2019-2020年高一数学考试参考答案

2019-2020年高一数学考试参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
13.),1(+∞- 14.1- 15.9;1- 16.4 17.b a c >> 18.2 三、解答题：本大题共6小题，共60分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 19．（本题8分） 解：（Ⅰ）原式148
1
21+⨯+=
2=. ………………………………4分 （Ⅱ）原式2100lg 3log 33++=7223=++=. …………………8分
20．（本题8分）
解：（Ⅰ）当4=a 时，}74|{≤≤=x x A ，1|{-<=x x B 或}5>x ，
∴}75|{≤<=x x B A . ………………………………4分 （Ⅱ）若A B A = ，则B A ⊆，∴13-<+a 或5>a ，解得4-<a 或5>a . ∴实数a 的取值范围),5()4,(+∞--∞ . …………………………………8分 21．（本题10分）
解：（Ⅰ）要使函数)(x f 有意义，只要使0tan ≠x ， ∴函数)(x f 的定义域为,|{R x x ∈且},2
Z k k x ∈≠π
. ………………3分 （Ⅱ）由x x x cos sin tan =
，得x x f cos )(=，∴135
cos )(==ααf . …………5分 ∵)2,0(πα∈，∴13
12cos 1sin 2
=-=αα. ………………7分
∴4
sin
sin 4
cos
cos )4
cos()4
(π
απ
απ
απ
α-=+
=+
f
B
26
2
722131222135-
=⨯-⨯=. ………………10分 22．（本题10分）
解：（Ⅰ）∵1cos 22sin )(2++=x x x f
x x 2cos 2sin +=)4
2sin(2π
+
=x ， ……………………2分
∴)(x f 的最小正周期πω
π
==
2T . ……………………4分
（Ⅱ）由
ππ
π
ππ
k x k 22
34
222
+≤
+
≤+得
ππ
ππ
k x k +≤
≤+8
58
)(Z k ∈ ∴函数的单调减区间]8
5,
8[
ππ
ππ
k k ++)(Z k ∈. …………………7分
（Ⅲ）由4
3,
4[42]2,2[24,4[π
ππππππ-∈+⇒-∈⇒-∈x x x . ∴当4
4
2π
π
-
=+
x 时，即4
π
-
=x 时，)(x f 取得最小值0. …………10分
23．（本题12分）
解法一：（Ⅰ）连接OP ,PB ,
∵P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，)0(2>=a a AB ∴a AP PAB 3,6
==
∠π
. ……………………2分
∴232
3
36
cos
a a a AB OP =⨯
⨯=⋅=⋅π
………………………4分 （Ⅱ）设θ=∠PAB , 则θθcos 2,2a AP POB ==∠，
此时向量与的夹角为θ3， ………………………6分 ∴)2cos(cos 23cos cos 222θθθθθ+=⋅=⋅a a P O AP )sin 2sin cos 2(cos cos 22
θθθθθ-=a
)cos sin 22sin cos 22(cos 22θθθθθ⨯-⨯=a ]2sin )12(cos 2[cos 22θθθ-+=a )12cos 2cos 2(22-+=θθa
]8
9
)412(cos 2[22
-+
=θa ， ………………………10分 ∴ 当412cos -=θ时，P O '⋅的最小值为2
8
9a -.
当12cos =θ时，P O AP ⋅的最大值为2
2a . ………………12分
解法二：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系. ∵P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，连接OP ，则3
BOP π
∠=
， …………1分 ∴点P
坐标为1()2a .
又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，
∴3()2AP a =，(2,0)AB a =，
∴2
3AP AB a ⋅=.
（Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'- ∴(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. ………………6分 ∴2
2
222cos
cos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+- 22(2cos cos 1)a θθ=+-
2221192(cos cos )2168a a θθ=++-22219
2(cos )48a a θ=+-. ………10分
当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅有最小值2
98
a -，
当cos 1θ=时，AP OP '⋅有最大值2
2a . …………………12分
24.（本题12分）
解]：（Ⅰ）
…………………………3分
（Ⅱ）当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .
)54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x
436202422
+--
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=k k k x ， ………………………5分 ∵ 2>k ，∴
124<-k
. ………………………6分 ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取24k
x -=
， min )(x g ()[]
64104
1436202
2---=+--
=k k k . ∵ ,64)10(162<-≤k ，∴064)10(2<--k 则0)(min >x g .………9分
② 当
12
4-<-k
，即6>k 时，取1-=x ，min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，在]5,1[-∈x 上0)(>x g ，
∴在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方.……12分。