2019年苏州市高一数学答案
2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cos B＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sin B＝cos B，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sin B ＝，cos B＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x ＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b2，b3，b4猜想b n，然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x＜﹣，∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．。
江苏省苏州市2019-2020学年高一下期末联考数学试题含解析
江苏省苏州市2019-2020学年高一下期末联考数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 是定义在上的奇函数，且当时，2cos ,08,(){6log ,8,xx f x x x π<≤=>，那么（ ）A ．12-B ．32-C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，，故，故选C ．考点：分段函数的应用.2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】，故选C.3．．若0ac >且0bc <，直线0ax by c 不通过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限，【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为0ac >且0bc <，所以0c b ->，0ab->， 又直线0ax by c 可化为a cy x b b=--，斜率为0a b ->，在y 轴截距为0cb->，因此直线过一二三象限，不过第四象限. 故选：D.4．下列结论正确的是（ ） A ．ac bc a b <⇒<B ．若0a b <<，则b aa b>C ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ D a b <⇒<【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质进行分析，对错误的命题可以举反例说明． 【详解】当0c <时，A 不正确；0a b <<，则1a bb a>>，B 错误；当01x <<时，lg 0x <，1lg 0lg x x +<，Ca b <⇒<正确． 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式性质是解题关键．可通过反例说明命题错误．5．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是( ) A ．8 B ．12C ．16D ．24【答案】D 【解析】设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x ，则23612x =+ ，解得x ＝1． 故选D6．设0,0x y >>且1x y += ，41x y+的最小值为( ) A ．10 B ．9C ．8D ．272【答案】B 【解析】 【分析】 由()4141x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】()41414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当4y x x y =，即2x y =时取等号）41x y∴+的最小值为9 故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活利用“1”，配凑出符合基本不等式的形式.7．若直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数tan y x ω=图象的对称中心为（ ）A ．,0,2k k Z ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．(,0),k k Z ∈C ．,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．(,0),k k Z π∈ 【答案】A 【解析】 【分析】先计算周期得到1T ωπ=⇒=，得到函数表达式，再根据中心对称公式得到答案. 【详解】直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1 则t n 1a y T x ωππ=⇒=⇒=tan y x π=的对称中心横坐标为：()22k kx x k Z ππ=⇒=∈ 对称中心为,0,2k k Z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案选A 【点睛】本题考查了函数的周期，对称中心，意在考查学生综合应用能力.8．已知4log 5a =，2log 3b =，sin2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可知,a b 都大于1，把4log 5化成2log ,a b 的大小，从而可得,,a b c 的大小关系. 【详解】因为4log y x =及2log y x =都是()0,∞+上的增函数，故44log 5log 41sin 2>=>，22log 3log 21sin 2>=>，又42221log 5log 5log 5log 32==<，故c a b <<，选B. 【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递. 9．已知函数41()x f x e -=，1()ln(2)2g x x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln 24- B ．1ln 24+ C ．2ln 213- D ．12ln 23+【答案】B 【解析】()411ln 22m en t -=+=，则()1211ln 1,42t m t n e -=+=， 所以()12111ln 244t n m e t h t --=--=，则()1211'24t h t e t-=-，易知，1'02h ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以()min 11ln 224h x h +⎛⎫==⎪⎝⎭，故选B 。
2018-2019学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题(解析版)
江苏省苏州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系xOy 中，直线:0l x y -=的倾斜角为（ ） A ．0︒ B ．45︒C ．90︒D ．135︒【答案】B【解析】设直线:0l x y -=的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，可得tan 1θ=，解得θ． 【详解】设直线:0l x y -=的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒．tan 1θ∴=，解得45θ=︒．故选：B ． 【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．从A ，B ，C 三个同学中选2名代表，则A 被选中的概率为（ ） A ．13B ．14C ．12D ．23【答案】D【解析】先求出基本事件总数，A 被选中包含的基本事件个数2，由此能求出A 被选中的概率． 【详解】从A ，B ，C 三个同学中选2名代表， 基本事件总数为：,,AB AC BC ，共3个，A 被选中包含的基本事件为：,AB AC ，共2个，A ∴被选中的概率23p =． 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题．3．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解析】利用异面直线1AA 与BC 所成角的的定义，平移直线BC ，即可得答案． 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，易得190A AD ∠=︒．//AD BC Q∴异面直线1AA 与BC 垂直，即所成的角为90︒.故选：D ． 【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题.4．甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选． 【详解】Q 甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小， 说明丙的成绩最稳定，∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定， ∴丙是最佳人选，故选：C ．【点睛】本题考查平均数和方差的实际应用，考查数据处理能力，求解时注意方差越小数据越稳定.5．在平面直角坐标系xOy 中，点P （2，–1）到直线l ：4x –3y +4=0的距离为（ ） A ．3 B ．115C ．1D ．【答案】A【解析】由点到直线距离公式计算． 【详解】3d ==．故选：A ． 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，掌握距离公式是解题基础．点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为d =．6．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，3A π=，则sin c C的值为（ ） A ．4 B．3C．D．4【答案】B【解析】由正弦定理可得，sin sin a cA C=，代入即可求解． 【详解】 ∵2a =，3A π=，∴由正弦定理可得，sin sin a cA C=，则sin c C ==故选：B ． 【点睛】本题考查正弦定理的简单应用，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题． 7．用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是：A ．B C ．4D ．2【答案】C【解析】分析：先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果.详解：因为根据直观图画法得底不变，为212 ，所以直观图的面积是12244⨯⨯ 选C.点睛：本题考查直观图画法，考查基本求解能力.8．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：则至少有两人排队的概率为（ ） A ．0.16 B ．0.26C ．0.56D ．0.74【答案】D【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解． 【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得： 至少有两人排队的概率为：1(0)(1)P P X P X =-=-=10.10.16=--0.74=．故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题． 9．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．14-【答案】D【解析】解：由正弦定理可得；sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=2：3：4 可设a=2k ，b=3k ，c=4k （k ＞0）由余弦定理可得，CosC=1-4,选D 10．若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于（ ） A ．49π B ．494πC ．14πD ．143π【答案】C【解析】设长方体过一个顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，由已知面积求得a ，b ，c 的值，得到长方体对角线长，进一步得到外接球的半径，则答案可求． 【详解】设长方体过一个顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得2a =，1b =，3c =． ∴．则长方体的外接球的半径为2， ∴此长方体的外接球的表面积等于24142ππ⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意长方体的对角线长为长方体外接球的直径.11．已知平面α⊥平面β，直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面β，l αβ=I ，在下列说法中，①若m n ⊥，则m l ⊥；②若m l ⊥，则m β⊥；③若m β⊥，则m n ⊥. 正确结论的序号为（ ） A ．①②③ B ．①②C ．①③D ．②③【答案】D【解析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①；由面面垂直的性质定理可判断②；由线面垂直的性质定理可判断③． 【详解】平面α⊥平面β．直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面β，l αβ=I ， ①若m n ⊥，可得m ，l 可能平行，故①错误；②若m l ⊥，由面面垂直的性质定理可得m β⊥，故②正确； ③若m β⊥，可得m n ⊥，故③正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．12．已知ABC V 中，2AB =，3BC =，4CA =，则BC 边上的中线AM 的长度为（ ） A ．312B ．31C ．231D ．314【答案】A【解析】利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求AM 的长． 【详解】延长AM 至D ，使MD AM =，连接BD 、CD ，如图所示；由题意知四边形ABDC 是平行四边形，且满足22222()AD BC AB AC +=+， 即22223(2)2(24)AM +=+，解得31AM =， 所以BC 边上的中线AM 的长度为312． 故选：A ． 【点睛】本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线22x ay a +=+与直线10x y ++=平行，则实数a 的值为______. 【答案】1【解析】由10a -=，解得a ，经过验证即可得出． 【详解】由10a -=，解得1a =．经过验证可得：1a =满足直线22x ay a +=+与直线10x y ++=平行， 则实数1a =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 14．如图，某人在高出海平面方米的山上P 处，测得海平面上航标A 在正东方向，俯角为30°，航标B 在南偏东60︒，俯角45︒，且两个航标间的距离为200米，则h =__________米.【答案】200【解析】根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出h 的值． 【详解】航标A 在正东方向，俯角为30°，由题意得60APC ∠=︒，30PAC ∠=︒． 航标B 在南偏东60︒，俯角为45︒，则有30ACB ∠=︒，45CPB ∠=︒． 所以BC PC h ==，3tan 30PCAC h ==︒；由余弦定理知2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-∠g g ，即223400003232h h h h =+-g g ， 可求得200h =（米)． 故答案为：200． 【点睛】本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题，考查余弦定理应用问题，是中档题． 15．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E ，F 、1E ，1F ，则AEEB的值是__________.21【解析】设AE k AB =，则EFk BC=，由题意得：111111212AEF A E F ABC A B C V k V --==，由此能求出AE EB 的值． 【详解】设AE k AB =，则EFk BC=， 由题意得：1111111211sin 1212sin 2AEF A E F ABC A B C AE EF AEF AA V k V AB BC ABC AA --⨯⨯⨯∠⨯===⨯⨯⨯∠⨯，解得2k =， ∴22122AE EB ==-． 21． 【点睛】本题考查两线段比值的求法、三棱柱的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知直角ABC V 中，直角顶点A 在直线60x y -+=上，顶点B ，C 在圆2210x y +=上，则点A 横坐标的取值范围是__________. 【答案】[4,2]--【解析】由题意画出图形，写出以原点为圆心，以25为半径的圆的方程，与直线方程联立求得x 值，则答案可求． 【详解】如图所示，当点A 往直线两边运动时，BAC ∠不断变小，当点A 为直线上的定点时，直线,AB AC 与圆相切时，BAC ∠最大， ∴当ABOC 为正方形，则25OA =，则以O 为圆心，以25为半径的圆的方程为2220x y +=．联立22620y x x y =+⎧⎨+=⎩，得2680x x ++=． 解得4x =-或2x =-．∴点A 横坐标的取值范围是[4,2]--．故答案为：[4,2]--．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是直线20x y -=与直线30x y +-=的交点. （1）求点P 的坐标；（2）若直线l 过点P ，且与直线3210x y +-=垂直，求直线l 的方程. 【答案】（1）(1,2)；（2）2340x y -+=【解析】（1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；（2）设与直线3210x y +-=垂直的直线方程为230x y m -+=，代入点P 的坐标求得m 的值，可写出l 的方程． 【详解】（1）由直线20x y -=与直线30x y +-=组成方程组，得2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(1,2)；（2）设与直线3210x y +-=垂直的直线l 的方程为230x y m -+=， 又直线l 过点(1,2)P ，所以260m -+=，解得4m =， 直线l 的方程为2340x y -+=． 【点睛】本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.18．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知30A =︒，105B =︒，10a =. （1）求c ：（2）求ABC V 的面积.【答案】（1）（2）25+【解析】（1）由已知可先求C ，然后结合正弦定理可求c 的值；（2）利用两角和的正弦函数公式可求sin B 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）30A =︒Q ，105B =︒，45C ∴=︒，10a =Q ，由正弦定理sin sin a c A C =，可得：10sin 21sin 2a Cc A===g .（2）sin105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 454︒=︒+︒=︒︒+︒︒=Q ，11sin1025224ABCS ac B∆∴==⨯⨯=．【点睛】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19．某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：（1）已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.（附：线性回归方程ˆy bx a=+中，()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix y nxy x x y ybx nx x x====---==--∑∑∑∑，a y bx=-，其中,x y为样本平均数）【答案】（1）ˆ0.5 2.3y x=+；（2）6.8千元．【解析】（1）由表中数据计算x、y，求出回归系数，得出y关于x的线性回归方程；（2）利用线性回归方程计算2020年对应9x=时ˆy的值，即可得出结论．【详解】（1）由表中数据，计算1(1234567)47x=⨯++++++=，1(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.37y=⨯++++++=，71()()i iix x y y=--∑3( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.510.92 1.6314=-⨯-+-⨯-+-⨯-++⨯+⨯+⨯=，7222222221((3)(2)(1)0)12328iixx==-+-+-++++=-∑，71721()()140.528()iii ii x x y y b x x ==--∴===-∑∑， 4.30.54 2.3a y bx =-=-⨯=，y ∴关于x 的线性回归方程为：ˆ0.5 2.3y x =+；（2）利用线性回归方程，计算9x =时，ˆ0.59 2.3 6.8y =⨯+=（千元）， ∴预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理．20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，2AB =，12AA =，点N 为AB 中点，点M 在边AB 上.（1）当点M 为AB 中点时，求证：1//C N 平面1ACM ； （2）试确定点M 的位置，使得1AB ⊥平面1ACM . 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）推导出1//C N CM ，由此能证明1//C N 平面1ACM ． （2）当点M 是AB 中点时，推导出1AA CM ⊥，AB CM ⊥，从而CM ⊥平面11AA B B ，进而1A M CM ⊥，推导出△11AA M BAB ∆∽，从而11AB A M ⊥，由此能证明1AB ⊥平面1ACM ． 【详解】（1）Q 在直三棱柱111ABC A B C -中， 点N 为11A B 中点，M 为AB 中点，1//C N CM ∴，1C N ⊄Q 平面1ACM ，CM 平面1ACM ， 1//C N ∴平面1ACM ． （2）当点M 是AB 中点时，使得1AB ⊥平面1ACM ． 证明如下：Q 在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，2AB =，1AA ，点N 为11A B 中点，点M 是AB 中点，1AA CM ∴⊥，AB CM ⊥，1AA B A A ⋂=Q ，CM ∴⊥平面11AA B B ， 1A M ⊂Q 平面11AA B B ，1A M CM ∴⊥，Q 1A M ==1AB ==∴111A M AA AB AB=，∴△11AA M BAB ∆∽， 11AA M BAB ∴∠=∠，11AMA AB B ∠=∠，11AB A M ∴⊥，1A M CM M ⋂=Q ，1AB ∴⊥平面1ACM ． 【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,6)P ，圆22:10100C x y x y +++=. （1）求过点P 且与圆C 相切于原点的圆的标准方程； （2）过点P 的直线l 与圆C 依次相交于A ，B 两点. ①若AO PB ⊥，求l 的方程；②当ABC V 面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）22(3)(3)18x y -+-=；（2）①85300x y -+=；②0x =或48655y x =+． 【解析】（1）设所求圆的圆心为1C ，而所求圆的圆心与C 、O 共线，故圆心1C 在直线y x =上，又圆1C 同时经过点O 与点(0,6)P ，求出圆1C 的圆心和半径，即可得答案；（2）①由题意可得OB 为圆C 的直径，求出B 的坐标，可得直线l 的方程；②当直线l 的斜率不存在时，直线方程为0x =，求出A ，B 的坐标，得到ABC ∆的面积；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为6y kx =+．利用基本不等式、点到直线的距离公式求得k ，则直线方程可求． 【详解】（1）由2210100x y x y +++=，得22(5)(5)50x y +++=，∴圆C 的圆心坐标(5,5)--，设所求圆的圆心为1C ．而所求圆的圆心与C 、O 共线，故圆心1C 在直线y x =上， 又圆1C 同时经过点O 与点(0,6)P ，∴圆心1C 又在直线3y =上，则有：3y xy =⎧⎨=⎩，解得：33x y =⎧⎨=⎩，即圆心1C 的坐标为(3,3)，又1||OC ==r =， 故所求圆1C 的方程为22(3)(3)18x y -+-=；（2）①由AO PB ⊥，得OB 为圆C 的直径，则OB 过点C ，OB 的方程为y x =，联立22(5)(5)50y xx y =⎧⎨+++=⎩，解得(10,10)B --， ∴直线l 的斜率10681005k --==--，则直线l 的方程为865y x =+，即85300x y -+=；②当直线l 的斜率不存在时，直线方程为0x =，此时(0,0)A ，(0,10)B -，(5,5)C --，1105252ABC S ∆=⨯⨯=；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为6y kx =+．再设直线被圆所截弦长为2a ，则圆心到直线的距离d ，则12252ABCS a ∆===g ． 当且仅当2250a a =-，即5a =时等号成立． 此时弦长为10，圆心到直线的距离为55=，解得4855k =．直线方程为48655y x =+． ∴当ABC ∆面积最大时，所求直线l 的方程为：0x =或48655y x =+． 【点睛】本题考查圆的方程的求法、直线与圆的位置关系应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A ，(10,0)B ，(11,3)C ，(10,6)D .（1）①证明：cos cos 0ABC ADC ∠+∠=；②证明：存在点P 使得PA PB PC PD ===.并求出P 的坐标；（2）过C 点的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E ，求点E 的坐标.【答案】（1）①见解析；②见解析，(6,3)；（2）143(,)55. 【解析】（1）①利用夹角公式可得cos cos 0ABC ADC ∠+∠=；②由条件知点P 为四边形ABCD 外接圆的圆心，根据0AB BC =u u u r u u u rg ，可得AB BC ⊥，四边形ABCD 外接圆的圆心为AD 的中点，然后求出点P 的坐标；（2）根据条件可得9ED AE =uu u r uu u r ，然后设E 的坐标为(,)x y ，根据109(2)69x x y y -=-⎧⎨-=⎩，可得E 的坐标． 【详解】（1）①(2,0)A Q ，(10,0)B ，(11,3)C ，(10,6)D ，∴(8,0)BA =-u u u r ，(1,3)BC =u u u r ，(8,6)DA =--u u u r ，(1,3)DC =-u u u r，∴cos 10||||BA BC ABC BA BC ∠===-u u u r u u u r g u u u u r u u u u u r ，cos ||||DA DC ADC DA DC ∠===u u u r u u u r g u u u u u r u u u u u r ，cos cos 0ABC ADC ∴∠+∠=；②由PA PB PC PD ===知，点P 为四边形ABCD 外接圆的圆心，Q (8,0)AB =u u u r ，(0,6)BC =u u u r ，∴0AB BC =u u u r u u u rg ，AB BC ∴⊥，四边形ABCD 外接圆的圆心为AD 的中点，∴点P 的坐标为(6,3)；（2）由两点间的距离公式可得，8AB =，BC CD ==，10AD =，Q 过C 点的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分，∴9ED AE =uu u r uu u r ，设E 的坐标为(,)x y ，则(10,6)ED x y =--u u u r ，(2,)AE x y =-u u u r，∴109(2)69x x y y -=-⎧⎨-=⎩，∴14535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点E 的坐标为143(,)55．【点睛】本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.。
2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word版)
YN 输出n 开始1a 2n ←←，1n n ←+32a a ←+20a <结束 （第5题）2019年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .解析：2==2T ππ 2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ . 解析：()2234,34=5Z i Z =-=+-3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析：3y=4x ±4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集. 解析：328=（个）5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲解析：经过了两次循环，n 值变为36.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解析：易知均值都是90，乙方差较小，()()()()()()()22222221118990909091908890929025n i i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ . 解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ . 解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =A BC1ADEF 1B1C9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ .解析：易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.510.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析：易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r所以1212λλ+=11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ . 解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞U12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ . 解析：由题意知2212,bc a b d d c a c c==-= 所以有26b bcc a= 两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -= 两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即33e =13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ . 解析： 由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()001t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，22min 2()228PA f a a a ==-∴-=10a = ， 10a =-（舍去） 综上1a =-或10a =14.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：2252552667123123115521155223 (1),.222222011521312913236002292212n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴->-+∴<<=>∴==Q QQ n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
江苏省苏州市2018-2019学年高一下学期期末调研测试数学试卷有答案
2018-2019学年第二学期期末调研测试高一数学注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第 1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）.本卷满分160分，考 试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3•请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效•作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2 B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5•请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.1 n _-1 n参考公式：样本数据 为必丄,x n 的方差S 2（X i -X ）2，其中X in i 二n y、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1. 函数y=ln （x — 2）的定义域为▲.2. 利用计算机产生0~2之间的均匀随机数3.根据下列算法语句，当输入 :输入工:If Then:厂0・5 *工:Else；y=25 + o. 6 * (x-oO)i iEnd If i［输世¥4. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 400,右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间 ［25，30）的为一等品，在区间［20，25）和［30,35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲. 5. 已知 a| = 2,a|_b= 1, a,b 的夹角。
为 60’，贝y b .6. 从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能 构成三角形的概率是 ▲.x -2y 2 > 0,7. 已知实数x 、y 满足 x y -2 > 0,则z = 2x - y 的最大值为 ▲.l x < 3,a ,则事件“ 3a — 2<0”发生的概率为 ▲.▲. x 为60时，输出y 的值为▲.8.函数f （x） =2sinC'X」：）（门>0,且| | ）的部分图象2如图所示,则f (二)的值为▲.2 —9. 已知等差数列｛a.｝的公差为d,若印,a? a4赴的方差为&则d的值为▲.10. 在厶ABC中，已知/ BAC = 90° AB = 6,若D点在斜边BC上，CD = 2DB，则只B •忌的值为▲•1 s/311. 计算的值为▲ •sin 10 cos10 —y 112. 已知正实数x, y满足x 2^1，则的最小值为▲.2x y13. 已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=x2- 3x.则关于x的方程f(x)=x+ 3的解集为▲.114. 已知数列 g 的前n项和为S n.耳=，且对于任意正整数m, n都有a n=a^a m若S n ：：：a对任意n € N*5恒成立,则实数a的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知集合A=｛ x|y= .3 _2x-X2｝, B=｛x|x2- 2x+ 1 —m2< 0｝.(1)若m -3，求A「B ;⑵若m 0, A M B，求m的取值范围.16. (本小题满分14分)△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC + ■. 3 csinB.(1)求B；⑵若b=2， a = 3c，求△ ABC的面积.17. (本小题满分14分)已知｛ a n｝是等差数列，满足a1= 3，a4= 12，数列｛b n｝满足b1 = 4，b4= 20，且｛b n —a n｝为等比数列. (1)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；⑵求数列｛ b n｝的前n项和.18. (本小题满分16分)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120° .现在边界AP, AQ处建围墙，PQ处围栅栏.(1)若.APQ =15 , AP与AQ两处围墙长度和为100(、..3 - 1)米，求栅栏PQ的长；(2)已知AB, AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为2500 3平方米，问AP , AQ长各为多少时，可使三角形APQ周长最小？19. (本小题满分16分)已知函数f(x)=x|x—a|, a € R , g(x)=x2— 1.(1)当a=1时，解不等式f(x)> g(x)；⑵记函数f(x)在区间［0 , 2］上的最大值为F(a),求F(a)的表达式.20. (本小题满分16分)已知数列｛a n｝, ｛b n｝, S为数列｛a n｝的前n项和，向量X= (1,b n),尸⑻一1,S n) , x// y. (1)若b n=2，求数列｛a n｝通项公式；卄n⑵右b n, a2=0.①证明：数列｛a n｝为等差数列；a② 设数列｛C n ｝满足c n 口，问是否存在正整数I , m(l<m ,且l 丰2, m z 2)，使得c i 、C 2、C m 成等比数列，若存在，求出I 、m 的值；若不存在，请说明理由2018-2019学年第二学期期末调研测试高一数学参考答案及评分标准一、填空题：131. (2,+ R );2.丄；3. 31;4. 100;5.1 ;6. - ;7.7;34 8. 3 ; 9. -2; 10. 24;11.4;12. 22 ; 13. {2+7 , -1 , -3};14. 1 .4二、 解答题：本大题共6小题，共计90分•请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 解(1)令 3-2x — x 2> 0,解得 A=[ — 3, 1], ............................. 3 分 m =3 时，x 2— 2x -9 =0 解得 B=[ — 2, 4]; ................. 6 分 AC1B2,11...................................... 7 分 (2) A B ，即[—3, 1] -[1 — m , 1 + m],所以 1 — m W — 3 且 1 + m > 1, ............................... 11 分 解得 m 》4,所以 m 》4................................ 14分16. 解(1)由 a=bcosC + 3 csinB 及正弦定理，sinA=sinBcosC + 3 sinCsinB,① 又 sinA=sin( n —B — C)=sin(B + C)=sinBcosC + cosBsinC ②，an 2由①②得73sinCsinB=cosBsinC,又三角形中，sinC^Q ............................................ 3分所以 3 sinB=cosB, ............................. 5 分sin15' 二 sin(45 -30 ) =sin45 cos30 -cos 45‘ sin30‘AP AQ PQ 100(31)PQ = 100 6 sin45 sin15‘ sin 120 、：6 、24(2)设 AP =x 米，AQ =y 米.2二 xy =10000 -------------------------------------------------------------------------- 9分x y _ 2、xy = 200 ---------------------------------------------------------------------- 11分 设 ABC 的周长为 L ,则 L = x y . x 2 y 2 xy = x y i (x y)2 -10000 ---12 分令x ^t , L =t ，t 2 -10000在定义域上单调增，所以L min =200 100. 3，当又 B € (0, n ，所以 B=二 ............6 1 1⑵△ ABC 的面积为 S= —acsinB = —ac.2 4由余弦定理，b ?= a ?+ c ?— 2accosB 得 4=a ? + c ? — ..f3ac a = . 3c ，得 c — c = 2 , a = 3c = 2 £3 , 所以△ ABC 的面积为 3. ...........................................................................17.解(1)设等差数列｛a n ｝的公差为d ,由题意得 a 4 —a 1 12 — 3 d = 3 = 3 = 3. ...............................................所以 a n = a 1+ (n — 1)d = 3n(n = 1, 2，-…). ...... 设等比数列｛b n — a n ｝的公比为q ，由题意得3 b 4—a 420 — 12 q = = = 8,解得 q = 2. Mb 1 — a 1 4— 3所以 b n — a n = (b 1 — a”q n-1 = 2n-1. 从而 b n = 3n + 2n-1(n = 1,2,…).n 1⑵由(1)知 b n = 3n + 2 -(n = 1, 2,数列｛3 n ｝的前n 项和为》n(n + 1),1 — 2n数列｛2 n-1｝的前n 项和为1 x ------- = 2n — 1, .............1 —23 所以，数列｛ b ｝的前n 项和为qn(n + 1) + 2n — 1.18.解 （1）依题意,AP AQ sin 45 sin15"PQ sin； 12分…)•10分12分14分得AP AQ” sin45 sin15PQsin120则 S =^xysin120； =2500 .3x=y=100取等号； --------答：(i )PQ =IOO .6米;(2)当AP =AQ =100米时，三角形地块 APQ 的周长最小----------------------------------------------------------------------- 16 分 19.解f(x)>g(x), a=1 时，即解不等式 x|x — 1|>x 2— 1, ......................................... 1 分 当x > 1时，不等式为x 2 — x > x 2— 1，解得x < 1，所以x = 1; ............... 3分 当x<1时，不等式为x — x 2> x 2— 1，解得< x < 1 ,2所以—1 < x ：:1 ; .................................. 5 分21综上，x €,1］. ............................. 6 分2⑵因为x € ［0 , 2］,当a w 0时，f(x)=x 2 — ax ,则f(x)在区间［0 , 2］上是增函数,所以 F(a)=f(2)=4 — 2a ； ................. 7 分 当0<a<2时，f (x)=尹 ax,0 W x a，则f(x)在区间［0,a ］上是增函数，在区间［£,a ］上是减函数，在x-ax,a w xc22 2区间［a , 2］上是增函数，所以 F(a)=max{ f (空)，f(2)} , ............... 9分2a a令 f( ) > f (2)即 > 4-2a ，解得 a w -4-4.2 或 a > -4 4 2 ,2 42 所以当 4 2-4：：： a w 2 时，F(a)=a； 12 分4当 a > 2 时，f(x)= — x 2 + ax ,当1 w a c2即2 w a<4时，f(x)在间［0^上是增函数， 2 22F(a )= f 2( =! ； ..................... 13 分当a > 2，即a > 4时，f(x)在间［0, 2］上是增函数，则 F(a) =f(2) =2a -4 ； .......... 14分24 -2a,a w “-42所以，F(a) = a ,4 2-4 ：：a ：：4 , ................................... 16 分42a —4,a > 420.解(1) x 〃y , 得 S n =(a n — 1)5，当 b “=2，则 S n =2a n — 2 ①， 当 n=1 时，0=2n — 2, 即卩 a 1=2, .............................. 1 分 又 S n + 1=2a n +1 — 2 ②，②—①得 Si +1 — Sn=2a n +1 — 2a n , 即 a n +1= 2a n ，又 a 1=2 ,152 2而 f (|)=令,f(2)=4 — 2a ，令 f (号厂::f(2)即冷：：4—2a ,解得-4-4.2 :::-4 4 2,所以当 0 ：：a ：：:4 2 -4时，F(a)= 4 — 2a ; .............. 11 分2在［-,2上是减函数，2由l<m ，所以存在l=1,m=8符合条件.所以｛a n ｝是首项为2,公比为2的等比数列， ................... 3分所以a n =2n ................................ 4分⑵① b n =—，则 2S n = na n - n ③,当 n =〔时，2S i =a i — 1,即 a i = — 1, 2 又 2Si +1=( n + 1)a n +i — (n + 1)④， ④一③得 2S n +1 — 2§n =(n + 1)a n +1 — na *— 1, ................................. 6 分 即(n — 1)a n +1 — na n —1=0 ⑤， 又 na n +2— (n + 1)a n +1 — 1=0⑥ ⑥一⑤得， na n + 2— 2na n + 1 + na n =0, 即a n + 2+ a n =2a n +1,所以数列｛a n ｝是等差数列. ..................... 8分 ②又 a 1 = — 1, a 2=0, 所以数列｛a n ｝是首项为—1，公差为1的等差数列 —1a n = — 1 + (n — 1) >1=n — 2，所以 Cn= ---- — 假设存在l<m(l 丰2, m ^ 2)，使得q 、c 2、, .....................................10 分 C m 成等比数列，即C ^-C ^C ., 可得9 mJ 4 l m 12分 4m +4 整理得5lm — 4l=4m + 4即I ，由 5m —4 4m 4 > 1，得 1< m w 8,5m -414分代入检验 駕1或 m =2 I =2| m 二 3 J 或 16或 l .11m =4 ,5或 l4 m =5 ,8或 匕m =6 14或 ‘13m 二 7 32或 l31m =8 I =116分。
江苏省苏州市2019~2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
【解析】
【分析】
设C(x,y)
,求出AC,CB的坐标,根据AC2CB列出方程组,即可求出点C的坐标.
【详解】设C(x,y)
AC(x2,y3),CB(8x,3y)
,则
,
22(8x)
x
,解得
x6,y1.
因为
2CB,所以
AC
32(3y)
y
故答案为:(6,1)
【点睛】本题考查平面向量基本定理及坐标表示,属于基础题.
,
6
3
6
62
32
5
21
1
6x
2k,2k(kZ)
x
k,k(kZ)
令
,解得
,
6
2
2
93
183
5
k1,x,
当
918
5
(,)
126
f(x)sin(6x)
所以
在区间
上不是单调函数,不合题意.
6
故选:BC
【点睛】本题考查正弦型函数的单调性,属于基础题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知
A(2,3),B(8,3)，若AC2CB，则点C的坐标为__________.
，且在区间,上单调，则ω,φ可能的取值
32
126
为（
）
5
6
A.ω
=2φ=
B.
ω=2,φ=
C.
ω=6,φ=
ω=6,φ=
D.
6
2
6
【答案】BC
【解析】
【分析】
1
,
,
将各选项
代入解析式,逐项判断是否过点
江苏省苏州市吴江区震泽中学2019-2020学年高一下学期期末数学答案
江苏省苏州市吴江区震泽中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题参考答案1．D 【思路点拨】求出直线032xy-=的横截距、纵截距即可.【解析】令0x =，得0y =，令0y =，得0x =，所以直线032xy-=的横截距为0，纵截距为0，直线032xy-=在两个坐标轴上的截距之和为0，故选：D.【反思】本题考查的是直线的截距，属于基础题.2．C 【思路点拨】求得 3.5x y ==，得到样本中心点(3.5,3.5)，再把样本中心点代入回归直线方程得解.【解析】由表可得 3.5x y ==，带入线性回归方程中有 3.50.7 3.5 5.95=+⨯=a ，故选：C .【反思】本题考查利用线性相关关系求回归直线方程，属于基础题.3．A 【思路点拨】这是一个古典概型，设两个医院分别为A ，B ，先列举出所有基本事件数，再找出甲乙在一个医院的事件数，代入公式求解.【解析】设两个医院分别为A ，B ，则共有A （甲，乙）B （丙），A （甲，丙）B （乙），A （乙，丙）B （甲），B （甲，乙）A （丙），B （甲，丙）A （乙），B （乙，丙）A （甲），共6个基本事件，其中甲乙在一个医院的事件有2个， 则甲、乙两人分配到同一家医院的概率为2163p ==故选：A 【反思】本题主要考查古典概型的概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 4．C 【思路点拨】由向量共线得出方程，求解可得选项. 【解析】由向量共线得8358202652==⇒=⨯=a ab b ，故选：C. 【反思】本题考查向量共线问题，属于基础题.5．B 【思路点拨】先由正四面体的结构特征，由题中条件，求出其表面积2S ；记该正四面体为P ABC -取BC 中点为D ，连接AD ，过点P 向底面作垂线，垂足为G ，根据正四面体的性质，垂足必然落在AD 上，且23AG AD =，求出正四面体的高PG ，进而可求出体积，从而可得出结果.【解析】因为正四面体的各面都是等边三角形， 所以其表面积为214sin 323S a a a π=⋅⋅⋅⋅=； 记该正四面体为P ABC -（如下），取BC 中点为D ，连接AD ，过点P 向底面作垂线，垂足为G ，根据正四面体的性质，垂足必然落在AD 上，且23AG AD =，因为该正四面体边长为a ，所以2232a AD a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 因此233AG AD ==， 所以四面体的高为22221633h PG PA AG a a a ==-=-=，所以体积为31113623322312ABCV S h a a a a =⋅=⋅⋅⋅⋅=， 所以6=V S ；故选：B. 【反思】本题主要考查正四面体体积和表面积的计算，属于常考题型.6．B 【思路点拨】根据题意得出关于实数x 的不等式，由此可解得实数x 的取值范围. 【解析】在ABC 中，已知2a =，b x =，60B =，由于ABC 有两组解，则sin a B b a <<，即22x <<2x <<.故选：B. 【反思】本题考查利用三角形解的个数求参数，考查计算能力，属于基础题. 7．A 【思路点拨】令yk x=，根据直线与圆有公共点可得选项. 【解析】令⎡=⇒=≤⇒∈⎣yk y kx k x ，故选：A. 【反思】本题考查直线与圆的位置关系，常常由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得出直线与圆的关系，属于基础题.8．D 【思路点拨】设线段AB 的中点为M ，由已知求得M 在222x y +=上，设M 到直线34100x y +-=的距离为d ，利用平面几何知识得122=+d d d ，由直线与圆的位置可得选项.【解析】设线段AB 的中点为M，那么12===OM AB M 在222x y +=上，设M 到直线34100x y +-=的距离为d ，由题意得122=+d d d ，而222x y +=的圆心()00，到直线34100x y +-=2=，所以max 2==d 12d d +的最大值为故选：D.【反思】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题.9．AD 【思路点拨】根据空间中平行与垂直关系的判定与性质定理依次判断各个选项即可得到结果.【解析】若一条直线垂直于两平行平面当中的一个，则一定垂直于另一个，可知A 正确；αβ⊥，m β⊥ //m α∴或m α⊂，又//l α ,l m ∴可能平行、相交或异面，B 错误；m β⊥，l m ⊥ //l β∴或l β⊂，C 错误；//m αα内必存在直线m 的平行线n ，又m β⊥ n β∴⊥n α⊂ αβ∴⊥，D 正确.故选：AD【反思】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，考查学生对于空间中平行与垂直关系相关定理的掌握.10．AC 【思路点拨】由余弦函数的单调性可判断A 选项；验证得()()y x y x π≠+，可判断B 选项；由定义的诱导公式可判断C 选项；取4παβ==，代入验证可判断D 选项.【解析】因为sin 1cos y ver x x ==-，而cos y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以函数sin 1cos y ver x x ==-在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，故A 正确；函数versin 1cos 1cos ();()coversin 1sin 1sin π-+==+=-+x x x y x y x x x x，所以()()y x y x π≠+，所以B错误；sin 1cos 1sin sin 22ver cover ππθθθθ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；取4παβ==，sin(1cos12ver )παβ+=-=，sin sin sin sin ver cover cover ver αβαβ⋅+⋅1cos 1sin 1sin 1cos 34444+ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以sin(sin sin sin sin ver )ver cover cover ver αβαβαβ+≠⋅+⋅， 故D 错误,故选：AC.【反思】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于中档题.11．ABC 【思路点拨】以1,,DA DC DD 为一组正交基底建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，求得平面1ACD 的法向量1(1,1,1)n ，点D 到平面1ACD 的距离为1d ，点1B 到平面1ACD 的距离为2d ，逐一判断选项，即可.【解析】以1,,DA DC DD 为一组正交基底建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，那么1111(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)D A B C A B C D ，设平面1ACD 的法向量为1(,,)n x y z =，则1110AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即+0+0x y x z -=⎧⎨-=⎩， 令1x =，得平面1ACD 的一个法向量为1(1,1,1)==n 1DB ，所以1DB ⊥平面1ACD ，且13DB AB =，又点D 到平面1ACD 的距离为1113⋅==DC n d n ，点1B 到平面1ACD 的距离为11213⋅==B C n d n ，所以线段1DB 被平面1ACD 分成的两部分长度比为1:2， 又11111326D ADC V -=⨯⨯=，剩下的部分的体积为15=166V -=，所以正方体1111ABCD A B C D -被平面1ACD 分成的两部分体积比为1:5，所以ABC 正确，D 不正确，故选：ABC.【反思】本题考查正方体中的线面关系，点到面的距离，三棱锥的体积，属于中档题. 12．ABD 【解析】2,3k b ==时，直线l 上无整点，所以选项A 正确；2,2k b ==时，直线l 上只有一个整点，所以选项B 正确；若直线l 上恰有两个整点()(),,,M m n N p q ，则显然()2,2Q p m q n --也在直线l 上，且点N 为线段MQ 的中点，所以选项C 不正确；显然直线y x =上有无数个整点，所以选项D 正确. 13．1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭【思路点拨】把圆的一般方程化为标准方程，可得实数m 的取值范围． 【解析】方程220x y x y m ++++=，即22111()()222x y m +++=-，表示圆，102m ∴->，求得12m <，则实数m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故答案为1,.2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【反思】本题主要考查圆的普通方程化为标准方程，考查二元二次方程是圆的方程的条件，考查配方法，属于基础题．对于二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=，可通过配方法配方成22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2240D E F +-=时，表示点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当2240D E F +->时，表示圆.14．3【思路点拨】求出()y g x =的解析式，再利用函数为偶函数，则(0)1g =±从而得到ω的表达式，进而得到其最小值. 【解析】由题意得()sin 6g x x πω⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为()y g x =是偶函数，所以(0)sin 16g πω⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭， ∴()62k k Z ππωπ-=+∈，解得63()k k Z ω=--∈．因为0>ω，所以ω的最小值为3． 故答案为：3.【反思】本题考查三角函数的平移变换及偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 15．1532【思路点拨】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ，先分析得到222138b c a +≤，再利用余弦定理得到258bc a ≤，最后利用正弦定理即得解.【解析】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ， 那么2243,169x a x a ≤∴≤，因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=所以2222422+=+x a b c ， 故2222222213168849,8x b c a a b c a =+-≤∴+≤由题意得222222221135cos ,,2288b c a A b c bc a a bc a bc +-==∴+=+≤∴≤255315sin sin sin =88432B C A ∴≤=⨯.故答案为：1532【反思】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．2 25π 【思路点拨】设圆柱的底面半径为r ，利用圆柱体积公式即可求出，再利用圆柱的外接球关系可求出球半径，计算出表面积. 【解析】设圆柱的底面半径为r ，外接球半径为R ， 由题意得圆柱体积22312V r h r ππ=⋅==，解得2r，根据圆柱外接球的性质可得52R ==， 所以该圆柱的外接球的表面积为2425S R ππ==. 故答案为：2；25π.【反思】本题考查了圆柱的体积公式，考查了圆柱外接球问题，属于基础题. 17．【思路点拨】（1）利用线面平行的性质定理即可证明；（2）利用AP AB =，若M 为PB 的中点，可得AM PB ⊥，再利用面面垂直的性质定理即可证明AM ⊥平面PBC ，再利用面面垂直的判定定理即可求证. 【解析】（1）因为//BC 平面AMN ，BC ⊂平面PBC ，平面AMN平面PBC MN =，由线面平行的性质可得//BC MN（2）因为M 为PB 的中点，且AP AB =，由等腰三角形的性质可得AM PB ⊥， 又因为平面PAB ⊥平面PBC ， 平面PAB ⋂平面PBC BC =，AM ⊂平面PAB ，由面面垂直的性质定理即可得：AM ⊥平面PBC ，又因为AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC【反思】本题主要考查了线面平行的性质定理，面面垂直的性质定理，面面垂直的判定定理，属于中档题.18．【思路点拨】（1）根据频率直方图计算得x ，a ，b ；（2）由频率直方图的平均值的计算方法可估计该企业员工的平均年龄；（3）根据比例和分层抽样先求得第3组中抽取的人数.设这四人为甲乙丙丁，列举出所有的基本事件，由古典概率公式可求得答案.【解析】（1）50500,0.0855002000.025x a ===⨯⨯=⨯，0.02550050b =⨯⨯=，所以x =500，a =200，b =50；（2）300.025350.025400.085450.065500.02541x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 所以估计该企业员工的平均年龄为41； （3）从第3组中抽取的人数为2006=450+50+200⨯人.设这四人为甲乙丙丁，则所有的基本事件为： （甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙）， （乙，丁），（丙，丁）共6个， 故甲被选中的概率为31=62P =. 【反思】本题考查频率直方图的识别，由频率直方图估算平均值，分层抽样，以及古典概率的计算，属于中档题.19．【思路点拨】（1）利用两直线的垂直关系可得斜率，根据点斜式可得直线方程； （2）设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，根据斜率公式和二倍角的正切公式可解得结果. 【解析】（1）213514AB k +==-，故所求直线的斜率为43k =-从而所求直线方程为44(3)3y x -=--， 化简得483y x =-+ （2）设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，依题意有2(1)3tan 2514α--==-，∴22tan 341tan αα=-， 即23tan 8tan 30αα+-=，∴1tan 3α=或tan 3α=-. 由02180α≤<，得090α≤<， 所以tan 0α≥，∴1tan 3α=，∴直线l 的斜率为13. 【反思】本题考查了根据两条直线垂直得斜率，考查了直线方程的点斜式，考查了斜率公式，考查了直线的倾斜角，考查了二倍角的正切公式，属于基础题. 20．【思路点拨】（1）由已知得2C A π-=.再由诱导公式和二倍角公式可得又21sin 12sin 3B A -=，求得答案.（2）选①：由正弦定理可得BC =再由诱导公式和三角形的面积公式可得答案；选②：由正弦定理可得AC =.再由诱导公式和三角形的面积公式可得答案.【解析】（1）由(,)2πππ-∈-⇒-=C A C A .又21sin sin()sin(2)cos 212sin 23π=+=+==-=B AC A A A .因为(0,)sin 3π∈⇒=A A .（2）选①：由正弦定理可得sin ==ABC B且sin sin()cos 2π=+===C A A .故11sin 22=⨯⨯=⨯=S BC AC C .选②：由正弦定理可得sin ==BAC A且sin sin()cos 23π=+===C A A .故11sin 223=⨯⨯=⨯=S BC AC C . 【反思】本题考查诱导公式，同角三角函数间的关系，正弦定理，三角形的面积公式，属于中档题.21．【思路点拨】（1）连接PE ，DF ，BE ，取BC 中点H ，连接EH ，以EA ，EH ，EP 为一组正交基底建立空间直角坐标系，求出平面DEF 的一个法向量1n ，再由1cos ,BE BE n <>，即可得出结果；（2）设平面PBC 的一个法向量为()2111,,n x y z =，根据题中条件，求出()20,1,4n =，设平面DEF 与平面PBC 的夹角为α，求出两向量夹角余弦值，进而可得出结果. 【解析】（1）连接PE ，DF ，因为PA PD =，所以PE AD ⊥， 又平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PE ⊥面ABCD ；又底面ABCD 为矩形，取BC 中点H ，连接EH ，则EA ，EH ，EP 两两垂直； 以EA ，EH ，EP 为一组正交基底建立空间直角坐标系， 因为4AB =，2AD =，所以(0,0,0)E ，(1,0,0)D -，(1,4,0)B ，(1,4,0)C -， 又PA PD ⊥，所以PAD △为直角三角形，则112PE AD ==， 所以(0,0,1)P ，11,2,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,4,0BE =--，()1,0,0ED =-，11,2,22EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =，则120112022ED n x EF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，因此04x z y =⎧⎨=-⎩， 不妨令1y =，则()10,1,4n =-，所以点B 到平面DEF 的距离为111417cos ,BE n d BE BE n n ⋅=<>==（2）设平面PBC 的一个法向量为()2111,,n x y z =， 因为()1,4,1PB =-，()1,4,1PC =--，则111121114040PB n x y z PC n x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，则11104x z y =⎧⎨=⎩，不妨令11y =，则()20,1,4n =.设平面DEF 与平面PBC 的夹角为α， 故12121215cos cos ,17n n n n n n α⋅=<>==， 又因为[0,]απ∈，所以8sin 17α=.【反思】本题主要考查求点到面的距离，考查求二面角的正弦值，灵活利用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.22．【思路点拨】（1）设P （x ，y ），将1,1,4=-==m n t ，代入(0PM t t PN =>且1)t ≠，可得 P 的轨迹方程； （2）由(,0),(,0)M m N n ，代入(0PM t t PN =>且1)t ≠，化简P 的轨迹方程，消去t 可得4mn =，可得证明；（3）可求出直线AB 方程为22y x =-+，故22(,)22++k Q k k .由正弦定理可得52sin sin 25===∠∠AQ OQ OQ AOQ QAO ，化简可得k 的值，可得答案. 【解析】解：（1）设P （x ，y ），由1,1,4=-==m n t ，可得(1,0),(1,0)M N -， 2PM PN=2222(1)2(1)()x y x y ++=-+化简P 的轨迹方程为2210103x y x +-+=. （2）同理设(,)P x y ，由(,0),(,0)M m N n，0PM t PN =>且1)t ≠.=化简P 的轨迹方程为22222211--++=--m nt m tn x y x t t . 由题意得22220441m nt m tn mn t m n-=⎧⎪-⎪=⇒=⎨-⎪≠⎪⎩. （3）由点A 的坐标为(,0)4mn ，点B 的坐标为(0,)2mn ， 可得直线AB 方程为22y x =-+，由22:4,+=O x y 故22(,)22++k Q k k .由正弦定理可得2sin sin 2===∠∠AQ OQ OQ OQ AOQ QAO 所以124233=⇒==CQ OQ OQ OC . 即224416(2)9+=+k k 且0k >解得85+=k . 【反思】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，考查学生的数学分析能力、综合计算能力，属于中档题.。
江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)
江苏省苏州市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．16πB．20πC．36πD．40π2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20 B．40 C．60 D．803．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系中，两直线﹣＝1与﹣＝1的图象可能是（）A．B．C．D．5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BB1上靠近B的三等分点，点F是棱CC1的中点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．207．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，且△ABC的面积为，则b的取值范围是（）A．[2，）B．[，）C．[2，6）D．[4，6）8．在平面直角坐标系xOy中，两圆O1，O2均过点（3，0），它们的圆心分别为（x1，0），（x2，0），满足+＝，若两圆与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），则y1y2的值为（）A．2 B．6C．9 D．与x1，x2的取值有关二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半10．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，则实数a的可能值为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，∠B＝，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．c＝3 B．c＝C．c＝4 D．c＝12．如图，点E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A．直线AD与直线C1M始终是异面直线B．存在点M，使得B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为．15．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y＝0和x+ay＝5上，且线段AB的中点为P（0，5），则|AB|＝．16．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，M，N分别为BC，AC的中点，侧面A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°．（1）求证：AB∥平面A1MN；（2）求证：平面A1ACC1⊥平面A1MN．18．已知圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（0，3）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y（单位：个）与温度x（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表：温度x/℃9 11 13 12 8产卵数y/个23 25 30 26 20科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为＝，＝﹣．）20．在①b cos A﹣c＝0，②a cos B＝b cos A，③a cos C+b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，满足____．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD长．21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足AD ＝1，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，连接A1B，A1C．（1）求二面角C﹣A1B﹣D的余弦值；（2）线段A1E上是否存在点P，使得直线CP与平面A1BC所成的角为60°？若存在，求出A1P的长；若不存在，请说明理由．22．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x ﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件＝的点P有几个？请说明理由．江苏省苏州市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．16πB．20πC．36πD．40π【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．解：由圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为S侧＝π×4×5＝20π．故选：B．2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20 B．40 C．60 D．80【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求青年人中需抽取的人数．解：由题可知抽取的比例为k＝＝，故青年人应该抽取人数为N＝800×＝40．故选：B．3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10．利用列举法求出这两个数之和等于5包含的基本事件有2个，由此能求出这两个数之和等于5的概率．解：从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，基本事件总数n＝＝10．这两个数之和等于5包含的基本事件有：（1，4），（2，3），共2个，则这两个数之和等于5的概率为p＝．故选：C．4．在同一平面直角坐标系中，两直线﹣＝1与﹣＝1的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程的截距式可知，直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为m，﹣n；直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为n，﹣m，然后结合选项，对m和n的正负性进行分析即可作出判断．解：直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为m，﹣n；直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为n，﹣m．对于A，一条直线的两截距均为正（不妨取m＞0，﹣n＞0，则n＜0），而另一条直线的两截距一正一负（即n＞0，﹣m＜0，则m＞0），在n的取值上互相矛盾；对于B，一条直线的两截距均为负（不妨取m＜0，﹣n＜0，则n＞0），而另一条直线的两截距一正一负（即n＞0，﹣m＜0，则m＞0），在m的取值上互相矛盾；对于C，一条直线的两截距均为负（不妨取m＜0，﹣n＜0，则n＞0），而另一条直线的两截距一负一正（即n＜0，﹣m＞0，则m＜0），在n的取值上互相矛盾；对于D，一条直线的两截距均为正（不妨取m＞0，﹣n＞0，则n＜0），而另一条直线的两截距均为负（即n＜0，﹣m＜0，则m＞0），符合．故选：D．5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出从中取出的2粒是同一种颜色的概率，由此能求出取出的2粒颜色不同的概率．解：这个问题，取出同是黑子的概率是，同是白子的概率是，∴从中取出的2粒是同一种颜色的概率是P1＝＝，∴取出的2粒颜色不同的概率P＝1﹣＝．故选：D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BB1上靠近B的三等分点，点F是棱CC1的中点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．20【分析】设四边形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，由已知三棱锥A1﹣AEF的体积为2可得Sd的值，即平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积．解：设平行四边形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，则△AA1E的面积为S，∵＝×S×d＝2，∴Sd＝12，则．故选：B．7．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，且△ABC的面积为，则b的取值范围是（）A．[2，）B．[，）C．[2，6）D．[4，6）【分析】由已知利用三角形的面积公式可求ac＝4，再由正弦定理可得b＝＝，可得b2＝，对于sin A sin（120°﹣A）化简整理可得sin （2A﹣30°）+，再根据三角函数的性质即可求出．解：∵B＝60°，△ABC的面积等于＝ac sin B＝ac，解得：ac＝4，∴A+C＝120°，∵△ABC为锐角三角形，∴30°＜A＜90°，由正弦定理可得＝＝，∴b＝＝，∴b2＝＝，由sin A sin（120°﹣A）＝sin A（cos A+sin A）＝sin A cos A+sin2A＝sin2A+＝（sin2A﹣cos2A）+＝sin（2A﹣30°）+，∵30°＜A＜90°，∴30°＜2A﹣30°＜150°，∴＜sin（2A﹣30°）≤1，∴＜sin（2A﹣30°）+≤∴4≤＜6，∴4≤b2＜6，∴2≤b＜故选：A．8．在平面直角坐标系xOy中，两圆O1，O2均过点（3，0），它们的圆心分别为（x1，0），（x2，0），满足+＝，若两圆与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），则y1y2的值为（）A．2 B．6C．9 D．与x1，x2的取值有关【分析】根据圆上两点列方程，用x1，x2表示出y1，y2，再根据x1，x2的关系计算（y1y2）2即可得出答案．解：因为（3，0）和（0，y1）在圆O1上，O1（x1，0），∴|3﹣x1|＝，化简可得：y12＝9﹣6x1，同理可得：y22＝9﹣6x2，∴（y1y2）2＝（9﹣6x1）（9﹣6x2）＝81﹣54（x1+x2）+36x1x2，∵+＝＝，∴x1+x2＝x1x2，∴81﹣54（x1+x2）+36x1x2＝81，又y1＞0，y2＞0，∴y1y2＝9．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【分析】根据某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍，利用饼图的性质直接求解．解：对于A，设乡村振兴经济计划前农村经济收入为a，则经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入为2a，∴乡村振兴经济计划前种植收入为a×60%＝0.6a，经过三年的乡村振兴建设种植收入为2a×37%＝0.74a，∴乡村振兴建设后，种植收入增加，故A错误；对于B，乡村振兴经济计划前其它收入为a×4%＝0.04a，经过三年的乡村振兴建设其它收入为2a×5%＝0.1a，∴乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上，故B正确；对于C，乡村振兴经济计划前养殖收入为a×30%＝0.3a，经过三年的乡村振兴建设养殖收入为2a×30%＝0.6a，∴乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍，故C正确；对于D，乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为：30%+28%＝58%，超过了经济收入的一半，故D正确．故选：BCD．10．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，则实数a的可能值为（）A．B．C．D．【分析】求出复合函数的单调增区间，取k＝0，可得f（x）在[﹣，]上单调递增，再由函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增求得a的范围得答案．解：由，k∈Z，得，k∈Z．取k＝0，可得f（x）在[﹣，]上单调递增，又函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，∴，即0＜a≤．∴实数a的可能值为，．故选：AB．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，∠B＝，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．c＝3 B．c＝C．c＝4 D．c＝【分析】由B的度数求出sin B的值，再由b的值，利用正弦定理得出c与sin C的关系式，同时由B的度数求出A+C的度数，再根据三角形只有一解，可得C只有一个值，根据正弦函数的图象与性质得到C的范围，且当C为直角时，也满足题意，进而由C的范围，求出正弦函数的值域，根据c与sin C的关系式，由正弦函数的值域即可可得出c的范围解：∵B＝，b＝2，根据正弦定理得：＝＝＝4，∴c＝4sin C，又A+C＝π﹣＝，且三角形只一解，可得C有一个值，∴0＜C≤，又C＝90°时，三角形也只有一解，∴0＜sin C≤，或sin C＝1，又c＝4sin C，∴c的取值范围为（0，2]∪{4}故选：AC．12．如图，点E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A．直线AD与直线C1M始终是异面直线B．存在点M，使得B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC【分析】当M为BD1的中点时可知A错误，证明BD1∥平面EAC可知C正确；建立空间坐标系，利用向量判断BD即可．解：（1）当M为BD1的中点时，直线AD与直线C1M是相交直线，交点为A，故A错误；（2）以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间坐标系D﹣xyz，设正方体棱长为1，则A（1，0，0），E（0，0，），B（1，1，0），D1（0，0，1），B1（1，1，1），∴＝（﹣1，0，），＝（0，0，﹣1），＝（﹣1，﹣1，1）．＝λ（0≤λ≤1），则＝+＝（﹣λ，﹣λ，λ﹣1），若B1M⊥AE，则•＝0，即λ+（λ﹣1）＝0，解得λ＝，∴当M为线段BD1的靠近B的三等分点时，B1M⊥AE，故B正确；（3）连接BD，取BD的中点O，连接EO，则O也是AC的中点，由中位线定理可知BD1∥EO，∴BD1∥平面ACE，故V E﹣MAC＝V M﹣ACE＝V B﹣ACE，故C正确；（4）∵AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥OE，AC⊥OM，故∠EOM为二面角E﹣AC﹣M的平面角，当D1M＝2BM时，M（，，），又O（，，0），∴＝（，，），＝（﹣，﹣，），∴＝﹣﹣+＝0，∴OE⊥MO，故平面EAC⊥平面MAC，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为40．【分析】由频率分布直方图先求出该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的频率，由此能求出该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数．解：由频率分布直方图得：该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的频率为：1﹣（0.005+0.020+0.035）×10＝0.4，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为：100×0.4＝40．故答案为：40．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为2．【分析】根据三角形内角的范围，利用同角三角函数的关系算出sin C的值，再由三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．解：∵cos C＝，∴C∈（0，π），可得sin C＝＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×3×2×＝2，故答案为：2．15．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y＝0和x+ay＝5上，且线段AB的中点为P（0，5），则|AB|＝2．【分析】由两直线互相垂直可得a＝2，AB为直角三角形AOB的斜边，直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝5，由此能求出|AB|．解：由已知两直线互相垂直可得：2×1+（﹣1）×a＝0，解得a＝2，∵线段AB中点为P（0，5），且AB为直角三角形AOB的斜边，联立，得O（1，2），∴|OP|＝＝，直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝，∴|AB|＝2|PO|＝2，故答案为：2．16．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为17π，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为．【分析】设球O半径为R，然后求出R，再求出球O的表面积；先求出OP＝，根据条件可知，当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，截面圆半径r＝，然后求出最小值．解：在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，设球O半径为R，则R＝＝，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝17π．∵P为线段AD的中点，∴OP＝＝，当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，截面圆半径r＝＝＝，∴过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为：S截面min＝＝．故答案为：17π；．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，M，N分别为BC，AC的中点，侧面A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°．（1）求证：AB∥平面A1MN；（2）求证：平面A1ACC1⊥平面A1MN．【分析】（1）由已知结合三角形中位线定理可得MN∥AB，再由直线与平面平行的判定得AB∥平面A1MN；（2）由已知证明A1N⊥AC，再由AB⊥AC，MN∥AB，可得MN⊥AC，利用直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面A1NM，从而得到平面A1ACC1⊥平面A1MN．【解答】证明：（1）∵M，N分别为BC，AC的中点，∴MN是三角形ABC的中位线，可得MN∥AB，∵MN⊂平面A1MN，AB⊄平面A1MN，∴AB∥平面A1MN；（2）连接A1C，∵A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°，∴△A1AC是等边三角形，又N是AC的中点，∴A1N⊥AC，∵AB⊥AC，又由（1）知MN∥AB，∴MN⊥AC，而MN∩A1N＝N，∴AC⊥平面A1NM，而AC⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面A1MN．18．已知圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（0，3）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．【分析】（1）由题意设圆心C的坐标，再由圆C经过两点P，Q可得|PC|＝|QC|，可得圆心及半径的值，进而求出圆的方程；（2）分直线AB的斜率存在和不存在两种情况设直线AB的方程，求出圆心到直线AB 的距离d，由d2＝r2﹣（）2，可得直线AB的方程．解：（1）因为圆心C在直线x+y﹣2＝0上所以设圆心C的坐标（a，2﹣a），半径r＝，因为圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），所以|PC|＝|QC|，即（a﹣1）2+（3﹣a）2＝（a+1）2+（1﹣a）2，解得a＝1，所以圆心C（1，1），r＝2，所以圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；（2）由（1）可得圆心C（1，1），r＝2，①当直线AB的斜率不存在时，及直线AB的方程为：x＝0，可得圆心C到直线AB的距离为d＝1，弦长|AB|＝2＝2＝2符合条件；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，可得圆心C到直线AB的距离为d＝，因为|AB|＝2，而d2＝r2﹣（）2，即（）2＝4﹣3＝1，解得：k＝﹣，综上所述：直线AB的方程为：x＝0或y＝﹣x+3．19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y（单位：个）与温度x（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表：温度x/℃9 11 13 12 8产卵数y/个23 25 30 26 20科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为＝，＝﹣．）【分析】（1）由已知数据求出与的值，可得y关于x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，分别取x＝12与8，求得y值，再与实际观测数据作差取绝对值，与2比较大小得结论．解：（1），，＝＝，＝﹣＝26﹣1.75×11＝6.75．∴y关于x的线性回归方程为；（2）当x＝12时，＝27.75，|27.75﹣26|＝1.75＜2．当x＝8时，，|20.75﹣20|＝0.75＜2．∴（1）中所得的线性回归方程是可靠的．20．在①b cos A﹣c＝0，②a cos B＝b cos A，③a cos C+b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，满足____．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD长．【分析】（1）依次代入条件①②③，可得①②不成立，故只能选③；（2）由（1）结论再结合余弦定理可得cos C，进而得到sin C，结合两角和差公式得到sin ∠CAD，利用正弦定理得到CD．解：（1）若选条件①，则有cos A＝＝＝2＞1，不合题意；若选条件②，由余弦定理可得a•＝b•，整理得a＝b，又因为此时a+b＝2＜4，不符合题意；若选条件③，由余弦定理可得a•+b＝0，即a2+3b2﹣c2＝0，所以a2＝c2﹣3b2＝16﹣6＝10，则cos A＝＝＝，因为A∈（0，π），所以A＝；故（1）答案选：③；（2）由（1）的cos C＝＝＝﹣，因为c∈（0，π），则sin C＝＝，sin∠CAD＝sin（﹣C）＝sin cos C﹣cos sin C＝，在△ACD中，因为＝，则CD＝＝＝．21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足AD ＝1，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，连接A1B，A1C．（1）求二面角C﹣A1B﹣D的余弦值；（2）线段A1E上是否存在点P，使得直线CP与平面A1BC所成的角为60°？若存在，求出A1P的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题易知，∠A1DB为二面角A1﹣DE﹣B的平面角，即∠A1DB＝90°，以D为原点，DB、DE和DA1分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面A1BC的法向量，由线面垂直的判定定理易证得DE⊥面A1BD，推出平面A1BD 的法向量为＝（0，1，0），然后根据空间向量数量积的坐标运算求出cos＜＞即可得解；（2）设线段A1E上存在点P（x，y，z）满足题意，且（λ∈[0，1]），根据空间向量的线性坐标运算可求得点P（0，λ，1﹣λ），从而得，由sin60°＝|cos ＜，＞|＝建立关于λ的方程，解之，若λ∈[0，1]，则存在点P符合，否则，不存在．解：（1）由题可知，BD⊥DE，A1D⊥DE，∵二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥BD，以D为原点，DB、DE和DA1分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，0，0），C（，，0），A1（0，0，1），E（0，，0），∴＝（2，0，﹣1），＝（，，﹣1），设平面A1BC的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝，z＝2，∴＝（1，，2），∵BD⊥DE，A1D⊥DE，且A1D、BD⊂面A1BD，A1D∩BD＝D，∴DE⊥面A1BD，∴平面A1BD的法向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∵二面角C﹣A1B﹣D为锐二面角，故二面角C﹣A1B﹣D的余弦值为．（2）设线段A1E上存在点P（x，y，z）满足题意，且（λ∈[0，1]），则（x，y，z﹣1）＝λ（0，，﹣1），∴x＝0，y＝λ，z＝1﹣λ，即点P（0，λ，1﹣λ），∴＝（，，1﹣λ），由（1）知，平面A1BC的法向量为＝（1，，2），而CP与平面A1BC所成的角为60°∴sin60°＝|cos＜，＞|＝＝＝，解得λ＝或∉[0，1]，故不存在点P满足题意．22．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x ﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件＝的点P有几个？请说明理由．【分析】（1）依题意计算，可得结果；（2）解法1（代数法）：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，再求出d 的最大值即可得结果；解法2（几何法）：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，当且仅当O1，O，P三点共线时，d取得最大值，从而得解；（3）采用分类讨论，O1，O在直线AB同侧或异侧，假设|AP|＝t，可得d2+（2t）2＝100，并得t2＝|MP|2＝25﹣（d﹣3）2或t2＝|MP|2＝25﹣（d+3）2计算即可判断．解：（1）当直线l过圆心点O1时，，解得a＝3（负值舍去）．（2）解法1（代数法）：因为OP与圆O相切，所以直线l的方程为x0x+y0y＝9，且，所以圆心O1到直线l的距离，记z＝3x0+4y0，则直线3x0+4y0﹣z＝0 与圆有公共点，所以圆心（0，0）到直线3x+4y﹣z＝0 的距离，所以﹣15⩽z⩽15，所以当z＝﹣15 时，d max＝8，此时弦长|最短，由，解得，所以直线l的方程为3x+4y+15＝0．解法2（几何法）：如图，过O1作O1M⊥AB，则M为弦AB的中点，设d＝|O1M|，当|O1M|最长时，弦长|AB|最短，因为d⩽|O1P|⩽|OO1|+|OP|＝8，当且仅当O1，O，P三点共线时，取得最大值，此时OO1⊥AB，因为，所以直线OO1的方程为，由，解得（P点在第 3 象限）所以直线l的方程为3 x+4y+15＝0．（3）因为，所以设|AP|＝t，则|BP|＝3t（t＞0），所以|AB|＝4t，所以d2+（2t）2＝100 ①，（i）如图，当O1，O在直线AB同侧时，t2＝|MP|2＝25﹣（d﹣3）2②，由①②得d＝6 或d＝2，当d＝6 时，直线AB可看作是圆x2+y2＝9 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝36 的公切线，此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，d＝2 时，直线AB可看作是圆x2+y2＝9 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4 的公切线，此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，（ii）如图，当O1，O在直线AB异侧时，t2＝|MP|2＝25﹣（d+3）2，③由①③可得d＝﹣6 或d＝﹣2（舍），满足条件的P点不存在，综上，满足条件的点P共有4个．附：当d＝6 时，即|3x0+4y0﹣9|＝18，由，解得P（﹣3，0）或，当d＝2 时，即|3x0+4y0﹣9|＝6，由，解得或或舍去）．。
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2018-2019学年苏州市高一期末调研测试
数学参考答案 2018．6
一、填空题
1．{ 1，2，3，4 } 2．25 3． 4．1 5．13
6．210 7．2 8．32
9．0.5 10．152
11．3
4 12．-2n + 10 13．8 14．52
二、解答题
15．解：（1）设数列{a n }的前n 项和为n S ，
∵S 10 = 110，∴110
9
101102a d ⨯+=． 则19
112a d +=．① ……………… 2分
∵a 1，a 2，a 4 成等比数列，
∴2214a a a =，即2
111()(3)a d a a d +=+．∴21a d d =．
∵d ≠ 0，∴a 1 = d ．② ……………… 5分
由①，②解得12,2.a d =⎧⎨=⎩，∴
2n a n =． ……………… 7分
（2）∵(1)n n b n a =+=2(1)n n +， ∴111
1
1
()2(1)21n b n
n n n ==-++． ……………… 10分
∴n T 111111(1)()()22231n n ⎡
⎤
=-+-++-⎢⎥+⎣⎦ ……… 12分
2(1)n
n =+． ……………… 14分
16．解：（1）由0AD BC ⋅=，得AD BC ⊥．
记AD h =，由13564AB AD ⋅=，得135||||cos 64AB AD BAD ⋅∠=．………… 3分
∴213564
h =，则h =||AD ………………… 5分
（2）∵1cos 4
A =-，∴sin A = ………………… 7分 由sin ah bc A =，得6bc =．① ………………… 9分 ∵2222cos a b c bc A =+-，∴2213b c +=．② ………………… 11分 由①，②，解得b = 2，c = 3，或 b = 3，c = 2．
∵c b >，∴b = 2，c = 3． ………………… 14分 （直接由①，②得出b = 2，c = 3不扣分）
17．解：（1）不等式(1)()22
a x f x x -=>-化为 (2)(4)02
a x a x --->-． …………… 2分 即[(2)(4)](2)0a x a x ---⋅->． …………… 4分
∵()2f x >的解集为(2,3)，∴
432
a a -=-． …………… 6分 解得1a =，经检验符合题意． …………… 8分
（2）∵()3f x x <-对任意(2,)x ∈+∞恒成立，
∴(1)(2)(3)a x x x -<--对任意(2,)x ∈+∞恒成立． …………… 10分 令1x t -=，则(1)(2)at t t <--对任意(1,)t ∈+∞恒成立． ∴23a t t <+
-对任意(1,)t ∈+∞恒成立． …………… 12分
∵23t t
+-最小值为3，
∴3a <． …………… 14分
18．解：（1）在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos AB AC AB AC A BC +-⋅=．
∴22o 2cos1201x y xy +-=，即221x y xy ++=． …………… 4分 又x > 0，y > 0，
∴x ，y 满足的关系式为221x y xy ++=（0 < x < 1）． …………… 5分
（2）设需准备此种新型材料的长度为a ，则必须要x + y ≤a 恒成立． ∵221x y xy ++=，∴2()1x y xy +-=． …………… 7分 ∵2)2x y xy +≤(，∴22()1()2
x y x y ++-≤． …………… 11分 则24()3x y +≤
，∴x y + …………… 14分
当且仅当x y ==
（百米）时取“=”．
∴a x + y ≤a 恒成立．
…………… 16分
19.（1）证明：∵11112n n n n n n n a S a S a a -+++-=，a n ≠ 0， ∴1112n n n n n
S S a a -++-=． ……………… 2分 则21211S S a a -=，32322S S a a -=，…，2112n n n n n S S a a ----=（n ≥2，*n ∈N ）． 以上各式相加，得
211122n n n S S a a --=+++． ……………… 4分 ∵111S a =，∴1121n n n
S a --=-． ∴12n n n S a -=（n ≥2，*n ∈N ）． …………… 7分 ∵n = 1时上式也成立，∴12n n n S a -=（*n ∈N ）． …………… 8分
（2）∵12n n n S a -=，
∴112n n n S a ++=．
两式相减，得11122n n n n n a a a -++=-．
即11(21)2n n n n a a -+-=． …………… 10分 则11122
n n n n a b a -+==-． …………… 12分
12231n n n a a a T a a a +=+++ =211112(1)222
n n --+
+++ …………… 14分 =11222n n --+． …………… 16分
20．解：（1）当3a =时，不等式()7f x >，即23|3|x x --> 7．
① 当x ≥3时，原不等式转化为：2340x x -->．………………… 1分
解得1x <-或43
x >． 结合条件，得x ≥3； ………………… 3分 ② 当3x <时，原不等式转化为：23100x x +->． ……………… 4分
解得2x <-或53
x >． 结合条件，得2x <-或533
x <<． ………………… 6分 综上，所求不等式解集为5{|2}3
x x x <->或． ………………… 7分 （2）当0 < a ≤3时，2()f x ax x a =-+211()24a x a a a =-
+-． ① 若132a
<，即136a <≤时， ∵()f x 在[3,)+∞上单调增，∴值域为[103,)a -+∞；…………… 10分 ② 若
132a ≥，即106a <≤时，值域为1[,)4a a -+∞． …………… 13分 当3a >时，22(),()(3).
ax x a x a f x ax x a x a ⎧-+⎪=⎨+-<⎪⎩≥≤ ∵()f x 在[3,)+∞上单调增，∴值域为[83,)a ++∞．
综上所述： 当106
a <≤时，()f x 值域为1[,)4a a -+∞； 当136
a <≤时，()f x 值域为[103,)a -+∞； 当3a >时，()f x 值域为[)83,a ++∞． …………… 16分 （每类3分，没有综上所述不扣分）。