2017高考数学应用题
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∴S＝S△OEF＝ ．
综上所述， …………8分
（2）当0≤α≤ 时，S＝ ，
即S ．………………10分
∵0≤α≤ ，∴0≤ ≤1．即1≤1＋ ≤2．
∴ ≥2 ．
∴S≤2－ ．
当 ＝ －1时，S取得最大值为2－ ．………………12分
（3）在“一个来回”中，OE共转了2× ＝ ．
其中点G被照到时，共转了2× ＝ ．………………14分
当 时， 为增函数；
所以当 时， 有最小值 ，
因为 ，所以铁棒能水平通过该直角走廊．
19．（本小题满分16分）
如图一块长方形区域ABCD，AD＝2（ ），AB＝1（ ）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为 ，设∠AOE＝α，探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．
18．(本题满分16分)
如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离 为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3。点C为 上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为
17．（本题满分15分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/ 、100元/ ，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？
（2）图（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为 ，动点 在 内（包括边界），求 的最大值；
（3）由（2），将动点 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如 类比为 ），试列出 所满足的条件，并求出相应的最大值．
（图1）（图2）
19.解(Ⅰ)
．
（
在 恒成立，所以函数在 上递增
当t=6时， =34.5．∴6月份销售额最大为34500元．
（1）当0≤α＜ 时，写出S关于α的函数表达式；
（2）当0≤α≤ 时，求S的最大值．
（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG＝ ，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．
，（8分）
由 得 ，（13分）
经检验得，当 时，侧面总造价 最小，此时圆锥的高度为 m．（15分）
3.在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知 ，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点．
(1)若BC=a=20,求储存区域面积的最大值；
(2)若AB=AC=10,在折线 内选一点 ，使 ，求四边形储存区域DBAC的最大面积.
（1）设∠CA1O= (rad)，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计 ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长。
18.（Ⅰ）解：在 △COA1中，
， ，………2分
=
（ ）……7分
（Ⅱ） ，
令 ，则ห้องสมุดไป่ตู้………………12分
当 时， ； 时， ，
∵ 在 上是增函数
∴当角 满足 时，y最小，最小为 ；此时BC m…16分
则“一个来回”中，点G被照到的时间为 （分钟）．……16分
17．（本小题满分14分）
19．由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量 （单位：吨）与上
市时间 （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线 表示，销售价格 （单位：元／千克）
与上市时间 （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段 表示（ 为顶点）．
（1）请分别写出 , 关于 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？
17．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．
解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为 ，且 ，（2分）
则该仓库的侧面总造价
，（8分）
由 得 ，即 ，（13分）
经检验得，当 时，侧面总造价 最小，此时圆锥的高度为 m．（15分）
（法二）设圆锥的高为 m，且 ，（2分）
则该仓库的侧面总造价
19．解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．
①当0≤α≤ 时，
E在边AB上，F在线段BH上（如图①），
此时，AE＝ ，FH＝ ，…2分
∴S＝S正方形OABH－S△OAE－S△OHF
＝ ．…………4分
②当 ＜α＜ 时，
E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），
此时，EH＝ ，FH＝ ，…6分
∴EF＝ ．
(Ⅱ) ，z=x—5y．
令x—5y=A(x+y)+B(x—y)，则 ，
∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y)．由 , ，
∴ ,则(z)max=11．
(Ⅲ)类比到乘法有已知 ,求 的最大值．由 =( )A·( )B
．∴ ,
∴ ，则(z)max= ．
18．（本题满分15分）
如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层 转动 ，如图乙，设 的对边长为 ．
(1)过点 的一条直线与走廊的外侧两边交于 两点，且与走廊的一边的夹角为 ，将线段 的长度 表示为 的函数；
(2)一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．
解：(1)根据图得
(2)铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：
令 得， ．
当 时， 为减函数；
解：(1)设
由 ，
得 .
即
(2)由 ，知点 在以 ， 为焦点的椭圆上，
∵ ，∴要使四边形DBAC面积最大，只需 的面积最大，此时点 到 的距离最大,即 必为椭圆短轴顶点．由 ，得短半轴长 面积的最大值为 .
因此，四边形ACDB面积的最大值为 ．
3.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．
（1）试用 表示 ；
（2）求魔方增加的表面积的最大值．
18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．
解：（1）由题意得 ，
解得 ，（6分）
（2）魔方增加的表面积为 ，
由（1）得 ，（10分）
令 ，
则 （当且仅当 即 时等号成立），
答：当 时，魔方增加的表面积最大为 ．（15分）
综上所述， …………8分
（2）当0≤α≤ 时，S＝ ，
即S ．………………10分
∵0≤α≤ ，∴0≤ ≤1．即1≤1＋ ≤2．
∴ ≥2 ．
∴S≤2－ ．
当 ＝ －1时，S取得最大值为2－ ．………………12分
（3）在“一个来回”中，OE共转了2× ＝ ．
其中点G被照到时，共转了2× ＝ ．………………14分
当 时， 为增函数；
所以当 时， 有最小值 ，
因为 ，所以铁棒能水平通过该直角走廊．
19．（本小题满分16分）
如图一块长方形区域ABCD，AD＝2（ ），AB＝1（ ）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为 ，设∠AOE＝α，探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．
18．(本题满分16分)
如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离 为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3。点C为 上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为
17．（本题满分15分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/ 、100元/ ，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？
（2）图（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为 ，动点 在 内（包括边界），求 的最大值；
（3）由（2），将动点 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如 类比为 ），试列出 所满足的条件，并求出相应的最大值．
（图1）（图2）
19.解(Ⅰ)
．
（
在 恒成立，所以函数在 上递增
当t=6时， =34.5．∴6月份销售额最大为34500元．
（1）当0≤α＜ 时，写出S关于α的函数表达式；
（2）当0≤α≤ 时，求S的最大值．
（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG＝ ，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．
，（8分）
由 得 ，（13分）
经检验得，当 时，侧面总造价 最小，此时圆锥的高度为 m．（15分）
3.在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知 ，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点．
(1)若BC=a=20,求储存区域面积的最大值；
(2)若AB=AC=10,在折线 内选一点 ，使 ，求四边形储存区域DBAC的最大面积.
（1）设∠CA1O= (rad)，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计 ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长。
18.（Ⅰ）解：在 △COA1中，
， ，………2分
=
（ ）……7分
（Ⅱ） ，
令 ，则ห้องสมุดไป่ตู้………………12分
当 时， ； 时， ，
∵ 在 上是增函数
∴当角 满足 时，y最小，最小为 ；此时BC m…16分
则“一个来回”中，点G被照到的时间为 （分钟）．……16分
17．（本小题满分14分）
19．由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量 （单位：吨）与上
市时间 （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线 表示，销售价格 （单位：元／千克）
与上市时间 （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段 表示（ 为顶点）．
（1）请分别写出 , 关于 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？
17．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．
解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为 ，且 ，（2分）
则该仓库的侧面总造价
，（8分）
由 得 ，即 ，（13分）
经检验得，当 时，侧面总造价 最小，此时圆锥的高度为 m．（15分）
（法二）设圆锥的高为 m，且 ，（2分）
则该仓库的侧面总造价
19．解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．
①当0≤α≤ 时，
E在边AB上，F在线段BH上（如图①），
此时，AE＝ ，FH＝ ，…2分
∴S＝S正方形OABH－S△OAE－S△OHF
＝ ．…………4分
②当 ＜α＜ 时，
E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），
此时，EH＝ ，FH＝ ，…6分
∴EF＝ ．
(Ⅱ) ，z=x—5y．
令x—5y=A(x+y)+B(x—y)，则 ，
∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y)．由 , ，
∴ ,则(z)max=11．
(Ⅲ)类比到乘法有已知 ,求 的最大值．由 =( )A·( )B
．∴ ,
∴ ，则(z)max= ．
18．（本题满分15分）
如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层 转动 ，如图乙，设 的对边长为 ．
(1)过点 的一条直线与走廊的外侧两边交于 两点，且与走廊的一边的夹角为 ，将线段 的长度 表示为 的函数；
(2)一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．
解：(1)根据图得
(2)铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：
令 得， ．
当 时， 为减函数；
解：(1)设
由 ，
得 .
即
(2)由 ，知点 在以 ， 为焦点的椭圆上，
∵ ，∴要使四边形DBAC面积最大，只需 的面积最大，此时点 到 的距离最大,即 必为椭圆短轴顶点．由 ，得短半轴长 面积的最大值为 .
因此，四边形ACDB面积的最大值为 ．
3.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．
（1）试用 表示 ；
（2）求魔方增加的表面积的最大值．
18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．
解：（1）由题意得 ，
解得 ，（6分）
（2）魔方增加的表面积为 ，
由（1）得 ，（10分）
令 ，
则 （当且仅当 即 时等号成立），
答：当 时，魔方增加的表面积最大为 ．（15分）