概率、统计综合问题的三种常用求解策略

概率、统计综合问题的三种常用求解策略

公式法

在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2

个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.

(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．

【解】 (1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知，X ～B (6，2

3

)，

P (X ＝k )＝C k 6·(23)k ·(13)6－k

(k ＝0，1，2，3，4，5，6)． 所以X 的分布列为

(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，

则P (A )＝C 24·(13)2·(23)4＋C 14·13·(23)5

＋(23)6＝3281，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281

.

对于此类问题求解，若随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，则其概率、均值与方差可直接利

用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )

n －k

(k ＝0，1，2，…，n )，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求得．

间接法

随机观测生产某种零件的某工厂20名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

(1)确定样本频率分布表中m n (2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取3人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]内的概率．

【解】 (1)由已知数据，得区间(40，45]内的频数m ＝6，区间(45，50]内的频数n ＝3，故f m ＝620＝0.3，f n ＝3

20

＝0.15.

(2)由频率分布表，画出频率分布直方图如下图：

(3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(30，35]内的频率为0.2，设所取的3人中，日加工零件数落在区间(30，35]内的人数为ξ，则ξ～B (3，0.2)， 故P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－0.2)3＝0.488.

因此至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]内的概率为0.488.

当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解，即“正难则反”．对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．

对称法

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －

和样本方差s 2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －

，σ2近似为样本方差s 2. ①利用该正态分布，求P (187.8

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用①的结果，求EX . 附：150≈12.2.

若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ

【解】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

(2)①由(1)知，Z ～N (200，150)，

从而P (187.8

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 7， 依题意知X ～B (100，0.682 7)， 所以EX ＝100×0.682 7＝68.27.

解决与正态分布有关的问题，在理解μ，σ2的意义情况下，记清正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形曲线，很多问题都是利用图象的对称性解决的．