1-5 概率的加法公式与概率
概率的加法公式
U ∑
∑
(
)
∑
(
)
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例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题 (1) P( AB) = P( A) P( AB) = 0.7 0.1 = 0.6 (2) P( A∪ B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0.8 (3) P( AB) = P( A∪ B) = 0.2
第一章 概率论的基本概念
11.3 概率的加法公式
P( AU B) = P( A) + P(B) P( AB) 。
A
B S
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第一章 概率论的基本概念
加法公式的推广
1) P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)
课后同学问： 例1 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？ 若是的话, 则应有 P( A A2 ) = P( A )P( A2 ) 我们上述等式成立的 条件是 ：事件 A , A2 相互独立. 1
2) 对任意 n 个事件 A1, A2 , L, An , 有 n n P( Ai ) P Ai = P Ai A j + P Ai A j Ak 1≤ i < j ≤ n 1≤ i < j < k ≤ n i =1 i =1 L + ( 1)n 1 P( A1 A2 L An )
大学概率论必背公式
，使对任意实数 x，都有
F ( x)＝P( X x)＝x f (u)du
则称 X 为连续型随机变量，f (x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。 记为 X～ f (x) , (- < x <+)
2. 密度函数的性质
(3)
若
x是
f(x )
f (x)的连续点，
dF(x dx
)
.
（4）
P(a X b)＝ b f (u)du a
P{X xk } pk ,k 1,2,
数学期望 E(X)是一个常数,而非变量．它是一种以概率为权的加权平均值 （1）X ~（0—1）分布
（2）X~B（n，p）二项分布 （3）X~（或）Poisson 分布
2. 连续型随机变量的数学期望
（1）X~U(a，b)均匀分布 其概率密度函数为：
f(x )
5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数 联合密度 f (x , y )的性质
7. 边缘密度函数
8. 条件密度函数
1）fX|Y (x
y)
f (x, y) 称为Y fY ( y)
y下, X的条件密度函数
2）fY|X ( y
x)
f (x, y) 称为X fX (x)
x下,Y的条件密度函数
8、相关系数： 若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则
称为 X 与 Y 的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0 E(XY )= E(X )E (Y )。
8、矩 （1）k 阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩； （2）k 阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩；
概率的一般加法公式
5 概率为 36
显然，A与B不是互斥事件，我们把事 件A和事件B同时发生所构成的事件D， 称为事件A与事件B的交(或积)，记作 D=A∩B(或D=AB) 事件A∩B是由事件A和B所共同含有的 基本事件组成的集合。如图中阴影部分 就是表示A∩B.
Ω A A∩B B
在本例中，A∩B为{(4，4)，(4，5)，(4， 6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，4),不是 互斥事件，那么公式是否成立？ 来看下面的例子： 例1. 掷红、蓝两颗骰子，事件A={红骰子 的点数大于3}，事件B={蓝骰子的点数大 于3}，求事件A∪B={至少有一颗骰子的 点数大于3}发生的概率。
1.事件的交： 显然，A与B不是互斥事 件，我们把事件A和事件B同时发生所构 成的事件D，称为事件A与事件B的交(或 积)，记作D=A∩B(或D=AB) 事件A∩B是由事件A和B所共同含有的 基本事件组成的集合。如图中阴影部分 就是表示A∩B.
8.从1，2，3，…，9 这9个数字中任取2个 数字，
5 （1）2个数字都是奇数的概率为______； 18 4 （2）2个数字之和为偶数的概率为_____. 9
9.连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币 出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件空间； （2）求这个试验的基本事件的总数； （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含 哪几个基本事件? 解：（1）这个试验的基本事件空间 Ω={(正,正,正)，(正,正,反)，(正,反,正)， (正,反,反)，(反,正,正)，(反,正,反)，(反,反, 正)，(反,反,反)}；
20 11 2 29 100 100
概率1-5 (续)
P(C｜A)= 0.1066 从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.
概率论
2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌 症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人 中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再 试验来确认.
试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066
2
3
这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中 更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果 发生条件下，探求各原因发生可能性大小.
概率论
接下来我们介绍为解决这类问题而引出的
贝叶斯公式
概率论
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
k 1 k k
运用全概率公式 计算P(A)
将这里得到的公式一般化，就得到
贝叶斯公式
概率论
定理2贝叶斯公式
设 B1 ,B2 ,,Bn 为样本空间的
｜ P( B )P( A B )
j 1 j j n
一个划分 , A 为 S 中的任一事件 ,且 P A 0 ,则恒有
P ( Bi | A) P ( Bi ) P ( A Bi ) ｜
?
1红4白
1
2
3
概率论
? 某人从任一箱中任意摸出一球， 发现是红球，求该球是取自1号 箱的概率. 1红4白
记 Bi={球取自i号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球} 求P(B1|A)
1
3
2
3
P ( B1 A) P ( B1 | A) P ( A)
概率的加法公式教案
概率的加法公式教案第一章：概率的加法公式简介1.1 概率的加法公式的概念引导学生回顾概率的基本概念，如事件、样本空间等。
介绍概率的加法公式：当有两个互斥的事件A和B时，事件A和B的概率之和等于事件A的概率加上事件B的概率。
1.2 概率的加法公式的证明通过具体的例子，解释概率的加法公式的推导过程。
使用集合论的方法，证明概率的加法公式。
第二章：两个互斥事件的概率加法2.1 两个互斥事件的定义解释互斥事件的含义：两个事件不可能发生。
举例说明互斥事件的性质。
2.2 两个互斥事件的概率加法公式推导两个互斥事件的概率加法公式：P(A ∪B) = P(A) + P(B)。
通过具体的例子，应用概率加法公式计算两个互斥事件的概率。
第三章：两个相互独立事件的概率加法3.1 相互独立事件的定义解释相互独立事件的含义：一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。
举例说明相互独立事件的性质。
3.2 两个相互独立事件的概率加法公式推导两个相互独立事件的概率加法公式：P(A ∪B) = P(A) + P(B) P(A ∩B)。
通过具体的例子，应用概率加法公式计算两个相互独立事件的概率。
第四章：概率的加法公式的应用4.1 计算复合事件的概率解释复合事件的含义：由多个简单事件组成的event。
利用概率的加法公式，计算复合事件的概率。
4.2 计算互斥事件和相互独立事件的概率引导学生运用概率的加法公式，解决实际问题。
提供一些练习题，让学生巩固概率的加法公式的应用。
第五章：概率的加法公式的拓展5.1 概率的加法公式的推广介绍概率的加法公式在多个事件的情况下的推广。
引导学生理解概率的加法公式在不同情境下的应用。
5.2 概率的加法公式与条件概率的关系解释条件概率的概念：在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
探讨概率的加法公式与条件概率之间的关系。
第六章：概率的加法公式与组合数学6.1 组合数学的基本概念介绍组合数学中的一些基本概念，如组合、排列等。
全概率公式与逆概率公式
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
医药数理统计方法
定义 若两事件A、B满足P(AB)= P(A) P(B)
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
性质
1）设A、B是两事件，若A、B独立，则
P(A|B)= P(A) 或P(B|A)= P(B) .反之亦然.
2）若事件 A、B相互独立，则 A, B A, B A, B 也相互独立.
把 A1, A2, , An 看作该过程的若干个原 因，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
即 PAn 已知
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB An 已知
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知 其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生 产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次 为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再 从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的 概率。
3）若n个事件 A1、A2、、An 是相互独立的，
则有 P（A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
医药数理统计方法
例6 如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有 “十聋九哑”一说，表明失聪与失语的关系.那么，辨音能 力是否也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：
色盲（B）
解 设 Ai {第i次买彩票中大奖}，i 1, 2…,520
p( Ai ) 105 ,
p( Ai ) 1 105 , i 1, 2,…520
p( A1 A2…A520 ) p( A1 ) p( A2 )… p( A520 ) (1 105 )520 0.9948
证明概率的加法公式
证明概率的加法公式好的，以下是为您生成的文章：在我们的日常生活中，概率这个家伙总是神出鬼没。
今天咱就来好好唠唠概率的加法公式，看看它到底是怎么一回事。
先来说说啥是概率。
比如说，你抛一枚硬币，正面朝上的概率是二分之一，反面朝上的概率也是二分之一。
这就像是一场公平的游戏，正反两面出现的机会差不多。
那概率的加法公式又是啥呢？其实就是说，如果有两个事件 A 和 B，它们互不相容，也就是不会同时发生，那么事件 A 或者事件 B 发生的概率，就等于事件 A 的概率加上事件 B 的概率。
举个例子吧，咱就说在一个班级里选班长，小明被选上的概率是十分之一，小红被选上的概率是八分之一。
而且他俩不可能同时被选上，这就是互不相容的事件。
那小明或者小红被选上的概率就是十分之一加上八分之一。
我还记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个知识点。
当时我拿出了一个盒子，盒子里有红、蓝、绿三种颜色的球。
我告诉同学们，从盒子里随机摸出一个红球的概率是三分之一，摸出一个蓝球的概率是四分之一。
然后我就问他们，随机摸出一个红球或者蓝球的概率是多少。
一开始，好多同学都懵了，不知道该怎么算。
我就慢慢地引导他们，让他们想想概率的加法公式。
有个聪明的小家伙突然就开窍了，大声说：“老师，是三分之一加上四分之一！”我笑着点了点头，其他同学也恍然大悟。
这就是概率的加法公式在实际中的应用。
再比如说，在抽奖活动中，一等奖的中奖概率是百分之一，二等奖的中奖概率是百分之二。
如果你想知道中一等奖或者二等奖的概率，那就是百分之一加上百分之二。
其实啊，概率的加法公式就像是我们生活中的小助手，能帮我们算清楚很多看似复杂的可能性。
比如说你去买彩票，不同奖项的中奖概率不同，通过概率的加法公式，你就能大概知道自己有多大的机会能中奖。
还有，在考试的时候，你猜一道选择题的答案。
A 选项正确的概率是四分之一，B 选项正确的概率是四分之一，而且这两个选项不可能同时正确，那么你猜对 A 或者 B 选项的概率就是四分之一加上四分之一，等于二分之一。
概率论计算公式
概率论计算公式概率论是一门研究随机现象及其规律的学科，涉及到了许多计算公式。
概率论中的公式包括概率公式、条件概率公式、贝叶斯公式等等。
本文将对这些公式进行详细的展开和解释，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、概率公式概率公式是计算某个事件发生概率的公式，通常表示为P(A)，其中A为某个事件。
概率公式包括基本概率公式和加法公式。
1. 基本概率公式基本概率公式是计算事件发生概率的最基本公式，其公式如下：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)是事件A发生的可能性数量，n(S)是所有可能性数量。
例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件A为抽到红桃牌，事件A发生的可能性数量是13（因为有13张红桃牌），所有可能性数量是52（因为有52张牌），因此P(A) = 13/52= 0.25。
2. 加法公式加法公式是计算两个事件任意一个事件发生概率的公式，其公式如下：P(A 或 B) = P(A) + P(B) - P(A 且 B)其中，A和B为两个事件，P(A 或 B)是事件A和事件B中至少一个事件发生的概率，P(A 且 B)是事件A和事件B同时发生的概率。
例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件A为抽到红桃牌，事件B为抽到黑桃牌，P(A) = 13/52 = 0.25，P(B) = 13/52 = 0.25，P(A 且 B) = 0（因为一张牌不可能同时是黑桃牌和红桃牌），因此P(A 或 B) = 0.25 + 0.25 - 0 = 0.5。
二、条件概率公式条件概率公式是用于计算在另一个事件发生的前提下一个事件发生的概率，其公式如下：P(A|B) = P(A 且 B) / P(B)其中，A和B为两个事件，P(A|B)是在事件B发生的前提下事件A发生的概率，P(A 且 B)是事件A和事件B同时发生的概率，P(B)是事件B发生的概率。
例如，从一副扑克牌中随机抽取两张牌，事件A为两张牌都是红桃牌，事件B为第一张牌是红桃牌，因此P(B) = 13/52 = 0.25。
概率的加法公式
在上面的例题中，若令 在上面的例题中，若令A=“小明考试及 小明考试及 小明考试不及格” 格”,则A=“小明考试不及格” 则 小明考试不及格 如果求小明考试不及格的概率， 如果求小明考试不及格的概率，则由公 式得 P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07. － － 即小明考试不及格的概率是0.07. 即小明考试不及格的概率是
解：（1）是互斥事件，不是对立事件； ：（ ）是互斥事件，不是对立事件； （2）既是互斥事件，又是对立事件； ）既是互斥事件，又是对立事件； （3）不是互斥事件，当然不可能是对立 ）不是互斥事件， 事件； 事件； 所以对立事件一定是互斥事件， 所以对立事件一定是互斥事件，而互 斥事件不一定是对立 分以上， 解： 分别记小明的成绩在 分以上，在 80~89分，在70~79分，在60~69分为事件 ， 分为事件B， 分 分 分为事件 C，D，E，这四个事件是彼此互斥的 ， ， ，这四个事件是彼此互斥的. 根据概率的加法公式， 根据概率的加法公式，小明的考试成 绩在80分以上的概率是 绩在 分以上的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. ∪ 小明考试及格的概率为 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) ∪ ∪ ∪ = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
解：（1）“取出红球或黑球”的概率为 ：（ ） 取出红球或黑球”
3 P(A∪B)=P(A)+P(B)= ； ∪ 4
（2）“取出红或黑或白球”的概率为 ） 取出红或黑或白球”
11 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 。 ∪ ∪ 12
的对立事件为D， 又（2）A∪B∪C的对立事件为 ， ） ∪ ∪ 的对立事件为
概率论公式
概率论公式1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i i n i i A A 11=== ni i n i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P )()(A P AB P乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k kB A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = p nk p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C kkn n k n k n n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x x td 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ 9. 二维随机变量的 条件分布 0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f xf x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y fy x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E ⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩 )(k X E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|k X E X 的 k 阶中心矩 )))(((k X E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((-- X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数 XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -= 协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -= ())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数 )()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
1-5概率空间
例
P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率. 解：因为A、B、C 都不出现的概率为
P( ABC) = 1− P( A∪ B ∪C)
= 1−P(A)−P(B)−P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)−P(ABC) = 1−1/4−1/4−1/4+0+1/6+1/6−0 =1−5/12 = 7/12
若 Ai ∈ F , i = 1, 2 ,... 且两两互不相容，则 P ( U Ai ) =
n =1 ∞
∑ P( A )
i =1 i
∞
概率的性质
性质1 性质1 P(φ)=0. 性质2 (有限可加性 性质2 (有限可加性) 有限可加性)
性质3 (对立事件公式 性质3 (对立事件公式)
P( A) = 1 − P( A)
利用数学归纳法证明
匹配问题） 封信， 只信封， 例（匹配问题 某人写好 封信，又写好 只信封， 匹配问题 某人写好n封信 又写好n只信封 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中， 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少 有一封信放对的概率。 有一封信放对的概率。 解：记Ai={第i封信与信封符合}，则所求事件为 A1 U A1 U L U An
i =1 i =1 k k
古典概率的性质： 古典概率的性质： (1)非负性 对任一事件 有 非负性: 对任一事件A,有 非负性 0≤P(A) ≤1 (2)规范性 对必然事件Ω,有 P(Ω)=1 规范性: 规范性 对必然事件Ω 有 Ω (3)有限可加性 若事件 1, A2, …, An 有限可加性: 若事件A 有限可加性 两两互斥,则 两两互斥 则
概率论公式总结
概率论公式总结概率论是数学中重要的分支，研究随机事件发生的概率及其规律。
在实际应用中，概率论经常被用于风险评估、统计分析、决策制定等领域。
本文将总结概率论中一些常用的公式，帮助读者更好地理解和应用概率论的知识。
1. 基本概率公式基本概率公式是概率论的基础，它描述了某个事件发生的概率。
对于某个事件A，其概率可以通过如下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A所包含的样本点个数，n(S)表示样本空间S中的样本点个数。
2. 互补事件概率公式互补事件是指两个事件中至少有一个发生的情况。
对于事件A的互补事件的概率公式如下：P(A') = 1 - P(A)其中，P(A')表示事件A的互补事件发生的概率。
3. 加法公式加法公式用于计算两个事件中至少有一个发生的概率。
对于两个事件A和B，加法公式可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
对于两个事件A和B，乘法公式可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
5. 独立事件公式当两个事件A和B相互独立时，它们的乘法公式可以简化为：P(A∩B) = P(A) * P(B)这意味着两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
6. 条件概率公式条件概率公式用于计算在某个条件下，另一个事件发生的概率。
对于事件A和事件B，条件概率公式可以表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
7. 全概率公式全概率公式用于计算某个条件下的事件发生的总概率。
概率公式全概率公式条件概率公式乘法规则与加法规则
概率公式全概率公式条件概率公式乘法规则与加法规则概率公式、全概率公式、条件概率公式、乘法规则与加法规则在概率论中，有许多基本的概率公式和规则，它们帮助我们计算和理解各种随机事件的概率。
一、概率公式：概率公式是计算一个事件发生的概率的基本公式。
在概率论中，我们用P(A)表示事件A发生的概率。
对于一个有限的样本空间Ω，如果事件A包含n(A)个基本事件，总共有n个基本事件，那么事件A发生的概率可以用如下的公式表示：P(A) = n(A) / n其中，n(A)表示事件A包含的基本事件的数量，n表示样本空间Ω中基本事件的总数量。
二、全概率公式：全概率公式是用来计算一个事件的概率，当我们知道了其他一些相关事件的概率时可以使用。
假设有一组互不相交的事件B1，B2，B3，...，Bn，并且它们的并集构成了样本空间Ω，而且知道了每个事件Bi发生的概率P(Bi)，那么对于任意的事件A，事件A的概率可以用如下公式表示：P(A) = Σ[ P(A|Bi) * P(Bi) ]其中，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
三、条件概率公式：条件概率是指某个事件在另一个事件已经发生的条件下发生的概率。
假设A和B是两个事件，且P(B)不为0，那么在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率可以用如下公式表示：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
四、乘法规则与加法规则：乘法规则是指当我们求解多个事件同时发生的概率时的计算规则。
假设有一组相互独立的事件A1，A2，A3，...，An，那么这些事件同时发生的概率可以用如下公式表示：P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ An) = P(A1) * P(A2) * P(A3) * ... * P(An)加法规则是指当我们求解两个事件中至少有一个发生的概率时的计算规则。
假设A和B是两个事件，那么这两个事件至少有一个发生的概率可以用如下公式表示：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)其中，P(A ∪ B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率。
概率的基本公式
发生, 故P(A|B)= 2×4!/ 5!=2/5.
解二: 用条件概率公式. P(A|B)=P(AB)/P(B)=(1/15)/(1/6)=6/15=2/5. 类似, P(B |A)=2/15. 由条件概率定义的表达式，很容易推导出
P ( AB) P( A) P( B A) P ( B ) P ( A B )
医用高等数学
例6-15 一批小白鼠中, 有30%注射过药物A, 25%注
射过药物B, 两种药物都注射过的占20%. 若取到是1只已知
没有注射过药物B小白鼠的条件下，它也没有注射过药物
A的可能性有多大?
P( AB ) 0.65 P( A | B ) 0.867 P( B ) 1 0.25
可以验证，条件概率具有无条件概率的所有性质. 例如：
概率的乘法公式还可能推广到有限多个事件的情况，即
P( A1 A2 An )=P( A1 )P( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )… P ( An A A A )
1 2 n 1
医用高等数学
例6-17 产妇分娩胎儿的存活率为P(L)=0.98. 又知活
解 根据医学常识，只有O型或B型的人方可给B型的
频率代替概率，有P( E1 )=0.46，P( E2 )=0.15，且 E1 与 E2 互
E1 不相容，而“可给B型病人输血”这一事件是与 E2 的事件
医用高等数学
病人输血，设 E1 =“被检者是O型”， E2 =“被检者是B型”，以
之和，由推论1，所求概率为：
P ( A2 | A1 ) 0.6 , P( A2 | A1 ) 1 P( A2 | A1 ) 0.4
两次患该病心肌未受损害的概率为
概率的加法乘法公式
这时就把事件C叫做事件A与事件B的积事件，记作C=A∩B
P A B P A PB
PC P A PB
独立事件的概 率乘法公式
应用
1.一个口袋中有3个红球和2个白球，从中任取一个 球，取后放回去，连续取两次，则两次均取到红 球的概率是 。 第一次取得红球，第二次取得白球的概率是 2.甲、乙两人独立射击，甲击中目标的概率为0.8，
两级均属次品，若生产中出现乙级品的概
率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成
品抽查一件抽得正品的概率为（ D ） A.0.09 B.0.98
C.0.97 D.0.96
6、抛掷骰子，事件A :“朝上一面的数是奇数”， 事件B :“朝上一面的数不超过3”， 求P（A∪B）
解法一： 3 1 3 1 因为P（A）= = ，P（B）= =
PC P A PB
2.互斥事件的概率加法公式
如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生（即 A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B 分别发生的概率的和.
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
一般地，如果事件A1，A2，…，An 彼此互斥，那么事件发生（即A1， A2，…，An中有一个发生）的概 率，等于这n个事件分别发生的概 率的和，即 P（A1∪A2∪…∪An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)
n
事件的频率
随着n的增大，频率呈现出稳定性。
0.5
概率的统计定义
一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的 频率 ，当n充分大时，事件A的频率总稳定在某个 常数p附近，这时就把这个常数p叫做事件A的概率， 记为P(A)=p 由定义可得概率P(A)满足： 显然，0≤P(A) ≤1.
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)
n
(
1)k
1
Cnk
k 1
(n
k)m nm
P(B)
1
P(B)
n
(1)k
C
k n
k0
(n k)m nm
qm
2.概率的连续性 (1)单调事件序列
若 A1 A2 , 称事件序列 { Aj } 是单调增加的。 若 A1 A2 , 称事件序列 { Aj } 是单调减少的。 (2)概率的连续性
显然看出 pk 表达式的求和项数是 Cnk
证明 (1)因为 A B A AB, 所以 P( A B) P( A AB) P( A) P( AB)
P( A) P( AB) P( AB) P( AB) P( A) P(B) P( AB) (2)因为 A ( A B) B 所以 P( A B) P( A) P(B) (3)用数学归纳法可证(见书P19)
练习(P17例5.2) m个听众随机进入n(n m) 个会场，求每个会场 至少有一个听众的概率。
解 m 个听众随机进入 n 个会场， #() nm B 每个会场至少有一名听众
B 至少有一个会场没有听众 Ai 第i个会场没有听众， 则
B A1 An 由约当公式先计算
第五节 概率的加法公式与 概率的连续性
1.概率的加法公式 2.概率的连续性
1.概率的加法公式
(1)对任意的事件A, B, 有
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
(2)若B A, 则 P( A B) P( A) P(B)
(3)Jordan(约当)公式
设 A1, , An 是任意的事件组，记
P( Cj) j1
P(C j )
j1
lim
n
P(C j )
j1
n
lim
n
[P(Aj )
j1
P( Aj1 )]
lim
n
P(
An
)
(2) 当 {Bj } 是单调减少事件序列时，则 {Bj } 是单调
增加的事件序列，
一方面
P(
Bj)
j1
P(
Bj
P(
j1
Bj
)
P ( lim n
Bn
)
lim
n
P(Bn )
证明 (1)当 { Aj }是单调增加事件序列时，取 A0 ,
并令 C j Aj Aj1 则 {C j } 互不相容，且
( j 1)
Aj C j
j 1
j 1
n
P( Aj ) j1
j1
)
1
P(
Bj
j1
)
另一方面
P( Bj) j1
lim
n
P ( Bn
)
lim[1
n
P ( Bn
)]
所以
1
lim
n
P
(
Bn
)
P( Bj) j1
lim
n
P ( Bn
)
例1(P16例5.1) n个人将各自的帽子混在一起后，任取一顶，求至少 有一人拿对自己的帽子的概率。 解 把帽子从1到n编号,则 # n!
设 B 至少有一人拿到自己的帽子 Ai 第i人拿到自己的帽子，则 B A1 An
由约当公式先计算
P( Ai )
(n 1)!, n!
p1
C n1 P (
A1 )
1 1!
P(
Ai
Aj
)
(n
2)! n!
,
P(
Ai
Aj
Ak
)
(n
3)!, n!
p2
C
2 n
P
(
A1
A2
)
1 2!
p3
1 3!
……………………………
P( A1
An )
1, n!
pn
1 n!
P(B)
n (1)k1
k1 k!
当n较大时 P(B) 1 e1
定理 设 { Aj } 和 {Bj } 是事件序列
(i)如果 { Aj }是单调增加事件序列，把
j1
Aj
称为
序列 { Aj } 的极限，且
P(Байду номын сангаас
j1
Aj
)
P ( lim n
An
)
lim
n
P(
An
)
(ii)如果{ B j
}是单调减少事件序列，把
Bj 称为序列
j1
{Bj } 的极限，且
pk P( Aj Aj )
1 j j n
1
k
1
k
则有
P( A1
An )
n
(
1)k
1
pk
k 1
特别当 n 3 时，即对事件 A1, A2 , A3
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A2 A3 ) P( A3 A1 ) P( A1 A2 A3 )
P( Ai )
(n
1)m nm
,
p1
C
1 n
(n 1)m nm
P(
Ai
Aj
)
(n
2)m nm
,
p2
C
2 n
(n
2)m nm
……………………………
1 P( A1 An1 ) nm ,
P( A1
An )
0 nm
,
pn1
Cnn1
1 nm
pn 0
P(B