4.第4课时 万有引力与航天

(2)设星球的自转角速度为ω ,在星球的赤道上万
有引力和重力的合力提供向心力 G Mm G1 m 2 R R2 G2 G1 由以上两式解得 mR 答案
G2 R 2 (1) Gm
G2 G1 (2) mR
变式练习1
已知万有引力常量G,地球半径R,月球
和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球
解析
两卫星均做匀速圆周运动,F万=F向,向心力
GMm v2 得 选不同的表达形式分别分析.由 m 2 r r 2 2 v1 r2 3R 3 A错误;由 GMm mr ( ) , 2 r T v2 r1 2R 2
得 T1 r1 3 2 2 , B错误;由 GMm mr 2 得 1 T2 3 3 2 r2 r2
绕地球的运转周期T1,地球的自转周期T2,地球表面 的重力加速度g.某同学根据以上条件,提出一种估 算地球质量M的方法:同步卫星绕地心做圆周运动,
Mm 2π 2 4 π 2 h3 由 G 2 m( ) h得M . 2 h T2 GT2 (1)请判断上面的结果是否正确,并说明理由.如不
正确,请给出正确的解法和结果.
热点聚焦
热点一 万有引力定律的应用 1.解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力,F引 Mm =mg即 G 2 mg , 整理得GM=gR2. R (2)天体运动都可近似地看成匀速圆周运动,其向
心力由万有引力提供,即F引=F向. 一般有以下几种表述形式:
Mm v2 ①G m 2 r r Mm 4 π2 ③G m 2 r 2 r T
地面的高度分别是R和2R(R为地球半 径).下列说法中正确的是( ) 图1
A.a、b的线速度大小之比是 2∶1
B.a、b的周期之比是1∶2 2 C.a、b的角速度大小之比是3 6 ∶4 D.a、b的向心加速度大小之比是9∶4
思路点拨 (1)谁提供a、b两颗卫星的向心力? (2)向心力公式有哪些选择?
2.卫星的变轨问题
卫星绕地球稳定运行时,万有引力提供了卫星做 Mm v2 M 圆周运动的向心力,由 G m 得v G , 2 r r r 由此可知,轨道半径r越大,卫星的线速度v越小.
当卫星由于某种原因速度v突然改变时,受到的万 Mm和需要的向心力 v 2 不再相等,卫星 有引力 G 2 m r 2 r 将偏离原轨道运动.当 G Mm m v 时,卫星做近 r2 r 心运动,其轨道半径r变小,由于万有引力做正功, Mm v 2 时,卫星 因而速度越来越大;反之,当 G 2 m r r 做离心运动,其轨道半径r变大,由于万有引力做 负功,因而速度越来越小.
2.地球同步卫星特点
(1)地球同步卫星只能在赤道上空.
(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度 和周期. (3)地球同步卫星相对地面静止. (4)同步卫星的高度是一定的.
题型探究
题型1 万有引力定律在天体运动中的应用
【例1】 已知一名宇航员到达一个星球,在该星 球的赤道上用弹簧秤测量一物体的重力为G1,在
线速度
加速度大小均相等.又b、c轨道半径大于a轨道半径,
GM 由 GM 知vb=vc<va,故A选项错.由加速度 a 2 可知 R R 2 mvc ab=ac<aa,故B选项错.当c加速时,c受的万有引力 F , rc 故它将偏离原轨道,做离心运动;当b减速时,b受到的万 2 mvb 它将偏离原轨道,而离圆心越来越近. 有引力 F , rb 所以无论如何c也追不上b,b也等不到c,故C选项错.对
热点三
环绕速度与发射速度的比较及地球同步
卫星
1.环绕速度与发射速度的比较 近地卫星的环绕速度 v G M gR 7.9 m/ s, R 通常称为第一宇宙速度,它是地球周围所有卫星 的最大环绕速度,是在地面上发射卫星的最小发
射速度.
不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度
M v G , 其大小随半径的增大而减小.但是,由 r 于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引 力做功,所以将卫星发射到离地球越远的轨道,在 地面上所需的发射速度就越大.
如图3所示,卫星由地面发射后, 经发射轨道进入停泊轨道,然后
在停泊轨道经过调速后进入地月
转移轨道,经过几次制动后进入工作
图3
轨道,卫星开始对月球进行探测.已知地球与月球
的质量之比为a,卫星的停泊轨道与工作轨道半径
之比为b,卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为 做匀速圆周运动,则( )
A.卫星在停泊轨道和工作轨道运动的速度之比为 a b B.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为 b a C.卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇 宙速度 D.卫星从停泊轨道转移到地月转移轨道,卫星必须 加速 思路点拨 由万有引力提供向心力可以判断不同轨 道的速度、周期之间的关系.卫星轨道变大时,周期
力束缚的 最小 发射速度.第三宇宙速度(逃逸速
度)v3= 16.7 km/s,是使物体挣脱太阳束缚的 最小 发射速度.
特别提醒
1.应用时可根据具体情况选用适当的公式进行分析
或计算. 2.三种宇宙速度均指的是发射速度,不能理解为 环绕速度. 3.第一宇宙速度既是最小发射速度,又是卫星绕 地球做匀速圆周运动的最大速度.
绕速度,由于r泊>R,由v GM 知,在停泊轨道的卫 r 星速度小于地球的第一宇宙速度,C错;卫星在停泊
3π . 2 GT 可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就
认为其轨道半径r等于天体半径R,则天体密度 可估测出中心天体的密度. 特别提示
不考虑天体自转,对任何天体表面都可以认为 mg Mm G 2 .从而得出GM=gR2(通常称为黄金代换),其中 R M为该天体的质量,R为该天体的半径,g为相应天体 表面的重力加速度.
第4课时
一.万有引力定律
万有引力与航天 考点自清
1.宇宙间的一切物体都是相互吸引的,两个物
体间的引力大小,跟它们的 质量的乘积 成正比, 跟它们的 距离的二次方 成反比. 2.公式: F G m1m2 ,其中G=6.67×10-11 N·m2/kg2, r2 它是在牛顿发现万有引力定律一百年后英国物理学 家卡文迪许利用扭秤装置测出的.
轨道半径r.
Mm 4 π2 ①由万有引力等于向心力,即 G 2 m 2 r , r T 2 3 得出中心天体质量 M 4 π r ; GT 2
M M ②若已知天体的半径R,则天体的密度 V 4 π R3 2 3π r 3 ; 2 3 GT R ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可
GMm gR 2 重力,由 mg , 解得 M 2 R G Mm 2π 2 解法二 对月球绕地球做圆周运动,G 2 m( ) r , r T1 2 3 得M 4π r 2 GT1 答案 见解析
题型2
卫星的v、ω、T、a向与轨道半径r的关系
及应用
【例2】 如图1所示,a、b是两颗绕地球 做匀速圆周运动的人造卫星,它们距
② G Mm m 2 r r2
2.天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
Mm gR 2 由于G 2 mg, 故天体质量M , 天体密度 R G
M M 3g . 4 V π R 3 4 π GR 3
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T,
3π 运动时, r r0 , 则 GT 2
.
3.地球同步卫星只能在赤道 正上方,与地球自转具 有相同的 角速度和周期,相对地面静止,其环绕
的高度是 一定 的.
4.第一宇宙速度(环绕速度)v1= 7.9
km/s,是人造
地球卫星的 最小 发射速度,也是人造地球卫星绕
地球做圆周运动的 最大 环绕速度.第二宇宙速度 (脱离速度)v2= 11.2 km/s,是使物体挣脱地球引
3
2 r2 3 6 C正确;由 GMm a1 r2 9 , ma 得 2 , 3 4 r2 r1 a2 r1 4
3
D正确. 答案 CD
方法提炼 应用万有引力定律分析天体(包括卫星)运动的基 本方法:
把天体的运动看成是匀速圆周运动,所需向心力由
Mm v2 2π 万有引力提供.G m m 2 r m( ) 2 r r2 r T m(2πf)2r GMm 有时需要结合 2 mg 应用时可根据实际情况 R 选用适当的公式,进行分析和计算.
热点二
卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化
的规律及卫星的变轨问题
1.卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律 (1)向心力和向心加速度:向心力是由万有引力 充当的,即F G Mm . 再根据牛顿第二定律可得, r2 随着轨道半径的增加,卫星的向心力和向心加速 度都减小.
Mm v2 (2)线速度v:由 G 2 m 得v G M , 随着轨 r r r 道半径的增加,卫星的线速度减小.
3.适用条件:公式适用于质点间的相互作用,当两
物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可
视为质点,质量分布均匀的球体也可适用.r为两球 心间的距离. 二.应用万有引力定律分析天体运动 1.基本方法:把天体的运动看成匀速圆周运动,其
Mm v2 所需的向心力由万有引力提供,即 பைடு நூலகம் m 2 r r 4 π2 m 2 r m 2 r.
变式练习2
如图2所示,a、b、c是在 )
地球大气层外圆形轨道上运行的3颗
人造卫星,下列说法正确的是( A.b、c的线速度大小相等,且大于a的 图2 B.b、c的向心加速度大小相等,且大于a的向心加 速度 C.c加速可追上同一轨道上的b,b减速可等候同一轨 道上的c D.a卫星由于某种原因,轨道半径缓慢减小,其线速 度将变大 解析 因为b、c在同一轨道上运行,故其线速度大小、