第5章边界层理论及其近似

5.1、边界层近似及其特征
这是设想各点均以外流速度流动时比实际流量多出来的值, 这些多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度 δ1 ，其 流量写为 ρ eueδ1 ，从而
ue
u
∫
δ
ρ eueδ1 = ∫ (ρ eue − ρu )dy
0
δ
0
ρu ⋅ dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。 而在 δ 的范围内，以外流的理想速度 ue 流动的理想流量是：
2
ρ udy
ue u
δ
在边界层内质量流量不变的条件下 ，以理想流速度 ue 通过的动能为：
1 2 u e ∫ ρ udy 2 0
δ
上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全 部用理想的外流速度 ue 流动时折算的动量损失厚度δ2为：
ρ eue2δ 2 = பைடு நூலகம் ρ (ueu − uu )dy
位流区
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计 根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算 边界层的厚度量级。以平板绕流为例说明。设来流的速度 为U，在 x 方向的长度为 L，边界层厚度为 δ 。
位流区
δ δ
粘流区 粘流区
（2）边界层的有涡性 粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就 是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件使物面成为具有 一定强度的连续分布的涡源。以二维流动为例，物面上产生的 ∂v ∂u τ ∂u 涡量为： − =− =− o Ωz =
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y
1 ∂p µ ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ∂u +u +v = fx − + 2 + 2 ρ ∂x ρ ∂t ∂x ∂y ∂y ∂x
1 ∂p µ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂v ∂v ∂v + 2 + 2 = fy − +u +v ∂y ρ ∂y ρ ∂y ∂x ∂t ∂x
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5.1、边界层近似及其特征
（b）边界层动量损失厚度 在边界层内，实际流体通过的动量为：
δ
（c）边界层能量损失厚度 边界层内实际流体通过的动能为：
∫ ρu
0
2
dy
ue u
δ
在边界层内，在质量流量不变的条件 下，以理想流速度 ue 通过的动量为：
u e ∫ ρ udy
0
∫2u
0
1
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Ludwig Prandtl介绍
在1910年-1920年期间，其主要精力转到低速翼型和机翼绕 流问题，提出著名的有限展长机翼的升力线理论（lifting line theory）和升力面理论；从1920年以后,Prandtl再次研究 高速流动问题（high speed flows），提出著名的PrandtlGlauert压缩性修正准则(compressibility correction rule） 。1930年以后，Prandtl被认为是国际著名的流体力学大师， 1953年在哥廷根病故。 Prandtl毕生在流体力学和空气动力学中的贡献是瞩目的， 被认为是现代流体力学之父（the father of modern fluid mechanics）,他对流体力学的贡献是可获Nobel奖的。在第二次 世界大战期间（1939年9月1日-1945年9月2日），Prandtl一直 在哥廷根工作，Nazi德国空军为Prandtl实验室提供了新的实验 设备和财政资助。
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Prandtl简介：
Ludwig Prandtl 1875年2月4日出 生于德国弗赖津（Freising） 。其父亲 是一位在Freising附近农业大学的测量 学与工程教授，母亲常年有病在家。 从小受父亲的影响，他对物理学、机 械和仪器特别感兴趣。 1894年入Munich大学深造，1900年获博士学位，博士论文 方向是弯曲变形下的不稳定弹性平衡问题研究。毕业后负责为 一家新工厂设计吸尘器设备时，通过实验解决了管道流动中一 些基本的流体力学问题，他所设计的吸尘器仅需要原设计功率 的1/3，从此对流体力学感兴趣。
边界层概念的提出，为如何计入粘性的作用开辟了划时代的 途径，既挽救了理想流理论又挽救了粘流理论。
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5.1、边界层近似及其特征
2、边界层的特征 （1）边界层厚度定义 边界层区与主流区之间无严格明显的界线，通常以速度 达到主流区速度的 0.99U 作为边界层的外缘。由边界层外缘 到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用δ表示。
两项为同一量级
1 ∂p µ ∂ 2u ∂ 2u 右括号中第一项比第二项低2 ∂u ∂u ∂u +u +v = fx − + 2+ 2 ρ ∂x ρ ∂t ∂x ∂y ∂y 个量级可略。 ∂x ue2 L ue2 δ ue ue2 ue = L L δ L ue2 L
（2）法向速度远远小于纵向速度
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Ludwig Prandtl介绍
普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善 于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物理 本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的大 小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。” 普朗特指导过81名博士生，著名学者Blasius、Von Karman是其学生 之一。我国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女 ，1911–1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。
∂x ∂y ∂y
由边界层内惯性力与粘性力同量级得到
δ
L ~ 1 Re
由此可见在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的
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µ
特征长度。
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5.1、边界层近似及其特征
（4）边界层各种厚度定义 （a）边界层位移厚度 假设某点P处的边界层厚度是 δ ， 实际流体通过的质量流量为:
ρL2U 2 ρLU FJ ∝ = = Re µUL µ Fτ
因此，在高 Re 数下，流体运动的惯性力远远大于粘性 力。这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。
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5.1 边界层近似及其特征
• 理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一 系列流动问题（升力、波动等），但对阻力、扩散等涉及 到粘性的问题则与实际相差甚远，如达朗伯疑题（ D’Alembert，法力学家，1717-1783） • 如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这 在当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题 • 1904年普朗特（ L.Prandtl，德力学家，1875-1953） 通过 大量实验发现：虽然整体流动的Re数很大，但在靠近物面 的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差甚远，沿着法 向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。这一物面近区 粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundary layer）。
0
δ
δ
上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失 全部用理想的外流速度 ue 流动时折算的动能损失厚度 δ3为:
1 2 1 ue ρ eueδ 3 = ∫ ρ ue2u − u 3 dy 2 20
δ
(
)
δ2 = ∫
0
ρu u 1 − dy ρ eue ue
δ3 = ∫
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δ
0
ρu u 2 1 − 2 dy ρ e ue ue
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5.1、边界层近似及其特征
对于不可压缩流体而言，上述各种厚度的计算公式变为:
δ u δ1 = ∫ 1 − u e 0
5.1、边界层近似及其特征
（5）几点说明 • 实际流动中边界层流动与理想流动渐近过渡，边界层外 边界线实际上不存在，因此边界层的外边界线不是流线 ，允许流体穿过边界层边界线流动。相对于物面而言流 线向外偏，相对于边界层边界而言流线向内偏。
L v δ 1 δ δ δ u ∝ = ue , v << u , v ∝ ∝ = ue , ∝ ∝ t t L / ue L ue L Re
陆士嘉
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5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 1. 边界层流动图画 粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题， 归结为在相应的边界条件下解 N-S方程的问题。由于N-S方 程太复杂，对很多实际问题不能不作一些近似简化假设， 为此考察空气流过翼型的物理图画：
位流区
边界层
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 2. 平壁面上边界层方程 对于二维不可压缩流动，连续方程和N-S方程为：
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附件
Ludwig Prandtl介绍
Ludwig Prandtl介绍
1901年Prandtl担任汉诺威（Hanover)科技大学数学工程系 的力学教授，在这里他提出边界层理论（Boundary layer theory）并开始研究通过喷管的超音速流动问题。1904年 Prandtl在德国海德堡（idelberg）第三次国际数学年会上发表 了著名的关于边界层概念的论文，这一理论为流体力学中物面摩 擦阻力、热传导、流动分离的计算奠定了基础，是现代流体力学 的里程碑论文，从此Prandtl成为流体力学界的知名学者。 此后他出任德国著名的哥廷根（Gottingen）大学应用力学 系主任、教授，在这里他建造了1904-1930年期间世界上最大的 空气动力学研究中心。在1905-1908年期间，Prandtl进行了大量 的喷管中超音速流动问题研究，发展了斜激波（oblique shock wave)和膨胀波（expansion wave）理论。