2019年中考数学专题复习小练习 专题13 二次函数的应用
2019年中考数学二次函数的应用专题(解析版)
2019年中考数学二次函数的应用专题(名师点拨中考必考知识点,建议下载打印练习)时间：45分钟 满分：100分一、单选题（共7题，每题4分；共28分）1．（2017•包头）已知一次函数y 1＝4x ，二次函数y 2＝2x 2＋2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y 1与y 2，则下列关系正确的是（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1≥y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 2【分析】首先判断直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x2＋2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．【解答】解：由2422y x y x =⎧⎨=+⎩消去y 得到：x 2－2x ＋1＝0， ∵△＝0，∴直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x 2＋2只有一个交点，如图所示 观察图象可知：．y 1≤y 2， 故答案：D ．2．（2018威海）如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －21x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝21x 刻画，下列结论错误的是( ) A ．当小球抛出高度达到7.5时，小球距O 点水平距离为3m B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势 C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．斜坡的坡度为1∶2【分析】根据二次函数图象和性质可解答【解答】解：：根据函数图象可知，当抛出的高度为7．5时，小球距离O 点的水平距离有两值（为3m 或5m ），A 结论错误；由y ＝4x －21x 2得y ＝－21（x －4）2＋8，则对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确；联立方程y ＝4x －12x 2与y ＝21x 解得⎩⎨⎧==00y x ，或⎪⎩⎪⎨⎧==277y x ；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7，27），C 结论正确；由点（7，27）知坡度为27∶7＝1∶2（也可以根据y ＝21x 中系数21的意义判断坡度为1∶2），D 结论正确； 故选A ．3．（2017•泰安）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为（ ）A ．19cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 2【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24，利用二次函数性质即可求出四边形PABQ 的面积最小值．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴AC=22BC AB =6cm ． 设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ， ∴S 四边形PABQ=S △ABC ﹣S △CPQ=21AC•BC ﹣21PC•CQ=21×6×8﹣21（6﹣t ）×2t=t2﹣6t+24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ 的面积取最小值，最小值为15． 故答案：C ．4．（2017•宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝2cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是( )A ．20cmB ．18cmC ．cmD ．cm【分析】根据已知条件得到CP ＝6－t ，得到PQ ＝＝＝，可得到结论．【解答】解：∵AP ＝CQ ＝t ，∴CP ＝6－t ，∴PQ ＝＝＝，∵0≤t ≤2，∴当t ＝2时，PQ 的值最小，∴线段PQ 的最小值是， 故答案：C ．5．（2017•临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t=92；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m ，其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．∴正确的有②③，故答案：B．6．（2018·哈尔滨）将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3【分析】先写成顶点式,根据抛物线解析式平称规律(对x:在括号内左加右减;对y在左边直接上减下加)或转化为点的坐标平移规律(左减右加上加下减)直接求解【解答】解：给的抛物线解析式可以看做顶点式，顶点为（0，1）平移可以看做是顶点在移动到（－1，－1），所以选A故答案：A．7．（2016•衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．故答案：B．二、填空题（共3题，每题4分；共12分）8．(2018·沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝______m 时，矩形ABCD 的面积最大． EACDBF【分析】利用二次函数增减性及最值解决实际问题．【解答】解：设AB ＝x m ，因此AB ＋EF ＋CD ＝3x ，所以AD ＝BC ＝90032x-，矩形ABCD 的面积设为y (平方米)，所以y ＝x·90032x -＝234502x x -+，由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，当x ＝2b a -＝34502()2⎡⎤-÷⨯-⎢⎥⎣⎦＝150时，函数y 取得最大值．．故答案：1509．（2017•阿坝州）如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为______．【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD ，PP′的长，求出面积即可．【解答】解：连接AP ，A′P′，过点A 作AD ⊥PP′于点D ，由题意可得出：AP ∥A′P′，AP=A′P′， ∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)，平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，∴PO=222222=+，∠AOP=45°，又∵AD ⊥OP ，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′=24222=⨯，∴AD=DO=sin45°•OA=223332=⨯，∴抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为：22324⨯=12．故答案：12．10．(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离y (单位：m )关于滑行时间t (单位：s )的函数解析式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是___________m . 【分析】会利用配方法把二次函数一般式表示成顶点式,利用二次函数最值解决实际问题 【解答】解： y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，即当t ＝20时，飞机停止滑行，此时滑行距离为600m ，当t ＝16时，y ＝576m ，故最后4s 滑行的距离是600－576＝24m . 故答案：24．三、解答题（共6题，每题10分；共60分）11．（2018·襄阳）襄阳精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为y ＝()()761202030mx m x x n x x ⎧-⎪⎨⎪⎩≤＜，为正整数，≤≤，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．（1）m ＝______，n ＝______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？【分析】（1）根据“第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克”可知，x ＝12时，y＝32；x＝26时，y＝25，将它们代入y关于x的函数解析式中即可求出m，n的值．（2）根据“在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克”可知，第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16，于是由“当天利润＝当天销售量×每千克的销售利润”求得W关于x的函数关系式，注意是分段函数，然后利用二次函数的最值问题和一次函数的增减性讨论求解．（3）就是要求出使W ≥870的整数x值有多少个，即为多少天．这需要根据（2）中的计算结果，结合二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式知识求解．【解答】解：（1）m＝－12，n＝25．（2）第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16．当1≤x＜20时，W＝(4x＋16)(－12x＋38－18)＝－2x2＋72x＋320＝－2(x－18)2＋968．∴当x＝18时，W最大值＝968．当20≤x≤30时，W＝(4x＋16)(25－18)＝28x＋112．∵28＞0，∴W随x的增大而增大．∴当x＝30时，W最大值＝952．∵968＞952，∴当x＝18时，W最大值＝968．即第18天当天的利润最大，最大利润为968元．（3）当1≤x＜20时，令－2x2＋72x＋320＝870，解得x1＝25，x2＝11．∵抛物线W＝－2x2＋72x＋320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870．∴11≤x＜20．∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元．当20≤x≤30时，令28x＋112≥870，解得x≥27114．∴27114≤x≤30．∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元．综上所述，当天利润不低于870元的共有12天．12．（2018威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元，该产品每月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系如图所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式； (2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？【分析】：（1）先用待定系数法求出直线AB 与BC 的函数表达式，然后在4≤x ≤6与6≤x ≤8时，根据“每月利润＝销售单价×每月销售量－工资及其他费用”列出W 与x 之间的函数表达式；（2）先求出每月的最大利润，然后求出最快还款的时间．【解答】解：(1)设直线AB 的函数表达式为y AB ＝kx ＋b ，代入A （4，4），B （6，2），得 4426k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得18k b =-⎧⎨=⎩．∴直线AB 的函数表达式为y AB ＝－x ＋8． 设直线BC 的函数表达式为y BC ＝k 1x ＋b 1，代入B （6，2），C （8，1），得 11112618k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得11125k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为y BC ＝－21x ＋5． 工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元）．当4≤x ≤6时，∴()()1483W x x =--+-，即211235W x x =-+-． 当6≤x ≤8时，∴()214532W x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即2217232W x x =-+-．(2)当4≤x ≤6时，()221123561W x x x =-+-=--+，∴当6x =时，1W 取得最大值1．当6≤x ≤8时，()2221137237222W x x x =-+-=--+，∴当x ＝7时，2W 取得最大值1.5．∴1020261.533==，即第7个月可以还清全部贷款．13(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2ax －3a(a ＜0)与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ．（1）当a＝－1时，抛物线顶点D的坐标为________，OE＝________；（2）OE的长是否与a值无关，说明你的理由；（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的下方作等腰直角三角形PDE．设P(m，n)，直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【分析】（1）当a＝－1时，得到抛物线的解析式，求出相应顶点D和与y轴的交点坐标；进而求出OE的长；（2）与（1）类似，将字母a当作已知数即可；（3）分别求出β＝45°和β＝60°时a的值，进而确定a的取值范围；（4）利用等腰直角三角形构造三角形全等(或一线三直角)，得出m与n的关系式．【解答】解：（1）(－1，4)，3；（2）OE长与a值无关．理由：如图①，∵y＝ax2＋2ax－3a，∴C(0，－3a)，D(－1，－4a)．∴直线CD的解析式为y＝ax－3a．当y＝0时，x＝3．∴OE＝3．∴OE的长与a值无关．（3）当β＝45°时，在Rt△OCE中，OC＝OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝3．∴a ＝－1．当β＝60°时，在Rt△OCE中，OC＝3OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝33．∴a＝－3．∴当45°≤β≤60°时，－3≤x≤－1．（4）n＝－m－1(m＜1)．(如图②)过点P向抛物线的对称轴作垂线，过点P向x轴作垂线，垂足分别为M、N．则∠MPN＝90°．∴∠NPE＋∠MPE＝90°．∵△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，∠DPE＝90°；∴∠DPM＋∠MPE＝90°，∴∠DPM＝∠NPE，∴Rt△DPM ≌Rt△EPN，∴PM＝PN．∵P(m，n)，D(－1，－4a)，E(3，0)，∴－1－m＝n．即n＝－m －1(m＜1)．14（2018河南)如图，抛物线y ＝ax 2＋6x ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x －5经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）先利用一次函数解析式计算出B ，C 两点的坐标，再代入y ＝ax 2＋6x ＋c 中即可求得抛物线的解析式；（2） ①当A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，注意要分“点P 在直线BC 上方”和“点P 在直线BC 下方”两种情况进行讨论求解；②提示：作AC 的垂直平分线，交BC 于点1M ，连接1AM ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，将1ANM ∆沿AN 翻折，得到2ANM ∆，点1M 、2M 的坐标即为所求．【解答】解：（1）∵直线5y x =-交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，∴ B(5，0)，C(0，－5)．图②Q图①∵抛物线26y ax x c =++过点B ，C ，∴025305a c c =++⎧⎨-=⎩，∴15a c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：265y x x =-+-．（2）∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线265y x x =-+-交x 轴于A ，B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥BC ，∴AM ＝，∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝，过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD PQ ＝4．设P(m ，265m m -+-)，则D(m ，5m -)．分两种情况讨论如下：(ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，PD ＝()2265554m m m m m -+---=-+=，∴11m =(舍去)，24m = (ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，PD ＝()2256554m m m m m ---+-=-=，∴1m =，2m =．综上，点P 的横坐标为4． ②M(136，176-)或(236，76-)． 15（2018•日照）如图，已知点A （－1，0），B （3，0），C （0，1）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上求一点P ，使△PBC 面积为1；（3）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使∠BQC ＝∠BAC ？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式；（2）作PD⊥x轴交直线BC于D，将△PBC转化为S△PDC＋S△PDB列方程求解；（3）由∠BQC＝∠BAC推出点Q在△ABC外接圆上，外接圆圆心是弦AC与对称轴的交点，从而确定外接圆圆心坐标及半径长，进而求得点Q坐标．【解答】解：（1）把点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）代入y＝ax2＋bx＋c，得0 9301a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得13231aac⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以抛物线的解析式为y＝－13x2＋23x＋1．（2）∵B（3，0），C（0，1），∴直线BC的解析式为y＝－13x＋1．过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于D．设P(x，－13x2＋23x＋1)，则D(x，－13x＋1)．∴PD＝－13x2＋23x＋1－(－13x＋1)＝－13x2＋x．∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝12PD(x B－x C)＝12(－13x2＋x)(3－0)＝－12x2＋32x．又∵S△PBC＝1，∴－12x2＋32x＝1，∴x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2．∴P1（1，43），P2（2，1）．（3）答：存在．理由：如图，∵A（－1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°．∵∠BAC ＝∠BQC，∴∠BQC＝45°．∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，∵线段AC的垂直平分线为直线：y＝－x，线段AB的垂直平分线为：x＝1．∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，即M（1，－1），∴∠BMC＝2∠BQC＝90°，又∵MQ＝MB＝Ry Q＝－（11Q在直线x＝1上，∴x Q ＝1，∴Q （1，－1．16．. (2018福建)已知抛物线2y ax bx c =++过点A （0,2），且抛物线上任意不同两点11(,)M x y ,22(,)N x y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<，以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，△ABC 有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN 与直线y ＝-平行，且M ，N 位于直线BC 的两侧，12y y >，解决以上问题：①求证：BC 平分∠MBN ；②求△MBC 外心的纵坐标的取值范围．【分析】（1）依据题中已知条件可知抛物线的增减性变化特征为当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．此时b ＝0，c ＝2，即可得到抛物线的解析式；（2）①先根据点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，求出直线MN 的解析式，然后分别构造Rt △BEM 与Rt △BFN ，求出tan ∠MBE 与tan ∠NBF 的值，从而得到∠MBE ＝∠MBE 即可．②先确定△MBC 外心位置，然后利用垂直平分线的性质和勾股定理求解．【解答】解：（1）∵抛物线过点A （0,2），∴c ＝2，当120x x <<时，120x x -<，由1212()()0x x y y -->得120y y -<，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；同理可得，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．∴抛物线的对称轴为y 轴且开口向下，则b ＝0．∵O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，∴△ABC 是等腰三角形，又∵△ABC 有一个内角为60°，故△ABC 为等边三角形，且OC ＝OA ＝2．设线段BC 与y 轴的交点为D ，则BD ＝CD ，且∠OBD ＝30°，所以BD ＝OB·cos30°，OD ＝OB·sin30°＝1，∵点B 在点C 的左侧，所以点B坐标为(1)-．∵点B 在抛物线2y ax bx c =++上，且c ＝2,b ＝0,所以3a+2＝－1,解得a ＝－1，所以所求抛物线的解析式为22y x =-+．（2）①由（1）知，点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，∵MN 与直线y＝-平行，设直线MN 的解析式为y＝m -+，则212x -+＝1m -+，即m＝2112x -++，∴直线MN 的解析式为2112y x =-++，将2112y x =-++代入22y x =-+得，2211x x -=-+化为221((x x +=，解得1x x =-，或1x x =-，∴21x x =-，则2y＝21(2x --+＝21110x -+-，作ME ⊥BC ，NF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，∵点M ，N 位于直线BC 的两侧，且12y y >，则2112y y <-<≤，且12x x <<，∴ME ＝1y －（－1）＝213x -+，BE＝1(x -＝1x +， NF ＝（－1）－2y＝2119x -+，BF＝21(x x -=-， 在Rt △BEM 中，tan ∠MBE ＝ME EB＝211133x x x -+=-+, 在Rt △BFN 中，tan ∠NBF ＝NF BF1x ===, ∵tan ∠MBE ＝ tan ∠NBF ，∴∠MBE ＝ ∠NBF ，即BC 平分∠MBN ．②∵y 轴为BC 的垂直平分线，∴可设△MBC 的外心为P （0，0y ），则PB ＝PM ，即22PB PM =．由勾股定理可得22220101(1)()y x y y ++=+-因为2112x y =-，∴220010124(2)()y y y y y ++=-+-，即1012y y =-．由①知，112y -<≤，∴0302y -<≤，即△MBC 的外心的纵坐标的取值范围为0302y -<≤．。
安徽省2019年中考数学总复习-第三章-函数-第五节-二次函数的应用课件
【自主解答】解: (1)设AE＝a，
由题意得AE·AD＝2BE·BC，AD＝BC，
∴BE＝ 1 AE＝ 1 a，AB＝AE＋BE＝ 3 a.
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由题意得2BC＋3AE＋2BE＝80，
∴2x＋3a＋2· 1 a＝80，∴a＝20－ 1 x，
2
2
∵BC＝x>0，AE＝a＝20－ 1 x>0，∴0<x<40，
【自主解答】(1)∵二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)
与B(6，0)，∴
(2)由(1)知，二次函数解析式为:
y＝－ x2＋3x，如解图，过点A 作x轴的1 垂线，垂足为点D(2，0)，
2
连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，点F，
∵点C在抛物线y＝－ 1 x2＋3x上,
(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？ (2)如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间 的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利 润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润 最大？ 最大利润是多少元？ (利润＝出厂价－成本)
解: (1)∵6×34＝204(只)， ∴前六天中第6天生产的粽子最多达到204只， 将y＝280代入，20x＋80得: 20x＋80＝280， 解得x＝10. 答: 第10天生产的粽子数量为280只．
增大而增大,
∴当x＝10时, 最大值为560元； 当10＜x≤20时, w＝(4－ 1 x－1)(20x＋80)＝－2x2＋52x
10
＋240,
对称轴为直线x＝13，在10＜x≤20内，将x＝13代入得w＝ 578元. 综上所述，w与x的函数表达式为 第13天的利润最大，最大利润为578元.
第13讲 二次函数及其应用 2019各省市中考数学优选知识点题型汇编
第13讲 二次函数及其应用一、考点知识梳理【考点1 二次函数的图像及性质】1.二次函数的概念：一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系，可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a ≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项． 2．三种表示方法：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标． 3．三种表达式之间的关系 顶点式――→确定一般式――→因式分解两点式 4.图像性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)a ＞0时开口向上， 对称轴：直线x ＝－b 2a ，顶点坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，增减性：在对称轴的左侧，即x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而增大，简记为“左减右增”a ＜0时开口向下，对称轴：直线x ＝－b 2a ，顶点坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a ，增减性：在对称轴的左侧，即当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而减小，简记为“左增右减”【考点2 二次函数的实际应用】1.二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用．2.出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景．3.设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案．【考点3 二次函数的图像与方程的关系】二次函数与一元二次方程的关系：1．当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根．2．当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．3．当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根．【考点4 二次函数的图像与几何图形的关系】1.平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．平移步骤：(1)将抛物线表达式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．2.二次函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据．【考点5 二次函数的图像其它函数的关系】二次函数与一次函数、二次函数与反比例函数、两个二次函数之间的关系是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。
2019年中考数学专题复习小训练专题13二次函数的应用
专题13 二次函数的应用1．2017·德州随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；(2)求出水柱的最大高度．图Z13－12．2017·泰州怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？(2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A 种菜品售价每降低0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？3．2017·潍坊工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将矩形铁皮的四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)在图Z13－2中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求出当长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形的边长是多少．(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，当裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低为多少？图Z13－24．2018·菏泽如图Z13－3，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x 轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的表达式；(2)E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；(3)若P是直线AB下方的抛物线上的一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．图Z13－3详解详析1．解：(1)答案不唯一．如图所示，以喷水管与地面交点为原点，原点与任一水柱落地点所在直线为x 轴，喷水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线的函数表达式为y ＝a(x －1)2＋h ，将(0，2)和(3，0)代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋h ＝2，4a ＋h ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，h ＝83， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－23(x －1)2＋83， 即y ＝－23x 2＋43x ＋2. (2)∵y ＝－23(x －1)2＋83， ∴当x ＝1时，y 最大值＝83， 即水柱的最大高度为83米． 2．解：(1)设该店每天卖出A ，B 两种菜品分别为x 份、y 份．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋18y ＝1120，（20－14）x ＋（18－14）y ＝280， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝40. 20＋40＝60(份)．答：该店每天卖出这两种菜品共60份．(2)设A 种菜品售价降低0.5a 元，则每天卖出(20＋a)份，总利润为w 元．因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B 种菜品每天卖出(40－a)份，每份售价提高0.5a 元． w ＝(20－14－0.5a)(20＋a)＋(18－14＋0.5a)(40－a)＝(6－0.5a)(20＋a)＋(4＋0.5a)(40－a)＝(－0.5a 2－4a ＋120)＋(－0.5a 2＋16a ＋160)＝－a 2＋12a ＋280＝－(a －6)2＋316.当a ＝6时，w 最大值＝316.答：这两种菜品一天的总利润最多是316元．3．解：(1)如图所示．设裁掉的正方形的边长是x dm .由题意，得(10－2x)(6－2x)＝12，即x 2－8x ＋12＝0，解得x ＝2或x ＝6(舍去)．答：裁掉的正方形的边长是2 dm .(2)设裁掉的正方形的边长是x dm .∵长方体的底面长不大于底面宽的5倍，∴10－2x ≤5(6－2x)，解得x ≤2.5，∴0＜x ≤2.5.设总费用为w 元，由题意可知w ＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x 2－48x ＋120＝4(x －6)2－24.∵函数图象的对称轴为直线x ＝6，开口向上，∴当0＜x ≤2.5时，w 随x 的增大而减小，∴当x ＝2.5时，w 有最小值，为25.答：当裁掉的正方形边长为2.5 dm 时，总费用最低，最低为25元．4．解：(1)把B(－5，0)和C(1，0)代入y ＝ax 2＋bx －5，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝25a －5b －5，0＝a ＋b －5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋4x －5.(2)∵A(0，－5)，AD ∥x 轴，点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，∴点E 的纵坐标为5， ∴点E 到直线AD 的距离为10.把y ＝－5代入y ＝x 2＋4x －5，得－5＝x 2＋4x －5，解得x 1＝－4，x 2＝0，∴D(－4，－5)，∴AD ＝4，∴S △EAD ＝12×4×10＝20. (3)设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b 1，把B(－5，0)和A(0，－5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－5k ＋b 1＝0，b 1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b 1＝－5， ∴直线AB 的表达式为y ＝－x －5.设点P 的坐标为(m ，m 2＋4m －5)，其中－5<m<0.过点P 作PQ ∥y 轴，交直线AB 于点Q ，∴Q(m ，－m －5)．∵P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，∴PQ ＝－m －5－(m 2＋4m －5)＝－m 2－5m.设△ABP 的面积为S ，连接AP ，BP ，∴S ＝S △APQ ＋S △BPQ ＝12×(－m 2－5m)×(－m)＋12×(－m 2－5m)×(m ＋5)＝－52(m ＋52)2＋1258， ∴当m ＝－52时，S 最大，5 2，－354)时，△ABP的面积最大，最大面积为1258.即当点P的坐标为(－。
中考数学复习专题训练 二次函数的综合应用(含解析)
中考数学复习专题训练二次函数的综合应用一、选择题1.下列函数是二次函数的是（ ）A. y=2x+1B. y=﹣2x+1C. y=x2+2D. y=x﹣22.函数y=（m﹣3）x|m|﹣1+3x﹣1是二次函数，则m的值是（ ）A. ﹣3B. 3C. ±2D. ±33.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么（）A. a＞0，b＞0，c＞0B. a＞0，b＞0，c=0C. a＞0，b＞0，c＜0D. a＞0，b＜0，c=04.如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是( )A. （1，0）B. （0，1）C. （0，-1）D. （-1，0）6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A. y （x﹣2）2+3B. y= （x﹣2）2﹣3C. y=﹣（x﹣2）2+3D. y=﹣（x﹣2）2﹣37.如图，已知二次函数y1= x2﹣x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A. 0＜x＜2B. 0＜x＜3C. 2＜x＜3D. x＜0或x＞38. 设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A. a（x1﹣x2）=dB. a（x2﹣x1）=dC. a（x1﹣x2）2=dD. a（x1+x2）2=d9.二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A. B. C. 3 D. 411.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）A. -B. 或-C. 2或-D. 2或或-12.现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）A. B. C. D.二、填空题13.若函数y=（m+2）是二次函数，则m=________14.抛物线y= （x﹣4）2+3与y轴交点的坐标为________．15.已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），则该抛物线的解析式为________．16.二次函数y=x2+4x+5中，当x=________时，y有最小值．17.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；其中正确的有________．（填正确结论的序号）18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线，且经过点（-3，y1），（4，y2），试比较y1和y2的大小：y1________y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．19.如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是________．20.如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为________ ．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题21.已知抛物线y= x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．22.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象。
中考数学专题复习资料-二次函数
专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。
抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与性质（1）对称轴：2b x a=-（2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ） （4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大； 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式。
（1）一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式 2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
（2）b ——对称轴与a 左同右异。
（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ） 5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax 2+bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。
2019届冀教版中考《第13讲二次函数的应用》知识梳理
第13讲二次函数的应用若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位③根据图象，结合所求的值是否在自变量的取值范围内，并求提出的实际问题“的取值是否在自变量的取值范围内几何图形的关系式确定二次函数解析式；由于面积等于两条边的乘积，2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是（）A.小青B.小何C.小夏D.小雨2．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，点P是BC边上的动点，连接PA、PD．则PA+PD的最小值为（）1 D.33．某公司招聘考试分笔试和面试，其中笔试按60%，面试按40%计算加权平均数作为总成绩，小红笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么小红的总成绩为( )A．80分B．85分C．86分D．90分4．下列运算中，正确的是（）A．（﹣x）2•x3＝x5B．（x2y）3＝x6yC．（a+b）2＝a2+b2D．a6+a3＝a25．长为10米的木杆斜靠在墙壁上，且与地面的夹角∠OBA＝60°，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆AB的中点P也随之下落，则点P下落的路线及路线长为（）A.线段，5B.线段，C.以点O为圆心，以AB为半径的一段弧，弧长为D.以点O为圆心，以OP为半径的一段弧，弧长为6．实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b=0，那么下列结论错误的是A ．|a|=|b|B ．a+c ＞0C ．ab=–1 D ．abc ＞07．大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列计算正确的是（ ） A.224·x x x -= B.()224x x -=C.234·x x x =D.()222m n m n -=-9．如图，在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，10AB =，那么以A 为圆心、6为半径的⊙A 与直线BC 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定10．如图，已知⊙O 的半径为6cm ，两弦AB 与CD 垂直相交于点E ，若CE ＝3cm ，DE ＝9cm ，则AB ＝（ ）cm 11．由5个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．主视图的面积最小B ．左视图的面积最小C ．俯视图的面积最小D ．三个视图的面积相等12．如图直线y ＝mx 与双曲线y=kx交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．有一种动画设计，屏幕上的长方形ABCD是黑色区域（含长方形的边界），其中A（﹣1，1）、B（2，1）、C（2，2），D（﹣1，2），用信号枪沿直线y＝kx﹣2发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的k的取值范围是_____．14．已知 5 个数据：8，8，x，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 __________．15．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.16．如图，在⊙O中，圆周角∠ACB＝150°，弦AB＝4，则扇形OAB的面积是_____．17．如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A 落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF=20°，则∠BED的度数为_______°．18．点A（x，y）关于x轴的对称点坐标为（﹣3，﹣4），则点A坐标是_____．三、解答题19．如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1，②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2，③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3，④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4．…（1）请写出：算式⑤；算式⑥；（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n﹣1和2m+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．20．如图，AE与CD交于点O，∠A=40°，OC=OE，∠C=20°，求证：AB∥CD．21．某公园内有一如图所示地块，已知∠A＝30°，∠ABC＝75°，AB＝BC＝8米，求C点到人行道AD的距离（结果保留根号）．22．如图①，已知△ABC中，AB＝AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G点．（1）则线段CG、PM、PN三者之间的数量关系是；（2）如图②，若点P在BC的延长线上，则线段CG、PM、PN三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；（3）如图③，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且AE＝AD，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM ⊥AC于点M，若正方形ABCD的面积是12，请直接写出PM+PN的值．23．先化简，再求值：2422x x x +--，其中x ﹣2． 24．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．（1）求作∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于P ，Q 两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，过点P 画PE ∥AC 交BC 边于E ，联结EQ ，则四边形APEQ 是什么特殊四边形？证明你的结论．25．如图，CD 是⊙O 的直径，点A 为圆上一点不与C ，D 点重合，过点A 作⊙O 的切线，与DC 的延长线交于点P ，点M 为AP 上一点，连接MC 并延长，与⊙O 交于点F ，E 为CF 上一点，且MA ＝ME ，连接AE 并延长，与⊙O 于点B ，连接BC ，AC ． （1）求证：BC ＝BF ； （2）若PC•PD＝7，求AP 的长．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．k≤﹣3或k≥32．14．或 10 15．116．8 317．8018．（3。
中考数学专题复习 第十三讲二次函数的应用(共69张PPT)
t01 2 3 4 5 6 7…
h08
1 4
1 8
2 0
2 0
1 8
1 4
…
下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球
飞行路线的对称轴是直线t= 9 ;③足球被踢出9s时落
2
地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m.其中
正确结论的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.由表格可知抛物线过点(0,0),(1,8), (2,14),设该抛物线的解析式为h=at2+bt,将点(1,8), (2,14)分别代入,得:a+b=8,4a+2b=14, 即 a4ab2b8解，1得4. :a=-1,b=9.
3
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(2)由(1)知抛物线解析式为y=- 2 (x-1)2+ 8
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(0≤x≤3).
当x=1时,y=8 .
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所以抛物线水柱的最大高度为 8 米.
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【答题关键指导】 利用二次函数解决实际问题的步骤 (1)根据题意,列出抛物线表达式,或建立恰当的坐标 系,设出抛物线的表达式,将实际问题转化为数学模型. (2)列出函数表达式后,要标明自变量的取值范围.
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考点二 利用二次函数解决最优化问题 【示范题2】(2017·济宁中考)某商店经销一种学生 用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场 调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价 x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩 包每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式. (2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利 润最大?最大利润是多少元? (3)如பைடு நூலகம்物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售 利润,销售单价应定为多少元?
2019年中考数学专题复习小练习专题13二次函数的应用
专题13 二次函数的应用1．2018·安徽小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元．②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1(单位：元)，W2(单位：元)．(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W(单位：元)最大，最大总利润是多少？2．2018·衢州某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图Z－13－1所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．图Z－13－13．2018·金华、丽水如图Z－13－2，抛物线y＝ax2＋bx(a<0)过点E(10，0)，矩形ABCD 的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在该抛物线上．设A(t，0)，当t＝2时，AD＝4.(1)求抛物线的函数解析式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直．线．GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．图Z－13－2详解详析1．解：(1)W 1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x 2＋60x ＋8000， W 2＝19(50－x)＝－19x ＋950.(2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2＋41x ＋8950＝－2(x －414)2＋732818.∵x 取整数，∴由二次函数的性质知当x ＝10时，W 最大＝－2×102＋41×10＋8950＝9160(元)．2．解：(1)∵抛物线的顶点为(3，5)，∴设y ＝a(x －3)2＋5， 将(8，0)代入得a ＝－15，∴y＝－15(x －3)2＋5(或y ＝－15x 2＋65x ＋165)(0<x<8)．(2)当y ＝1.8时，即1.8＝－15x 2＋65x ＋165，解得x 1＝7，x 2＝－1(不合题意，舍去)． 答：王师傅必须站在离水池中心7米以内．(3)由y ＝－15(x －3)2＋5可得原抛物线与y 轴的交点为(0，165)．∵装饰物高度不变，∴新抛物线也经过点(0，165)．∵喷出水柱的形状不变，∴a＝－15.∵直径扩大到32米，∴新抛物线过点(16，0)． 设新抛物线为y 新＝－15x 2＋bx ＋c ，将(0，165)和(16，0)代入得b ＝3，c ＝165，∴y 新＝－15x 2＋3x ＋165，∴y 新＝－15(x －152)2＋28920，当x ＝152时，y 最大＝28920.答：扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米．3．解：(1)设抛物线的函数解析式为y ＝ax(x －10)． ∵当t ＝2时，AD ＝4，∴点D 的坐标是(2，4)． ∴4＝a×2×(2－10)，解得a ＝－14，∴抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋52x.(2)由抛物线的对称性得BE ＝OA ＝t ，∴AB＝10－2t. 当x ＝t 时，y ＝－14t 2＋52t.∴矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋AD)＝2[(10－2t)＋(－14t 2＋52t)]＝－12t 2＋t ＋20＝－12(t－1)2＋412.∵－12＜0，∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值是412.(3)当t ＝2时，点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)， ∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为(5，2)．当平移后的抛物线过点A 时，点H 的坐标为(4，4)，此时GH 不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C 时，点G 的坐标为(6，0)，此时GH 也不能将矩形面积平分； 当G ，H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不可能将矩形面积平分； 当点G ，H 分别落在线段AB ，DC 上，直线GH 过点P 时，必平分矩形ABCD 的面积． ∵AB∥CD，∴线段OD 平移后得到线段GH ， ∴线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P.在△OBD 中，PQ 是中位线，∴PQ＝12OB ＝4.∴抛物线向右平移的距离是4个单位长度．。
中考数学复习----《二次函数之实际应用》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《二次函数之实际应用》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题。
解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围。
2.几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论。
3.构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题。
练习题1、（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：解法一：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，∵S△ABC＝•AC•BH，∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为×4×4＝8；解法二：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，AD＝y，则x2+y2＝16，∴S＝•BC•AD＝•2x•y＝xy，∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy≥0，∴16﹣2xy≥0，∴xy≤8，∴当且仅当x＝y＝2时，菜园最大面积＝8米2；方案3：半圆的半径＝米，∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；故选：C ． 2、（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m 高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm ，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym ，y 与x 的函数关系式为y ＝2213212++−x x （0≤x ≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m 时，竖直高度达到最大值．【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．【解答】解：y ＝x 2+x +2＝﹣（x ﹣8）2+4，∵﹣＜0， ∴当x ＝8时，y 有最大值，最大值为4，∴当她与跳台边缘的水平距离为8m 时，竖直高度达到最大值．故答案为：8．3、（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是y ＝﹣121x 2+32x +35，则铅球推出的水平距离OA 的长是 m ．【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，OA 的长就是抛物线与x 轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y ＝0求出相应的x 的值，即可得到OA 的长．【解答】解：∵y ＝﹣x 2+x +，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案为：10．4、（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：2．5、（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．6、（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．7、（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．8、（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝s．【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．9、（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．10、（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O 点3m．那么喷头高m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．。
2019年中考数学二次函数的综合运用专题卷(含答案)
2019年中考数学二次函数的综合运用专题卷（含答案）一、解答题（共2题；共15分）1.如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C 在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB 于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(－3,0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．(1)求m的值及抛物线的函数表达式；(2)若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；(3)是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)在(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1)，M2(x2,y2)两点，试问是否为定值，如果是，请直接写出结果，如果不是请说明理由．二、综合题（共20题；共310分）3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y= x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．5.如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．6.如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．7.已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．8.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．9.如图，抛物线y=﹣x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．11.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．12.已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？13.抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．14.如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．15.（2016•泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3 ），B（4，0）两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．16.如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF= ，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．17.如图，直线y=﹣x+2 与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．18.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．21.如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．22.如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、解答题1.（1）解：把点C（6，）代入抛物线得:=9++c.解得c=-3.当y=0时，x2+x-3=0.解得：x1=-4,x2=3.∴A(-4,0).设直线AC的函数表达式为：y=kx+b(k≠0）.把A(-4,0)，C（6，）代入得：解得：∴直线AC的函数表达式为：y=x+3.（2）①证明：∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==.在Rt△AOB中，tan∠OAD==.∴∠OAB=∠OAD.∵在Rt△POQ中,M为PQ中点.∴OM=MP.∴∠MOP=∠MPO.又∵∠MOP=∠AON.∴∠APM=∠AON.∴△APM∽△AON.②解：如下图，过点M作ME⊥x轴于点E.∵OM=MP.∴OE=EP.又∵点M的横坐标为m.∴AE=m+4,AP=2m+4.∵tan∠OAD=.∴cos∠EAM=cos∠OAD=.∴AM=AE=.∵△APM∽△AON.∴=.∴AN==.2.解：（1）∵y=x+m经过点（-3，0），∴0=+m，解得m=，∴直线解析式为y=x+，C（0，）．∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（-3，0），∴另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（-5），解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+x+；（2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．(3) （3）存在设Q(x, x2+x+)①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE，得x=5.2②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，得x=8.2∴Q的横坐标为5.2 ，7.2(4)令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，则直线的解析式是：y=kx+3-k，∵y=kx+3-k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，∴x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．∵y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，∴y1-y2=k（x1-x2）．根据两点间距离公式得到：==∴==4（1+k2）．又==；同理∴===4（1+k2）．∴M1P•M2P=M1M2，∴=1为定值．二、综合题3.（1）解：∵y= x2﹣x﹣，∴y= （x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y= ．∴E（4，）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k= ，b= ．∴直线AE的解析式为y= x+ ．（2）解：设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣= ，解得：m= ．∴直线CE的解析式为y= x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）= x2+ x．∴△EPC的面积= ×（x2+ x）×4=﹣x2+ x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．∵点G与点K关于CD对称，∴点G（0，0）．∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH= =3．∴KM+MN+NK的最小值为3．（3）解：如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG= = ．∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF=GQ时，点F与点Q″关于y= 对称，∴点Q″（3，2 ）．当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a+ = ，解得：a=﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2 ）或（3，﹣）．4.（1）解：将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+ x+4（2）解：设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．∵B（﹣2，0），C（8，0），∴BC=10，在y=﹣x2+ x+4中令x=0，可解得y=4，∴点A（0，4），OA=4，∴S△ABN= BN•OA= （n+2）×4=2（n+2），∵MN∥AC，∴，∴= = ，∴，∵﹣＜0，∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大（3）解：当N（3，0）时，N为BC边中点，∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM= AB，∵AB= = =2 ，AC= = =4 ，∴AB= AC，∴OM= AC5.（1）解：在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）解：在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD= ×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x= ，∴E（，0），∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）解：∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a= ，此时抛物线解析式为y= x2﹣2 x+ ；综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2 x+ ．6.（1）解：∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3（2）解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC= = ，MP=|t+1|，PC= =2 ，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t= ，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2 ，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2 ，解得t=﹣1+2 或t=﹣1﹣2 ，此时M（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）（3）解：如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB= EF•OD+ EF•BD= EF•OB= ×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+ ，∴当x= 时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，﹣），即当E点坐标为（，﹣）时，△CBE的面积最大7.（1）解：将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，，解得：，∴抛物线的解析式为y= x2﹣x．（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（﹣1，1）代入y=kx+m中，即﹣k+m=1，∴k=m﹣1，∴直线AF的解析式为y=（m﹣1）x+m．联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得：，，∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（2m，0）．∵抛物线的解析式为y= x2﹣x= x（x﹣1），∴点E的坐标为（1，0）．设直线AE的解析式为y=k1x+b1，将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中，，解得：，∴直线AE的解析式为y=﹣x+ ．设直线FH的解析式为y=k2x+b2，将F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中，，解得：，∴直线FH的解析式为y=﹣x+m．∴FH∥AE．（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中，，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+2．当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示．∵QM=2PM，∴= = ，∴QM′= ，MM′= t，∴点M的坐标为（t﹣，t）．又∵点M在抛物线y= x2﹣x上，∴t= ×（t﹣）2﹣（t﹣），解得：t= ；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t﹣4，2t），∵点M在抛物线y= x2﹣x上，∴2t= ×（t﹣4）2﹣（t﹣4），解得：t= ．综上所述：当运动时间为秒、秒、秒或秒时，QM=2PM．8.（1）解：∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，∴，∴，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5（2）解：如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5 ，要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，①当时，CD=AB=6，∴D（0，1），②当时，∴，∴CD= ，∴D（0，），即：D的坐标为（0，1）或（0，）（3）解：设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+ ，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，= CE•HF=﹣2（t﹣）2+ ，∴S四边形CHEF当t= 时，四边形CHEF的面积最大为（4）解：如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），∴直线K'M'的解析式为y= x﹣，∴P（，0），Q（0，﹣）．9.（1）解：当y=0时，0=﹣x2+ x+2，解得：x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）（2）解：①过点D作DE⊥x轴于点E，∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，∴D（3，﹣2）；②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴AC=BD，AD=BC，∴四边形ADBC是平行四边形，∵AC= = ，BC= =2 ，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四边形ADBC是矩形（3）解：由题意可得：BD= ，AD=2 ，则= ，当△BMP∽△ADB时，= = ，可得：BM=2.5，则PM=1.25，故P（1.5，1.25），当△BMP1∽△ABD时，P1（1.5，﹣1.25），当△BMP2∽△BDA时，可得：P2（1.5，5），当△BMP3∽△BDA时，可得：P3（1.5，﹣5），综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）10.（1）解：∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x+2（2）解：①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+ m+2），∴PM=﹣m+2，PA=3﹣m，PN=﹣m2+ m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴BN=OM=m，∴= ，即= ，解得m=0（舍去）或m=2，∴M（2，0）；当∠NBP=90°时，则有= ，∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），∴BP= = m，AP= = （3﹣m），∴= ，解得m=0（舍去）或m= ，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+ m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+ m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m= ；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+ m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+ m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣11.（1）解：由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x+2；（2）解：当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）；当点D在x轴下方时，∵∠DBA=∠CAO，∴BD∥AC，∵C（0，2），∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，∴直线AC解析式为y=2x+2，∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，∴直线BD解析式为y=2x﹣8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，∴D（﹣5，﹣18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；（3）解：过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，﹣t2+ t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2，∴H（t，﹣t+2），∴PH=y P﹣y H=﹣t2+ t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y=px+q，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=（﹣t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣t，∴F（0，2﹣t），∴CF=2﹣（2﹣t）= t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x= ，即E点的横坐标为，∴S1= PH（x B﹣x E）= （﹣t2+2t）（5﹣），S2= • • ，∴S1﹣S2= （﹣t2+2t）（5﹣）﹣• • =﹣t2+5t=﹣（t﹣）2+ ，∴当t= 时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．12.（1）解：∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣x+b经过点A，∴b=﹣3 ，∴y=﹣x﹣3 ，当x=2时，y=﹣5 ，则点D的坐标为（2，﹣5 ），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5 ，解得，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2 x+3 （2）解：作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即，∴，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣4时，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴，即AB2=AC•PB，∴42= • ，解得，a1= （不合题意，舍去），a2=﹣，则n=5a=﹣，∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即，∴，即n=﹣3a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣6时，n=21a，∵△PBA∽△ABC，∴，即AB2=BC•PB，∴42= • ，解得，a1= （不合题意，舍去），a2=﹣，则点P的坐标为（﹣6，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）（3）解：作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN= = ，∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，∴DE= EF，∴Q的运动时间t= =BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，y=﹣4 ．13.（1）解：①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得，解得，抛物线的解析式为y= x2﹣；②如图1，由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），得D（﹣1，﹣3）；（2）解：点P运动时，是定值，设P点坐标为（m，m2﹣），A（﹣4，0），B（4，0），设AP的解析式为y=kx+b，将A、P点坐标代入，得，解得b= ，即E（0，），设BP的解析式为y=k1x+b1，将B、P点坐标代入，得，解得b2= ，即F（0，），OF+OE= + = = ，= =2．14.（1）解：把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，得解得：，∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；（2）解：点C的坐标为（3，3），又∵点B的坐标为（1，3），∴BC=2，∴S△ABC= ×2×3=3；（3）解：过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P（m，﹣m2+4m），根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），∴3m2﹣15m=0，m1=0（舍去），m2=5，∴点P坐标为（5，﹣5）．（4）解：以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，则△CBM≌△MHN，∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，∴M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC= = ，∴S△CMN= × × = ；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM 和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM=CD=5，MD=ME=2，由勾股定理得：CM= = ，∴S△CMN= × × = ；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，同理得：CN= = ，∴S△CMN= × × =17；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN= = ，∴S△CMN= × × =5；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：△CMN的面积为：或或17或5．15.（1）解：∵A（1，3 ），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4 x（2）解：存在三个点满足题意，理由如下：当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，∵A（1，3 ），∴D坐标为（1，0）；当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3 ﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3 ）2=36，∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，∴AD2+BD2=AB2，即1+（3 ﹣d）2+42+d2=36，解得d= ，∴D点坐标为（0，）或（0，）；综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；（3）解：如图2，过P作PF⊥CM于点F，∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，∴=3 ，∴MF=3 PF，在Rt△ABD中，BD=3，AD=3 ，∴tan∠ABD= ，∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN= a，在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，∴tan∠PNF= = ，∴FN= PF，∴MN=MF+FN=4 PF，∵S△BCN=2S△PMN，∴a2=2× ×4 PF2，∴a=2 PF，∴NC= a=2 PF，∴= ，∴MN= NC= × a= a，∴MC=MN+NC=（+ ）a，∴M点坐标为（4﹣a，（+ ）a），又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4 （4﹣a）=（+ ）a，解得a=3﹣或a=0（舍去），OC=4﹣a= +1，MC=2 + ，∴点M的坐标为（+1，2 + ）．16.（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．（2）解：）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG= （m+5），FM= = ，∵sin∠AMF= ，∴= ，∴= ，整理得到2m2+19m+44=0，∴（m+4）（2m+11）=0，∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），∴点Q坐标（﹣4，）（3）解：①当MN是对角线时，设点F（m，0）．∵直线AC解析式为y=x+5，∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），∵QN=PM，∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，解得m=﹣3± ，∴点M坐标（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣，3﹣）．②当MN为边时，MN=PQ= ，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，解得m=﹣3．∴点M坐标（﹣2，3），综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣，3﹣）．17.（1）解：在直线y=﹣x+2 中，令y=0可得0=﹣x+2 ，解得x=2，令x=0可得y=2 ，∴A为（2，0），B为（0，2 ）；（2）解：由（1）可知OA=2，OB=2 ，∴tan∠ABO= = ，∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE= t，∵EF∥x轴，∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO= BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=2 ，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；（3）解：相似．理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t= ，∴AF=4﹣2t=4﹣= ，OE=OB﹣BE=2 ﹣× = ，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE= ，又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22= ，又AF•AB= ×4= ，∴AF•AB=AG2，即，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；（4）解：存在，∵EG∥x轴，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t= ，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2 ﹣t=2 ﹣× = ，∴E点坐标为（0，），∵抛物线的顶点为A，∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，把E点坐标代入可得=4a，解得a= ，∴抛物线解析式为y= （x﹣2）2，即y= x2﹣x+ ．18.（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，∴∴，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x﹣2=﹣（x﹣2）2+ ；（2）解：如图1，过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，﹣2），∵B（0，3），∴直线BC解析式为y= x﹣2，∵H（1，y）在直线BC上，∴y=﹣，∴H（1，﹣），∵B（3，0），E（0，﹣1），∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1，∴G（1，﹣），∴GH= ，∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+ x﹣2相较于F，B，∴F（，﹣），∴S△FHB= GH×|x G﹣x F|+ GH×|x B﹣x G|= GH×|x B﹣x F|= × ×（3﹣）= ．（3）解：如图2，由（1）有y=﹣x2+ x﹣2，∵D为抛物线的顶点，∴D（2，），∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴设M（2，m），（m＞），∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，∵∠OMB=90°，∴OM2+BM2=AB2，∴m2+4+m2+1=9，∴m= 或m=﹣（舍），∴M（0，），∴MD= ﹣，∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴t= ﹣；（4）解：存在点P，使∠PBF被BA平分，如图3，∴∠PBO=∠EBO，∵E（0，﹣1），∴在y轴上取一点N（0，1），∵B（3，0），∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，∵点P在抛物线y=﹣x2+ x﹣2②上，联立①②得，或（舍），∴P（，），即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．19.（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，则MA=MB=MC=ME=2，又∵CO⊥MB，∴MO=BO=1，∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，解得：a= ，故二次函数解析式为：y= （x+1）2﹣2；（2）证明：连接DM，∵△MBC为等边三角形，∴∠CMB=60°，∴∠AMC=120°，∵点D平分弧AC，∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，∵MD=MC=MA，∴△MCD，△MDA是等边三角形，∴DC=CM=MA=AD，∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）解：存在．理由如下：设点P的坐标为（m，n）∵S△ABP= AB|n|，AB=4∴×4×|n|=5，即2|n|=5，解得：n=± ，当时，（m+1）2﹣2= ，解此方程得：m1=2，m2=﹣4即点P的坐标为（2，），（﹣4，），当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣，此方程无解，故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．20.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=3，∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3（2）解：在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，∴点P的坐标为（5，3），当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形．（3）解：设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（1，0），P（5，3），∴，解得：k= ，b=﹣，∴直线PA的解析式为y= x﹣，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组，得或，∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5．21.（1）解：由题意得：将A（m，1）代入y1=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1，解得：m1=2，m2=0（舍），∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；（2）解：如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴，若四边形ABDE为矩形，则BC=CD，∴BM2+CM2=BC2=CD2，∴12+（﹣a）2=22，∴a= ，∵y1抛物线开口向下，∴a=﹣，∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣），∴设y2=a（x+1）2+1﹣，则a= ，∴y2= x2+2 x+1；（3）解：如图2，当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD，得BQ= ，DQ=3，则BD=2 ，∴∠BDQ=30°，∴PH= t，PG= t，∴S= （PE+PF）×DP= t2，如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G= （t﹣1），E′F=2（t﹣1），S不重合= （t﹣1）2，S=S1+S2﹣S不重合= + （t﹣1）﹣（t﹣1）2，=﹣综上所述：S= t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）．22.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣；（2）解：∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y= x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）解：存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC= ，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣= ，解得x=2+ 或x=2﹣，∴N2（2+ ，），N3（2﹣，）．。
中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
9．张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形 ．
(2)求出篮球在该运动员出手时的高度．
13．“活力海洋之都，精彩宜人之城”，青岛获评2023年中国十大旅游目的地必去城市．为宣传青岛城市文化，某景区研发出一款文创纪念品，投入景区内进行销售．已知该文创纪念品每件的成本为20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系如图所示，图象是直线的一部分．
(1)求该拋物线的表达式；
(2)如图 ，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个大小一样的正方形孔的排气装置 ， （ ，G，M，N在线段 上，L，R在抛物线上），若要保证两个正方形装置的间距 ，求正方形排气装置的边长 的长．（结果保留根号）
6．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（ ，且x为整数）元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
中考数学专题复习二次函数的应用题与最值问题
二次函数的应用题与最值问题二次函数最值问题（一）开口向上：1.当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值；2.当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值．（二）开口向下：1．当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值；2．当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值．1. 求解析式综合题型：例1．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC ＝CD ．（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x ，都有4x ﹣12≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣8x +6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.二次函数的应用题例1．某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y件，售价为每件x元（x为正整数）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润W（元）最大，最大利润是多少元？1．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2．某商家在构进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y （元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续60天均以80元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z = x + 15.（1）第25天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x天，该商家出售该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？．3．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；如果每台设备提价5万元时，则年销售量就减少50台．设该设备的年销售量为y（单位：台），销售单价为x（单位：万元/台）．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，则应把这种设备的销售单价定为多少万元时，该公司所获得的年利润最大？最大的年利润是多少？4．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．例2．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？1．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？2．如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x米，花园的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由．3．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）求活动区的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？例3．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．求这条抛物线的解析式．2．如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．3．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（）A．m B．2m C．2m D．2m4．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s ＝60t ﹣1.5t 2，那么飞机着陆后滑行的最远距离为（ ）A ．600mB ．400mC ．300mD ．200m5．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()341212+--=x y ，由此可知铅球达到的最大高度是 m ，推出的距离是 m .6．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）直接具有的关系为h ＝24t ﹣4t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s ．7.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为6米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是 米．例4．当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值．1．当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值．2．已知二次函数y ＝x 2+2bx +c（1）若b ＝c ，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1？请说明理由；（2）若b ＝c ﹣2，y 在﹣2≤x ≤2上的最小值是﹣3，求b 的值．3．当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．4．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是m ．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．。
2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数的实际应用(含解析)
2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数的实际应用一、选择题1. （2019年湖北省襄阳市）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．【考点】二次函数的实际应用【解答】解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t（20﹣5t）＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．二、填空题1. （2019年四川省广安市）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．【考点】二次函数的应用、自变量与函数的实际意义【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，解得，x＝2（舍去），x＝10．故答案为：10．三、解答题1. （2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市。
某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y （千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。
（1）某天这种芒果售价为28元/千克。
求当天该芒果的销售量（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式。
如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？【考点】一次函数、二次函数、一元二次方程的解法 【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y kx b =+则25352238k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：160k b =-⎧⎨=⎩∴60y x =-+（1540x ≤≤） ∴当28x =时，32y =∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克（2）由题易知(10)m y x =-(60)(10)x x =-+- 270600x x =-+- 当400m =时，则270600400x x -+-=整理得：27010000x x -+= 解得：120x =，250x = ∵1540x ≤≤ ∴20x =所以这天芒果的售价为20元2. （2019年山东省青岛市）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品 每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【考点】一次函数、二次函数、一元二次方程的解法【解答】解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y ＝kx +b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y ＝﹣2x +160；（2）由题意得：w ＝（x ﹣30）（﹣2x +160）＝﹣2（x ﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w由最大值，此时，w＝1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解得：x≤70，∴每天的销售量y＝﹣2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．3. （2019年湖北省十堰市）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．【考点】待定系数法、一次函数的性质、二次函数的性质【解答】解：（1）依题意，当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33，当31≤x≤50时，设y＝kx+b，则有，解得∴y与x的关系式为：y＝x+55（2）依题意，∵W＝（y﹣18）•m∴整理得，当1≤x≤30时，∵W随x增大而增大∴x＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400当31≤x≤50时，W＝x2+160x+1850＝∵＜0∴x＝32时，W取得最大值，此时W＝4410综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元（3）依题意，W＝（y+a﹣18）•m＝∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大∴对称轴x＝＝≥35，得a≥3故a的最小值为3．4. （2019年甘肃省天水市）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【考点】待定系数法、二次函数的应用、二次函数的性质【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400＝﹣（x﹣25）2+225，∵a＝﹣1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．5. （2019年湖北省鄂州市）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得y＝﹣5x+500；（2）由题意，得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500∵a＝﹣5＜0∴w有最大值即当x＝70时，w最大值＝4500∴应降价80﹣70＝10（元）答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）由题意，得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200解之，得：x1＝66，x2 ＝74，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当66≤x≤74时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．6. （2019年湖北省随州市）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p=x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当x为______元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为______元/千克．【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）由表格的数据，设q 与x 的函数关系式为：q=kx+b根据表格的数据得，解得故q与x的函数关系式为：q=-x+14，其中2≤x≤10（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q即x+8≤-x+14，解得x≤4又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4②由①可知，当2≤x≤4时，y=（x-2）p=（x-2）（x+8）=x2+7x-16当4＜x≤10时，y=（x-2）q-2（p-q）=（x-2）（-x+14）-2[x+8-（-x+14）]=-x2+13x-16即有y=（3）当2≤x≤4时，y=x2+7x-16的对称轴为x===-7∴当2≤x≤4时，除x的增大而增大∴x=4时有最大值，y==20当4＜x≤10时y=-x2+13x-16=-（x-）2+，∵-1＜0，＞4∴x=时取最大值即此时y有最大利润要使每天的利润不低于24百元，则当2≤x≤4时，显然不符合故y=-（x-）2+≥24，解得x≤5故当x=5时，能保证不低于24百元故答案为：，57. （2019年辽宁省本溪市）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用、一次函数的应用【解答】解：（1）当0＜x≤20且x为整数时，y＝40；当20＜x≤60且x为整数时，y＝﹣x+50；当x＞60且x为整数时，y＝20；（2）设所获利润w（元），当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，∴w＝（40﹣16）×20＝480元，当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，∴当20＜x≤60且x为整数时，y＝﹣x+50，∴w＝（y﹣16）x＝（﹣x+50﹣16）x，∴w＝﹣x2+34x，∴w＝﹣（x﹣34）2+578，∵﹣＜0，∴当x＝34时，w最大，最大值为578元．答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．8. （2019年内蒙古包头市）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？【考点】二次函数的应用、分式方程的应用【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有x辆，根据题意得，，解得：x＝20，经检验：x＝20是分式方程的根，∴1500÷（20﹣10）＝150（元），答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金150元；（2）设每辆货车的日租金上涨a元时，该出租公司的日租金总收入为W元，根据题意得，W＝[a+150×（1+）]×（20﹣），∴W＝﹣a2+10a+4000＝﹣（a﹣100）2+4500，∵﹣＜0，∴当a＝100时，W有最大值，答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．9. （2019年内蒙古通辽市）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500（30≤x≤38）；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）对称轴为x＝35+a，且0＜a≤6，则30a≤38，则当x＝35+a时，w取得最大值，∴（35+a﹣20﹣a）[﹣10x（35+a）+500]＝1960∴a1＝2，a2＝58（不合题意舍去），∴a＝2．。
专题13 二次函数的应用-2019年中考数学考点总动员系列(解析版)
2019年中考数学备考之黄金考点聚焦考点十三：二次函数的应用聚焦考点☆温习理解1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤：(1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．名师点睛☆典例分类※考向一：利用二次函数最值及增减性解决实际问题典例1：（2017•达州）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y=()()7.504 510414x xx x≤≤⎧⎪⎨+≤⎪⎩＜．(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？(2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？【分析】(1)根据y=70求得x 即可；(2)先根据函数图象求得P 关于x 的函数解析式，再结合x 的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可． 【解答】解：(1)根据题意，得：∵若7.5x=70，得：x=4328>，不符合题意； ∴5x+10=70，解得：x=12，答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；(2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40，当4＜x≤14时，设P=kx+b ，将(4，40)、(14，50)代入，得：4401450k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：136k b =⎧⎨=⎩，∴P=x+36；①当0≤x≤4时，W=(60﹣40)•7.5x=150x ，∵W 随x 的增大而增大，∴当x=4时，W 最大=600元； ②当4＜x≤14时，W=(60﹣x ﹣36)(5x+10)=﹣5x2+110x+240=﹣5(x ﹣11)2+845，∴当x=11时，W 最大=845，∵845＞600，∴当x=11时，W 取得最大值，845元， 答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．※考向二：利用二次函数与方程或不等式联系解决纯函数问题典例2：（2017·北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线342+-=x x y 与x 轴交于点A B 、（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求直线BC 的表达式；（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点),(21y x P ，Q ),(22y x ，与直线BC 交于点),(33y x N 若321x x x <<，结合函数的图象，求321x x x ++的取值范围.【分析】第（1）问直接利用二次函数与一元二交方程关系求出A ，B ，C 的坐标即可求出直线BC;第（2）问要注意画图分析，分类讨论，考虑临界即得答案【解答】解：（1）由题意得0342=+-x x ，解得1,321==x x ，则A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)；设直线BC 解析式为b kx y +=，则有⎩⎨⎧=+=033b k b 解得⎩⎨⎧-==13k b∴直线BC 解析式为3+-=x y（2）抛物线342+-=x x y 的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，－1）∵21y y =，∴421=+x x ；令y=-1,即,31+-=-x 得x=4∵321x x x <<,∴433<<x ,即87321<++<x x x※考向三：解决二次函数与几何存在性相关问题典题3:（2018宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数)30)(3)((<<--=x x a x y 的图像与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点D ，过其顶点C 作直线CP ⊥x 轴，垂足为点P ，连接AD 、BC ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）若△AOD 与△BPC 相似，求a 的值；a 的值，若不能，请说明理由．【分析】（1）令y ＝0，得A （a ，0），B （3，0）；（2）根据∠AOD ＝∠PBC ＝90°，所以分△AOD ∽△BPC 和△AOD ∽△CPB 两种情况讨论即可； （3）根据∠BOD ＝90°得B 、O 、D 三点共圆，其圆心M 为BD 中点，若C 也在圆上，则MC ＝MB ，即MC 2＝MB 2，列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵2()(3)(3)3y x a x x a x a =--=-++，（0<x<3）∴A （a ，0），B （3，0）；D （0，3a ） （2）∵A （a ，0），B （3，0），∴对称轴为23a x +=，C （23a +，2)23(a --），∴PB ＝233a+-，PC ＝2)23(a -， ①当△AOD ∽△BPC 时，则PCODBP AO =，即2)23(3233a aa a -=+-，解得a ＝±3（舍） ②当△AOD ∽△CPB 时，则PB OD CP AO =，即2333)23(2a aa a +-=-，解得a 1＝3（舍），372=a ； ∴37=a（3）能，如图，连接BD ，取中点M ；∵∠BOD ＝90°，∴B 、O 、D 三点共圆，且圆心M （23，a 23），若C 也在圆上，则MC ＝MB ，即22222)023()323()23(23)2323(-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-a a a a ，整理得：0451424=+-a a ，即（52-a ）（92-a ）＝0，解得51=a ，52-=a （舍），33=a （舍），34-=a （舍），※考向四：新定义背景下的二次函数问题典例4：（2015•河南）如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D 、E 的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD 、PE 、DE ．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当P 与点A 会点C 重合时，PD 与PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，丙说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）首先表示出P ，F 点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD ，PF 的长，进而求出即可； （3）根据题意当P 、E 、F 三点共线时，PE+PF 最小，进而得出P 点坐标以及利用△PDE 的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a 的值有两个，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，∴C （0，8），A （﹣8，0），设抛物线解析式为：c ax y +=2，则⎩⎨⎧=+=0648c a c ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==818a c 故抛物线的解析式为：8812+-=x y ； （2）正确， 理由：设P （a ，8812+-a ），则F （a ，8）， ∵D （0，6），∴281281281222222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=a a a a PD ，2281)881(8a a PF =+--=，∴PD-PF=2（3）在点P 运动时，DE 大小不变，则PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小， ∵PD ﹣PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，∴当P 、E 、F 三点共线时，PE+PF 最小， 此时点P ，E 的横坐标都为﹣4，将x=﹣4代入8812+-=x y ，得y=6， ∴P （﹣4，6），此时△PDE 的周长最小，且△PDE 的面积为12，点P 恰为“好点，∴△PDE 的周长最小时”好点“的坐标为：（﹣4，6），由（2）得：P （a ，8812+-a ）， ∵点D 、E 的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），∴设直线DE 的解析式为：y=kx+b ，则有⎩⎨⎧=+-=046b k b ，得⎪⎩⎪⎨⎧==236k b所以DE 解析式为：623+=x y ，则有13)6(4152388122++-=--+-=a a a PE ，而134,08≤≤∴≤≤-∆PDE S a∴△PDE 的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a 的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个， 综上所述：11个好点，P （﹣4，6）．课时作业☆能力提升一、选择题1．（2017•包头）已知一次函数y 1＝4x ，二次函数y 2＝2x 2＋2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y 1与y 2，则下列关系正确的是（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1≥y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 2【分析】首先判断直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x2＋2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题． 【解答】解：由2422y x y x =⎧⎨=+⎩消去y 得到：x 2－2x ＋1＝0， ∵△＝0，∴直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x 2＋2只有一个交点，如图所示 观察图象可知：．y 1≤y 2， 故答案：D ．2．（2018威海）如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －21x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝21x 刻画，下列结论错误的是( ) A ．当小球抛出高度达到7.5时，小球距O 点水平距离为3m B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势 C ．小球落地点距O 点水平距离为7米 D ．斜坡的坡度为1∶2【分析】根据二次函数图象和性质可解答【解答】解：：根据函数图象可知，当抛出的高度为7．5时，小球距离O 点的水平距离有两值（为3m 或5m ），A 结论错误；由y ＝4x －21x 2得y ＝－21（x －4）2＋8，则对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确；联立方程y ＝4x －12x 2与y ＝21x 解得⎩⎨⎧==00y x ，或⎪⎩⎪⎨⎧==277y x ；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7，27），C 结论正确；由点（7，27）知坡度为27∶7＝1∶2（也可以根据y＝21x 中系数21的意义判断坡度为1∶2），D 结论正确； 故选A ．3．（2017•泰安）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为（ ）A ．19cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 2【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24，利用二次函数性质即可求出四边形PABQ 的面积最小值．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴AC=22BC AB =6cm ． 设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ， ∴S 四边形PABQ=S △ABC ﹣S △CPQ=21AC•BC ﹣21PC•CQ=21×6×8﹣21（6﹣t ）×2t=t2﹣6t+24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ 的面积取最小值，最小值为15． 故答案：C ．4．（2017•宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝2cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是( )A．20cm B ．18cm C ．cm D ．【分析】根据已知条件得到CP ＝6－t ，得到PQ ，可得到结论．【解答】解：∵AP ＝CQ ＝t ，∴CP ＝6－t ，∴PQ ，∵0≤t ≤2，∴当t ＝2时，PQ 的值最小，∴线段PQ 的最小值是， 故答案：C ．5．（2017•临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=92；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．∴正确的有②③，故答案：B．6．（2018·哈尔滨）将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3【分析】先写成顶点式,根据抛物线解析式平称规律(对x:在括号内左加右减;对y在左边直接上减下加)或转化为点的坐标平移规律(左减右加上加下减)直接求解【解答】解：给的抛物线解析式可以看做顶点式，顶点为（0，1）平移可以看做是顶点在移动到（－1，－1），所以选A故答案：A．7．（2016•衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2． 故答案：B ． 二、填空题8．(2018·沈阳)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝______m 时，矩形ABCD 的面积最大．EACDBF【分析】利用二次函数增减性及最值解决实际问题．【解答】解：设AB ＝x m ，因此AB ＋EF ＋CD ＝3x ，所以AD ＝BC ＝90032x-，矩形ABCD 的面积设为y (平方米)，所以y ＝x·90032x -＝234502x x -+，由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，当x ＝2ba -＝34502()2⎡⎤-÷⨯-⎢⎥⎣⎦＝150时，函数y 取得最大值．9．（2017•阿坝州）如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为______．【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD ，PP′的长，求出面积即可． 【解答】解：连接AP ，A′P′，过点A 作AD ⊥PP′于点D ，由题意可得出：AP ∥A′P′，AP=A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)，平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，∴PO=222222=+，∠AOP=45°， 又∵AD ⊥OP ，∴△ADO 是等腰直角三角形，∴PP′=24222=⨯，∴AD=DO=sin45°•OA=223332=⨯， ∴抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为：22324⨯=12．故答案：12．10．(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离y (单位：m )关于滑行时间t (单位：s )的函数解析式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是___________m .【分析】会利用配方法把二次函数一般式表示成顶点式,利用二次函数最值解决实际问题 【解答】解： y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，即当t ＝20时，飞机停止滑行，此时滑行距离为600m ，当t ＝16时，y ＝576m ，故最后4s 滑行的距离是600－576＝24m . 故答案：24． 三、解答题11．（2018·襄阳）襄阳精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为y ＝()()761202030mx m x x n x x ⎧-⎪⎨⎪⎩≤＜，为正整数，≤≤，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）． （1）m ＝______，n ＝______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ （3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？【分析】（1）根据“第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克”可知，x ＝12时，y ＝32；x ＝26时，y ＝25，将它们代入y 关于x 的函数解析式中即可求出m ，n 的值．（2）根据“在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克”可知，第x 天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16，于是由“当天利润＝当天销售量×每千克的销售利润”求得W关于x的函数关系式，注意是分段函数，然后利用二次函数的最值问题和一次函数的增减性讨论求解．（3）就是要求出使W≥870的整数x值有多少个，即为多少天．这需要根据（2）中的计算结果，结合二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式知识求解．【解答】解：（1）m＝－12，n＝25．（2）第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16．当1≤x＜20时，W＝(4x＋16)(－12x＋38－18)＝－2x2＋72x＋320＝－2(x－18)2＋968．∴当x＝18时，W最大值＝968．当20≤x≤30时，W＝(4x＋16)(25－18)＝28x＋112．∵28＞0，∴W随x的增大而增大．∴当x＝30时，W最大值＝952．∵968＞952，∴当x＝18时，W最大值＝968．即第18天当天的利润最大，最大利润为968元．（3）当1≤x＜20时，令－2x2＋72x＋320＝870，解得x1＝25，x2＝11．∵抛物线W＝－2x2＋72x＋320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870．∴11≤x＜20．∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元．当20≤x≤30时，令28x＋112≥870，解得x≥27114．∴27114≤x≤30．∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元．综上所述，当天利润不低于870元的共有12天．12．（2018威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元，该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式； (2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？【分析】：（1）先用待定系数法求出直线AB 与BC 的函数表达式，然后在4≤x ≤6与6≤x ≤8时，根据“每月利润＝销售单价×每月销售量－工资及其他费用”列出W 与x 之间的函数表达式；（2）先求出每月的最大利润，然后求出最快还款的时间．【解答】解：(1)设直线AB 的函数表达式为y AB ＝kx ＋b ，代入A （4，4），B （6，2），得 4426k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得18k b =-⎧⎨=⎩．∴直线AB 的函数表达式为y AB ＝－x ＋8． 设直线BC 的函数表达式为y BC ＝k 1x ＋b 1，代入B （6，2），C （8，1），得 11112618k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得11125k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为y BC ＝－21x ＋5． 工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元）．当4≤x ≤6时，∴()()1483W x x =--+-，即211235W x x =-+-． 当6≤x ≤8时，∴()214532W x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即2217232W x x =-+-．(2)当4≤x ≤6时，()221123561W x x x =-+-=--+，∴当6x =时，1W 取得最大值1．当6≤x ≤8时，()2221137237222W x x x =-+-=--+，∴当x ＝7时，2W 取得最大值1.5．∴1020261.533==，即第7个月可以还清全部贷款． 13(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2ax －3a(a ＜0)与x 轴相交于A ，B 两点，与y轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ．（1）当a ＝－1时，抛物线顶点D 的坐标为________，OE ＝________；（2）OE的长是否与a值无关，说明你的理由；（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的下方作等腰直角三角形PDE．设P(m，n)，直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【分析】（1）当a＝－1时，得到抛物线的解析式，求出相应顶点D和与y轴的交点坐标；进而求出OE的长；（2）与（1）类似，将字母a当作已知数即可；（3）分别求出β＝45°和β＝60°时a的值，进而确定a的取值范围；（4）利用等腰直角三角形构造三角形全等(或一线三直角)，得出m与n的关系式．【解答】解：（1）(－1，4)，3；（2）OE长与a值无关．理由：如图①，∵y＝ax2＋2ax－3a，∴C(0，－3a)，D(－1，－4a)．∴直线CD 的解析式为y＝ax－3a．当y＝0时，x＝3．∴OE＝3．∴OE的长与a值无关．（3）当β＝45°时，在Rt△OCE中，OC＝OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝3．∴a＝－1．当β＝60°时，在Rt△OCE中，OC＝3OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝33．∴a＝－3．∴当45°≤β≤60°时，－3≤x≤－1．（4）n＝－m－1(m＜1)．(如图②)过点P向抛物线的对称轴作垂线，过点P向x轴作垂线，垂足分别为M、N．则∠MPN＝90°．∴∠NPE＋∠MPE＝90°．∵△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，∠DPE＝90°；∴∠DPM＋∠MPE＝90°，∴∠DPM＝∠NPE，∴Rt△DPM≌Rt△EPN，∴PM＝PN．∵P(m，n)，D(－1，－4a)，E(3，0)，∴－1－m＝n．即n＝－m－1(m＜1)．14（2018河南)如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）先利用一次函数解析式计算出B ，C 两点的坐标，再代入y ＝ax 2＋6x ＋c 中即可求得抛物线的解析式；（2） ①当A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，注意要分“点P 在直线BC 上方”和“点P 在直线BC 下方”两种情况进行讨论求解；②提示：作AC 的垂直平分线，交BC 于点1M ，连接1AM ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，将1ANM ∆沿AN 翻折，得到2ANM ∆，点1M 、2M 的坐标即为所求．【解答】解：（1）∵直线5y x =-交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，∴ B(5，0)，C(0，－5)．∵抛物线26y ax x c =++过点B ，C ，∴025305a c c =++⎧⎨-=⎩，∴15a c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：265y x x =-+-．（2）∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线265y x x =-+-交x 轴于A ，B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥BC ，∴AM ＝，∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD PQ ＝4． 设P(m ，265m m -+-)，则D(m ，5m -)．分两种情况讨论如下： (ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，PD ＝()2265554m m m m m -+---=-+=，∴11m =(舍去)，24m =(ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，PD ＝()2256554m m m m m ---+-=-=，∴152m +=，252m -=． 综上，点P 的横坐标为4或52+或52． ②M(136，176-)或(236，76-)． 15（2018•日照）如图，已知点A （－1，0），B （3，0），C （0，1）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上． （1）求抛物线解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上求一点P ，使△PBC 面积为1；（3）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使∠BQC ＝∠BAC ？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式；（2）作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，将△PBC 转化为S △PDC ＋S △PDB 列方程求解；（3）由∠BQC ＝∠BAC 推出点Q 在△ABC 外接圆上，外接圆圆心是弦AC 与对称轴的交点，从而确定外接圆圆心坐标及半径长，进而求得点Q 坐标．【解答】解：（1）把点A （－1，0），B （3，0），C （0，1）代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得09301a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得13231a a c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋23x ＋1． （2）∵B （3，0），C （0，1）， ∴直线BC 的解析式为y ＝－13x ＋1．过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交BC于D ．设P(x ，－13x 2＋23x ＋1)，则D(x ，－13x ＋1)． ∴PD ＝－13x 2＋23x ＋1－(－13x ＋1)＝ －13x 2＋x ．∴S △PBC ＝S △PDC ＋S △PDB ＝12PD(x B －x C )＝12(－13x 2＋x)(3－0)＝－12x 2＋32x ．又∵S △PBC ＝1，∴－12x 2＋32x ＝1，∴x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2．∴P 1（1，43），P 2（2，1）． （3）答：存在．理由：如图 ，∵A （－1，0），C （0，1），∴OC ＝OA ＝1，∴∠BAC ＝45°．∵∠BAC ＝∠BQC ，∴∠BQC ＝45°．∴点Q 为△ABC 外接圆与抛物线对称轴在x 轴下方的交点．设△ABC 外接圆圆心为M ，∵线段AC 的垂直平分线为直线：y ＝－x ，线段AB 的垂直平分线为：x ＝1．∴点M 为直线y ＝－x 与直线x ＝1的交点，即M （1，－1），∴∠BMC ＝2∠BQC ＝90°，又∵MQ ＝MB ＝Ry Q ＝－（11Q 在直线x ＝1上，∴x Q ＝1，∴Q （1，－1．16．. (2018福建)已知抛物线2y ax bx c =++过点A （0,2），且抛物线上任意不同两点11(,)M x y ,22(,)N x y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<，以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，△ABC 有一个内角为60°． （1）求抛物线的解析式；（2）若MN 与直线y ＝-平行，且M ，N 位于直线BC 的两侧，12y y >，解决以上问题： ①求证：BC 平分∠MBN ；②求△MBC 外心的纵坐标的取值范围．【分析】（1）依据题中已知条件可知抛物线的增减性变化特征为当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．此时b ＝0，c ＝2，即可得到抛物线的解析式；（2）①先根据点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，求出直线MN 的解析式，然后分别构造Rt △BEM 与Rt △BFN ，求出tan ∠MBE与tan ∠NBF 的值，从而得到∠MBE ＝∠MBE 即可．②先确定△MBC 外心位置，然后利用垂直平分线的性质和勾股定理求解．【解答】解：（1）∵抛物线过点A （0,2），∴c ＝2，当120x x <<时，120x x -<，由1212()()0x x y y -->得120y y -<，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；同理可得，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．∴抛物线的对称轴为y 轴且开口向下，则b ＝0．∵O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，∴△ABC 是等腰三角形，又∵△ABC 有一个内角为60°，故△ABC 为等边三角形，且OC ＝OA ＝2．设线段BC 与y 轴的交点为D ，则BD ＝CD ，且∠OBD ＝30°，所以BD ＝OB·cos30°，OD ＝OB·sin30°＝1，∵点B 在点C 的左侧，所以点B坐标为(1)-．∵点B 在抛物线2y ax bx c =++上，且c ＝2,b＝0,所以3a+2＝－1,解得a ＝－1，所以所求抛物线的解析式为22y x =-+．（2）①由（1）知，点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，∵MN 与直线y＝-平行，设直线MN 的解析式为y＝m -+，则212x -+＝1m -+，即m＝2112x -++，∴直线MN的解析式为2112y x =-++，将2112y x =-++代入22y x =-+得，2211x x -=-+化为221((x x =，解得1x x =-，或1x x =-∴21x x =-则2y＝21(2x --+＝21110x -+-，作ME ⊥BC ，NF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，∵点M ，N 位于直线BC 的两侧，且12y y >，则2112y y <-<≤，且12x x <<，∴ME ＝1y －（－1）＝213x -+，BE＝1(x -＝1x ，NF ＝（－1）－2y＝2119x -+，BF＝21(x x -=，在Rt △BEM 中，tan ∠MBE ＝ME EB＝211133x x x -+=+,在Rt △BFN 中，tan ∠NBF ＝NFBF1x ===-, ∵tan ∠MBE ＝ tan ∠NBF ，∴∠MBE ＝ ∠NBF ， 即BC 平分∠MBN ．②∵y 轴为BC 的垂直平分线，∴可设△MBC 的外心为P （0，0y ），则PB ＝PM ，即22PB PM =．由勾股定理可得22220101(1)()y x y y ++=+-因为2112x y =-，∴220010124(2)()y y y y y ++=-+-，即1012y y =-．由①知，112y -<≤，∴0302y -<≤，即△MBC 的外心的纵坐标的取值范围为0302y -<≤．。
2019年中考数学抢分训练之“小题狂做”：二次函数的应用(含解析)
二次函数的应用一、选择题(共6分)[来%源:#中^教*&]1．从地面竖直向上抛出一个小球，小球运动的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h ＝24t －4t 2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )A ．6 sB ．4 sC ．3 sD ．2 s二、填空题(共8分)[:2．体育课上，老师用绳子围成一个周长为30 m 的长方形场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD.设边AB 长为x(单位：m)，矩形ABCD 的面积为S(单位：m 2)，S 与x 之间的函数关系式为________(不要求写出自变量x 的取值范围)；若矩形ABCD 的面积为50 m 2，且AB ＜AD ，此时AB 的长________．三、解答题(本大题共3小题，共46分)3．(14分)小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大？最大面积是多少？[参考公式：当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)有最小(大)值4ac －b 24a][中国^&教育*出%#版]4．(14分)某跳水运动员进行10 m 跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下，经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1023m ，入水处距池边的距离为4 m ，运动员在距水面高度为5 m 以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1)求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335m ，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．5．(18分)综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．(1)求直线AC 的解析式及B 、D 两点的坐标；(2)点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l∥AC 交抛物线于点Q.试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出．．．．符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．参考答案[中&国教育出版@*~%]1. A 解析：由题意可知落回到地面时h ＝0，所以可根据解一元二次方程解得t 的值为6，也可将四个选项分别代入计算，若得h ＝0则为该选项，故选A.2. S ＝－x 2＋15x 5 m 解析：∵AB＝x ，∴BC＝15－x ，∴S＝(15－x)·x＝－x 2＋15x ，当S ＝50时，[中国教&#育出*版@~]代入计算得x 1＝5，x 2＝10，由于AB ＜AD ，所以AB ＝5 m.3. 解：(1)S ＝－12x 2＋20x.(6分) (2)∵a＝－12＜0，∴S 有最大值．(8分) ∴当x ＝－b 2a ＝－202×（－12）＝20时， S 有最大值4ac －b 24a ＝4×（－12）×0－2024×（－12）＝200.[&%:zz^step#.co@m] ∴当x 为20 cm 时，三角形面积S 最大，最大面积是200 cm 2.(14分)4. 解：(1)在给定的平面直角坐标中，设最高点为A ，入水点为B.∵A 点距水平1023m ，跳台支柱高10 m ， ∴A 点纵坐标为23，由题意可得O(0，0)，B(2，－10)．(2分) 设该抛物线的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0，a ，b ，c 为常数)抛物线过点O(0，0)，B(2，－10)，且函数的最大值为23，[w#@~w&w.zzst*ep] 则有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－10，4ac －b 24a ＝23 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－256，b ＝103，c ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－2，c ＝0(6分)[:zz~s#t&ep@^][: 由题图知a ＜0，－b 2a＞0，∴b＞0，舍去第二组解．[w#ww.zzs*tep~@^] ∴所求抛物线的关系式为y ＝－256x 2＋103x.(10分) (2)试跳会出现失误．(11分)∵当x ＝335－2＝85时，y ＝－163. 此时，运动员距水面的高为10－163＝143＜5， ∴试跳会出现失误．(14分)5. 解：(1)当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.[:∵点A 在点B 的左侧，∴A、B 的坐标分别是(－1，0)、(3，0)．(2分)当x ＝0时，y ＝3，∴C 点的坐标为(0，3)．设直线AC 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3，－k 1＋b 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝3，b 1＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3，(4分) ∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点D 的坐标为(1，4)．(6分)(2)抛物线上有三个这样的点Q ，分别为Q 1(2，3)，Q 2(1＋7，－3)，Q 3(1－7，－3)．(9分)(3)过点B 作BB′⊥AC 于点F ，使B′F＝BF ，则B 为点B 关于直线AC 的对称点，连接BD 交直线于AC 于点M ，则点M 为所求．过点B′作B′E⊥x 轴于点E.(10分) [:∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1＝∠2.Rt△AOC∽Rt△AFB，∴CO BF ＝CA AB， 由A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)得OA ＝1，OB ＝3，[中~&国^教育%出版@] ∴AC＝10，AB ＝4，∴3BF ＝104，∴BF＝1210， ∴BB′＝2BF ＝2410.由∠1＝∠2可得Rt△AOC∽R t△B′EB，∴AO B′E ＝CO BE ＝CA BB′，∴1B′E ＝3BE ＝102410，即1B′E ＝3BE ＝512. ∴B′E＝125，BE ＝365，∴OE＝BE －OB ＝365－3＝215. ∴B′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，125.(15分) 设直线B′D 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0) ∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋b 2＝4，－215k 2＋b 2＝125， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝413，b 2＝4813，∴y＝413x ＋4813.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋3，y ＝413x ＋4813， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝935，y ＝13235，∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫935，13235.(18分)[:。
2019中考二次函数几何运用
2019中考数学二次函数几何应用1. （2018贵州遵义，17题，4分）如图，抛物线y=x 2+2x-3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点，连接DE 、DF ，则DE+DF 的最小值为______【答案】2【解析】点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点，所以DE 、DF 是△PBC 的中位线，DE=12PC ，DF=12PB ，所以DE+DF=12(PC+PB)，即求PC+PB 的最小值，因为B 、C 为定点，P 为对称轴上一动点，点A 、B 关于对称轴对称，所以连接AC ，与对称轴的交点就是点P 的位置，PC+PB 的最小值等于AC 长度，由抛物线解析式可得，A(-3,0)，C(0,-3)，AC=DE+DF=12(PC+PB)=2【知识点】三角形中位线，勾股定理，二次函数，最短距离问题2. ．（2018江苏淮安，14，3） 将二次函数y=x 2 -1的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是 . 【答案】y=x 2+2【解析】由平移规律“左加右减”、“上加下减”，可得平移后的解析式.解：. 由平移规律，直线y=x 2 -1向上平移3个单位长度，则平移后直线为y=x 2 -1+3 即y=x 2 +2故答案为y=x 2 +2． 【知识点】二次函数图象与几何变换3. （2018山东省泰安市，17，3）如图，在ABC ∆中，6AC =，10BC =，3tan 4C =，点D 是AC 边上的动点（不与点C 重合），过D 作DE BC ⊥，垂足为E ，点F 是BD 的中点，连接EF ，设C D x =，DEF ∆的面积为S ，则S 与x 之间的函数关系式为 ．【答案】233252S x x =-+ 【解析】，由3tan 4C =可以知道线段DE 、EC 的数量关系， CD x =，则由勾股定理，可以将DE 、EC 用含x 的代数式来表示，由点F 是BD 的中点，则1=2DEF BDE S S ∆∆,从而列出S 与x 之间关系式.解：∵3tan 4C = ∴设3,4.DE k EC k ==，由勾股定理得：5DC k =.∵CD x =，∴34,.55DE k EC k == ∴410.5BE k =-∵点F 是BD 的中点 ∴21113433===(10)22255252DEF BDE S S S x x x x ∆∆⨯⨯-=-+ 故答案是：233252S x x =-+ 【知识点】三角函数，勾股定理，三角形中线性质，二次函数. 三、解答题1. （2018湖北鄂州，23，12分）如图，已知直线1122y x =+与抛物线2y ax bx c =++相交于A (-1，0)，B （4，m ）两点，抛物线2y ax bx c =++交y 轴于点C （0，32-），交x 轴正半轴于D 点，抛物线的顶点为M ．（1）求抛物线的解析式及点M 的坐标；（2）设点P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，当△P AB 的面积最大时，求此时△P AB 的面积及点P 的坐标；（3）点Q 为x 轴上一动点，点N 是抛物线上一点，当△QMN ∽△MAD （点Q 与点M 对应），求Q 点的坐标． 【解析】解：（1）将B （4，m ）代入1122y x =+得， 1154222m =⨯+=，∴B （4，52），将A (-1，0)，B （4， 52），C （0，32-）代入2y a x b x c=++得05164232a b c a b c c -+=++==-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得12132a b c ==-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为13222y x x =--，()()()1311312222112222222y x x x x =--=---=--，故顶点M 的坐标为（1，－2）； （2）如下图（1），过点P 作PE ⊥x 轴，交AB 于点E ，交x 轴与点G ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，∵A (-1，0)，B （4，52），∴AF ＝4―（―1）＝5，设直线AB 的关系式为y ＝kx ＋b ，设点P 的坐标为（m ，13222m m --），则点E 的坐标为（m ，1122m +），∵点P 为直线AB 下方，∴PE ＝（1122m +）－（13222m m --）＝132222m m -++，∴S △CDE ＝S △APE ＋S △BPE ＝12PE ·AG ＋12PE ·FG ＝12PE ·（AG ＋FG ）＝12PE ·AF ＝12×5（132222m m -++）＝2531254216x --+⎛⎫⎪⎝⎭，∴当32m =时，△P AB 的面积最大，且最大面积为12516，当32m =时，21313331522222228m m --=⨯--=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，故此时点P 的坐标为（32，158-）；（3）∵抛物线的解析式为13222y x x =--，()12122y x =--，∴抛物线的对称轴为：直线x ＝1，又∵A (-1，0)，∴点D 的坐标为（3，0），又∵M 的坐标为（1，－2），∴AD ＝3―（―1）＝4，AD 2＝42＝16，AM 2＝（―1―3）2＋（―1―3）2＝8，DM 2＝（3―1）2＋（―2―0）2＝8，∴AD 2＝AM 2＋DM 2，且AM ＝DM ，∴△MAD 是等腰直角三角形，∠AMD ＝90°，又∵△QMN ∽△MAD ，∴△QMN 也是等腰直角三角形且QM ＝QN ，∠MQN ＝90°，∠QMN ＝45°，又∵∠AMD ＝90°，∴∠AMQ ＝∠QMD ＝45°，此时点D （或点A ）与点N 重合，（如下图（2））此时MQ ⊥x 轴，故点Q 的坐标为（1,0）．【知识点】二次函数关系式；顶点式；一次函数；相似三角形的性质；等腰直角三角形的性质和判定；勾股定理的逆定理；三角形面积公式2. （2018湖北黄冈，24题，14分）如图，在直角坐标系XOY 中，菱形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，点B ，C 在第一象限，∠C=120°，边长OA=8.点M从原点O 出发沿x 轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N 从A 出发沿边AB-BC-CO 以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M 作直线MP 垂直于x 轴并交折线OCB 与P ，交对角线OB 与Q ，点M 和点N 同时出发，分别沿各自路线运动，点N 运动到原点O 时，M 和N 两点同时停止运动. （1）当t=2时，求线段PQ 的长； （2）求t 为何值时，点P 与N 重合；（3）设△APN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式及t 的取值范围.【解析】（1）菱形OABC 中，∠AOC ＝60°，所以Rt △POM 中，∠POM ＝60°，Rt △QOM 中，∠QOM ＝30°，当t ＝2时，OM ＝2，可得PM＝QM＝3，所以PQ＝3； （2）当t ≤4时，AN=PO=2OM=2t ， 当t=4时，P 到达C 点，N 到达B 点，由此可推断，点P 、N 在BC 上相遇，设t 秒时，点P 与N 重合，则PC=t-4，BN=2(t-4)，PC+BN=BC=8，即(t-4)+2(t-4)=8，t=203，即t=203时，点P 与N 重合； （3）①当0≤t ≤4时，PN=OA=8，且PN ∥OA ，t，11822APN S PN PM =⋅⋅=⋅=△ ②当4＜t ≤203时，P 、N 在边BC 上，所以PN ∥OA ，PN=8-3(t-4)=20-3t ，()1120322APN S PN PM t =⋅⋅=⋅-⋅=△③当203＜t ≤8时，P 、N 相遇后还在BC 边上运动，所以PN ∥OA ，PN=3(t-4)-8=3t-20，()1132022APN S PN PM t =⋅⋅=⋅-⋅=-△④当8＜t ≤12时，如图所示，ON=24-2t ，N 到OM 距离为，N 到CP 距离为()=-CP=t-4，BP=12-t ，()()()APN AON CPN APB 2=1118412222S S S S S t t ---⨯⨯-----⨯=+-△△△△菱形综上所述，S 与t 的函数关系式为：2,(0t 4)20,(4t )320t 8)3t 12)2S ⎧≤≤⎪⎪≤⎪⎪=⎨-≤⎪⎪⎪-+-≤⎪⎩＜＜＜ 【知识点】菱形，三角函数，一元一次方程，三角形面积，分段函数3. （2018湖南郴州，25，10） 如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t . （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，与x 轴的交点为D ，在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ，①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标.【解析】解：（1）∵2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0），∴01093b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为：223y x x =-++；（2）∵抛物线的表达式为：223y x x =-++，∴抛物线的对称轴为12bx a=-=，C 点的坐标为（0，3），∴D 点的坐标为（1，0），∵点P 的横坐标为t ，且点P 在抛物线223y x x =-++上，∴P 点的坐标为（t ，223t t -++），设M 点的坐标为（1，a ），分两种情况讨论：①M 点在x 轴的上方，当四边形CDPM 是平行四边形，且C 、P 和D 、M 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N ，根据平行四边形对角线互相平分，则N 点的坐标可表示为（2t +，23232t t -++）或（1，02a +），∴02t +=1，23232t t -++=02a +，解得：t =2，a =6, ∴M 点的坐标为（1，6）；②M 点在x 轴的下方，当四边形CDMP 是平行四边形，且C 、M 和D 、P 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N ′，根据平行四边形对角线互相平分，则N ′点的坐标可表示为（12，32a +）或（12t +，2232t t -++），∴12=12t +，32a +=2232t t -++，解得：t =0，a =0, ∴M 点的坐标为（1，0），此时M 点和D 点重合，且P 点不在第一象限，C 、D 、M 、P 四点不能形成平行四边形，故不存在；综上，点M 的坐标为（1，6）； （3）①∵B （3，0），C （0，3），∴OB=3，OC=3，设P 点的坐标为（t ，223t t -++），过点P 分别作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，垂足分别为E 、F ，∴PE=223t t -++，PF=t ，连结OP ，则：POC POB BOC S S S S ∆∆∆=+-()2111332333222t t t =⨯⋅+⨯⋅-++-⨯⨯()2132332t t t =⨯⋅-++-()223393222t t t t =-+=-+ ∴S 关于t 的函数表达式为S=23922t t -+；②∵B （3，0），C （0，3），∴OB=3，OC=3，∴BC=P 点到直线BC 的距离为h ，则△PBC 的面积S=122h ?， ∵S=23922t t -+，∴2=23922t t -+，)232h t t =--229933244228t t t 骣琪=--+-=--+琪桫桫，∴当t =32时，h有最大值为，此时P 点的坐标为（32，154）.【知识点】 二次函数，平行四边形的判定，三角形面积，二次函数的最值26．（2018湖南郴州，26，12）在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，点P 是CD 边上的任意一点（不含C ，D 两端点），过点P 作PF ∥BC ，交对角线BD 于点F. （1）如图1，将△PDE 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，QF 交AD 于点E.求证：△DEF 是等腰三角形； （2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P ′DF ′，连接P ′C ，F ′B ，设旋转角为a()0180a ?<?.①若0a ?<∠BDC ，即DF ′在∠BDC 内部时，求证：△DP ′C ～△DF ′B ；②如图3,若点P 是CD 的中点，△DF ′B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan ∠DBF ′的值，如果不能，请说明理由.【解析】（1）证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∵PF ∥BC ，∴PF ∥AD ，∴∠ADB=∠DFP ，∵将△PDE 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，∴∠DFE=∠DFP ，∴∠ADB=∠DFE ，∴DE=EF ，∴△DEF 是等腰三角形； （2）①∵PF ∥BC ，∴DP DFDC DB=，∵△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P ′DF ′，∴∠BDF ′=∠CDP ′，DP ′=DP ，DF=DF ′，∴DP DFDC DB=′′，∴△DP ′C ～△DF ′B ； ②由①知，△DP ′C ～△DF ′B ，∴∠DBF ′=∠DCP ′，∵点P 是CD 的中点，∴DP=12DC ， ∵△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P ′DF ′，∴∠BDF ′=∠CDP ′，DP ′=DP ，∠DF ′B=∠DP ′C ， 当∠DF ′B=90°时，有∠DP ′C =90°，∴DP =DP ′=12DC ，∴∠ P ′CD =30°，故tan ∠DBF ′=tan ∠DCP ′=tan 30°； 当∠B DF ′=90°时，有∠C DP ′=90°，∴DP =DP ′=12DC ，故tan ∠DBF ′=tan ∠DCP ′=12. 【知识点】轴对称的性质；旋转的性质；相似三角形的判定；等腰三角形的判定；平行线分线段对应成比例；三角函数4. （2018湖南益阳，26，12分）如图，已知抛物线213(0)22y x x n n =-->与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴于点E ，若AE ︰ED ＝1︰4． 求n的值．【解析】解：（1）若△ABC 为直角三角形，则OC 2=OA ·OB 由抛物线213(0)22y x x n n =-->，可得OC =n ，OA ·OB =2n ∴n 2=2n ，解得：n 1=2，n 2=0（舍去）∴n =2．（2）由（1）可知抛物线的对称轴为32x =，抛物线解析式为213222y x x =-- 令y =0，得x 1=－1，x 2=4∴A （－1，0），B （4，0）设点P （m ，213222m m --）①当直线PQ ∥BC 时，当点P 在点Q 的左侧时（如图所示），当△BOC 平移到△QNP 的位置时，四边形PQBC 为平行四边形，此时NQ =OB ，即342m -=，52m =-．213392228m m --=，此时点P 坐标为（52-，398） 当点P 在点Q 的右侧时（如图所示）同理可得：342m -=，112m =．213392228m m --=，此时点P 的坐标为（112，398） ②当直线PQ 与直线BC 相交时，如图所示：此时点P 到y 轴的距离等于点B到对称轴的距离．即35422m =-=．213212228m m --=-，此时点P 的坐标为（52，218-）． 综上所述，满足条件的点P 的坐标为（52-，398），（112，398）， （52，218-）． （3）过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ．则AO ︰OF ＝ AE ︰ED ＝1︰4设A （a ，0），B （b ，0）则AO ＝－a ，OF =－4a ∵AD ∥BC ，∴∠DAO =∠OBC ∵∠AFD =∠BOC =90°∴△BOC ∽△AFD∴OC BO DF AF =即4n b DF a a =--∴4n bDF a a=-- 由题意: ab =－2n ，∴2n a b =-∴2555()22n a DF a a a b =-⋅=-⋅-= ∵点A 、D 在抛物线上，∴2221302213516(4)222a a n a a n a ⎧--=⎪⎪⎨⎪⨯-⨯--=⎪⎩解得：32a =-，278n =∴n 的值为278．【知识点】二次函数综合，相似三角形的判定和性质，平行四边形，分类讨论思想5. (2018山东菏泽，24，10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线25y ax bx =+-交y 轴于点A ，交x 轴于点(5,0)B -和点(1,0)C ，过点A 作AD ∥x 轴交抛物线于点D.（1）求此抛物线的表达式；（2）点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求EAD ∆的面积；（3）若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，ABP ∆的面积最大，求出此时点P 的坐标和ABP ∆的最大面积．【解析】解：（1）方法1：把(5,0)B -和(1,0)C 代入25y ax bx =+-，得0255505a b a b =--⎧⎨=+-⎩，，解得14.a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=x 2+4x －5．方法2：∵抛物线与x 轴交于(5,0)B -和(1,0)C ，∴设抛物线的表达式为y=a(x+5)(x －1)，又∵抛物线与y 轴交于A 点，∴A(0，－5)，把A(0，－5)代入y=a(x+5)(x －1)，得－5=－5a ，∴a=1， ∴抛物线的表达式为y=(x+5)(x －1)=x 2+4x －5．（2）∵A(0，－5)，AD ∥x 轴，点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，∴点E 的纵坐标为5，∴点E 到直线AD 的距离为10．把y=－5代入y=x2+4x －5，得－5=x2+4x －5，解得x1=－4，x2=0，∴D(－4，－5)，AD=5．∴S△EAD=12×4×10=20．（3）设直线AB 的表达式为y=kx+b ，把(5,0)B -和A(0，－5)代入，得505k b b -+=⎧⎨=-⎩，，解得15k b =-⎧⎨=-⎩，. ∴直线AB 的表达式为y=－x －5．设点P 的坐标为(m ，m2+4m －5)，作PQ ∥y 轴，交直线AB 于点Q ，∴Q(m ，－m －5)．∵点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，∴PQ=－m －5－(m2+4m －5)=－m2－5m ．设ABP ∆的面积为S ，∴S=S△APQ+S△BPQ=12×(－m2－5m)×(－m)+12×(－m2－5m)×(m+5)=－52(m+52)2+1258，∴当m=－52时，S 最大，即当点P(－52，－354)时，ABP ∆面积最大，最大面积为1258．【知识点】二次函数的综合题；动点问题；轴对称；6.（2018四川遂宁，25，12分）如图，已知抛物线4232++=x ax y 的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧），与y 轴交于C 点。
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专题13 二次函数
的应用
1．2018·安徽小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元．②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1(单位：元)，W2(单位：元)．
(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W(单位：元)最大，最大总利润是多少？
2．2018·衢州某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图Z－13－1所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
图Z－13－1
3．2018·金华、丽水如图Z－13－2，抛物线y＝ax2＋bx(a<0)过点E(10，0)，矩形ABCD 的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在该抛物线上．设A(t，0)，当t＝2时，AD＝4.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直．线．GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
图Z－13－2
详解详析
1．解：(1)W 1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x 2
＋60x ＋8000， W 2＝19(50－x)＝－19x ＋950.
(2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2
＋41x ＋8950＝－2(x －414)2＋732818.
∵x 取整数，∴由二次函数的性质知当x ＝10时，W 最大
＝－2×102
＋41×10＋8950＝
9160(元)．
2．解：(1)∵抛物线的顶点为(3，5)，∴设y ＝a(x －3)2＋5， 将(8，0)代入得a ＝－1
5
，
∴y＝－15(x －3)2
＋5(或y ＝－15x 2＋65x ＋165)(0<x<8)．
(2)当y ＝1.8时，即1.8＝－15x 2＋65x ＋16
5，
解得x 1＝7，x 2＝－1(不合题意，舍去)． 答：王师傅必须站在离水池中心7米以内．
(3)由y ＝－15(x －3)2
＋5可得原抛物线与y 轴的交点为(0，165)．
∵装饰物高度不变，∴新抛物线也经过点(0，16
5)．
∵喷出水柱的形状不变，∴a＝－1
5
.
∵直径扩大到32米，∴新抛物线过点(16，0)． 设新抛物线为y 新＝－15x 2
＋bx ＋c ，
将(0，165)和(16，0)代入得b ＝3，c ＝165，
∴y 新＝－15x 2＋3x ＋165，∴y 新＝－15(x －152)2＋289
20
，
当x ＝152时，y 最大＝28920
.
答：扩建改造后喷水池水柱的最大高度为289
20米．
3．解：(1)设抛物线的函数解析式为y ＝ax(x －10)． ∵当t ＝2时，AD ＝4，∴点D 的坐标是(2，4)． ∴4＝a×2×(2－10)，解得a ＝－1
4，
∴抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋5
2
x.
(2)由抛物线的对称性得BE ＝OA ＝t ，∴AB＝10－2t. 当x ＝t 时，y ＝－14t 2＋5
2
t.
∴矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋AD)＝2[(10－2t)＋(－14t 2＋52t)]＝－12t 2＋t ＋20＝－1
2(t
－1)2
＋412
.
∵－12＜0，∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值是412
.
(3)当t ＝2时，点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)， ∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为(5，2)．
当平移后的抛物线过点A 时，点H 的坐标为(4，4)，此时GH 不能将矩形面积平分；
当平移后的抛物线过点C 时，点G 的坐标为(6，0)，此时GH 也不能将矩形面积平分； 当G ，H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不可能将矩形面积平分； 当点G ，H 分别落在线段AB ，DC 上，直线GH 过点P 时，必平分矩形ABCD 的面积． ∵AB∥CD，∴线段OD 平移后得到线段GH ， ∴线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P.
在△OBD 中，PQ 是中位线，∴PQ＝1
2OB ＝4.
∴抛物线向右平移的距离是4个单位长度．。