《高等数学教学课件》9-5PPT资料27页

连续且具有连续导数的函数 y f ( x)，它满足条
件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式(1)
公式推导：因为函数y =f（x）， F [x,f(x)]0
两边求x导数得：
Fx
Fy
dy0 dx
dy dx
Fx Fy
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【例 1】 已知ln x2 y2 arctan y ，求 dy .
U (P 0 ,)使 , F z得 0 于是
z Fx x Fz
z Fy y Fz
【证完】
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【例
3】 设 x2
y2
z2
4z
0，求
2z x 2
.
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【解】 令 F (x ,y ,z ) x 2 y 2 z 2 4 z ,
则

Fx2x, Fz2z4,
z Fx x , x Fz 2z
[f3 2(siy)n f33exy]ex y f3exy
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一、一个方程的情形
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
三、小结 思考题
目的要求：了解隐函数存在定理，会求一个方程 确定的隐函数的导数，知道方程组确定隐函数的 导数的求法。
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x
把 x看成z, y的函数对 y 求偏导数得 x ，
y
把 y看成 x, z的函数对 z求偏导数得 y . z
z Fx
x
Fz
x Fy
y
Fx
y Fz
z
Fy
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【解】
则
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令 F ( x ,y ,z ) z f ( x y z ,x )yz
F x f1 f2 y,zF yf1 f2 x,z F z 1 f1 f2 x,y
并有
z Fx ，
z Fy .
x Fz
y Fz
隐函数的求导公式(2)
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公式推导如下
由F ( 于 x ,y,z) 0
zf(x,y)
F (x ,y ,fx ,y ) 0两端分别对x和y求导得
FxFzxz 0
Fy
Fz
z y
0
F z连续 F z(x 0,， y 0,z0) 且 0
把 z f (u, x, y) 中
的u及 xy看作不变而对yx
的偏导数
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【练习2】设 zf(sx i,cno y,es xy)求 , z,2z. x x y
【解】
z x
f1cosx
f3exy
2z (z) xy y x
cx o [f1 s 2 ( sy i)n f13exy]
x
dx
【解1】令 F(x,y)lnx2y2arcyt,an
x
则 Fx(x,y)xx2yy2, Fy(x,y)xy2xy2,
dy Fx x y . dx F y y x
【解2】据上册P113-116复合函数的求导法则
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【【说法明I】】若 dd2Fxy2(x,ddyx)(的 F Fxy二 )阶 ddF xx偏 FyF导 y2Fx数 ddF yx欲 仍求 dd连 ddxy 2xy2续 FF xy， 7
一、一个方程的情形
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1 . F (x,y)0
【隐函数存在定理 1】 设函数F ( x, y)在点
P0( x0 , y0 )的某一邻域①内具有连续的偏导数，且 ② F ( x0 , y0 ) 0，③Fy ( x0, y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0
在点 P0( x0 , y0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个
dx (yx)2
dx
2( (
x2 y2 y x)3
)
求隐函数的高阶导数时，要注意一阶导函数中仍含有隐函数 变量，求导过程中注意区别哪是自变量，哪是因变量即可；
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2 . F (x ,y ,z) 0
【隐函数存在定理 2】设函数F ( x, y, z)在点
P0( x0 , y0 , z0 )的某一邻域①内有连续的偏导数，
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2 z) x x
2z (2 z)2
zz(x,y)
(2 z)2 x2 (2 z)3 .
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【例 4】设z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y . x y z
【思路】 把z看成 x, y的函数对 x求偏导数得 z ，
dx
Fy
yx
d d2y2 xx(F Fx y)y(F Fx y)d dx y
F xF x y F y 2 F yF xxF xF yy F y 2 F yF yx( F F x y) FxF xy22FxF F yy3xFyFyF yx2
【此即】先用复合函数求导法则，再用商的求导公式.
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②且F ( x0 , y0 , z0 ) 0，③Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程
F ( x, y, z) 0在点 P0( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒 能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函
数z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
3.【中间变量既有一元又有多元函数的情形】
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【定理3 】 zf(u ,x,y)其中 u(x,y)
即 z f[(x ,y )x ,y ]变,量关系为：
z f uf .
y u y y
1
z f uf x u x x
z2 x
y
3
把 z f (u, x, y)
中 yx 的 看 作 不 变 而 对 xy
的偏导数
【例 2】已知ln
x2 y2 arctan y ，求 x
d2y. dx2
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【解】 令 F(x,y)lnx2y2arcyt,an
则 Fx(x,y)xx2yy2,
dy dx
Fx Fy
x y
y. x
Fy(x,y)xy2xxy2,
d2 y dx2
ddx
Fx Fy
d dx
x y
y x
(1d)y(yx)(xy)(dy1)
x Fx
yx
x
Fy yx
则ddF xxFxxFxyddxy
代入上式化简.
同理 ddF yxFyxFyyddxy
(该法比较常用)
【此即】先用商的求导公式,再用复合函数求导法则.
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【说明】若F(x,
y)的
二
阶偏 x
导
数欲 仍求 连 d2y续 dx2
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，
【法II】
dy ( Fx )