湖南省衡阳县第四中学2015-2016学年高二数学学业水平第一次模拟考试试题(扫描版)
湖南省衡阳市衡阳县四中_学年高二数学上学期模块试卷(含解析)【含答案】
2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）模块数学试卷一．选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B． p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）3．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=4．双曲线的渐近线方程为（）A． y=± B． y=±x C． y=±2x D． y=±4x5．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A． e2 B． e C． D． ln 26．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A． B． 2 C． 3 D． 67．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 38．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B． C． D．9．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A． 2 B． 3 C． D．10．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3） D．=1（x＞4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是．12．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的条件．13．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为．14．若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．15．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．17．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．18．已知椭圆上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．19．已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0，﹣3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间．20．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．21．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）模块数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：如果能从命题甲推出命题乙，且能从命题乙推出命题甲，那么条件乙与条件甲互为充分必要条件，简称充要条件，如果只是其中之一，则是充分不必要条件或是必要不充分条件．解答：解：∵：|x﹣2|＜3，∴﹣1＜x＜5，显然，甲⇒乙，但乙不能⇒甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查了充要条件，以及绝对值不等式的解法，属于基础题．如果能从命题p推出命题q，且能从命题q推出命题p，那么条件q与条件p互为充分必要条件，简称充要条件．2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B． p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）考点：复合命题的真假．分析：先判断命题p和命题q的真假，命题p为真命题，命题q为假命题，再由真值表对照答案逐一检验．解答：解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，所以A、B、C均为假命题，故选D．点评：本题考查复合命题的真值判断，属基本题．3．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否命题即可．解答：解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．故选：C．点评：本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题，解题时应根据四种命题之间的关系进行解答，是基础题．4．双曲线的渐近线方程为（）A． y=± B． y=±x C． y=±2x D． y=±4x考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把双曲线，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线，其渐近线方程，整理得y=±．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．5．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A． e2 B． e C． D． ln 2考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：先对函数进行求导，然后根据f′（x0）=2，建立等式关系，解之即可求得答案．解答：解：∵f（x）=xln x，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1，∵f′（x0）=2，∴f′（x0）=lnx0+1=2，解得x0=e，∴x0的值等于e．故选：B．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数求值和对数方程的求解，同时考查了运算求解的能力，注意函数的定义域，属于基础题．6．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A． B． 2 C． 3 D． 6考点：双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选A．点评：本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解答：解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．点评：本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．9．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A． 2 B． 3 C． D．考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先确定x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，再由抛物线的定义得到P到l2的距离等于P 到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，进而转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F （l2，0）和直线l2的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值．解答：解：直线l2：x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（l2，0）到直线l2：4x﹣3y+6=0的距离，即d=，故选A．点评：本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，考查基础知识的综合应用．圆锥曲线是高考的热点也是难点问题，一定要强化复习．10．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3） D．=1（x＞4）考点：轨迹方程．专题：计算题；数形结合．分析：根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．解答：解：如图设△ABC与圆的切点分别为D、E、F，则有|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故选C点评：本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是 2 ．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：首先，判断原命题为假命题，然后，分别写出它的其它三种形式的命题，然后，分别判断真假．解答：解：若a≤b，则ac2≤bc2，为真命题；逆命题为：若ac2≤bc2，则a≤b，为假命题；否命题：若a＞b，则ac2＞bc2，为假命题；逆否命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真命题；故正确命题的个数为2，故答案为：2．点评：本题重点考查了四种命题的真假判断，属于中档题．12．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题之间的关系进行判断即可．解答：解：若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，则此时“p且q”不一定为真命题，若“p且q”为真命题，则p，q同时为真，必要性成立，故“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件，故答案为：必要不充分点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题之间的关系是解决本题的关键．13．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为y2=﹣4x ．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设抛物线方程为y2=mx，代入P（﹣2，2），得到方程，解方程即可得到所求抛物线方程．解答：解：设抛物线方程为y2=mx，代入P（﹣2，2），可得，8=﹣2m，即有m=﹣4，则抛物线的方程为y2=﹣4x．故答案为：y2=﹣4x．点评：本题考查抛物线的方程的求法，考查待定系数法的运用，考查运算能力，属于基础题．14．若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是[2，+∞）．考点：导数的几何意义．分析：先对函数f（x）求导，然后令导函数等于0得到关于a，x的关系式，再由基本不等式可求出a的范围．解答：解：∵∴f'（x）=x﹣a+由题意可知存在实数x＞0使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立∴a=x+≥2（当且仅当x=，即x=1时等号取到）故答案为：[2，+∞）点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于切点为该点的切线的斜率．15．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为120°．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|，再利用余弦定理，即可求得结论．解答：解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2==﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：120°点评：本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＜0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），故命题p成立有x∈（3a，a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）．若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（3a，a）⊊（﹣∞，﹣4）或（3a，a）⊊[﹣2，+∞），又a＜0，解得a≤﹣4或；故a的范围是a≤﹣4或．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．17．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．考点：抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标．（2）设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．解答：解：（1）解方程组得或即A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．令y=﹣5，得x=5，∴Q（5，﹣5）．（2）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d==．，∴S△OPQ=|OQ|d=∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．点评：本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．18．已知椭圆上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a，根据离心率为，求出c，从而可求b，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程，可得AB的中点坐标，确定AB 的中垂线方程，利用|MA|=|MB|，即可求直线l的斜率k的值．解答：解：（Ⅰ），∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴椭圆的标准方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）已知F2（1，0），设直线的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1）B（x2，y2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）联立直线与椭圆的方程，化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴，∴AB的中点坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）①当k≠0时，AB的中垂线方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵|MA|=|MB|，∴点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得：，即，解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）②当k=0时，AB的中垂线方程为x=0，满足题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴斜率k的取值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0，﹣3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：（1）先根据函数模型设出函数解析式，然后对函数f（x）求导，令f'（1）=0，f'（0）=﹣2，f（0）=﹣3建立方程组，解之即可得到答案；（2）将函数f（x）的解析式代入求出函数g（x）的解析式后求导，令导函数大于0求出x 的范围即可求出函数g（x）的单调递增区间．解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f¢（x）=2ax+b．由题设可得：即解得所以f（x）=x2﹣2x﹣3．（2）g（x）=f（x2）=x4﹣2x2﹣3， g′（x）=4x3﹣4x=4x（x﹣1）（x+1）．列表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣ 0 +f（x）↘↗↘↗由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）．点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的正负情况和原函数的增减性的关系，属基础题．20．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题．分析：（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=﹣．f'（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b由题意；，解得，∴所求的解析式为（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0 因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值，∴函数的图象大致如图．由图可知：．点评：本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．21．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n 的关系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x ﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t﹣，求出g （t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：x （﹣∞，1+） 1+（1+，1） 1 （1，+∞）f′（x）＜0 0 ＞0 0 ＜0f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．20x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上10、20知﹣＜m＜0．点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．。
湖南省衡阳县第四中学高二学业水平第一次模拟考试英语试题
衡阳县四中高中学业水平第一次模拟考试英语本试题卷分听力技能、阅读技能、知识运用、写作技能四个部分，共8页。
时量120分钟，满分100分。
第一部分听力技能（共两节，满分20分）做题时，先将答案标准试题卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试题卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题，每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳答案，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话读两遍。
1. How much did the man tip the woman?A. $1.B. $10.C. $100.2. How will the woman go home?A. Walk.B. Run.C. Drive.3. What meal will the speakers eat?A. Breakfast.B. Lunch.C. Dinner.4. Who was at the door?A. The postman.B. The man’s friend.C. The woman’s brother.5. When will the tomatoes be ready?A. Right now.B. In three weeks.C. In two months.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6. Where are the speakers?A. At a hotel.B. At a store.C. At an airport.7. How does the woman feel in the end?A. Excited.B. Sick.C. Scared.听第7段材料，回答第8、9题。
湖南省衡阳县2015-2016学年高二上学期期末统考数学(文)试题 Word版含答案
衡阳县2015年下学期期末质量检测试题高二文科数学考生注意：1、本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分。
2、答题前，请考生先将自己的学校、班次、姓名、考号在答题卷上填写清楚； 3．请将选择题答案填在答卷上指定的答题框内，填空题和解答题答案请按题号用黑色墨水签字笔填在指定的位置上。
交卷只交答题卷。
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的)1、设R c b a ∈,,，且，a>b ，则( )A ．ac>bcB ．22b a > C ．33b a > D ．ba 11< 2、设命题p ：n n N n 2,2>∈∃，则p ⌝为( ) A ．n n N n 2,2≤∈∀ B ．n n N n 2,2<∈∃ C ．n n N n 2,2≤∈∃ D ．n n N n 2,2<∈∀3、等比数列{}n a 中，若36,31072=⋅=a a a ，则15a 等于( )， A.12- B ．12 C ．一6 D ．64、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,若a=3，b=2，COS(A+B)=31，则c=( ) A ．3 B ．15 C ．4 D ．175、若⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-010x y x y x ，则Z=X+2y 的最小值为( )A ．1-B ．0C ．23D ．2 6、若直线)0,0(1>>=+b a bya x 过点(1，1)，则a+b 的最小值为( ) A. 5 B ．4 C ．3 D ．27、已知抛物线)0(22>=p px y 的准线经过点(一1，一1)，则抛物线焦点坐标为( ) A.(1-，0) B ．(0，-1) C ．(1，0) D ．(0，1) 8、下列双曲线中，焦点在Y 轴上且渐近线方程为x y 21±=的是( ) A ．1422=-y x B ．1422=-y x ， c ．1422=-x y ， D.1422=-x y9、设函数b x x x f +-=12)(2，则下列结论正确的是( )A ．函数)(x f 在)1,(-∞上单调递增B ．函数)(x f 在)1,(-∞上单调递减C ．函数)(x f 在(-2，2)上单调递增D ．函数)(x f 在(一2，2)上单调递减10、已知椭圆c ：)0,0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线043:=-y x l 交椭圆C 于A ，8两点，若4=+BF AF ，点M 到直线l 的距离等于54，则椭圆C 的离心率为( ) A.23 B ．43 C. 23 D. 46二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分。
湖南省衡阳县高二数学学业水平第一次模拟考试试题
衡阳县2017年高中学业水平第一次模拟考试数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x }，若M∪N＝{0，1，2，3}，则x 的值为( ) A ．3 B ．2C ．1D ．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A.圆柱 B.圆锥 C.圆台D.球3.在区间内任取一个实数，则此数大于3的概率为 A.51 B.52C.53 D.54 4.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是 A.2 B.3 C.4D.55．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，若a ∥b ，则实数x 的值为( ) A ．8B ．2C ．－2D ．－86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( ) A ．15，5，25 B ．15，15，15C ．10，5，30D ．15，10，207.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线 BD 与A 1C 1的位置关系是 A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直8.不等式(x ＋1)(x －2)≤0的解集为 A.{x|－1≤x ≤2}B. {x|－1＜x ＜2}C. {x|x ≥2或x ≤－1}D. {x|x ＞2或x ＜－1}9．已知两点P(4，0)，Q(0，2)，则以线段PQ 为直径的圆的方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A 、B 到点C 的距离AC ＝BC ＝1km ，且∠ACB ＝120A 、B 两点间的距离为( ) A ．3km B ．2kmC ．1.5kmD ．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：log 21＋log 24＝____________。
数学卷·2016届湖南省衡阳县第四中学高二学业水平模拟考试(二)(2015.04)
高二学业水平模拟考试数 学 第I 卷一．选择题:（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合{13}A x x =≤≤，{}2B x x =>，则A B 等于 ( ) A.{23}x x <≤ B. {1}x x ≥ C.{23}x x ≤< D.{2}x x >2. 与－π6角终边相同的角是( )A. π6B. π3C. 11π6D. 4π3 3.直线l 与直线310x +=垂直，则直线l 的斜率为 ( ) A ．33 B ．－33C ． 3D ．－ 34.定义域为R 的四个函数32,2,,2sin x y x y y x y x ====中，奇函数的个数为 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 15.甲、乙两人下棋，甲获胜概率为40﹪,甲不输的概率为90﹪，则甲、乙下成和棋为 （ ） A. 60﹪ B. 30﹪ C.10﹪ D. 50﹪6．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 ( )（第6题图）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台7.若0<x ，则xx 1+的最大值是 （ ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 28．如图所示，算法流程图的输出结果为 ( )（第8题图）A. 34B. 16C. 1112 D ． 25249.下列大小关系正确的是 （ ）A. 3log 2>5log 2>2B. 3log 2>2>5log 2C. 5log 2>2>3log 2D. 2log 5>2log 3>210．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么为 ( )A. 1123AB AD -B.1142AB AD +C. 1132AB AD +D.1223AB AD -(第10题)图）第II 卷二.填空题:（本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上）11.某校高二年级8个班参加合唱比赛的得分如面茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数为______和____(第11题图) 12.)37sin(π-的值是_____________; 13．已知向量a =(3,4), 向量b =(2,k ),若a ⊥b ，则实数k 的值是____________;14. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，且bc c b a ++=222，则角A 的值是____________;15.设1>m ，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数y x z 5+=的最大值为4，则m 的值是_______________.三.解答题：(本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分6分)已知sin α＝35，0<α<π2，求cos α和sin(α＋4π)的值．17. (本小题满分8分)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为菱形，对角线AC 与BD 相交于点E ，平面P AC垂直底面ABCD ，线段PD 的中点为F .（第18题图）(1)求证：EF ∥平面PBC ； (2)求证：BD ⊥PC .对某个品牌的U 盘进行寿命追踪调查，所得情况如下面频率分布直方图所示. （1）图中纵坐标0y 处刻度不清，根据图表所提供的数据还原0y ； （2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个U 盘，寿命为1030万次之间的应抽取几个；（3）从（2）中抽出的寿命落在1030万次之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为1020万次,，一个寿命为2030万次”的概率.(第18题图)频率/组距0.014010 20 30 50 600.02 0.040y 万次数列{}n a 的前n 项和为n S ,且213n n S a =-(n ∈N +). （1） 判断数列}{n a 是什么数列？ （2） 求数列}{n na 的前n 项和n T .20.（本小题满分10分）已知圆C ：02422222=-+--+a ay x y x (a ∈R )的圆心在直线02=-y x 上. （1）求实数a 的值;（2）求圆C 与直线l ：()047)1(12=--+++m y m x m (m ∈R )相交弦长的最小值．学业水平测试模拟试卷（二）数学答案一．选择题（1）A ； （2）D ； （3）C ； （4）D ； （5）D ； （6）B ； （7）B ； （8）C ； （9）C ； （10）D ；二．填空题(11).91.5; 91.5 （12）32- （13）32-； （14）32π； （15）3．三.解答题16.解：由sin 2α＋cos 2α＝1，及0<α<π2，sin α＝35，得cos α＝1－sin 2α＝45. 3分所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝35×22＋45×22＝7210. 6分17. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴E 为线段BD 的中点．又∵点F 为线段PD 的中点，∴EF ∥PB .又∵PB ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，∴EF ∥平面PBC . 4分 (2)∵平面P AC ⊥底面ABCD ，平面P AC ∩底面ABCD ＝AC ，BD ⊂底面ABCD ，由四边形ABCD 菱形，可得BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面P AC .又∵PC ⊂平面P AC ，∴BD ⊥PC . 8分18. 解：（1）11004.01002.0201001.00=⨯+⨯++⨯y015.00=∴y .................................................................................................. 2分 （2）10~30万次之间的U 盘所占频率为25.010015.01001.0=⨯+⨯ 设10~30万次之间的U 盘应抽取x 个，25.020=x，5=∴x ................................ 4分 （3）10~20万次应抽取201.01020=⨯⨯个，设为21,a a ， 20~30万次应抽取3015.01020=⨯⨯个，设为321,,b b b ，寿命落在1030万次之间的元件中任取2个元件，一切可能结果组成的基本事件空间为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=Ω）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（21231322123221113121,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b b b a b a b a b a a a b a b a a a a a“抽取的两个U 盘恰好有一个寿命为1020万次,，一个寿命为2030万次”为事件A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=）（）（）（）（）（）（231322122111,,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a A ,53106)(==A P . .................................................... 8分 19.解：(1)当1n =时，111213a S a ==-，解得135a =， 当2n ≥时，1122(1)(1)33n n n n n a S S a a --=-=---，得152n n a a -=，所以125n n a a -=， 所以数列{}n a 是以35为首项，25为公比的等比数列. ..................................................... 3分 (2)由（1）知：132()55n n a -=，所以132()55n n na n -=()01213232323212...155555555n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12123232323212...1555555555n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 得11332323232...-555555555n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112222...-5555n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21-25225525-1---535533515nn n n nn T n n n ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-................................. 8分20.解：（1）圆C 的方程可化为25)122=+a y x --（）（，将圆心坐标（1,a ）代入直线方程02=-y x 中，得2=a ...................................................................................................... 4分(2)∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R )．∴l 恒过⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0的交点M (3,1)． .................................................................... 7分由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短． 又|CM |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴弦长为l ＝2r 2－|CM |2＝225－5＝4 5. ............................................................ 10分。
2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1．（5分）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0B．1C．2D．42．（5分）设函数f（x）＝，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）3．（5分）函数是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数4．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0D．存在x∈R，x3﹣x2+1＞05．（5分）下列四个函数中，在区间（﹣1，0）上为减函数的是（）A．y＝log2|x|B．y＝cos x C．D．6．（5分）若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y＝2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个7．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）＝（1+x）f（x），则的值是（）A．0B．C．1D．8．（5分）对于正实数a，记M a为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1）．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）•g（x）∈MB．若f（x）∈M，g（x）∈M，且g（x）≠0，则∈MC．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）+g（x）∈M＞a2，则f（x）﹣g（x）∈MD．若f（x）∈M，g（x）∈M，且a9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）＝f （1﹣x）成立，且（x﹣1）f′（x）＜0，设a＝f（0），b＝f（），c＝f（3），则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 10．（5分）对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g （x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①f（x）＝x2，g（x）＝2x﹣3②f（x）＝，g（x）＝x+2③f（x）＝e﹣x，g（x）＝﹣④f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣其中在区间（0，+∞）上存在“友好点”的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④二.填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（选修4-5：不等式选讲）11．（5分）函数y＝的最大值等于．（选修4-4：极坐标与参数方程）12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|＝．（几何证明选讲选做题）13．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若P A＝4，PC＝5，则∠CBD＝．二.填空题（必做题）14．（5分）设p：x2﹣x﹣20＞0，q：＜0，则p是非q的条件．15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，则f（2011）＝．16．（5分）已知以下四个命题：①如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实根，且x1＜x2，那么不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}；②若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0；③“若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题；④定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（﹣x）＝﹣f（x），f（1+x）＝f（1﹣x），则4是y＝f（x）的一个周期．其中为真命题的是（填上你认为正确的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）．17．（12分）设全集是实数集R，A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}，B＝{x|x2+a＜0}．（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知a＞0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y＞1．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）﹣m＝0有解，求m的取值范围．20．（13分）已知函数f（x）＝x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数．（1）求a的取值范围；（2）设g（x）＝e2x﹣ae x﹣1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．21．（13分）已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）＝1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．22．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax和g（x）＝x﹣a．其中a∈R且a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．（Ⅲ）若p和q是方程f（x）﹣g（x）＝0的两根，且满足，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p﹣a．2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1．（5分）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0B．1C．2D．4【解答】解：∵A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0，1，2，4，16}∴∴a＝4，故选：D．2．（5分）设函数f（x）＝，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【解答】解：函数f（x）＝，则f（1）＝3，不等式f（x）＞f（1）等价于：或，解得：x∈（﹣3，1）∪（3，+∞）．故选：A．3．（5分）函数是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数【解答】解：∵1﹣x2≥0，∴﹣1≤x≤1∴＝，故f（x）是偶函数，因此B对．故选：B．4．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0D．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选：D．5．（5分）下列四个函数中，在区间（﹣1，0）上为减函数的是（）A．y＝log2|x|B．y＝cos x C．D．【解答】解：A、∵y＝log2x在（0，+∞）上是增函数，∴y＝log2（﹣x）在（﹣1，0）上是减函数，故对；B、y＝cos x在（﹣，0）上是增函数，∴y＝cos x在在（﹣1，0）上是增函数，故错；C、在R上是增函数，∴在（﹣1，0）上是增函数，故错；D、在R上是增函数，∴在（﹣1，0）上是增函数，故错；故选：A．6．（5分）若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y＝2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个【解答】解：由y＝2x2+1＝3，得x2＝1，即x＝1或x＝﹣1，由y＝2x2+1＝19，得x2＝9，即x＝3或x＝﹣3，即定义域内﹣1和1至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3＝9种，故选：C．7．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）＝（1+x）f（x），则的值是（）A．0B．C．1D．【解答】解：若x≠0，则有，取，则有：∵f（x）是偶函数，则由此得于是，故选：A．8．（5分）对于正实数a，记M a为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1）．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）•g（x）∈MB．若f（x）∈M，g（x）∈M，且g（x）≠0，则∈MC．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）+g（x）∈MD．若f（x）∈M，g（x）∈M，且a＞a2，则f（x）﹣g（x）∈M【解答】解：对于﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1），即有﹣a＜＜a，令k＝，有﹣a＜k＜a，不妨设f（x）∈M a1，g（x））∈M a2，即有﹣a1＜k f＜a1，﹣a2＜k g＜a2，因此有﹣a1﹣a2＜k f+k g＜a1+a2，因此有f（x）+g（x）∈M a1+a2．故选：C．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）＝f （1﹣x）成立，且（x﹣1）f′（x）＜0，设a＝f（0），b＝f（），c＝f（3），则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：由题意得：对任意x∈R，都有f（x+1）＝f（1﹣x）成立，所以函数的对称轴为x＝1，所以f（3）＝f（﹣1）．因为当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增．因为﹣1＜0＜，所以f（﹣1）＜f（0）＜f（），即f（3）＜f（0）＜f（），所以c＜a＜b．故选：C．10．（5分）对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g （x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①f（x）＝x2，g（x）＝2x﹣3②f（x）＝，g（x）＝x+2③f（x）＝e﹣x，g（x）＝﹣④f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣其中在区间（0，+∞）上存在“友好点”的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①f（x）﹣g（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2，∴要使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，不可能，不满足条件，∴在区间（0，+∞）上的不存在唯一“友好点”，∴①不正确．②g（x）﹣f（x）＝x﹣+2＝（﹣）2+≥＞1，∴不存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，∴函数不存在“友好点”，∴②错误．③设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e﹣x+，则函数h（x）在（0，+∞）上单调减，∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0不唯一，∴③满足条件，∴③正确．④h（x）＝g（x）﹣f（x）＝x﹣lnx，（x＞0），h′（x）＝1﹣，令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，∴x＝1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）＝1﹣0＝1，∴g（x）﹣f（x）≥1，∴当x0＝1时，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0唯一，∴④满足条件．故选：C．二.填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（选修4-5：不等式选讲）11．（5分）函数y＝的最大值等于2．【解答】解：由于y≥0，则y2＝x﹣1+5﹣x+2＝4+2＝4+2当x＝3时，y2取最大值4+2×2＝8，即有y的最大值为2．故答案为：（选修4-4：极坐标与参数方程）12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|＝．【解答】解：∵直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），∴直线l的普通方程为：y＝x．∵曲线C的参数方程为（θ为参数），∴曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+y2＝4．∵直线l与曲线C交于A，B两点，∴圆心（1，0）到直线l：x﹣y＝0的距离为：，∴|AB|＝2＝2＝．故答案为：．（几何证明选讲选做题）13．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若P A＝4，PC＝5，则∠CBD＝30°．【解答】解：由割线定理得，P A×PB＝PC×PD，∵P A＝4，PC＝5，∴4×10＝5×PD，∴PD＝8，∴CD＝8﹣5＝3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD＝60°，从而∠CBD＝30°．故填：30°或．二.填空题（必做题）14．（5分）设p：x2﹣x﹣20＞0，q：＜0，则p是非q的充分不必要条件．【解答】解：由x2﹣x﹣20＞0得x＞5或x＜﹣4，即p：x＞5或x＜﹣4，由＜0得|x|﹣2＜0，解得﹣2＜x＜2，即q：﹣2＜x＜2，非q：x≥2或x ≤﹣2，即p是非q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，则f（2011）＝8．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x＝x+2代入得，∴f（x+4）＝＝＝f（x），∴函数f（x）是周期函数且T＝4，∴f（2011）＝f（4×502+3）＝f（3），∵当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，∴f（3）＝8．即f（2011）＝8．故答案为：8．16．（5分）已知以下四个命题：①如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实根，且x1＜x2，那么不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}；②若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0；③“若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题；④定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（﹣x）＝﹣f（x），f（1+x）＝f（1﹣x），则4是y＝f（x）的一个周期．其中为真命题的是③④（填上你认为正确的序号）．【解答】解：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实根，且x1＜x2，那么当a＞0时，不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，故①错误；若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，故②错误；∵若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R为真命题，∴“若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题也为真命题；∵定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（﹣x）＝﹣f（x），f（1+x）＝f（1﹣x），则f（2+x）＝f[（1+x）+1]＝f[1﹣（1+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），即4是y＝f（x）的一个周期．故④也为真命题故答案为③④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）．17．（12分）设全集是实数集R，A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}，B＝{x|x2+a＜0}．（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A＝{x|≤x≤3}，当a＝﹣4时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|≤x＜2}，A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}．…（6分）（2）∁R A＝{x|x＜或x＞3}，当（∁R A）∩B＝B时，B⊆∁R A，①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁R A；②当B≠∅，即a＜0时，B＝{x|﹣＜x＜}，要使B⊆∁R A，需≤，解得﹣≤a＜0．综上可得，实数a的取值范围是a≥﹣．…（12分）18．（12分）已知a＞0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y＞1．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．【解答】解：若p是真命题，则0＜a＜1…（2分）若q是真命题，则函数y＞1恒成立，即函数y的最小值大于1，而函数y的最小值为2a，只需2a＞1∴∴q为真命题时，…（6分）又∵p∧q为假，p∨q为真∴p与q一真一假…（8分）若p真q假，则；若p假q真，则a≥1…（10分）故a的取值范围为或a≥1…（12分）19．（12分）已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）﹣m＝0有解，求m的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．可知f（x）＝f（﹣x）∴log4（4x+1）+kx＝log4（4﹣x+1）﹣kx（（2分）即∴log44x＝﹣2kx（4分）∴x＝﹣2kx对x∈R恒成立．（6分）∴k＝．（7分）（2）由，∴．（9分）∵（11分）∴（13分）故要使方程f（x）﹣m＝0有解，m的取值范围：．（14分）20．（13分）已知函数f（x）＝x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数．（1）求a的取值范围；（2）设g（x）＝e2x﹣ae x﹣1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．【解答】解：（1），∵f（x）在（0，1）上是增函数，∴在（0，1）上恒成立，即恒成立，∴只需即可．∴（当且仅当时取等号），∴（2）设e x＝t，∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．设，其对称轴为，由（1）得，∴则当，即时，h（t）的最小值为当，即a＜2时，h（t）的最小值为h（1）＝﹣a所以，当时，g（x）的最小值为，当a＜2时，g（x）的最小值为﹣a21．（13分）已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）＝1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．【解答】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），令x1＝x2＝1，代入上式解得f（1）＝0，令x1＝x2＝﹣1，代入上式解得f（﹣1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝x代入上式，∴f（﹣x）＝f（﹣1•x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．（2）设x2＞x1＞0，则＝∵x2＞x1＞0，∴，∴＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）∵f（2）＝1，∴f（4）＝f（2）+f（2）＝2，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x2﹣1）＜2可化为f（|2x2﹣1|）＜f（4），又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x2﹣1|＜4，且2x2﹣1≠0，即﹣4＜2x2﹣1＜4，且2x2≠1解得：，且x≠，即不等式的解集为{x|，且x≠}．22．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax和g（x）＝x﹣a．其中a∈R且a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．（Ⅲ）若p和q是方程f（x）﹣g（x）＝0的两根，且满足，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p﹣a．【解答】解：（Ⅰ）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），又∵点（a，0）也在函数f（x）的图象上，∴a3+a2＝0．而a≠0，∴a＝﹣1（Ⅱ）依题意，f（x）＝g（x），即ax2+ax＝x﹣a，整理，得ax2+（a﹣1）x+a＝0，①∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，∴△＞0，即△＝（a﹣1）2﹣4a2＝﹣3a2﹣2a+1＝（3a﹣1）（﹣a﹣1）＞0．∴﹣1＜a＜且a≠0．设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，由①得，x1•x2＝1＞0，．设点o到直线g（x）＝x﹣a的距离为d，则，．∴S△OAB＝＝．∵﹣1＜a＜且a≠0，∴当时，S△OAB 有最大值，S△OAB无最小值．f（x）﹣g（x）＝a（x﹣p）（x﹣q）．∵，∴a（x﹣p）（x﹣q）＞0，∴当x∈（0，p）时，f（x）﹣g（x）＞0，即f（x）＞g（x）．又f（x）﹣（p﹣a）＝a（x﹣p）（x﹣q）+x﹣a﹣（p﹣a）＝（x﹣p）（ax﹣aq+1），x﹣p＜0ax﹣aq+1＞1﹣aq＞0，∴f（x）﹣（p﹣a）＜0，∴f（x）＜p﹣a，综上可知，g（x）＜f（x）＜p﹣a．。
2015-2016年湖南省衡阳市衡阳四中高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）一个等差数列第5项a 5=10，且a1+a2+a3=3，则有（）A．a1=﹣2，d=3 B．a1=2，d=﹣3 C．a2=﹣3，d=2 D．a3=3，d=﹣22．（5分）设a＜b＜0，下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab＜b2B．b2＜ab＜a2C．a2＜b2＜ab D．ab＜b2＜a23．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）4．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解5．（5分）已知等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）A．2 B．4 C．6 D．86．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A=，b=1，△ABC的面积为，则c的值为（）A．1 B．2 C．D．7．（5分）关于数列3，9，…，2187，…，以下结论正确的是（）A．此数列不是等差数列，也不是等比数列B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列8．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B=2sin2C，则角C为（）A．钝角B．直角C．锐角D．60°9．（5分）不等式y≤3x+b所表示的区域恰好使点（3，4）不在此区域内，而点（4，4）在此区域内，则b的取值范围是（）A．﹣8≤b≤﹣5 B．b≤﹣8或b＞﹣5 C．﹣8≤b＜﹣5 D．b≤﹣8或b ≥﹣510．（5分）函数y=（x＞1）的最小值是（）A．2+2 B．2﹣2 C．2 D．211．（5分）数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．12．（5分）如图给出一个“直角三角形数阵”，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则a83等于（）A．B．C．D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于．14．（5分）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n（n∈N*），S n数列{a n}的前n项和，则S6的值．16．（5分）设变量x、y满足约束条件，则s=的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）解不等式：3x2﹣5x﹣2≤0（2）当x＞1时，求x+的最小值．18．（12分）等差数列{a n}中，（1）已知a4+a17=8，求s20；（2）已知d=3，a n=20，s n=65，求n的值．19．（12分）设△ABC的三边长分别为a，b，c，已知a=3，c=2，B=120°．（1）求边b的长；（2）求△ABC的面积．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．21．（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）一个等差数列第5项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有（）A．a1=﹣2，d=3 B．a1=2，d=﹣3 C．a2=﹣3，d=2 D．a3=3，d=﹣2【解答】解：由于等差数列第5项a5 =10，且a1+a2+a3=3，设公差为d，则可得a1+4d=10，3a1+3d=3．解得a1=﹣2，d=3．故选：A．2．（5分）设a＜b＜0，下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab＜b2B．b2＜ab＜a2C．a2＜b2＜ab D．ab＜b2＜a2【解答】解：∵a＜b＜0，∴a2＞ab，ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故选：B．3．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．4．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【解答】解：由正弦定理得：=，即sinB==，则B=arcsin或π﹣arcsin，即此三角形解的情况是两解．故选：B．5．（5分）已知等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由题意知S4=240，a2+a4=180，即a1+a3=240﹣180=60，则（a1+a3）q=a2+a4，即60q=180，解得q=3，则a1+q2a1=10a1=60，解得a1=6，故选：C．6．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A=，b=1，△ABC的面积为，则c的值为（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：∵△ABC中，A=，b=1，∴△ABC的面积为S=bcsinA=即×1×c×sin=，解之得c=2故选：B．7．（5分）关于数列3，9，…，2187，…，以下结论正确的是（）A．此数列不是等差数列，也不是等比数列B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列【解答】解：一方面∵=729，∴该数列有可能是以首项和公比均为3的等比数列；另一方面∵=363，∴该数列有可能是以首项为3、公差为6的等差数列；故选：B．8．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B=2sin2C，则角C为（）A．钝角B．直角C．锐角D．60°【解答】解：在△ABC中，sin2A+sin2B=2sin2C，利用正弦定理化简得：a2+b2=2c2，∴cosC==＞0，即C为锐角，故选：C．9．（5分）不等式y≤3x+b所表示的区域恰好使点（3，4）不在此区域内，而点（4，4）在此区域内，则b的取值范围是（）A．﹣8≤b≤﹣5 B．b≤﹣8或b＞﹣5 C．﹣8≤b＜﹣5 D．b≤﹣8或b ≥﹣5【解答】解：∵点（3，4）不在不等式y≤3x+b所表示的区域，而点（4，4）在不等式y≤3x+b所表示的区域∴即﹣8≤b＜﹣5故选：C．10．（5分）函数y=（x＞1）的最小值是（）A．2+2 B．2﹣2 C．2 D．2【解答】解：y==（x﹣1）++2∵x＞1，∴x﹣1＞0∴（x﹣1）+≥2（当且仅当x=+1时，取等号）∴y=≥2+2故选：A．11．（5分）数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．【解答】解：当n≥2时，由a 1+a2+…+a n=2n﹣1可得a1+a2+…+a n﹣1=2n﹣1﹣1，∴a n=2n﹣1，当n=1时也成立．∴=4n﹣1．∴a12+a22+…+a n2==．故选：D．12．（5分）如图给出一个“直角三角形数阵”，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则a83等于（）A．B．C．D．1【解答】解：由题意，a11=，∵每一列成等差数列，∴a i1=a11+（i﹣1）×=，∵从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，∴a ij=a i1×（）j﹣1=×（）j﹣1=i×（）j+1，∴a83=8×（）4=故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于．【解答】解：△ABC中，由三角形内角和公式可得A=75°，再根据大角对大边可得b为最小边．再根据正弦定理可得，即=，解得b=，故答案为．14．（5分）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为（﹣，3] ．【解答】解：若m2﹣2m﹣3=0，则m=﹣1或m=3，若m=﹣1，不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0为4x﹣1＜o不合题意；若m=3，不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0为﹣1＜0对一切x∈R恒成立，所以m=3可取，设f（x）=（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1，当m2﹣2m﹣3＜0且△=[﹣（m﹣3）]2+4（m2﹣2m﹣3）＜0，解得：﹣＜m ＜3，即﹣＜m≤3时不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，故答案为：．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n（n∈N*），S n数列{a n}的前n项和，则S6的值126．=2a n（n∈N*），且a1=2≠0，【解答】解：在数列{a n}中，由a n+1可得，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴．故答案为：126．16．（5分）设变量x、y满足约束条件，则s=的取值范围是[] ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，s==，其几何意义为可行域内的动点（x，y）与定点P（﹣1，﹣1）的连线的斜率．∵，．∴s的取值范围为[]．故答案为：[]．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）解不等式：3x2﹣5x﹣2≤0（2）当x＞1时，求x+的最小值．【解答】解：（1）不等式3x2﹣5x﹣2≤0可化为：（x﹣2）（3x+1）≤0，解得，﹣≤x≤2，即不等式的解集为{x|﹣≤x≤2}；（2）因为x＞1，所以x﹣1＞0，则x+=（x﹣1）++1≥2•+1=2+1=3，当且仅当：x=2时，取“=”，因此，原式的得最小值3．18．（12分）等差数列{a n}中，（1）已知a4+a17=8，求s20；（2）已知d=3，a n=20，s n=65，求n的值．【解答】解：（1）等差数列{a n}中，∵a4+a17=8，∴S20==10（a4+a17）=10×8=80．（2）等差数列{a n}中，∵d=3，a n=20，S n=65，∴，解得或解得n=10或n=（舍）．∴n=10．19．（12分）设△ABC的三边长分别为a，b，c，已知a=3，c=2，B=120°．（1）求边b的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵△ABC中，a=3，c=2，B=120°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=9+4+6=19，则b=；（2）∵a=3，c=2，sinB=，=acsinB=．∴S△ABC20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．21．（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省．【解答】解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，则，目标函数为z=3x+2y，作出可行域如图把z=3x+2y变形为y=﹣，得到斜率为﹣．在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．由图可知，当直线y=﹣经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．由得A（，3），∴z min=3×+2×3=14.4．∴选用甲种原料×10=28（g），乙种原料3×10=30（g）时，费用最省．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，故{a n}的通项公式为a n=4n﹣2，即{a n}是a1=2，公差d=4的等差数列．设{b n}的公比为q，则b1qd=b1，d=4，∴q=．故b n=b1q n﹣1=2×，即{b n}的通项公式为b n=．（II）∵c n===（2n﹣1）4n﹣1，T n=c1+c2+…+c nT n=1+3×41+5×42+…+（2n﹣1）4n﹣14T n=1×4+3×42+5×43+…+（2n﹣3）4n﹣1+（2n﹣1）4n两式相减得，3T n=﹣1﹣2（41+42+43+…+4n﹣1）+（2n﹣1）4n=[（6n﹣5）4n+5]∴T n=[（6n﹣5）4n+5]。
湖南省衡阳四中2015-2016学年高二(下)数学培优试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年湖南省衡阳四中高二（下）数学培优试卷（理科）一．选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分）1．已知等差数列{a n}满足a3+a7=10，则a4+a5+a6=（）A．5 B．15 C．25 D．302．在△ABC中，已知a=4，b=6，B=60°，则sinA的值为（）A．B．C．D．3．已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（）A．它的首项是﹣2，公差是3 B．它的首项是2，公差是﹣3C．它的首项是﹣3，公差是2 D．它的首项是3，公差是﹣24．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（）A．B．2 C．D．6．等比的正数数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log357．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．38．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=（）A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣159．已知双曲线的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作垂直l1的直线交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2 C．2D．411．已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．y=x C．D．12．如图，椭圆的左、右焦点为F1，F2，上顶点为A，点P为第一象限内椭圆上的一点，若点A到PF1的距离是点F2到PF1距离的2倍，则直线PF1的斜率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{a n}中，，则tan（a6+a7+a8）=．14．双曲线﹣y2=1的焦点到它的渐近线的距离为．15．A：x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根；B：x1+x2=﹣，则A是B的条件．16．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为．三、解答题（共6个小题，共70分）17．已知等差数列{a n}中满足a2=0，a6+a8=﹣10．（1）求a1及公差d；（2）求数列的前10项的和．18．已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=，（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．20．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（+B）•sin（﹣B）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．21．在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．22．在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣2的距离小1．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；（Ⅱ）过点E（0，﹣4）的直线与轨迹W交于两点A，B，点D是点E关于x轴的对称点，点A关于y轴的对称点为A1，证明A1，D，B三点共线．2015-2016学年湖南省衡阳四中高二（下）数学培优试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分）1．已知等差数列{a n}满足a3+a7=10，则a4+a5+a6=（）A．5 B．15 C．25 D．30【考点】等差数列的性质．【分析】直接利用等差数列的性质求解即可．【解答】解：等差数列{a n}满足a3+a7=10，可得2a5=10，∴a5=5a4+a5+a6=3a5=3×5=15．故选：B．2．在△ABC中，已知a=4，b=6，B=60°，则sinA的值为（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．【解答】解：∵a=4，b=6，B=60°，∴由正弦定理=得：sinA===．故选A3．已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（）A．它的首项是﹣2，公差是3 B．它的首项是2，公差是﹣3C．它的首项是﹣3，公差是2 D．它的首项是3，公差是﹣2【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可建立关于a1和d的方程组，解之即可．【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得，解得，故选A4．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件；四种命题．【分析】根据所给的两个命题，解不等式解出两个命题的x的值，从x的值的范围大小上判断出两个命题之间的关系，从而看出两个非命题之间的关系．【解答】解：∵p：|x+1|＞2，∴x＞1或x＜﹣3∵q：5x﹣6＞x2，∴2＜x＜3，∴q⇒p，∴﹣p⇒﹣q∴﹣p是﹣q的充分不必要条件，故选A．5．正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（）A．B．2 C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质．【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出则的最小值．【解答】解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∵=4a1，∴，即2m+n﹣2=16=24，∴m+n﹣2=4，即m+n=6，∴，∴=（）=，当且仅当，即n=2m时取等号．故选：A．6．等比的正数数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35【考点】等比数列的性质．【分析】由a5a6=9，取常数列{a n}的各项都为3，代入所求的式子中，利用对数的运算法则即可求出所求式子的值．【解答】解：取特殊数列a n=3，则log3a1+log3a2+…+log3a10==10，故选B．7．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．8．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=（）A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣15【考点】数列的求和．【分析】通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解．【解答】解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3∴a1+a2+…+a10=5×3=15故选A．9．已知双曲线的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作垂直l1的直线交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．【解答】解：∵b＞a＞0，∴渐近线斜率为：k＞1，∴=e2﹣1＞1，∴e2＞2，∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴|AB|=2（|OB|﹣|OA|），∵|OA|+|OB|=2|AB|，∴|OA|=|AB|，∴=，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=而由对称性可知：OA的斜率为k=tan（﹣∠AOB）∴=，∴2k2﹣3k﹣2=0，∴k=2或（k=﹣舍去）；∴=2，∴e=．故选：B．10．在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2 C．2D．4【考点】正弦定理．【分析】由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B==30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．11．已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．y=x C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，求出m 的值，即可求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意，双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，∴（）2﹣4•﹣5=0∴=5∴m=16∴双曲线方程为=1∴双曲线的渐近线方程为故选B．12．如图，椭圆的左、右焦点为F1，F2，上顶点为A，点P为第一象限内椭圆上的一点，若点A到PF1的距离是点F2到PF1距离的2倍，则直线PF1的斜率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的应用．【分析】设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为y=k（x+1），利用点A到PF1的距离是点F2到PF1距离的2倍，建立方程，即可求直线PF1的斜率．【解答】解：设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为y=k（x+1），即kx﹣y+k=0，∵A（0，），F2（1，0），点A到PF1的距离是点F2到PF1距离的2倍，∴，∵点P为第一象限内椭圆上的一点，∴k=．故选C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{a n}中，，则tan（a6+a7+a8）=﹣1．【考点】等差数列的前n项和；三角函数的化简求值．【分析】由等差中项的性质求出a6+a7+a8的值，从而计算tan（a6+a7+a8）的值．【解答】解：∵等差数列{a n}中，，∴a6+a8=2a7，∴tan（a6+a7+a8）=tan（3a7）=tan=﹣1；故答案为：﹣1．14．双曲线﹣y2=1的焦点到它的渐近线的距离为1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0），渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d==1．故答案为：1．15．A：x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根；B：x1+x2=﹣，则A是B的充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】A⇒B验证充分性x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，可推出x1+x2=﹣，而必要性不一定成立，故得是充分条件【解答】解：由题意若x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，由根与系数的关系一定可以得出x1+x2=﹣，故A⇒B成立；若x1+x2=﹣，成立，不能得出x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，因为此方程有根与否要用判断式进行判断，须考虑a，b，c三个字母，故B⇒A不一定成立；故可得，A是B的充分条件故答案为充分16．抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则的最大值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|AF |=a ，|BF |=b ，连接AF 、BF ．由抛物线定义得2|MN |=a +b ，由余弦定理可得|AB |2=（a +b ）2﹣ab ，进而根据基本不等式，求得|AB |的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF |=a ，|BF |=b ，连接AF 、BF ， 由抛物线定义，得|AF |=|AQ |，|BF |=|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MN |=|AQ |+|BP |=a +b ． 由余弦定理得，|AB |2=a 2+b 2﹣2abcos120°=a 2+b 2+ab ， 配方得，|AB |2=（a +b ）2﹣ab ，又∵ab ≤（）2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（a +b ）2=（a +b ）2得到|AB |≥（a +b ）．∴≤=，即的最大值为．故答案为：．三、解答题（共6个小题，共70分）17．已知等差数列{a n }中满足a 2=0，a 6+a 8=﹣10． （1）求a 1及公差d ；（2）求数列的前10项的和． 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】（1）由等差数列的通项公式和求和公式可得关于a1和d的方程组，解方程组可得；（2）由（1）所解的数据，代入求和公式计算可得．【解答】解：（1）由已知得，解方程组可得（2）由等差数列前n项和公式可得S10=10×1+×（﹣1）=﹣35，∴数列{a n}的前10项的和为：﹣3518．已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】先解不等式分别求出¬p和q，再由非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：¬p：|4﹣x|＞6，x＞10，或x＜﹣2，A={x|x＞10，或x＜﹣2}q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}而¬p⇒q，∴A⊂B，即，∴0＜a≤3．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=，（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）首先根据同角三角函数的关系求出sinA的值，然后由sinC=sin（A+B）利用两角和与差展开，并将值代入即可；（2）根据正弦定理求出a的值，然后由三角形的面积公式即可得出结果．【解答】解：（1）∵，∴∴…（2）由正弦定理得∴…20．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（+B）•sin（﹣B）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的正弦公式化简式子，利用平方关系、条件求出角B的值；（Ⅱ）利用余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，把数据代入利用不等式求出ac的范围，代入三角形的面积公式求出面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由条件得sinB=2（）（），即sinB=cos2B﹣sin2B，由sin2B+cos2B=1得，2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB=或sinB=﹣1…因为△ABC是锐角三角形，所以B=…（Ⅱ）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，把b=1，B=代入可以得到：≥，所以=2…所以≤…当且仅当a=c时取等号，此时△ABC的面积的最大值是…21．在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法，建立方程组，求出d，q，即可求a n与b n；（Ⅱ）确定数列{c n}的通项，利用裂项法，可求{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，因为所以…解得q=3或q=﹣4（舍），d=3．…故a n=3+3（n﹣1）=3n，．…（Ⅱ）∵S n=，∴c n===（﹣），∴T n= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．22．在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣2的距离小1．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；（Ⅱ）过点E（0，﹣4）的直线与轨迹W交于两点A，B，点D是点E关于x轴的对称点，点A关于y轴的对称点为A1，证明A1，D，B三点共线．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣2的距离小1，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx﹣4，代入抛物线方程，求出直线A1B的方程，证明直线A1B 过点D（0，4），可证A1，D，B三点共线．【解答】（Ⅰ）解：∵动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣2的距离小1，∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，∴动点P的轨迹W是以F（0，1）为焦点的抛物线，其方程为x2=4y；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx﹣4，A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，y1），由消去y可得x2﹣4kx+16=0，则△=16k2﹣64＞0，即|k|＞2，x1+x2=4k，x1x2=16．直线A1B：，∴，∴+，∴+4，∴直线A1B过点D（0，4），∴A1，D，B三点共线．2016年8月4日。
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，5}，∁U（A∪B）＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，3，4}D．{3，4}2．（5分）命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2x+2＞0B．∃x∈R，x2+2x+2≥0C．∀x∈R，x2+2x+2＞0D．∀x∈R，x2+2x+2≤03．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝B．y＝|x|C．y＝e﹣x D．y＝﹣x2+1 4．（5分）已知sin（﹣α）＝，且α是第四象限的角，则tan（2π﹣α）＝（）A．﹣B．C．±D．±5．（5分）已知平面向量，，与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．26．（5分）如图，是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据在[6，10）内的频率和频数分别是（）A．0.32，32B．0.08，8C．0.24，24D．0.36，36 7．（5分）已知a＞b＞0，则3a，3b，4a的大小关系是（）A．3a＞3b＞4a B．3b＜4a＜3a C．3b＜3a＜4a D．3a＜4a＜3b 8．（5分）在△ABC中，角C为最大角，且a2+b2﹣c2＞0，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不确定9．（5分）如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）则该几何体的表面积和体积分别为（）A．24πcm2，12πcm3B．15πcm2，12πcm3C．24πcm2，36πcm3D．以上都不正确10．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+b在区间（2，4）内有唯一零点，则b的取值范围是（）A．R B．（﹣∞，0）C．（﹣8，+∞）D．（﹣8，0）11．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值12．（5分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）的值域为[﹣1，+∞）D．f（x）是周期函数二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题纸相应位置）13．（5分）计算（5﹣5i）+（﹣2﹣i）﹣（3+4i）＝．14．（5分）设函数y＝x2﹣4x+3，x∈[1，4]，则f（x）的值域为．15．（5分）把参数方程（t为参数）化为普通方程为．16．（5分）当x＝2时，如图的程序段结果是．三、解答题（本题共6道题，共70分）17．（10分）在等比数列{a n}中，a1+a3＝10，a4+a6＝．S n是数列{a n}的前n项的和，求a5和S6．18．（12分）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）（1）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（2）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率．19．（12分）已知函数f（x）＝log a（a＞0，a≠1）．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）解不等式f（x）＞0．20．（12分）已知点P（cos2x+1，1），点Q（1，sin2x+1）（x∈R），且函数f（x）＝•（O为坐标原点），（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的最小正周期及最值．21．（12分）如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，P A＝AD ＝a，AB＝2a．（1）求证：MN∥平面P AD；（2）求证：MN⊥CD；（3）PC与平面ABCD所成角的大小的正切值．22．（12分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上一点，且在点P处的切线与直线y＝x﹣2平行，（1）求点P的坐标；（2）求函数y＝x2﹣lnx的极小值．2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：∵全集U＝{x∈N|x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，5}，∴A∪B＝{1，2，5}，则∁U（A∪B）＝{0，3，4}，故选：C．2．【解答】解：∵“∃x∈R，x2+2x+2≤0”是特称命题，∴根据特称命题的否定的全称命题，得到命题的否定是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．故选：C．3．【解答】解：A.是奇函数，∴该选项错误；B．y＝|x|为偶函数，且x＞0时，y＝|x|＝x为增函数；即y＝|x|在（0，+∞）上单调递增，∴该选项正确；C．e﹣1≠e﹣（﹣1）；∴函数y＝e﹣x不是偶函数，∴该选项错误；D．函数y＝﹣x2+1在（0，+∞）上单调递减；∴该选项错误．故选：B．4．【解答】解：sin（﹣α）＝，且α是第四象限的角，可得cosα＝，sinα＝﹣＝﹣．tan（2π﹣α）＝﹣tanα＝＝﹣＝．故选：B．5．【解答】解：（）＝（λ+4，﹣3λ﹣2），由题意可得（）•＝（λ+4，﹣3λ﹣2）•（1，﹣3）＝λ+4+9λ+6＝0，∴λ＝﹣1，故选A．6．【解答】解：由频率分布直方图可得：样本数据在[6，10）内的频率＝0.08×4＝0.32，样本数据在[6，10）内的频率＝0.32×100＝32．故选：A．7．【解答】解：∵a＞b＞0，不妨假设a＝2，b＝1，则由3a＝9，3b＝3，4a＝16，可得3b ＜3a＜4a，故A、B、D不正确，C正确，故选：C．8．【解答】解：∵a2+b2﹣c2＞0由余弦定理可得，cos C＝＞0∴C∵角C为最大角∴A，B都为锐角∴△ABC为锐角三角形故选：A．9．【解答】解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r＝3，圆锥的母线长l＝5则圆锥的底面积S底面＝π•r2＝9π侧面积S侧面＝π•r•l＝15π故几何体的表面积S＝9π+15π＝24πcm2，又由圆锥的高h＝＝4故V＝•S底面•h＝12πcm3故选：A．10．【解答】解：由题意可知：函数f（x）＝x2﹣2x+b在区间（2，4）内有唯一零点，∴f（2）•f（4）＜0，∴（22﹣2×2+b）（42﹣2×4+b）＜0，∴﹣8＜a＜0，则b的取值范围（﹣8，0）．故选：D．11．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“＝”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x＝2时取最大值．故选：B．12．【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）＝cos x为周期函数，当x＞0时，f（x）＝x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、D，对于C，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故c正确．故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题纸相应位置）13．【解答】解：（5﹣5i）+（﹣2﹣i）﹣（3+4i）＝（5﹣2﹣3）+（﹣5﹣1﹣4）i＝﹣10i．故答案为：﹣10i．14．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，函数的对称轴x＝2∈[1，4]，∴此函数在[1，4]上的最小值为：f（2）＝﹣1，最大值为：f（4）＝3，∴函数f（x）的值域是[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．15．【解答】解：由x＝1﹣t与y＝1+t相加可得：x+y＝2，即普通方程为：x+y﹣2＝0．故答案为：x+y﹣2＝016．【解答】解：执行程序，有i＝1，S＝0满足条件i≤4，有S＝1，i＝2满足条件i≤4，有S＝3，i＝3满足条件i≤4，有S＝7，i＝4满足条件i≤4，有S＝15，i＝5不满足条件i≤4，输出S的值为15，故答案为：15．三、解答题（本题共6道题，共70分）17．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3＝10，a4+a6＝．∴，解得q＝，a1＝8．∴a5＝＝．S6＝＝．18．【解答】解：根据题意，每次抛掷一枚骰子，向上的点数有6种情况，则连续抛掷2次，向上的数有6×6＝36种情况；（1）、记向上点数之和为5为事件A，则A包含（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），共5个基本事件；故P（A）＝；（2）、记向上的数不同为事件B，则B的对立事件为向上的数相同，包含了（1，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4）、（5，5）、（6，6），6种情况，则P（）＝＝；P（B）＝1﹣P（）＝1﹣＝．19．【解答】解：（Ⅰ）解，得﹣1＜x＜1；∴函数的定义域为（﹣1，1）；（Ⅱ）∵函数的定义域关于原点对称；且；∴f（x）为奇函数；（Ⅲ）∵f（x）＞0，①当0＜a＜1时，；解得0＜x＜1；②当a＞1时，；∴﹣1＜x＜0．20．【解答】解：（1）因为点P（cos2x+1，1），点，所以，＝．（2）由，所以T＝π，又因为x∈R，所以f（x）的最小值为﹣2+2＝0，f（x）的最大值为2+2＝4．21．【解答】（1）证明：取PD的中点E，连接AE、EN，则有EN＝＝＝AM，EN∥CD∥AB∥AM，故AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD．（2）证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AB，又AD⊥AB，∴AB⊥平面P AD，∴AB⊥AE，即AB⊥MN，又CD∥AB，∴MN⊥CD．（3）解：连接AC，P A⊥矩形ABCD所在的平面，所以∠PCA为PC与平面ABCD所成角，AB＝2a，BC＝a，∴AC＝a，P A＝a，∴tan∠PCA＝＝．22．【解答】解：（1）函数的导数，设p（x0，y0），f′（x0）＝1，∵在点P处的切线与直线y＝x﹣2平行，∴由f′（x）＝得x0＝1或（舍），代入得y0＝1，所以P（1，1）…..（5分）（2）令f′（x）＝0，解得（舍），令f′（x）＞0解得，函数的递增区间令f′（x）＜0，解得，函数的递减区间，则f（x）的极小值为…（12分）。
湖南省衡阳县四中2015-2016学年高二下学期期末考试文科数学试题 含答案
衡阳县四中2015-2016年下学期期末考试高二年级数学（文科）试卷本试卷共 150 分 考试时间 120 分钟一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题中只有一个正确答案）1.全集{}6<∈=x N x U ,集合A=}2,1{，集合B=}5,2{，)(B A C U=（ )A.{0，2，4｝ B 。
{2，4｝ C.{0，3，4｝ D.｛3,4}2。
命题“,R x ∈∃0222≤++x x”的否定为（）A. ,R x ∈∀0222≤++x x B 。
,R x ∈∀0222≥++x x C.,R x ∈∃0222>++x xD 。
,R x ∈∀0222>++x x3. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，∞+)上单调递增的是（ ） A 。
xy 1= B.x y = C 。
x e y -= D 。
12+-=x y4、已知1352sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，且α是第四象限的角,则()2tan πα-= ( ）A 。
125- B.125 C 。
125± D 。
512±5、 已知平面向量a =（1，－3)，b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是( ）A 。
－1 B. 1 C. －2 D. 26、如图是容量为100则样本数据在[6,10) Ａ．0.32,32 Ｃ．0.24,247. 已知0>>b a ,则3,3,4abaA ．334aba>> B ．343baa<< C ． 334baa<< D ． 343aab<< 8、在 ABC △中，角C 为最大角，且0222>-+c b a ，则ABC △是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．形状不确定9、 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm )，则该几何体的表面积及体积为：（ ） A.224cm π，212cm πB 。
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．（5分）已知复数z满足z+i﹣3＝3﹣i，则z等于（）A．0B．2i C．6D．6﹣2i2．（5分）函数y＝x cos x的导数为（）A．y′＝cos x﹣x sin x B．y′＝cos x+x sin xC．y′＝x cos x﹣sin x D．y′＝x cos x+sin x3．（5分）某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是（）A．C103C53B．C104C52C．C155D．A104A524．（5分）下列结论中正确的是（）A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值C．如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极小值D．如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极大值5．（5分）在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣10B．10C．﹣5D．56．（5分）如图是导函数y＝f′（x）的图象，那么函数y＝f（x）在下面哪个区间是减函数（）A．（x1，x3）B．（x2，x4）C．（x4，x6）D．（x5，x6）7．（5分）已知下列随机变量：①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分；③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X；④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X．其中X是离散型随机变量的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．③④8．（5分）设随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）＝1.6，D（ξ）＝1.28，则（）A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45 9．（5分）点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人各射击一次，如果两人击中目标的概率都是0.6，则其中恰有1人击中目标的概率是（）A．0.48B．0.24C．0.36D．0.1611．（5分）记A＝cos，B＝cos，C＝sin﹣sin，则A，B，C的大小关系是（）A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A 12．（5分）已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lg（x））＞f（1），则x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）二、填空题（本大题共有4小题）13．（5分）若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）＝．14．（5分）如图所示阴影部分的面积为．15．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为．16．（5分）设P是△ABC内一点，△ABC三边上的高分别为h A、h B、h C，P到三边的距离依次为l a、l b、l c，则有++＝1；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是h A、h B、h C、h D，P到这四个面的距离依次是l a、l b、l c、l d，则有．三、解答题（本大题共有5小题）17．（10分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次，根据以往资料知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙的射击相互独立．求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的概率．18．（12分）用数学归纳法证明12+22+32+…+n2＝，（n∈N*）19．（12分）已知函数y＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3．（1）求a，b的值；（2）求函数y的极小值．20．（12分）袋中有分别写着“团团”和“圆圆”的两种玩具共7个且形状完全相同，从中任取2个玩具都是“圆圆”的概率为，A、B两人不放回从袋中轮流摸取一个玩具，A 先取，B后取，然后A再取，…直到两人中有一人取到“圆圆”时即停止游戏．每个玩具在每一次被取出的机会是均等的，用X表示游戏终止时取玩具的次数．（1）求X＝4时的概率；（2）求X的数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+lnx（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；（2）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）＝x3图象的下方．22．（12分）已知函数f（x）＝（x∈R），其中a∈R．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值．2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题）1．【解答】解：复数z满足z+i﹣3＝3﹣i，z＝6﹣2i，故选：D．2．【解答】解：根据（μv）′＝μ′v+μv′可得y′＝x′cos x+x（cos x）′＝cos x﹣x sin x故选：A．3．【解答】解析：按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C104C52中抽法．故选：B．4．【解答】解：导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点故A错如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，则函数先增后减，则f（x0）是极大值如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，则函数先减后增，则f（x0）是极小值故选：B．5．【解答】解：对于，对于10﹣3r＝4，∴r＝2，则x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10故选：B．6．【解答】解：若函数单调递减，则f′（x）≤0，由图象可知，x∈（x2，x4）时，f′（x）＜0，故选：B．7．【解答】解：①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X是一个可变化的整数，故是离散型随机变量，正确；②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分，是一个可变化的整数，故是离散型随机变量，正确；③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X，是在范围内的，因此不是一个离散型的随机变量，不正确；④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X，是一个可变化的整数，故是离散型随机变量，正确．故选：C．8．【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p），E（ξ）＝1.6，D（ξ）＝1.28，∴np＝1.6，①np（1﹣p）＝1.28 ②把①代入②得1﹣p＝＝0.8，∴p＝0.2∵np＝1.6∴n＝8，故选：A．9．【解答】解：由于ρ2＝x2+y2，得：ρ2＝4，ρ＝2，由ρcosθ＝x得：cosθ＝，结合点在第二象限得：θ＝，则点M的极坐标为．故选：C．10．【解答】解：恰好有1人击中，表示甲击中乙没有击中，或表示甲没有击中乙击中，这两个事件是互斥事件，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到：P＝0.4×0.6+0.4×0.6＝0.48．故选：A．11．【解答】解：A﹣C＝cos﹣sin+sin＝sin（+）﹣sin，∵＜+＜，∴sin（+）＞1，∴sin（+）﹣sin＞0，即A＞C，B﹣C＝cos﹣sin+sin＝sin﹣sin（﹣），∵﹣+＝﹣1+＜0，∴＜﹣，∵0＜＜，0＜﹣＜，∴sin＜sin（﹣）＜sin（﹣），∴sin﹣sin（﹣）＜0，即B＜C，综合知A＞C＞B．故选：B．12．【解答】解：∵f（x）是定义在R上偶函数当x＞0时，f′（x）＜0，此时函数为减函数则x＜0时，函数为增函数若f（lg（x））＞f（1），则﹣1＜lg（x）＜1则＜x＜10故选：C．二、填空题（本大题共有4小题）13．【解答】解：∵ζ服从正态分布N（μ，σ2），根据正态密度曲线的对称性可得∴曲线关于x＝μ对称，P（X≤μ）＝选填：．14．【解答】解：由题意，S＝＝＝（8+64）＝12，故答案为：12．15．【解答】解：∵＝3.5，＝42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42＝9.4×3.5+a，∴＝9.1，∴线性回归方程是y＝9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1＝65.5，故答案为：65.5万元．16．【解答】解：如图，连结P A、PB、PC，可得S△ABP+S△BCP+S△CAP＝S△ABC，即AB×l c+BC×l a+CA×l b＝S△ABC， (1)∵S△ABC＝AB×h C＝BC×h A＝CA×h B∴在（1）式的两边都除以S△ABC，得++＝1即++＝1，即平面内的结论成立当P为四面体ABCD内一点时，V P﹣BCD+V P﹣CDA+V P﹣ABD+V P﹣ABC＝V D﹣ABC，两边都除以V D﹣ABC，得+++＝1类似平面中结论证明的方法，可得+++＝1故答案为：+++＝1三、解答题（本大题共有5小题）17．【解答】解：记A1、A2、A3分别表示甲击中8环、9环，10环，B1、B2、B3分别表示乙击中8环，9环，10环，记事件“甲击中的环数多于乙击中的环数”为A，依题意有A＝A2B1+A3B1+A3B2，∴在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的概率：P（A）＝P（═A2B1+A3B1+A3B2）＝P（A2B1）+P（A3B1）+P（A3B2）＝0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4＝0.2．∴在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2．18．【解答】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝，即原式成立（2分）（2）假设当n＝k时，原式成立，即12+22+32+…+k2＝（6分）当n＝k+1时，12+22+32+…+（k+1）2＝＝（10分）即原式成立根据（1）和（2）可知等式对任意正整数n都成立∴12+22+32+…+n2＝（12分）19．【解答】解：（1）y′＝3ax2+2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a+2b＝0，y|x＝1＝a+b＝3，即（2）y＝﹣6x3+9x2，y′＝﹣18x2+18x，令y′＝0，得x＝0，或x＝1当x＞1或x＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x＜1时，y′＞0，函数单调递增．∴y极小值＝y|x＝0＝0．20．【解答】解：（1）设袋中有玩具“圆圆”n个，由题意知：，所以n（n﹣1）＝6，解得n＝3（n＝﹣2舍去）；．（2）由题意可知X的可能取值为1，2，3，4，5．∵；；；；，∴．21．【解答】解：（1）由f（x）＝x2+lnx有f′（x）＝x+（2分）当x∈[1，e]时，f′（x）＞0∴f（x）max＝f（e）＝e2+1，f（x）min＝f（1）＝（6分）（2）设F（x）＝x2+lnx﹣x3，则F′（x）＝x+﹣2x2＝当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，且F（1）＝﹣＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0∴x2+lnx＜x3，得证（12分）22．【解答】解：（Ⅰ）由，当a＝1时，f（x ）＝，f'（x ）＝．f（2）＝，则切点为（2，）．f'（2）＝﹣，则切线斜率为﹣，用点斜式得切线方程为：y ﹣＝﹣（x﹣2），即6x+25y﹣32＝0；（Ⅱ）由，得f'（x ）＝＝．当a＜0时，由﹣2（ax+1）（x﹣a）＞0，解得：．由﹣2（ax+1）（x﹣a）＜0，解得：x＜a或x ＞﹣．∴递减区间是（﹣∞，a），（﹣，+∞），递增区间是（a ，﹣）．极小值是f（a）＝1，极大值是f （﹣）＝﹣a2．第11页（共11页）。
湖南省衡阳市高二数学学业水平模拟检测试题(扫描版)
湖南省衡阳市2015年高中数学学业水平模拟检测试题（扫描版）2015年衡阳市普通高中学业水平模拟检测试卷数学参考答案及评分标准一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分)1B 2C 3B 4C 5B 6D 7A 8C 9D 10A二、填空题(共5小题，每小题4分，满分20分)11.1 12.2 13.3x+4y+1=014.1 15.22三、解答题(本题共5小题，16题6分，17~19题每题8分，20题10分，满分40分)16（1）x=02,y=3,z=03…………………………3分（2）500×03=150…………………………6分17（1）CD=AD2+AC2-2AD·ACcosA=52+62-2×5×6×35=5…………………………4分（2）sinA=1-cos2A=45,AB=2A D=106分S△ABC=12AC·AD·sinA=12×6×10×45=24…………………………8分181）连接DC1∵E,F分别是BC1，BD的中点∴EF∥DC1又EF DCC1，DC1DCC1∴EF∥平面DCC1D1……………………………………………………4分（2）∵EF∥DC1∴直线EF与平面ABCD所成的角等于直线DC1与平面ABCD所成的角又∠C1DC为直线DC1与平面ABCD所成的角，且∠C1DC=45°∴直线EF与平面ABCD所成的角等于45°…………………………8分19（1）∵a1=8,d=-2∴an=a1+(n-1)d=10-2n……………………………………………………4分（2）Sn=na1+n(n-1)2d=-n2+9n=-(n-92)2+814∴当n=4或5时，Sn取最大值20……………………………………………………8分201）设f(x)=a(x-1)(x-3)，则f(2)=a(2-1)(2-3)=1∴a=-1∴f(x)=-x2+4x-3……………………………………………………………3分（2）g(x)=-x2+4x-3+a∵函数y=g(x)在（3，4）内有且只有一个零点∴g(3)＞0g(4)＜0,∴0＜a＜3………………………………6分（3）∵x＞-1，不等式f(x)-1≤(x+1)f(b)等价于f(x)-1x+1≤f(b)令h(x)=f(x)-1x+1=-x2+4x-4x+1=-(x+1)2+6(x+1)-9x+1=-［(x+1)+9x+1］+6≤-29+6=0∴f(b)≥0,∴1≤b≤3,∴实数b的最大值为3…………………………10分。