2019学年高一人教版数学必修一练习：第一章 单元质量测评1 Word版含解析

（人教版）精品数学教学资料第一章单元质量测评(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2015·广东高考]已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M ∪N＝()A．{0,1} B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2} D．{－1,0,1}答案 C解析依题意得M∪N＝{－1,0,1,2}，故选C.2．[2015·天津高考]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝()A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}答案 A解析因为∁U B＝{2,5,8}，又A＝{2,3,5,6}，所以A∩∁U B＝{2,5}，故选A.3．50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是()A．35 B．25C．28 D．15答案 B解析全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x人；仅跳远及格的人数为(40－x)人；仅铅球及格的人数为(31－x)人；两项都不及格的人数为4人，∴40－x ＋31－x ＋x ＋4＝50，∴x ＝25.4．[2015·陕西工大附中高一质检]如图所示的韦恩图中A ，B 是非空集合，定义集合A *B 为阴影部分表示的集合，则A *B ＝( )A ．∁U (A ∪B ) B ．A ∪(∁U B )C ．(∁U A )∪(∁U B )D ．(A ∪B )∩∁U (A ∩B )答案 D解析 阴影部分为A ∪B 去掉A ∩B 后的部分，为(A ∪B )∩∁U (A ∩B )．选D.5．函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 D 解析根据题意，得⎩⎨⎧2x －1≥0，2x －1<13，解得12≤x <23，选D.6．[2015·攀枝花米易中学月考]已知函数f (x )的定义域为(3－2a ，a ＋1)，且f (x ＋1)为偶函数，则实数a 的值可以是( )A ．2 B.23 C ．4 D ．6答案 A解析 因为函数f (x )的定义域为(3－2a ，a ＋1)，所以在函数f (x＋1)中，3－2a ＜x ＋1＜a ＋1，则函数f (x ＋1)的定义域为(2－2a ，a )，又因为f (x ＋1)为偶函数，所以2－2a ＝－a ，a ＝2，故选A.7．[2015·衡水高一调研]已知函数y ＝f (x ＋1)定义域是[－2,3]，则y ＝f (x －1)的定义域是( )A ．[0,5]B ．[－1,4]C ．[－3,2]D ．[－2,3]答案 A解析 由题意知，－2≤x ≤3，∴－1≤x ＋1≤4.∴－1≤x －1≤4，得0≤x ≤5，即y ＝f (x －1)的定义域为[0,5]． 8．[2016·湖南浏阳一中期中]若函数f (x )(f (x )≠0)为奇函数，则必有( )A ．f (x )f (－x )>0B ．f (x )f (－x )<0C ．f (x )<f (－x )D ．f (x )>f (－x ) 答案 B解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，又f (x )≠0，∴f (x )f (－x )＝－[f (x )]2<0.9．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (8)＝3，则f (2)＝( )A.54B.34 C.12 D.14答案 B解析 依题意得f (x ＋y ＋z ＋w )＝f (x ＋y )＋f (z ＋w )＝f (x )＋f (y )＋f (z )＋f (w )，令x ＝y ＝z ＝w ＝2可得f (8)＝4f (2)，因此代入f (8)＝3可解得f (2)＝34，选B.10．下图所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为( ) (1)小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；(2)小明骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A ．(1)(2)(4)B ．(4)(2)(3)C ．(4)(1)(3)D ．(4)(1)(2)答案 D解析 事件(1)中因为返回，故回家后距离应该为0，应该选图象(4)；事件(2)中交通堵塞，就是说离开家的距离停顿下来，故应该选图象(1)；事件(3)说明速度先慢后快，故选图象(2)．11．[2016·南安高一检测]已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上是单调递减的，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 C ．[2，＋∞) D ．(0,4] 答案 B解析 当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1在(－∞，2)上是单调递减的；当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，2)上单调递减．则⎩⎨⎧a >0，－－12a ≥2，所以0<a ≤14.综上可得a 的取值范围为a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.12．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f (1)>25答案 A解析 ∵函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象对称轴为x ＝m 8，则有m8≤－2，∴m ≤－16，而f (1)＝4－m ＋5＝9－m ，∴f (1)≥25.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域为________．答案 [－1,2)∪(2，＋∞)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，∴x ≥－1且x ≠2.14．[2016·江苏盐城中学月考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1x 2＋x －2，x ＞1，则f [f (－1)]的值为________．答案 4解析 ∵f (－1)＝(－1)2＋1＝2， ∴f [f (－1)]＝f (2)＝22＋2－2＝4.15．[2016·荆州市中学期中]已知A 是有限集合，x ∉A ，B ＝A ∪{x }，若A ，B 的子集个数分别为a ，b ，且b ＝ka ，则k ＝________.答案 2解析 不妨设集合A 中的元素个数为n ，则集合B 中的元素个数有n ＋1，所以a ＝2n ，b ＝2n ＋1，因此b ＝2a ，故所求k 的值为2.16．函数f (x )＝2x 2－3|x |的单调减区间是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－34，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x (x ≥0)2x 2＋3x (x <0)，图象如下图所示f (x )减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－34，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34.三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．[2016·郑州高一检测](本小题满分10分)全集U ＝R ，若集合A ＝{x |3≤x <10}，B ＝{x |2<x ≤7}．(1)求A ∩B ，A ∪B ，(∁U A )∩(∁U B )；(2)若集合C ＝{x |x >a }，A ⊆C ，求a 的取值范围． 解 (1)A ∩B ＝{x |3≤x <10}∩{x |2<x ≤7}＝{x |3≤x ≤7}； A ∪B ＝{x |3≤x <10}∪{x |2<x ≤7}＝{x |2<x <10}； (∁U A )∩(∁U B )＝{x |x ≤2，或x ≥10}．(2)A ＝{x |3≤x <10}，C ＝{x |x >a }，要使A ⊆C ，结合数轴分析可知a <3，即a 的取值范围是{a |a <3}．18．[2016·云南玉溪一中高一期中](本小题满分12分)设集合A ＝{a ，a 2，b ＋1}，B ＝{0，|a |，b }且A ＝B .(1)求a ，b 的值；(2)判断函数f (x )＝－bx －ax 在[1，＋∞)的单调性，并用定义加以证明．解 (1)由集合A ＝B 知，a ≠0，∴b ＋1＝0，即b ＝－1.此时A ＝{a ，a 2,0}，B ＝{0，|a |，－1}，∴a ＝－1，∴A ＝{－1,1,0}，B ＝{0,1，－1}．满足集合的互异性， ∴a ＝－1，b ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝x ＋1x ，f (x )＝x ＋1x 在[1，＋∞)上单调递增． 任取x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1·x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1·x 2＝(x 1－x 2)x 1·x 2－1x 1·x 2， ∵x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0，x 1·x 2－1＞0，x 1·x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )＝x ＋1x 在[1，＋∞)上单调递增．19．[2016·淄博高一检测](本小题满分12分)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝3x ·(1＋x )．(1)求f (27)与f (－27)的值； (2)求f (x )的解析式．解 (1)由题意知f (27)＝327×(1＋27)＝84，f (－27)＝－f (27)＝－84，所以f (27)＝84，f (－27)＝－84.(2)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0. 设x <0，则－x >0，则f (－x )＝3－x ·[1＋(－x )]＝－3x ·(1－x )． 又f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝3x (1－x )， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (1＋x )，x >0，0，x ＝0，3x (1－x )，x <0.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，判断并证明f (x )的单调性； (2)当a ＝－1时，求函数f (x )的最小值．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x ＝x ＋2＋12x ＝x ＋12x ＋2. 设x 1，x 2是[1，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2＝(x 1－x 2)·x 1x 2－12x 1x 2. 因为1≤x 1＜x 2，所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>1， x 1x 2－12>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数． (2)当a ＝－1时，f (x )＝x －1x ＋2.因为函数y 1＝x 和y 2＝－1x 在[1，＋∞)上都是增函数，所以f (x )＝x －1x ＋2在[1，＋∞)上是增函数．当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝1－11＋2＝2， 即函数f (x )的最小值为2.21．(本小题满分12分)定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－4x 2＋8x －3.(1)求f (x )在R 上的表达式；(2)求y ＝f (x )的最大值，并写出f (x )在R 上的单调区间(不必证明)． 解 (1)设x <0，则－x >0.f (－x )＝－4(－x )2＋8(－x )－3＝－4x 2－8x －3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∴当x <0时，f (x )＝－4x 2－8x －3.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋8x －3 (x ≥0)，－4x 2－8x －3 (x <0)， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4(x －1)2＋1 (x ≥0)－4(x ＋1)2＋1 (x <0). (2)∵y ＝f (x )开口向下，∴y ＝f (x )有最大值，f (x )max ＝f (－1)＝f (1)＝1. 函数y ＝f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．22．[2015·许昌高一五校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )的定义域为R ，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，若f (－1)＝2.(1)求证：f (x )为奇函数； (2)求证：f (x )是R 上的减函数； (3)求函数f (x )在区间[－2,4]上的值域．解 (1)证明：∵f (x )的定义域为R ，令x ＝y ＝0， 则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0. 令y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，即f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．又∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0，∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)．故f(x)是R上的减函数．(3)∵f(－1)＝2，∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4.又f(x)为奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－4，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8.由(2)知f(x)是R上的减函数，所以当x＝－2时，f(x)取得最大值，最大值为f(－2)＝4；当x＝4时，f(x)取得最小值，最小值为f(4)＝－8.所以函数f(x)在区间[－2,4]上的值域为[－8,4]．。