知识讲解_空间点线面的位置关系(基础)
空间点线面位置关系
（1）利用线面垂直的判定定理：a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α
（2）利用平行线垂直于平面的传递性:a//b,a⊥α⇒b⊥α
（3）利用面面垂直的性质定理α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α
（4）利用面面平行的性质α//β,a⊥β⇒a⊥α
（5）利用面面垂直的性质α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ
(1)DE//平面AA'C'C;
（2）BC'⊥AB'.
例2如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
(1)证明：PB//平面AEC;
（2）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD= ，
求三棱锥E-ACD的体积.
直线、平面垂直的判定与性质
【知识清单】
一、线面垂直的判定和性质
平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3，BC=5.
（1）求证：AA1⊥平面ABC;
（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求BD/BC1的值。
3.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例；
4.同一条直线与两个平行平面所成角相等。
平行问题的转化：线线平行 线面平行 面面平行 线面平行
方法1 证明线面平行的方法
（1）利用线面平行的定义（一般用于反证法）；
（2）利用线面平行的判定定理；（3）利用面面平行的性质.
方法2 平面与平面平行的判定方法
AB和A 的中点.
求证：（1）E、C、 F、四点共面；
（2）CE, F,DA三线共点.
方法2 异面直线所成角的求解方法
1、平移直线（线段）法（定义法）：
空间点、线、面之间的位置关系
空间点、线、面之间的位置关系1.线与线的位置关系：平行、相交、异面(特别注意一下：垂直只是相交与异面当中的特殊情况，我们说相交有相交垂直，异面有异面垂直)2.线与面的位置关系：线在面内(选择题时一定要考虑)、线面平行、线面相交3.如何确定一个平面？方法(1)三个不共线的点可以确定一个平面方法(2)两条相交线可以确定一个平面方法(3)两条平行线可以确定一个平面4.如何证明三点共线？具体的做法：就是把其中两点确定的直线作为两个面的交线，证明剩下这一点是这两个面的交点，那么交点必在交线上，则三点共线。
5.如何证明线线平行？方法(1)利用三角形或梯形的中位线方法(2)利用平行四边形方法(3)利用线段对应成比例(通常题目中会出现三等份点或四等份点)方法(4)垂直于同一个面的两条直线互相平行方法(5)借助一个性质：两个面相交，其中一个面内的一条直线平行于另一个面，则这条线平行于两个面的交线(利用这个性质来证明在以往的高考中出现过若干次，同学们需要注意一下)6.如何证明线面平行？方法(1)只需证明这条直线与平面内的一条直线平行即可，简称线线平行推出线面平行。
方法(2)只需把这条直线放入一个合适的平面内，然后证明这个平面与已知平面平行即可，简称面面平行推出线面平行。
特别注意：直线平行于平面，可以得出直线与平面内无数条直线平行，但得不出与平面内任意一条直线平行。
7.如何证明面面平行？只需证明其中一个面内的两条相交线分别平行于另一个面即可。
8.如何证明线面垂直？只需证明这条直线分别与平面内的两条相交线互相垂直即可。
特别注意：直线垂直于平面，可以得出直线与平面内任意一条直线都垂直。
9.如何证明面面垂直？只需证明其中一个面内的一条直线垂直与另一个面即可。
特别注意：面面垂直，既得不出两个面内的任意两条直线互相垂直，也得不出其中一个面内的任意一条直线都垂直于另一个面。
10.异面直线的夹角范围是多少？如何求出异面直线的夹角？夹角范围是：0°~ 90°在求异面直线的夹角时，要把两条异面直线平移使它们出现交点，有时只需平移一条，有时两条都需要平移，这个过程中用得比较多的是中位线，当平移后两条直线出现交点时，复杂些的在三角形中利用余弦定理来求。
空间几何的基本概念点线与面的关系
空间几何的基本概念点线与面的关系空间几何的基本概念：点、线与面的关系空间几何是研究三维空间中点、线和面之间的关系的数学分支。
点、线和面是空间几何中最基本的概念，它们之间的关系是建立在欧几里得几何基础上的。
本文将介绍空间几何中点、线和面的定义及其之间的关系。
一、点点是空间几何中最基本的对象，它是没有长度、宽度和高度的，仅有一个位置。
点通常用字母标记，如A、B、C等。
在空间中，任意两点可以确定一条线段，而三个非共线的点可以确定一个平面。
二、线线是空间几何中由无数个点组成的集合，它只有长度没有宽度和高度。
线通常用字母表示，如l、m、n等。
线可以分为直线和曲线两种。
直线是在空间中两点之间连续延伸的路径，它有无限个点。
而曲线则是非直线的线，它的形状可以是弯曲或蜿蜒的。
三、面面是空间几何中由无数个直线组成的集合，它有长度和宽度，没有高度。
面通常用字母表示，如α、β、γ等。
面可以分为平面和曲面两种。
平面是由无数个共面的点和一条穿过其中的直线组成的，它没有弯曲的部分。
而曲面则不是平的，它可以弯曲或扭曲。
点、线和面的关系是空间几何中重要的内容。
在空间中，点是构成线和面的基础。
在两个点之间，可以画一条直线，它是连接两个点的最短路径。
多个点可以连成一条折线，折线也是一种线。
线可以在平面内运动、延伸或相交，形成不同的几何形状，而面是由无数条线构成的，它们共面并围成了一个封闭的区域。
点线面之间的关系可以通过以下几个方面进行描述：1. 点与线的关系：一条直线上的任意两点可以确定一条线段，反之，一条线段也可以看作是两个端点之间的直线。
点也可以在一条直线上移动，形成线段的延伸或缩短。
两条相交的直线可以在交点处确定一个新的点。
2. 点与面的关系：一个点可以在平面内，平面也可以通过一个点来确定。
在一个平面上，可以找到无数个点。
3. 线与面的关系：一条线可以在平面内或平面上延伸，两条相交的直线可以确定平面上的一条直线。
一个平面上可以有多条直线，它们可以平行、相交或重合。
第三节 空间点、线、面之间的位置关系
1．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平
面α与平面β的交线，则下列命题正确的是
()
A．l至少与l1，l2中的一条相交 B.l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l与l1，l2都不相交
解析：直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，
(2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示． 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD， 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
[一“点”就过] 证明点共面或线共面的常用方法
考点一 平面基本性质的应用(基础之翼练牢固)
[题组练通]
1．下列说法正确的是
()
A．三点可以确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形是平面图形
D．两条相交直线可以确定一个平面 解析：A错误，不共线的三点可以确定一个平面．B错误，一条
直线和直线外一个点可以确定一个平面．C错误，四边形不一
1．(考查形式创新——以圆柱为载体)如图，圆
柱O1O2的底面半径为1，高为2，AB是一条 母线，BD是圆O1的直径，C是上底面圆周 上一点，∠CBD＝30°，则异面直线AC与
BD所成角的余弦值为
()
A.3 3535
B.4 3535
C.3147
D.2 7 7
解析：连接AO2，设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E，连 接CE，易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的 角，连接CD，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BD＝2，∠CBD ＝30°，得BC＝ 3 ，CD＝1.又AB＝DE＝AE＝BD＝2，AC＝
空间中点线面的位置关系
空间中点、线、面的位置关系一、平面的基本性质（1）点和直线的基本性质：连接两点的线中，最短；过两点一条直线，并且一条直线。
（2）平面的基本性质：1如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。
这时我们就说或。
作用：判断直线在平面内。
2经过不在同一直线的三点，有且只有个平面。
也可以简单地说成：的三点确定一个平面。
过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。
3如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。
这条公共直线叫做这两个平面的（3）平面的基本性质的推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。
2经过两条直线，有且只有个平面。
3经过两条直线，有且只有个平面。
（4）共面与异面直线：共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。
共面的两条直线的位置关系有和两种。
异面直线：既又的直线叫异面直线。
判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内任一不过该点的直线是异面直线。
（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作。
直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。
平面α与平面β相交于直线a, 记作 .直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。
基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。
例1. 已知三条直线a、b、c两两相交但不共点，求证：a、b、c共面。
例2.已知三条平行线a 、b 、c 都与直线d 相交.求证:它们共面.例 3.正方体1111D C B A ABCD -中,对角线C A 1与平面1BDC 交于AC O ,、BD 交于点M . 求证:点1C 、O 、M 共线.例4.已知三个平面α、β、γ两两相交,且α⋂β=c ,β⋂γ=a ,γ⋂α=b , 且直线a 和b 不平行.求证: a 、b 、c 三条直线必相交于同一点._1_ B _二、空间中的平行关系1.空间平行直线的本性质（空间平行线的传递性）： 平行于同一直线的两条直线 。
点线面的位置关系总结
点线面的位置关系总结1. 引言在几何学中，点、线和面是最基本的几何图形。
它们之间的位置关系对于我们理解和描述物体的形状、空间关系以及解决几何问题非常重要。
本文将总结点、线和面之间的常见位置关系，帮助读者在几何学的学习和解题过程中更加清晰地理解这些关系。
2. 点与点之间的位置关系在二维空间中，两个点之间有三种基本的位置关系：•重合（Coincident）：两个点的位置完全重合，表示它们的坐标值完全相同。
•相邻（Adjacent）：两个点的位置非常接近，但它们的坐标值不完全相同。
•不重合（Non-coincident）：两个点的位置完全不同，它们的坐标值没有任何相似之处。
在三维空间中，点与点之间的位置关系也有类似的定义。
3. 点与线之间的位置关系点与线之间的位置关系可以描述为：•在线上（On the line）：一个点位于一条直线上。
•在线的延长线上（On the extension of the line）：一个点位于一条直线的延长线上，但不在直线上。
•在线的两侧（On one side of the line）：一个点与一条直线相交，但不在直线上。
4. 点与面之间的位置关系点与面之间的位置关系可以描述为：•在平面上（On the plane）：一个点位于一个平面上。
•在平面的延伸方向上（On the extension of the plane）：一个点位于一个平面的延伸方向上，但不在平面上。
•在平面的两侧（On one side of the plane）：一个点与一个平面相交，但不在平面上。
5. 线与线之间的位置关系线与线之间的位置关系可以描述为：•相交（Intersecting）：两条线在二维空间或三维空间中相交，即它们有一个或多个共同的点。
•平行（Parallel）：两条线在二维空间或三维空间中永不相交，即它们没有共同的点。
•重合（Coincident）：两条线在二维空间或三维空间中完全重合，表示它们是同一条线。
立体几何讲空间点线面的位置关系课件
线与面的关系
总结词
线与面的关系是空间几何中 复杂的关系之一
详细描述
线与面的关系有多种形式， 如线在面上、线与面相交、 线与面平行等。这些关系可 以通过几何定理进行证明和 推导，如线面平行的判定定 理和性质定理等。
总结词
线与面的关系是空间几何中 复杂的关系之一
详细描述
线与面的关系有多种形式， 如线在面上、线与面相交、 线与面平行等。这些关系可 以通过几何定理进行证明和 推导，如线面平行的判定定 理和性质定理等。
空间面的定义与性质
总结词
几何中的面是由一组线围成的闭合空间。
详细描述
面是由一组线围成的闭合空间，表示一个二维的空间区域。根据定义，面有一定的厚度和大小。面的性质包括封 闭性和延展性，即面是封闭的边界，可以延展成一定的大小和形状。同时，面也可以由三个不同的点确定一个唯 一的平面。
03
点线面的位置关系
点与面的关系
总结词
详细描述
总结词
详细描述
点与面的关系是决定面形状的 关键
一个点可以确定一个平面，当 这个点位于平面上时，它与平 面的关系是固定的。此外，当 多个点位于同一平面时，它们 共同确定了该平面的形状和大 小。
点与面的关系是决定面形状的 关键
一个点可以确定一个平面，当 这个点位于平面上时，它与平 面的关系是固定的。此外，当 多个点位于同一平面时，它们 共同确定了该平面的形状和大 小。
详细描述
在几何学中，点被视为最基本的元素，表示一个具体的空间 位置。它没有大小和形状，只有位置。点的性质包括唯一性 和无限可重复性，即任意两个不同的点都可以确定一条直线 ，且同一直线上可以有无数个点。
空间线的定义与性质
总结词
几何中的线是点的集合，表示一个连续的空间路径。
空间向量点线面的位置关系
空间向量点线面的位置关系在三维空间中，点、线和面是基本的几何要素。
它们的位置关系在数学和几何学中扮演着重要的角色。
本文将探讨空间向量中点、线和面之间的不同位置关系及其特点。
一、点和线的位置关系在三维空间中，点和线的位置关系主要有以下几种情况。
1. 点在线上：如果一个点位于一条直线上，那么这个点与直线上的任意两点构成的向量都是共线的。
换句话说，点和线的向量共线。
2. 点在线的延长线上：点也可以位于一条线的延长线上，这时点与线上的任意两点构成的向量也是共线的。
3. 点与线相交：在三维空间中，点还可以与一条直线相交。
这时，点与线上的任意两点构成的向量不再共线。
4. 点与线平行：若一点与直线平行，则该点与直线上的任意两点构成的向量平行。
但是，点与线平行并不意味着点在线的延长线上。
二、点和面的位置关系点和面的位置关系也有几种情况，如下所示。
1. 点在面上：如果一个点位于一个平面上，那么这个点与平面上的任意三个点构成的向量都在同一个平面内。
2. 点在面的延长线上：点也可以位于一个平面的延长线上，这时点与平面上的任意三个点构成的向量仍在同一个平面内。
3. 点在平面内但不在平面上：有时，一个点位于一个平面内部但不在平面上。
这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。
4. 点与平面相交：在三维空间中，点还可以与一个平面相交。
这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。
三、线和面的位置关系线和面的位置关系主要有以下几种情况。
1. 线在平面上：如果一条直线位于一个平面上，那么直线上的任意两点构成的向量都在同一个平面内。
2. 线与平面相交于一点：一个直线也可以与一个平面相交于一点。
这时，直线上的任意两点构成的向量不在同一个平面内。
3. 线与平面平行：若一条直线与一个平面平行，则直线上的任意两点构成的向量与平面内的向量平行。
但是，直线与平面平行并不意味着直线在平面上。
4. 线在平面的延长线上：一条直线还可以位于一个平面的延长线上，这时直线上的任意两点构成的向量仍在同一个平面内。
点线面的位置关系
点线面的位置关系在几何学中，点、线和面是基本的几何元素。
它们之间的位置关系是我们研究几何学的基础。
本文将详细探讨点线面之间的位置关系，并从几何学的角度解释这些关系。
一、点与线的位置关系在平面几何中，点是最简单的几何元素。
它没有长度、面积和方向。
而线则是由无数个点组成的，具有长度但没有宽度。
点与线之间有以下几种位置关系：1. 点在线上：当一个点正好在一条线上时，我们说这个点在这条线上。
这意味着点与线上的所有点重合。
2. 点在线的两侧：如果一个点不在一条线上，并且离线的两侧距离都不为零，则我们说这个点在这条线的两侧。
3. 点在线的延长线上：如果一个点不在一条线上，并且它在这条线的延长线上，则我们说这个点在线的延长线上。
延长线是指将线无限延长的线段。
二、点与面的位置关系与点与线的位置关系类似，点与面之间也有几种不同的位置关系：1. 点在面上：当一个点正好在一个平面上时，我们说这个点在这个平面上。
这意味着点与面上的所有点重合。
2. 点在面的上方或下方：如果一个点不在一个平面上，并且它在这个平面的上方或下方，则我们说这个点在这个平面的上方或下方。
3. 点在面的边界上：如果一个点在一个平面的边界上，则我们说这个点在这个平面的边界上。
三、线与面的位置关系线与面之间的位置关系也是几何学中重要的内容，它们之间有以下几种位置关系：1. 线在面上：当一条线正好在一个平面上时，我们说这条线在这个平面上。
这意味着线上的所有点都在这个平面上。
2. 线与面相交：如果一条线与平面有一个或多个公共点，则我们说这条线与这个平面相交。
3. 线平行于面：如果一条线与平面上的所有点都不相交，则我们说这条线平行于这个平面。
4. 线垂直于面：如果一条线与平面的交点为一点，并且与平面上的所有其他点都垂直，则我们说这条线垂直于这个平面。
综上所述，点线面之间的位置关系是几何学的重要内容，它们的不同位置关系可以通过几何学的方法进行判断和描述。
通过研究这些位置关系，我们可以更好地理解几何学的基本概念，并应用于实际生活和工作中。
点线面的位置关系知识点
点线面的位置关系知识点在几何学中，点、线和面是三个基本的几何概念，它们之间存在着一系列的位置关系。
这些位置关系的理解对于解决几何问题以及应用几何知识有着重要的意义。
本文将介绍点线面的位置关系的几个重要知识点。
一、点与直线的位置关系1. 在直线上：当一个点恰好位于一条直线上时，我们可以说这个点在直线上。
例如，点A在直线AB上。
2. 在直线的两侧：如果一个点既不在直线上，也不在直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的两侧。
例如，点C在直线AB的两侧。
3. 在直线的延长线上：如果一个点不在直线上，但位于直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的延长线上。
例如，点D在直线AB的延长线上。
4. 平行于直线：如果一条直线与给定直线没有任何交点，我们可以说这条直线平行于给定直线。
例如，直线CD平行于直线AB。
二、点与平面的位置关系1. 在平面上：当一个点位于一个平面内部时，我们可以说这个点在平面上。
例如，点A在平面P上。
2. 不在平面上：如果一个点既不在平面上，也不在平面的延长线上，我们可以说这个点不在平面上。
例如，点B不在平面P上。
3. 在平面的延长线上：如果一个点不在平面上，但位于平面的延长线上，我们可以说这个点在平面的延长线上。
例如，点C在平面P的延长线上。
4. 垂直于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都垂直，我们可以说这条直线垂直于给定平面。
例如，直线EF垂直于平面P。
三、直线与平面的位置关系1. 相交于一点：当一条直线与平面有且仅有一个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一点。
例如，直线L与平面P相交于点A。
2. 平行于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都平行，我们可以说这条直线平行于给定平面。
例如，直线M平行于平面P。
3. 包含于平面：当一条直线上的所有点都位于给定平面上时，我们可以说这条直线被包含于给定平面中。
例如，直线N被包含于平面P 中。
4. 相交于一条线：当一条直线与平面有无穷多个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一条线。
必修2 第二章空间点线面的位置关系知识点
必修2 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
编写人：元丽丽
第一讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.四个公理
2.异面直线的概念：把 的两条直线叫做异面直线.
3.等角定理
空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 或 . 4.两条异面直线所成的角（夹角）
（1）定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或 角）叫异面直线,a b 所成的夹角. （2）异面直线所成角的范围：
5.空间两条直线的位置关系：
7.空间中平面与平面之间的位置关系
第二讲 直线、平面平行的判定及其性质
1.四个定理
第三讲直线、平面平垂直的判定及其性质
1.直线与平面垂直：
如果直线l与平面α内的一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作 .
直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的 .直线与平面的公共点P叫做 .
2. 直线与平面所成的角：
过斜足上斜足以外的一点向平面平面引，过和的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角.
角的取值范围： .
3.二面角。
高中数学空间点线面之间的位置关系讲义
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面1 平面含义：2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
二、三个公理：三、空间直线、平面之间的位置关系D C BA α四、等角定理：五、异面直线所成的角1.定义：2.范围：3.图形表示4.垂直： 六、典型例题1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα∉⇒∈A l A l ,//（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）（A ）1个或3个 （B ）1个或4个 （C ）3个或4个 （D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ）（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。
点线面的基本概念与关系
点线面的基本概念与关系点、线、面是几何中的基本概念，它们在空间中有着重要的地位，并且相互之间存在着紧密的关系。
本文将从点、线、面的定义、性质以及它们之间的联系等方面进行阐述，以深入理解它们的基本概念与关系。
一、点的基本概念与特点点是几何中最基本的概念之一，它没有长度、面积和体积，只有位置。
点用大写字母表示，如A、B、C等。
点的特点主要有以下几个方面：1. 点没有大小，无法在几何上进行比较；2. 点无法判断方向，它只有一个确定的位置；3. 点可以用来确定线和面的交点或连接点。
二、线的基本概念与特点线是由无数个点沿着一定方向连成的路径，线上的点称为线上的点，线用小写字母表示，如a、b、c等。
线的特点主要有以下几个方面：1. 线没有宽度，只有长度，可以用直线段来表示；2. 线具有方向，一条线有两个端点，可以进行方向的判断；3. 线可以延伸无限远，没有固定的终点。
三、面的基本概念与特点面是由无数个线相互连接而成的平坦区域，面用希腊字母表示，如α、β、γ等。
面的特点主要有以下几个方面：1. 面是二维的，有宽度和长度，没有厚度；2. 面可以用多边形或弧线来表示；3. 面是无限延伸的，没有固定的边界。
四、点、线、面之间的关系点、线、面之间存在着紧密的联系，它们之间的关系可以概括如下：1. 点和线的关系：点可以确定一条线，同时一条线上包含无数个点。
2. 点和面的关系：点可以确定一个面，同时一个面上包含无数个点。
3. 线和面的关系：线可以确定一个面，同时一个面上包含无数条线。
点、线、面之间的这种联系使得几何学能够研究和描述空间中的各种图形和物体。
它们在数学、物理等学科中都有广泛的应用，对于人们认识和理解世界具有重要意义。
总结：点、线、面是几何学中的基本概念，它们在空间中有着重要的地位，并且相互之间存在着紧密的关系。
通过对点、线、面的定义、性质以及它们之间的联系的研究，可以更好地理解和应用几何学的知识。
对于进一步学习几何学以及其他相关学科具有重要的指导作用。
点线面的位置关系
点线面的位置关系在几何学中，点、线、面是基本的图形元素。
点是无限小的，定义为位置而没有尺寸。
线是由一组点构成的，有长度但没有宽度。
面是由一组线构成的，有长度和宽度。
这些几何图形不仅可以在平面上表示，也可以在三维空间中表示。
点是最基本的元素，没有长度、宽度和厚度，只有位置坐标。
点可以在平面或空间中悬浮，可以与其他点连接形成线段、线和多边形等形状。
最简单的情况是一个点与一条直线的位置关系。
当点在直线上时，它被称为在“直线上”。
如果点不在直线上但在直线的延长线上，它被称为“直线上的外点”。
如果点在直线上的限制范围内，也被称为相交。
如果点不在直线上或延长线上，它与直线之间的距离被称为点到线的距离。
线是由相邻的点组成的，具有长度但没有宽度。
线可以与其他线相交或平行，它们之间的位置关系也可以用几何学术语来描述。
相交的线可以在交点处重合或成交叉形状。
平行的线永远不会相交，它们可以是完全平行或在不同的平面上。
另外，当线相交时，交点会被定义为两条线的交点。
面是有宽度和长度的平面几何图形。
面是由相邻的线段组成的，可以是闭合的或半闭合的。
线环是一种特殊的面，由一组相交的线段形成的。
两个面之间有三种位置关系：相离、相切和相交。
两个不相交的面之间没有任何交点。
相切的面是仅在边缘相接的面，没有任何交点。
当两个面相交时，它们可能重叠形成交叉区域。
所有的几何图形都有点、线和面这三种基本构成元素。
了解它们之间的位置关系和交互作用，有助于我们更好地理解和应用几何学。
无论是工程、建筑，还是计算机图形学，都需要深入理解点线面的位置关系，才能更好地进行设计和实践。
空间点线面位置关系整理(ppt)
在二维平面中，一个点可以确定一条 直线，但直线本身不能确定一个具体 的点。同样，在三维空间中，一个点 也可以确定一个平面，但平面本身不 能确定一个具体的点。
点与面之间的关系
总结词
点与面之间的关系是相对复杂的，一个点可以位于一个平面上，但不能确定一个平面。
详细描述
在二维平面中，一个点可以位于一个平面上，但这个平面本身不能被一个单独的点所确 定。在三维空间中，一个点也可以位于一个曲面上，但这个曲面本身不能被一个单独的
详细描述
线在面上的变换通常涉及到直线的平移、旋 转或倾斜等操作。这种变换可以用来描述一 个物体在平面上的运动或变化，例如桥梁的 伸缩、建筑物的旋转等。此外，这种变换还 可以用来研究几何图形在平面上的运动规律 和性质。
06
空间点线面位置关系的证明
点在线上的证明
定义法
根据点的定义，如果一个点在直线上 ，则该点满足直线的方程。通过验证 点的坐标是否满足直线的方程，可以 证明该点在线上。
3
线可以用来确定建筑物的空间形态和方向感。
点线面在建筑学中的应用
01
面在建筑学中的应用
02
面可以表示建筑物的立面、屋顶、地面等。
面可以用来确定建筑物的空间大小、形状和功能分区等。
03
点线面在计算机图形学中的应用
01
02
03
点在计算机图形学中的 应用
点可以表示像素的位置 和颜色信息。
点可以用来实现图像的 缩放、旋转和平移等变
点在面上的变换
总结词
点在面上的变换是指一个点在一个平面 上的位置变化。
VS
详细描述
与点在线上的变换类似，点在面上的变换 也可以通过平移、旋转或缩放等操作来实 现。这种变换可以用来描述一个物体在平 面上的运动或变化，例如飞行器在空中的 飞行轨迹。
空间几何中的点线面的位置关系
空间几何中的点线面的位置关系在空间几何学中，点、线和面是最基本的几何元素。
它们在空间中的位置关系对于理解和解决几何问题至关重要。
本文将讨论点线面在空间中的常见位置关系以及它们之间的相互作用。
一、点与线的位置关系1.1 点在直线上当一个点位于一条直线上时，称该点在直线上。
点在直线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上。
1.2 点在直线上的延长线上当一个点位于直线的延长线上时，称该点在直线上的延长线上。
点在直线延长线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上，包括线的两个端点。
1.3 点在线段上当一个点位于一条线段上时，称该点在线段上。
点在线段上的特点是它位于线段的两个端点之间。
1.4 点在线段的延长线上当一个点位于线段的延长线上时，称该点在线段的延长线上。
点在线段延长线上的特点是它位于线段的两个端点之外。
二、点与面的位置关系2.1 点在平面上当一个点位于一个平面上时，称该点在平面上。
点在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
2.2 点在平面上的延长线上当一个点位于平面的延长线上时，称该点在平面上的延长线上。
点在平面延长线上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上，包括平面的边界和内部点。
2.3 点在平面外当一个点不在平面上时，称该点在平面外。
点在平面外的特点是它无法与平面上的任意两个点构成一条直线。
三、线与面的位置关系3.1 线在平面上当一条线位于平面内时，称该线在平面上。
线在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
3.2 线平行于平面当一条线与平面上的所有点都不相交时，称该线平行于平面。
平行于平面的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都平行。
3.3 线与平面相交于一点当一条线与平面上的某个点相交时，称该线与平面相交于一点。
线与平面相交于一点的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都相交于同一点。
四、面与面的位置关系4.1 平行面当两个面的法向量平行时，称这两个面为平行面。
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空间点线面的位置关系【考纲要求】（1）理解空间直线、平面位置关系的定义； （2）了解可以作为推理依据的公理和定理；（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【知识网络】【考点梳理】考点一、平面的基本性质1、平面的基本性质的应用（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； （3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。
2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。
3、公理2的推论：（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。
4、点共线、线共点、点线共面空间点线面位置关系三个公理、三个推论 平面平行直异面直相交直公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离直线在平面内直线与平面平行 直线与平面相交 空间两条直概念垂斜空间直线 与平面 空间两个平面两个平面平行两个平面相交三垂线定理 直线与平面所成的角（1）点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。
（2）线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。
要点诠释：证明点线共面的常用方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。
考点二、直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线所成的角①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ’∥a,b ’∥b,把a ’与b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.②范围：02π⎛⎤ ⎥⎝⎦，要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：1、定义法（不易操作）2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。
此法在异面直线的判定中经常用到。
3、客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：考点三、直线和平面、两个平面的位置关系1、直线和平面的位置关系位置关系直线a 在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aα⊂a Aα=//aα图形表示2、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行//αβ0两平面相交斜交aαβ=有无数个公共点在一条直线上垂直αβ⊥aαβ=有无数个公共点在一条直线上考点四、平行公理、等角定理平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
要点诠释：（1）以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力；（2）通过判断位置关系，考查空间想象能力；（3）应用公理、定理证明点共线、线共面等问题；（4）多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。
【典型例题】类型一、异面直线的判定例1如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。
问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。
【解析】（1）不是异面直线。
理由：连接MN、A1C1、AC。
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN// A1C1，又∵A1A CC1，∴A1ACC1为平行四边形。
∴A1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。
（2）是异面直线。
证明如下：∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。
假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。
∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线。
【点评】（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。
（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。
举一反三：【变式】已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 上的点，且1AE C F =，求证：四边形1EBFD 是平行四边形【证明】由1AE C F =可以证得ABE ∆≌11C D F ∆ 所以1BE D F = 又可以由正方体的性质证明1//BE D F 所以四边形1EBFD 是平行四边形类型二、平面的基本性质及平行公理的应用例2如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=900，BC 1//2AD ，BE 1//2FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点。
（1）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （2）C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 【解析】（1）11,,//.//,//,22FG GA FH HD GH AD BC AD GH BC BCHG ==∴∴由已知可得又四边形为平行四边形。
（2）方法一：1//,//,2//.(1)//,//,,BE AF G FA BE FG BEFG EF BG BG CH EF CH EF CH D FH C ∴∴∴∴∈∴为中点知，四边形为平行四边形，由知与共面.又、D 、F 、E 四点共面.方法二：如图，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，'M ，∵BE 1//2AF ，∴B 为MA 中点。
∵BC 1//2AD ，∴B 为'M A 中点，∴M 与'M 重合，即FE 与DC 交于点M （'M ），∴C 、D 、F 、E 四点共面。
【点评】（1）G 、H 为中点→GH 1//2AD ，又BC 1//2AD → GH //BC ；（2）方法一：证明D 点在EF 、GJ 确定的平面内。
方法二：延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，'M ，可证M 与 'M 重合，从而FE 与DC 相交。
类型三、异面直线所成的角例3空间四边形ABCD 中，AB=CD 且AB 与CD 所成的角为300，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小。
【答案】取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG//AB ，GF//CD ，且由AB=CD 知EG=FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与ＣＤ所成的角。
∵ＡＢ与CD 所成的角为300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。
由EG=FG 知ΔEFG 为等腰三角形，当∠ＥＧＦ=300时，∠GEF=750；当∠ＥＧＦ=1500时，∠GEF=150。
故EF 与AB 所成的角为150或750。
【解析】要求EF 与AB 所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E 、F 为中点，故可过E 或F 作AB 的平行线。
取AC 的中点，平移AB 、CD ，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。
【点评】（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。
平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；（2）求异面直线所成角的步骤： ①作：通过作平行线，得到相交直线；②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； ③求：通过解三角形，求出该角。
类型四、点共线、线共点、线共面问题例4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于O ，AC 、BD 交于点M ． 求证：点C 1、O 、M 共线． 【证明】A 1A∥CC 1⇒确定平面A 1C A 1C ⊂面A 1C⇒O∈面A 1C ⇒O∈A 1C面BC 1D∩直线A 1C ＝O ⇒O∈面BC 1D O 在面A 1C 与平面BC 1D 的交线C 1M 上 ∴C1、O 、M 共线 举一反三：【变式】如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB 的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K 。
求证：M 、N 、K 三点共线。
【证明】 因为M ∈PQ ⊆平面PQR ，M ∈BC ⊆平面BCD ，又因为M 是平面PQR 与平面BCD 的一个公共点，即M 在平面PQR 与平面BCD 的交线l 上。
同理可证：N 、K 也在l 上，所以M 、N 、K 三点共线。
COD MB 1CD 1A 1。