2020届山东省新高考改革原创考前信息试卷(一)数学
2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题(山东)(附答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国新高考Ⅰ卷高考数学(山东卷)-含详细解析
2020年全国新高考Ⅰ卷高考数学（山东卷）副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|1x3}，B={x|2<x<4}，则A B=()A. {x|2<x3}B. {x|2x3}C. {x|1x<4}D. {x|1<x<4.}2.=()A. 1B. −1C. iD. −i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬，则晷针与点A 处的水平面所成角为()A. B. C. D.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例时()A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%6.基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(t)=描述累计感染病例数(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足=1+rT.有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(20.69)()A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是()A. (−2,6)B. (−6,2)C. (−2,4)D. (−4,6)8.若定义在R上的奇函数f(x)在(−，0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)0的x的取值范围是()A. [−1,1][3,+)B. [−3,−1][0,1]C. [−1,0][1,+)D. [−1,0][1,3]二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知曲线C:+=1()A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=D. 若m=0，n>0，则C是两条直线10.如图是函数y=(x+)的部分图象，则(x+)=()A. (x+)B. (−2x)C. (2x+)D. (−2x)11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A. +B. >C. a+b−2D. +12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1，2，，n，且P(X=i)=>0(i=1,2，，n)，=1，定义X的信息熵H(X)=−()A. 若n=1，则H(x)=0B. 若n=2，则H(x)随着的增大而增大C. 若=(i=1,2，，n)，则H(x)随着n的增大而增大D. 若n=2m，随机变量Y的所有可能取值为1，2，，m，且P(Y=j)=+(j=1,2，，m)则H(X)H(Y)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.斜率为的直线过抛物线C:=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=__________．14.将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{}，则{}的前n项和为__________．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC DG，垂足为C，ODC=，BH DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为__________．16.已知直四棱柱ABCD−的棱长均为2，BAD=，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，，__________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知公比大于1的等比数列{}满足+=20，=8．(1)求{}的通项公式;(2)记为{}在区间(0,m](m)中的项的个数，求数列{}的前100项和．19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和浓度(单位：g/)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据，完成下面的22列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关?附：=，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.8416.63510.82820.(12分)如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为．(1)证明：l平面PDC;(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．21.已知函数f(x)=−x+a.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)1，求a的取值范围．22.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．(1)求C的方程;(2)点M，N在C上，且AM AN，AD MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查并集运算，属于容易题．【解答】解：A⋃B={x|1≤x<4}．故选C2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数除法运算，属于容易题．【解答】解：2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−i．故选D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查组合问题，属于容易题．【解答】解：可以按照先选1名志愿者去甲场馆，再选择2名志愿者去乙场馆，剩下3名安排到丙场馆，安排方法有C61C52C33=60.故选C4.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间线面角问题，考查空间想象能力，属于容易题．【解答】解：作截面图可知，晷针与点A处的水平面所成角α=40∘．故选B5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题．【解答】解：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为A·B事件，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A·B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例，46%．故答案为：C．6.【答案】B【解析】【分析】本题结合实际问题考查指数对数化简求值，属于基础题．【解答】解：将R0=3.28，T=6代入R0=1+rT，得r=R0−1T =3.28−16=0.38,由2=e0.38t得t=ln20.38=0.690.38≈1.8.故选B．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量数量积，属于中档题． 【解答】解：AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >, 由投影定义知，当点P 与点F 重合时， AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=4cos120∘=−2,当点P 与点C 重合时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=8×(cos30∘)2=6.故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(−2,6)． 故选A ．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查函数奇偶性的应用，考查运算求解及逻辑推理能力，难度一般． 【解答】解：根据题意，不等式xf(x −1)⩾0可化为{x ⩾0f(x −1)⩾0 或{x ⩽0f(x −1)⩽0, 由奇函数性质得，f(x)在上单调递增，所以{x ⩾0x −1⩾0x −1⩽2或{x ⩽0x −1⩽0x −1⩾−2，解得1⩽x ⩽3或−1⩽x ⩽0．满足xf(x −1)⩾0的x 的取值范围是x ∈[−1,0]∪[1,3]． 故选D ．9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，难度一般． 【解答】解：mx 2+ny 2=1可化为x 21m+y 21n=1，若m>n>0，则1m <1n，故x21m+y21n=1表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；若m=n>0，mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n ，表示圆心为原点，半径为√1n的圆，故B错误；若mn<0，则C是双曲线，令mx2+ny2=0,故其渐近线方程为y=±√−mnx，故C正确；若m=0，n>0，mx2+ny2=1可化为y2=1n ，即y=±√1n，表示两条直线，故D正确．故选ACD．10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查逻辑推理能力，难度一般．利用排除法逐一判断即可．【解答】解：由图可知x=π6时，y=0，逐一代入可排除A；x=0时，y>0，逐一代入可排除D；x=π3时，y<0，BC满足，且sin(π3−2x)=cos(2x+π6)，综上，可知BC正确．故选BC．11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查利用不等式比较大小，函数性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．结合各选项依次判断即可．【解答】解：因为a>0，b>0，且a+b=1，所以a 2+b 2=a 2+(1−a)2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12，故A 正确； 由已知得0<a <1，0<b <1，所以−1<a −b <1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b)24=−2，当且仅当a =b 时，等号成立，故C 错误；(√a +√b)2=a +b +2√ab ≤1+2√(a+b)24=2，则√a +√b ≤√2，当且仅当a =b 时，等号成立，故D 正确， 故选ABD ．12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的应用，重点考查对新定义的理解，属于难题． 【解答】解：A 选项中，由题意知p 1=1，此时H(X)=−1×log 21=0，故A 正确； B 选项中，由题意知p 1+p 2=1，且p 1∈(0,1)，H(X)=−p 1log 2p 1−p 2log 2p 2=−p 1log 2p 1−(1−p 1)log 2(1−p 1)， 设f(x)=−xlog 2x −(1−x)log 2(1−x)，x ∈(0,1) 则f′(x)=−log 2x −1ln2+log 2(1−x)+1ln2=log 2(1x −1)， 当x ∈(12,1)时，f′(x)<0，当x ∈(0,12)时，f′(x)>0， 故当p 1∈(0,12) 时，H(X)随着p 1的增大而增大， 当p 1∈(12,1) 时，H(X)随着p 1的增大而减小，故B 错误； C 选项中，由题意知H(X)=n ×(−1n )log 21n =log 2n ， 故H(X)随着n 的增大而增大，故C 正确．D 选项中，由题意知H(Y)=−∑(p j +p 2m+1−j )m j=1log 2(p j +p 2m+1−j )，H(X)=−∑p j 2m j=1log 2p j =−∑(p j m j=1log 2p j +p 2m+1−j log 2p 2m+1−j )，H(X)−H(Y)=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j m j=1−∑(log 2p j p j+m j=1log 2p 2m+1−j p 2m+1−j ) =∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j p jp j p 2m+1−jp 2m+1−jm j=1=∑log 2(p j +p 2m+1−j )pj (p j +p 2m+1−j )p 2m+1−jp jp j p2m+1−jp 2m+1−j m j=1=∑log 2(1+p 2m+1−j p j )p j (1+p jp 2m+1−j)p 2m+1−jm j=1>0,故D 错误， 故答案为AC ．13.【答案】163【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，焦点弦的求法，属于基础题．先求出抛物线的交点坐标，从而求出直线方程，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系从而可求得焦点弦． 【解答】解：抛物线C:y 2=4x 的焦点为(1,0)， 则直线AB 的方程为y =√3(x −1)， 联立{y =√3(x −1),y 2=4x得3x 2−10x +3=0， 所以x 1+x 2=103，从而 |AB |=x 1+x 2+p =103+2=163，故答案为：163．14.【答案】3n 2−2n【解析】【分析】本题考查数列的特定项与性质以及等差数列求和，是基础题． 【解答】解：数列{2n −1} 的首项是1，公差为2的等差数列；数列{3n−2}的首项是1，公差为3的等差数列；公共项构成首项为1，公差为6的等差数列;故{a n}的前n项和S n为：S n=1×n+n×(n−1)2×6=3n2−2n．故答案为3n2−2n．15.【答案】52π+4【解析】【分析】本题考查平面图形中的边角关系，结合题意确立对应的角和边的长度以及比例关系，最后算出大的扇形面积和三角形面积减去小半圆的面积即可求解，是中档题．【解答】解：设上面的大圆弧的半径为x，由题意中的长度关系易知∠AGD=45∘，同理∠AHO=45∘，可得▵AOH为等腰直角三角形，可得OJ=AJ=√22x，OL=JK=5−√22x，DL=DK−LK=DK−OJ=7−√22x，其中OLDL =35，可得5−√22x7−√22x=35，解得x=2√2，S阴影=S扇形+S▵AOH−12S圆O=12×3π4×(2√2)2+12×(2√2)2−12π=52π+4cm2，故答案为52π+4．16.【答案】√2π2【解析】【分析】本题考查空间几何体的外接球与面的交线问题，注意球心到面的距离和形成的交线位置与所对应得圆弧和圆心角，这是本题的难点．【解答】解：直四棱柱边长为2，底面是边长为2的菱形，侧面是边长为2的正方形，又∵∠BAD= 60∘,可得∠D1C1B1=60∘，点D1到面BB1C1C的距离即为点D1到线B1C1的距离，即为√3，则根据勾股定理可得截面的圆半径为r=√5−3=√2，与侧面BB1C1C所形成的为一段圆弧长，其圆心角为π2，故形成得交线长为l=π2×√2=√22π．故答案为√2π2．17.【答案】解：sin A=√3sin B，故有a=√3b，C=π6，由余弦定理得：，有；假设三角形存在，若选①，有ac=√3，则有，则a=√3,b=1,c=1．故存在满足题意的三角形，c=1．若选②，有csin A=3，则有，则sin A=√32，故c=2√3，a=6,b=2√3,．故存在满足题意的三角形，c=2√3．若选③，其中由题意有a=√3b,a=√3c，则有b=c，这和c=√3b矛盾，故不存在满足题意的三角形．【解析】本题考查解三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，判断三个边的关系与求值，是中档题．若选①，可利用已知条件得到的a,b,c 的关系，代入ac =√3 求解即可． 若选②，可利用已知条件得到的a,b,c 的关系，求出cos A ，从而求出c =2√3． 若选③，可利用已知条件得到的a,b,c 的关系，和第三个条件矛盾，从而无此三角形．18.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q ，且q >1，∵a 2+a 4=20，a 3=8，∴{a 1q +a 1q 3=20a 1q 2=8,解得{a 1=32q =12(舍)或{a 1=2q =2, ∴数列{a n }的通项公式a n =2n ;(2)由(1)知a 1=2，a 2=4，a 3=8，a 4=16，a 5=32，a 6=64，a 7=128， 则当m =1时，b 1=0，当m =2时，b 2=1，以此类推，b 3=1，b 4=b 5=b 6=b 7=2，b 8=...=b 15=3，b 16=...=b 31=4，b 32=...=b 63=5，b 64=...=b 100=6，∴S 100=b 1+b 2+...+b 100=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480.【解析】本题考查了数列求和及等比数列通项公式，属中档题．(1)根据等比数列通项公式列出方程，求出首项和公比，即可求出通项公式; (2)根据等比数列通项公式，归纳数列{b m }的规律，从而求出其前100项和． 19.【答案】解：(1)根据题意可知，基本事件总数为100， “该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的基本事件个数为64， 由古典概型概率公式p =64100=1625，即事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率1625； SO 2 PM2.5[0,150](150,475] [0,75] 64 16 (75,150]10 10(3)由(2)中的数值，代入公式k 2=100×(64×10−10×16)2(64+16)×(10+10)×(64+10)×(16+10)≈7.484>6.635， 因此，有99％的把握认为该市一天空气中P M 2.5浓度与SO 2浓度有关．【解析】本题考查了独立性检验、2×2列联表及古典概型，属中档题．(1)根据题意确定基本事件总数和满足条件的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可;(2)根据题意确定各范围内对应的数量即可；(3)利用(2)中的2×2列联表里的数值，代入公式计算即可．20.【答案】解：底面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，，∵ABCD 为正方形，∴AD ⊥DC ，又∵PD ∩DC =D ，且PD 、DC 在平面PDC 内， ∴AD ⊥平面PDC ，∵AD//BC ，且BC ⊂平面PBC ，平面PBC ， ∴AD//平面PBC ，又∵平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，且AD ⊂平面PAD ， ∴AD//l ，∴l ⊥平面PDC ；(2)建立空间直角坐标系如图所示：由PD =AD =1，得P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设点Q 的坐标为(t,0,1)，平面QCD 的法向量为n⃗ =(x 0,y 0,z 0)， 则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0,1)，即有{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，亦即{y 0=0tx 0+z 0=0, 取x 0=1，得n⃗ =(1,0,−t)， 又设PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 夹角为α，PB 与平面QCD 所成角为θ， 则cosα=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1×1+1×0+(−1)×(−t)√3×√1+t 2=1+t √3×√1+t 2，于是sinθ=|1+t|√3×√1+t 2=1√3×√1+2t+t 21+t 2，当t =0时，sinθ=√33，当时，sinθ=1√3×√1+2t+t 21+t 2=1√3×√1+2−[1(−t)+(−t)]，又−[1(−t)+(−t)]≤−2(当且仅当t =−1 时，取等号)，即得0≤sinθ<√33，当时，sinθ=√3×√1+2t+t 21+t 2=√3√1+21t+t，又1t +t ≥2(当且仅当t =1 时，取等号)，即得√33<sinθ≤√63，综上可知，PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为√63.【解析】本题考查了线面角的求解及线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理和性质定理，难度较大．(1)本题先证明AD⊥平面PDC，再证明AD//平面PBC，再利用线面平行性质定理证得AD//l，从而证得l⊥平面PDC；(2)本题可以建立空间直角坐标系，设出Q点坐标，求出PB⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面QDC的法向量，再利用向量夹角公式求解，再结合基本不等式可求出PB与平面QCD所成角的正弦值最大值．21.【答案】解：▵当a=e，f(x)=e x−lnx+1，f′(x)=e x−1x,k=f′(1)=e−1,f(1)=e+1，所以切线方程为：y−e−1=(e−1)(x−1)，即y=(e−1)x+2，所以切线在y轴上截距为2，在x轴上的截距为21−e，所以三角形的面积S=12×2×2e−1=2e−1．▵f(x)=ae x−1−lnx+lna=e lna+x−1−lnx+lna，要使f(x)≥1，只需e lna+x−1−lnx+lna≥1，即e lna+x−1+lna−1≥lnx，即e lna+x−1+lna−1+x≥lnx+x=e lnx+lnx，令g(x)=e x+x，故只需g(lna+x−1)≥g(lnx)，因为g(x)为增函数，只需证lna+x−1≥lnx，即lna≥lnx+1−x，设ℎ(x)=lnx+1−x，ℎ′(x)=1x −1=1−xx，所以ℎ(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，ℎ(x)max=ℎ(1)=0，所以lna ≥0，a ≥1，即a 的取值范围为[1,+∞)．【解析】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性问题，属于较难题． ▵根据导数的几何意义进行计算即可．▵把条件进行等价转化，利用导数研究函数的单调性、最值，再根据函数的单调性得不等式，求解即可．22.【答案】▵解：由题意可知c a =√22，4a 2+1b 2=1，a 2=b 2+c 2， 解得a 2=6，b 2=3， 所以椭圆方程为x 26+y 23=1．▵证明：设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 因为AM ⊥AN ，所以y 1−1x1−2⋅y 2−1x 2−2=−1，所以y 1y 2−(y 1+y 2)+1=−x 1x 2+2(x 1+x 2)−4，① 设MN:y =kx +m ， 联立{y =kx +m,x 2+2y 2=6得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0， 由Δ>0，得6k 2−m 2+3>0，由根与系数的关系得x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m 1+2k 2， y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−6k 21+2k 2，代入①式化简可得4k 2+8km +(m −1)(3m +1)=0， 即(2k +m −1)(2k +3m +1)=0， 所以m =1−2k 或m =−2k+13，所以直线方程为y =kx +1−2k 或y =kx −2k+13，所以直线过定点(2,1)或(23,−13)， 又因为(2,1)和A 点重合，故舍去， 所以直线过定点E(23,−13)，所以AE 为定值，又因为▵AED 为直角三角形，AE 为斜边， 所以AE 中点Q 满足|QD|为定值2√23，此时Q(43,13)．【解析】本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题． ▵根据条件列方程求解即可．▵联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为−1化简即可证明．。
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题一含答案
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（一）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}20M x x x =-≥，{}2N x x =<，则MN =（ ）A ．{}0x x ≤B ．{}12x x ≤<C ．{}012x x x ≤≤<或D ．{}01x x ≤≤ 2．已知i 为虚数单位，则复数131ii-+的虚部为（ ） A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2i3．设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设向量a ，b 满足()3,1a b +=，1a b ⋅=，则a b -=（ ）A ．2BC ． D5．在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154 B ．154- C ．38 D ．38-6．已知函数()()1f x x x =+，则不等式()()220f x f x +->的解集为（ ） A ．()2,1- B ．()1,2- C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),21,-∞-+∞7．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线与C 及其渐近线分别交于Q ，P 两点，且Q 为2PF 的中点．若等腰三角形12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距．则C 的离心率为（ ）A ．27-+ B ．43 C ．27+ D ．328．将函数sin 2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（ ）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A ．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多 10．对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b >B ．若a b >，则a a b b >C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞11．已知函数()122log x f x x =-，且实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <．若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x b < D ．0x c < 12．已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ）A12= B ．12128x x < C ．1232x x +< D ．2212512x x +> 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知cos 5θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2θ=________． 14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________．15．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点．60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥РABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ．若12V V 的最大值为3．则球O 的表面积为________．16．已知直线:2l y x b =+与抛物线()2:20C y px p =>相交于A ，B 两点，且5AB =，直线l 经过C的焦点．则p =________，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，试从下列①②条件中任选一个作为已 知条件并完成下列（1）（2）两问的解答． ①sin sin in sin s C A A b a cB--=+； ②2cos cos cos c C a B b A =+．（1）求角C ；（2）若c =，a b +=ABC 的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列．满足15a =．且2a ，9a ，30a 成等比数列． （1）求{}30a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N +-=∈，且13b =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BC A --的余弦值．20．（12分）设点()A ，)B ，直线AP 和BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M 和N 是轨迹C 上不同的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：MON 的面积为定值．21．（12分）为了应对新型冠状病毒肺炎带来的强传染性，外出佩戴口罩成为必要．某工厂生产N 95型口罩并成箱包装，每箱200件，每一箱口罩出厂前要对产品进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率为()01p p <<，且每件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有两件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱口罩检验了20件，结果恰有2件不合格．以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱口罩的检验费用和赔偿费用的和记为X ，求()E X ． （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为依据，是否应该对该箱余下的所有口罩做检验？ 22．（12分）已知定义在区间()0,2上的函数()ln mf x xx =+，m R ∈． （1）证明：当1m =时，()1f x ≥；（2）若曲线()y f x =过点()1,0A 的切线有两条，求实数m 的取值范围．参考答案1．C 由20x x -≥，解得1x ≥或0x ≤，所以集合{}10M x x x =≥≤或．因为{}2N x x =<，所以{}012MN x x x =≤≤<或．故选C ．2．A()()()()1311324121112i i i i i i i i -----===--++-，∴复数131ii -+的虚部为2-．故选A ． 3．A 直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则21a =且51a≠-，解得1a =±，所以当1a =±时，满足两直线平行，则“1a =-”是“两条直线平行”的充分不必要条件．故选A ．4．B 因为()3,1a b +=，所以231a b +=+=22410416a b a b a b -=+-⋅=-⨯=，所以6a b -=．故选B ．5． D 由二项式定理可得62⎛⎫- ⎝的通项为()()663166120,1,2,3,62r r rrr r rrT C C x r---+⎛⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎝⎝⎭，令32r-=，则1r=，所以2x的系数为()6111613228C-⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭．故选D．6．D ()()1f x x x=+，()()()1f x x x f x∴-=-+=-，()f x∴为定义域R上的奇函数．又当0x>时，()()21f X x x x x=+=+为增函数，()f x∴在R上单调递增．由()()220f x f x+->知，()()()222f x f x f x>--=-，22x x∴>-，即220x x+->，解得2x<-或1x>．故选D．7．C 连接1QF，由12PF F为等腰三角形且Q为2PF的中点，由2PF c=知12QF PF⊥，且22cQF=．由双曲线的定义知122cQF a=+，在12Rt FQF中，()2222222c ca c⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得双曲线C的离心率e=．故选C．8．C 函数sin2y x=的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到函数()()sin22f x xϕ=-的图象，则当0,4xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，222,22xπϕϕϕ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦．由函数()f x在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，可知，()2222222kk Zkππϕππϕπ⎧-+≤-⎪⎪∈⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()4k k Zkππϕπ-≤-∈≤．又由02πϕ<<，可知04ππ<≤①．函数()f x的所有零点满足()22x k k Zϕπ-=∈，即()12k Zx kπϕ=+∈，由最大负零点在5,126ππ⎛⎫--⎪⎝⎭内，得()511226Zk kπππϕ-+<-∈<，即()51112262Zk k kπππϕπ--<<-∈-，由02πϕ<<可知，当1k=-时，123ππϕ<<②．由①②可得，ϕ的取值范围为,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦．故选C．9．ABC 由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确．故选ABC ．10．ABCD 对实数a ，b ，m ．22am bm >，a b ∴>，A 正确；a b >，分三种情况，当0a b >>时，a ab b >成立；当0a b >>时，a a b b >成立；当0a b >>时，a a b b >成立，a a b b ∴>成立，B 正确；0b a >>，0m >，()()()()()0()a m b a b m b a ma m a ab bm ab am b m b b b m b b m b b m +-+-++---===+++∴>+，C 正确；若0a b >>，且ln ln a b =，1a b ∴=，且1a >．122a b a a ∴+=+，设()()121f a a a a=+>，()2120a f a =-'>，()f a ∴在区间()1,+∞上单调递增，当1a →时，()3f a →，()3f a ∴>，即()23,a b +∈+∞，D 正确．11．ABC 由()122log x f x x =-，可知函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增．因为实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <，则()f a ，()f b ，()f c 可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A ，B ，C 可能成立，0x c >，D 不可能成立．12．AD 由题意知()()10f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，所以()()12f x f x ''=，1211x x =，12+=，A 正确；由基本不等式及12x x ≠，可得12=>，即12256x x >，B 错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选AD ．13．解析：（方法一）因为cos 5θ=-，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5θ=，所以22222sin 22sin cos 4an 2cos 2cos t sin 3θθθθθθθ⎛ ⎝⎭====-⎛- ⎝⎭⎝⎭．（方法二）因为cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ=，所以tan 2θ=-，所以()()22222tan 4tan 21tan 312θθθ⨯-===---． 答案：4314．解析：因为原数据平均数是8，方差为16，将这组数据中的每一个数据都减去4，所以新数据的平均数为4，方差不变仍为16，所以新数据的方差与平均数的和为20． 答案：2015．解析：如图所示，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则1OO ⊥平面ABC ．设球O 的半径为R ，1OO d =，则22sin sin 60ABC AC r ===︒∠，即r =．当P ，O ，1O 三点共线时，12max3V R d V d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即2R d =．由222R d r =+，得2169R =，所以球O 的表面积26449S R ππ==． 答案：649π16．解析：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由一元二次方程根与系数的关系得1232px x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =，∴抛物线2:4C y x =．设()00,M x y ，由题意知204y x =，则()()()2222200000334188x y x x MN x =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，MN ∴的最小值为答案：2 17．解：（1）选择①， 根据正弦定理得a c a bb a c--=+， 从而可得222a c ab b -=-，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈， 故3C π=（5分）选择②， 根据正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=．即()sin 2sin cos A B C C +=， 即sin 2sin cos C C C =， 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，从而有1cos 2C =， 故3C π=． （5分）（2）根据余弦定理得2222cos c a b ab C =+-．得225a b ab =+-， 即()253a b ab =+-， 解得2ab =， 又因为ABC 的面积为12sin ab C ， 所以ABC． （10分） 18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠． 因为2a ，9a ，30a 成等比数列， 所以()()()2111298a d a d a d ++=+．又15a =，解得2d =或0d =（舍），所以23n a n =+． （4分） （2）依题意得123n n b b n +-=+，即121n n b b n --=+（2n ≥且*n N ∈）， 所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+()()()221321215322n n n n n n ++=++-+++==+． （7分）13b =对上式也成立，所以()2n b n n =+，即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． （9分） 所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1113232124211122n nn n n ⎛⎫=+ +--=-+++⎝⎭+⎪． （12分） 19．（1）证明：因为侧面11ABBA 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，所以AD =．在1Rt ABB 中，11tan 2AB AB B BB ∠==，在Rt ABD 中，tan ABD AD AB ==∠，所以1AB B ABD ∠=∠．又1190BAB AB B ∠+∠=︒，所以190BAB ABD ∠+∠=︒，所以在AOB 中，90BOA ∠=︒，即1BD AB ⊥，又CO ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1CO AB ⊥，又BD CO O =，所以1AB ⊥平面BCD ．又BC ⊂平面BCD ，所以1BC AB ⊥． （6分）（2）解：由（1）可知OD ，1OB ，OC 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，分别以OD ，1OB ，OC 所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则0,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以33AB ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝=⎭，0,33AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()DB =-，BC ⎛= ⎝⎭．设平面ABC 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0033x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1x =，得y =，z =，则(11,2,n =．又平面BCD 的一个法向量为()20,1,0n =，设二面角D BC A --的大小为θ，由题图可知θ为锐角，则12122cos 55n n n n θ⋅===⋅，所以二面角D BC A --的余弦值是5． （12分） 20．（1）解：设点P 的坐标为(),x y ，由题意知23AP BP k k ==-⋅， 化简得点P的轨迹方程为(22132x y x +=≠． （4分） （2）证明：由题意知，直线AP ，BP 斜率存在且不为0， 又由已知得23AP BP k k =-⋅， 因为//AP OM ，//BP ON ，所以23OM ON k k =-⋅． 设直线MN 的方程为x my t =+，代入C 的方程得()222234260m y mty t +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122423mt y y m +=-+，21222623t y y m -=+， （6分） 又()212122222121212262363OM ON y y y y t k x x m y y y t k mt y t m -⋅====-+++-，得22223t m =+． 所以12111222MONS t y y t t =-===，即MON 的面积为定值2（12分） 21．解：（1）从这箱产品中任取20件检验，每件产品为不合格品的概率为()01p p <<，且每件产品是否为不合格品相互独立．因此设X 为不合格口罩数，X 符合二项分布．所以()()1822201f p C p p =-，所以()()()1722021110f p C p p p '=--，故当00.1p =时，()f p 取最大值． （5分）（2）（ⅰ）设剩余180件口罩中不合格品为Y ，则()~180,0.1Y B ，()18E Y =，则检验费用和赔偿费用之和为20225X Y =⨯+，()()4025E X E Y =+，所以()490E X =． （9分）（ⅱ）整箱检验费用为2200400⨯=元，因为()490400E X =>，所以需要对余下的所有口罩做检验． （12分）22．（1）证明：当1m =时，()1ln f x x x=+ ． ()22111x f x x x x-'=-+=， ()f x ∴在(]0,1上单调递减，在[)1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==，()1f x ∴≥． （3分）（2）解：当0m =时，()ln f x x =，()0,2x ∈，可知不符合题意．当0m ≠时，设切点为()()00,x f x （显然01x ≠），又切线过点()1,0A ，()()()00001f x f x x '∴-=-，即()()0001f x f x x '=-， 000200ln 1mx m x x x x +=∴--， 整理得0200l 10n 21x m m x x ++--=． （*） 由题意，得方程（*）在区间()0,2上有两个不同的实数解． （5分）（方法一）令()221ln 1m m g x x x x+=+--， ()()()321x m x g x x --'=．①当21m =，即12m =时，()g x 在()0,2上单调递增，∴此时不满足要求． （6分） ②当21m >，即12m >时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减或在()0,1，()2,2m 上单调递增，在()1,2m 上单调递减，而()()1120g me e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()3212ln 21ln 2048m g +=+->->，()12ln 204g m m m=+>， ()g x ∴在区间()0,1上有唯一的零点，在区间()1,2上无零点．∴此时不满足要求． （8分）③当021m <<，即102m <<，()g x 在()0,2m 上单调递增，在()2,1m 上单调递减，在()1,2上单调递增． ()21ln 10m e e m m g e e m +-⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()20g m >，()20g >， ()g x ∴在区间()0,2上有唯一的零点，∴此时不满足要求． （10分）④当0m <时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增．()()1120g me e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()10g m =<，()322ln 24m g -=+． 当()20g ≤，即24ln 23m -≤时，()g x 在区间()0,2上有唯一的零点，此时不满足要求． 当()20g >，即24ln 203m -<<时，()g x 在区间()0,1和()1,2上各有一个零点，设为1x ，2x ． 此时，()21m f x x x '=-，显然()f x '在区间()0,2上单调递减． ()()12f x f x ''∴≠，∴此时满足要求．综上所述，实数m 的取值范围是24ln 2,03-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （12分） （方法二）关于0x 的方程()0020021110ln x x x m x -+-+=在区间()0,2内有两个不同的实数解，显然12不是方程的解，故原问题等价于22l 12n x x x x m x+-=-在区间()0,2内有两个不同的实数解． 设()()22112l 2ln 1n x x x x x x x s x x x x +-+-==--，02x <<，12x ≠， 则()()()2ln 11212x x x x s x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=-，02x <<，12x ≠． 令()2ln 1h x x x =+，02x <<，12x ≠， 则()221221x h x x x x -'=-+=， 故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()12ln 402h x h ⎛⎫∴>=-> ⎪⎝⎭． ∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0s x '>．当()1,2x ∈时，()0s x '<， 从而当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()s x 单调递增， 当()1,2x ∈时，()s x 单调递减． （9分）令()1ln t x x x x =+-，02x <<，12x ≠，()ln t x x '∴=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0t x '<，当()1,2x ∈时，()0t x '>， ()()10t x t ∴≥=．∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x >， 当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x ≤． 而当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()10s x s ≤=，当x 从12右侧趋近12时，()s x →-∞，作出()s x 的大致图象如图所示， 故22l 12n x x x x m x +-=-在区间()0,2内有两解()20s m ⇔<<，解得24ln 203m -<<，即实数m 的取值范围是24ln 2,03-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （12分）。
2020山东新高考试卷-----数学(可编辑修改word版)
按秘密级事项管理★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A = {(x t y)\x + y = 2}, B = {(x t y)\y = x2} t则AC\B =A. {(1,1)}B. {(-2,4)}C. {(1,1), (-2,4)}D. 02.己知a + bi (a t beR)是的共轭复数，则a + b =l + i-1数学试题第1页(共5页)C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形8. ^a>b>c>\5.ac<b 2,贝lj A. log o b > log fc c > log c aC. log^>log a Z>>log c a二、多:页选择题：本题共4小题.毎小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9. 下图为某地区2006年〜2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线 图.城乡居民储番年末 余额（百亿元） 地方财政预算内 收入（百亿元）根据该折线图可知，该地区2006年〜2018年A. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈増长趋势B. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C. 财政预算内收入年平均增长里髙于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D. 城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10. 己知双曲线C 过点G.V2）且渐近线为y = ±^-x t 则下列结论正确的是A. C 的方程为—-/ = 13 B . c 的离心率为75C. 曲线y = e x -2-l 经过C 的一个焦点D. 直线x-^j-l = 0与C 有两个公共点11. 正方体ABCD-A^C.D.的棱长为丨，E, F ，G 分别为，CC,, 的中点.则A. 直线与直线垂直B. 直线冷G 与平面平行qC. 平面截正方体所得的截面面积为3 OD. 点C 与点G 到平面的距离相等数学试题第2页（共5页）B log c b ■> log,, a > log a c D. log ft a>log c Z>>log a e80706050403020100小B12.函数/(x)的定义域为R，且/(x + 1)与/Cr + 2)都为奇函数，则A. /(x)为奇函数 B. /(x)为周期函数C. /(x + 3)为奇函数D. /(x + 4)为偶函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山东省高考数学试卷(新高考)
可以用指数模型： I (t) ert 描述累计感染病例数 I (t) 随时间 t （单位：天）的变化规律，指
数增长率 r 与 R0 ，T 近似满足 R0 1 rT ．有学者基于已有数据估计出 R0 3.28 ，T 6 ．据 此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 ( )(ln2 0.69)
取值范围是 ( )
A． [1 ，1][3 ， )
B． [3 ， 1][0 ，1]
第 1页（共 22页）
C． [1 ， 0][1 ， )
D．[1 ， 0][1 ， 3]
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
b
0)
的离心率为
2 ，且过点 A(2,1) ． 2
（1）求 C 的方程；
（2）点 M ， N 在 C 上，且 AM AN ， AD MN ， D 为垂足．证明：存在定点 Q ，使得
| DQ | 为定值．
第 4页（共 22页）
2020 年山东省新高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
2020届名校学术联盟新高考原创精准模拟考试(一)文科数学试卷
2020届名校学术联盟新高考原创精准模拟考试（一）文科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则复数z的虚部是A. 1B.C. 3D.【答案】B【解析】【分析】本题首先可以根据复数的运算法则对复数进行化简，将复数化简为的形式，再通过复数的虚部的相关概念即可得出结果。
【详解】，所以复数的虚部为。
【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的运算法则以及虚部的相关概念，考查计算能力，提高了学生对于复数运算的掌握，是简单题。
2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题首先可以通过解一元二次不等式计算出集合A，然后通过对数的性质计算出集合B，最后计算出，即可得出结果。
2020年新高考全国卷Ⅰ(山东)数学高考试题
2021年普通高等学校招生全国统一测试〔山东〕数学考前须知：1 .答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在做题卡上.2 .答复选择题时,选出每题答案后,用铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答复非选择题时,将答案写在做题卡上.写在本试卷上无效.3 .测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回.、选择题：此题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .设集合A={x|1买w 3} B={x|2<x<4},那么AU B=A . { x|2<xW 3}C. {x|1 x<4}2 i1 2iA. 1C. i B. {x|2 买w 3}D. {x|1<x<4}B. -1D. -i每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,那么不同的安排方法共有A. 120 种B. 90 种C. 60 种D. 30 种4 .日思是中国古代用来测定时间的仪器,利用与署面垂直的署针投射到署面的影子来测定时间.把地球看成一个球〔球心记为O〕,地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日思,假设思面与赤道所在平面平行, 点A处的纬度为北纬40°,那么思针与点A处的水平面所成角为3. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°5 .某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,那么该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A. 62% B. 56% C. 46%D. 42%6.根本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学根本参数.根本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：I(t) e rt 描述累计感染病例数I ⑴随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率 r 与R .,T 近似满足R 0 =i + rT.有学者基于 已有数据估计出 R 0=3.28, T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1倍需要的时间约为(ln2 =0.69) A. 1.2 天 B. 1.8 天 D. 3.5 天II2的正六边形 ABCDEF 内的一点,那么 AP 靠 的取值范围是A. ( 2,6)B. ( 6,2)C. ( 2,4)D. ( 4,6)8.假设定义在R 的奇函数f(x)在(,0)单调递减,且f(2)=0,那么满足xf(x 1) 0的x 的取值范围是A. [ 1,1]加)B. [ 3, 1也0,1]C. [ 1,0]IJ[1,) D. [ 1,0]皿,3]二、选择题：此题共 4小题,每题5分,共20分.在每题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部C. 2.5 天 7.P 是边长为13 .斜率为 狗的直线过抛物线 C: y 2=4x 的焦点,且与 C 交于A, B 两点,那么| AB = 14 .将数列｛2n - 1甘｛3n- 2的公共项从小到大排列得到数列｛a n ｝,那么｛a n ｝的前n 项和为选对白^得5分,有选错的得0分,局部选对的得3分.29 .曲线C:mx2 .ny 1.B.C. D. m>n>0,贝U m=n>0,贝U C 是椭圆,其焦点在 y 轴上C 是圆,其半径为j nmn<0,那么C 是双曲线,其渐近线方程为m=0, n>0,那么C 是两条直线10 .下列图是函数 A. sin(x 11 . a>0,b>0,且 a+b=1 ,那么A. a 2 b 2 2aB. 2C. log 2 a log 2 b 2J b12 .信息嫡是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,HI,n ,且P(X ni) P i 0(i 1,2,|||,n),P i 1 ,定义 X 的信息嫡 H(X)i 1P i iog 2 P i .1B. C. D.n=1 ,贝U H(X)=0n=2,那么 1 P i (i nn=2m, H(X)病(Y三、填空题：此题共 H(X)随着P i 的增大而增大 1,2,|||,n),那么H(X)随着n 的增大而增大随机变量 Y 所有可能的取值为 1,2,|||,m,且P(Yj)P j P 2m 1 j (j 1,2,“I ,m),那么4小题,每题5分,共20分.ym —x2x)y= sin( 315 .某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如下图. .为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BCXDG, 垂足为C, tan/ODC=3, BH // DG , EF=12 cm, DE= 2 cm, A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm,5圆孔半径为1 cm,那么图中阴影局部的面积为cm2.16 .直四棱柱ABCD Ri B i C i D i的棱长均为2, / BAD=60 °.以D i为球心,75为半径的球面与侧面BCC i B i 的交线长为.四、解做题：此题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.17 . 〔i0 分〕在①ac 3,②csinA 3,③c 73b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,假设问题中的三角形存在,求c的值；假设问题中的三角形不存在,说明理由.问题：是否存在^ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA J3sin B , C —,？6 ----------------注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18 . 〔i2 分〕公比大于i的等比数列｛a n｝满足a2 a4 20,a3 8.〔i〕求｛a.｝的通项公式；〔2〕记以为｛a.｝在区间〔0,m］〔m N 〕中的项的个数,求数列｛口｝的前i00项和S...19 . 〔i2 分〕为增强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了i00天空气中的3PM2.5和SO2浓度〔单位：G/m 〕,得下表：SO 2PM2.5 [0,50] (50,150] (150,475][0,35] 32 18 4 (35,75] 6 8 12 (75,115]3710(1)估计事件 该市一天空气中 PM2.5浓度不超过75,且SO ?浓度不超过150〞的概率;(2)根据所给数据,完成下面的 2 2列联表：SO 2PM2.5[0,150] (150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5浓度与SO 2浓度有关?2附：K 2——迪回 -----------------------,(a b)(c d)(a c)(b d)_ 2P(Kk)0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82820 . ( 12分)PD ,底面ABCD.设平面PAD 与平面PBC 的交线为I.(1)证实：U 平面PDC;21 . ( 12分)函数 f (x) ae x 1 In x In a .(1)当a e 时,求曲线y=f (x)在点(1, f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;如图,四棱锥P-ABCD 的底面为正方形, (2)PD=AD=1, Q 为I 上的点,求 PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值.(2)假设f (x) >1,求a 的取值范围.22. ( 12 分)yr 1(a b 0)的离心率为 —,且过点A (2,1).b 22(1)求C 的方程: (2)点M, N 在C±,且AM LAN, AD ± MN , D 为垂足.证实：存在定点 Q,使得|DQ|为定值.欢送新高三同学扫码报名刘德老师的“2021年高考数学一轮复习班〞2椭圆C ： X 2a。
2020年山东省高考数学试卷(新高考全国Ⅰ卷)(解析版)
世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： I (t) ert 描述累
计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0 =1+rT.有学者基于已有
A. 120 种
B. 90 种
C. 60 种
D. 30 种
【答案】C
【解析】
【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从 6 名同学中选1名去甲场馆，方法数有 C61 ；
然后从其余 5 名同学中选 2 名去乙场馆，方法数有 C52 ；
最后剩下的 3 名同学去丙场馆.
D. cos( 5π 2x) 6
【解析】
【分析】
首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
T
【详解】由函数图像可知：
2
2 3
6
2
，则
2 T
2
2 ，所以不选 A,
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当x
2 36
2
5 12
时， y 1 2 5 12
3 2
所以由 xf (x 1) 0 可得：
x 0
x 0
2 x 1 0或x 1 2 或 0 x 1 2或x 1 2 或 x 0
解得 1≤ x ≤ 0 或1 x 3 ，
所以满足 xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是[1, 0] [1,3]，
故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
2020年山东省新高考数学(新高考Ⅰ)试卷真题+常考答案+详细解析
2020年山东省新高考数学试卷（新课改Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合{|13}A x x =，{|24}B x x =<<，则(A B = )A ．{|23}x x <B ．{|23}x xC ．{|14}x x <D ．{|14}x x <<2．（5分）2(12ii-=+ ) A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种4．（5分）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为)O ，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒5．（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%6．（5分）基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )(20.69)ln ≈A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天7．（5分）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值范围是( ) A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-8．（5分）若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -的x 的取值范围是( )A ．[1,1][3,)-+∞B ．[3,1][0,1]--C ．[1,0][1,)-+∞D ．[1,0][1,3]-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山东高考数学试卷(新高考全国I卷)及答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（）A.{x |2<x ≤3} B.{x |2≤x ≤3}C.{x |1≤x <4} D.{x |1<x <4}2.2i12i-=+（）A.1B.−1C.iD.−i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是（）A.()2,6-B.(6,2)-C.(2,4)- D.(4,6)-8.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A.[)1,1][3,-+∞B.3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-⋃+∞ D.[1,0][1,3]-⋃二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则C 是圆，其半径为C.若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线10.下图是函数y =sin(ωx +φ)A.πsin(3x +）B.πsin(2)3x - C.πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -11.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A.2212a b +≥B.122a b->C.22log log 2a b +≥- D.≤12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A.若n =1，则H (X )=0B.若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C.若1(1,2,,)i p i n n== ，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.斜率为的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．14.将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．16.已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D BCC 1B 1的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。
2020届山东省新高考改革原创考前信息试卷(一)数学
2021届山东省新高考改革原创考前信息试卷〔一〕 数学★祝测试顺利★ 考前须知：1、测试范围：高考范围.2、试题卷启封下发后,如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不 清等情况,应当立马报告监考老师,否那么一切后果自负.3、做题卡启封下发后,如果发现做题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象,应当 马上报告监考老师,否那么一切后果自负.4、做题前,请先将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和做题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在做题卡上的指定位置.用2B 铅笔将做题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.5、选择题的作答：每个小题选出答案后,用 2B 铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂 黑.写在试题卷、草稿纸和做题卡上的非选择题做题区域的答案一律无效.6、主观题的作答：用签字笔直接答在做题卡上对应的做题区域内.写在试题卷、草稿纸 和做题卡上的非做题区域的答案一律无效.如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答 案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.7、保持做题卡卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等. 8、测试结束后,请将本试题卷、做题卡、草稿纸一并依序排列上交.8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ・八- 2 1 .集合A x|x 2x 3 0 , BA. {x| 1 x 4}B. {x|0 x 3}C. {x|0 x 2}2 .设复数z 满足|z i | 1 , z 在复平面内对应的点为 〔x,y 〕,那么A. (x 1f y 2 1B. (x 1)2 y 2 1C .x 2 (y 1)2 1 D . x 2 (y 1)2 111 13 . a 32, b log1 - , c 10g 2 —,那么32 -3A. a b cB. b c aC. c b a4 .某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更、选择题：此题共 x|log 2X 2 ,那么集合 AI BD. {x|0 x 1}D. b a c6.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数： 1, 1, 2, 3,5, 8,……,该数列的特点是：前两个数均为 1,从第三数起,每一个数都等于它前面两个数x8.设f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x 0时,f(x) e ,右对任意的x [a,a 1],2不等式f(x a) f (x)恒成立,那么实数a 的最大值是A.3B. -C.3D. 2234二、多项选择题：此题共 4小题,每题5分,共20分在每题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5分,局部选对的得 3分,有选错的得 0分. (3 2a)x 1,x 1x(a 0,a 1),以下关于函数的说法正确的选项是 a ,x 1A.假设a 2,那么f(log 23) 3B.假设f (x)为R 上的增函数,那么1 a 3C.假设f(0)1,那么a 3 D.函数f (x)为R 上的奇函数10 .函数 f (x) | cosx | sin x , 正后,重新求得样本的平均数为 X,方差为S 2 ,那么C. -2x 70 , s75 —2 x 70 , s752___B. x 70 , s 75 2 ___D. x 70 , s755.角的终边经过点 P(sin47o ,cos47o ),那么 sin( -13o )=A.1B.2、、3 C.—21 D.-2的和,人们把这样的一列数所组成的数列a n 称为“斐波那契数列〞,那么22a 1a 3 a 2a 2a 4 a 3L L +a 2021a 20212 a 2021A. 1006B. 0C. 1007D. 122x y 」7.双曲线C: —2 F 1 ( a a b0, b 0)的左、右焦点分别为F 1,F 2 , O 为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点,直线 PO 交双曲线C 左支于点M,直线PF 2交双曲线C 右支于另一点N.假设PF 2 PF 2 ,且MF 2N 60 ,那么双曲线C 的离心率为D.2.39.设函数f(x)那么以下结论正确的选项是A.函数f (x)的最小正周期为兀B.函数f (x)的图象是轴对称图形C.函数f(x)的最大值为J2D.函数f(x)的最小值为111 .集合M= x,y y f x ,假设对于M , x2* M ,使得x i x2 y i y2 .成立,那么称集合M是“互垂点集〞.给出以下四个集合：M1 x, y y x21 ；M2x,y y xx―1 ；M3 x, y y e x；M4 x,y y sinx 1 .其中是“互垂点集〞集合的为12 .在三麴隹D-ABC 中,AB=BC=CD=DA =1,且AB,BC,CD,DA,M,N 分别是棱BC,CD 的中点,下面结论正确的选项是A. AC ± BDB. MN// 平面ABD (2)C.二棱锥A-CMN的体积的取大值为彳1D. AD与BC — TE不垂直第II卷(非选择题共90分)三、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分. 813 .(x 1)(x 1)的展开式中x5的系数是.r r r . r . r ________________ r J 一 ..14 .向量a , b满足a 4 , b在a上投影为2,那么a 3b的最小值为.2x ,15 .F为抛物线y 一的焦点,过点F且倾斜角为150的直线l与抛物线交于A, B两点,l1, 4l2分别是该抛物线在A,B两点处的切线 /上相交于点C,那么CA CB , |CF | ―.16 .在四锥P ABCD中,PAB是边长为2出的正三角形,底面ABCD为矩形,AD 2, PC PD V22 .假设四棱锥P ABCD的顶点均在球O的球面上,那么球O的外表积为.四、解做题：此题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤^17. 〔10 分〕在^ ABC 中, B — , b 而,,求BC边上的高.3在①sin A 、21；② sinA3sin C ；③ ac2这三个条件中任选一个,补充在上面问题A. M1B. M 2C. M3D. M4中并作答.注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18. (12分)如图,在三棱柱ABC AB1C1中,四边形AAC i C为矩形,AA 6,AB AC 4, BAC BAA 60 , AAC 的角平分线AD 交CC i 于D.(1)求证：平面BAD 平面AAC1C ；(2)求二面角A B1C1 A的余弦值.19. (12分)设数列a n的前n项和为S n,a1 1, S n 12S n 1, n N (1)证实：S n 1为等比数列,求出B n的通项公式n(2)右b n —,求b n的刖n项和T n,并判断是否存在正整数a n n使彳#T n 2n 1 n 50成立？假设存在求出所有n值;假设不存在说明理由20. (12分)随着现代社会的开展,我国对于环境保护越来越重视,企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统,并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元,日常全天候开启3套环境监测系统,假设至少有2套系统监测出排放超标,那么立即检查污染源处理系统；假设有且只号..1套系统监测出排放超标,那么立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测,且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标, 也立即检查污染源处理系统.设每个时间段(以1小时为计量单位)被每套系统监测出排放超标的概率均为p(0 p 1),且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立^ ........ 1 ................................................. ..... ..........(1)当p -时,求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；2(2)假设每套环境监测系统运行本钱为300元/小时(不启动那么不产生运行费用),除运行费用外,所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施,问该企4.3 15. 0, --------3 16. 28业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)?并说明理由2 221 .(12分)椭圆E：与、1 a>b>0的离心率是—,过点P(0,1)做斜率为k的直线1, a b 3椭圆E与直线1交于A, B两点,当直线1垂直于y轴时AB 3展.(1)求椭圆E的方程；(2)当k变化时,在x轴上是否存在点M(m,0),使得4AMB是以AB为底的等腰三角形,假设存在求出m的取值范围,假设不存在说明理由.1 ,22 . (12 分)函数f(x) (x a)1n x - x(a R).2⑴假设f (x)是f(x)的导函数,讨论g(x) f (x) x alnx的单调性；⑵假设a (j,2n)便是自然对数的底数),求证：f(x) 0.高三数学试题参考答案、选择题:BCAA DDBC二、多项选择题：9.AB 10.BCD 11.BD 12.ABD三、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.13. 14 14. 10选择③,在^ ABC 中,由a- c= 2,得a=c+2； 由余弦定理得 b 2= a 2+c 2 - 2accosB,1即 7= (c+2) 2+c 2 - 2X (c+2) xcx-,2化简得c 2+2c- 3=0,解得c= 1或c= - 3 (舍去)； 所以BC 边上的高为h= csinB= 1 乂旦 =—2 2IS 28 n 解析：如图.取d 班 O 的中灶F ：. F.连接FR 好.尸尸,取的 中点H, PE的三等分点G 使PG=1d 那么H, G 分别为四边形与.月1出 的中央,过H 作平面/NCD 的垂找与过G 作千面以旧的承线交于a 那么于为球 ¥— PE^ Hl"Ef^—Pp^-I心,由/产=寸19. EG-EH= 1, Z-cosZP£F -- ............ ---- ,2PE • EF ?ZPEF= 120° i H 拉=0打=0C=4* 1"=3 R = O A 7, S= 4n A--28n,四、解做题：此题共 6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤, a .7a b ____________ —17.解：选择①,在^ ABC 中,由正弦定理得 --------- ------ ,即J21 J 3,sin A sin B -— ——7 2解得a 2,由余弦定理得 b 2= a 2+c 2 - 2accosB,1即 7 =22+c 2- 2X2XCX-,2化简得c 2 - 2c- 3= 0,解得c= 3或c= - 1 (舍去)；所以BC 边上的高为h= csinB= 3x1 = 3^3 . 2 2选择②,在^ ABC 中,由正弦定理得 」一 二^,sin A sinC又由于 sinA= 3sinC,所以 一a ― ―c —,即 a= 3c;3sinC sinC 由余弦定理得 b 2= a 2+c 2 - 2accosB, 1即 7= (3c) 2+c 2- 2X3c>cx-, 2化简得7c 2=7,解得c= 1或c= - 1 (舍去)；所以BC 边上的高为 h= csinB= 1.2 218.证实：〔1〕如图,过点D 作DE//AC 交AA 于E ,连接CE,BE ,设ADI CE .,连 接 BO , Q AC AA i , DE AE , 又AD 为 AAC 的角平分线, 四边形AEDC 为正方形, CE AD ,的中点, CE BO — uuur- uuir uuurB i (0,6,2V2), GB (2,2,2V2) , AC i (4,6,0), GA (4,0,0),又 Q AC AE , BACBAE, BA BA, BAC BAE, BC BE,又QO 为 CE又QAD,BO 平面 BAD , AD BO CE 平面BAD ,又QCE 平面AAC 1C,平面 BAD平面 AAC i C ,(2)在 ABC 中,Q ABAC BAC 60 , BC 4 ,在 Rt BOC 中,QCO2CE 2应,BO 2品,又AB,_ i4, AO -AD22拒,QBO 2 AO 2 AB 2, BO 又BO CE, AD CE O, AD,CE 平面 AACQ, BO 平面AAC i C ,故建立如图空间直角坐标系O xyz,那么 A(2, 2,0) , A i (2,4,0),C i ( 2,4,0),设平面ABC i 的一个法向量为v 1r mm 〔.必工〕,那么 v m 4x i 6y i 0 2x i 2y i 2.2z iIT令X i =6 ,得m (6,4,设平面AB 1G一个法向量为 rn (X 2,y 2,Z 2),v n 那么v n uuiv C i B iuuiv ,CiA4x 2 2x 22y 222Z 2令 y 2 = J2,得 n (0, 41, i),所以cos ur rm,nur m tr- |m||n|3 i7----- ,由图不可知一面角 A B 1c l A 是锐角,i7uuivC i B i uuuv, AC i令 f(x) 2x x 26 (x 1), f x 2x ln2 1 0 在 x 1,f x 2x x 26, x 1,为增函数, 而f 5 f 4 0,所以不存 正整数n 使得T n 2n 1 n50成立.20.解：(1) Q 某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为2121 313 213 3131 C 2( )2 C 3( )3 C 2( )3 C 3( )3 C 3 (2) 2 C 3(2) C 3 (2)C 3(2)2,某个时间段在需要开启另外 2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为1131 2 9 C 3(-)3[1 (-)2] —— 某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为2 2 32(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元,那么X 的可能取值为900, 1500.1 2 _ ___ _ 12QP(X 1500) C 3P(1 p) , P(X 900) 1 C 3P(1 p)3 17 1719.解：(1)「&1 2S n 1,•• S n 1 1 2 S n 1 , n N ,由于四§ 1,所以可推出& 1 0.故二面角A BC 1 A 的余弦值为一 S n 1 1故不一-2,即S n 1为等比数列.S n 1•• Si 1 2,公比为2,•• S n 1 2n ,即 &2n 1 , 「 S n 1 2n 1 1,当 n 2 时,a n S n S n 1 2n 1, a 1 1也满足此式, 一 a n 20-1(2)由于b nn n J _2 an *,T n了 22n1 12 n 1 1一 "T n N ? n ,两式相减得: T n~02 2 2 2 2 2即 T n 4 景,代入 T n 2n1 n 50,得 2n n1 21262n 1 2n 2n成立,J _9 252 32 3218k 2,洛4 9k 2E(X) 900 [1 C 3P(1 p)2] 1500 C 3P(1 p)2 900 1800P(1 p)2令 g(p) p(1 p)2,p (0,1),那么 g(p) (1 p)2 2p(1 p) (3p 1)( p 1) 一 1, 1 , 当P (.,二)时,g(P) 0, g(p)在(0, — )上单倜递增； 3 3… ,1 1 当P (-,1)时,g (P) .,g(P)在上(一,1)单倜递减, 3 3,、一八 ,1、 4 g(P)的最大值为g(-) 一, 3 27 44实施此万案,最局费用为100 9000 (900 1800 —) 10 4 1150 (万元),Q1150 1200,故不会超过预算. 21.解：(1)由于椭圆的离心率为 —,3所以c 1 b l Y5,整理得b2 4a 2.a \ a 2 392x故椭圆的方程为7 a 2 七1-a9 由得椭圆过点 3、,3 d---- ,12 ~ , 27 9 o 所以=2 -9T 1 ,解得a 2 9 , 4a 4a 2所以椭圆的E 方程为土 9 (2)由题意得直线l 的方程为y kx 1 . y kx 1 由x 2 y 消去y 整理得4 9k 2 x 2 18kx 27 0, 9 4 其中 22 2(18k)4 27 (4 9k ) 432(3k1) 0 .设 A x,y 1,B x 2,y 2 , AB 的中点C x 0,y 0那么 x 〔 x 227 24 9k 2...9k 4.••点C 的坐标为C 一 J, 4 24 9k 4 9ka22.解：(1)由于 f (x) ln x 一 x /、 (x 1)(x a) /g (x) A ---------- ------- ((x 0),x①当a 0,即a 0,所以x a 0,且方程g 〔x 〕 0在〔0, + 〕上有一根,故g 〔x 〕在〔0,1〕 为增函数,〔1,〕上为减函数.②当a 0时,方程g 〔x 〕 0在〔0,+ 〕上有两个不同根或两等根,所以％ x i x 29k 224 9k 24y 0 % 1 4-9?’假设在x 轴存在点Mm,0 ,使得 AMB 是以AB 为底的等腰三角形, 那么点M m,0为线段 AB 垂直平分线与x 轴的交点.①当 k 0时,那么过点______ __ _ 1C 且与l 垂直的直线方程 y —k••• 0②当 0,那么 549k k5 m 120,那么 0.k一 5 m 一.1254 9k-5k 0时,那么有0. 一 5 综上可得 —m125 12所以存在点M 满足条件,且 的取值范围是3- 2Xa- XX即a 0 ⑶g以所3一 559k549k k5k 24 9k 29k Z~24 9k5 14 9k5 12 5 122 , 4 9k 2a,所以f(x)在(1,-a)上增函数,在(0,1), ( a, + ) 上减函数,当-1 a 0 时,f (x) 0 得,a x 1,所以 f(x)在(-a,1)上增函数,在(0,-a),(1, + ) 上减函数,一a 3 a 3(2)证实：由于 f (x) ln x — —,令 h(x) ln x — 一,那么 x 2 x 2 . ,、 1 a 八 h (x) — — 0, x x即h(x)在(0, + )是增函数,a下面证实h(x)在区间(一,2a)上有唯一零点x0, 2a a 1由于 h(一) In — —,h(2a) In 2a 1 ,2 2 2a 、由零点存在TE 理可知,h(x)在区间(-,2a)上有唯一零点x0, 在区间(0,x °)上,h(x) f (x) 0, f(x)是减函数,在区间(x0,+ )上,h(x) f (x) 0, f(x)是增函数,a 3 a 3由于 h(x 0) In x 0 — — =0 ,所以 In x 0= — —, x 02 x 0 2 a3. 1 1 , a 一 所以 f(x 0) (x ° a)(- -) - x 0 一(x 0— )(2a x 0), x 0 2 2 x 0 2a由于 x 0 (a,2a),所以 f(x) 0,所以 a (-^,2^), f (x) 0 .1 时,f (x)(x 1)2 x 0 ,所以f (x)在(0,+ )上减函数,当 a 1 时,f (x) 0得,1 x由于a 1 a 2 , e 胃,2病,所以吗)此〒 1—0, h(2a) 2 1 ln2— 1 0, 2e故当xx 0时,f (x)取得最小值f (x 0) / 1 (x ° a)ln x 0 2 % ,-12 -。
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2020届山东省新高考改革原创考前信息试卷（一）数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
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6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =--<，{}2|log 2B x x =<，则集合A B =IA ．{|14}x x -<<B ．{|03}x x <<C ．{|02}x x <<D ．{|01}x x << 2．设复数z 满足||1z i +=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则A ．22(1)1x y ++= B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y ++= D ．22(1)1x y +-=3．已知123a =，131log 2b =，21log 3c =，则 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则A ．70x =，275s <B ．70x =，275s >C ．70x >，275s <D ．70x <，275s > 5.已知角α的终边经过点(sin47,cos 47)P oo，则sin(-13)=αoA.2-B. 12-C.2D.126．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()222132243354+a aa a a a a a a -+-+-+L L ()2201320152014a a a -=A.1006- B ．0 C ．1007 D ．1 7．已知双曲线2222:1x y C ab-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点．P是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线2PF 交双曲线C 右支于另一点N ．若122PF PF =，且260MF N ︒∠=，则双曲线C 的离心率为A B C D ．38．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()x f x e =，若对任意的[,1]x a a ∈+，不等式2()()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的最大值是A ．32-B ．23-C ．34- D ．2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.设函数(32)1,1()(0,1),1xa x x f x a a a x --≤⎧=>≠⎨>⎩，下列关于函数的说法正确的是 A.若2a =，则2(log 3)3f = B.若()f x 为R 上的增函数，则312a << C.若(0)1f =-，则32a =D.函数()f x 为R 上的奇函数 10.已知函数()|cos |sin f x x x =+，则下列结论正确的是A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象是轴对称图形C.函数()f xD.函数()f x 的最小值为1-11.已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为A.1MB.2MC.3MD.4M12.在三棱锥D-ABC 中,AB=BC=CD=DA =1,且AB ⊥BC ,CD ⊥DA ,M,N 分别是棱,BC CD 的中点,下面结论正确的是A. AC ⊥BDB. MN//平面ABDC.三棱锥A-CMN 的体积的最大值为12D.AD BC 与一定不垂直 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是_________．14.已知向量a r ，b r满足4a =r ，b r 在a r 上投影为2-，则3a b -r r 的最小值为 .15.F 为抛物线24x y =的焦点，过点F 且倾斜角为150︒的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，1l ，2l 分别是该抛物线在A ,B 两点处的切线,1l ,2l 相交于点C ,则CA CB ⋅=____，||CF =___．16.在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆是边长为底面ABCD 为矩形，2AD =，PC PD ==。
若四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，3B π∠=，b =， ，求BC 边上的高．在①sin 7A =；②sin 3sin A C =；③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AAC C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D .（1）求证:平面⊥BAD 平面11AAC C ； （2）求二面角111A B C A --的余弦值.19.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.20.（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少．．有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有．．．．1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以．1．小时为计量单位．．．．．．．）被每套系统监测出排放超标的概率均为(01)p p <<，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.（1）当12p =时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； （2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.21.（12分）椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞的离心率是3，过点(0,1)P 做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y 轴时AB =（1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．22.（12分）已知函数1()()ln ().2f x x a x x a R =-+∈ (1)若()f x '是f (x )的导函数,讨论()()ln g x f x x a x '=--的单调性;(2)若1(2a e e∈是自然对数的底数),求证: ()0f x >.高三数学试题参考答案一、选择题： BCAA DDBC二、多项选择题：9.AB 10.BCD 11.BD 12.ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 14 14. 10 15. 0，316. 28π四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：选择①，在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B=72137=，解得2a =，由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即7＝22+c 2﹣2×2×c ×12， 化简得c 2﹣2c ﹣3＝0，解得c ＝3或c ＝﹣1（舍去）； 所以BC 边上的高为h ＝c sin B ＝3×333． 选择②，在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a cA C=， 又因为sin A ＝3sin C ，所以3sin sin a cC C=，即a ＝3c ；由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即7＝（3c ）2+c 2﹣2×3c ×c ×12， 化简得7c 2＝7，解得c ＝1或c ＝﹣1（舍去）； 所以BC 边上的高为h ＝c sin B ＝1×33 选择③，在△ABC 中，由a ﹣c ＝2，得a ＝c +2；由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即7＝（c +2）2+c 2﹣2×（c +2）×c ×12， 化简得c 2+2c ﹣3＝0，解得c ＝1或c ＝﹣3（舍去）； 所以BC 边上的高为h ＝c sin B ＝1×3318.证明：（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设AD CE O =I ，连接BO ，1AC AA ⊥Q ，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥，又AC AE =Q ，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=，又O Q 为CE 的中点，CE BO ∴⊥又,AD BO ⊂Q 平面BAD ，AD BO O ⋂=，CE ∴⊥平面BAD ， 又CE ⊂Q 平面11AAC C ，∴平面⊥BAD 平面11AAC C ，（2）在ABC ∆中，4AB AC ==Q ，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在Rt BOC ∆中，1222CO CE ==Q 22BO ∴=又4AB =，1222AO AD ==222BO AO AB +=Q ，BO AD ∴⊥，又BO CE ⊥，AD CE O ⋂=，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ， 故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -，1(0,6,22)B ，11(2,2,22)C B ∴=u u u u r ，1(4,6,0)AC =-uuu r ，11(4,0,0)C A =u u u u r，设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =u r ，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩uuu u vv uuu v v ，1111146022220x y x y z -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令1=6x ，得(6,4,52)m =-u r,设平面111A B C 一个法向量为222(,,)n x y z =r，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩uuu u v v uuu u v v ，22224022220x x y z =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2=2y 21)n =-r ,， 所以317cos ,17||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r ，由图示可知二面角111A B C A --是锐角，故二面角111A B C A --. 19.解：(1)∵121n n S S +-=，∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈， 因为111a S ==，所以可推出10n S +>． 故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列．∵112S +=，公比为2，∴12n n S +=，即21n n S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；(2) 因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+， ∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222n n n nn n T -+=++⋅⋅⋅+-=- 即1242n n n T -+=-，代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=．令()226xf x x =--(1x ≥)，()2ln 210x f x '=->在[)1,x ∈+∞成立，∴()226xf x x =--，()1,x ∈+∞为增函数，而()()540f f ⋅<，所以不存正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．20.解：（1）Q 某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为2332333333321111()()112()()22222C C C C ⨯==++,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为1323119()[1()]2232C -=∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为192523232+=.（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500.123(1500)(1)P X C p p ==-Q ，123(900)1(1)==--P X C p p121233()900[1(1)]1500(1)E X C p p C p p ∴=---⨯⨯+29001800(1)p p =+-令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈,则2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- 当1(0,)3p ∈时，()0g p '>，()g p 在1(0,)3上单调递增；当1()1,3p ∈时，()0g p '<，()g p 在上1(,1)3单调递减,()g p ∴的最大值为14()327=g ,∴实施此方案，最高费用为441009000(9001800)10115027-+=⨯+⨯⨯（万元）， 11501200<Q ，故不会超过预算.21.解：（1所以c a ==，整理得2249b a =． 故椭圆的方程为2222149x y a a +=．由已知得椭圆过点⎫⎪⎪⎝⎭，所以22279144a a+=，解得29a =， 所以椭圆的E 方程为22194x y +=．（2）由题意得直线l 的方程为1y kx =+．由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()224918270k x kx ++-=，其中2221849()427()432(31)0k k k ∆=+⨯⨯=+>+． 设()()1122,,,A x y B x y ， AB 的中点()00,C x y 则1212221827,4949k x x x x k k+=-=-++，所以12029249x x kx k +-==+，∴0024149y kx k=+=+， ∴点C 的坐标为2294,4949k C k k -⎛⎫⎪++⎝⎭．假设在x 轴存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形， 则点(),0M m 为线段AB的垂直平分线与x 轴的交点．①当0k ≠时，则过点C 且与l 垂直的直线方程221944949k y x k k k ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭， 令0y =，则得2554499k x m k k k==-=-++． 若0k >，则554129kk≤=+， ∴5012m -≤<． 若0k <，则555441299k k k k =-≥-+--，∴5012m <≤．②当0k =时，则有0m =． 综上可得551212m -≤≤． 所以存在点M 满足条件,且m 的取值范围是55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 22.解：（1）因为3()ln 2a f x x x '=-+，所以3()(1)ln 2a g x a x x x =---+， (1)()()(0)x x a g x x x-+'=->，①当0a -≤，即0a ≥，所以0x a +>，且方程()0g x '=在0+)∞（，上有一根，故()g x 在(0,1)为增函数，(1,)+∞上为减函数.②当0a <时，方程()0g x '=在0+)∞（，上有两个不同根或两等根，当1a =-时，2(1)()0x f x x-'=≤，所以()f x 在0+)∞（，上减函数， 当1a <-时，()0f x '>得，1x a <<-，所以()f x 在-)a （1，上增函数，在(0,1)，+)a -∞（，上减函数，当-10a <<时，()0f x '>得，1a x -<<，所以()f x 在-1)a （，上增函数，在(0,-)a ，(1+)∞，上减函数，（2）证明：因为3()ln 2a f x x x '=-+，令3()ln 2a h x x x =-+，则 21()0a h x x x '=+>， 即()h x 在0+)∞（，是增函数，下面证明()h x 在区间(,2)2a a 上有唯一零点0x ， 因为1()ln 222aa h =-，(2)ln 21h a a =+，因为1(,2a e ∈，所以1()ln 0222a h <-=，1(2)ln 2102h a e >+=， 由零点存在定理可知，()h x 在区间(,2)2a a 上有唯一零点0x ， 在区间0(0,)x 上，()()0h x f x '=<，()f x 是减函数， 在区间0(+)x ∞，上，()()0h x f x '=>，()f x 是增函数， 故当0x x =时，()f x 取得最小值00001()()ln 2f x x a x x =-+， 因为0003()ln =02a h x x x =-+，所以003ln =2a x x -， 所以0000000311()()()()(2)222a a f x x a x x a x x x =--+=--， 因为0(,2)2ax a ∈，所以()0f x >，所以1(,2a e∈，()0f x >.。