分式的加减法教学设计教案

§ 分式的加减法(2)
教学目标
1．进一步掌握异分母的分式的加减；
2．积累通分的经验；
3．能解决一些简单的实际问题， 进一步体会分式的模型作用。

教学重点:通分、化简.
教学难点:通分、化简.
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
对于异分母的分数相加减必须利用分数的基本性质，化成同分母的分数相加减，然后才能运算.下面我们再来看几个异分母的加减法.
做一做：在分数的加减法中，我们把异分母的分数化成同分母分数的过程叫做通分.
二、讲授新课
下面可尝试用分式的基本性质，将“做一做”中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法，计算并化简.
（让同学们分组讨论交流完成，教师可巡视发现问题并解决问题）.
把异分母的分式加减法，通过通分，每个分式都化成同分母的加减法.你是怎样通分，把异分母的分式化成同分母的？
同学们可根据“做一做”的每个步骤，总结你是怎样通分的？（小组讨论完成）
我认为通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘以什么样的“适当整式”，才能化成同分母.
确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母.
同学们概括得很好.下面我们来看一个例题
［例1］通分：
（1）
x y 2,23y x ,xy 41；（2）y x -5,2)(3x y -; （3）31+x ,31-x ; （4）412-a ,2
1-a 分析: 通分时，应先确定各个分式的分母的公分母：先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积.
解：（1）三个分母的公分母为12 xy 2，则
x y 2=22626y x y ⋅⋅=2
3126xy y ; 23y x =x y x x 4342⋅⋅=22124xy
x ;
xy 41=y xy y 3431⋅⋅=2123xy
y （2）因为（y －x ）2=（x －y ）2，所以两个分母的公分母为（x －y ）2. y x -5=))(()(5y x y x y x ---=2
)()(5y x y x --; 2)(3x y -=2)
(3y x -. （3）两个分母的公分母为（x +3）（x －3）=x 2－9.
31+x =)3)(3(3-+-x x x =9
32--x x ; 31-x =)3)(3(3-++x x x =9
32++x x . （4）因为a 2－4=（a +2）（a －2）,所以两个分母的公分母为a 2－4.
412-a =4
12-a ; 21-a =)2)(2(2+-+a a a =4
22-+a a . 我们再来看一个例题
［例2］计算：
（1）31-x －31+x ;（2）412-a －2
1-a ; （3）用两种方法计算： （23-x x －2
+x x ）·x x 42-. （可由学生板演，学生之间互查互纠）.
解：（1）31-x －31+x =)3)(3(3+-+x x x －)3)(3(3+--x x x =9)3()3(2---+x x x =9
62-x （2）412-a －21-a =)
2)(2()2(1+-+-a a a =
)2)(2(1+---a a a =－)2)(2(1+-+a a a （3）方法一：（按运算顺序，先计算括号里的算式） （23-x x －2
+x x ）·x x 42-=（)2)(2()2(3-++x x x x －)2)(2()2(-+-x x x x ）·x x 42-
=)2)(2()2()63(22-+--+x x x x x x ·x
x x )2)(2(-+ =x
x x 822+=2x +8. 方法二：（利用乘法分配律）. （23-x x －2
+x x ）·x x 42- =x x x x x ⋅--+⋅)2()2)(2(3－x
x x x x ⋅+-+⋅)2()2)(2( =3（x +2）－（x －2）=3x +6－x +2=2x +8.
例3甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.
（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？
（2）谁的购货方式更合算？由于两次购买饲料的单价有所变化，可设第一次购买的饲料的单价为m 元/千克，第二次购买的饲料的单价为n 元/千克，甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量.在第（2）题中，比较甲、乙所购饲料的平均单价，谁的平均单价低谁的购货方式就更合算，可以用作差法比较平均单价.
解：（1）设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元/千克（m ,n 是正数，且m ≠n ）
甲两次购买饲料的平均单价为
2100010001000⋅+n m =2
n m +（元/千克） 乙两次购买饲料的平均单价为
n
m 8008002800+⨯=n m mn +2（元/千克） （2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是
2n m +－n m mn +2=)
(2)(2
n m m m ++－)(24n m mn + =)(24222n m mn n mn m +-++=)
(2)(2
n m n m +- 由于m 、n 是正数，因为m ≠n 时，)(2)(2n m n m +-也是正数，即2n m +－n
m mn +2＞0，因此乙的购买方式更合算.
三.课堂练习
1.随堂练习第1题第（2）小题：
（2）11-a －2
12a - 解：原式=11-a －1
22--a =
)1)(1(1+-+a a a －122--a =112-+a a －122--a =1)2(12---+a a =1
32-+a a 2.补充练习
计算：（1）9122-m +m -32;（2）a +2－a
-24. 解：（1）9122-m +m
-32 =)3)(3(12-+m m +)
3(2--m =)3)(3(12-+m m +)
3)(3()3(2+-+-m m m =)
3)(3()3(212-++-m m m =
)3)(3(26-+-m m m =)3)(3()3(2-+--m m m =－32+m . （2）a +2－a -24=12+a －a
-24 =a a a --+2)2)(2(－a
-24=a a ---2442 =)1()2()1(2-⨯--⨯-a a =2
2
-a a 四.课时小结
这节课我们学习了异分母的分式加减法，使我们提高了分式运算的能力.
五、课后作业： 习题第1、2、3、4题
六、活动与探究 若)1)(1(3-+-x x x =1+x A +1
-x B ，求A 、B 的值. 本题把一个真分式化成两个部分分式之和的形式，这里A 和B 都是待定系数，待定系数可根据对应项的系数来求解.
［结果］右式通分，得
)1)(1(3-+-x x x =)
1)(1()1()1(-+++-x x x B x A . 因为左右恒等且分母相同，故分子应恒等，即x －3≡A （x －1）+B （x +1） 所以x －3=（A +B ）x +（－A +B ）
对应系数比较，得⎩⎨⎧-=+-=+31B A B A 解得⎩
⎨⎧-==12B A 所以A =2，B =－1。