OH﹣﹣8e﹣═CO32﹣+7H2OD．通入CH4的电极反应式为：CH4+2O2+4e﹣═CO2+2H2O【考点】原电池和电解池的工作原理．【专题】电化学专题．【分析】甲烷在反应时失电子被氧化，应为原电池负极反应，电极方程式为CH4+10OH﹣﹣8e﹣=CO32﹣+7H2O，通入氧气的一极为原电池的正极，发生还原反应，电极方程式为02+2H2O+4e﹣=40H﹣，总反应式为CH4+2O2+2KOH═K2CO3+3H2O，以此解答该题．【解答】解：A．甲烷被氧化，通入CH4的电极为负极，故A错误；B．原电池工作时，阳离子向正极移动，故B错误；C．负极发生氧化反应，电极方程式为CH4+10OH﹣﹣8e﹣=CO32﹣+7H2O，故C正确；D．通入甲烷的为负极，发生氧化反应，甲烷失去电子，故D错误．故选C．【点评】本题考查碱性甲烷电池的工作原理，题目难度中等，本题中注意把握电极反应式的书写，正确判断两极的化学反应，在学习中注意积累转移电子与参加反应的物质的量的关系．8．下列对H2（g）+I2（g）═HI（g）△H=+26kJ•mol﹣1的叙述中，正确的是（）A．1mol氢气和1mol碘蒸气完全反应需要吸收26kJ的热量B．1个氢分子和1个碘分子完全反应需要吸收52kJ的热量C．1mol H2（g）与1mol I2（g）完全反应生成2mol的HI（g）需吸收52kJ的热量D．1mol H2（g）与1mol I2（g）完全反应放出26kJ的热量【考点】吸热反应和放热反应．【分析】A、焓变值是正值表明反应为吸热反应；B、热化学方程式的系数表示物质的量的多少，不能表示微粒的数目；C、mol氢气和mol碘单质气体完全反应生成1molHI吸手热量26KJ，则1 mol氢气和1 mol 碘蒸气完全反应需要吸收52 kJ的热量；D、焓变值是正值表明反应为吸热反应．【解答】解：A、mol氢气和mol碘单质气体完全反应生成1molHI吸手热量 26KJ，1 mol 氢气和1 mol碘蒸气完全反应需要吸收52 kJ的热量，故A错误；B、热化学方程式的系数表示物质的量的多少，不能表示分子的数目，故B错误；C、mol氢气和mol碘单质气体完全反应生成1molHI吸手热量26KJ，则热化学方程式 H2（g）+I2（g）═2HI（g）△H=+52kJ•mol﹣1表示的意义：1molH2（g）与1molI2（g）完全反应生成2mol的HI气体需吸收52kJ的热量，故C正确；D、热化学方程式 H2（g）+I2（g）═2HI（g）；△H=+52kJ•mol﹣1中，焓变值是正值，表明反应为吸热反应，不会放出热量，故D错误．故选C．【点评】本题考查学生热化学方程式的含义以及热化学方程式的书写知识，难度不大，注意基础知识的积累．9．针对哥本哈根气候会议所倡导的“低碳经济”节能减排课题．某研究性学习小组提出如下方案，你认为不符合课题要求的是（）①利用风力发电制氢燃料；②利用潮汐能发电；③大力建设火电厂；④用节能灯代替白炽灯；⑤利用太阳能等清洁能源代替化石燃料；⑥提倡人们购物时不用塑料袋；⑦提倡每家使用小排量汽车，取消公共汽车等大排量车；⑧尽量使用含碳量低的产品．A．⑥⑧ B．③⑦⑧C．③④⑦D．③④⑤⑥【考点】常见的生活环境的污染及治理．【专题】热点问题．【分析】根据减少二氧化碳排放的措施和吸收大气中二氧化碳的措施回答，要减缓大气中二氧化碳的含量的增加，一是减少向大气中排放二氧化碳，开发利用新能源是减少二氧化碳排放的有效措施；二要吸收空气中过多的二氧化碳，植树造林，利用绿色植物的光合作用可吸收大气中的二氧化碳；【解答】解：①利用风力发电制氢燃料，减少化石燃料的使用，减少二氧化碳气的排放，符合低碳经济，故①错误；②利用潮汐能发电，减少化石燃料的使用，减少二氧化碳气的排放，符合低碳经济，故②错误③大力建设火电厂，煤燃烧产生大量的二氧化碳，增加二氧化碳的排放，不符合低碳经济，故③正确；④用节能灯代替白炽灯，减少化石燃料的使用，减少二氧化碳气的排放，符合低碳经济，故④错误；⑤利用太阳能等清洁能源代替化石燃料，减少化石燃料的使用，减少二氧化碳气的排放，符合低碳经济，故⑤错误；⑥提倡人们购物时不用塑料袋，可减少白色污染，减少二氧化碳的排放，符合低碳经济，故⑥错误；⑦提倡每家使用小排量汽车，取消公共汽车等大排量车，增加了二氧化碳气的排放，不符合低碳经济，故⑦正确；⑧尽量使用含碳量低的产品，若用量大，还会增加了二氧化碳气的排放，不符合低碳经济，应尽量减少含碳物质的排放和浪费，故⑧正确；故选：B；【点评】本题考查了减少二氧化碳排放的措施，难度不大，控制二氧化碳排放，更需要从人人做起，让“低碳生活”成为流行时尚，提倡环保从我做起从现在做起．10．如图是表示：2X（g）+Y（g）⇌Z（g）+2R（g）△H＜0的化学反应速率（υ）与时间（t）的关系，t1时开始改变条件，则所改变的条件符合曲线的是（）A．减少Z物质B．升高温度 C．减小压强 D．使用催化剂【考点】化学反应速率与化学平衡图象的综合应用．【专题】化学平衡专题．【分析】反应是前后气体体积不变的反应，由图可知t1时刻，正逆反应速率均增大，且正反应速率等于逆反应速率，根据影响反应速率和平衡移动的条件来解答．【解答】解：反应是前后气体体积不变的反应，由图可知t1时刻，正逆反应速率均增大，且正反应速率仍然于逆反应速率，则化学平衡不移动，改变的条件为使用催化剂或增大压强．故选D．【点评】本题考查影响反应速率的因素，注意图象中的速率变化及外界因素对反应速率的影响即可解答，题目难度不大．11．将两支惰性电极插入CuSO4溶液中，通电电解，当有1×10﹣3mol的OH﹣放电时，溶液显浅蓝色，则下列叙述正确的是（）A．阳极上析出5.6mL O2（标准状况）B．阴极上析出64mg CuC．阴极上析出11.2mL H2（标准状况）D．阳极和阴极质量都无变化【考点】电解原理．【专题】电化学专题．【分析】以惰性电极电解CuSO4溶液，阳极发生4OH﹣﹣4e﹣═2H2O+O2↑，阴极发生2Cu2++4e﹣═2Cu，溶液显浅蓝色，说明只有部分铜离子放电，结合电子的转移计算该题．【解答】解：A．阳极发生4OH﹣﹣4e﹣═2H2O+O2↑，当有1×10﹣3mol的OH﹣放电时，生成氧气的体积为1×10﹣3mol××22.4L/mol=5.6mL，故A正确；B．当有1×10﹣3mol的OH﹣放电时，转移1×10﹣3mol电子，则在阴极析出5×10﹣4molCu，质量为32mg，故B错误；C．转移1×10﹣3mol电子，阴极析出铜，溶液显浅蓝色，说明铜离子部分放电，没有氢气析出，故C错误；D．阴极析出铜，质量变化，故D错误．故选A．【点评】本题考查电解原理及计算，明确发生的电极反应及硫酸铜的物质的量是解答本题的关键，为易错题，题目难度中等．12．下列实验方案中不能实现：Fe+H2SO4=FeSO4+H2↑反应的是（）A．用导线将铁片和铜片连接后，放入一盛有稀 H2SO4溶液的烧杯中B．将铁片直接放入一盛有稀 H2SO4溶液的烧杯中C．Cu片作阴极，铁片作阳极，电解一定量的H2SO4溶液D．Cu片作阳极，铁片作阴极，电解一定量的H2SO4溶液【考点】设计原电池．【专题】电化学专题．【分析】铁为活泼金属，可与稀硫酸反应而实现Fe+H2SO4=FeSO4+H2↑反应，另可形成原电池反应，铁为负极，硫酸为电解质溶液，正极应为较铁不活泼的金属，可用电解的方法，电解时铁为阳极．【解答】解：A．用导线将铁片和铜片连接后，放入一盛有稀 H2SO4溶液的烧杯中，铁为负极，被氧化，铜为正极，正极上生成氢气，故A正确；B．铁为活泼金属，可与稀硫酸反应而实现Fe+H2SO4=FeSO4+H2↑反应，故B正确；C．Cu片作阴极，铁片作阳极，电解一定量的H2SO4溶液，铁可被氧化生成FeSO4，阴极生成氢气，故C正确；D．Cu片作阳极，阳极上生成铜离子，铁为阴极，没有参加反应，故D错误．故选D．【点评】本题以铁和硫酸的反应为载体综合考查原电池和电解池知识，侧重于学生的分析能力和设计能力的考查，难度不大，注意把握电化学的工作原理．13．下列措施或事实不能用勒沙特列原理解释的是（）A．新制的氯水在光照下颜色变浅B．H2、I2、HI平衡混合气加压后颜色变深C．工业上生产硫酸的过程中，使用过量的空气以提高SO2的利用率D．在合成氨的反应中，加压有利于氨的合成【考点】化学平衡的影响因素．【专题】化学平衡专题．【分析】A、氯水中存在平衡Cl2+H2O⇌HClO+H++Cl﹣，光照HClO分解，溶液中HClO浓度降低，平衡向生成HClO方向移动．B、可逆反应为H2（g）+I2（g）⇌2HI（g），反应前后气体的体积不发生变化，增大压强平衡不移动．C、增大反应物的浓度，平衡向正反应方向移动．D、合成氨反应为N2（g）+3H2（g）⇌2NH3（g）△H＜0，正反应为气体体积减小的放热反应，降低温度平衡向放热反应移动，增大压强平衡向体积减小的方向移动．【解答】解：A．氯水中存在平衡Cl2+H2O⇌HClO+H++Cl﹣，光照HClO分解，溶液中HClO浓度降低，平衡向生成HClO方向移动，可用勒夏特列原理解释，故A不选；B．可逆反应为H2（g）+I2（g）⇌2HI（g），增大压强I2的浓度增大，颜色加深，反应前后气体的体积不发生变化，增大压强平衡不移动，不能用用勒夏特列原理解释，故B选；C．增大空气的量，平衡向正反应方向移动，所以可以用平衡移动原理解释，故C不选；D．合成氨反应为N2（g）+3H2（g）⇌2NH3（g）△H＜0，正反应为气体体积减小的放热反应，增大压强平衡向体积减小的方向移动，即向正反应移动，有利于氨的合成，可用勒夏特列原理解释，故D不选；故选B．【点评】本题考查了勒夏特利原理、平衡移动等，难度中等，注意改变压强的实质是改变体积，影响反应混合物的浓度．14．下列既是氧化还原反应，又是吸热反应的是（）A．二氧化碳与赤热的炭反应生成一氧化碳B．葡萄糖在人体内氧化C．锌粒与稀H2SO4反应制取H2D．Ba（OH）2•8H2O与NH4Cl反应【考点】氧化还原反应；吸热反应和放热反应．【专题】氧化还原反应专题；化学反应中的能量变化．【分析】有元素化合价变化的反应为氧化还原反应，化学反应中生成物的总能量大于反应物的总能量，为吸热反应，以此来解答．【解答】解：A．C元素的化合价变化，为氧化还原反应，且该反应为常见的吸热反应，故A 选；B．葡萄糖的氧化反应为放热反应，故B不选；C．Zn与酸的反应为放热反应，故C不选；D．该反应中没有元素的化合价变化，则不属于氧化还原反应，故D不选；故选A．【点评】本题考查氧化还原反应和吸热反应，为高考常见题型，明确反应中元素的化合价变化即可解答，注意归纳常见的吸热反应，题目难度中等．15．被称之为“软电池”的纸质电池，其电池总反应为Zn+2MnO2+H2O=ZnO+2MnO（OH）．下列说法正确的是（）A．该电池的正极为锌B．该电池反应中二氧化锰起催化剂作用C．当65 g Zn完全溶解时，流经电极的电子1molD．电池正极反应式为2MnO2+2H2O+2e﹣=2MnO（OH）+2OH﹣【考点】化学电源新型电池．【专题】电化学专题．【分析】由电池总反应Zn+2MnO2十H2O=ZnO+2MnO （OH）可知，Zn被氧化，为原电池的负极，电极反应为Zn﹣2e﹣+2OH﹣=ZnO+H2O；MnO2被还原，为原电池的正极，电极反应为MnO2+H2O+e﹣=MnO（OH）+OH﹣；【解答】解：A、从电池反应可知，锌被氧化，失去电子，所以是负极，故A错误；B、该电池反应中二氧化锰发生了还原反应，二氧化锰得到电子，被还原，为原电池的正极，故B错误；C、当有65 g Zn物质的量为1mol锌溶解时，流经电极的电子2mol，故C错误；D、电池的正极反应式为MnO2+H2O+e﹣=MnO（OH）+OH﹣，或2MnO2+2e﹣+2H2O=2MnO（OH）十2OH ﹣，故D正确．故选D．【点评】本题考查化学电源新型电池，侧重于电极反应方程式的考查，题目难度中等，注意从正负极发生的变化结合电解质的特点书写电极反应式，题目难度中等．16．下列事实中，与电化学腐蚀无关的是（）A．在空气中，光亮的银表面逐渐变暗B．为保护海轮的船壳，常在船壳上镶入锌块C．埋在潮湿土壤里的铁管比埋在干燥土壤里的铁管更易被腐蚀D．镀银的铁制品，镀层部分受损后，露出的铁表面易被腐蚀【考点】金属的电化学腐蚀与防护．【专题】电化学专题．【分析】如果能构成原电池就产生电化学腐蚀，否则不能产生电化学腐蚀，据此分析解答．【解答】解：A．纯银饰品长久置表面变暗是由于金属银和空气中的氧气发生反应生成氧化银的结果，属于化学腐蚀，与电化学腐蚀无关，故A正确；B．锌、铁和海水构成原电池，锌易失电子作负极，铁作正极，所以发生电化学腐蚀，故B 错误；C．潮湿土壤中的铁管，铁管中含有碳、铁，铁、碳和电解质溶液构成原电池，铁作负极被腐蚀，所以发生电化学腐蚀，故C错误；D．银、铁和电解质溶液能构成原电池，铁易失电子作负极，银作正极，所以铁发生电化学腐蚀，故D错误；故选A．【点评】本题以电化学腐蚀为载体考查了金属的腐蚀和防护，根据能否构成原电池来判断是否是电化学腐蚀即可，难度不大．17．用铂（惰性）电极进行电解，下列说法中正确的是（）A．电解稀硫酸溶液，实质上是电解水，故溶液pH不变B．电解稀氢氧化钠溶液，要消耗OH﹣，故溶液pH减小C．电解硫酸钠溶液，在阴极上和阳极上析出产物的物质的量之比为1：2D．电解氯化铜溶液，在阴极上和阳极上析出产物的物质的量之比为1：1【考点】电解原理．。

福建师大附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

福建师大附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

福建师大附中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0]C．[0，4）D．（﹣4，0）3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2B．k1＜k＜k3C．k1≤k≤k3D．k＜k1或k＞k37．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．49 B．50 C．51 D．5210．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣201411．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）12．数列{a n}满足a1=1，=，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n ﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i﹣b i，此时c1，c2，…c n ，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．﹣22015-2016学年福建师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式．【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0]C．[0，4）D．（﹣4，0）【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】若m=0．则﹣1＜0恒成立，若m≠0，由不等式的解集是全体实数可知f（x）=mx2﹣mx﹣1开口向下，△＜0，列出不等式解出m的范围．【解答】解：当m=0时，不等式为﹣1＜0，恒成立；当m≠0时，∵不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，∴，解得﹣4＜m＜0．综上，m的取值范围是（﹣4，0]．故选：B．【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键．3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知式子可得数列{a n}的公比，进而可得等比数列{}的首项为1，公比为±，由求和公式可得．【解答】解：∵，∴S8=17S4，∴=16，∴公比q满足q4=16，∴q=2或q=﹣2，∴等比数列{}的首项为1，公比为±，当公比为时，数列{}的前5项和为=；当公比为﹣时，数列{}的前5项和为=故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】先求出BC，再求出CD即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=β﹣α，∠ABC=π﹣β，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=．故选：B．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值．【分析】①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立；②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==﹣＜0，③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．【解答】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，由正弦定理可知，，所以sinA=＞1，故错误；②若三角形的三边的比是3：5：7，根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，由余弦定理得：cosα==﹣，则最大角为120°，故正确；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，则最大角为B或C所对的角，∴cosB=＞0，得是＜x，cosC=＞0，得x＜．则x的取值范围是，故正确；故选：C．【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．6．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2B．k1＜k＜k3C．k1≤k≤k3D．k＜k1或k＞k3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据z的几何意义，结合直线斜率之间的关系，即可得到结论．【解答】解：A是l1与l3的交点，目标函数z=﹣kx+y仅在点A处取到最大值，∴直线y=kx+z的倾斜角比l1的要大，比l3的要小，即有k1＜k＜k3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率之间的关系，比较基础．7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA﹣3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值．【解答】解：∵A+B=π﹣C，∴sinC=sin（π﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，又∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB，∴sinC+sin（A﹣B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）=6sinBcosB，化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）=0解之得cosB=0或sinA=3sinB．①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=，∵，∴A==，因此sinA=sin=，由三角函数的定义得sinA==；②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以=3．综上所述，的值为或3．故选：C【点评】本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题．8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C【解答】解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1（舍去），∵C∈（0，π），∴C=，故选：A．【点评】本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．49 B．50 C．51 D．52【考点】等差数列的性质．【专题】函数思想；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a50+a51＞0；a51＜0，进而可得a50＞0，且|a50|＞|a51|，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S100==50（a1+a100）=50（a50+a51）＞0，∴a50+a51＞0；同理S101===101a51＜0，∴a51＜0；∴a50＞0，且|a50|＞|a51|，∴k=51故选：C．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，整体得出项的正负是解决问题的关键，属中档题．10．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣2014【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．【分析】利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”可得a n，于是=2（n﹣1）•cos．由于函数y=cos的周期T==4．利用周期性和等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，当n=1时，a1=S1=1﹣1=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．上式对于n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．∴=2（n﹣1）•cos．∵函数y=cos的周期T==4．∴T2015=（b1+b5+…+b2009）+（b2+b6+…+b2010）+（b3+b7+…+b2011）+（b4+b8+…+b2012）+b2013+b2014+b2015=0﹣2（1+5+...+2009）+0+2（3+7+ (2011)+4024•cos+4026•cos+4028•cos=4×503+0﹣4026=﹣2014．故选D．【点评】本题考查了利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求a n、余弦函数的周期性、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式：x2﹣2x﹣3≤0，然后a取特殊值验证即可得到答案．【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3≤0得﹣1≤x≤3；观察选项取a=﹣1解不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x≤0可得﹣4＜x＜0显然A不正确；令a=31不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x﹣32≤0解得﹣8≤x≤4，仅有B正确．故选B．【点评】选择题的解法非常灵活，一定要观察题干和选项，特殊值一定要特殊．是中档题．12．数列{a n}满足a1=1，=，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】数列与不等式的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】先求出数列{a n2}的通项公式，再求S n，注意运用裂项相消求和，以及不等式的性质，可求正整数t的最小值．【解答】解：∵a1=1，=，∴+4=，∴﹣=4，∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，∴=4n﹣3，∴a n2=，a n2•a n+12=•=（﹣），∴S n=a i2a i+12=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，即为t≥30•=7.5，而t为正整数，所以，t min=8．故选C．【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，属于中档题．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=2．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2；故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求出S1+a1=2，可得S n+na n=2，当n≥2时，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，然后利用累积法求得a n．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，∴S1+1×a1=1+1=2，∵{S n+na n}为常数列，∴由题意知，S n+na n=2，当n≥2时，S n﹣1+（n﹣1）a n﹣1=2两式作差得（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，从而=，∴（n≥2），当n=1时上式成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，训练了累乘法求数列的通项公式，是中档题．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是4．【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．【解答】解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99=299=．则b50=2．∴b 8+b92≥=2b50=4，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故答案为：4．【点评】本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值．【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，∵AG⊥BG，∴DG=AB，由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，又∵+=，∴+=，则λ=======．故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为（ax﹣2）（x+1）≥0，且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；∴=2，解得a=1；（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；在a=﹣2时，=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣1﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）设出PA的长度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；（2）设出PA的长度x，把∠CQA与∠DQB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CQD的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置．【解答】解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．依题意有，．由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．依题意有，，tan∠CQD=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=，令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，则=，∵，∴，当时，所张的角为钝角，当，即x=时取得最大角，故点Q应选在距A点km处．【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意和三角形的知识可得cosC=0，可得C=90°，△ABC为直角三角形；（2）由数量积的意义可得•=||2=9，可得AC=3，再由三角形的面积公式可得BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，设P的坐标为（x，y），可得d1+d2+d3=，且，令x+2y=m，由线性规划的知识可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中sinB=cosAsinC，∴sin（A+C）=cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC，∴sinAcosC=0，即cosC=0，C=90°，∴△ABC为直角三角形；（2）∵•=||2=9，解得AC=3，又ABC的面积S=×3×BC=6，∴BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），可得直线AB的方程为+=1，即4x+3y﹣12=0，设P的坐标为（x，y），则d1+d2+d3=x+y+，且，∴d1+d2+d3=x+y﹣=，令x+2y=m，由线性规划的知识可知0≤m≤8∴d1+d2+d3的取值范围为[，4]【点评】本题考查解三角形，涉及向量的知识和简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）设（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF•h表示成关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF的最大值；（2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°设（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，∵C到AB的距离为BC=百米，∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米可得S△DEF=EF•h=λ（1﹣λ）百米2∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当时等号成立∴当时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为百米2（2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α则CF=a•sinα，AF=﹣a•sinα设∠EDB=∠1，可得∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α在△ADF中，=即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]=∴a===（其中φ是满足tanφ=的锐角）∴△DEF边长最小值为．【点评】本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．【考点】复合函数的单调性．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）问题等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；（2），令，则，分k＞1，k=1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为﹣2即可解得k值；（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k=1时易判断；当k＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值；【解答】解：（1）因为4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，因为﹣2x﹣2﹣x=﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，当且仅当2x=2﹣x即x=0时取等号，所以k＞﹣2；（2），令，则，当k＞1时，无最小值，舍去；当k=1时，y=1最小值不是﹣2，舍去；当k＜1时，，最小值为，综上所述，k=﹣8．（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k＞1时，因且，故，即1＜k≤4；当k=1时，f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；当k＜1时，且，故，解得；综上所述，【点评】本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题，考查转化思想，综合性较强，难度较大．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n ﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i﹣b i，此时c1，c2，…c n ，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．﹣2【考点】等差关系的确定．【专题】证明题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】依题意，0＜c1＜c2＜…＜c n﹣1，可用反证法证明x1，x2，…，x n﹣1是单调递增数列；再证明x m为数列{x n}中的最小项，从而可求得是x k=c k+x m，问题得证【解答】证明：设c为c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1的公差，对1≤i≤n﹣2，因为b i≤b i+1，c＞0，所以a i+1=b i+1+c i+1≥b i+c i+c＞b i+c i=a i，又因为a i+1=max{a i，x i+1}，所以x i+1=a i+1＞a i≥x i．从而x1，x2，…，x n﹣1为递增数列．因为a i=x i（i=1，2，…n﹣1），又因为b1=a1﹣c1＜a1，所以b1＜x1＜x2＜…＜x n﹣1，因此x n=b1．所以b1=b2=…=b n﹣1=x n．所以x i=a i=b i+c i=x n+c i，因此对i=1，2，…，n﹣2都有x i+1﹣x i=c i+1﹣c i=c，即x1，x2，…，x n﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．。

福建省福州闽清高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含答案

福建省福州闽清高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含答案

数学试题卷（文科） 数学试题共4页。

满分150 分。

考试时间120 分钟。

注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 的离心率e=，则m的值为 ( )A.3B.3或C. D． 2. 命题“”的否定是（） A． B. C. D. (图1) 4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。

其中能使“”为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①② 5.直线O, 且与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点．直线AB与直线OM的斜率之积为B.1C.D.2 6.已知命题与双曲线；命题若直线垂直于直线,且则. 下列命题中为真命题的是A.B. C. D. 7.下列有关命题的说法错误的是 ( ) A.对于命题：使得. 则：均有. B.“”是“”的充分不必要条件. C.命题“若则”的否命题为：“若,则”. D.命题“若，则”是假命题. 8.(原创)如图, 在ABCD中, AD=AB=2, ∠BAC=90°. 将△AD沿折起, 使. 在三棱锥-ABC的四个面中,( )A.面ABD⊥面BCDB.面ABD⊥面DC.面AB⊥面DD.面AB⊥面BCD (图2) (图3) 9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形, 面PAB⊥面ABCD. 若, 则动点M在面PAB内的轨迹是( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分 10.设椭圆的离心率为右焦点为F（c, 0），方程的两个实根分别为x1和x2，则点Px1, x2)的位置( ) A.必在圆内B必在圆上 C.必在圆外D以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上作一条切线, 切点为A, 则切线段PA的长为 . 12.椭圆+=1上一点P到右准线的距离是10,那么P点到左焦点的距离是13.一个几何体的三视图如图4, 则这个几何体的体积为 . 14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是 球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 . 15.(原创)设A为椭圆)上一点点A关于原点的对称点为BF为椭圆的右焦点且AF⊥BF若∠ABF ∈[], (图4) 则该椭圆离心率的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16(本小题13分)已知双曲线的离心率为，。

福建省福州市高二上学期期中数学试卷

福建省福州市高二上学期期中数学试卷

福建省福州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 若一组数据x1 ， x2 ， x3 ，…，xn的平均数为2，方差为3，2x1+5，2x2+5，2x3+5，…，2xn+5的平均数和方差分别是（）A . 9，11B . 4，11C . 9，12D . 4，173. （2分）(2018·江西模拟) 如图是60名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）是（）A . 0.9B . 0.75C . 0.8D . 0.74. （2分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2019高二下·佛山月考) 某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩，若已知，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·韶关期中) 设函数f（x）=﹣x2+4x﹣3，若从区间[2，6]上任取﹣个实数x0 ，则所选取的实数x0 ．满足f（x0）≥0的概率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二上·大庆期末) 某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）A .B .C .D .8. （2分）在刚召开的十二届全国人大一次会上，为了调查人大代表对“反腐倡廉”的意见，现从1000名代表中使用系统抽样，按以下规定获取样本编号：如果在起始组中随机抽取的号码为M ，那么第K组（组号K从0开始，K=0,1,2，，9）抽取的号码的百位数为组号，后两位数为M+32K的后两位数，若M=16，则k=4,k=7时所抽取的样本编号为（）A . 444 ，740B . 416，716C . 444，726D . 423，7269. （2分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·郴州期中) 下列各数中最小的数是（）A . 85（9）B . 210（6）C . 1000（4）D . 111111（2）11. （2分）在满足不等式组的平面点集中随机取一点，设事件A=“”，那么事件A发生的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）下图是两组各名同学体重（单位：）数据的茎叶图．设两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（）（注：标准差，其中为的平均数）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·河南月考) 甲、乙两支足球队进行比赛，根据赛前的数据分析，甲队赢球的概率为0.55，乙队赢球的概率为0.2，则两支球队踢成平局的概率为________．14. （1分） (2018高二下·赤峰期末) 设随机变量服从正态分布，且，则 ________．15. （1分） (2017高三上·韶关期末) 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经十书，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为________．16. （1分） (2017高二上·伊春月考) 数据，，…，平均数为6，标准差为2，则数据，，…，的方差为________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高二下·遵化期中) 某班主任对该班22名学生进行了作业量的调查，在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多.（1）根据以上数据建立一个列联表.（2）对于该班学生，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系？下面临界值表仅供参考：0.050.010.0013.841 6.63510.828参考公式： .18. （10分）(2017·揭阳模拟) 某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计．（1）请把频率直方图补充完整；（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X ＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？19. （10分） (2016高一上·六安期中) 若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．（2）若函数g（x）=f（x）+（4﹣2a）x+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值h（a）．20. （15分）(2017·宁化模拟) 我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：（1）若采取分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100 元．试估计政府执行此计划的年度预算．21. （10分） (2015高三上·太原期末) 某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（1）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（2）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．22. （5分）甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一天二十四小时内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。

2015-2016年福建省福州市福清市东张中学高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

2015-2016年福建省福州市福清市东张中学高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

2015-2016学年福建省福州市福清市东张中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.答填涂在答题卡对应位置.1．（5分）已知等差数列{a n}中，a1=1，d=3，当a n=19时，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．82．（5分）不等式x2+mx+n＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则m，n的值分别为（）A．1，2 B．1，﹣2 C．﹣1，2 D．﹣1，﹣23．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣3＜a﹣b＜1C．若a＞b＞0，m＞0，则D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd4．（5分）在△ABC中，a=5，b=3，C=60°，则c=（）A． B．16 C．2D．34﹣185．（5分）函数的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．76．（5分）已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q=（）A．1或﹣B．1 C．﹣ D．﹣27．（5分）设M=2a（a﹣2），N=（a+1）（a﹣3），则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N8．（5分）等比数列{a n}中，a1•a5=16，则a3=（）A．8 B．4 C．﹣4 D．±49．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．10．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．26011．（5分）福州为了迎接青运会，计划从2011年到2015年，每年年初投入资金用于更新和改进体育场所与设施，若2011年年初投入a万元，以后每年年初投入的资金比上一年递增10%，则投入的总资金约为（参考数据 1.14≈1.46，1.15≈1.61）（）A．4.6a万元B．6.1a万元C．14.6a万元D．16.1a万元12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则可行解的平面区域面积为（）A．B．3 C．4 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）在△ABC中，已知，c=15，B=30°，则角C=．14．（5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣1，则a6=．15．（5分）已知a，b为正实数，且a+2b=1，则+的最小值为．16．（5分）已知变量x、y满足约束条件，则z=的最大值为．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={x|x2﹣4x+3＞0}，求A∩B．18．（10分）设z=3x+5y，其中变量x和y满足条件，求z的最大值和最小值．19．（12分）已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前10项和S10．20．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．21．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，S n=n2+n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求证：数列{a n}是等差数列（Ⅲ）设数列{b n}是首项为1，公比为的等比数列，求数列{a n•b n}的前n项和T n．22．（14分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．2015-2016学年福建省福州市福清市东张中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.答填涂在答题卡对应位置.1．（5分）已知等差数列{a n}中，a1=1，d=3，当a n=19时，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：等差数列{a n}中，a1=1，d=3，当a n=19时，19=1+（n﹣1）×3，解得n=7．故选：C．2．（5分）不等式x2+mx+n＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则m，n的值分别为（）A．1，2 B．1，﹣2 C．﹣1，2 D．﹣1，﹣2【解答】解：∵不等式x2+mx+n＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，∴﹣1和2是方程x2+mx+n=0的两个根，∴由韦达定理得，∴m=﹣1，n=﹣2．故选：D．3．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣3＜a﹣b＜1C．若a＞b＞0，m＞0，则D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【解答】解：A．取c=0时，虽然a＞b，但是ac2=bc2；B．∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1，又﹣2＜a＜3，∴﹣4＜a﹣b＜2，故B不正确；C．∵a＞b＞0，∴，又∵m＞0，∴；D．虽然5＞2，﹣1＞﹣2，但是﹣5＜﹣4，故D不正确．综上可知：正确答案为C．故选：C．4．（5分）在△ABC中，a=5，b=3，C=60°，则c=（）A． B．16 C．2D．34﹣18【解答】解：在△ABC中，a=5，b=3，C=60°，则c===．故选：A．5．（5分）函数的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：=x﹣1+1≥2+1=5当且仅当x﹣1=即当x=3时取“=”所以的最小值为5故选：B．6．（5分）已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q=（）A．1或﹣B．1 C．﹣ D．﹣2【解答】解：∵a1，a3，a2成等差数列∴2a1q2=a1+a1•q∴q=1或﹣故选：A．7．（5分）设M=2a（a﹣2），N=（a+1）（a﹣3），则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N【解答】解：∵M﹣N═2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）=（a﹣1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．8．（5分）等比数列{a n}中，a1•a5=16，则a3=（）A．8 B．4 C．﹣4 D．±4【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，∴a32=a1•a5=16，∴a 3=±4．故选：D．9．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选：A．10．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，a1解得d=，a1=，∴s3m=3ma1+d=3m+=210．故选C．解法2：∵设{a n}为等差数列，∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100=70×2，解得s3m=210．故选C．a111．（5分）福州为了迎接青运会，计划从2011年到2015年，每年年初投入资金用于更新和改进体育场所与设施，若2011年年初投入a万元，以后每年年初投入的资金比上一年递增10%，则投入的总资金约为（参考数据 1.14≈1.46，1.15≈1.61）（）A．4.6a万元B．6.1a万元C．14.6a万元D．16.1a万元【解答】解：∵2011年年初投入a万元，以后每年年初投入的资金比上一年递增10%，∴从2011年到2015年投入的总资金为：a+a（1+10%）+a（1+10%）2+a（1+10%）3+a（1+10%）4=≈6.1a万元，故选：B．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则可行解的平面区域面积为（）A．B．3 C．4 D．6【解答】解：因为实数x、y满足约束条件，所以它表示的可行域为：则其围成的平面区域的面积为：AD•OB AD•|y C|==3；故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）在△ABC中，已知，c=15，B=30°，则角C=60°或120°．【解答】解：∵，c=15，B=30°，∴由正弦定理可得：sinC===，∵c＞b，可得C∈（30°，180°），∴C=60°或120°．故答案为：60°或120°．14．（5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣1，则a6=33．【解答】解：数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣1，可得a2=3，a3=5，a4=9a5=17a6=33．故答案为：3315．（5分）已知a，b为正实数，且a+2b=1，则+的最小值为3+2．【解答】解：∵a+2b=1，∴==2++1∵a，b为正实数，∴≥2 =2∴2++1≥3+2∴的最小值为故答案为：16．（5分）已知变量x、y满足约束条件，则z=的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到原点的距离，由图象知，OA的距离最大，由，得，即A（3，2），则z==，故答案为：三、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={x|x2﹣4x+3＞0}，求A∩B．【解答】解：∵x2﹣16＜0⇒﹣4＜x＜4，∴A={x|﹣4＜x＜4}，…（2分）∵x2﹣4x+3＞0⇒x＞3或x＜1，∴B={x|x＞3或x＜1}，…（4分）∴A∩B={x|﹣4＜x＜1或3＜x＜4}…（6分）18．（10分）设z=3x+5y，其中变量x和y满足条件，求z的最大值和最小值．【解答】解：由约束条件，得可行域…（6分）交点坐标A（﹣2，﹣1），…（7分）由z=3x+5y得 (8)当x=﹣2，y=﹣1时，z min=﹣11，当时，z max=17…（10分）19．（12分）已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前10项和S10．【解答】解：（1）因为{b n}是等比数列，且b1=2，b4=b1•q3=54，所以q=3，所以等比数列{b n}的通项公式为b n=2•3n﹣1．（2）又因为a1+a2+a3=b2+b3，所以a2=8，所以d=6，所以等差数列{a n}的通项公式为a n=6n﹣4．所以数列{a n}的前10项和=290．20．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S==1．△ABC21．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，S n=n2+n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求证：数列{a n}是等差数列（Ⅲ）设数列{b n}是首项为1，公比为的等比数列，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，当n=1时，a1=S1=2，符合上式．综上，a n=2n，n∈N*；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a n=2n，则a n=2（n+1），+1故a n﹣a n=2（n+1）﹣2n=2，+1∴数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列；（Ⅲ）∵数列{b n}是首项为1，公比为的等比数列，∴b n=（）n﹣1；故数列{a n•b n}的前n项和T n=2•1+4•+6•+…+2n•（）n﹣1，T n=2•+4•+6•+…+2n•（）n，两式相减可得，T n=2（1++++…+（）n﹣1）﹣2n•（）n=2•﹣2n•（）n，化简可得，前n项和T n=8﹣（8+4n）•（）n．22．（14分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（6分）（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．（12分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。

2016年福建省福州市福清市东张中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2016年福建省福州市福清市东张中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2015-2016学年福建省福州市福清市东张中学高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）对于集合A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是（）A．B．C．D．3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）4．（5分）若f（x）是幂函数，且满足，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．5．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠07．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣28．（5分）sin 20°cos10°+cos20°sin170°=（）A．﹣B．C．﹣ D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（5分）设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在x上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+b2﹣b+1（a∈R，b∈R），对任意实数x都有f（1﹣x）=f（1+x）成立，若当x∈[﹣1，1]时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是（）A．﹣1＜b＜0 B．b＞2 C．b＜﹣1或b＞2 D．不能确定二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x﹣）=x2+，则f（3）=．14．（5分）已知α为第三象限的角，，则=．15．（5分）函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，则a+b的值为．16．（5分）具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①y=x﹣；②y=x+；③y=中满足“倒负”变换的函数是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2m＜x＜1﹣m}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若A∩B=（1，2），求实数m的取值范围；（3）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．18．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+3，x∈[﹣4，6]（1）当a=﹣2时，求f（x）的最值．（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣4，6]上是单调函数．（3）当a=1时，求f（|x|）的单调区间．20．（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．21．（12分）已知函数是奇函数．（1）求m的值：（2）设g（x）=2x+1﹣a．若函数与g（x）的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．2015-2016学年福建省福州市福清市东张中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．2．（5分）对于集合A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数的定义，逐个考察各选项：对于A：不能构成，因为集合A中有一部分元素（靠近x=2）并没有函数值，所以符合函数定义；对于B：不能构成，因为集合A中的一个元素（如x=2）与集合B中的两个元素对应，不符合函数定义；对于C：不能构成，因为集合A中的一个元素（如x=1）与集合B中的两个元素对应，不符合函数定义；对于D：能够构成，因为集合A中的每个元素都只与集合B中某一个元素对应，符合函数定义．故选：D．3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C．4．（5分）若f（x）是幂函数，且满足，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：设f（x）=x a，∵，∴=2a=3，∴a=log23，∴=（）=．故选：C．5．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：法一，所以tan100°=﹣tan80°=．：法二cos（﹣80°）=k⇒cos（80°）=k，=6．（5分）命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选：D．7．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，故选：D．8．（5分）sin 20°cos10°+cos20°sin170°=（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：sin 20°cos10°+cos20°sin170°=sin 20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．10．（5分）设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在x上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在x上是减函数”，则0＜a＜1，若函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，解得0＜a＜2，故“函数f（x）=a x在x上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件，故选：A．11．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+b2﹣b+1（a∈R，b∈R），对任意实数x都有f（1﹣x）=f（1+x）成立，若当x∈[﹣1，1]时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是（）A．﹣1＜b＜0 B．b＞2 C．b＜﹣1或b＞2 D．不能确定【解答】解：∵对任意实数x都有f（1﹣x）=f（1+x）成立∴函数f（x）的对称轴为x=1=，解得a=2∵函数f（x）的对称轴为x=1，开口向下∴函数f（x）在[﹣1，1]上是单调递增函数，而f（x）＞0恒成立，f（x）min=f（﹣1）=b2﹣b﹣2＞0解得b＜﹣1或b＞2，故选：C．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x﹣）=x2+，则f（3）=11．【解答】解：因为f（x﹣）=x2+=，所以f（x）=x2+2，所以f（3）=32+2=11故答案为：11．14．（5分）已知α为第三象限的角，，则=．【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，15．（5分）函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，则a+b的值为﹣7．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2+2ax+b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴，解得或，验证知，当a=﹣3，b=3时，在x=1无极值，故a+b的值﹣7．故答案为：﹣716．（5分）具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①y=x﹣；②y=x+；③y=中满足“倒负”变换的函数是①③．【解答】解：①设f（x）=x﹣，∴f（）=﹣x=﹣f（x），∴y=x﹣是满足“倒负”变换的函数，②设f（x）=x+，∵f（）=，﹣f（2）=﹣，即f（）≠﹣f（2），∴y=x+是不满足“倒负”变换的函数，③设f（x）=，则﹣f（x）=，∵0＜x＜1时，＞1，此时f（）﹣x；x=1时，=1，此时f（）=0，x＞1时，0＜＜1，此时f（）=，∴f（）==﹣f（x），∴y=是满足“倒负”变换的函数．故答案为：①③三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2m＜x＜1﹣m}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若A∩B=（1，2），求实数m的取值范围；（3）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A=（1，3），B=（2m，1﹣m），且A⊆B，∴2m≤1且1﹣m≥3，解得：m≤﹣2；（2）∵A∩B=（1，2），∴1﹣m=2，即m=﹣1；（3）∵A∩B=∅，∴B=∅或B≠∅且2m≥3且1﹣m≤1，解得：m≥或∅，则实数m的范围是m≥．18．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．19．（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+3，x∈[﹣4，6]（1）当a=﹣2时，求f（x）的最值．（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣4，6]上是单调函数．（3）当a=1时，求f（|x|）的单调区间．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，f（x）在[﹣4，2]上递减，在[2，6]上递增，所以f（x）min=f（2）=﹣1，又f（﹣4）=35，f（6）=15，所以f（x）max=f（﹣4）=35．（2）f（x）图象的对称轴为x=﹣a，开口向上，f（x）的减区间是（﹣∞，﹣a]，增区间是[﹣a，+∞），要使f（x）在[﹣4，6]上是单调函数，则有﹣a≥6，或﹣a≤﹣4，解得a≤﹣6，或a≥4，所以实数a的取值范围是[4，+∞）∪（﹣∞，﹣6]．（3）当a=1时，f（x）=x2+2x+3，f（|x|）=x2+2|x|+3，作出f（|x|）的图象，如图所示：由图象得f（|x|）的减区间为[﹣6，0]，增区间为[0，6]．20．（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．21．（12分）已知函数是奇函数．（1）求m的值：（2）设g（x）=2x+1﹣a．若函数与g（x）的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由函f（x）是奇函数可知：f（0）=1+m=0，解得m=﹣1．（2）函数f（x）与g（x）的图象至少有一个公共点即方程=2x+1﹣a至少有一个实根，即方程4x﹣a•2x+1=0至少有一个实根．令t=2x＞0，则方程t2﹣at+1=0至少有一个正根方法一：由于∴a的取值范围为[2，+∞）．方法二：令h（t）=t2﹣at+1，由于h（0）=1＞0，∴只须，即，解得a≥2．∴a的取值范围为[2，+∞）22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a x x x x x x <>==><<x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

福建省福清东张中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题(附答案)

福建省福清东张中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题(附答案)

福清东张中学2015—2016学年度第一学期期中考高三年数 学 试 卷（文科）(完卷时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题包括12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分。

) 1.在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合{}2log 0A x x =≥,集合{}01B x x =<<,则A B =（ ） A ．}{0x x > B ．}{1x x > C ．}{011x x x <<>或 D ．∅3.命题“0x ∃∈R ，使得24x >”的否定是（ ） A ．0x ∃∉R ，使得 204x > B ．0x ∃∉R ，使得24x … C ．2,4x x ∀∈>R D ．2,4x x ∀∈≤R4.函数y ） A ．()0,4B ．(]0,4C ．(),4-∞D ．(],4-∞5．下列函数中，在),0(+∞上为增函数的是（ ） A.x x f 2s i n )(= B ．x xe x f =)( C ．x x x f -=3)(D ．x x x f ln )(+-=6．已知向量(1a = ，(3,)b m = ，若向量,的夹角为6π，则实数m ＝（ ）A ．23B ．3C ．0D ．－3 7．下列函数中，既是偶函数又在区间（－∞，0）上单调递增的是（ ）A ．21(x)f x=B ．2(x)1f x =+C ．3(x)f x =D ．(x)2x f -= 8．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 ( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin|x |D ．y ＝sin(2x －π6)9．已知113a (,2sin ),b (cos ,),a 322=α=α 且∥b ，则锐角α的值为 （ ）A. 8πB.2πC. 4π D.6π10．下列各组平面向量中，可以作为基底的是 （ ）（A ）()()120,0,1,2e e ==- （B ）()()121,2,5,7e e =-=（C ）()()123,5,6,10e e == （D ）()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭11.函数()sin ln f x x x =⋅的部分图象为 （ ）12.函数2log ,0,()2,0.x x x f x a x >⎧⎪=⎨-+⎪⎩…有且只有一个零点的充分不必要条件是 （ ）A ．0a …或1a >B ．102a <<C ．0a <D ．0a …或1a …二、填空题(本题包括4小题，每小题5分，共20分。

福建省福州市福清市西山高中高二数学上学期期中试卷 文(含解析)

福建省福州市福清市西山高中高二数学上学期期中试卷 文(含解析)

2015-2016学年福建省福州市福清市西山高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于( ) A．B．C．D．2．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于( )A．﹣1 B．1 C．3 D．73．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A．B．＞C．＞0 D．＜04．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=( ) A．7 B．8 C．15 D．166．不等式组的解集是( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}7．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则cos（π+B）的值为( )A．﹣B．C．D．8．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( ) A．13项B．12项C．11项D．10项9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为( )A．①② B．③④ C．①③ D．②④10．已知，x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为( )A．B．C．1 D．211．已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+2，若对于n∈N*，都有a n+1＞a n成立，则实数的取值范围( )A．k＞0 B．k＞﹣1 C．k＞﹣2 D．k＞﹣312．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则( )A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为__________千米．14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．15．若对于任意实数x都会使|x﹣2|+|x﹣1|≥a成立，则实数a的取值范围是__________．16．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为__________．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求△ABC的面积．18．1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：甲乙生产能力台时/天产品时间工艺要求制白坯时间 6 12 120油漆时间8 4 64单位利润200 240问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？19．已知等差数列{a n}满足a2=2，a5=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1=1，b2+b3=a4，求{b n}的前n项和T n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．21．已知等差数列{b n}满足b1=1，b4=7．设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：≤T n ＜．22．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．2015-2016学年福建省福州市福清市西山高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于( ) A．B．C．D．【考点】正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．2．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于( )A．﹣1 B．1 C．3 D．7【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．3．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A．B．＞C．＞0 D．＜0【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式．【分析】利用不等式的基本性质判断每个答案中不等式是否成立，即可得到答案．【解答】解：∵c＜b＜a且ac＜0，∴a＞0，c＜0，∴＞，故A一定成立，∵b2与a2，的大小关系不能确定，∴选项B不一定成立，∴b﹣a＜0，∴，故C一定成立，∵a﹣c＞0，ac＜0，∴＜0，故D一定成立，故选：B【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题5．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=( ) A．7 B．8 C．15 D．16【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列∴，∴，即∴q=2∴S4===15故选C【点评】本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．6．不等式组的解集是( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；集合思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】分别求出每个不等式的解集，并求出交集，问题得以解决．【解答】解：由|x|﹣1＜0，解得﹣1＜x＜1，由x2﹣3x＜0，解得0＜x＜3，∴不等式组的解集是{x|0＜x＜1}，故选：A．【点评】本题考查了不等式组的解法，关键是求出每个不等式的解集，属于基础题．7．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则cos（π+B）的值为( )A．﹣B．C．D．【考点】余弦定理；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，利用诱导公式即可得解．【解答】解：∵由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：cosB==，∴cos（π+B）=﹣cosB=﹣．故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式的应用，属于基础题．8．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( ) A．13项B．12项C．11项D．10项【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】先设数列的通项公式为a1q n﹣1，则前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得即a12q n﹣1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n．【解答】解析：设数列的通项公式为a1q n﹣1则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n ﹣3，aq n﹣2，a1q n﹣1．1∴前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得：a16q3（n﹣1）=8，即a12q n﹣1=2又a1•a1q•a1q2…a1q n﹣1=64，∴=64，即（a12q n﹣1）n=642，∴2n=642，∴n=12故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为( )A．①② B．③④ C．①③ D．②④【考点】等比关系的确定．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（a n+1），故正确；②≠=f2（a n+1），故不正确；③==f2（a n+1），故正确；④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；故选C【点评】本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键．10．已知，x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为( )A．B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（1，﹣1），此时z=1×2﹣1=1，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+2，若对于n∈N*，都有a n+1＞a n成立，则实数的取值范围( )A．k＞0 B．k＞﹣1 C．k＞﹣2 D．k＞﹣3【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵对于n∈N*，都有a n+1＞a n成立，∴（n+1）2+k（n+1）+2＞n2+kn+2，化为k＞﹣（2n+1），∴k＞﹣（2×1+1），即k＞﹣3．故选D．【点评】熟练掌握数列的单调性和一次函数的单调性是解题的关键．12．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则( )A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】此题新定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y），由题意（x﹣a）⊙（x+a）=（x﹣a）（1﹣x ﹣a），再根据（x﹣a）⊙（x+a）＜1，列出不等式，然后把不等式解出来．【解答】解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即x2﹣x﹣a2+a+1＞0∵任意实数x成立，故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0∴，故选C．【点评】此题是一道新定义的题，要遵守命题人定的规则，另外此题主要还是考查一元二次不等式的解法．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．【专题】综合题；压轴题．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．15．若对于任意实数x都会使|x﹣2|+|x﹣1|≥a成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由条件利用绝对值的意义求得|x﹣2|+|x﹣1|的最，小值为1，从而求得实数a的取值范围．【解答】解：|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到1、2对应点的距离之和，它的最小值为1，又对于任意实数x，|x﹣2|+|x﹣1|≥a成立，∴1≥a，故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，属于基础题．16．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为5．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a m和a m+1的值，进而可得公差d，由通项公式和求和公式可得a1和m的方程组，解方程组可得所求．【解答】解：由题意可得a m=S m﹣S m﹣1=0﹣（﹣2）=2，a m+1=S m+1﹣S m=3﹣0=3，∴等差数列{a n}的公差d=a m+1﹣a m=3﹣2=1，由通项公式可得a m=a1+（m﹣1）d，代入数据可得2=a1+m﹣1，①再由求和公式可得S m=ma1+d，代入数据可得0=ma1+，②联立①②可解得m=5故答案为：5【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及方程组的解法，属中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）运用同角的平方关系和两角和的正弦公式计算即可得到；（2）运用正弦定理和三角形的面积公式计算即可得到．【解答】解：（1）由cosA=，得sinA==，即有sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=；（2）由正弦定理可得，a===，则ABC的面积为S=absinC==．【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正弦公式和同角的平方关系的运用，属于基础题．18．1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：甲乙生产能力台时/天产品时间工艺要求制白坯时间 6 12 120油漆时间8 4 64单位利润200 240问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】应用题．【分析】设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值，从而求出所求．【解答】解：设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z元，那么①…目标函数为z=200x+240y…作出二元一次不等式①所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．把z=200x+240y 变形为，得到斜率为，在轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．如图可以看出，当直线经过可行域上A 时，截距最大，即z最大．…解方程组得A的坐标为x=4，y=8 …所以z max=200x+240y=2720．答：该公司每天生产生产甲、乙两种型号的组合柜分别为4个、8个，能够产生最大的利润，最大的利润是2720元．【点评】本题主要考查了简单线性规划的应用，以及平面区域图的画法和二元一次不等式组的解法，属于中档题．19．已知等差数列{a n}满足a2=2，a5=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1=1，b2+b3=a4，求{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】综合题．【分析】（1）求{a n}的通项公式，可先由a2=2，a5=8求出公差，再由a n=a5+（n﹣5）d，求出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0），利用等比数列的通项公式可求首项b1及公比q，代入等比数列的前n项和公式可求Tn．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d∵a2=2，a5=8∴a1+d=2，a1+4d=8解得 a1=0，d=2∴数列{an}的通项公式a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣2（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0）由（1）知a n=2n﹣2b1=1，b2+b3=a4=6∴q≠1∴q=2或q=﹣3（舍去）∴{b n}的前n项和T n=2n﹣1【点评】等差数列与等比数列的通项公式的求解及前n项和的求解是数列的最基础的考查，是高考中的基础试题，对考生的要求是熟练掌握公式，并能进行一些基本量之间的运算．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）a n+1=2S n+1⇒a n=2S n﹣1+1（n≥2，n∈N*），两式相减，可得a n+1=3a n（n∈N*），从而可得数列{a n}的通项公式；由等差数列{b n}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15可求得{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n•b n=（2n+1）×3n﹣1，利用错位相减法即可求得数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ））∵a n+1=2S n+1（n≥1，n∈N*），∴a n=2S n﹣1+1（n≥2，n∈N*），∴a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2，n∈N*），…2分又a1=1，a2=2a1+1=3，∴a2=3a1，∴a n+1=3a n（n∈N*）．∵a1=1，∴数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n=3n﹣1（n∈N*）…4分∵b1+b2+b3=15，∴b2=5，又d=2，∴b1=b2﹣d=3，…6分∴b n=3+2（n﹣1）=2n+1…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，T n=3×1+5×3+7×32+…+（2n﹣1）×3n﹣2+（2n+1）×3n﹣1，①3T n=3×3+5×32+7×33+…+（2n﹣1）×3n﹣1+（2n+1）×3n，②∴①﹣②得：﹣2T n=3×1+2×3+2×32+…+2×3n﹣1﹣（2n+1）×3n=3+2（3+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n+1）×3n=3+2×﹣（2n+1）×3n…10分=﹣2n•3n…11分∴T n=n•3n（n∈N*）…12分【点评】本题考查等比数列关系的确定与等差数列通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，考查综合运算与求解能力，属于难题．21．已知等差数列{b n}满足b1=1，b4=7．设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：≤T n ＜．【考点】数列的求和．【专题】证明题；消元法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得b n，可得c n，由裂项相消法和不等式的性质可得．【解答】证明：∵等差数列{b n}满足b1=1，b4=7，∴b n=1+（n﹣1）=2n﹣1，∴c n===（﹣），∴数列{c n}的前n项和为T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）==，∵0＜≤1，∴2＜2+≤3，∴≤＜【点评】本题考查数列求和公式的裂项相消法，涉及不等式的性质，属中档题．22．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为，故答案为．【点评】本题考查函数恒成立以及绝对值的意义，绝对值不等式的解法，判断数轴上满足|x ﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，是解题的关键．考查转化思想的应用．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2015-2016学年福建省福州市福清市东张中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案填在答题卡对应位置．1．（5分）不等式（x﹣5）（x+1）＞0的解集是（）A．（﹣5，1）B．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）C．（﹣1，5）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）2．（5分）已知正数数列{a n}满足a n+1=2a n，则此数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定数列的增减性3．（5分）若P在Q的北偏东44°，则Q在P的（）A．东偏北46°B．东偏北44°C．西偏南44°D．南偏西44°4．（5分）两数1和4的等差中项和等比中项分别是（）A．5，2 B．5，﹣2 C．，4 D．，±25．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣3＜a﹣b＜1C．若a＞b＞0，m＞0，则D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd6．（5分）已知等差数列{a n}，若a1+a2=4，a3+a4=16，则该数列的公差为（）A．2 B．3 C．6 D．77．（5分）函数的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）已知△ABC满足c=2acosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．（5分）在等差数列{a n}中，若a4+a6=12，S n是数列{a n}的前n项和，则S9的值为（）A．48 B．54 C．60 D．6610．（5分）如图，为了测量隧道两口之间AB的长度，对给出的四组数据，求解计算时，较为简便易行的一组是（）A．a，b，γ B．a，b，α C．a，b，β D．α，β，a11．（5分）有一长为1km的斜坡，它的坡角为20°，现不改变坡的高度，填土将坡角改为10°，则斜坡变为（）A．2cos10°B．2sin10°C．cos20°D．112．（5分）若不等式ax2﹣2ax+1＞0 对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（）A．a≤0或a≥4 B．a≤0或a＞1 C．0≤a＜1 D．0≤a≤4二、填空题：本题共4小题，每小题5分（其中16题第一空2分，第二空3分），共20分．答案填在答题卡对应位置．13．（5分）比较大小：2+．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=a2n﹣1﹣1（n＞1），则a5=．15．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C=度．16．（5分）下列图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依次规律，在横线上方处画出与图5对应的图形；按图示的规律画下去，则第n个图的正方形个数a n可以是．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程写在答题卡对应位置．17．（10分）已知△ABC中，已知a=3，c=2，B=150°，求b及S△ABC．18．（10分）设z=2x+y，其中变量x和y满足条件，求z的最大值和最小值．19．（12分）在等比数列{a n}中，a5=162，公比q=3，前n项和S n=242，求首项a 1和项数n．20．（12分）在△ABC中，已知c=，b=1，B=30°，求角C，A和边a．21．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，S n=n2+n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求证：数列{a n}是等差数列（Ⅲ）设数列{b n}是首项为1，公比为的等比数列，求数列{a n•b n}的前n项和T n．22．（14分）某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额）．（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（盈利指的是纯利润总和要大于0）（Ⅱ）该投资商计划在年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂．问：需多少年后其年平均纯利润才可达到最大，此时共获利多少？2015-2016学年福建省福州市福清市东张中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案填在答题卡对应位置．1．（5分）不等式（x﹣5）（x+1）＞0的解集是（）A．（﹣5，1）B．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）C．（﹣1，5）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）【解答】解：∵（x﹣5）（x+1）＞0，∴或，解得x＞5或x＜﹣1，∴（x﹣5）（x+1）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．故选：D．2．（5分）已知正数数列{a n}满足a n+1=2a n，则此数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定数列的增减性=2a n，【解答】解：∵正数数列{a n}满足a n+1﹣a n=2a n﹣a n=a n＞0，∴a n+1＞a n，即数列{a n}为递增数列．∴a n+1故选：A．3．（5分）若P在Q的北偏东44°，则Q在P的（）A．东偏北46°B．东偏北44°C．西偏南44°D．南偏西44°【解答】解：若P在Q的北偏东44°，则Q在P的南偏西44°．故选：D．4．（5分）两数1和4的等差中项和等比中项分别是（）A．5，2 B．5，﹣2 C．，4 D．，±2【解答】解：根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为：根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2=1×4=4，G=±2故选：D．5．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣3＜a﹣b＜1C．若a＞b＞0，m＞0，则D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【解答】解：A．取c=0时，虽然a＞b，但是ac2=bc2；B．∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1，又﹣2＜a＜3，∴﹣4＜a﹣b＜2，故B不正确；C．∵a＞b＞0，∴，又∵m＞0，∴；D．虽然5＞2，﹣1＞﹣2，但是﹣5＜﹣4，故D不正确．综上可知：正确答案为C．故选：C．6．（5分）已知等差数列{a n}，若a1+a2=4，a3+a4=16，则该数列的公差为（）A．2 B．3 C．6 D．7【解答】解：由题意可知：a1+a2=4，a3+a4=a1+a2+4d=4+4d=16，解得d=3故选：B．7．（5分）函数的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：=x﹣1+1≥2+1=5当且仅当x﹣1=即当x=3时取“=”所以的最小值为5故选：B．8．（5分）已知△ABC满足c=2acosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【解答】解：在△ABC中，∵c=2acosB，∴由正弦定理==2R得：2RsinC=2•2RsinAcosB，∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，整理得：sin（A﹣B）=0，又A、B分别为△ABC的内角，∴A=B，∴△ABC的形状是等腰三角形，故选：A．9．（5分）在等差数列{a n}中，若a4+a6=12，S n是数列{a n}的前n项和，则S9的值为（）A．48 B．54 C．60 D．66【解答】解：在等差数列{a n}中，若a4+a6=12，则a5=6，S n是数列的{a n}的前n项和，∴=9a5=54故选：B．10．（5分）如图，为了测量隧道两口之间AB的长度，对给出的四组数据，求解计算时，较为简便易行的一组是（）A．a，b，γ B．a，b，α C．a，b，β D．α，β，a【解答】解：根据实际情况α、β都是不易测量的数据，在△ABC中，a，b可以测得，角γ也可测得，根据余弦定理能直接求出AB的长．故选：A．11．（5分）有一长为1km的斜坡，它的坡角为20°，现不改变坡的高度，填土将坡角改为10°，则斜坡变为（）A．2cos10°B．2sin10°C．cos20°D．1【解答】解：如图设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，即可求出斜坡长度，∵∠ABD=20°，∠C=10°，∴∠BAC=20°﹣10°=10°．∴AB=BC，∴BC=1，∴AC=2cos10°即斜坡变为2cos10°km．故选：A．12．（5分）若不等式ax2﹣2ax+1＞0 对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（）A．a≤0或a≥4 B．a≤0或a＞1 C．0≤a＜1 D．0≤a≤4【解答】解：当a=0时不等式ax2﹣2ax+1＞0 可化为1＞0恒成立；若a≠0，若不等式ax2﹣2ax+1＞0 对一切x∈R恒成立，则解得0＜a＜1综上0≤a＜1故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分（其中16题第一空2分，第二空3分），共20分．答案填在答题卡对应位置．13．（5分）比较大小：2＞+．【解答】解：（2）2=20=10+10=10+，（+）2=10+2=10+∵＞，∴2＞+．故答案为：＞14．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=a2n﹣1﹣1（n＞1），则a5=﹣1．【解答】解：由a1=1，a n=a2n﹣1﹣1（n＞1），得，，，．故答案为：﹣1．15．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C=120度．【解答】解：∵由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c，∴a：b：c=7：8：13，令a=7k，b=8k，c=13k（k＞0），利用余弦定理有cosC===，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故答案为120．16．（5分）下列图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依次规律，在横线上方处画出与图5对应的图形；按图示的规律画下去，则第n个图的正方形个数a n可以是a n=（n∈N+）．【解答】解：由题意得：第一个图形中小正方形的个数为1，第二个为1+2=3，第三个为1+2+3=6，第四个为1+2+3+4=10，…第n个图的正方形个数a n为：1+2+3+…+n=a n=（n∈N+）故答案为：a n=（n∈N+）．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程写在答题卡对应位置．17．（10分）已知△ABC中，已知a=3，c=2，B=150°，求b及S△ABC．【解答】解：由a=3，c=2，cosB=cos150°=﹣，根据余弦定理得：，∴b=7，又sinB=sin150°=，则．18．（10分）设z=2x+y，其中变量x和y满足条件，求z的最大值和最小值．【解答】解：作出可行域，如图…（4分）作出直线y=﹣2x，并平移当直线经过点C时z取最大值，解方程组，得C（2，﹣1）…（6分）此时最大值z=2×2﹣1=3…（7分）当直线经过点B时，z取最小值，解方程组得B（﹣1，﹣1…（9分）此时最小值z=﹣1×2﹣1=﹣3…（10分）19．（12分）在等比数列{a n}中，a5=162，公比q=3，前n项和S n=242，求首项a1和项数n．【解答】解：由已知，得解得a1=2．将a1=2代入可得即3n=243，解得n=5．∴数列{a n}的首项a1=2，项数n=5．20．（12分）在△ABC中，已知c=，b=1，B=30°，求角C，A和边a．【解答】解：由正弦定理，…（1分）得sinC==，…（3分）∵c＞b，C＞B．∴C=60°或120°．…（4分）当C=60°时，A=90°，a，则a=2，…（8分）当C=120°时，A=30°，a2=b2+c2﹣2bccosA=1，则a=1…（12分）或∵A=B=30°，则a=b=1．21．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，S n=n2+n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求证：数列{a n}是等差数列（Ⅲ）设数列{b n}是首项为1，公比为的等比数列，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，当n=1时，a1=S1=2，符合上式．综上，a n=2n，n∈N*；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a n=2n，=2（n+1），则a n+1﹣a n=2（n+1）﹣2n=2，故a n+1∴数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列；（Ⅲ）∵数列{b n}是首项为1，公比为的等比数列，∴b n=（）n﹣1；故数列{a n•b n}的前n项和T n=2•1+4•+6•+…+2n•（）n﹣1，T n=2•+4•+6•+…+2n•（）n，两式相减可得，T n=2（1++++…+（）n﹣1）﹣2n•（）n=2•﹣2n•（）n，化简可得，前n项和T n=8﹣（8+4n）•（）n．22．（14分）某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额）．（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（盈利指的是纯利润总和要大于0）（Ⅱ）该投资商计划在年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂．问：需多少年后其年平均纯利润才可达到最大，此时共获利多少？ 【解答】解：由题意知f （n ）=50n ﹣[12n +×4]﹣72=﹣2n 2+40n ﹣72，…（3分）（Ⅰ）由f （n ）＞0即﹣2n 2+40n ﹣72＞0得：2＜n ＜18 …（7分） 由n ∈N *知，从第三年开始盈利 …（8分） （Ⅱ）年平均纯利润=40﹣2（n +），当且仅当n=6时等号成立．…（11分） 故共获利6×16+48=144（万元），…（13分）答：需6年后其年平均纯利润才可达到最大，共获利144（万元）…（14分）。

相关文档
最新文档